Post on 22-Apr-2015
Estrutura e Dinâmica Populacional
Ni = N0 +
(B - D). N0 + I- E
Um dos objetivos centrais da ecologia – entendimento dos padrões de distribuição e abundância dos organismos.
Modelos demográficos mais complexos podem ser descritos por uma PG.
Modelos demográficos mais complexos podem ser descritos por uma PG.Cyanistes caeruleusMortalidade anual constante: 60%sobrevivência de 40%
Modelos demográficos mais complexos podem ser descritos por uma PG.Cyanistes caeruleusMortalidade anual constante: 60%-sobrevivência de 40%Razão sexual 1:1Reprodução a partir do primeiro anoCada fêmea produz 7 filhotes
Modelos demográficos mais complexos podem ser descritos por uma PG.Cyanistes caeruleusMortalidade anual constante: 60%-sobrevivência de 40%Razão sexual 1:1Reprodução a partir do primeiro anoCada fêmea produz 7 filhotesMetade dos filhotes sobrevive
População: an, n° fêmeas é an/2 (razão 1:1)Taxa de natalidade per cápita:
7x n°fêmeas/total população: (7 x an/2)/an= 3,5
(7xan/2)/an= 3,5 (per cápita)
Recrutamento: nº de filhotes que atinge idade adulta (metade dos filhotes
sobrevive)3.5 x 0.5= 1,75 (per cápita)
(7xan/2)/an= 3,5 (per cápita)
Recrutamento: nº de filhotes que atinge idade adulta (metade dos filhotes sobrevive)
3.5 x 0.5= 1,75 (per cápita)
Modelo iterativo:
an+1=an + recrutamento – mortalidade adultos
an+1=an + 1,75an - 0,6an
an+1=an (1+ 1,75- 0,6)an+1=2,1an
Supondo um ano com uma população inicial de a0= 8 indivíduos:
a1=2,15a0
= 17,2
Supondo um ano com uma população inicial de a0= 8 indivíduos:
a1=2,15a0
= 17,2Pode ser feito para um segundo ano
a2= 2,15a1= 2,15(2,15a0) = 2,152a0
Supondo um ano com uma população inicial de a0= 8 indivíduos:
a1=2,15a0
= 17,2Pode ser feito para um segundo ano
a2= 2,15a1= 2,15(2,15a0) = 2,152a0
Anos 3 e 4: 2,153a0 e 2,154a0
Modelo iterativo e geral:an+1= man
an= mna0
Modelo de crescimento:
Pt+1=Pt + recrutamento – mortalidade adultos
Pt+1=Pt + bPt - dPt
Pt+1=Pt (1+ b- d), b - d = r – crescimento intrínseco
Pt+1=Pt (1+ r)
Se a taxa de crescimento é 0
Pt+1= Pt (1+ 0)= Pt
Acontece se mortalidade e recrutamento se equilibram
Se r >0 a população está crescendo
R =0,1 população cresce 10% ao ano.
Valor mínimo de r é -1, acontece se nenhum adulto sobrevive (d=1) e o recrutamento é 0.
Vamos tornar o modelo mais realista, a taxa de crescimento decresce com o tamanho populacional. No tamanho populacional pequeno, = rmax, em k , r=0
Modelo simples: decréscimo linear do crescimento em função do tamanho populacional
Pt
k
rmax r=rmax+ Ptc
c=∆y/∆xc=rmax/kr=rmax+ rmax.Pt/k
Modelo simples: decréscimo linear do crescimento em função do tamanho populacional
Se Pt é bem pequeno r = rmaxSe Pt é igual a K, r=0, C=1/K
0=rmax(1- K*C), somente se K*C=1
Vamos colocar a função do crescimento na formula do tamanho populacional
Modelo discreto logistico
rmax - crescimento de populações bem pequenas.O que acontece com Pt=0, Pt>K, Pt=k?
Até agora intervalo de crescimento – discreto
Investigando a variação de maneira contínua
Equações a diferenças – descrevem o “salto” da população de um estado t para t+1
f(at1) = a
t1 – a
t0
Crescimento irrestrito
Pt+1
=Pt (1+ r) => P
t+1=P
t + P
tr => P
tr = P
t+1- P
t
Logístico
Pt+1
- Pt = r
max(1-P
t-/k) P
t
Introduziremos o uso da análise da dinâmica populacional
Taxa de mudança médiaTaxa de mudança instantâneaMáximos e mínimos e estabilidade local de equações
Análise de aumento de biomassa de uma planta, 3 anos de observações – 12 observações.
60kg no final, sem crescimento nos invernos, nenhuma planta perdeu massa.
Veja diferentes formas de analisar o mesmo crescimento:
Função contínua:
Domínio contínuo, Se x
1 e x
2 são próximos, f(x
1) e f(x
2) também tem
de ser próximos.
A massa de uma planta em função do tempo é contínua, porém a medição é feita em intervalos de tempo, o que leva a medidas de taxas médias
de crescimento.
Formalmente a taxa média de variação entre dois pontos x
1 e x
2 numa função contínua é definida
por:
A letra Δ denota variaçãoSupondo que a nossa planta cresceu da massa 10
para a 30 entre os meses 12 e 24, qual a taxa média de crescimento?
Uma linha chamada “secante” une dois pontos de uma curva, e a taxa de crescimento, neste caso poderia
expressar a inclinação da secante entre os dois pontos
A secante h(x) e a curva de crescimento f(x) se encontram nos pontos onde h(x)=f(x)
Neste caso em f(x1) = h(x
1) e f(x
2)= h(x
2).
h(x) = mx+c
f(x1)= mx
1 +c
f(x2)= mx
2 +c
Subtraindo uma da outra:f(x
2) - f(x
1)= m(x
2 – x
1)
A taxa de variação média entre dois pontos de uma função é a inclinação da secante entre os
pontos
Taxas médias - entre valores arbitrários.
Planta cresceu 60kg em 3 anos, não me diz sobre variações na velocidade de crescimento em
períodos particulares.
O que descreve a variação no tempo é a taxa de crescimento instantânea da função contínua
Para encontrar a taxa instantânea, imagine um ponto fixo na curva (x
1 , f(x
1)) e um ponto que
você pode mover (x , f(x)).
A secante entre estes pontos pode ser calculada pela equação já descrita.
Se mover x até que esteja extremamente próximo de x
1 , quase idêntico, a secante será chamada de
tangente, pois toca praticamente em um único ponto.
A inclinação da tangente num dado ponto é a taxa de variação instantânea daquele ponto
Matematicamente encontramos a tangente no ponto usando a notação dos limites
A derivada de uma função
A taxa de variação instantânea é definida por:
Uma nova função chada de derivada será denotada f'(x) e definida por
Todas estas notações são válidas:
Entendendo a dinâmica a partir da variação – equações diferenciais
• Crescimento populacional• dN/dt • Proporcional ao tamanho incial• dN/dt = rN• Antiderivada – qual a função cuja derivada é
rN?• Integração- permite que conheçamos o
tamanho populacional em qualquer tempo - previsão
Integração – resolução da equação diferencial
• dN(t)/dt = rN(t)• Solução = N0ert (Malthus)
• Crescimento exponencial irrestrito.
Como montar um modelo?Taylor: aproximação de funções
por polinômios• dN(t)/dt = a+bN+cN2+..
• Crescimento com restrição, usaremos o termo de segunda ordem (vamos desconsiderar o “a”)
• dN(t)/dt = bN+cN2
• Termo quadrático “c” = - b/K, chamaremos b de “r”
• dN(t)/dt = rN-rN2/k =>rN(1-N/k)
dN(t)/dt = rN(1-N/k)
• Velhurst – solução: equação logística.
• N(t)= KN0ert/(K+N0(ert-1))
SOBRE-EXPLORAÇÃO DE POPULAÇÕES NATURAIS:EXTRATIVISMO, PESCA, CAÇA.
•A TRAGÉDIA DOS COMUNS (GARRETT HARDIN 1968)
Quando um RECURSO NATURAL É DE LIVRE ACESSO E NÃO HÁ CONTROLE SOCIAL sobre sua exploração...
não há estímulo para manter a EXPLORAÇÃO num NÍVEL ECONÔMICO ÓTIMO no LONGO PRAZO.
...
EXPLORAÇÃO “ECONOMICAMENTE SUSTENTÁVEL” DAS POPULAÇÕES NATURAIS, VIA DE REGRA, NÃO É COMPATÍVEL COM A “SUSTENTABILIDADE POPULACIONAL”
CONSEQÜÊNCIAS: PERDAS ECOLÓGICAS ANTECEDEM AS PERDAS ECONÔMICAS
Exemplos: História da sobre-exploração das baleias de barbatana
ABAIXO DE CERTO NÍVEL DE EXPLORAÇÃO...AS POPULAÇÕES SÃO RESILIENTES
Exemplo: teoria da curva sigmóide (50% da capacidade de suporte).
A teoria contribui para prática sustentável.
ABAIXO DE CERTO NÍVEL DE EXPLORAÇÃO...AS POPULAÇÕES SÃO RESILIENTES
Exemplo: teoria da curva sigmóide (50% da capacidade de suporte)
A teoria contribui para prática sustentável.
Complicações com os modelos teóricos
....Salmões do pacífico e Bagres da bacia Amazônica.exploração máxima de populações de adultos...
subpopulações nos tributários começam a “secar” muito antes de se perceber efeitos (ecológicos) na
população total explorada.
Baleia Fin: curva de estoque versus recrutamentomelhor explorar ao redor de 80% da capacidade de suporte
acima desse limite o recrutamento líquido decresce.
Complicações com o modelo: a população da baleia fin que se alimenta na Antártida resulta de várias sub-populações .