Post on 02-Feb-2018
matA12
derivadas
www.matematicaonline.pt
geral@matematicaonline.pt
1 / 38
Exercícios de exames e provas oficiais
1. Na figura, está representada, num referencial
o.n. xOy, parte do gráfico de uma função f,
polinomial do terceiro grau.
Tal como a figura sugere, a função f tem um
máximo relativo para 2x e tem um mínimo
relativo para 2x .
A origem do referencial é ponto de inflexão do
gráfico de f.
Sejam 'f e ''f a primeira e segunda derivadas
da função f, respetivamente.
Qual é o conjunto solução da condição
' '' 0f x f x ?
(A) 2,0 2, (B) , 2 0,2
(C) ,0 2, (D) , 2 0,
matemática A – 12º ano, exame 635, época especial, 2017
2. Pretende-se eliminar um poluente diluído na água de um tanque de um viveiro. Para tal, é
escoada água por um orifício na base do tanque e, em simultâneo, é vertida no tanque água
não poluída, de tal modo que a quantidade total de água no tanque se mantém.
Admita que a massa, p, de poluente, medida em gramas, t horas após o início do processo, é,
para um certo número real positivo k, dada por
120 ktp t e 0t
Utilizando exclusivamente métodos analíticos, utilizando a calculadora para eventuais
cálculos numéricos, admita que 0,27k .
Determine a taxa média de variação da função p no intervalo 0,3 e interprete o resultado
obtido no contexto da situação descrita.
Apresente o valor da taxa média de variação arredondado às unidades.
Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas
decimais.
matemática A – 12º ano, exame 635, época especial, 2017
matA12
derivadas
www.matematicaonline.pt
geral@matematicaonline.pt
2 / 38
3. De uma função f, de domínio , com derivada finita em todos os pontos do seu domínio,
sabe-se que
2
2
2lim 4
2x
x x
f x f
.
Qual é o valor ' 2f ?
(A) 1
2 (B)
1
4 (C)
1
2 (D)
1
4
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2017
4. Seja f uma função de domínio .
A tabela de variação de sinal da função ''f , segunda derivada de f, é a seguinte.
x 10 0 10
''f 0 + 0 0 +
Seja g a função definida por 5g x f x .
Em qual dos intervalos seguintes o gráfico de g tem concavidade voltada para baixo?
(A) 15, 5 (B) 0,10 (C) 5,5 (D) 5,15
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2017
5. Considere a função f, de domínio
, definida por ln x
f xx
.
Para um certo número real k, a função g, de domínio
, definida por k
g x f xx
,
tem um extremo relativo para 1x .
Utilizando exclusivamente métodos analíticos, determine esse número k.
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2017
matA12
derivadas
www.matematicaonline.pt
geral@matematicaonline.pt
3 / 38
6. Na figura ao lado, está representada, num referencial o.n.
xOy, parte do gráfico de uma função polinomial f.
Sabe-se que o único ponto de inflexão do gráfico de f
tem abcissa 0.
Seja ''f a segunda derivada da função f.
Qual das afirmações seguintes é verdadeira?
(A) '' 1 '' 2 0f f (B) '' 2 '' 1 0f f
(C) '' 1 '' 2 0f f (D) '' 1 '' 2 0f f
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2017
7. Seja :f uma função tal que ' 0f x , para qualquer número real positivo x.
Considere, num referencial o.n. xOy:
• um ponto P, de abcissa a, pertencente ao gráfico de f;
• a reta r, tangente ao gráfico de f no ponto P;
• o ponto Q, ponto de intersecção da reta r com o eixo Ox.
Sabe-se que OP PQ
Determine o valor de
'f a
f aa
.
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2017
8. Seja f a função, de domínio 3
,2
, definida por
8.1.
21 3cos 0
4 2
ln 0x
x x se xf x
e x se x
Recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, estude a função f quanto ao
sentido das concavidades e quanto à existência de pontos de inflexão do seu gráfico, no
intervalo 3
,02
Na sua resposta, indique:
- o(s) intervalo(s) em que o gráfico de f tem concavidade voltada para baixo.
- o(s) intervalo(s) em que o gráfico de f tem concavidade voltada para cima
- a(s) abcissa(s) do(s) de inflexão do gráfico de f
matA12
derivadas
www.matematicaonline.pt
geral@matematicaonline.pt
4 / 38
8.2. Na figura estão representados:
• parte do gráfico da função f
• um ponto A, pertencente ao gráfico de f, de abcissa a
• a reta t, tangente ao gráfico da função f no ponto A
Sabe-se que:
• 0,1a
• a reta t tem declive igual a 1,1
Determine, recorrendo à calculadora gráfica, a abcissa do
ponto A
Na sua resposta, indique:
- equacione o problema
- reproduza, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) que visualizar na calculadora, que lhe
permite(m) resolver a equação
- apresente a abcissa do ponto A arredondada às centésimas
matemática A – 12º ano, exame 635, época especial, 2016
9. Seja f a função, de domínio ,2
, definida por
2 sin
0cos 2
x ln 0
xse x
f x x
x se x
9.1. Recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, estude a função f quanto à
monotonia e quanto à existência de extremos relativos, no intervalo ,02
.
9.2. Seja r a reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa 1
2
Além do ponto de tangência, a reta r interseta o gráfico de f em mais dois pontos, A e B,
cujas abcissas pertencem ao intervalo ,02
(considere que o ponto A é o de menor
abcissa)
Determine analiticamente a equação reduzida da reta r e, utilizando a calculadora gráfica,
obtenha as abcissas dos pontos A e B.
Apresente essas abcissas arredondadas às centésimas.
Na sua resposta, reproduza, num referencial, o gráfico da função ou os gráficos das funções
que visualizar na calculadora e que lhe permite(m) resolver o problema.
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2016
matA12
derivadas
www.matematicaonline.pt
geral@matematicaonline.pt
5 / 38
10. Seja f uma função, de domínio , cuja derivada, 'f , de domínio , é dada por
2' 1xf x e x x
Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.
10.1. Sejam p e q dois números reais tais que
1
1lim
1x
f x fp
x
e
1q
p
Determine o valor de q e interprete geometricamente esse valor.
10.2. Estude a função f quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência
de pontos de inflexão.
Na sua resposta, apresente:
- o(s) intervalo(s) em que o gráfico de f tem concavidade voltada para baixo.
- o(s) intervalo(s) em que o gráfico de f tem concavidade voltada para cima
- a(s) abcissa(s) do(s) de inflexão do gráfico de f
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2016
11. Na figura abaixo, está representada, num referencial o.n. xOy, parte do gráfico de uma função
polinomial f.
Em qual das quatro opções seguintes pode estar representada parte do gráfico da função "f
, segunda derivada da função f?
(A)
(B)
matA12
derivadas
www.matematicaonline.pt
geral@matematicaonline.pt
6 / 38
(C)
(D)
matemática A – 12º ano, exame 635, época especial, 2015
12. Seja f uma função de domínio
Sabe-se que ' 2 6f ( 'f designa a derivada de f)
Qual é o valor de
22
2lim
2x
f x f
x x
?
(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6
matemática A – 12º ano, exame 635, época especial, 2015
13. Admita que, ao longo dos séculos XIX, XX e XXI, o número de habitantes, N, em milhões,
de uma certa região do globo é dado aproximadamente por
0,25
200 0
1 50 tN t
e
em que t é o tempo medido em décadas e em que o instante 0t corresponde ao final do
ano 1800.
Determine a taxa média de variação da função N no intervalo 10,20 .
Apresente o resultado arredondado às unidades.
Interprete o resultado, no contexto da situação descrita.
matemática A – 12º ano, exame 635, época especial, 2015
14. Seja f a função, de domínio 0
, definida por 2 1 xf x x e .
Recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, estude a função f quanto à
monotonia e quanto à existência de extremos relativos.
matemática A – 12º ano, exame 635, época especial, 2015
matA12
derivadas
www.matematicaonline.pt
geral@matematicaonline.pt
7 / 38
15. Seja f a função, de domínio , definida por
1 3
ln 3 ln 3
xxe se xf x
x x se x
Recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, determine a equação reduzida
da reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa 4.
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2015
16. Seja :f uma função tal que:
• f tem derivada finita em todos os pontos do seu domínio;
• ' 0 0f ;
• " 0f x , para qualquer ,0x .
Nenhum dos gráficos a seguir apresentados é o gráfico da função f
Elabore uma composição na qual apresente, para cada um dos gráficos, uma razão pela qual
esse gráfico não pode ser o gráfico da função f.
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2015
17. Na figura ao lado, está representado um recipiente cheio de um
líquido viscoso.
Tal como a figura ilustra, dentro do recipiente, presa à sua base,
encontra-se uma esfera. Essa esfera está ligada a um ponto P por
uma mola esticada.
Num certo instante, a esfera é desprendida da base do recipiente e
inicia um movimento vertical. Admita que, t segundos após esse
instante, a distância, em centímetro, do centro da esfera ao ponto P
é dada por
0,0510 5 0td t t e t
Determine o instante em que a distância do centro da esfera ao ponto
P é mínima, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a
calculadora.
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2015
matA12
derivadas
www.matematicaonline.pt
geral@matematicaonline.pt
8 / 38
18. Seja f a função, de domínio , definida por:
1
2 1 2
11 ln
2
xe ese x
xf x
x x se x
Recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, estude a função f quanto ao
sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão, no
intervalo 1
,2
.
Na sua resposta, apresente:
• o(s) intervalo(s) em que o gráfico de f tem concavidade voltada para baixo;
• o(s) intervalo(s) em que o gráfico de f tem concavidade voltada para cima;
• as coordenadas do(s) ponto(s) de inflexão do gráfico de f.
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2015
19. Na figura, está representada, num referencial
ortogonal xOy, parte do gráfico da função ,g
segunda derivada de uma função g.
Em qual das opções seguintes pode estar
representada parte do gráfico da função g?
(A)
(B)
(C)
(D)
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2014
matA12
derivadas
www.matematicaonline.pt
geral@matematicaonline.pt
9 / 38
20. Considere as funções f e g, de domínio ,0 , definidas por
ln
1x
f x xx
e g x x f x
Recorrendo a processos exclusivamente analíticos, estude a função g quanto à monotonia e
quanto à existência extremos relativos.
Na sua resposta, deve indicar o(s) intervalo(s) e, caso existam, os valores de x para os quais
a função g tem extremos relativos.
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2014
21. Na figura, está representada, num referencial o.n. xOy, parte do gráfico de uma função
polinomial f, de grau 3.
Sabe-se que:
• 2 e 3 são os únicos zeros da função f;
• a função f tem um extremo relativo em 2x ;
• 'h , primeira derivada de uma função h, tem
domínio e é definida por 2
' ;x
f xh x
e
• lim 3x
h x
Considere as afirmações seguintes.
I) A função h tem dois extremos relativos.
II) 2 0h .
III) 3 0y é uma equação da assíntota do gráfico da função h quando x tende para
.
Elabore uma composição, na qual indique, justificando, se cada uma das afirmações é
verdadeira ou falsa.
Na sua resposta, apresente três razões diferentes, uma para cada afirmação.
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2014
matA12
derivadas
www.matematicaonline.pt
geral@matematicaonline.pt
10 / 38
22. Considere, para um certo real a positivo, a função f, de domínio
, definida por
lna
f x ax
.
Em qual das opções seguintes pode estar representada parte do gráfico da função 'f ,
primeira derivada da função f?
(A)
(B)
(C)
(D)
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2014
23. Seja f uma função cuja derivada, 'f , de domínio , é dada por 2
' 4f x x .
Qual das afirmações seguintes é verdadeira?
(A) O gráfico da função f tem concavidade voltada para cima em .
(B) A função f tem um máximo relativo em 4x .
(C) O gráfico da função f não tem pontos de inflexão.
(D) O gráfico da função f tem um ponto de inflexão de coordenadas 4, 4f .
matemática A – 12º ano, exame 635, época especial, 2014
matA12
derivadas
www.matematicaonline.pt
geral@matematicaonline.pt
11 / 38
24. Considere, para um certo número real k positivo, a função f, de domínio , definida por
2
3se 0
1
ln se 0
6ln se 0
2 1
x
xx
e
f x k x
x xx
x
Recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, mostre que ln3
e
é um
extremo relativo da função f no intervalo 0, .
matemática A – 12º ano, exame 635, época especial, 2013
25. Sejam 'f e ''f , de domínio , a primeira derivada e a segunda derivada de um função f,
respetivamente.
Sabe-se que:
• a é um número real;
• P é o ponto do gráfico de f de abcissa a;
•
lim 0x a
f x f a
x a
• 2f a
Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira?
(A) a é um zero da função f.
(B) f a é um máximo relativo da função f.
(C) f a é um mínimo relativo da função f.
(D) P é um ponto de inflexão do gráfico da função f.
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2013
matA12
derivadas
www.matematicaonline.pt
geral@matematicaonline.pt
12 / 38
26. Na figura, está representada, num
referencial ortogonal xOy, parte do gráfico
de uma função polinomial g, de grau 3.
Seja f uma função, de domínio , que
verifica a condição 3f x g x
Em qual das quatro opções seguintes pode
estar representada parte do gráfico da
função ',f primeira derivada da função f?
(A)
(B)
(C)
(D)
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2013
matA12
derivadas
www.matematicaonline.pt
geral@matematicaonline.pt
13 / 38
27. Seja g uma função, de domínio
, cuja derivada, 'g , de domínio
, é dada por
' ln 6 4x xg x e e x
Estude a função g quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência
de pontos de inflexão, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2013
28. Considere, para um certo número real a superior a 1, as funções f e g, de domínio ,
definidas por xf x a e xg x a .
Considere as afirmações seguintes.
I) Os gráficos das funções f e g não se intersetam.
II) As funções f e g são monótonas crescentes.
III) 2ln
' 1 ' 1a
f ga
.
Qual das opções seguintes é a correta?
(A) II) e III) são verdadeiras.
(B) I) é falsa e III) é verdadeira.
(C) I) é verdadeira e III) é falsa.
(D) II) e III) são falsas.
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2013
29. Considere a função f, de domínio \ 0 , definida por
4
10
1
ln 0
x
x
ese x
f x e
x x se x
Seja g a função, de domínio
, definida por 2lng x f x x x .
Recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, estude a função g quanto à
monotonia e quanto à existência de extremos relativos em 0,e .
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2013
matA12
derivadas
www.matematicaonline.pt
geral@matematicaonline.pt
14 / 38
30. Na figura, está representada, num referencial ortogonal xOy, parte do gráfico de uma função
polinomial f, de grau 3.
Sabe-se que:
• 1 2 são os únicos zeros da função f;
• 'g , a primeira derivada de uma certa função g, tem domínio e é definida por
' xg x f x e :
• lim 2 0x
g x
Apenas uma das quatro opções seguintes pode representar a função g?
matA12
derivadas
www.matematicaonline.pt
geral@matematicaonline.pt
15 / 38
Nota – Em cada uma das opções estão representadas parte do gráfico de uma função e, a tracejado,
uma assíntota desse gráfico.
Elabore uma composição na qual:
• identifique a opção que pode representar a função g;
• apresente as razões para rejeitar as restantes opções.
Apresente três razões diferentes, uma por cada gráfico rejeitado.
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2013
31. Na figura, está representada, num
referencial o.n. xOy, parte do gráfico
de uma função f, de domínio
6, , definida por
ln 23
xf x
.
Sabe-se que:
• a reta r tangente ao gráfico da
função f no ponto de abcissa a;
• a inclinação da reta r é, em
radianos, 4
.
Qual é o valor de a?
(A) 4 (B) 9
2 (C)
11
2 (D) 5
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2012
matA12
derivadas
www.matematicaonline.pt
geral@matematicaonline.pt
16 / 38
32. Considere a função f, de domínio , definida por
3
1
4
sinse 0
1 1
1 se 0
1se 0
k
x
xx
x
f x e x
ex
x
com k
Seja g uma função, de domínio
, cuja derivada, 'g , de domínio
, é dada por
1
'g x f xx
.
Recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, estude a função g quanto ao
sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão.
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2012
33. Na figura, está representada, num referencial o.n. xOy, parte do gráfico de uma função f, de
domínio .
Sejam 'f e ''f , de domínio , a primeira derivada e a segunda derivada de f,
respetivamente.
Qual dos valores seguintes pode ser positivo?
(A) ' 1f (B) ' 3f (C) '' 3f (D) '' 1f
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2012
matA12
derivadas
www.matematicaonline.pt
geral@matematicaonline.pt
17 / 38
34. Considere a função f, de domínio , definida por
1
ln 1 ln 3 0
0x
x x x x x se xf x
xe se x
Determine a equação reduzida da reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa
1x , recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2012
35. De uma certa função f sabe-se que:
• o seu domínio é 1, ;
• a sua derivada é dada por 2 9' 4 4ln 1
2f x x x x .
35.1. Na figura, estão representadas:
• parte do gráfico da função f;
• a reta r que é tangente ao gráfico da
função f no ponto A, de abcissa 2;
• a reta s que é tangente ao gráfico da
função f no ponto B.
As retas r e s são paralelas.
Seja b a abcissa do ponto B.
Determine, recorrendo à calculadora gráfica, o valor de b.
35.2. Tal como a figura sugere, o gráfico da função f tem um ponto de inflexão.
Determine a abcissa desse ponto, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.
matemática A – 12º ano, teste intermédio, 24-05-2012
36. Para um certo número real a, seja a função f,
de domínio , definida por 2 1.f x ax
Na figura, está representada, num referencial
o.n. xOy, parte do gráfico da função ''f ,
segunda derivada da função f.
Qual dos valores seguintes pode ser o valor
de a?
(A) 0 (B) (C) 3 (D) 3
matemática A – 12º ano, exame 635, época especial, 2011
matA12
derivadas
www.matematicaonline.pt
geral@matematicaonline.pt
18 / 38
37. Considere a função f, de domínio , definida por
1
11 se 1
1
2 se 1
x
xx
f x e
a x
(a é um número real)
Seja 'f a primeira derivada de f.
Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, mostre, sem resolver a equação, que
1
'4
f x tem, pelo menos, uma solução em 0,1 .
Se utilizar a calculadora em eventuais cálculos numéricos, sempre que proceder a
arredondamentos, use duas casas decimais.
matemática A – 12º ano, exame 635, época especial, 2011
38. Na figura, está representada, num referencial o.n. xOy, parte do gráfico de uma função
polinomial f, de grau 4.
Qual das expressões seguintes pode definir a função ''f , segunda derivada de f?
(A) 2
3x (B) 2
3x (C) 29 x (D) 2 9x
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2011
39. Considere a função f, de domínio 0, , definida por
2 1se 0 2
2
1se 2
ln 1
xex
xf x
xx
x
Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, estude f quanto à monotonia em 2, .
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2011
matA12
derivadas
www.matematicaonline.pt
geral@matematicaonline.pt
19 / 38
40. Na figura, está representada, num referencial o.n. xOy, parte do gráfico de uma função
polinomial f de grau 3, de domínio .
Sabe-se que:
• 2 , 2 e 5 são zeros de f;
• 'f representa a função derivada de f.
Qual das afirmações seguintes é verdadeira?
(A) ' 0 ' 6 0f f (B) ' 3 ' 6 0f f
(C) ' 3 ' 0 0f f (D) ' 0 ' 6 0f f
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2011
41. Na figura, está representada, num referencial o.n. xOy, parte do gráfico da função g.
Sabe-se que:
• g é uma função continua em ;
• g não tem zeros;
• a segunda derivada, ''f , de uma certa função f tem domínio e é definida por
2 5 4f x g x x x
• 1 4 0f f
Apenas uma das quatro opções seguintes pode representar a função f.
matA12
derivadas
www.matematicaonline.pt
geral@matematicaonline.pt
20 / 38
I
II
III
IV
Elabore uma composição na qual:
• indique a opção que pode representar f;
• apresente as razões que o levam a rejeitar as restantes opções.
Apresente três razões, uma por cada gráfico rejeitado.
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2011
42. Na figura, está o gráfico de uma função f cujo domínio
é o intervalo 1,3 .
A função f tem primeira derivada e segunda derivada
finitas em todos os pontos do seu domínio.
Seja 1,3x . Qual das afirmações seguintes é
verdadeira?
(A) ' 0 0f x f x (B) ' 0 0f x f x
(C) ' 0 0f x f x (D) ' 0 0f x f x
matemática A – 12º ano, teste intermédio, 26-05-2011
43. Seja f uma função real de variável real.
Sabe-se que:
• ' 2 9f
• a reta tangente ao gráfico de f, no ponto de abcissa 2, interseta o eixo Oy no ponto de
ordenada 15
Qual é o valor de 2f ?
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
matemática A – 11º ano, teste intermédio, 24-05-2011
matA12
derivadas
www.matematicaonline.pt
geral@matematicaonline.pt
21 / 38
44. Considere:
• a função f, de domínio , definida por 3 23 9 11f x x x x
• a função g, de domínio \ 1 , definida por 1
1
xg x
x
Utilizando métodos exclusivamente analíticos, estude a função f quanto à monotonia e
quanto aos extremos relativos.
Na sua resposta deve apresentar:
• o(s) intervalo(s) em que a função é crescente;
• o(s) intervalo(s) em que a função é decrescente;
• os extremos relativos, caso existam.
matemática A – 11º ano, teste intermédio, 24-05-2011
45. Na figura, está representada, num
referencial o.n. xOy, parte do gráfico da
função 'f , primeira derivada de f.
Seja a um ponto do domínio de f,
tal que ' 0f a
Qual das afirmações seguintes é
verdadeira?
(A) A função f tem um mínimo para x a
(B) A função f tem um ponto de inflexão para x a
(C) A função f é crescente em 0,a
(D) A função f é decrescente em
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2010
46. Considere a função f, de domínio 0, , definida por
3se 0 2
1ln se 2
5
xe xx
xf x
x x x
Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, mostre que a função f tem um extremo
relativo no intervalo 2, .
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2010
matA12
derivadas
www.matematicaonline.pt
geral@matematicaonline.pt
22 / 38
47. Considere a função f, de domínio , definida por 32 1xf x x e .
Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, determine a equação reduzida da reta
tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 0x .
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2010
48. Na figura, está representada, num referencial o.n. xOy, parte do
gráfico de uma função afim f, de domínio .
Seja h a função definida por xh x f x e .
Em qual das equações seguintes pode estar representada parte do
gráfico da função ''h , segunda derivada de h?
(A)
(B)
(C)
(D)
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2010
matA12
derivadas
www.matematicaonline.pt
geral@matematicaonline.pt
23 / 38
49. Considere a função f, de domínio 0,3 , cuja derivada 'f , de domínio 0,3 , é definida por
1
' xf x ex
Estude a função f quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos, recorrendo
às capacidades gráficas da sua calculadora.
Na sua resposta, deve:
• reproduzir o gráfico da função, ou gráficos das funções, que tiver necessidade de
visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial;
• indicar os intervalos de monotonia da função f;
• assinalar e indicar as coordenadas dos pontos relevantes, com arredondamento às
centésimas.
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2010
50. Na figura, está parte da representação gráfica de uma função polinomial f.
O ponto de abcissa 2 é o único ponto de inflexão do gráfico da função f.
Qual das expressões seguintes pode definir ''f , segunda derivada da função f?
(A) 2
2x (B) 2
2 x (C) 2 x (D) 2x
matemática A – 12º ano, teste intermédio, 19-05-2010
51. Consideres a função f, de domínio , definida por 23 4 xf x x e .
Usando métodos exclusivamente analíticos, mostre que a função f tem um único mínimo
relativo e determine-o.
matemática A – 12º ano, teste intermédio, 19-05-2010
matA12
derivadas
www.matematicaonline.pt
geral@matematicaonline.pt
24 / 38
52. Considere:
• a função f, de domínio \ 0 , definida por 6
3f xx
• a função g, de domínio , definida por 3 213 8 3
3g x x x x
Resolva os seguintes itens, usando exclusivamente métodos analíticos, a calculadora pode
ser utilizada em cálculos numéricos.
52.1. Seja P o ponto do gráfico da função f que tem abcissa igual a 2.
Seja r a reta tangente ao gráfico da função f no ponto P.
Determine a equação reduzida da reta r.
52.2. Na figura, está, num referencial o.n. xOy, parte do
gráfico da função g.
Os pontos A e B pertencem ao gráfico da função g,
sendo as suas ordenadas, respetivamente, o máximo
relativo e o mínimo relativo desta função.
Os pontos C e D pertencem ao Ox. A abcissa do ponto
C é igual à do ponto B e a abcissa do ponto D é igual
à do ponto A.
Determine a área do triângulo [OAC].
matemática A – 11º ano, teste intermédio, 06-05-2010
53. Na figura, está representada parte do gráfico de uma função 'f , derivada de f, ambas de
domínio , em que o eixo Ox é uma assíntota do gráfico de 'f .
Seja a função g, de domínio , definida por g x f x x .
Qual das figuras seguintes pode representar parte do gráfico da função 'g , derivada de g?
matA12
derivadas
www.matematicaonline.pt
geral@matematicaonline.pt
25 / 38
(A)
(B)
(C)
(D)
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2009
54. Numa certa zona de cultivo, foi detetada uma doença que atinge as culturas. A área afetada
pela doença começou por alastrar durante algum tempo, tendo depois começado a diminuir.
Admita que a área, em hectares, afetada pela doença, é dada, em função de t, por
2 5ln 1A t t t
sendo 0 16t t o tempo, em semana, decorrido após ter sido detetada essa doença.
Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, determine a área máxima afetada pela
doença.
Apresente o resultado em hectares, arredondado às centésimas.
Nota: A calculadora pode ser utilizada em eventuais cálculos numéricos; sempre que proceder a
arredondamentos, use duas casas decimais.
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2009
matA12
derivadas
www.matematicaonline.pt
geral@matematicaonline.pt
26 / 38
55. Num certo dia, o Fernando esteve doente e tomou, às 9 horas da manhã, um medicamento
cuja concentração C t no sangue, em mg/l, t horas após o medicamento ter sido ministrado,
é dada por
0,32 tC t te 0t
Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, determine a que horas se verificou a
concentração máxima.
Apresente o resultado em horas e minutos, arredondando estes às unidades.
Nota: A calculadora pode ser utilizada em eventuais cálculos numéricos; sempre que proceder a
arredondamentos, use três casas decimais.
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2009
56. Seja f a função, de domínio , definida por
2 1f x x .
Seja g a função cujo gráfico é a reta representada
na figura ao lado.
Seja h f g . Seja 'h a função derivada da
função h.
O gráfico da função 'h é uma reta. Sejam m e b, respetivamente, o declive e a ordenada na
origem desta reta.
Qual das afirmações seguintes é verdadeira?
(A) 0m e 0b (B) 0m e 0b
(C) 0m e 0b (D) 0m e 0b
matemática A – 12º ano, teste intermédio, 27-05-2009
57. De uma função f, de domínio , sabe-se que a sua derivada, 'f , é definida por
' 2 4 xf x x e
Resolva os dois itens seguintes, sem recorrer à calculadora.
57.1. Seja A o ponto de interseção do gráfico de f com o eixo das ordenadas. Sabe-se que a
ordenada deste ponto é igual a 1.
Determine a equação reduzida da reta tangente ao gráfico de f no ponto A.
57.2. Estude a função f quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência
de pontos de inflexão.
matemática A – 12º ano, teste intermédio, 27-05-2009
matA12
derivadas
www.matematicaonline.pt
geral@matematicaonline.pt
27 / 38
58. O gráfico de uma função f é uma parábola com concavidade voltada para baixo cujo vértice
é o ponto 3,2 . Seja 'f a função derivada da função f.
Qual dos valores seguintes é negativo?
(A) ' 1f (B) ' 2f (C) ' 3f (D) ' 4f
matemática A – 11º ano, teste intermédio, 07-05-2009
59. Na figura está representado um referencial o.n. Oxyz.
Cada um dos pontos A, B, e C pertence a um eixo coordenado.
O ponto P pertence ao plano ABC.
O ponto P desloca-se no plano ABC, de tal modo que é sempre vértice de um prisma
quadrangular regular, em que os restantes vértices pertencem aos planos coordenados.
O plano ABC é definido pela equação 2 2 9x y z e sabe-se ainda que se a é a abcissa
do ponto P 0,3a , o volume do prisma é dado, em função de a, por 2 33V a a a .
Estude a função V quanto á monotonia, sem recorrer à calculadora, e conclua qual é o valor
de a para o qual o volume do prisma é máximo.
matemática A – 11º ano, teste intermédio, 07-05-2009
matA12
derivadas
www.matematicaonline.pt
geral@matematicaonline.pt
28 / 38
60. A figura representa parte do gráfico de uma função f de domínio .
Em qual das figuras seguintes pode estar parte da representação gráfica de 'f , derivada de
f?
(A)
(B)
(C)
(D)
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2008
61. Seja h a função de domínio 1, , definida por 4 ln 1h x x x .
(ln designa logaritmo de base e)
Resolva, usando métodos analíticos.
Nota: A calculadora pode ser utilizada em eventuais cálculos intermédios; sempre que proceder a
arredondamentos, use, pelo menos, duas casas decimais.
Estude a função h, quanto à monotonia, no seu domínio.
Indique os intervalos de monotonia e, se existir algum extremo relativo, determine-o.
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2008
matA12
derivadas
www.matematicaonline.pt
geral@matematicaonline.pt
29 / 38
62. Na figura estão representadas, em
referencial o.n. xOy:
• parte do gráfico de uma função f;
• uma reta t, tangente ao gráfico de
h no ponto de abcissa 1.
Tal como a figura sugere, a reta t
interseta o eixo Ox no ponto de
abcissa 2 e o eixo Oy no ponto de
ordenada 1.
Indique o valor de ' 1h , derivada da
função h no ponto 1.
(A) 2 (B) 1
2 (C)
1
2 (D) 2
matemática A – 11º ano, teste intermédio, 06-05-2008
63. Na figura está representada, em referencial o.n.
Oxyz, uma pirâmide quadrangular.
Admita que o vértice E se desloca no semieixo
positivo Oz, entre a origem e o ponto de cota
6, nunca coincidindo com qualquer um destes
dois pontos.
Com o movimento do vértice E, os outros
quatro vértices da pirâmide deslocam-se no
plano Oxy, de tal forma que:
• a pirâmide permanece sempre regular;
• o vértice A tem sempre abcissa igual à
ordenada;
• sendo x a abcissa de A e sendo c a cota de E, tem-se sempre
6x c
Seja 2 348
3V x x x o volume da pirâmide, em função de x 0,6x .
Utilizando a função derivada de V e recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, estude
a função V quanto à monotonia, conclua qual é o valor de x para o qual é máximo o volume
da pirâmide e determine esse volume máximo.
matemática A – 11º ano, teste intermédio, 06-05-2008
matA12
derivadas
www.matematicaonline.pt
geral@matematicaonline.pt
30 / 38
64. Seja f uma função de domínio 3,3 , definida
por
1se 3 0
2 ln 1 3 se 0 3
xe xx
f x x
x x x
Na figura está representado o gráfico da função
f.
Tal como a figura sugere:
• A é o ponto do gráfico de f de ordenada máxima
• a abcissa do ponto A é positiva
Na figura seguinte está novamente representado o gráfico de f, no qual se assinalou um ponto
B, no segundo quadrante.
A reta r é tangente ao gráfico de f, no ponto B.
Considere o seguinte problema:
“Determinar a abcissa do ponto B, sabendo que a reta r tem declive 0,23.”
Traduza este problema por meio de uma equação e, recorrendo à calculadora, resolva-a
graficamente, encontrando assim um valor aproximado da abcissa do ponto B.
Pode realizar algum trabalho analítico antes de recorrer à calculadora.
Reproduza na sua folha de prova o(s) gráfico(s) obtido(s) na calculadora e apresente o valor
pedido arredondado às centésimas.
matemática A – 12º ano, teste intermédio, 29-04-2008
matA12
derivadas
www.matematicaonline.pt
geral@matematicaonline.pt
31 / 38
65. Na figura está representada parte do gráfico de uma função h, de domínio 0
.
Em cada uma das figuras abaixo está representada parte do gráfico de uma função de domínio
0
.
Uma das funções representadas é 'h , primeira derivada de h, e a outra é ''h , segunda
derivada de h.
I
II
Numa pequena composição, explique em qual das figuras está representado o gráfico da
primeira derivada e em qual está representado o gráfico da segunda derivada. Na sua
composição, deve referir-se à variação de sinal das funções 'h e ''h , relacionando-a com
caraterísticas da função h (monotonia e sentido das concavidades do seu gráfico).
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2007
66. Considere a função f, de domínio \ 0 , definida por 21 lnf x x .
Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, estude a função quanto à monotonia e à
existência de extremos relativos.
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2007
matA12
derivadas
www.matematicaonline.pt
geral@matematicaonline.pt
32 / 38
67. Durante os ensaios de um motor, a velocidade de rotação do seu eixo variou, ao longo dos
primeiros oito minutos da experiência, de acordo com a função
3 215 63v x t t t
onde t designa o tempo (medido em minutos), contado a partir do início da experiência, e
v x designa a velocidade de rotação do eixo do motor (medida em centenas de rotações
por minuto).
Sem recorrer à calculadora, a não ser para efetuar eventuais cálculos numéricos, determine
qual foi a velocidade máxima atingida, nos primeiros oito minutos da experiência. Apresente
o resultado em centenas de rotações por minuto.
matemática A – 11º ano, teste intermédio, 10-05-2007
68. Na figura abaixo está parte do gráfico de uma
função h, de domínio .
Sejam 'h e ''h a primeira e a segunda derivadas de
h, respetivamente.
Admita que estas duas funções também têm
domínio .
Qual das expressões seguintes designa um número
positivo?
(A) ' 0 0h h (B) 0 ' 0h h
(C) ' 0 0h h (D) ' 0 0h h
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2006
69. Seja f a função, de domínio 1, , definida por
ln 1f x x x x .
Na figura estão representados, em referencial o.n. xOy, uma
reta r e um trapézio [OPQR].
• Q tem abcissa 2 e pertence ao gráfico de f
(o qual não está representado na figura);
• r é tangente ao gráfico de f no ponto Q;
• P é o ponto de interseção da reta r com o eixo Ox;
• R pertence ao eixo Oy e tem ordenada igual à do ponto
Q.
Sem recorrer à calculadora, determine a área do trapézio [OPQR]. Apresente o resultado na
forma de fração irredutível.
matemática A – 12º ano, exame 635, 2ª fase, 2006
matA12
derivadas
www.matematicaonline.pt
geral@matematicaonline.pt
33 / 38
70. Na figura está representada parte do gráfico de uma função polinomial f.
Tal como a figura sugere, o gráfico de f tem a concavidade voltadas para cima em ,0 e
voltada para baixo em 0, .
A reta r, tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 0, é paralela à bissetriz dos quadrantes
ímpares e interseta o eixo Ox no ponto de abcissa 2 .
Sabendo que 'f e ''f designam, respetivamente, a primeira e segunda derivadas de f,
indique o valor de 0 ' 0 0f f f .
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2006
71. Na figura estão representados:
• parte do gráfico da função f, de domínio ,
definida por xf x e
• um triângulo isósceles [OPQ] PO PQ ,
em que:
o O é a origem do referencial;
o P é um ponto do gráfico de f;
o Q pertence ao eixo das abcissas.
Considere que o ponto P se desloca no primeiro quadrante (eixos não incluídos), ao longo
do gráfico de f.
O ponto Q acompanha o movimento do ponto P, deslocando-se ao longo do eixo das
abcissas, de tal modo que PO permanece igual a PQ .
Seja A a função, de domínio
, que faz corresponder, à abcissa x do ponto P, a área do
triângulo [OPQ].
Sabendo que, para cada x , se tem xA x xe .
Sem recorrer à calculadora, estude a função A quanto à monotonia e conclua qual é o valor
máximo que a área do triângulo [OPQ] pode assumir.
matemática A – 12º ano, exame 635, 1ª fase, 2006
matA12
derivadas
www.matematicaonline.pt
geral@matematicaonline.pt
34 / 38
72. Seja f uma função de domínio , com derivada finita
em todos os pontos do seu domínio.
Na figura junta encontra-se parte do gráfico de 'f ,
função derivada de f.
Sabe-se ainda que 0 2f .
Qual pode ser o valor de 3f ?
(A) 1 (B) 2 (C) 5 (D) 7
matemática A – 12º ano, exame 435, 2ª fase, 2004
73. Seja f uma função tal que a sua derivada, no ponto 3, é igual a 4.
Indique o valor de
23
3lim
9x
f x f
x
.
(A) 2
3 (B)
3
2 (C) 4 (D) 0
matemática A – 12º ano, exame 135, 2ª fase, 2001
74. Na figura ao lado está parte da representação gráfica de uma
função g, de domínio \ 0 .
Qual das figuras seguintes poderá ser parte da representação
gráfica de 'g , derivada de g?
(A)
(B)
(C)
(D)
matemática A – 12º ano, exame 435, 1ª fase, 1ª chamada, 2000
matA12
derivadas
www.matematicaonline.pt
geral@matematicaonline.pt
35 / 38
75. Na figura estão representadas:
• parte do gráfico da função g, de domínio ,
definida por 23 1g x x ;
• uma reta r tangente ao gráfico de g, no ponto de
abcissa a;
• a inclinação da reta r é 60º.
Indique o valor de a.
(A) 3
4 (B)
3
2 (C)
1
3 (D)
1
2
matemática A – 12º ano, exame 135, 1ª fase, 1ª chamada, 1999
76. Um projétil é lançado verticalmente de baixo para cima.
Admita que a sua altitude h (em metros), t segundos após ter sido lançado, é dada pela
expressão
2100 5h t t t
Qual é a velocidade (em metro por segundo) do projétil, dois segundos após o lançamento?
(A) 80 (B) 130 (C) 170 (D) 230
matemática A – 12º ano, exame 135, 2ª fase, 1998
77. Na figura estão representadas:
• parte do gráfico de uma função f diferenciável em ;
• uma reta r tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa
3.
O valor de ' 3f , derivada da função f no ponto 3, pode
ser igual a
(A) 1 (B) 0 (C)
1
3f (D) 1
matemática A – 12º ano, exame 135, 2ª fase, 1998
matA12
derivadas
www.matematicaonline.pt
geral@matematicaonline.pt
36 / 38
78. Se a representação gráfica de uma função g é
então a representação gráfica de 'g pode ser
(A)
(B)
(C)
(D)
matemática A – 12º ano, exame 135, 1ª fase, 2ª chamada, 1997
79. Na figura junta está a representação
gráfica de uma função h e de uma
reta t, tangente ao gráfico de h no
ponto de abcissa a.
A reta t passa pela origem do
referencial e pelo ponto de
coordenadas 6,3 .
O valor de 'h a é
(A) 1
2 (B)
1
6 (C)
1
3 (D)
1
2
matemática A – 12º ano, exame 135, 1ª fase, 1ª chamada, 1997
Bom trabalho!!
matA12
derivadas
www.matematicaonline.pt
geral@matematicaonline.pt
37 / 38
Principais soluções
1. (A)
2. -35. Ao longo das 3 primeiras horas, a massa
do poluente diluído na água, diminuiu, em
média, 35 gramas por hora.
3. (C)
4. (C)
5. 1k
6. (D)
7.
' 0f a
f aa
8.
8.1. Concavidade voltada para baixo:
;03
Concavidade voltada para cima:
3;
2 3
Pontos de inflexão em:
3x
8.2. 0,72
9.
9.1. Crescente: ,06
Decrescente: ,2 6
Mínimo: , 36
9.2. Equação da reta: 1 ln 2y x
1,19A ; 0,17B
10. 10.1. q e . Declive da reta perpendicular à
reta tangente ao gráfico de f no ponto de
abcissa -1
10.2. 2, 1 : concavidade voltada para baixo
, 2 1, : concavidade voltada
para cima
-2 e -1 são pontos de inflexão
11. (C)
12. (A)
13. Ao longo do século XX o número de
habitantes da referida região do globo
aumentou, em média, 11 milhões por década.
14. Crescente: 0,2
Decrescente: 2,
Máximo: 4
e para 2x
Mínimo: 0 para 0x
15. 3
3 ln 44
y x
16. 17. 25 t s
18. Concavidade voltada para baixo:
1,1
2
Concavidade voltada para cima:
1,
Pontos de inflexão de coordenadas:
1,0
19. (A)
20. Crescente: ,0e
Decrescente: e
Mínimo absoluto quando x e
21. I) Falsa
II) Verdadeira
III) Falsa
22. (B)
23. (D)
24. 25. (B)
26. (A)
27. Concavidade voltada para baixo:
0;ln 2 10
Concavidade voltada para cima:
ln 2 10 ;
Pontos de inflexão em:
ln 2 10x
28. (B)
29. Crescente: 1,e
Decrescente: 0,1
Mínimo relativo: 1 1g
Máximo relativo: 1g e
30. IV
31. (D)
32. Concavidade voltada para baixo:
1,
4
Concavidade voltada para cima:
10,
4
Pontos de inflexão em:
1
4x
matA12
derivadas
www.matematicaonline.pt
geral@matematicaonline.pt
38 / 38
33. (C)
34. 2 22y e x e
35.
35.1. 4,14b
35.2. 3x
36. (D)
37. 38. (D)
39. Estritamente crescente no intervalo.
40. (D)
41. III 42. (C)
43. (C)
44. Crescente: , 3 1,
Decrescente: 3,1
Máximo relativo: 16 para 3x
Mínimo relativo: -16 para 1x
45. (C)
46.
47. 1
y xe
48. (A)
49. Estritamente crescente: 0,57;3
Estritamente decrescente: 0;0,57
Mínimo em 0,57x
50. (C)
51. 0 3f
52.
52.1. 3
92
y x
52.2. 22
3
53. (D)
54. 6,05 hectares.
55. 12 horas e 20 minutos.
56. (B)
57. 57.1. 4 1y x
57.2. Concavidade voltada para baixo:
, 3
Concavidade voltada para cima:
3,
Pontos de inflexão em:
3x
58. (D)
59. 2a
60. (C)
61. Estritamente crescente: 1,0
Estritamente decrescente: 0,
Máximo absoluto: 0 4h
62. (C)
63. 4x , 128
3V
64. 1, 23
65. Figura II
66. Estritamente crescente: 0
Estritamente decrescente: 0,
Extremos: Não tem.
67. 81 centenas de rotações por minuto.
68. (C)
69. 10
3A
70. (C)
71. 1
1Ae
72. (A)
73. (A)
74. (A)
75. (D)
76. (A)
77. (A)
78. (C)
79. (D)