Post on 17-Apr-2015
Fatorial Fatorial
1
Análise CombinatóriaAnálise Combinatória
SlidesSlides
Xadrez - www.ser.com.br
Permutação com repetição Permutação com repetição
Princípio fundamental da contagem Princípio fundamental da contagem
Permutação simples Permutação simples
Arranjos simples Arranjos simples
Combinações simples Combinações simples
Números binomiais Números binomiais
Triângulo de Pascal Triângulo de Pascal
Binômio de Newton Binômio de Newton
FatorialFatorial
2
Chama-se fatorial de n ou n fatorial o número n!, tal que:
- Para n=0: 0!=1- Para n=1: 1!=1- Para n=2: 2!=21=2- Para n=3: 3!=321=6- Para n=4: 4!=4321=24- Para n=5: 5!=54321=120
Generalizando:n! = n (n-1) (n-2) (n-3) ... 2 1, sendo n pertencente ao conjunto dos números naturais {0, 1, 2, 3 ...}.
3
Princípio fundamental da contagem ou princípio Princípio fundamental da contagem ou princípio da multiplicaçãoda multiplicação
Acompanhe o raciocínio da resolução do problema a seguir:
Uma pessoa vai a um restaurante e na promoção ela deve montar a sua refeição escolhendo uma entrada, um prato principal e uma sobremesa.No cardápio constam 3 tipos de entradas, 5 tipos de pratos quentes e 4 tipos de sobremesa. De quantas formas diferentes essa pessoa pode montar a sua refeição?
salada
sopa
patês
bife
massa
torta
frango
peixe
bolo
fruta
mousse
pudim
3 possibilidades 5 possibilidades 4 possibilidades
A quantidade de refeições é obtida multiplicando-se todas as possibilidades. Sendo assim: 3 5 4 = 60 refeições
Permutação simplesPermutação simples
4
Permutar é o mesmo que trocar. Nos problemas de permutação simples, a ideia que fica é de trocar ou embaralhar as posições de todos os elementos.Observe os exemplos:
1) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar utilizando os algarismos 3, 5 e 7? Note o uso da palavra “distintos”, ou seja, sem repetir o mesmo algarismo.
As possibilidades são:357, 375, 537, 573, 735 e 753.
Podemos representar também em um “diagrama de árvore”:
5 73
7 5
3 75
7 3
3 57
5 3
Utilizando o princípio fundamental da contagem, temos:3 2 1 = 6 possibilidades 3 possibilidades 2 possibilidades 1
possibilidade
5
Permutação simplesPermutação simples
2) Quantos anagramas existem da palavra azul?Anagramas são todas as palavras formadas, com ou sem sentido, pelas letras da palavra dada, embaralhando a sua ordem.A maneira mais fácil de construir todas as possibilidades é pelo “diagrama de árvores”. Observe:
u lz l u
z la u l z
z ul u z
u la l u
a lz u l a
a ul u a
z la l z
a lu z l a
a zl z a
u za z u
a ul z u a
a zu z a
Utilizando o princípio fundamental da contagem, temos:4 3 2 1 = 24 possibilidades
Concluímos que para n termos a expressão ficaria:Pn = n (n – 1) (n – 2) ... 2 1 = n!
6
Permutação com repetiçãoPermutação com repetição
É a permutação onde aparecem elementos repetidos. Se trocarmos a ordem destes, não aparecerá mudanças na posição.Exemplo: Os anagramas da palavra “matemática”.Ao mudar as letras “m” com outra “m” aparentemente não houve mudança. O mesmo com as letras “a” ou “t” .Assim, seguimos o raciocínio:
n
1 2 3
P 10! 10 9 8 7 6 5 4 3!151200
P P P 2! 3! 2! 2 3! 2
Onde Pn é a permutação das dez letras da palavra matemática,P1 é o número de letras “m” que são repetidas, P2 é o número de letras “a” repetidas e P3 é o número de letras “t” repetidas.
Generalizando:
, ,n
n!P
! ! !
7
Arranjo simplesArranjo simples
Ocorre quando de n elementos desejamos pegar p, no qual a ordem destes importa. Assim temos a relação:
n,p
n!A
(n p)!
Exemplo: Com as letras da palavra “república”, quantas palavras, com ou sem sentido, podemos formar utilizando 5 destas letras?
1º modo de resolver:a
9 8 7 6
a 1 casa como foi usado um dois termos foram usado
pode ter termo na primeira foram usados,
nove termos casa, sobraram oito restando sete
para escolher na para escolher
segunda casa um para esta casa
5
15120s quatro termos
3 termos dos usados. Restaram
nove, restando cinco nesta casa
seis para esta para selecionar
casa
2º modo de resolver: 9,5
9! 9 8 7 6 5 4!A 15120
(9 5)! 4!
n p
8
Combinações simplesCombinações simplesOcorre quando de n elementos desejamos pegar p, no qual a ordem destes não importa. Assim temos a relação:
n,p
n n!C
p p!(n p)!
Exemplo: Em uma empresa com nove funcionários, cinco serão chamados para uma reunião. De quantas formas diferentes poderá ser formado o grupo para a reunião?
9,5
9 9! 9 8 7 6 5! 9 8 7 6C 126
5 5!(9 5)! 5!4! 4 3 2 1
n p
9
Números binomiaisNúmeros binomiais
Chama-se número binomial o número com tal que, n
p
n p
n n!
p p!(n p)!
(n é o numerador e p é a classe do número binomial).
Números binomiais iguais: Se, então:9 9
5 x
x 5
ou
x 5 9 x 4
10
Triângulo de PascalTriângulo de Pascal
É uma forma de dispor números binomiais. Observe a sequência:0
0
1 1
0 1
2 2 2
0 1 2
3 3 3 3
0 1 2 3
4 4 4 4 4
0 1 2 3 4
... ... ... ... ... ...
n n n n n ...
0 1 2 3 n
ou
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
onde
+
+
De modo geral:n 1 n 1 n
p 1 p p
11
Triângulo de PascalTriângulo de Pascal
Observe a soma dos elementos de uma mesma linha no triângulo de Pascal:
0
1
2
3
4
01 2
0
1 11 1 2 2
0 1
2 2 21 2 1 4 2
0 1 2
3 3 3 31 3 3 1 8 2
0 1 2 3
4 4 4 4 41 4 6 4 1 16 2
0 1 2 3 4
De modo geral, t
p nn
p 0
emos
n n n n n n ... 2
p 0 1 2 3 n
:
12
Triângulo de PascalTriângulo de Pascal
Outras propriedades:
p p 1 p 2 n n 1
p p p p p 1
0
0
1 1
0 1
2 2 2
0 1 2
3 3 3 3
0 1 2 3
4 4 4 4 4
0 1 2 3 4
... ... ... ... ... ...
n n n n n ...
0 1 2 3 n
+
+ 1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
+
+
13
Triângulo de PascalTriângulo de Pascal
n n 1 n 2 n p n p 1
0 1 2 p p
0
0
1 1
0 1
2 2 2
0 1 2
3 3 3 3
0 1 2 3
4 4 4 4 4
0 1 2 3 4
... ... ... ... ... ...
n n n n n ...
0 1 2 3 n
+
Outras propriedades:
+ 1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
++
14
Binômio de NewtonBinômio de NewtonToda potência da forma (x+y)n, sendo n um número natural, é conhecido como binômio de Newton. Abaixo temos alguns casos comuns.
0
1
2 2 2
3 3 2 2 3
4 4 3 2 2 3 4
x y 1
x y x y
x y x 2xy y
x y x 3x y 3xy y
(x y) x 4x y 6x y 4xy y
Para desenvolver estes binômios, podemos generalizar como segue:
0 0 1 1 2 2 2 2 1 1 0
0 1 2 2 1
n n n n n n nn n n n n nx y x y x y x y x y x y x y
n n n
Exemplo:
0 1 2 3 4 55 4 3 2 1 02 5 2 2 2 2 2 2
2 5 5 4 2 3 4 2 6 8 10
5 5 5 5 5 5(2x 3y ) 2x 3y 2x 3y 2x 3y 2x 3y 2x 3y 2x 3y
0 1 2 3 4 5
(2x 3y ) 32x 240x y 720x y 1080x y 810xy 243y
15
Binômio de NewtonBinômio de Newton
Termo geral do binômio de Newton é o desenvolvimento de apenas um dos termos de todo o desenvolvimento. Assim...
n
n p pp 1
...para (x y) , o desenvolvimento de apenas um dos
termos pode ser feito pelo termo geral a seguir...
nT = x y
p