Estruturas Sob Efeitos Dinâmicos

8/15/2019 Estruturas Sob Efeitos Dinâmicos

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“Estruturas sob Efeitos

Dinâmicos”

Junho 2016

Eng . Sérg io E. Sto lo vas

Sistemas Estruturais em Concreto - CWB

1Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais

Descrição fenomenológica dos principais Efeitos Dinâmicos

que interessam à Engenharia de Estruturas

Fonte (agente) de perturbação Transmissor (es)

da Vibração=Estrutura Receptor

Fontelocal

Equipamento (mecânico) Estrutura: – elementos estruturais

– elementos não estruturais

- Estruturae/ou

-Conteúdo do

edifício(elementos não

estruturais,moveis,

equipamento,etc.)

-PESSOAS

Atividade de sereshumanos

Fonte externa Veículos transitando naRua

-Estrutura externae/ou

-SOLOe/ou

– elementos estruturaise/ou

Ferrovias

Metrô

Equipamento para obrascivis

Sísmicos –Explosões SOLO – Água – SOLO, etc

Vento – Booms Sônicos -

Descrição fenomenológica dos principais efeitos dinâmicos

Fonte (agente) de perturbação Transmissor (es)da Vibração=Estrutura

Receptor

Fontelocal

- Estruturae/ou

-Conteúdo do

edifício(elementos nãoestruturais,

moveis,equipamento,

etc.)-PESSOAS

-SOLOe/ou

Ferrovias

Metrô

Descrição fenomenológica dos principais efeitos dinâmicos

Fonte (agente) de perturbação Transmissor (es)da Vibração=Estrutura

Receptor

Fontelocal

e/ou – elementos não estruturais

- Estruturae/ou

-Conteúdo do

edifício(elementos nãoestruturais,

moveis,equipamento,

etc.)-PESSOAS

-SOLOe/ou

Ferrovias

Metrô

Ação Estrutura Resposta

Assumidosgeralmente

comoProcessos determinísticos

Nãodeterminísticos

“Processos

Aleatórios”

O INPUT:

Históriada

Excitação

F=F(t)

O RESULTADO:

Histórias de DeslocamentosVelocidadesAcelerações MomentosCortantes,

(de acordo aoque tenha que

ser avaliado oudimensionado)

Descrição dos elementos com os quais mexe a Dinâmica

de Estruturas

Ação Estrutura RespostaIdealizaçãomediantemodelos

matemáticospreferentemente

Discretos e comComportamento

Linear

Fonte(agente)

de perturbação Transmissor (es)

da Vibração Receptor

da Vibração

Oresultado

daanálise

O que afetará ao receptor (o receptor pode ser ou não um

elemento da Estrutura)

* Forças variáveisatuando sobre aestrutura, como

resultado da ação dasfontes

Em geral “Historia

de Forças” com

definição:Determinista ou

Aleatória5Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais

AçãoDinâmica

Estrutura Resposta

E, I , massas e amortecimento

da Viga

Jack Dinâmico

E, Ida Viga

João Estático

Históriada ação

Histórias de Deslocamentos

Velocidades

Acelerações MomentosCortantes

Ação

Estática

Estrutura Resposta

Peso: P

João Dinâmico

Deslocamentos

Momentos

Cortantes

Diferencia entre Análise Estático e Dinâmico

http://slidepdf.com/reader/full/estruturas-sob-efeitos-dinamicos 7/1887Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais

Por exemplo:

O vento exerce forçasessencialmente horizontais sobre

os edifícios.

Essas Histórias de Forças são muitocomplexas.

Para edifícios altos os efeitos dovento na estrutura serão função nãosomente da História de Forças, mas

também dos atributos dinâmicos(inerciais e modais) da estrutura.

Diferencia entre Análise Estático e Dinâmico

Revisão de conceitos básicos deestruturas submetidas a forças estáticas:

Energia, Deformação, Rigidez.

Trabalho realizado pelas forças aplicadas a uma estruturaelástica

Considerando um processo quase estático no quala força é incrementada de 0 até F, o trabalho

realizado pela força aplicada é:

Energia Elástica armazenada

Assumindo:- Processos quase estáticos

- Hipóteses de Euler-Bernoulli (seçõesplanas permanecem planas).

E desconsiderando a deformada por

cortante, a Energia Elástica dU armazenada em uma fatia de viga (onde

o Momento é M) será:

Energia Elástica armazenada Trabalho realizado pelas for

Teorema de Clapeyron “O trabalhodas forças externas sobre uma estrutura

lineal é igual à Energia Elásticaarmazenada” :

Teorema II de Castigliano “ A derivadaparcial da Energia Elástica armazenada

respeito de uma força é igual aodeslocamento onde a força é aplicada na

direção da força”

Energia Elástica Armazenada

Para qualquer trecho de viga (pilar) de comprimento ∆ no qual o momento mudalinearmente entre e :

A Energia Elástica armazenada será:

Em particular:

Rigidez (k) e Flexibilidade (a) de estruturas de 1 grau deliberdade

= ℎ3

Rigidez é a força queprovoca um

deslocamento unitário

Flexibilidade é odeslocamento

provocado por uma

força unitária

Rigidez (k) e Flexibilidade (a) de estruturas de 1 grau deliberdade

= ℎ6 = (ℎ2 )ℎ

6 = ℎ24

Castigliano:

= = ℎ12

Estruturas de 1 grau de liberdade são

aquelas nas quais é necessário 1 número real

(1 coordenada) para determinar

completamente a configuração de deformação

e todos os parâmetros relevante.

Graus de liberdade é um termo genérico utilizado em referência àquantidade mínima de números reais necessários para determinar

completamente a configuração de uma estrutura

Estática de Estruturas de 1 grau de liberdade

Considerando um processo quase estático no quala força é incrementada de 0 até F, o trabalho

realizado pela força aplicada é:

Até agora falamos de estruturas submetidas a cargas estáticas-MEMO:

AçãoEstática

Resposta

Consideramos um processoquase estático no qual a

força é incrementada de 0 atéF

Estrutura

ExcitaçãoEstática

Estrutura Resposta

ESTRUTURASDE UM GRAU DE

LIBERDADESUBMETIDAS ACARGA

ESTÁTICACUMPREM

F = k u

F u=F/k

Rigidez das Estruturas lineares de um grau de liberdade

k= Rigidez

estática amassa éirrelevante

Começaremos por estudar a Dinâmica de:

Estruturasde 1 grau de liberdade

Começaremos por estudar a Dinâmica de

Estruturas de 1 grau de liberdade

Uma estrutura quefoi tirada da

posição de

equilíbrio semovimenta mesmo

se não estiver

submetida a

excitação ...

Sir Isaac Newton Jean Le Rond d’Alembert

1643-1727 1717-1783

Segunda Lei de Newton

C it t ó i (1)

Conceitos teóricos (1)

C it t ó i (2)

C it t ó i (3)

C it t ó i (3 )

Conceitos teóricos (3a)

Princípio de D’Alambert :

A solução geral será soma da solução da equaçãodiferencial homogênea e de uma solução particular:

Espaço Real Espaço Complexo

Excitação Estrutura Resposta

Oscilações livres de um sistema de um grau de liberdade

ZERADA

FreqüênciaNatural Angular[Rad/s]

FreqüênciaNatural[Hz=1/s]

PeríodoNatural

Freqüência angular natural , medida em Rad/s

Freqüência natural , medida em ciclos/s, ou seja (1/s)=Hz

Período natural , medido em s

Tn=1/fn

freqüência natural (ou própria) de

vibração é a freqüência à qual umaestrutura SDOF “gosta” vibrar

quando não está submetida a

excitações 37Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais

E t t d d lib d d

Estruturas de um grau de liberdade

De k ; m

[ k ] = N/m

[m] = kg 38Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais

u e s t

O movimento harmônico é a projeçãonuma reta do movimento circular

uniforme cuja velocidade angular é igual

à freqüência angular:w

Tn=1/fn

Mas por que teria que ser senoidal (cosenoidal), e não qualquer outra“coisa periódica”!!!?

Já que a “história harmônica” é a

que permite que a energia total do“sistema mola-massa” seja a

mesma para cada instante datrajetória !!!

O movimento harmônicoé resultado da ausência

de agentes nãoconservativos (forças)

que alterem a energia dosistema.

Estrutura de um grau de liberdade; massa m e arigidez é k

o deslocamento é d st = F0/k

A rigidez é k já que quando é aplicada uma forçaestática F0

o deslocamento estático continua sendo

d st = F0/k

Mesmo quando se muda a massa

A particularidade desta estrutura é que quando se aplica uma força

igual ao peso ( F0=mg ) , o deslocamento será d st = 1cm

Qual é a frequência natural????

Quando se aplicam uma força igual ao peso

F0=mg , o deslocamento é d st = 1cm

Qual é a frequência natural????

Quando me aplicam uma força igual ao meu pesoF0=mg , meu deslocamento resulta d st = 1cm

Qual é minha freqüência natural????

em metros

Se soubermos quantodesloca a estrutura deum grau de liberdadesubmetida ao peso

aplicado na direção dograu de liberdadepodemos saber afrequência natural

Excitação Estrutura RespostaZERADA

Sistemas que não são submetidos a excitações nem possuem mecanismos dedissipação de energia conservam a energia e continuariam oscilando com um

mesmo nível energético para sempre!!!

Todo sistema real temmecanismos de desperdiço deenergia que são idealizados

geralmente medianteamortecedores viscosos

Conceitos teóricos (6)Equação da oscilação livre amortecida partindo de velocidade zero

Conceitos teóricos (6a)

Conceitos teóricos (6a)Equação da oscilação livre amortecida partindo de velocidade zero

Conceitos teóricos (6b)

Conceitos teóricos (6b)Equação da oscilação livre amortecida partindo de velocidade zero

Conceitos

Conceitosteóricos

(6c)Equação da oscilação

livre amortecida partindode velocidade zero

ZERADA

Amortecimento

Conceitos teóricos (7) Equação da oscilação livre amortecida partindo de velocidade inicial

Conceitos teóricos (7) Equação da oscilação livre amortecida partindo de um impulso

Conceitos teóricos (7) Somar Impulsos (Método de Green)

Integral de Duhamel

Estática

Na Estática setemos F edesejamos

averiguar M, nãoprecisamos

calculard:

M=FhSe o dado for

(não F) e seconhecemos

EI,h podemoscalcular M

semnecessidadede calcular F

No instante t os esforçosinternos dependem da

Estática

Dinâmica mm

Na dinâmicaos esforços

internosdevem ser

analisados a

partir dadeformação

no instante t .

Esforçosinternos

dependem dahistória deforças e nãoda força noinstante t

pdeformação no instante t

Dinâmica

mmNão interessausar a força F

real no instanteem questão já

que odeslocamento éconsequênciada História F(t)e não da forçainstantânea.

No instante t os esforçosinternos dependem da

deformação no instante t

Na Dinâmica Estrutural os esforços internos

Na Dinâmica Estrutural os esforços internosdevem ser analisados sempre a partir da

deformação no instante t .

Esforços internos dependem da história de

forças e não da força no instante t.

Não temos equilíbrio de Forças!!!Porém,…

FORÇA ESTÁTICA EQUIVALENTE

Po rém, resu lta operac io nalmen te úti l u sar uma FORÇA FICTÍCIA

que atuando estat icamente geraria o deslocamento (t).

Chamamos a essa fo rça: FORÇA ESTÁTICA EQUIVALENTE F st,eq

F st,eq

M = F st,eq

Porém resu lta operac ionalmente úti l usar uma FORÇA

Porém, resu lta operac ionalmente úti l usar uma FORÇA

FICTÍCIA que atuando es tati camente gerar ia o

deslocamento (t).

Chamamos a essa fo rça: FORÇA ESTÁTICA

EQUIVALENTE F st,eq

F st,eq

M = F st,eq

= F(t) – m a

Memo Rig idez

Efeitos de Carregamentos

Harmônicos

(t ) =

Efeitos de Carregamento s Harmônico s (t ) =

= (t ) =

→ ∞

= /(−)+ (∅)

= ∅ = ξ r

deslocamento estático

Amplificação

Parte do tempo a 100% do tempo a Parte do tempo a

Harmônica SDOF Depende da

freqüência daexcitação

excitação se opõe aodeslocamento (freia a

resposta)

excitação tem adireção davelocidade

excitação se opõe aodeslocamento (freia a

resposta)

Harmônica com freq. f SDOF com freq.própria fn

Depende de f

MuitoImportante!:A freqüênciada resposta

noestacionário

coincide

sempre coma freqüênciada excitação

Para f >> fn a resposta estáatrasada uma fase de quase ½ciclo (180o =

Rad) respeito àforça.

Para f << fn a resposta noestacionário está quase em fase

com a força (um pouquinhoatrasada)

Para f ~ fn a resposta ficaatrasada uma fase de ¼ciclo (90o = P/2 Rad )

respeito à força.

Ao cabo de alguns ciclos o transienteapaga e a resposta será:

a) senoidal , b) com a freqüência daexcitação,

c) com amplitude dependente não

somente da amplitude P e da rigidez k,mas também do amortecimento e da

relação entre freqüências de excitação efreqüência própria da estrutura.

d) Com um atraso (fase f). 83Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais

c) com amplitude dependente não

somente da amplitude P e da rigidez k,mas também do amortecimento e da

relação entre freqüências de excitação efreqüência própria da estrutura.

d) Com um atraso (fase f). 84Sérgio Stolovas- STO Análise e Soluções Estruturais

Excitação Estrutura RespostaSDOF Estacionária

Em quase todos os

casos o interesse seráexclusivamente na

parte Estacionária daresposta

f fase

No estacionário a energia introduzida ao sistema pelotrabalho realizado pelas forças externas é igual à

energia dissipada pelo amortecimento. O resultado éum movimento harmónico (fora de fase com asforças) que simula uma oscilação livre não

amortecida

- r<<1 efeitoquase estático ou

- r~~1 efeito de sincronização com afreqüência natural ou ressonância

quase-estático ousub-sincronizado

- r>>1 efeitosuper-

sincronizado ouisolado

Em ressonância:

1) Quando temos uma excitação harmônica atuando sobre um sistema de um

grau de liberdade, a resposta estacionária será também harmônica, e semprecom a mesma freqüência da excitação, sempre retrasada e “amplificada ou

diminuída”.

2) A fase e a amplitude da resposta estacionária estarão influenciadas pelosparâmetros: a) amplitude da excitação, b) rigidez do sistema, c) fator de

amortecimento, d) razão entre a freqüência da excitação e a própria dosistema.

3) Em geral estamos interessados somente na resposta estacionária. Somentepara efeitos de impacto o interesse se centrará na resposta transiente.

4 ) A superposição de excitações coadjuvantes terá como resposta a soma dasrespostas resultantes das excitações individuais.

Qualquer excitação relevante poderá ser expressada (mediante a análise deFourier) como soma de excitações harmônicas . Devido a isso a

importância das mesmas.

Jean aptiste Joseph Fourier

ESSE É “O CARA”!!!

Toda função F(t) periódica de período T que cumpra Hipóteses de regularidade

poderá ser expressada da maneira

O que resulta equivalente a

É a média dafunção no

intervalo

É uma combinação linear de infinitas funções harmônicas defreqüências múltiplas da freqüência de F(t):

w 2w 3w 4w ....

O 1º termo não nulo se chamaH ô i F d t l ( 1)

Cn é o coeficiente de Fourier para a freqüência ” nw

T ”e representa a magnitude de F(t) nesse Harmônico

Harmônico Fundamental (n=1), e os

seguintes Harmônicos Superiores

A medida que se vão agregando progressivamente termos correspondentes aHarmônicos Superiores se consegue uma melhor aproximação da função F(t). Sendoque infinitos termos é muita coisa na prática se adota um número finito p de termos

(de 1 até p)

Exemplo:

Fenômeno deGibson nas

descontinuidades

Casos simplificados:

Função Periódica ParFunção Periódica Impar

Suma de COSENOSSuma de SENOS

Nestes casos resulta umacombinação linear de

Harmônicos com freqüência

múltipla dew

T, e em fase!!!

F(t) IMPAR

Sawtooth

SQUARE

A gráfica das amplitudes para cadafreqüência é o Espectro de

Freqüências cujo domínio são osmúltiplos da freqüência fundamental f 1

f : f 1

Em muitos casos a excitaçãoestará definida pela freqüência

diretrizw

T e pelos primeiroscoeficientes relevantes Cn

(amplitudes do espectro truncado)

Sinal no domínio do Sinal no domínio das

tempo =

História no tempo do Sinal

freqüências =

Espectro de freqüênciasdo Sinal

Espectro de freqüência de uma função periódica

mostra a decomposição da função nos seus componentes harmônicos

para as diferentes freqüências

Espectro de freqüência de

uma função periódica

E it ã E t t R t

Excitação Estrutura RespostaSDOF

b) Toda excitação periódica com história conhecida pode ser formulada graças a FOURIER como superposição de excitações harmônicas. Para obter a resposta ficaria somente

somar os efeitos dessas excitações harmônicas. Mais na frente veremos que a análise de

Fourier pode ser generalizado para excitações que não sejam necessariamenteperiódicas.

c) O Espectro de Freqüências de uma excitação basta para poder estimar a resposta, Para

chegar às histórias de resposta exatas deveríamos também conhecer as “fases” dosdiferentes harmônicos da excitação.

AGORA LOGO VEREMOS COMO MEXER COM SISTEMAS DE MAIS DE GRAU DE LIBERDADE

çEstática

ESTRUTURASDE UM GRAU DE

LIBERDADE

SUBMETIDAS ACARGA

ESTÁTICACUMPREM

F = k u

Fu=F/k

Rigidez das Estruturas lineares de um grau de liberdade

k= Rigidez

Emestática a

massa éirrelevante

Uma estrutura que

foi tirada da

posição de

equilíbrio semovimenta mesmo

se não estiver

submetida aexcitação ...

Sir Isaac Newton Jean Le Rond d’Alembert

1643-1727 1717-1783

Segunda Lei de Newton

Princípio de D’Alambert :

A solução geral será soma da solução da equação

diferencial homogênea e de uma solução particular:

Espaço Real Espaço Complexo

Oscilações livres de um sistema de um grau de liberdade

Freqüência

Natural Angular[Rad/s]

Freqüência

Natural[Hz=1/s]

PeríodoNatural

Freqüência angular natural , medida em Rad/s

Freqüência natural , medida em ciclos/s, ou seja (1/s)=Hz

Período natural , medido em s

Tn=1/fn

freqüência natural (ou própria) de

vibração é a freqüência à qual umaestrutura SDOF “gosta” vibrar

quando não está submetida a

excitações

Estruturas de um grau de liberdade

De k ; m

[ k ] = N/m

[m] = kg

O movimento harmônico é a projeção

u e s t

numa reta do movimento circularuniforme cuja velocidade angular é igual

à freqüência angular:w

Tn=1/fn

Mas por que teria que ser senoidal (cosenoidal), e não qualquer outra

“coisa periódica”!!!?

Já que a “história harmônica” é a

que permite que a energia total do“sistema mola-massa” seja a

mesma para cada instante da

trajetória !!!

O movimento harmônicoé resultado da ausência

é resultado da ausênciade agentes não

conservativos (forças)que alterem a energia dosistema.

Olá! Sou uma estrutura de um grau de liberdade.Tenho uma massa m e minha rigidez é k

meu deslocamento é d st = F0/k

Minha rigidez é k já que quando me aplicam umaforça estática F0

meu deslocamento estático continua sendo

d st = F0/k

Mesmo quando me mudam a massa

Minha particularidade é que quando me aplicam uma força igual ao

meu peso ( F0=mg ) , meu deslocamento resulta d st = 1cm

Quando me aplicam uma força igual ao meu peso

F0=mg , meu deslocamento resulta d st = 1cm

Quando me aplicam uma força igual ao meu peso

F0=mg , meu deslocamento resulta d st = 1cm

em metros

Se soubermos quantose desloca a estrutura

de um grau de

em metros

de um grau deliberdade submetidaao peso aplicado nadireção do grau deliberdade podemossaber a frequência

natural

Olá Estrutura!

em metros

“Dinâmica Estrutural Aplicada” TQS Eng. Sérg io Stol ov as

Sistemas que não são submetidos a excitações nem possuem mecanismos dedissipação de energia conservam a energia e continuariam oscilando com um

mesmo nível energético para sempre!!!

Todo sistema real temmecanismos de desperdiço deenergia que são idealizados

geralmente medianteamortecedores viscosos

“Dinâmica Estrutural Aplicada” TQS Eng. Sérg io Sto lo vas

VIDE :

“Dinâmica Estrutural Aplicada” TQS Eng. Sérgio Stolovas

Amortecimento

Conceitos teóricos (7) Equação da oscilação livre amortecida partindo de velocidade inicial

Integral de Duhamel

Estática Engenheiros:

Na Estática

se temos F edesejamosaveriguar M,

nãoprecisamos

calcular d

Esforçosinternos são

conseqüênciassempre dedeformações!!!

Zerodeformação

significa

Zero esforçointerno

Na Estática épossível usarequilíbrio e

muitas vezesesquecer das

deformações

Se o dado for d

(não F)

e seconhecemos

EI,h podemoscalcular M

semnecessidadede calcular F

Estática

Di â i

Engenheiros:

Esforços

No instante t os esforçosinternos dependem dadeformação no instante t

Dinâmica mm Esforçosinternos são

conseqüênciassempre dedeformações!!!

Zerodeformação

Zero esforçointerno

Em estática épossível usarequilíbrio e

muitas vezesesquecer das

deformações

Na dinâmicaos esforços

internosdevem ser

analisados apartir da

deformaçãono instante t .

Esforçosinternos

dependem da

história deforças e nãoda força noinstante t

Na Dinâmica Estrutural os esforços internosdevem ser analisados sempre a partir da

deformação no instante t .

Esforços internos dependem da história de

forças e não da força no instante t.

Não temos equilíbrio de Forças!!!

“Dinâmica Estrutural Aplicada” TQS Eng. Sérg io St ol ovas

Harmônica SDOF Depende dafreqüência da

excitação

Parte do tempo aexcitação se opõe ao

deslocamento (freia a

100% do tempo aexcitação tem a

direção da

Parte do tempo aexcitação se opõe ao

deslocamento (freia a

Harmônica SDOF Depende dafreqüência da

excitação

deslocamento (freia aresposta)

direção davelocidade

deslocamento (freia aresposta)

Harmônica com freq. f SDOF com freq.própria fn

Depende de f

Importante!:A freqüênciada resposta

noestacionáriocoincide

sempre coma freqüênciada excitação

Para f >> fn a resposta está

atrasada uma fase de quase ½ciclo (180o =

Rad) respeito àforça.

Para f << fn a resposta noestacionário está quase em fase

com a força (um pouquinhoatrasada)

Para f ~ fn a resposta ficaatrasada uma fase de ¼ciclo (90o = P/2 Rad )

respeito à força.

Excitação Estrutura Resposta1grau de liberdade (SDOF)

c) com amplitude dependente nãosomente da amplitude P e da rigidezk, mas também do amortecimento e

da relação entre freqüências deexcitação e freqüência própria da

estrutura.

d) Com um atraso (fasef

Em quase todos oscasos o interesse será

exclusivamente naparte Estacionária da

resposta

- r<<1 efeitoquase-estático ousub-sincronizado

- r~~1 efeito de sincronização com afreqüência natural ou ressonância

- r>>1 efeitosuper-

sincronizado ouisolado

Em ressonância:

Estacionária

Senoidal

Não apaga!!!

Transiente

Apaga!!!

Estacionária

Controle de resposta =diminuir amplitude de x(t)

Aumento a massa para aumentar r, dst fica na mesma

Diminuindo k aumentaria r, mas também dst

Quase- estático. Aumento k para diminuir dst. Diminui r,mas a contribuição não é muito relevante.

Incrementar k também é boa!!!

Estacionária

Para casos habituais na engenharia civil

Amortecimentos são bem menores que 0,25.

Estacionária

Senoidal

Não apaga!!!

Transiente

Apaga!!!

Estacionária

Quase- estático. Aumento k para diminuir dst. Diminui r,mas a contribuição não é muito relevante.

Incrementar k também é boa!!!

Controle de resposta =diminuir amplitude de x(t)

Aumento a massa para aumentar r, dst fica na mesma

Diminuindo k aumentaria r, mas também dst

No resto dos casos (r<1,5) o deslocamentodinâmico sempre ficará maior que o

deslocamento estático (faça o que quiser massempre será maior)

Ou seja que a amplificação poderá ser < 1somente se r>>1 for suficientemente grande:

ISOLAMENTO VIBRACIONAL

diminuída”.

2) A fase e a amplitude da resposta estacionária estarão influenciadas pelosparâmetros: a) amplitude da excitação, b) rigidez do sistema, c) fator deamortecimento, d) razão entre a freqüência da excitação e a própria do

sistema.

4 ) A superposição de excitações coadjuvantes terá como resposta a soma das

respostas resultantes das excitações individuais.

Análise de Fourier

diminuída”.

2) A fase e a amplitude da resposta estacionária estarão influenciadas pelosparâmetros: a) amplitude da excitação, b) rigidez do sistema, c) fator deamortecimento, d) razão entre a freqüência da excitação e a própria do

sistema.

4 ) A superposição de excitações coadjuvantes terá como resposta a soma das

respostas resultantes das excitações individuais.

Jean aptiste Joseph Fourier

ESSE É “O CARA”!!!

Toda função F(t) periódica de período T que cumpra Hipóteses de regularidade

poderá ser expressada da maneira

O que resulta equivalente a

É a média dafunção nointervalo

É uma combinação linear de infinitas funções harmônicas defreqüências múltiplas da freqüência de F(t):

w 2w 3w 4w ....

O 1º termo não nulo se chamaHarmônico Fundamental (n=1), e os

seguintes Harmônicos Superiores

Cn é o coeficiente de Fourier para a freqüência ” nwT ”

e representa a magnitude de F(t) nesse Harmônico

A medida que se vão agregando progressivamente termos correspondentes aHarmônicos Superiores se consegue uma melhor aproximação da função F(t). Sendoque infinitos termos é muita coisa na prática se adota um número finito p de termos

(de 1 até p)

Exemplo:

Fenômeno deGibson nas

descontinuidades

Casos simplificados:

Função Periódica ParFunção Periódica Impar

Suma de COSENOS

Suma de SENOS

Nestes casos resulta umacombinação linear de

Harmônicos com freqüência

múltipla de wT, e em fase!!!

F(t) IMPAR

Sawtooth

SQUARE

A gráfica das amplitudes para cadafreqüência é o Espectro de

Freqüências cujo domínio são osmúltiplos da freqüência fundamental f 1

f : f 1

Em muitos casos a excitaçãoestará definida pela freqüência

diretrizw

T e pelos primeiroscoeficientes relevantes Cn

(amplitudes do espectro truncado)

Sinal no domínio dotempo =

História no tempo do Sinal

Sinal no domínio dasfreqüências =

Espectro de freqüências

p p qdo Sinal

Espectro de freqüência de uma função periódica

mostra a decomposição da função nos seus componentes harmônicos

para as diferentes freqüências

Espectro de freqüência de

uma função periódica

APPLETS Fourier

http://www sciences univ

http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Elec/Fourier/fourier1.html

Olá Estrutura!fn= ?

em metros

f n= 6Hz

z=0 02

f=3 Hzf=0 Hz

Achar amplitudes de deslocamento e aceleraçõesda massa em cada caso

f=6 Hzf=12 Hz

f 0 Hz

Dançando na sacada

a) O casal pesa com toda a roupa 130 kg

b) A excitação para o caso da dança com freqüência diretriz de 2,67 Hz será a superposição de 3

componentes harmônicas F1(t), F2(t), F3(t) com freqüênciasf 1= 2,67 Hz, f 2= 5,32 Hz , e f 3= 8,01 Hz,cujas amplitudes serão

F1 = 130x1,228 = 159,6 kgf , F2 = 130x0,311 = 40,4 kgf , F3 = 130x0,032= 4,2 kgf.

F0= 130

F2 (t) = 40,4 cos(33,55t)

F3 (t) = 4,2 cos(50,31t)

F1 (t) = 159,6 cos(16,77t)

Se fn= 5,32 Hz

Parax=0.02, esses 40,4 kgf podem equivaler a:

Feq= 40,4 x 25 = 1010 kgf !!!

a) Sistemas de um grau de liberdade submetidos aHistórias Harmônicas de excitação provocam respostas

(que podemos calcular) cujo estacionário é também

Harmônico, e cuja freqüência é a freqüência da excitação,retrasada e “amplificada ou diminuída”.

RESUMINDO:

F=F o cos2 pf t

b) Toda excitação periódica com história conhecida pode ser formulada graças a FOURIER como superposição de excitações harmônicas. Para obter a resposta ficaria somente

somar os efeitos dessas excitações harmônicas. Mais na frente veremos que a análise deFourier pode ser generalizado para excitações que não sejam necessariamente

periódicas.

c) O Espectro de Freqüências de uma excitação basta para poder estimar a resposta, Para

chegar às histórias de resposta exatas deveríamos também conhecer as “fases” dosdiferentes harmônicos da excitação.

AGORA LOGO VEREMOS COMO MEXER COM SISTEMAS DE MAIS DE GRAU DE LIBERDADE

T ~ 2 L1/2

f ~ 0,5/ L1/2

“Dinâmica Estrutural Aplicada” TQS Eng. Sérg io S to lo vas

T ~ 2 L1/2

f ~ 0,5/ L1/2

To f L(m)

0,111s 9 Hz 3 mm

0,125s 8Hz 4 mm

0,143s 7Hz 5mm

T ~ 2 L1/2 f ~ 0,5/ L1/2

0,167s 6 Hz 7mm

0,200s 5Hz 1cm

0,250s 4 Hz 1,6cm

0,333s 3 Hz 2,7cm

0,500 s 2 Hz 6,3cm

1,000 s 1 Hz 25 cm

1,250 s 0,8 Hz 39 cm

1,429s 0,7 Hz 51 cm

1,667s 0,6 Hz 69 cm

2,000s 0,5 Hz 1,00 m

2,500s 0,4 Hz 1,56 m

3,333s 0,3 Hz 2,78 m

5,000s 0,2 Hz 6,25 m

10,000s 0,1 Hz 25 m

T ~ 2 L1/2

f ~ 0,5/ L1/2

A FREQUENCIANATURAL DO

PENDULODEPENDE

SOMENTE DO

CUMPRIMENTODO FIORADIO IMPOSTOA TRAJETORIA

T~2R 1/2

f ~ 0,5/R 1/2

T~2R 1/2

f ~ 0,5/R1/2

Keq ~ Peso / R

O pendulo é um mecanismo não lineal e não uma estrutura lineal. Porem,para pequenas oscilações pode ser assumido como um sistema “massa-

mola” com coeficiente de mola Keq= “PESO/ (Radio da trajetória)”

Quando as ações são de natureza dinâmica a deformaçãoem cada instante será consequência da História prévia das

em cada instante será consequência da História prévia das

Ações ao longo do tempo e a obtenção da respostaestrutural estará governada não somente pela rigidez, mastambém pelos atributos inerciais (a distribuição da massa

solidária) e pelos atributos de amortecimento (mecanismos

de dissipação da energia).

A Integração da Equação do Movimento (explícita ouimplicitamente) é imprescindível para avaliar o desempenho

funcional e resistente de estruturas submetidas as ações

dinâmicas como é o caso dos edifícios altos submetidos àsações induzidas pelo vento.

Uma maneira habitual de descrever o estado de deformação

de uma estrutura é associar à mesma a ação estática queaplicada (estaticamente) provocaria tal estado de

deformação. Daí o termo: “Forças Estáticas Equivalentes”,com o qual chamamos a aquele sistema de forças estáticas

“fantasmas” que provocariam a mesma deformação e

solicitações internas em um instante para uma estrutura quena realidade foi submetida a uma História de Ações prévias.

Estruturas Sob Efeitos Dinâmicos

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