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Estrutura de Dados e Algoritmos e Programação e Computadores II
Aula 7: Árvores
Árvores Conceitos e terminologia Árvores binárias Árvores-B Inclusão e Exclusão Introdução aos grafos
Árvores As listas ligadas usualmente fornecem
maior flexibilidade do que as matrizes, mas são estruturas lineares e é difícil usá-las para organizar uma representação hierárquica de objectos.
Pilhas e Filas limitam-se a somente uma dimensão.
A árvore consiste de nós e arcos, que ao inverso das árvores naturais são representadas de cima para baixo, com a raiz no topo e as folhas na base.
Árvores A raiz é um nó que não possui ancestrais;
ele só possui nós filhos. As folhas não possuem nós filhos, ou seus
filhos são estruturas vazias. Exemplo:
Árvores Mais exemplos:
Árvores Cada nó tem que ser atingível a partir da
raiz através de uma sequência única de arcos, chamada de caminho.
O número de arco de um caminho é chamado de comprimento do caminho.
O nível de um nó é o comprimento do caminho da raiz ao nó mais 1, que é o número de nós no caminho.
A altura de uma árvore não vazia é o nível máximo de um nó na árvore.
Árvores O número de filhos
permitido por nó e as informações armazenadas em cada nó diferenciam os diversos tipos de árvores existentes.
Exemplo: na árvore da expressão (3+6)*(4-1)+5 os nós folhas possuem valores e os nós intermediários possuem operações
Árvores O número de filhos de um nó é chamado grau
de saída desse nó. Um nó folha é aquele com grau de saída nulo,
ou também nó terminal. Um nó que não é folha (isto é, possui grau de
saída diferente de zero) é chamado nó interior ou nó interno, ou também nó não-terminal.
O grau de uma árvore é o máximo entre os graus de seus nós.
Uma floresta é um conjunto de zero ou mais árvores.
Percurso em Árvores O percurso em árvores é o processo de
visitar cada nó da árvore exactamente uma vez.
O percurso pode ser interpretado como colocar todos os nós em uma linha.
Mas qual a ordem? Existem n! percursos diferentes, quase
todos caóticos. Os básicos são percurso em profundidade e
percurso em extensão (largura).
Percurso em Árvores Um percurso em extensão é visitar cada nó
começando do menor nível e move-se para os níveis mais altos nível após nível, visitando cada nó da esquerda para a direita.
Sua implementação é directa quando uma fila é utilizada.
Depois que um nó é visitado, seus filhos, se houver algum, são colocados no final da fila e o nó no início da fila é visitado.
Assim, os nós do nível n+1 serão visitados somente depois de ter visitados todos os nós do nível n.
Percurso em Árvores Breadth - First Search (BFS)
13
10 25
20 31
29
2 12
Fila: 13
Fila: 10, 25
Fila: 25, 2, 12
Fila: 2, 12, 20, 31
Fila: 12, 20, 31
Fila: 20, 31
Fila: 31
Fila: 29
Percurso: 13, 10, 25, 2, 12, 20, 31, 29
Percurso em Árvores O percurso em profundidade prossegue
tanto quanto possível à esquerda (ou direita), então se move para trás até a primeira encruzilhada, vai um passo para a direita (ou esquerda) e novamente, tanto quanto possível, para a esquerda (ou direita).
Repete-se este processo até que todos os nós sejam visitados.
Percurso em Árvores Depth - First Search (DFS)
13
10 25
20 31
29
2 12
V – Visitar um nóL – Percorrer à esquerdaR – Percorrer à direita
VLR VRLLVR RVLLRV RLV
Percurso em Árvores
a b
c d
V h
e
i
f g
e
V
a b
c
d i
f g h
j k
j
k
l
m
Árvores Binárias Uma árvore binária é uma árvore cujos nós
têm 2 filhos (possivelmente vazios) e cada filho é designado como filho à esquerda ou filho à direita.
O número de folhas é uma importante característica das árvores binárias para mensurar uma eficiência esperada de algoritmos.
Uma árvore binária é conhecida como completa se todos os nós em todos os níveis, excepto o último, tiverem 2 filhos.
Árvores Binárias Assim haveria, 20 = 1 nós no nível 1, 21 = 2
nós no nível 2, 22 = 4 nós no nível 3 e, na forma geral, 2i nós no nível i+1.
Para todas as árvores binárias não-vazias cujos nós terminais tenham exactamente 2 filhos não-vazios, o número de folhas m será o número de nós não-terminais k mais 1. (m = k + 1)
Se uma árvore tem somente uma raiz, essa observação é trivialmente válida.
Árvores Binárias Se ela for válida para uma certa árvore,
então, depois de anexar 2 folhas a uma das folhas já existentes, essa folha se torna um nó não-terminal (m é subtraído de 1 e k é adicionado de 1).
No entanto, 2 novas folhas são enxertadas na árvore (m é adicionado de 2).
Árvores Binárias
k nós não-terminais k+1 nós não-terminais
m folhas m+1 folhas
Árvores Binárias de Busca Para cada nó da árvore, todos os valores
armazenados em sua sub-árvore à esquerda são menores que o valor armazenado no próprio nó, e todos os valores armazenados na sub-árvore à direita são maiores que o próprio nó.
K
A P
N R
13
10 25
20 31
29
2 12
Árvores Binárias de Busca Um algoritmo para localizar um elemento
nessa árvore é bastante directo. Para cada nó, compare a chave com o valor
armazenado no nó correntemente apontado. Se for menor, vá para a sub-árvore à
esquerda. Se for maior, vá para a sub-árvore à direita. Se for a mesma, a busca chegou ao fim. Se não houver como continuar, a chave não
está na árvore.
Percurso em Árvores Binárias
void BreadthFirst() { Queue q; Node *p = root; if (p != 0) { q.enqueue(p); while (!q.empty()){ p = q.dequeue(); visit(p); if (p->left != 0) q.enqueue(p->left); if (p->right != 0) q.enqueue(p->right); } } }
Percurso em Árvores Binárias
void inorder(Node *p) { if (p != 0) { inorder(p->left); visit(p); inorder(p->right); } }
void preorder(Node *p) { if (p != 0) { visit(p); preorder(p->left); preorder(p->right); } }
void postorder(Node *p) { if (p != 0) { postorder(p->left); postorder(p->right); visit(p); } }
Árvores Binárias de Busca Como será a inserção em uma árvore
binária de busca? E como será a remoção em uma árvore
binária de busca? No nó folha? No nó raiz? No nó intermediário?