Estrada de Rodagem Curvas Concordância Vertical · PDF fileCurvas Concordância...

1Curso de Engenharia Civil - Estrada de Rodagem - Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosa

Prof. Dr. Rodrigo de Alvarenga Rosarodrigoalvarengarosa@gmail.com(27) 9941-3300

Estrada de RodagemCurvas Concordância Vertical

Greide

• O greide consiste na representação do eixo da rodovia segundo o plano vertical.

• Ele será denominado, também, o projeto em perfil ou projeto altimétrico.

• Recomenda-se que a escala vertical seja dez vezes a escala horizontal.

• No projeto em perfil as distâncias são sempre tomadas na horizontal.

• As inclinações, rampas, são dadas em percentual.

Greide

• Os trechos retos do greide, considerado o sentido de estaqueamento, são denominados :– Rampa ou aclive - quando o trecho for acedente;– Contra-rampa ou declives - quando o trecho for

descendente;– Plano - quando a inclinação for nula.

• As curvas verticais pode ser:– Côncavas;– Convexa ou crista.

Greide

• Pontos singulares do greide:– PCV - Ponto de curva vertical– PIV - Ponto de Intercessão vertical– PTV - Ponto de tangência vertical.

• São numerados sequencialmente desde a primeira curva até a últimas.

Greide

• Qual a declividade do trecho entre PIV1 e PIV2, sabendo que PIV1 está na estaca 7 + 00 e PIV2 está na estaca 18 + 10 e que a cota de PIV1seja 97,985 e a de PIV2 89,935.

%500,3035,0230

)07()1018(

985,97935,892 −=−=−=

+−+−==

Propriedades geométricas da parábola

1 - Todos o diâmetros da parábola são paralelos ao seu eixo

2 - A taxa de variação da declividade da parábola é constante2. xCy =

Onde: - ordenada (m)- constante da parábola (m-1)- abscissa (m)

xCi ..2=

3 - A taxa de variação da declividade da parábola é constante2. dCo =

Onde: - diferença da ordenada da parábola a uma tangente qualquer á curva (m)- constante da parábola (m-1)- distância entre as abscissas (m)

• Na representação da curva vertical sabe-se que o PCV está localizado na estaca 11 + 0,00. Sabe-se que a ordenada da parábola em relação ao trecho reto do greide está localizado na estaca 15 + 10,00 e mede 1,620m. Calcule a ordenada na estaca 17 + 7,28.

( ) ( )( ) ( )2200,1015 90.00,01100,1015. CCo =+−+=+

( ) ( )( ) ( )2228,717 28,127.00,01128,717. CCo =+−+=+

( )( )2

00,1015

28,717

28,127.

( )( )

( )( )2

00,101528,71790

28,127.620,1

28,127. == ++ oo

mo 240,328,717 =+

4 - Numa concordância com uma parábola vertical, o diâmetro que passa no PIV intercepta a corda que liga o PCV ao PTV num ponto D dividindo a corda no meio.

2PTVPCV

5 - Numa concordância com uma parábola vertical, a parábola intercepta o segmento ID exatamente no meio deste segmento no ponto E.

PTVPCVPIV yyCy ..=

( )22.2 PTVPCVD xxC

( )PIVDE yyy += .2

6 - Numa concordância com uma parábola vertical, a tangente à parábola no ponto E é paralela à corda que liga o PCV ao PTV. Assim, pode-se calcular o coeficiente angular i.

( )PTVPCVE xxCi += .

Cálculo das concordâncias verticais

• No cálculo deve-se definir as características da curva que vai ser utilizada, dentre outras, destacam-se:– Comprimento da curva– Determinação das ordenadas– Verificação dos raios de curvatura– Etc.

• Considera-se que a concordância vertical é constituída por dois ramos de parábola, sendo o primeiro ramo aquele compreendido entre o PCV e o PIV e o segundo entre o PIV e o PTV.

• O comprimento do primeiro ramo é representado por La e o segundo por LB. L é o comprimento total da parábola.

• Todos três medidos na horizontal!

• As diferenças de cota entre a curva vertical e os trechos retos do greide são denominadas ordenadas da parábolarepresentadas pela letra o.

• A ordenada tem valor nulo nos pontos de concordância com os trechos retos do greide (PCV e PTV).

• E o valor máximo em PIVdenominado omáx e conhecido comoflecha ou ordenada máxima.

• O parâmetro K é um valor que caracteriza numericamente a parábola.

• Seu conhecimento permite ao projetista uma noção imediata da suavidade da curva e as condições que ela oferece de drenagem longitudinal das águas de superfície.

• Define-se como:

• Equação da parábola:

O parâmetro de curvatura K

LK = Onde: - parâmetro K (m/%)

- comprimento da parábola (m)- diferença algébrica entre as declividades nos extremos da parábola (%)

2..200

Ky = Onde: - ordenada parábola (m)

- abscissa da parábola (m)

• A concordância vertical de dois trechos retos de um greide foi efetuado com uma parábola. Determine o parâmetro K.

mL 0,200)00,010()00,020( =+−+=

%000,8000,2000,6 −=−−=A%/0,25

LK ===

• Raio de curvatura da parábola

• O raio mínimo da parábola ocorre exatamente no vértice da curva.

Raio mínimo de curvatura

K.100min =ρ

Onde: - raio de curvatura da parábola (m)- declividade da curva- parâmetro K (m/%)

Onde: - raio mínimo de curvatura da parábola (m)- parâmetro K (m/%)

minρK

• A concordância vertical de dois trechos retos de um greide foi efetuado com uma parábola. Calcule o raio mínimo e o raio no PCV.

%/0,25 mA

( )mPCV 51,513.2

25.100

)06,0(1 2

−+=ρ

K.100min =ρ

m00,500.225.100min ==ρ

• Calcule o raio no PTV

Comprimento de concordância

( )mPTV 50,501.2

25.100

)02,0(1 2

−+=ρ

Cálculo do comprimento das concordâncias

• No projeto de um greide rodoviário existem critérios técnicos que estabelecem limitações quanto aos comprimentos máximos e mínimos das curvas verticais.

• Os critérios a serem adotados são:– Critério do mínimo valor absoluto– Critério da máxima aceleração centrífuga admissível– Critério da drenagem– Critério da distância de visibilidade

• Curvas convexas• Curvas côncavas

Onde: - comprimento mínimo (m)- velocidade diretriz (km/h)

• Critério do mínimo valor absoluto

• A prática rodoviária indica que curvas verticais muito curtas, mesmo que atendam aos outros critérios, geram greides com má aparência, muito angulosos.

• O DNIT recomenda que o comprimento deve ser tal que o usuário leve pelo menos 2 segundos percorrendo a curva vertical

6,3.2.2min

VvL ==

VL .6,0min =

• Critério da máxima aceleração centrifuga admissível ou critério de conforto.

• Na curva vertical, o veículo fica sujeito à força de gravidade.

• As normas do DNIT fixam como valores admissíveis para a aceleração radial em concordância vertical os seguintes valores– amáx = 1,5% da aceleração da gravidade para rodovias

de elevado padrão;– amáx = 5,0% da aceleração da gravidade para rodovias

de padrão reduzido.

• Critério de conforto

• A aceleração radial num ponto de uma curva vertical é calculada pela fórmula:

• Lembrando que tem-se que:

2va = Onde: - aceleração radial, perpendicular a pista (m/s2)

- velocidade diretriz (m/s)- raio de curvatura da concordância vertical no ponto considerado (m)

K.100min =ρ

min .1296 a

Onde: - comprimento da parábola (m)- parâmetro K para os valores máximos de aceleração (m/%)- diferença algébrica entre as declividades nos extremos da concordância (%)

• Critério de conforto.

• A partir do Kmin, pode-se calcular o comprimento mínimo pela fórmula:

AKL .minmin =

minKminL

• Critério de conforto.

• Os valores de Lmin podem ser calculados pela fórmula ou por Kmin na tabela fornecida pelo DNIT em função da velocidade diretriz.

• Para uma rodovia classe III do DNIT, em relevo plano, com elevado padrão de conforto, calcule o comprimento mínimo de acordo com o critério de conforto.

• Para uma rodovia classe III do DNIT, em relevo plano, com reduzido padrão de conforto, calcule o comprimento mínimo de acordo com o critério de conforto.

%/1,10min mK =

8,9.100

5.1296

min ==a

AKL .minmin =

000,2000,6.1,10min −−=L

80,8mmin =L

• Para uma rodovia classe III do DNIT, em relevo plano, com elevado padrão de conforto, calcule o comprimento mínimo de acordo com o critério de conforto.

%/6,33min mK =

8,9.100

5,1.1296

min ==a

AKL .minmin =

000,2000,6.6,33min −−=L

268,8mmin =L

• Critério da drenagem

• É recomendável sob a ótica da drenagem assegurar declividades longitudinais iguais ou superiores a 1,000% para as sarjetas e por conseguinte para as curvas verticais.

• No caso que não seja possível manter acima de 1,000%, deve-se observar o valor mínimo de 0,500%, observado o valor mínimo absoluto de 0,350%.

• Critério da drenagem

• Quando em cristas, curvas convexas, com declividade de sinais contrários, podem ocorrer casos de declividade até igual a zero.

• Nestes casos o DNIT permite que se mantenha o greide em no mínimo 0,350% em valor absoluto numa extensão máxima de 30,0m.

• Deve-se estabelecer nestes casos o valor máximo do parâmetro K acima do qual podem ocorrer problemas com a drenagem.

)350,0(350,0

−−==

LK máx

%/43 mK máx =

• Critério de arredondamento

• Deve-se adotar curvas com comprimento múltiplos de 20,0m.

• Critério da distância de visibilidade

• O Critério de distância de visibilidade pode ser dividido em duas partes:– Curvas convexas– Curvas côncavas

• Critério da distância de visibilidade (Curvas convexas)

• Na curvas convexas, a linha de visada de um motorista é interrompida devido a curvatura da pista.

• Critério da distância de visibilidade (Curvas convexas)

• Duas situações podem ocorrer:– O motorista está dentro da curva e enxerga o obstáculo

que também está dentro da curva;– O motorista está antes da curva e enxerga o obstáculo

que está depois da curva;

• Critério da distância de visibilidade (Curvas convexas)• O motorista está dentro da curva e enxerga o obstáculo que

também está dentro da curva.

DLparaDA

L ≥= min

min 412

Onde: - comprimento mínimo da parábola (m)- diferença algébrica entre as declividades (%)- distância de visibilidade de parada (m)D

Cálculo do comprimento das concordâncias• Critério da distância de visibilidade (Curvas convexas)• O motorista está antes da curva e enxerga o obstáculo que

está depois da curva.

Cálculo do comprimento das concordâncias• Critério da distância de visibilidade (Curvas convexas)• O motorista está antes da curva e enxerga o obstáculo que

está depois da curva.

DLparaA

DL ≤−= minmin

• Qual deve ser o comprimento mínimo da parábola a ser utilizada para a concordância de dois trechos retos de respectivamente 6,000% e 1,000%, supondo uma estrada com velocidade diretriz de 80km/h e elevado padrão

%/6,33min mK =8,9.

5,1.1296

min ==a

AKL .minmin = 000,1000,6.6,33min −=L 168,0mmin =L

Critério do mínimo valor absoluto

Critério de conforto

80.6,0.6,0min == VL mL 0,48min =

Distância de visibilidade de parada

)(.255.7,0

)00,030,0(.255

8080.7,0

mmD 00,14066,139 ≈=

O que NÃO comprova e portanto não pode ser usado

Visibilidade para curvas convexas: DLparaDA

L ≥= min

min 412

00,140.16 2

−=L ,86m372min =L

DL ≥minO que comprova

Visibilidade para curvas convexas: DLparaA

DL ≤−= minmin

41200,140.2min −

−=L 197,60mmin =L

DL ≤min

Assim, tem-se:

mL 0,48min =

168,0mmin =L

,86m372min =L

Então: 240,00m7,86m32min ≈=L

• Critério da distância de visibilidade (Curvas Côncavas)

• Na curvas côncavas, durante o dia não há limitação.

• Durante a noite, fica limitada à área iluminada pelos faróis.

• Critério da distância de visibilidade (Curvas Côncavas)

• Duas situações podem ocorrer:– Os faróis do veículo e o ponto mais distante iluminado

estão dentro da curva– Os faróis do veículo que está fora da curva iluminam o

ponto mais distante após a curva

• Critério da distância de visibilidade (Curvas Côncavas)• Os faróis do veículo e o ponto mais distante iluminado estão

dentro da curva

DLparaD

DAL ≥

+= min

min .5,3122

• Critério da distância de visibilidade (Curvas Côncavas)• Os faróis do veículo que está fora da curva iluminam o ponto

mais distante após a curva

DLparaA

DDL ≤+−= minmin

.5,3122.2

%/6,33min mK =8,9.

5,1.1296

min ==a

80.6,0.6,0min == VL mL 0,48min =

)(.255.7,0

)00,030,0(.255

8080.7,0

mmD 00,14066,139 ≈=

Visibilidade para curvas côncavas:

00,140.5,3122

00,140.61 2

min +−

=L 160,13mmin =L

Visibilidade para curvas côncavas :

157,60mmin =L

DL ≤min

DLparaD

DAL ≥

+= min

min .5,3122

00,140.5,312200,140.2min −

+−=L

DLparaA

DDL ≤+−= minmin

.5,3122.2

Assim, tem-se:

mL 0,48min =

168,0mmin =L

160,13mmin =L

Então: 168,00mmin =L

• Outra forma de calcular: indo para o mínimo da tabela, ou seja pela velocidade média de percurso que é inferior à velocidade diretriz (70km/h).

)(.255.7,0

)00,031,0(.255

7070.7,0

mmD 00,11098,110 ≈=

%/72,25min mK =8,9.

5,1.1296

min ==a

VL .6,0min = mL 0,42min =

00,110.5,3122

00,110.61 2

min +−

=L 119,32mmin =L

118,60mmin =L

DL ≤min

DLparaD

DAL ≥

+= min

min .5,3122

00,110.5,312200,110.2min −

+−=L

DLparaA

DDL ≤+−= minmin

.5,3122.2

Assim, tem-se:

mL 0,42min =

128,6mmin =L

119,33mmin =L

Então: 128,60mmin =L

Cálculo da flecha ou ordenada máxima

• O caso mais comum é utilizada a parábola simples.

• As ordenadas no PCV e PTV são nulas.

• A máxima ordenada se encontra no PIV.

IDomáx =

STID .2

STomáx =

HSHTST .2

10012 −=−= ( )

1 12 iiLST

IDomáx =

STomáx =

( )100

1 12 iiLST

ALomáx =

Onde: - flecha máxima da parábola (m)- diferença algébrica entre as declividades (%)- comprimento da concordância (m)L

Cálculo das ordenadas

• Tendo sido calculada a flecha máxima, calculam-se as ordenadas nos demais pontos pela fórmula já vista:

2. jbj dCo =

2. bbmáx LCo =

jmáxj L

Onde: - ordenada de um ponto qualquer da parábola (m)- flecha máxima da parábola- distância do ponto qualquer ao ponto de tangência do ramo (m)- comprimento do ramo da parábola (m)bL

jdmáxo

Cálculo do greide

• O procedimento mais simples para o cálculo do greide consiste em:– Determinação das cotas dos trechos retos– Cálculo das ordenadas das parábolas– Calcular por soma ou subtração dos trechos retos das

ordenadas das parábolas nos trechos de curva vertical– Planilhar os valores

A poligonal a seguir é o eixo projetado de uma rodovia que foi desenvolvida em relevo ondulado, na classe II do DNIT, considerando veículo tipo CO e largura de faixa igual a 3,50m.

Exemplo de cálculo do greide

• Velocidade diretriz

hkmV /70=

Classe da Rodovia

Região

Plana Ondulada Montanhosa

0 120 100 80

I 100 80 60

II 100 70 50

III 80 60 40

IV 60-80 40-60 30-40

• Comprimento mínimo da curva vertical

mL 0,340)00,00()00,017(1 =+−+=

%000,5000,4000,11 −=−−=A

%/0,685

LK ===

1min1 .100 K=ρ

m00,800.668.100min1 ==ρ

• Raio no PCV1 e PTV1

mPCV 6801,02

68.100

)01,0(1 2

−+=ρ

( )mPTV 6816,33

68.100

)04,0(1 2

• Raio no PCV2 e PTV2

mPCV 6816,33

68.100

)04,0(1 2

−+=ρ

( )mPTV 6801,02

68.100

)01,0(1 2

• Critério do mínimo valor absoluto (para curva 1 e 2)

mL 0,42min =

VL .6,0min =

70.6,0min =L

• Critério de conforto ou máxima aceleração centrifuga admissível.

%/25,72min mK =

8,9.100

5,1.1296

min ==a

AKL .minmin =

000,4000,1.72,25min1 −−=L

,6m281min1 =L

amáx = 1,5% da aceleração da gravidade para rodovias de elevado padrão;amáx = 5,0% da aceleração da gravidade para rodovias de padrão reduzido.

AKL .minmin =

000,1000,4.72,25min2 −=L

,16m77min2 =L

• Critério de conforto ou máxima aceleração centrifuga admissível.

%/25,7min mK =

• Critério da distância de visibilidade de parada

)(.255.7,0

)00,031,0(.255

7070.7,0

mmD 00,11099,110 ≈=

Lembre-se: considera-se para o DNIT inclinação = 0, ou seja, está no plano

00,110.5,3122

00,110.41 2

min1 +−−

=L 119,33mmin1 =L

118,60mmin1 =L

DL ≤min

DLparaD

DAL ≥

+= min

min .5,3122

00,110.5,312200,110.2min1 −−

+−=L

DLparaA

DDL ≤+−= minmin

.5,3122.2

A curva 1 é côncava.

O que comprova

Visibilidade para curvas convexas: DLparaDA

L ≥= min

min 412

00,110.14 2

−=L m11,88min =L

DL ≥min

Visibilidade para curvas convexas: DLparaA

DL ≤−= minmin

41200,110.2min −

−=L ,67m28min =L

DL ≤min

A curva 2 é convexa.

Assim, tem-se:

Então:

130,00m128,60mmin1 ≈=L

,16m77min2 =L,6m281min1 =L

mL 0,42min = mL 0,42min =

119,33mmin1 =L ,67m28min2 =L

90,00m,67m28min2 ≈=L

Preferencialmente (arredondar para 20,0m):

m,L 00140min1 = m,L 00100min2 =

= 140,00m

= 70,00m = 70,00m

Curva 1.

aLPIVPCV −= 11

70)020.7(1 −+=PCV

mPCV 00,701 =

00,1031 +=PCV

= 140,00m

= 70,00m = 70,00m

Curva 1.

bLPIVPTV += 11

70)020.7(1 ++=PTV

mPTV 00,2101 =

00,10101 +=PTV

= 100,00m

= 50,00m = 50,00m

Curva 2.

aLPIVPCV −= 22

50)020.17(2 −+=PCV

mPCV 00,2902 =

00,10142 +=PCV

= 100,00m

= 50,00m = 50,00m

Curva 2.

bLPIVPTV += 22

50)020.17(2 ++=PTV

mPTV 00,3902 =

00,10192 +=PTV

ALomáx =

• Flecha máxima.

−−=máxo

mo máx 88,01 =

−=máxo

mo máx 38,02 =

• Cotas da curva vertical• Calcula-se as cotas dos trechos retos.• Curva côncava (curva 1) somam-se as ordenadas às cotas

do trecho reto.• Curva convexa (curva 2) subtraem-se as ordenadas às

cotas do trecho reto.

jmáxj L

• Cotas da curva vertical

= 140,00m

= 70,00m= 70,00m

00,10101 +=PTV

00,1031 +=PCV

0)020.7(

1011 −+

−= PIVy

00,1 1 −=− PIVy

myPIV 60,81 =

)020.7()020.17(

6,822 +−+

−= PIVy

4 2 −= PIVy

myPIV 60,162 =

= 140,00m

= 70,00m= 70,00m

00,10101 +=PTV

00,1031 +=PCV

)020.17()81,1820.23(

6,163 +−+

−= PFy

81,138

00,1 −= PFy

myPF 99,17=

Para estaca 9 + 0,00

Para estaca 6 + 0,00

0,09 70

)0,0)20.9(()0,10)20.10((.88,0

+−+=+o

jmáxj L

= 140,00m

= 70,00m= 70,00m

00,10101 +=PTV

00,1031 +=PCV

0,16m0,09 =+o

0,06 70

)0,10)20.3(()0,0)20.6((.88,0

+−+=+o

0,45m0,06 =+o

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