UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL

Departamento de Estruturas

EXERCÍCIOS DE TORÇÃO MECÂNICA DOS SÓLIDOS II

Prof. Dr. Nilson Tadeu Mascia Bolsista PAD: Renato Saldanha Victor (Rev. 2009) Bolsista PED: Bruno Fernandes (Rev. 2017)

Campinas, Março - 2017

DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil

Universidade Estadual de Campinas

Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021

Cep: 13.083-970 - Campinas – SP

2

EXERCÍCIO 1

Determinar a tensão nos tirantes, o cisalhamento máximo e o giro da

extremidade livre (giro entre B e A).

O binário, causado pelas reações das forças de tração nos tirantes, gera

um momento torçor T no disco de:

Eq. 1

Eq. 2

Onde: N é a força normal existente em cada tirante e D é o diâmetro do

disco.

Isso nos leva a uma situação hiperestática. Além do engaste, temos a

reação do momento T. A condição de contorno que usaremos será a relação

da deformação dos tirantes com o giro no ponto C, medido a partir do ponto B

(engaste) que terá variação nula do giro em relação à sua posição original,

conforme a figura:

DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil

Universidade Estadual de Campinas

Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021

Cep: 13.083-970 - Campinas – SP

3

Assim, temos:

Eq. 3

Pela Lei de Hooke:

Eq. 4

Giro:

Eq. 5

Para a seção circular cheia:

Eq. 6

O exercício nos leva ao seguinte diagrama de momento torçor:

Assim, tem-se:

Eq. 7

Igualando as equações Eq. 3 e Eq. 7, tem-se:

Eq. 8

DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil

Universidade Estadual de Campinas

Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021

Cep: 13.083-970 - Campinas – SP

4

Considerando:

Eq. 9

Eq. 10

Eq. 11

Assim:

Eq. 12

Tensão nos tirantes:

Eq. 13

Cisalhamento máximo (seção circular cheia):

Eq. 14

Substituindo, nas funções do diagrama de Mt, o valor de N encontrado na

Eq. 12, tem-se:

Assim, tem-se o momento máximo no trecho AC (Mt = 12 daN.m). Desta

forma, o cisalhamento máximo é:

Eq. 15

O giro entre B e A:

Eq. 16

DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil

Universidade Estadual de Campinas

Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021

Cep: 13.083-970 - Campinas – SP

5

DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil

Universidade Estadual de Campinas

Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021

Cep: 13.083-970 - Campinas – SP

6

EXERCÍCIO 2

Determinar a tensão nos tirantes e o cisalhamento máximo.

Como no exercício anterior, tem-se uma situação hiperestática que será

contornada relacionando o giro no ponto B com a deformação nos tirantes. O

binário provocado pelos tirantes gera um momento torçor de:

Eq. 17

Em relação ao giro pela deformação, tem-se:

Eq. 18

Pela Lei de Hooke, sendo o raio do tirante = 1 cm:

Eq. 19

Giro:

Eq. 20

Para a seção circular cheia, temo a seguinte inércia polar:

Eq. 21

DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil

Universidade Estadual de Campinas

Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021

Cep: 13.083-970 - Campinas – SP

7

O diagrama do momento torçor obtido é o seguinte:

Giro:

Eq. 22

Eq. 23

Assim, tem-se:

Eq. 24

Igualando Eq. 18 e Eq. 25, tem-se:

Eq. 25

Como o exercício nos diz que G = 0,4E, tem-se:

Eq. 26

DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil

Universidade Estadual de Campinas

Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021

Cep: 13.083-970 - Campinas – SP

8

Obs: o sinal negativo para o momento torçor, no cálculo do giro existe

apenas para que o giro encontrado seja no sentido anti-horário (observando de

C para A), sentido da solicitação (momento de 700 daN.m) e sentido

concordante com o das deformações dos tirantes.

Tensão nos tirantes:

Eq. 27

Substituindo, nas funções do diagrama de Mt, o valor de N encontrado na

Eq. 26, tem-se:

Desta forma, o cisalhamento máximo (seção circular cheia) é:

Eq. 28

DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil

Universidade Estadual de Campinas

Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021

Cep: 13.083-970 - Campinas – SP

9

EXERCÍCIO 3

Determinar o giro em A e o cisalhamento máximo.

A viga bi-engastada é hiperestática. Sabemos que, como o giro é nulo

nos engastes, o giro relativo entre os dois engastes também é,

necessariamente, nulo. E essa será a condição que usaremos para contornar a

hiperesticidade.

Considerando as reações como horárias (observando de D para A), tem-

se:

Eq. 29

E, assim, temos o diagrama de Mt:

DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil

Universidade Estadual de Campinas

Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021

Cep: 13.083-970 - Campinas – SP

10

Sendo d = 0,04 m e G = 8 x 105 daN/cm2, tem-se:

Eq. 30

Para encontrar o giro em A, temos que relacioná-lo com algum ponto fixo

(um dos engastes). No caso, é mais simples calcular o giro entre A e D.

Giro em A:

Eq. 31

Cisalhamento máximo:

Como não tem-se uma seção constate, é preciso comparar os valores

obtidos para determinar o máximo.

Assim:

DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil

Universidade Estadual de Campinas

Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021

Cep: 13.083-970 - Campinas – SP

11

Eq. 32

A comparação poderia também ter sido feita da seguinte forma. Tem-se

três trechos de seção constante e com valores de Mt diferentes. Porém, os dois

últimos (C e ) têm a mesma seção e, assim, podemos apenas comparar o

valor de Mt para esses dois casos. O que nos descarta a possibilidade de que o

2º trecho seja o máximo.

Como os dois trechos remanescentes possuem o mesmo valor de Mt,

podemos comparar o valor de Wt que, por sua vez, é determinado pelo

diâmetro (já que as duas seções em questão são do mesmo tipo - circular

cheia). Assim, temos que o cisalhamento máximo ocorre no trecho 3, que tem

diâmetro menor.

DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil

Universidade Estadual de Campinas

Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021

Cep: 13.083-970 - Campinas – SP

12

EXERCÍCIO 4

Determinar o diâmetro “d” e o giro no ponto A (centro da viga).

Como no exercício anterior, usaremos o giro entre B e C (que sabemos

ser nulo) como condição de contorno para o problema. Como a figura acima

nos mostra, foi adotado o sentido horário para MB e anti-horário para MC

(ambos observando de C para B).

Assim, tem-se o seguinte diagrama de Mt:

Com as seguintes funções para os trechos:

Eq. 33

DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS Faculdade de Engenharia Civil

Universidade Estadual de Campinas

Cidade Universitária “Zeferino Vaz” - Distrito Barão Geraldo - Caixa Postal 6021

Cep: 13.083-970 - Campinas – SP

13

Eq. 34

O giro entre B e C:

Eq. 35

O cisalhamento máximo ocorre no ponto B,C ou A. Porém todos possuem

Mt = 1 daN.m. Sendo assim, o diâmetro d é calculado desta forma:

Eq. 36

O giro em A:

Eq. 37