Post on 10-Dec-2018
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
ESCOLA DE ENGENHARIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA
QUÍMICA E DE PETRÓLEO – TEQ
FERRAMENTAS NUMÉRICO-COMPUTACIONAIS PARA ANÁLISE DO
COMPORTAMENTO DE RESERVATÓRIOS DE PETRÓLEO
MONOGRAFIA DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE PETRÓLEO
LORRAN SANTOS BASÍLIO
NITERÓI
2012
LORRAN SANTOS BASÍLIO
FERRAMENTAS NUMÉRICO-COMPUTACIONAIS PARA ANÁLISE
DO COMPORTAMENTO DE RESERVATÓRIOS DE PETRÓLEO
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao
Curso de Graduação em Engenharia de Petróleo da
Escola de Engenharia da Universidade Federal
Fluminense, como requisito parcial para obtenção
do Grau de Bacharel em Engenharia de Petróleo.
Orientadores: Fernando Cunha Peixoto, D. Sc.
Sergio Henrique Guerra de Sousa, M. Sc.
NITERÓI
2012
AGRADECIMENTOS
Primeiramente, a Deus por estar sempre ao meu lado, guiando meu caminho,
protegendo-me dos perigos e abençoando-me em todos os sentidos de minha vida.
A meus pais, Ana Marcia Rodrigues Santos Marcelino e Mauro César Viana Basílio,
por todos os cuidados a mim prestados, por toda a excelente educação provida, pelo
amor incondicional concedido e pela confiança prestada em todas as decisões tomadas.
A minha irmã, Débora Paula Santos Marcelino, por mostrar o exemplo de pessoa
dedicada, responsável e amorosa a ser com a família.
A todos os meus amigos que estiveram sempre ao meu lado em minha jornada até
conseguir finalizar minha graduação.
A Fernando Cunha Peixoto por além de ser um profissional exemplar, responsável e
competente, ser uma pessoa amiga e companheira em toda a minha vida acadêmica.
Aos amigos e companheiros de turma durante o período universitário que me
acompanharam nessa trajetória de vitórias e derrotas, mas sempre mantendo a cabeça
erguida para os próximos desafios.
iii
Noite a fora que me cobre
Negra como um breu de ponta a ponta,
Eu agradeço, a quem forem os deuses
Por minha alma incansável.
Nas cruéis garras da circunstância
Eu não fiz cara feia ou sequer gritei.
Sob as pauladas da sorte
Minha cabeça está sangrenta, mas não rebaixada.
Além deste lugar de raiva e lágrimas
É iminente o horror da escuridão,
E ainda o avançar dos anos
Encontra, e me encontrará, sem medo.
Não importa o quão estreito seja o portão,
O quão carregado com castigos esteja o pergaminho,
Eu sou o mestre de meu destino;
Eu sou o capitão de minha alma.
(Nelson Mandela)
iv
Resumo da Dissertação apresentada à UFF como parte dos requisitos necessários para
obtenção do grau de Graduado em Engenharia de Petróleo.
FERRAMENTAS NUMÉRICO-COMPUTACIONAIS PARA ANÁLISE
DO COMPORTAMENTO DE RESERVATÓRIOS DE PETRÓLEO
Lorran Santos Basílio
Junho/2012
Orientadores: Fernando Cunha Peixoto, D. Sc.
Sergio Henrique Guerra de Sousa, M. Sc.
Departamento: Engenharia de Petróleo
O estudo de reservatórios de petróleo é permeado por dificuldades de diversas
naturezas, tais como a previsão de propriedades físicas e/ou físico-químicas, a
reconciliação de balanços de materiais a dados de históricos de produção e a previsão da
contribuição de aquíferos. Este trabalho utilizou técnicas numéricas e computacionais
para auxiliar na solução de alguns destes problemas, tais como o critério estatístico de
Máxima Verossimilhança, métodos de otimização tipo Quasi-Newton (BFGS) e
metaheurístico de Simulated Annealing. Como cada ferramenta apresenta características
particulares, pretendeu-se estudar casos para correlacioná-los com tais características,
analisando seus pontos positivos e negativos. Em linhas gerais, todos envolveram
processos iterativos sobre a função objetivo obtida da Máxima Verossimilhança, obtida
a partir de balanços materiais do reservatório em questão ou de modelos empíricos de
ajuste de histórico. Contribuições inéditas foram feitas no que se refere à região de
busca bem como ao tratamento dos erros finais dos ajustes.
v
Abstract of essay presented to UFF as a partial fulfillment of the requirements for the
degree of graduated in Petroleum Engineering.
NUMERICAL AND COMPUTATIONAL TOOLS FOR ANALYSIS
OF PETROLEUM RESERVOIRS BEHAVIOR
Lorran Santos Basílio
June/2012
Advisors: Fernando Cunha Peixoto, D. Sc.
Sergio Henrique Guerra de Sousa, M. Sc.
Department: Petroleum Engineering
Petroleum reservoir study presents difficulties of various kinds, such as physical and/or
physicochemical properties prediction, reconciliation of material balances to production
historical data and aquifer contribution estimation. This work intends to use numerical
and computational techniques to assist the solution of some of these problems, like the
statistical criterion of Maximum Likelihood, optimization methods of Quasi-Newton
type (BFGS) and the Simulated Annealing metaheuristics. Once each tool presents its
own particular features, the work used case studies to correlate these features, analyzing
its positives and negatives aspects. Basically, all of the solutions involved iterative
procedures on the objective function obtained with the Maximum Likelihood criteria,
material balances of the reservoir in study or empiric models for historical adjustment.
Unpublished contributions have been made in search space aspects, as well as in the
treatment of fittings’ final errors.
vi
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Ciclo de vida de um reservatório (Satter et al., 2000).....................................1
Figura 2 – WLLN (Weak Law of Large Numbers).........................................................3
Figura 3 – Produção ao longo do tempo sob ação dos três tipos de taxas de declínio.....6
Figura 4 – Pontos de máximo e mínimo da função sen(x) com D=[0,2π].....................14
Figura 5 – Estimador coerente e não-tendencioso..........................................................19
Figura 6 – Gráfico da função exp(x) e ln(x)...................................................................21
Figura 7 – Resultado do ajuste do modelo do Caso 01 (pontos – valores experimentais; curvas contínuas – modelo ajustado)...............................................................................32
Figura 8 – Resultado do ajuste do primeiro modelo do Caso 02 (pontos – valores experimentais; curvas contínuas – modelo ajustado)......................................................34
Figura 9 – Resultado do ajuste do segundo do modelo do Caso 02 (pontos – valores experimentais; curvas contínuas – modelo ajustado)......................................................35
Figura 10 – Resultado do ajuste do Caso 03 (pontos – valores experimentais; curvas contínuas – modelo ajustado)..........................................................................................38
Figura 11 – Resultado do ajuste do modelo da Equação ( do Caso 04 (pontos – valores experimentais; curvas contínuas – modelo ajustado)......................................................40
Figura 12 – Resultado do ajuste do modelo da Equação ( do Caso 04 (pontos – valores experimentais; curvas contínuas – modelo ajustado)......................................................40
Figura 13 – Resultado do ajuste do modelo da Equação ( do Caso 04 (pontos – valores experimentais; curvas contínuas – modelo ajustado)......................................................41
vii
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 – Dados de produção do reservatório de óleo do estudo de caso 01...............30
Tabela 2 – Dados de produção do reservatório de gás do estudo de caso 02.................33
Tabela 3 – Dados de produção do reservatório do estudo de caso 03............................35
Tabela 4 – Dados de histórico de produção do poço do estudo de caso 04....................39
Tabela 5 – Resultados dos modelos ajustados para o Caso 04.......................................39
Tabela 6 – Valores da constate dos gases reais em diversas unidades...........................50
viii
NOTAÇÃO
gB → fator volume-formação do gás
ginjB → fator volume-formação do gás injetado
oB → fator volume-formação do óleo
tB → fator volume-formação total do óleo
tiB → fator volume-formação total do óleo inicial
wB → fator volume-formação da água produzida
winjB → fator volume-formação da água injetada
fc → compressibilidade da formação
wc → compressibilidade da águaCOV → matriz variância-covariância do modelo
1COV −→ matriz variância-covariância inversa do modelo
injG → volume acumulado de gás injetado (condições padrão)
pG → volume acumulado de gás produzido (condições padrão)
)(H kθ → matriz Hessiana do modelo na iteração kJ → índice de produtividade do aquífero
)(J kθ → matriz jacobiana do modelo na iteração kk → índice da iteraçãon → quantidade de parâmetros do modeloN → volume original de óleo (condições padrão)
pN → volume acumulado de óleo produzido (condições padrão)
0P → pressão de referência, equivalente a 14,7 psia (1 atm)
( ) MPSSaP → pressão média do aquífero, usando o modelo pseudopermanente modificado de Leung( ) PSSaP → pressão média do aquífero, usando o modelo pseudopermanente
iP → pressão inicial média do reservatório
ip → peso referente ao parâmetro i( )tP → pressão média do reservatório em função do tempo t
( )θP → função densidade de probabilidade de θ
tP → pressão média do reservatório no instante t
0q → vazão inicial de produção
pR → razão gás/óleo acumulada
sR → razão de solubilidade gás/óleo ou razão gás/óleo de solução
siR → razão de solubilidade gás/óleo ou razão gás/óleo de solução inicial
ix
wiS → saturação inicial de água ou de água conatat → tempo
0T → temperatura de referência, equivalente a 520R (60ºF)T → temperatura no instante t
iV → volume inicial no reservatório de óleo, gás e/ou água (condições de reservatório)
eW → influxo acumulado de água
pW → volume acumulado de água produzida (condições padrão)
injW → volume acumulado de água injetada (condições padrão)
x
LETRAS GREGAS
α → taxa de declínio instantânea (mês-1, ano-1)
β → taxa de declínio particular do declínio hiperbólico
( )θφ → função objetivo dos parâmetros do modeloθ → vetor de parâmetros a serem estimados
θ~ → vetor estimado dos parâmetros
θ → vetor médio dos parâmetroseθ → vetor experimental dos parâmetroseiθ → valor experimental do parâmetro ikθ → vetor obtido na iteração k
1k+θ → vetor obtido na iteração k+1mθ → vetor dos parâmetros calculados pelo modelomiθ → valor do parâmetro i calculado pelo modelo
iaθ → vetor de avanço do parâmetro i
irθ → vetor de retrocesso do parâmetro i
( )kθφ∇ → vetor gradiente da função objetivo na iteração k
xi
SUMÁRIO
CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO E REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 1
1.1 – CONSIDERAÇÕES INICIAIS 1
1.2 – ORIGEM DO MÉTODO DE ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS 2
1.3 – AJUSTE DE HISTÓRICO 4
1.3.1 – ANÁLISE DE CURVAS DE DECLÍNIO DE
PRODUÇÃO 5
1.4 – REGRESSÃO POR MÁXIMA VEROSSIMILHANÇA 7
1.5 – OTIMIZAÇÃO LINEAR E NÃO-LINEAR 9
1.6 – OUTROS MÉTODOS 11
CAPÍTULO 2 – CONTEXTUALIZAÇÃO METODOLÓGICA DO
PROBLEMA 13
2.1 – CONCEITOS BÁSICOS DE OTIMIZAÇÃO 13
2.2 – COMPARAÇÃO ENTRE OS MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO 14
2.2.1 – MÉTODOS INDIRETOS 15
2.2.2 – MÉTODO SIMULATED ANNEALING 17
2.3 – OTIMIZAÇÃO DE PROBLEMAS MULTIDIMENSIONAIS 17
CAPÍTULO 3 – METODOLOGIA 19
3.1 – CRITÉRIO DE MÁXIMA VEROSSIMILHANÇA 19
3.2 – MÉTODO ITERATIVO DE NEWTON-RAPHSON 22
3.3 – MÉTODO QUASI-NEWTON – BFGS 23
3.4 – MÉTODO SIMULATED ANNEALING 25
CAPÍTULO 4 – ESTUDOS DE CASO 29
4.1 – ESTUDO DE CASO 01 29
4.2 – ESTUDO DE CASO 02 32
4.3 – ESTUDO DE CASO 03 35
4.4 – ESTUDO DE CASO 04 38
CAPÍTULO 05 – ANÁLISES E CONCLUSÕES 42
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 45
ANEXO A - GLOSSÁRIO 50
ANEXO B – LISTAGENS DOS PROGRAMAS 57
xii
CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO E REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
1.1 – CONSIDERAÇÕES INICIAIS
A engenharia de reservatórios de petróleo e gás natural procura utilizar
informações a respeito das propriedades da rocha e dos fluidos contidos na formação, a
fim de determinar como este irá se comportar futuramente. Estes dados podem ser
utilizados para melhorar a caracterização do reservatório, caso tenha ocorrido produção.
Assim, o gerenciamento de reservatórios objetiva promover a identificação do potencial
da região, assim como maximizar seus ganhos em todos os setores da indústria de
petróleo (upstream, midstream e downstream).
Com base no ciclo de vida do reservatório, um empreendimento nesta área pode
ser separado, cronologicamente, em: exploração, descoberta, avaliação,
desenvolvimento, produção e abandono. O gerenciamento de reservatórios está
profundamente relacionado às etapas de desenvolvimento e produção, já que envolve a
aquisição de dados e análise destes e, seu constante monitoramento para verificação das
determinações propostas no desenvolvimento (Satter et al., 2000). Uma representação
esquemática destas etapas pode ser vista na Figura 1, abaixo:
Figura 1 – Ciclo de vida de um reservatório (Satter et al., 2000). Uma gestão de sucesso deve cumprir, necessariamente, cinco etapas: (1)
determinar um objetivo (maximizar a produção); (2) construir um plano (aquisição de
dados e análise, modelos numéricos e geológicos, previsão de produção e de reserva,
otimização econômica e etc); (3) instaurar as decisões tomadas, ou seja, o que foi pré-
1
estabelecido no plano; (4) monitorar os resultados, ou seja, comparar com o previsto e
verificar conformidades e, por fim, (5) avaliá-los no sentido de verificar como o
planejamento está de acordo com a performance atual (Satter et al., 2000). Tais etapas
visam fornecer estimativas do desempenho futuro do campo, com base em informações
de seu comportamento passado. Vários modelos e abordagens são passíveis de
aplicação, tais como: combinações de equações de balanços materiais, métodos
analíticos, heurísticos e empíricos. Curvas de declínio de produção, por exemplo, são
úteis caso os dados estejam restritos a informações da relação da vazão com o tempo e
métodos clássicos de ajuste são usados, ou em poços terrestres quando é necessário
apresentar uma estimativa da produção na área e outros métodos são muito caros e/ou
lentos ou, ainda, com elevado número de poços e outros métodos podem se tornar
excessivamente lentos. Balanços mais rigorosos podem ser erigidos quando existe um
detalhamento maior das características da formação, dos fluidos, dos aqüíferos
contíguos, etc. Contudo, todos os métodos compartilham a mesma metodologia geral,
que envolve a manipulação dos parâmetros desconhecidos até que o resultado do
modelo esteja, segundo o critério estatístico de máxima verossimilhança, o mais
próximo possível dos dados experimentais. É óbvio que a complexidade maior
demandará métodos numéricos mais robustos e eficientes, assim como maior
capacidade de processamento. Entretanto, a precisão e acurácia dos parâmetros, obtidos
a partir desses métodos, serão maiores.
Para atingir tais objetivos, o presente trabalho foi organizado na seguinte forma:
o presente capítulo, de introdução, tenta posicionar e contextualizar o problema; o
segundo capítulo proporciona uma contextualização dos elementos de otimização
necessários aos métodos que serão utilizados adiante; o terceiro capítulo descreverá a
metodologia utilizada, no que se refere às ferramentas, critérios e métodos efetivamente
escolhidos para implementação; o quarto capítulo mostrará os estudos de caso
realizados; e, o quinto capítulo efetuará as análises e tecerá as conclusões adequadas.
1.2 – ORIGEM DO MÉTODO DE ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS
Já no século XVIII foram feitas as primeiras investigações sobre o método dos
mínimos quadrados, de maneira declaradamente empírica por parte de Gauss e de
maneira mais sistemática por parte de Legendre (Beck e Arnold, 1977). Tendo
postulado que a função densidade de probabilidade deve ser maximizada para uma 2
distribuição normal dos erros, Gauss forneceu fundamentos estatísticos ao método dos
mínimos quadrados e antecipou sua generalização, o método da máxima
verossimilhança (Bard, 1974).
A partir disso, trabalhos no âmbito dos aspectos computacionais do ajuste por
mínimos quadrados foram sendo desenvolvidos ao longo do século XIX. Gauss,
Cauchy, Bienaymé, Gram, Schmidt, Chebyshev são alguns dos estudiosos que se
destacaram por suas contribuições ao conceito da otimização e estimação de parâmetros.
(Seal, 1967; Himmelblau, 1970; Bard, 1974).
Chebyshev é conhecido por seu trabalho no campo da probabilidade, estatística e
teoria dos números, tendo formulado a desigualdade que leva seu nome e que postula
que se X é uma variável randômica com desvio padrão σ, a probabilidade do resultado
de X não ser menor do que (aσ) longe de sua média não é maior do que 1/a², onde a é
um número real e positivo (Chebyshev, 1850). Tal desigualdade é utilizada para
comprovar a WLLN (Weak Law of Large Numbers), que diz que quanto mais tentativas
são realizadas na busca do melhor valor, a média da amostra converge para este valor
procurado, o que também antecipa importante conceito: o de coerência e ausência de
tendência estatística. Esse comportamento pode ser observado na Figura 2 abaixo, para
o caso de lançamentos sucessivos de um dado não-viciado.
WLLN
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
1 12 23 34 45 56 67 78 89 100
111
122
133
144
155
166
177
188
199
Tentativas
Méd
ias
y=3,5Médias
Figura 2 – WLLN (Weak Law of Large Numbers)
A partir do início do século XX, Karl Pearson e Ronald Aylmer Fisher tiveram,
como objetivo de estudo, o desenvolvimento de métodos estatísticos de obtenção de
3
parâmetros. O desenvolvimento do método da máxima verossimilhança é creditado a
Fisher, incluindo análises de propriedades de estimação como, por exemplo, eficiência,
suficiência e consistência, mesmo tendo se baseado nas ideias de Gauss (Seal, 1967;
Himmelblau, 1970; Bard, 1974).
Geralmente, os exemplos reais resultavam em problemas de otimização não-
linear de porte, demandando a utilização dos métodos de otimização eficientes e
robustos. Até hoje, para alguns casos, são necessários algoritmos especificamente
desenvolvidos, mas, com o advento dos computadores, essa dificuldade tem sido
contornada, ainda que os tempos de processamento sejam elevados (Bard, 1974).
Com o passar dos anos, nota-se o aumento do número de artigos publicados na
área, fato que demonstra o grande impacto causado pelo desenvolvimento
computacional na área de estimação de parâmetros. Como uma exemplificação, de 1945
a 1954, apenas 0,001% do total de artigos eram referentes a estimação de parâmetros.
Mais recentemente, cerca de 0,115% do total de artigos são referentes à estimação de
parâmetros.
1.3 – AJUSTE DE HISTÓRICO
Neste procedimento, o objetivo é a determinação dos parâmetros do reservatório
e/ou aquífero, bem como a discriminação do modelo de influxo de água. Para uma
futura previsão do comportamento do reservatório, podem ser utilizados o modelo do
aquífero e o volume de óleo e/ou gás presentes originalmente no reservatório, estes
podendo ser objetos de ajuste.
Este ajuste é realizado a partir da aplicação de um modelo matemático descrito
por equações de balanço material ou ajuste de histórico de produção, até que o valor
calculado pelo modelo apresente variância fundamental mínima. Assim, é possível
encarar o processo de ajuste de histórico como um processo de otimização, onde se
procura determinar o ponto onde os desvios sejam os menores possíveis, ou seja, os
dados calculados e os experimentais apresentem a máxima verossimilhança.
As equações utilizadas podem atender modelos de gás, de gás condensado ou de
óleo, carbonáticos ou areníticos, modificando, assim, a expressão de sua equação, visto
que cada reservatório apresenta suas particularidades. A inclusão dessas expressões
garante uma maior confiabilidade no ajuste, pois utilizam características e parâmetros
da região estudada, resultando em elevada aplicabilidade na indústria.4
Em alguns casos, o modelo ajustado pode ser linear ou linearizável, tornando
analítica a solução, por regressão linear. Caso contrário, o estudo do modelo é realizado
a partir de um método de otimização numérica, onde os parâmetros são obtidos de
forma iterativa, alguns dos quais foram apontados neste trabalho.
1.3.1 – ANÁLISE DE CURVAS DE DECLÍNIO DE PRODUÇÃO
Trata-se de um método simplificado para previsão de comportamento de poços
isolados, bem como em análises de campos como um todo. Como demanda menos
tempo de processamento, é utilizado em estudos preliminares, como testes de longa
duração em poços exploratórios. Sua utilização é justificada pela inviabilidade dos
modelos analíticos, já que não há dados suficientes que promovam um modelo
adequado (Campbell, J.M., 1959; Slider, H.C., 1976). Por ser baseado em modelos
empíricos, o método apresenta dados facilmente ajustáveis, permitindo análise gráfica
trivial, bem como análises bastante simples.
Como dito, um modelo empírico para a taxa de declínio de produção deve ser
arbitrado. Este, por sua vez, serve tanto para a previsão do comportamento da vazão
como da recuperação de óleo do reservatório. Em linhas gerais, a taxa de declínio é
definida como o inverso da vazão multiplicado pela variação desta com o tempo:
dtdq
q1−=α (
Onde o sinal negativo é utilizado, convencionalmente, pelo fato da vazão ser
decrescente, conferindo, à taxa, um valor positivo. Outras formas de obter essa taxa são
a partir das análises do comportamento de poços e/ou campos semelhantes (poços de
correlação), ou mesmo do comportamento passado do poço.
Três modelos arbitrários e empíricos são tradicionalmente propostos (Cronquist,
2001). O primeiro é a taxa de declínio harmônica, no qual a taxa diminui contínua e
linearmente com a vazão, podendo voltar a aumentar caso seja empregado alguma
operação de estimulação no poço, aumentando, assim, sua vazão e, consequentemente,
diminuindo sua taxa de declínio de produção. É o tipo mais favorável, porém é o que
menos ocorre, exceto em reservatórios com mecanismo de influxo de água bastante
acentuado:
( ) ( )1t.q
tq 0
+α= (
5
Um segundo tipo é a taxa de declínio exponencial, que pode ser definida como o
declínio percentual efetivo ou constante, que, em termos matemáticos, expressa o
conceito de taxa de perda incremental. Geralmente, ocorre em reservatórios produzindo
sob o mecanismo de gás em solução, ou no final da vida produtiva de reservatórios. É
possível afirmar que reservatórios que seguem este padrão apresentam baixas
recuperações finais (Matthews e Lefkovits, 1956 apud Cronquist, 2001):
( ) t0eqtq α−= (
O último é a taxa de declínio hiperbólica, adequada à produção em poços onde a
razão água/óleo do reservatório diminui com o tempo, reservatórios de óleo com
drenagem gravitacional com capa de gás e na fase inicial de campos de gás (Matthews e
Lefkovits, 1956, apud Cronquist, 2000, Wong e Ambastha, 1995, apud Cronquist,
2000:
( )( ) βα β+
= 10
t.1
qtq (
A Figura 3, abaixo, apresenta uma comparação entre os tipos de taxa de declínio
de produção:
Curvas de declínio de produção
0100200300400500600700800900
10001100
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20tempo (anos)
Vaz
ão (B
OPD
)
HarmônicoHiperbólicoExponencial
Figura 3 – Produção ao longo do tempo sob ação dos três tipos de taxas de declínio
6
1.4 – REGRESSÃO POR MÁXIMA VEROSSIMILHANÇA
O objetivo de um procedimento de otimização é maximizar ou minimizar o valor
numérico de uma função. Esse valor pode ser o valor presente líquido esperado de um
projeto, seu custo, o número esperado de visitantes por dia em um parque, o número de
espécies perigosas que serão salvas, dentre outros.
Para tal, uma função chamada função objetivo, que é uma expressão numérica
direta ou indiretamente relacionada às variáveis da otimização, é tomada como índice de
mérito de uma determinada configuração gerada ao longo do processo iterativo de
busca. Tal função atende plenamente ao objetivo de estimação, no qual se deseja obter o
melhor conjunto de parâmetros para descrever um fenômeno. Contudo, é necessário
impor um critério comparativo, priorizando os que levem a resultados com
consequências estatísticas conhecidas, o que é conseguido com a utilização do critério
de máxima verossimilhança.
O critério será detalhado adiante, mas, de maneira geral, baseia-se em maximizar
a probabilidade dos desvios dos pontos experimentais em relação ao modelo aderirem
conjuntamente a uma distribuição de probabilidades arbitrária (Bard, 1974). A
substituição dos valores medidos e do modelo na distribuição (conjunta) dá origem à
função verossimilhança, cujo máximo, então, é procurado mediante manipulação dos
parâmetros presentes no modelo. Quando for obtido o vetor com os parâmetros
maximizantes da função verossimilhança, pode-se afirmar que foi obtido o elenco de
parâmetros que melhor descreve o fenômeno, frente aos dados experimentais e mediante
o critério adotado.
Apesar da aparente simplicidade, tal otimização, via de regra, é complexa e o
método necessita da definição arbitrária de uma função, que é denominada função de
distribuição de probabilidades dos desvios. O emprego dessa função, sendo ela normal
ou gaussiana, tem fundamento teórico considerável e vantajosas consequências
estatísticas (Ratkowsky, 1990).
Como justificativa adicional a esta escolha arbitrária, consideram-se as
características de uma distribuição normal, que são (Bard, 1974): apresentar atração da
média pela região de maior concentração de medidas experimentais; similaridade com
outras distribuições quando o número de medidas é aumentado e ser uma distribuição a
dois parâmetros.
7
Desta forma, a partir da consideração de que os desvios distribuem-se
normalmente, pode-se escrever a função verossimilhança da seguinte forma:
( ) ( )( ) ( ) ( )
θ−θθ−θ−π=θ −
−me1tme
2/n
COV21exp
COVdet2L (
Sabendo que o objetivo é a maximização da função anterior, é possível notar que
a maximização é realizada a partir da minimização da expressão que está no interior da
exponencial, que figura como a função objetivo a ser minimizada. Caso os pontos
experimentais sejam independentes, a matriz de variâncias e covariâncias é diagonal,
tornando a função objetivo uma soma ponderada dos quadrados dos desvios.
Geralmente, os desvios nas variáveis independentes podem ser descartados visto
que elas podem ser controladas com a precisão que for desejada. Entretanto, essas
variáveis podem apresentar desvios da mesma ordem de grandeza das variáveis
dependentes, como em problemas de reconciliação de dados em casos onde são
utilizadas plantas industriais, apresentando papel fundamental neste processo (Kim et
al., 1991a, 1991b).
Além disso, como são usadas médias das réplicas experimentais e a variância da
média é inversamente proporcional ao número de medidas, conclui-se que o método
“suaviza” a informação experimental disponível.
Somente com as hipóteses utilizadas é possível obter o formato final. Entretanto,
Gauss provou que os parâmetros assim obtidos tendem a ser coerentes e os menos
tendenciosos possíveis, não sendo rara a obtenção de parâmetros completamente
coerentes e não tendenciosos. É ainda possível sua extensão a casos multiresposta, mas
a forma de ponderação das várias saídas é ainda mais arbitrária, pois não existe critério
estatístico que embase qualquer proposta.
Quando é realizado o mesmo número de réplicas em todos os pontos
experimentais e não é possível especular sobre a importância relativa aos pontos
experimentais, recupera-se o método dos mínimos quadrados. Em casos em que seja
possível avaliar o erro de medida, pode-se usar um fator de escala (peso), característico
de cada ponto experimental, para estimar a variância fundamental e obter a variância de
cada ponto, a ser usada na posição diagonal correspondente da matriz que, como se
pode notar em (, é parte integrante da função objetivo. Uma prática também comum,
quando não se conhece o erro de medida, é utilizar, como fator de escala, o inverso do
quadrado do valor medido, uma vez que pontos de baixa ordenada estarão muito
8
próximos da precisão do equipamento e são, portanto, pouco confiáveis. Em casos
extremos, principalmente aqueles onde os dados são correlacionados, é possível incluir
os elementos da matriz de variância e covariância no elenco de parâmetros a ajustar,
sendo este um procedimento proibitivamente onerante sob o ponto de vista
computacional (Ricker, 1984).
Sabendo da necessidade de um novo modelo que atendesse essas discrepâncias,
Santos e Pinto (1998) desenvolveram um método iterativo de estimação. Nele, a matriz
de variância-covariância é substituída pela matriz variância-covariância de predição, ou
seja, é calculada uma nova matriz no final de cada iteração. Essa metodologia é repetida
quantas vezes forem necessárias, até que a matriz de predição atinja a convergência ou,
mesmo, esteja tão próximo disso quanto desejado.
Vários métodos podem ser utilizados na solução do problema de otimização
resultante. Dentre eles, o método Quasi-Newton Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno
(BFGS), configura-se como bom candidato a ser utilizado em problemas sem grandes
chances de apresentar múltiplos mínimos locais, e o Simulated Annealing, usado em
casos que correm este risco, sendo escolhas adequadas à engenharia de reservatórios. A
começar pela seguinte, seções adiante esmiuçarão, com suficiente grau de detalhe, as
particularidades destas questões.
1.5 – OTIMIZAÇÃO LINEAR E NÃO-LINEAR
Com a utilização de um método de otimização, parece ser fácil a determinação
do ponto que maximiza a verossimilhança. Porém, como tais funções dependem de
várias variáveis, apresentam formas gráficas complexas, além de certas peculiaridades
como pontos de sela e mínimos e/ou máximos locais. Geralmente, isso ocorre em
otimizações de funções objetivo em reservatórios de petróleo, exigindo um estudo
detalhado do método a ser utilizado na determinação das propriedades procuradas.
Primeiramente, é interessante a descrição de pontos de sela e mínimos e
máximos locais. Pontos de sela apresentam esse nome devido ao fato de suas
vizinhanças apresentarem propriedades de máximo e mínimo, dependendo da direção de
busca seguida. Em contraposição a estes, máximos e mínimos locais são definidos como
pontos que apresentam valores superiores e inferiores, respectivamente, às suas
vizinhanças. Eles não são, necessariamente, nem os máximos, nem os mínimos globais
da função, pois, usualmente, em problemas de otimização encontrados na prática, não é 9
possível avaliar valores ótimos sem antes enumerar e avaliar todas as possibilidades de
combinação dos parâmetros de entrada.
São inúmeros os métodos de otimização existentes na engenharia atualmente.
Para uma breve exposição de alguns, podem ser divididos em (Himmelblau, 1972):
a) Métodos analíticos: com as técnicas do cálculo diferencial e, também, do
cálculo de variações, calculam-se os pontos onde as derivadas são nulas. Apresentam
problemas para sistemas não-lineares e de grande dimensão.
b) Métodos gráficos: são restritos a problemas de uma ou duas dimensões,
pois se baseia na observação de uma representação gráfica da função em análise e sua
inspeção direta, proporcionando a demonstração se este ponto ótimo realmente existe ou
não.
c) Métodos numéricos: são capazes de solucionar problemas de grandes
dimensões e não-lineares e utilizam informações prévias para efetuar a otimização, que
é realizada a partir de métodos iterativos.
d) Métodos de Estudo de Caso: a partir de um número considerável de
soluções é realizada uma análise e a melhor destas é considerada como ótima.
e) Métodos experimentais: são capazes de resolver problemas onde a
formulação matemática torna-se muito complexa, pois são baseados na busca, por meio
de experimentos sobre as variáveis do projeto, de um extremo para o problema ao invés
de sua manipulação matemática.
A otimização, quando possível, utiliza-se de recursos analíticos para sua
condução. Entretanto, essa é uma simplificação que, se não for realizada com cuidado,
pode gerar soluções com elevada incerteza em relação às medições experimentais do
problema. Em geral, esses recursos são utilizados quando desvios nas variáveis
independentes não são considerados e/ou quando as não linearidades não são severas.
Embora possua algumas restrições, possuindo resultados aproximados dos
parâmetros e excluindo alguns casos práticos de engenharia, sua utilização ainda é
bastante expressiva devido à base estatística que apresenta. Draper e Smith (1981) são
dois estudiosos que se dedicaram nessas análises e, forneceram uma descrição
esmiuçada do método de estimação de parâmetros.
10
1.6 – OUTROS MÉTODOS
Todos os métodos descritos anteriormente apresentam certas dificuldades em sua
formulação e aplicação. Assim, com o tempo, os métodos heurísticos de otimização
tornaram-se reconhecidos, pois, embora houvesse dificuldades associadas à formulação
do modelo, essas seriam contornadas facilmente por eles.
Esses obstáculos são superados por métodos heurísticos, que apresentam duas
características principais: independem das estimativas iniciais dos parâmetros no
processo iterativo (por seguirem uma cadeia, teoricamente, markoviana) e não calculam
os valores das derivadas da função objetivo de qualquer ordem.
Esses métodos apresentam soluções eficazes e de simples implementação
computacional, o que proporcionou a eles um maior reconhecimento no estudo da
otimização.
Muitas vezes, esses métodos podem ser divididos nas seguintes categorias:
a) Meta-heurísticas: utilizadas para solução de problemas gerais de
otimização, utilizando parâmetros obtidos a partir de certos procedimentos genéricos e
abstratos, esperando que sejam eficientes. São divididas nos seguintes subgrupos:
a.1) De busca por entornos: realiza as buscas com base na vizinhança da
solução que dispõe-se. Exemplos: GLS (Guide Local Search), Simulated Annealing,
Busca Tabu e Busca reativa.
a.2) De relaxação: reduzem a complexidade do problema e, com a solução
encontrada, obtém-se a solução do problema original. Exemplos: Relaxação
Lagrangeana.
a.3) Construtivas: definem de forma minuciosa o valor de cada componente.
Exemplos: GRASP (Greedy Randomized Adaptive Search Procedure).
a.4) Evolutivas: trabalham com um conjunto de soluções que vai sendo
modelado conforme as iterações são realizadas. Exemplos: Algoritmos meméticos,
Algoritmos genéticos, Estimação de distribuição e busca dispersa e Path Relinking.
a.5) Outras meta-heurísticas: de decomposição, Iterated Local Search, Ant
Colony Optimization, Particle Swarm Optimization, Otimização extrema, dentre outros.
b) Hiper-heurísticas: opera com elevado nível de generalidade. Algoritmo
genético, cujo domínio é composto por uma série de heurísticas que, ao serem utilizadas
em conjunto, fornece soluções indiretamente. No total, existem oito versões desta
categoria.11
Neste trabalho, foi estudado o método Simulated Annealing, especificamente,
devido ao fato de ser bastante documentado sob o ponto de vista de implementação.
12
CAPÍTULO 2 – CONTEXTUALIZAÇÃO METODOLÓGICA DO PROBLEMA
Conforme descrito anteriormente, os modelos a serem estudados têm seus
parâmetros ajustados pelo critério de máxima verossimilhança. Este, por sua vez, pode
ser enquadrado num problema de otimização, fato que impulsionou, no presente
capítulo, a descrição de alguns conceitos clássicos desta área, bem como de alguns
métodos comumente utilizados na engenharia de reservatórios.
2.1 – CONCEITOS BÁSICOS DE OTIMIZAÇÃO
Otimização está relacionada com a presunção da existência de um ponto
estacionário de uma função, o qual pode ser tanto o máximo quanto o mínimo, a procura
de sua localização.
Para estabelecer alguns conceitos básicos de otimização, considera-se certa
função f(x) de uma variável. Um ponto estacionário dessa função será o valor de x que
anula a derivada da função:
( ) 0x'f = (
Com isso, encontra-se um valor que, contudo, não pode ser ajuizado como sendo
um máximo ou um mínimo. Para tal, calcula-se a derivada segunda da função f(x) no
ponto encontrado, ou seja:
( )optx''f (
onde xopt é valor de x no qual f’(x) = 0, ou seja, o ponto ótimo.
Essa segunda derivada informa se o ponto é mínimo ou máximo da seguinte
maneira: quando f’’(xopt) < 0 resulta em xopt ser ponto de máximo e f’’(xopt) > 0 resulta
em xopt ser ponto de mínimo, como pode ser observado na Figura 4
A fim de proporcionar uma melhor visualização e entendimento do componente
teórico, foi utilizado o caso onde a função f(x), também chamada de função objetivo,
dependia de apenas uma variável. Contudo, o valor de xopt pode ser um vetor, caso de
particular interesse ao trabalho.
O problema é que, frequentemente, na formulação de problemas de histórico de
produção em engenharia de reservatórios, a função, obtida para esse cálculo, não é
lograda analiticamente, sendo demandados métodos numéricos de busca.
13
Figura 4 – Pontos de máximo e mínimo da função sen(x) com D=[0,2π]
2.2 – COMPARAÇÃO ENTRE OS MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO
Como serão observadas ao longo deste trabalho, as funções objetivo em
engenharia de reservatórios de petróleo são não-lineares e, muitas vezes, obtidas como
resultado de um procedimento e não com uma expressão algébrica. Ou seja, as soluções
dos problemas não são obtidas analiticamente e, caso seja realizada uma aproximação
linear dos modelos utilizados para desenvolvimento da solução, conclusões equivocadas
podem ser obtidas, devido à qualidade questionável da aproximação em questão.
Os métodos de estudo de caso surgem como boas alternativas para a solução dos
problemas em engenharia de reservatórios de petróleo, já que sua descrição é realizada a
partir de métodos heurísticos de otimização. Tornou-se mais expressiva, entretanto, com
o advento de computadores modernos, que possuem elevada capacidade de cálculo, o
que é imprescindível para este tipo de estudo.
Métodos gráficos aparecem como alternativas inviáveis devido as suas
restrições, pois dependem da função objetivo ser representada em uma ou duas
dimensões. De fato, as funções objetivo em engenharia de reservatórios apresentam
diversos parâmetros a serem otimizados, como volume original de óleo e gás no 14
reservatório, porosidade, constante de influxo de água do aquífero, compressibilidade
total da formação, dentre outros.
Métodos experimentais apresentam certa inviabilidade no processo, pois buscam
obter o melhor resultado a partir da experimentação. Logo, como a quantidade de
parâmetros utilizados é extensa, é explicada a inviabilidade deste método.
Os métodos numéricos são, portanto, as melhores opções para o tratamento
desses problemas. A partir de processos iterativos para efetuar a minimização
necessária, podem ser divididos em dois subgrupos: métodos indiretos, os quais utilizam
cálculos de derivadas da função objetivo (por exemplo: Método do gradiente, Método
do gradiente conjugado, Método de Newton, Quasi-Newton); e, métodos diretos, os
quais prescindem do cálculo de derivadas (por exemplo: Hooke-Jeeves, Nelder-Meadou
Método Simplex, Método de Powell).
Com o passar dos anos, outros métodos foram sendo estudados e apresentaram
uma viabilidade considerável quando aplicados nessa área. Esses métodos são
denominados de métodos heurísticos de otimização, por tentarem mimetizar fenômenos
naturais de busca de um mínimo.
2.2.1 – MÉTODOS INDIRETOS
São caracterizados por demandar o cálculo das derivadas de primeira e/ou
segunda ordem da função objetivo em relação aos parâmetros. O mais simples é o
método do gradiente, pois se baseia no cálculo do gradiente da função objetivo, ou seja,
apenas das derivadas de primeira ordem. Como o vetor gradiente, em cada ponto, indica
a direção de maior aumento do valor da função objetivo, parece intuitivo fazer uso da
direção contrária em um problema de minimização, ou seja, o sentido contrário ao
proposto pelo gradiente. Tal método, em sua formulação mais trivial, calcula, a cada
iteração, o vetor gradiente da função, executando, então, um passo na direção contrária
a este (Himmelblau, 1972). As iterações são, então, executadas até que o módulo do
gradiente apresente valor dentro de um intervalo de tolerância previamente
especificado. A eficiência do método é bastante influenciada pelo passo utilizado a cada
iteração, o qual pode levar a oscilações ou a lentidão, tornando-o proibitivo. A fim de
evitar essas dificuldades, foram propostas alternativas que usam buscas unidimensionais
na direção definida pelo gradiente.
15
Uma segunda classe de métodos indiretos baseiam-se no método de Newton-
Raphson para solução do sistema não-linear de equações de ponto estacionário da
função objetivo. Ou seja, o problema de otimização pode ser encarado com uma busca
do ponto que torna nulo o vetor gradiente da função objetivo, formato este adequado a
aplicação do método citado. Entretanto, o cálculo analítico das derivadas da função
objetivo só é viável em problemas simples e aproximações, tanto para o gradiente
quanto para a matriz Hessiana, motivando a criação de sucedâneos conhecidos como
métodos tipo secante ou Quasi-Newton.
Os métodos Quasi-Newton mais comuns são: SR1, BHHH, BFGS (Broyden-
Fletcher-Goldfarb-Shanno) e L-BFGS (BFGS com memória limitada). Neste trabalho,
explorar-se-á o método BFGS mais em detalhes, visto que é uma das ferramentas
utilizadas para estudo do comportamento de reservatórios de petróleo.
Foi provado que o método de Newton apresenta convergência quadrática nas
proximidades da solução (a série de Taylor pode ser reduzida a uma função quadrática
sem prejuízo considerável nas medições), ou seja, o erro em uma iteração é o quadrado
do erro da iteração anterior. Assim, percebe-se que tal método é bastante sensível à
estimativa inicial e vulnerável a instabilidade inicial. Além disso, como é atraído por
ótimos locais, sua robustez é comprometida. Os métodos Quasi-Newton possuem ordem
de convergência entre 1 e 2 e carregam alguns dos problemas mencionados acima. O
teste de algumas estimativas iniciais e o consequente aumento do conhecimento da
função costuma contornar algumas destas dificuldades, restando, como saldo, a
velocidade final de convergência.
Ao invés de propor aproximantes para a matriz Hesseana, a abordagem BFGS
propõe uma aproximação da matriz Hesseana inversa, eliminando a necessidade de
inversão da matriz e diminuindo, consideravelmente, o tempo de processamento. Com a
utilização desta aproximação em diversos casos da engenharia, foi comprovada a
confiabilidade de suas simplificações e é cada vez mais utilizada nos estudos de
otimização não-linear.
Os métodos diretos não serão discutidos, já que não foram utilizados para os
cálculos de otimização nesse estudo.
2.2.2 – MÉTODO SIMULATED ANNEALING
16
Como visto anteriormente, Simulated Annealing é uma meta-heurística que
procura o ótimo global de uma função mimetizando processos encontrados na natureza
(Kirkpatrick et al., 1983): o espaço de busca representa, por analogia, um sistema físico,
sendo que cada ponto expressa um estado desse sistema e a função objetivo, que será
minimizada, é semelhante a energia do sistema em cada estado. O objetivo deste
método é obter o ponto deste sistema físico que apresenta energia interna mínima, em
analogia. Essas comparações são originárias da metalurgia, onde se desejava obter
estados de baixa energia em um processo térmico, chamado de recozimento (annealing)
de ligas metálicas fortes, com estruturas cristalinas sem falhas.
A cada ponto-estado gerado, o valor da função é calculado e, caso tal valor seja
menor do que o mínimo vigente, tal ponto é aceito e o procedimento iterativo continuará
a partir dele; caso a função objetivo seja maior nesse novo ponto, uma análise
probabilística é feita, a fim de decidir sobre a aceitabilidade desta transição. Essa análise
é realizada a partir do cálculo de uma probabilidade de aceitação que depende dos
pontos envolvidos e de um parâmetro T transiente nas iterações e totalmente análogo à
temperatura no processo de recozimento. Para uma maior exploração do espaço de
busca, valores altos para T são admitidos no início, provocando muitas aceitações das
transições para valores onde a função objetivo é maior.
Quanto mais iterações são promovidas, menor é o valor de temperatura utilizado
no cálculo das probabilidades. Quando os valores de T são suficientemente pequenos, o
problema torna-se um procedimento de transição para valores onde a função objetivo
diminui, apenas. Quando T = 0, o método é reduzido ao algoritmo de greedy, que
realiza transições apenas quando a função objetivo é menor no novo ponto.
Caso a opção seja não seguir para o ponto criado, um novo ponto é obtido e uma
nova análise é feita com base nesse novo ponto.
2.3 – OTIMIZAÇÃO DE PROBLEMAS MULTIDIMENSIONAIS
Neste caso, a visualização gráfica é comprometida, visto a grande quantidade de
variáveis a representar. Outro fator comprometedor é que demanda mais cálculo
computacional, o que ocasiona um gasto maior de tempo na obtenção dos resultados.
Os métodos desenvolvidos para sua resolução são também classificados em
métodos diretos, que prescindem da avaliação das derivadas da função objetivo e,
métodos indiretos, nos quais essa avaliação é demandada.17
A fim de uniformizar a leitura, algumas entidades serão definidas, mormente
aquelas empregadas nos métodos indiretos. O gradiente de uma função é descrito como
o vetor que representa as variações em que a f(θ1, θ2,..., θn) é submetida a cada variação
em uma direção deste vetor, sejam elas quantas forem, ou seja, um conjunto das
derivadas parciais desta função. Dentre as representações deste vetor, é possível citar:
( )
∂
∂∂
∂∂∂=∇
n21
tθf,...,
θf,
θff (
Que é a forma transposta da expressão do gradiente de f. Euler propôs uma
expressão mais compacta deste gradiente:
( ) ∑ θ∂∂=∇
i
ii
t eff (
A procura de pontos estacionários no contexto multidimensional consiste,
portanto, em procurar o vetor ( )n21 ,...,, θθθ=θ que torne nulo o vetor do gradiente.
Nota-se que este conceito é bastante importante em problemas de engenharia.
Com ele, é possível afirmar qual direção apresenta maiores variações e, assim, o
caminho a ser seguido pode ser definido de maneira exata de acordo com o objetivo
inicial.
Analogamente ao caso unidimensional, é necessário, após a obtenção do ponto
estacionário da função, descobrir se este se trata de um ponto de máximo, de mínimo ou
de sela, que é feito através dos autovalores da chamada Matriz Hessiana de f.
( )fH t ∇∇= →ji
2ij θθ
fH∂∂
∂= (
Caso os autovalores da matriz sejam positivos no ponto estacionário em questão,
ele é um mínimo (pelo menos) local; se todos forem negativos, ele é um ponto de
máximo (pelo menos) local; com alguns positivos e outros negativos, o ponto é de sela.
18
CAPÍTULO 3 – METODOLOGIA
A ordem de apresentação dos assuntos da presente seção segue a hierarquia de
decisão do método: primeiro, o critério estatístico utilizado, máxima verossimilhança;
uma vez que este recai num problema de otimização, e que tal problema pode ser
resolvido pela busca do ponto que anula o gradiente, será abordado, em seguida o
método iterativo de Newton-Raphson; devido à inviabilidade de obtenção analítica das
derivadas, a aproximação BFGS é, a seguir, apresentada; por fim, como alternativa em
caso de possibilidade de existência de múltiplos ótimos locais, é apresentado o método
Simulated Annealing.
3.1 – CRITÉRIO DE MÁXIMA VEROSSIMILHANÇA
Tendo sido apresentadas anteriormente a origem histórica deste método, bem
como seus conceitos básicos, cumpre detalhá-lo de forma mais operacional. Antes,
contudo, será melhor detalhado o fato de tal critério produzir estimadores coerentes e de
menor tendência do que outras propostas. Diz-se que um estimador é coerente e não
tendencioso quando seu valor tende para o valor correto quando se aumenta o número
de experimentos e tal se dá com uma variância que tende assintoticamente a zero,
conforme é exemplificado pela Figura 5, abaixo:
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
2 11 20 29 38 47 56 65 74 83 92 101
110
119
128
137
146
155
164
173
182
191
200
209
218
227
236
245
254
263
272
281
290
299
Quantidade de experimentos
Var
iânc
ia
CalculadoCorreto
Figura 5 – Estimador coerente e não-tendencioso
19
O princípio seguido é de que, considerando que os valores medidos
experimentalmente yij estejam distribuídos normalmente em torno do valor correto ξi
com variância σ²εi, as médias experimentais iy apresentam-se distribuídas
normalmente em torno de ξi com variância σ²εi/pi, onde pi é o número de replicas do
experimento i.
Desta forma, pode-se representar a função densidade de probabilidade de y :
( )( ) ( ) ( ) ( )
−−−
= − ξyRξy
21exp
Rdet
1
π2
1yP 1t2/12/n (
onde R é a matriz de variâncias e covariâncias de y .
Os valores corretos são desconhecidos e a verossimilhança do modelo (cujos
parâmetros são θ ) com tais valores pode ser medida substituindo-o no lugar daqueles,
dando origem à função verossimilhança:
( )( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]
−−−
= − θyyRθyy
21exp
Rdet
1
π2
1θL 1t2/12/n (
A estimação, por este método, consiste em obter o máximo valor dessa função
verossimilhança, ou seja, procurar o conjunto de parâmetros que, ao ser comparado aos
valores experimentais, apresenta desvio tão baixo quanto desejado, segundo este
critério. Desta forma, busca-se maximizar a função ( )θL , o que pode ser simplificado
tomando seu logaritmo, uma vez que as variáveis encontram-se no interior da
exponencial e devido ao fato da função logarítmica ser monotônica, não alterando,
portanto, a posição do máximo, conforme se vê na Figura 6, abaixo:
Desta forma:
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]θyyRθyy21RdetLnπ2LnθLLn 1t2/12/n −−−−−= − (
É fácil notar que o ponto que maximixa a verossimilhança é o ponto que
minimiza a última parcela da Equação (, uma vez que as demais parcelas são constantes:
( ) ( )[ ] ( )[ ]θyyRθyy21θ 1t −−=Φ − →
{ }( )θMinθ
θot Φ= (
20
Figura 6 – Gráfico da função exp(x) e ln(x)
Tradicionalmente, os trabalhos na área tentam evitar que as tentativas produzidas
pelos algoritmos de otimização assumam valores fisicamente inconsistentes (não-
negatividade, por exemplo) criando funções-penalidade, o que onera em muito os
algoritmos utilizados (Rosa et al., 2006). O presente trabalho utilizou um recurso
matemático mais eficaz para eliminar tal problema, o que constitui importante
contribuição. Esse recurso foi baseado na utilização, não dos parâmetros desejados
como variáveis de otimização, mas de variáveis auxiliares que, utilizadas em expressões
adequadas, produzirão os parâmetros procurados. Assim, se existir um valor mínimo
acessível a um determinado parâmetro - θmin - e um valor máximo - θmax – é possível
respeitar automaticamente este intervalo, iterando numa variável auxiliar α, no formato:22 αα e.maxθ)e1min(θθ −− +−= pois 1e0
2α << − ℜ∈∀ α (
Um caso particular, e que pode usar uma expressão mais simples, é a exigência
de não negatividade dos parâmetros, que pode ser atendida fazendo:
αeθ = pois 0eα > ℜ∈∀ α (
21
3.2 – MÉTODO ITERATIVO DE NEWTON-RAPHSON
Este método é voltado para a solução de sistemas de equações expressos por
( ) 0θF = , sendo ( )θF conhecida como função-resíduo, uma vez que seu módulo mede a
qualidade de uma determinada proposta de solução. Truncando a série se Taylor para
( )θF ao redor de uma estimativa kθ :
)θθ)(θ(J)θ(F)θ(F k1kkk1k −+= ++ (
onde a matriz ))(F()(J ktk θ∇=θ é chamada de Matriz Jacobiana. Esse processo
iterativo será efetuado até que seja obtido o zero da função ou até que o erro percentual
deste seja tão pequeno quanto desejado. Assim, a iteração será realizada até que o valor
de F no vetor 1kθ + seja nulo ou bem próximo. Compelindo este valor a 0, para obter o
resultado da iteração, ficamos com o lado esquerdo da Equação ( nulo que, rearranjada,
resulta em:
)(F)(J kk1k1k θθ−θ=θ −+ (
Constata-se que o lado direito da Equação ( depende apenas do ponto testado
anteriormente, resultando em um processo explícito de iteração a fim de obter a solução
de sistemas de equações. Similarmente, um caso de otimização de funções vetoriais é
estudado, baseando-se nas mesmas bases já apresentadas. Assim, considera-se uma
função Φ ( θ ), ou seja, uma função que apresenta um vetor como variável independente
e, um número real como variável dependente. Procura-se encontrar o mínimo desta
função, ou seja, ( )[ ]θMín Φ . Logo:
( ) )θ(F0θ ==Φ∇ (
que assume o mesmo formato demonstrado anteriormente. Portanto, realizando o
mesmo raciocínio, obtém-se:
[ ] )()( k1ktk1k θΦ∇θΦ∇∇−θ=θ−+ (
que, reescrita, pode ser expressa da seguinte forma:
)()(H kk1k1k θΦ∇θ−θ=θ −+ (
Assim, o processo iterativo será realizado até que o vetor obtido ( 1kθ + ) seja tão
próximo ao anterior ( kθ ) quanto desejado. Entretanto, como já foi mencionado 22
anteriormente, as funções objetivo apresentam-se sob formas onde as derivadas não são
triviais em engenharia de reservatórios de petróleo.
3.3 – MÉTODO QUASI-NEWTON – BFGS
O procedimento BFGS, descrito nessa seção, aproxima a matriz Hessiana com
base em valores do gradiente da função-objetivo. Como enunciado anteriormente, as
funções empregadas neste estudo não apresentam derivadas triviais. Logo, seu gradiente
deverá ser avaliado por substitutos de diferenças finitas, utilizando apenas valores da
função objetivo estudada.
Para tal, utilizam-se dois conjuntos de vetores com base nos parâmetros do
modelo: conjunto dos vetores de avanço e dos vetores de retrocesso. Uma representação
geral de suas características pode ser feita como segue:
( )
θ=θ⇒≠θ∆+θ=θ⇒=
=θmi
miia im
1im(
( )
θ=θ⇒≠θ∆−θ=θ⇒=
=θmi
miir im
1im(
onde, nesse trabalho, foi utilizado 410 −=θ∆ . Assim, a título de exemplo:
( )
θ
θθ+θ
=θ
−
n
3
2
41
a1
...
101
(
( )
θ
θθ−θ
=θ
−
n
3
2
41
r1
...
101
(
Com esses vetores obtidos, podem-se utilizar diferenças finitas no sentido de
calcular o gradiente da função objetivo, na forma:
23
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
⋅
Φ−Φ
⋅
Φ−Φ
⋅
Φ−Φ
⋅
Φ−Φ
=Φ∇
−
−
−
−
kn
4
knr
kna
k3
4
kr3
ka3
k2
4
kr2
ka2
k1
4
kr1
ka1
k
θ102
θθ...
θ102
θθθ102
θθθ102
θθ
θ (
O próximo passo é obter uma matriz Hessiana que esteja o mais próximo
possível da Hessiana real. O método BFGS faz uso dos valores das duas últimas
estimativas kθ e 1kθ − e dos gradientes nestes pontos, na forma:
1kkk θθθ −−=∆ (
( ) ( )1kkk θθg −Φ∇−Φ∇=∆ (
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) 1k1k1kk111k1k HVθHHθHV−−−−−−− ∆+==⇒= (
onde o último termo da Equação ( é justamente o proposto pela ferramenta BFGS na
forma:
( ) ( )( ) ( )( )( )
( ) ( )( ) ( ) 2
ktk
tkkktk1kk
ktk
tk1kkktkk1kk1k
θg
θθggVθ
θg
gVθθθgVθH
∆∆
∆∆∆∆−∆−
+∆∆
∆−∆∆+∆∆−∆=∆
−
−−−
(
Desta forma, a matriz Hessiana é atualizada a cada iteração realizada, tendo sido
observadas as seguintes características:
1) A matriz Hessiana e/ou sua inversa permanecem positivas definidas,
quando a matriz Hessiana inicial ou sua inversa também o seja.
2) A matriz Hessiana ou sua inversa são matrizes simétricas.
Como últimas observações, menciona-se o fato de serem necessárias duas
estimativas iniciais do vetor manipulado e uma estimativa inicial para a Hessiana, em
geral, a matriz identidade. 24
3.4 – MÉTODO SIMULATED ANNEALING
Este método emula o fenômeno, observando a natureza, de minimização da
energia armazenada na estrutura cristalina durante a sinterização de corpos metálicos.
No método em questão, explora-se uma vizinhança do ponto vigente, através de
perturbações pseudo-aleatórias geradas segundo uma distribuição escolhida a priori. De
acordo com o valor calculado para a função objetivo neste ponto, tal transição pode ou
não ser aceita, segundo um critério baseado no análogo da temperatura no fenômeno de
sinterização (T) – se este valor for menor, a transição é sempre aceita; se for maior, um
número pseudo aleatório entre 0 e 1 é gerado e comparado com a probabilidade da
transição, dada pela estatística de Boltzmann:
( ) ( )
Φ−Φ−=+
TθθexpP
k1k(
sendo aceita a transição cuja probabilidade for maior que o número aleatório gerado no
sorteio.
Um elevado valor para o parâmetro T é arbitrado no inicio do algoritmo,
decaindo, ao longo de sua execução, de uma fração α. Uma boa estimativa inicial para a
ordem de grandeza do parâmetro é conseguida fazendo uma varredura inicial com um
determinado número de testes:
)fln(T
0
mínmáx0
Φ−Φ−= (
onde máxΦ e mínΦ são, respectivamente, o maior e o menor valor da função objetivo
conseguidos na varredura e 0f a fração de aceitação inicial. Neste trabalho, aceitou-se a
sugestão de Pinto e Schwaab (2007), tomando o valor igual a 95%.
Como último aspecto, destaca-se a geração da vizinhança, que será feita na
forma:
rDkk1k +θ=θ + (
sendo D uma matriz diagonal com valores aleatórios entre -1 e 1 e r um vetor com as
dimensões da vizinhança nas várias direções.
No algoritmo abaixo, RAND(n) é um vetor de números aleatórios entre 0 e 1,
com dimensão (n x 1) e DIAG(v) é uma matriz diagonal contendo os elementos de v.
25
ALGORITMO SIMULATED ANNEALING
Entrar o parâmetro de diminuição da temperatura – α
Entrar o raio que define a vizinhança da busca inicial = r1
Entrar o raio que define a vizinhança da otimização = r2
Entrar a fração de aceitação = f
Entrar o numero de estimativas da busca inicial = Ninic
Entrar o número de estimativas do loop interno = Nint
Entrar o número de estimativas do loop externo = Next
Entrar uma estimativa inicial para o vetor de parâmetros = θ
Calcular maior = ( )θφ
Definir menor = maior
Definir θ=θ ot
26
Para i de 1 até Ninic, calcular
( ) 1pRAND2Núcleo −=
Núcleor1+θ=θ
( )θφ=teste
Se teste > maior, então
Definir maior = teste
Fim
Se teste < menor, então
Definir menor = teste e θ=θ ot
Fim
Fim
Calcular )fln(
T menormaior Φ−Φ=
Definir otθ=θ e base = menor
27
Para i de 1 até Next
Calcular T = α.T
Definir aceita = Falso
Para j de 1 até Nint
Calcular ( ) 1pRAND2Núcleo −=
Calcular Núcleor2teste +θ=θ
Calcular teste = ( )testeθφ
Se teste < menor, então
Definir aceita = Verdadeiro
Definir base = teste
Definir testeθ=θ
Definir menor = teste
Definir testeot θ=θ
Caso contrário,
Calcular
−−=
TbasetesteexpE
Se E > RAND(1), então
aceita = Verdadeiro
base = testetesteθ=θ
Fim
Fim
Fim
Fim
28
CAPÍTULO 4 – ESTUDOS DE CASO
Neste capítulo, serão descritos e calculados os estudos de caso. Além disso,
serão calculadas suas matrizes variância-covariância para averiguar os erros associados
a cada parâmetro obtido pelo modelo. Por fim, uma análise sucinta de cada caso será
realizada.
4.1 – ESTUDO DE CASO 01
Nesta seção, foi estudado um reservatório de óleo conectado a um aquífero.
Algumas características dessa formação estão disponíveis, como se pode observar
abaixo. Com os dados fornecidos, procura-se estimar os parâmetros do aquífero e do
reservatório, a partir de iterações numéricas e da utilização do modelo de Leung para o
aquífero.
Dados:
Saturação inicial de água......................................................... 5%
Compressibilidade da formação.............................................. 56,9x10-6 kgf/cm²
Compressibilidade da água..................................................... 42,7x10-6 kgf/cm²
Histórico de produção............................................................. Tabela 1
Para um reservatório de óleo, a equação de balanço material pode ser escrita sob
a seguinte forma (Rosa et al., 2006):
( )[ ]( ) ewiwf
wi
titit
ginjinjwinjinjwpgsiptp
WPSccS1
BBBN
BGBWBWBRRBN
+
∆+
−+−=
=−−+−+
(
Já que, nesse caso, não há produção, nem injeção de água e injeção de gás, a
equação acima pode ser simplificada e, escrevendo-a no instante tn, tem-se:
( )[ ] ( ) ( ) enniwiwfwi
tititngnsipntnpn WPPScc
S1B
BBNBRRBN +
−+
−+−=−+ (
29
Tabela 1 – Dados de produção do reservatório de óleo do estudo de caso 01
t
(ano)
P
(kgf/cm²)
Np
(106 m³std)
Rp
(m³std/m³std)
Bo
(m³/m³std)
Rs
(m³std /
m³std)
Bg
(10-3
m³/m³std)0 192,7 0,00 115,8 1,404 115,8 5,22201 175,8 1,25 135,4 1,374 105,4 5,50272 161,0 2,93 150,4 1,349 97,1 6,00813 148,3 4,63 163,8 1,329 90,3 6,56964 137,1 6,47 173,6 1,316 83,9 7,18725 127,8 7,97 182,5 1,303 78,7 7,80496 119,7 9,29 189,7 1,294 74,4 8,42257 113,1 10,40 195,0 1,287 70,9 8,98408 107,9 11,25 199,5 1,280 68,2 9,54559 104,1 11,85 203,9 1,276 66,1 9,882410 101,3 12,31 206,6 1,273 64,8 10,2193
Como o modelo que rege o aquífero é o modelo de Leung, tem-se:
( )anii
eien PP
PW
W −= (
onde:
( ) ( ) ( ) ( ) PSSan1n1nMPSSaan PP1tPP β+β−== (
onde:
( ) ( ) ( )1etPPePPPP nn t
n
1nnt1n1annPSSan −
∆α−
+−+= ∆α−−∆α−−− (
onde:
ei
i
WJP
=α (
Assim, com a substituição dessas equações na equação de balanço material (,
obtemos a função modelo para esse estudo de caso, que é:
( ) ( )
( )[ ]{ }nPSSan1ni1
niwiwfwi
tititn
PPPPC
PPSccS1
BBBNycalcf
−β−−
+
−+
−+−=
(
onde:
( )[ ]gnsipntnpn BRRBNycalcf −+= (
i
ei1 P
WC = (
30
Desta forma, os parâmetros que se deseja obter a partir das iterações são quatro:
N, α, C1 e β1.
O resultado do ajuste de parâmetros foi:
=
β
α=θ
1.0096961176507.990.459679848332678
11C
N
(
Associados a uma variância fundamental do modelo dada por:
( ) 2382y m4,327.10S = (
E a uma matriz de variâncias e covariâncias dos parâmetros dada por:
=
0.0003234196.53919 -0.000355335702.882196.53919 -10 1.486228.73262 -10 2.742-0.0003553228.73262 -0.000404441547.74235702.88210 2.742-41547.74210 5.070
)θ(COV 810
1012
(
Cabe ainda ressaltar que as equações ( e ( relatam também importantes
contribuições do presente trabalho, uma vez que é incomum encontrar relatos de
incertezas associadas aos ajustes na literatura corrente.
Um gráfico com a resposta ajustada do modelo bem como as últimas estimativas
frustradas do método podem ser vistas na Figura 7.
A listagem dos programas utilizados neste estudo de caso pode ser conferida no
Anexo B. Cumpre dizer que este ajuste encontrou dificuldades de convergência com a
utilização do método Quasi-Newton, tendo sido o Algoritmo Simulated Annealing mais
adequado a este caso.
31
Figura 7 – Resultado do ajuste do modelo do Caso 01 (pontos – valores experimentais;
curvas contínuas – modelo ajustado)
4.2 – ESTUDO DE CASO 02
Agora, foi estudado um reservatório de gás, onde há influxo permanente, sob o
modelo de Schilthuis (Rosa et al., 2006), de um aquífero ligado ao reservatório. É
conhecido que a queda de pressão no reservatório apresenta comportamento parabólico
(função do 2º grau) em relação ao tempo. A partir das iterações do programa, desejava-
se obter o volume original de gás e a constante de influxo de água do modelo de
Schilthuis. Os dados de produção do reservatório foram fornecidos na Tabela 2.
A obtenção dos parâmetros requisitados foi dividida em duas partes: lograr a
equação da queda de pressão em função do tempo e regressão dos parâmetros da
equação de balanço material para o reservatório.
Sabe-se que a queda de pressão se comporta de acordo com uma função do 2º
grau em relação ao tempo. Assim, a forma geral de expressar tal relação é como segue:
CBtAtPPP 2ti ++=−=∆ (
onde A, B e C são constantes.
32
Tabela 2 – Dados de produção do reservatório de gás do estudo de caso 02
Data P (kgf/cm²) Gp (106 m³std) P/Z (kgf/cm²) Bg (m³/m³std)01/01/1955 232,01 0 281,23 0,0043101/01/1957 212,68 826,852 262,81 0,0046201/01/1959 198,97 1653,704 247,48 0,0049001/01/1961 187,72 2480,556 234,12 0,0051901/01/19563 177,52 3307,408 222,17 0,0054601/01/1965 168,03 4134,260 210,22 0,00577
Para determinar as constantes A, B e C, usam-se os dados experimentais para
este primeiro ajuste, quais sejam:
=−=∆=−=∆=−=∆=−=∆=−=∆
98,6303,16801,232P49,5452,17701,232P29,4472,18701,232P04,3397,19801,232P33,1968,21201,232P
5
4
3
2
1
(
Nota-se que o modelo é linear nos parâmetros, sendo trivial a obtenção das
constantes, cujos resultados seguem abaixo:
=
=θ
5.056-7.5710714-0.1694643
CBA
1 (
O resultado gráfico pode ser analisado na Figura 8.
Realizada essa etapa, o próximo passo foi utilizar a equação de balanço de massa
em conjunto com o modelo de Schilthuis, a fim de descrever o comportamento do
aquífero ao longo do tempo (Rosa et al., 2006):
( )∫ −=t
0tie dtPPJW (
Introduzindo a equação ( na equação (, resulta em:
( )
+++=++= ∫ DCtt
2Bt
3AJdtCBtAtJW 23
t
0
2e (
33
Figura 8 – Resultado do ajuste do primeiro modelo do Caso 02 (pontos – valores
experimentais; curvas contínuas – modelo ajustado)
Esse influxo acumulado é inserido na equação de balanço material para um
reservatório de gás que, por sua vez, pode ser expressa da seguinte forma (Rosa et al.,
2006):
−
+−= p
0
0
i
ii
wpei
GT
TPZVP
BWWV1
ZP
(
Como, não há produção de água nesse reservatório, a equação acima pode ser
simplificada para:
−
−= p
0
0
i
ii
ei
GT
TPZVP
WV1
ZP
(
Com base nos dados fornecidos e na observação da equação anterior, nota-se que
todos os dados foram fornecidos, a exceção de Vi e J, cujos valores ajustados foram:
=
=θ 9
i2 10 1.231
464797.87VJ
(
Associados a uma variância fundamental do modelo dada por:
( ) 222y cm/kgf10.778164S = (
34
E a uma matriz de variâncias e covariâncias dos parâmetros dada por:
152 10
23494.699.66282629.66282620.0039748
)(COV
=θ (
Um gráfico com a resposta ajustada do modelo bem como as últimas estimativas
frustradas do método podem ser vistas na Figura 9, abaixo:
Figura 9 – Resultado do ajuste do segundo do modelo do Caso 02 (pontos – valores
experimentais; curvas contínuas – modelo ajustado)
Novamente, as listagens de programação correspondentes podem ser
encontradas no Anexo B. Vale ressaltar que, neste caso, uma tentativa de ajustar,
conjuntamente, os cinco parâmetros foi realizada, ignorando a linearidade da primeira
etapa, com impacto negativo nas variâncias observadas.
4.3 – ESTUDO DE CASO 03
É analisado um reservatório de petróleo que possui um aquífero contíguo. O
volume original de óleo foi obtido pelo método volumétrico, os valores de influxo
acumulado ao longo do tempo foram obtidos a partir da equação de balanço material e,
foram listados na Tabela 3 abaixo:
Tabela 3 – Dados de produção do reservatório do estudo de caso 03
35
t (trimestres) Pressão no contato (kgf/cm²) Influxo acumulado (m³)0 266,67 01 266,32 7312 265,34 39433 263,51 120034 260,77 273465 258,73 491276 256,13 763147 252,75 1117688 249,38 1554899 247,34 20445810 245,02 25692311 241,64 31590812 240,17 37966213 237,57 445323
O objetivo nesse estudo de caso é obter a equação do comportamento do
aquífero contíguo ao reservatório, sabendo que seu histórico será ajustado de acordo
com o modelo de Hurst modificado. A expressão para esse modelo pode ser escrita da
seguinte forma (Rosa et al., 2006):
( )( )ctlog
PPCdt
dW ie −= (
onde C e c são as constantes do modelo a serem determinadas pelo ajuste de histórico.
Ao resolver a equação diferencial anterior, com base no influxo acumulado ao longo de
um tempo Δt e valores médios das propriedades presentes, tem-se:
( )( ) t
tclogPPCW i
e ∆−
=∆ (
Como os valores dos influxos acumulados são conhecidos, é possível definir a
seguinte variável:
( )PPtW
i
e
−∆∆
=ν (
Que, ao ser substituída na equação (, resulta em:
( )tclogC=ν (
Como os valores de influxo acumulado foram obtidos pela equação de balanço
material, é razoável dizer que estes sejam os valores corretos para os parâmetros. Assim,
com um rearranjo da equação (, tem-se:
36
( ) ( )clog1Ctlog −
ν= (
Que representa a equação de uma reta, onde:
bx.ay += (
( )tlogy = (
Ca = (
( )clogb −= (
ν= 1x (
Assim, a otimização efetuada procurava obter os valores das constantes C e c do
modelo de Hurst modificado, cujos valores ajustados foram:
=
=θ
870185,551049689,0
Cc
(
O resultado gráfico pode ser analisado na Figura 10.
Percebe-se que o próprio algoritmo detectou a presença de pontos atípicos,
diminuindo a importância relativa dos mesmos. Vale ressaltar que esse caso resultou em
uma otimização linear dos parâmetros do modelo do aquífero, obtida de maneira trivial
e não iterativa conforme pode ser verificado em detalhes no Anexo B.
37
Figura 10 – Resultado do ajuste do Caso 03 (pontos – valores experimentais; curvas
contínuas – modelo ajustado)
4.4 – ESTUDO DE CASO 04
Certo poço de petróleo apresenta os seguintes dados de histórico de produção,
listados na Tabela 4.
Deseja-se estimar os coeficientes de cada modelo de declínio de produção
(hiperbólico, exponencial e harmônico) a fim de comparar suas características, bem
como a proximidade aos dados experimentais obtidos durante a produção no
reservatório.
38
Tabela 4 – Dados de histórico de produção do poço do estudo de caso 04
t (anos) q ( )d/m3STD
0 100,01 77,02 61,03 49,54 41,05 34,5
Vale ressaltar que as equações para os modelos hiperbólico, exponencial e
harmônico podem ser escritas, respectivamente, por:
( )( ) βα β+
= 10
t.1
qtq (
( ) t0eqtq α−= (
( ) ( )1t.q
tq 0
+α= (
onde as constantes α e β serão obtidas ao final da otimização. Os resultados obtidos para
cada modelo são relatados na Tabela 5, bem como nas Figuras de 11 a 13:
Tabela 5 – Resultados dos modelos ajustados para o Caso 04
Modelo Resultado ( )23STD
2y d/mS
810).(COV θ
Equação (α = 0.2793941
β = 0.48879510.0011885
0.22397760.22439240.22439240.2297341
Equação ( α = 0.2292594 5.0731767 4.135 10-5
Equação ( α = 0.3415231 4.0193178 1.432 10-1
39
Figura 11 – Resultado do ajuste do modelo da Equação ( do Caso 04 (pontos – valores
experimentais; curvas contínuas – modelo ajustado)
Figura 12 – Resultado do ajuste do modelo da Equação ( do Caso 04 (pontos – valores
experimentais; curvas contínuas – modelo ajustado)
40
Figura 13 – Resultado do ajuste do modelo da Equação ( do Caso 04 (pontos – valores
experimentais; curvas contínuas – modelo ajustado)
Os três ajustes puderam fazer uso do método BFGS, tendo sido observada
convergência rápida, como era se esperar, dada a simplicidade dos modelos empíricos.
Mais uma vez, as listagens de programação correspondentes encontram-se no Anexo B.
41
CAPÍTULO 05 – ANÁLISES E CONCLUSÕES
O presente trabalho analisou métodos numéricos para ajustes de modelos em
engenharia de reservatórios, especificamente ajustes de histórico a curvas de declínio de
produção. Para tal, foi empregado o critério de máxima verossimilhança estatística que
resultou em problemas de otimização não-linear conduzida com métodos tipo Quasi-
Newton, proposta BFGS e Simulated Annealing, quando da suspeita de multiplicidade
de ótimos locais. A necessidade de não-negatividade dos parâmetros a serem estimados
foi atendida com o uso de mudanças de variáveis do modelo, dispensando o uso de
funções-penalidade. A estimativa de variâncias do modelo e de variâncias e
covariâncias dos parâmetros foi também uma contribuição do presente trabalho. Tal
metodologia foi testada frente a quatro casos estudados em detalhes.
Os resultados do estudo de caso 01 mostram que o modelo foi ajustado, usando o
algoritmo de Simulated Annealing, com resultados satisfatórios, uma vez que o método
BFGS insinuou a existência de multiplicidade de mínimos locais. Os valores obtidos
encontram-se em consonância com a literatura (Rosa et al., 2006), bem como
observados baixos valores das matrizes variância-covariância e da variância
fundamental do modelo, além de boa aderência aos dados experimentais.
O estudo de caso 02 trouxe à tela um subproblema de otimização linear,
resolvido analiticamente, sem necessidade de iterações. Além disso, evidenciou um
fator crítico para uma boa estimativa dos parâmetros de um modelo: deve haver
suficiente excesso estatístico no que se refere a quantidade de pontos experimentais para
o ajuste. Como, neste caso, havia uma quantidade espartana de dados experimentais, as
incertezas apresentadas pelo modelo e pelos parâmetros apresentaram valor elevado se
comparados aos valores ajustados para os parâmetros ou mesmo aos valores fornecidos
pela literatura (Rosa et al., 2006).
O estudo do caso 03 tratou um modelo linearizável, também resolvido
analiticamente, sem necessidade de iterações. A metodologia foi capaz de detectar
pontos atípicos e creditar baixa credibilidade estatística a estes. Cumpre dizer que a
análise de erros, nos modelos não lineares, não foi conduzida, por se tratar de
metodologia por demais consagrada e pelo fato dos parâmetros obtidos terem
concordado com os da literatura.
O estudo de caso 04 contemplou ajustes de histórico com base nas três taxas de
declínio que um poço pode apresentar: hiperbólica, exponencial e harmônica. Todas as 42
estimativas foram feitas usando a ferramenta BFGS, pois as constantes presentes nessas
taxas apresentam valor entre 0 e 1, podendo-se obter um bom valor para a estimativa
inicial, proporcionando convergência rápida ao algoritmo. A partir da observação dos
resultados, é possível afirmar que o comportamento hiperbólico é o que proporciona
melhores aderências aos dados experimentais, bem como baixos valores de incertezas
do modelo. Contudo, isto é feito com sacrifício da confiabilidade estatística dos
parâmetros, presente em maior número nos demais modelos, o que era de se esperar.
Isso ocorre, pois são manipuladas duas constantes em prol do melhor valor da função
em questão, diluindo a confiança depositada no valor ajustado para cada uma delas.
Desta forma, a qualidade do valor dos parâmetros é comprometida, a fim de que
resultados mais próximos dos valores experimentais sejam obtidos pelo modelo
ajustado.
Todas as análises foram feitas com base nas matrizes variâncias-covariâncias
dos parâmetros e das variâncias fundamentais dos modelos, sendo esta uma
contribuição do presente trabalho para o estudo de ajustes de modelos em engenharia de
reservatórios, uma vez que não foram encontrados, na literatura, relatos desta natureza.
Além disso, a inserção de funções penalidades para respeitar a região de busca -
caracterizada pela não-negatividade dos parâmetros - foi contornada. Essa técnica onera
os códigos computacionais correspondentes bem como dificulta, mas não impede, a
obtenção de parâmetros fisicamente implausíveis. A utilização de variáveis
manipuladas, cujas exponenciais produziram os parâmetros do modelo, mostrou-se uma
técnica eficaz, uma vez que não há nenhuma possibilidade de encontrar parâmetros fora
da região de validade. Assim, os valores dessas variáveis puderam assumir qualquer
valor real ao longo da otimização e, após exponenciação, eram obtidos parâmetros
necessariamente positivos. Essa técnica constitui outra importante contribuição do
presente trabalho.
Por último, o presente trabalho lançou mão de duas técnicas de otimização
(BFGS e Simulated Annealing), oferecendo alternativas para contornar as deficiências e
explorar as qualidades de cada um.
Como sugestões para trabalhos futuros, poderiam ser investigados outros
algoritmos de otimização, como o de Luus-Jaakola, que também segue uma cadeia
markoviana, mas numa lógica diferente do Simulated Annealing. Contudo, um trabalho
que pudesse analisar mais casos reais seria ainda de mais valia, fato que não pode ser
explorado no presente trabalho devido à escassez de relatos confiáveis. Esta seria uma 43
forma bastante concreta de iniciar parcerias mutuamente produtivas entre empresas e
Universidades, tão propaladas atualmente, mas conduzidas de maneira desconfiada e
tímida, com resultados muito aquém dos desejáveis e possíveis.
44
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ABDASSAH, D.; Mucharam, L.; Soengkowo, I.; Trikoranto, H.; Sumantri, R..
Coupling Seismic Data with Simulated Annealing Method Improves Reservoir
Characterization. SPE 36968 Adelaide: SPE International, 1996. 7 p.
ANDRETTA, Marina. Métodos Quasi-Newton. Disponível em:
<http://www.icmc.usp.br/~andretta/ensino/aulas/sme5720-2-11/quasenewton.pdf>.
Acesso em: 20 de Abril de 2012.
ANJOS, A. Dos. Análise de Variância. Disponível em: <http://www.est.ufpr.br/ce003/
material/cap7.pdf>. Acesso em: 20 de Abril de 2012.
BECKER, Camila; Pazos, Ruben Edgardo Panta; Crossetti, Geraldo Lopes. Método de
Gradiente Conjugado na Otimização de Problemas Modelados na Catalização de
Polímeros. 332-336. Disponível em: <http://www.sbmac.org.br/eventos/cnmac/
xxxi_cnmac/PDF/126.pdf>. Acesso em: 20 de Abril de 2012.
BERTSIMAS, Dimitris; Tsitsiklis, John. Simulated Annealing. 1993, Statistical
Science, Vol. 8, No. 1, 10-15, 6 f.
BRUFATI, Tuanny Elyz Brandeleiro. Método de Gradientes Conjugados. 2011. 64 f.
Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura em Matemática) – Departamento de
Matemática – Universidade Federal do Paraná, Curitiba, 2011.
DOS SANTOS, José Pedro Moura. Reservatórios e Avaliação das Formações. Pós-
Graduação em Engenharia de Petróleo – FUNCEFET, 2008.
KATHRADA, Muhammad; Carter, Jonathan N.. Case Studies of Succesfully History
Matched Reservoir Simulation Models using a Powerful Optimizer being of
Limited Predictive Value. SPE 136659 Abu Dhabi: SPE International, 2010. 18p.
45
KRIPKA, Moacir. Otimização Aplicada à Engenharia. Programa de Pós-Graduação
em Engenharia – Universidade de Passo Fundo, Semestre I, 2011. 28 p. Disponível em:
<http://usuarios.upf.br/~mkripka/disciplinas>. Acesso em: 20 de Abril de 2012.
METSO, Inc. (Org.). Optimization Methods. Disponível em: <http://www.grabitech.se
/methods.htm>. Acesso em: 20 de Abril de 2012.
MORSE, Luciano Lait. Análise do Crescimento do Volume Recuperável Provado de
Campos de Petróleo. 2006. 136 f. Trabalho de Conclusão de Mestrado (Mestrado em
Ciências em Planejamento Energético) – Coordenação dos Programas de Pós-
Graduação de Engenharia – Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro,
2006.
MÜLLER, Sonia I. M. G.; Dalmolin, Quintino; Araki, Hideo. Comparação entre os
Métodos de Máxima Verossimilhança, Distância Mínima e o Método de Fisher
para Reconhecimento de Padrões em Imagens Coloridas. 1999. 12 f. Departamento
de Geomatemática – Universidade Federal do Paraná, Curitiba, 1999.
NETO, Darcy Corrêa; Suslick, Saul B.; Lima, Gabriel Alves da Costa. Proposta de
uma Modelagem Dinâmica para a Razão Reserva/Produção. 2005, 6 f – Bahia,
Salvador: Instituto Brasileiro de Petróleo e Gás (IBP), 2005.
NETO, Mário Gomes Neves. Uma Análise de Alguns Métodos de Otimização Longe
do Minimizador. 2010. 40 f. Trabalho de Conclusão de Curso (Departamento de
Engenharia de Computação e Automação) – 2010, Universidade Federal do Rio Grande
do Norte, Natal – Rio Grande do Norte, 2010.
NGHIEM, L. X.; Computer Modeling Group. A New Approach to Quasi-Newton
Methods With Application to Compositional Modeling. SPE 12242 Dallas, Tx: SPE
International, 1983. 10 p.
OIL & GAS (Org.). A New Approach to Estimating Reserves in a Shale. 2010.
Disponível em: <http://www.oilandgasevaluationreport.com/tags/hyperbolic-decline/>.
Acesso em: 20 de Abril de 2012.46
OLIVA, Gonzalo Hernández. Métodos Clásicos de Optimización para Problemas
No-lineales sin Restricciones. 2006. 14 f – Departamento de Ingeniería Matemática –
Universidade do Chile, 2006.
OUENES, A.; Bhagavan, Srinivasa; Bunge, P. H.; Travis, B. J.. Application of
Simulated Annealing and Other Global Optimization Methods to Reservoir
Description: Myths and Realities. SPE 28415 New Orleans: SPE International, 1994.
16 p.
OUENES, Ahmed; Bréfort, B.; Meunier, Gilbert; Dupére, Simon. A New Algorithm
for Automatic History Matching: Application of Simulated Annealing Method
(SAM) to Reservoir Inverse Modeling. SPE 26297 Texas: SPE International, 1993. 31
p.
PETROBJECTS (Org.). Petroleum Reserves Estimation Methods. 2003-2004.
Disponível em: <http://www.petrobjects.com/downloads/
Petroleum%20Reservoirs%20Estimation%20Methods/Reserve%20Estimation
%20Methods_03_DeclineCurve.pdf>. Acesso em: 20 de Abril de 2012.
PETROCENTER (Org.). Traditional Decline Curve Analysis. Disponível em:
<http://www.petrocenter.com/reservoir/DCA_theory.htm>. Acesso em: 20 de Abril de
2012.
PORTELLA, R. C. M.; Prais, F.. Use of Automatic History Matching and
Geostatistical Simulation to Improve Production Forecast. SPE 53976 Caracas: SPE
International, 1999. 10 p.
PORTUGAL, Marcelo S.. Notas Introdutórias Sobre o Princípio de Máxima
Verossimilhança: Estimação e Teste de Hipóteses. 24 f.
RAMÍREZ, Jaime A.; Campelo, Felipe; Guimarães, Frederico G.; Takahashi, Ricardo
H. C.. Métodos Numéricos para Otimização Irrestrita. 2011. Disponível em:
<http://www.cpdee.ufmg.br/~jramirez/disciplinas/otimizacao/Unidade3.pdf>. Acesso
em: 20 de Abril de 2012.47
ROSA, Adalberto José; CARVALHO, Renato de Souza; XAVIER, José Augusto
Daniel. Engenharia de Reservatórios de Petróleo. Rio de Janeiro: Interciência, 2006.
SATTER, Abdus; BALDWIN, Jim; JESPERSEN, Rich. Computer-Assisted Reservoir
Management. Oklahoma: PennWell Corporation, 2000.
SCHULZE-RIEGERT, R. W.; Axmann, J. K.; Haase, O.; Rian, D. T.; You, Y. –L..
Optimization Methods for History Matching of Complex Reservoirs. SPE 66393
Houston, Tx: SPE International, 2001. 10 p.
SCHWAAB, Marcio. Avaliação de Algoritmos Heurísticos de Otimização em
Problemas de Estimação de Parâmetros. 2005. 156 f. Trabalho de Conclusão de
Mestrado (Mestrado em Ciências em Engenharia Química) – Coordenação dos
Programas de Pós-Graduação de Engenharia – Universidade Federal do Rio de Janeiro,
Rio de Janeiro, 2005.
SCHWEINBERGER, Cristiane Martins. Aplicação do CEKF na Estimação de
Parâmetros em Modelo Dinâmico. 2009. 89 f. Trabalho de Conclusão de Mestrado
(Mestrado em Engenharia em Controle e Otimização de Processos) – Coordenação dos
Programas de Pós-Graduação em Engenharia Química – Universidade Federal do Rio
Grande do Sul, Rio Grande do Sul, 2009.
SILVA, Emílio Carlos Nelli. Métodos Numéricos Aplicados em Problemas de
Otimização de Engenharia. 44-67. Disponível em: <http://sites.poli.usp.br/d/
pmr5215/a2-5215.pdf>.
48
STATSOFT (Org.). How to Calculate the Relationship Between Independent
Variables and a Dependent Variable, Nonlinear Estimation. Disponível em:
<http://www.statsoft.com/textbook/nonlinear-estimation/#nquasi>. Acesso em: 20 de
Abril de 2012.
VAZ, A. Ismael F.. Otimização Não-Linear com Restrições de Igualdade.
2004/2005. Disponível em: <http://www.norg.uminho.pt/aivaz/binaries/Aulas/mei/
opt_eq.pdf>. Acesso em: 20 de Abril de 2012.
VICENTE, R.. Medida de Risco via Teoria de Valores Extremos. Disponível em:
<http://www.ime.usp.br/~rvicente/Aula8_EVTRisk.pdf>. Acesso em: 20 de Abril de
2012.
WOLFRAM MATHWORLD (Org.). Conjugate Gradient Method. Disponível em:
<http://mathworld.wolfram.com/ConjugateGradientMethod.html>. Acesso em: 20 de
Abril de 2012.
49
ANEXO A - GLOSSÁRIO
Alcanos ou parafinas: hidrocarbonetos, que estão presentes em elevada
quantidade no petróleo e no gás natural, se apresentam na forma CnH2n+2 e possuem
apenas ligações simples em sua molécula.
Alcenos ou olefinas: hidrocarbonetos, que estão presentes no petróleo como
contaminantes, se apresentam sob a forma CnH2n e possuem uma ligação dupla e o
restante simples em sua molécula.
Aquífero: é uma formação geológica que possui a capacidade de armazenar
água. Pode ser entendido como um reservatório onde a saturação de água é de 100%.
Atua, principalmente, na tentativa de manutenção de pressão do reservatório através do
fluxo de água para o interior desse. Pode ser poroso, fraturado ou cárstico.
Aromáticos: hidrocarbonetos cíclicos que apresentam o anel benzênico (C6H6)
em sua estrutura. Proporcionam elevada octanagem ao petróleo.
Asfaltenos: mistura sólida de hidrocarbonetos com elevado número de carbonos
apresentando anéis aromáticos. A maioria dos compostos inorgânicos presentes na
mistura do petróleo estão em sua composição. São insolúveis em hidrocarbonetos
alifáticos e solúveis em solventes aromáticos.
Black-oil: óleo que apresenta pequeno encolhimento quando submetido a
pressões cada vez menores que sua pressão de bolha. Isso ocorre devido ao grande
espaçamento presente entre suas linhas de qualidade próximas ao ponto de bolha.
Carbono (C): elemento químico, que apresenta massa atômica igual a 12 e é o
principal constituinte da mistura que forma o petróleo.
Compressibilidade (c): é definida como a razão entre a variação fracional do
volume e a variação de pressão.
Compressibilidade efetiva (cf): é definida como a razão entre a variação
fracional do volume poroso e a variação de pressão.
Constante dos gases (R): é uma constante que relaciona a quantidade de gás
com a pressão e a temperatura. Teoricamente, todo gás ideal obedece essa constante.
Alguns de seus valores e suas unidades estão listados na Tabela 6 a seguir:
Tabela 6 – Valores da constate dos gases reais em diversas unidades50
Valor Unidade8,314472 J/Kmol
0,0820574587 Latm/Kmol0,0000820574587 m³atm/Kmol
8,314472 cm³MPa/Kmol8,314472 LkPa/Kmol8,314472 m³Pa/Kmol62,3637 LmmHg/Kmol62,3637 LTorr/Kmol83,14472 Lmbar/Kmol
1,987 cal/Kmol6,132439833 lbfft/Kgmol
10,7316 ft³psi/ºRlbmol0,0000863 eV/Katom
0,7302 ft³atm/ºRlbmol1,987 BTU/ºRlbmol
Contaminantes: são substâncias que estão presentes na mistura de
hidrocarbonetos e são produzidas junto com essa mistura, porém não são
hidrocarbonetos, alterando as propriedades físicas e químicas dessa mistura. Algumas
dessas são: H2S e outros sulfetos, CO2, CO, RS (mercaptans), fenóis, ácidos
carboxílicos, organometálicos, HCl e outros cloretos, piridinas, quinoleínas e etc.
Densidade (γ): é a razão entre a massa específica de uma substância e a massa
específica da água, caso esta substância seja líquida nas condições em questão, ou a
massa específica do ar, caso esta substância seja gasosa nas condições em questão.
Drawdown: representa a queda de pressão observada conforme são produzidos
hidrocarbonetos (óleo e/ou gás) do reservatório.
Explotação: é o ato de explorar economicamente uma região dotada de reservas
de petróleo.
Fator de compressibilidade (Z): é a razão entre o volume ocupado por certa
massa de gás, considerado como gás real, a uma dada pressão e temperatura e, a mesma
massa de gás, considerado como gás ideal, na mesma pressão e temperatura.
Fator de recuperação (FR): é a fração do volume de hidrocarbonetos in-place
que pode ser recuperada.
Fator volume-formação de gás (Bg): pode ser definido como a razão entre o
volume da massa de gás livre, expresso nas condições de P e T nas quais está
submetido, e o volume dessa mesma massa, em condições padrão.
51
Fator volume-formação de óleo (Bo): pode ser definido como a razão entre o
volume de fase líquida (óleo + gás dissolvido), expresso nas condições de P e T nas
quais está sujeito, e o volume de óleo em condições padrão (ou standard).
Fator volume-formação total (Bt): pode ser definido como a razão entre o
volume de fluidos (óleo + gás dissolvido + gás livre), expresso nas condições de P e T
nas quais está submetido, e o volume de óleo, em condições padrão.
Fluxo fracionário de um fluido (f): é a razão entre a vazão de fluxo desse
fluido e a vazão de fluxo total.
Forças capilares (Fc): são forças resultantes do efeito combinado das tensões
superficiais e interfaciais da rocha e dos fluidos, do tamanho e geometria dos poros e,
das características de molhabilidade do sistema.
Gás retrógrado: é um gás contido em um reservatório onde sua temperatura é
maior que a crítica do gás e menor que sua cricondentérmica. Ou seja, ao efetuar um
processo de descompressão isotérmico, evidencia-se a formação de líquido a partir de
somente gás no início.
Gás seco: é um gás contido em um reservatório onde sua temperatura é maior
do que sua cricondentérmica. Ou seja, não importa quão intensa seja a descompressão
isotérmica do gás, ele nunca gerará líquido sob qualquer hipótese.
Gás úmido: é um tipo de gás que, depois de extraído do reservatório, pode gerar
líquido no vaso separador.
Grau API (ºAPI): é uma escala para medição da densidade dos líquidos
provenientes do petróleo. Foi criada pelo American Petroleum Institute e, apresenta a
particularidade de que quanto mais pesado for o óleo (quantos maior for a densidade),
menor será o seu valor.
Hidratos: compostos cristalinos formados por água e moléculas de gás
aprisionadas em cadeias formadas pelas moléculas de água. Altas pressões e baixas
temperaturas são necessárias, bem como o contato gás-água.
Hidrogênio (H): elemento químico que apresente massa atômica igual a 1 e é o
outro constituinte presente em grande quantidade no petróleo.
Incrustações: depósitos que são formados nas tubulações devido à precipitação
de substâncias em solução aquosa. Geralmente, são compostos por sais fracamente
solúveis na água, como o BaSO4 e o CaCO3, por exemplo. Sua formação pode ocorrer
devido a um decréscimo na pressão ou aumento da temperatura da água, mistura de
águas incompatíveis e evaporação de soluções salinas.52
Índice de produtividade (IP): é a razão entre a vazão de produção e a queda de
pressão observada no reservatório (Pe – Pwf).
Lâmina d’água: profundidade, cujo valor, em unidades de comprimento,
expressa a distância da superfície do mar ao leito dele, no local onde está sendo
perfurado o poço em questão.
Massa específica (ρ): é a quantidade, em unidades de massa, que um fluido
apresenta por unidade de volume.
Migração: processo que a mistura de subsuperfície está sujeita, onde é
deslocada desde sua zona de geração até a rocha reservatório, ao longo das trapas e
canais permeáveis presentes.
Molhabilidade: é a tendência de um fluido se espalhar ou aderir em uma
superfície sólida na presença de outros líquidos imiscíveis.
Net pay: compreende as seções do reservatório que estão saturadas de petróleo
e/ou gás.
Net-to-gross (NTG): é a fração de areia presente em todo o reservatório.
Óleo volátil: tipo de óleo que apresenta elevado encolhimento quanto sua
pressão diminui a partir do ponto de bolha. Isso ocorre, pois suas linhas de qualidade
estão bem juntas próximo desse ponto e bem espaçadas a menores pressões.
Permeabilidade (k): característica da formação que informa a capacidade dessa
no escoamento de fluidos em seu interior. Na engenharia de petróleo, geralmente, é
expressa em unidades Darcy (d e md).
Permeabilidade absoluta (ka): característica particular da formação no sentido
de escoamentos de fluidos. Também, é expressa em unidades Darcy geralmente.
Permeabilidade efetiva (kef): é definida como a capacidade com a qual uma
fase tem de escoar na presença de outras, de acordo com o meio em questão bem como
as características das fases presentes. Também, é expressa em unidades Darcy
geralmente.
Permeabilidade relativa (kr): é um valor de permeabilidade adimensional,
calculado pela razão entre a permeabilidade efetiva e a absoluta.
Ponto crítico: é a condição na qual não se distingue a transição entre a fase
gasosa e a líquida.
Porosidade (φ): é definida como a razão do volume de espaços vazios (poros),
presentes em uma determinada formação, em relação ao volume total.
53
Porosidade efetiva (φef): é a razão entre o volume de espaços vazios
interconectados presentes em uma formação e o volume total dessa.
Porosidade primária (φp): é a porosidade que foi desenvolvida na deposição
de sedimentos.
Porosidade secundária (φs): é a porosidade resultante de processos geológicos
subsequentes a conversão de sedimentos em rochas.
Pressão capilar (Pcap): é uma descontinuidade na pressão que existe entre dois
líquidos imiscíveis em contato. Depende da curvatura da interface separando os dois
fluidos.
Pressão de bolha (Pb): pressão registrada no momento em que é observada a
formação da primeira bolha de gás em uma substância líquida, sob um processo onde a
temperatura é mantida constante e a pressão decresce continuamente.
Pressão de orvalho (Po): pressão registrada no momento em que é observada a
formação da primeira gota de líquido em uma substância gasosa, sob um processo onde
a temperatura é mantida constante e a pressão cresce continuamente.
Pressão estática (Pest): é a pressão exercida pelo fluido que está no interior do
meio poroso.
Pressão reduzida (Pr): é a razão entre a pressão a que uma dada substância está
submetida e sua pressão crítica, em escalas absolutas.
RAO: significa razão água-óleo e é definida como a razão entre a vazão de água
e a vazão de óleo que é produzida.
Razão de dano (RD): é a razão entre o diferencial de pressão entre o
reservatório e a frente dos canhoneados com e sem dano.
Razão de produtividade (RP): é o inverso da razão de dano.
Razão de solubilidade (Rs): é a razão entre a quantidade de gás dissolvido,
expressa em condições padrão (ou standard), e a quantidade de óleo (fase líquida)
produzido, expresso em condições padrão (ou standard), em determinadas pressão e
temperatura.
Reserva: é a diferença entre o volume de hidrocarboneto recuperável e o
volume de hidrocarboneto produzido de fato, sendo expressa em condições padrão
(standard).
RGO: significa razão gás-óleo e é definida como a razão entre vazão de gás e a
vazão de óleo.
54
Rocha geradora: formação rochosa que gera a mistura de hidrocarbonetos a
partir da matéria orgânica.
Rocha reservatório ou zona de produção: formação permeável, situada na
região subterrânea (subsuperfície), que abriga certa quantidade de hidrocarbonetos, que
apresenta valor econômico que justifique sua exploração e capacidade de explotação de
acordo com a tecnologia vigente.
Rocha selante: formação rochosa que possui a finalidade de manter e preservar
a mistura de hidrocarbonetos na profundidade presente, devido as suas características de
porosidade e permeabilidade, que são bem fracas.
Saturação de água (Sw): é a fração do volume poroso que é preenchida com
água.
Saturação de água conata (Swi): é a fração do volume poroso, preenchida com
água, que não pode ser retirada do reservatório.
Saturação de gás (Sg): é a fração do volume poroso que é preenchida por gás.
Saturação de óleo (So): é a fração do volume poroso que é preenchida por óleo.
Saturação de óleo residual (Sor): é a fração do volume poroso, preenchida
com óleo, que não pode ser retirada do reservatório.
Skin (s): é uma alteração na permeabilidade, provocada nas vizinhanças de um
poço, devido à operação de perfuração ou de estimulação por água ou ácido. Essa
alteração pode ser um dano à formação (s>0), reduzindo a capacidade produtiva, ou ser
um estímulo (s<0), aumentando a capacidade produtiva.
Temperatura de bolha (Tb): temperatura registrada no momento em que é
observada a formação da primeira bolha de gás em uma substância líquida, sob um
processo onde a pressão é mantida constante e a temperatura cresce continuamente.
Temperatura de orvalho (To): temperatura registrada no momento em que é
observada a formação da primeira gota de líquido em uma substância gasosa, sob um
processo onde a pressão é mantida constante e a temperatura decresce continuamente.
Temperatura reduzida (Tr): é a razão entre a temperatura em que uma dada
substância se encontra e sua temperatura crítica, em escalas absolutas.
Tensão interfacial: é a força exercida nos limites de uma camada entre uma
fase líquida e uma fase gás por unidade de comprimento.
Tensão superficial (σ): é a força exercida nos limites de uma camada entre duas
fases líquidas por unidade de comprimento.
55
Trapas ou armadilhas: composição de rochas que apresentam a finalidade de
acumular os hidrocarbonetos, ou seja, são uma espécie de “barreira” ao fluxo dos
hidrocarbonetos ao longo da formação. Podem ser estruturais e/ou estratigráficas.
Transmissibilidade (Tf): é a capacidade que uma rocha possui em transmitir
um fluido qualquer.
Vazão (q): é a quantidade, em unidades de volume, que atravessa uma seção
reta por unidade de tempo.
Viscosidade (μ): expressa a resistência que um dado fluido apresenta para
escoar. Em engenharia de petróleo, é expressa em unidades Poise (p e cp) geralmente.
Viscosidade do óleo morto (μom): é a viscosidade do óleo cru em condições
atmosféricas.
Viscosidade do óleo saturado (μob): é a viscosidade do óleo cru submetido a
sua pressão de bolha e temperatura do reservatório.
Viscosidade do óleo sub-saturado (μa): é a viscosidade do óleo cru submetido
a uma pressão acima de sua pressão de bolha e temperatura do reservatório.
Volume de gás in-place (G): é o volume de gás que o reservatório possui
originalmente, expresso em condições padrão (standard).
Volume de óleo in-place (N): é o volume de óleo que o reservatório possui
originalmente, expresso em condições padrão (standard).
56
ANEXO B – LISTAGENS DOS PROGRAMAS
clearclcglobal dP P Pi dt yexp Bt Bti ct yexp texec('ycalc1.sci',-1)exec('res1.sci',-1)exec('cost1.sci',-1)// Regressão do modelo do Caso 01 por S.A.Swi=5/100;cf=56.9e-6;cw=42.7e-6;ct=(cf+cw*Swi)/(1-Swi);t=0:10;t=t';dt=1;P=[192.7175.8161148.3137.1127.8119.7113.1107.9104.1101.3];Pi=P(1);dP=0;for i=2:length(P) dP(i)=P(i)-P(i-1);endNp=[01.252.934.636.477.979.2910.411.2511.8512.31]*1e6;Rp=[115.8135.4150.4163.8173.6182.5189.7195199.5203.9206.6];Bo=[1.4041.3741.3491.3291.3161.3031.294
57
1.2871.281.2761.273];Rs=[115.8105.497.190.383.978.774.470.968.266.164.8];Rsi=Rs(1);Bg=[5.2225.50276.00816.56967.18727.80498.42258.98409.54559.882410.2193]*1e-3;Bt=Bo+(Rsi-Rs).*Bg;Bti=Bt(1);yexp=Np.*(Bt+(Rp-Rsi).*Bg);
par0=log([1e6 .5 1e4 .5]);// Simulated AnnealingProba_start = 0.7;It_Pre = 100;It_extern = 100;It_intern = 1000;par_test = neigh_func_default(par0);
comp_t_params = init_param();comp_t_params = add_param(comp_t_params,'neigh_func', neigh_func_default);
T0 = compute_initial_temp(par0, res1, Proba_start, It_Pre, comp_t_params);
[par_opt, f_opt, sa_mean_list, sa_var_list] = optim_sa(par0, res1, It_extern, It_intern, T0, Log = %T);par=exp(par_opt);
// Cálculo da resposta do modeloycalc=ycalc1(parot);
//Estimador da variância fundamental e da matriz de variâncias e covariânciasnexp=length(yexp);q=length(par);indices=1:nexp;
S2y=sum(sum((yexp-ycalc).^2));disp('Estimador da variância fundamental');
58
S2y=S2y/(nexp-q)
// Jacobiana do modelo em relação aos parâmetrosfor i=1:q para=par; para(i)=par(i)*(1+1e-4); parr=par; parr(i)=par(i)*(1-1e-4); fa=ycalc1(log(para)); fr=ycalc1(log(parr)); J(:,i)=(fa-fr)/((2e-4)*par(i));end
A=J'*J;
B=inv(A);
disp('Estimador da matriz de variâncias e covariâncias');COV=S2y*B
function [f,g,ind] = cost1(par,ind)// Função auxiliar para a otimizaçãof=res1(par);for i=1:length(par) para=par; parr=par; para(i)=par(i)*(1+1e-4); parr(i)=par(i)*(1-1e-4); fa=res1(para); fr=res1(parr); g(i)=(fa-fr)/par(i)/2e-4;endendfunction
function resf=res1(par)// Função-resíduoglobal yexpycalcf=ycalc1(par);resf=ycalcf-yexp;resf=resf'*resf;plot(t,yexp,'bo',t,ycalcf,'r-')endfunction
function ycalcf=ycalc1(par)// Modelo a ser ajustadoglobal dP P Pi dt Bt Bti ct yexppar=exp(par);N=par(1);alfa=par(2);C1=par(3);beta1=par(4);Pa(1)=P(1);for i=2:length(P); Pa(i)=P(i)+(Pa(i-1)-P(i-1))*exp(-alfa*dt)+dP(i)*(exp(-alfa*dt)-1)/alfa/dt;endycalcf=N*(Bt-Bti+Bti*ct*(Pi-P))+C1*(Pi-P-beta1*(Pa-P));endfunctionclearclcglobal t Pi zi Gp Bg P_z yexp A B C
59
exec('ycalc2_.sci',-1)exec('res2_.sci',-1)exec('cost2_.sci',-1)// Regressão do modelo do Caso 02t=2:2:10;t=t';Po=0.967842;To=520;Pi=232.01;P=[212.68198.97187.72177.52168.03];Gp=[826.8521653.7042480.5563307.4084134.26]*1e6;yexp=[262.81247.48234.12222.17210.22];zi=Pi/yexp(1);Bg=[0.004620.00490.005190.005460.00577];
X=[t.^2 t ones(length(t),1)];dPe=P-Pi;bbeta=inv(X'*X)*X'*dPe;// Ajuste linearA=bbeta(1)B=bbeta(2)C=bbeta(3)
par0=log([206271e10]);// Quasi-Newton[fot,parot]=optim(cost2_,par0);par=exp(parot);
J=par(1)Vi=par(2)
// Cálculo da resposta do modeloycalc=ycalc2_(parot);
//Estimador da variância fundamental e da matriz de variâncias e covariânciasnexp=length(yexp);q=length(par);indices=1:nexp;
S2y=sum(sum((yexp-ycalc).^2));disp('Estimador da variância fundamental');S2y=S2y/(nexp-q)
60
// Jacobiana do modelo em relação aos parâmetrosfor i=1:q para=par; para(i)=par(i)*(1+1e-4); parr=par; parr(i)=par(i)*(1-1e-4); fa=ycalc2_(log(para)); fr=ycalc2_(log(parr)); Jacob(:,i)=(fa-fr)/((2e-4)*par(i));end
aa=Jacob'*Jacob;
bb=inv(aa);
disp('Estimador da matriz de variâncias e covariâncias');COV=S2y*bb
function [f,g,ind] = cost2_(par,ind)// Função auxiliar para a otimizaçãof=res2_(par);for i=1:length(par) para=par; parr=par; para(i)=par(i)*(1+1e-4); parr(i)=par(i)*(1-1e-4); fa=res2_(para); fr=res2_(parr); g(i)=(fa-fr)/par(i)/2e-4;endendfunction
function res2f=res2_(par)// Função-resíduoglobal yexpycalcf=ycalc2_(par);res2f=(yexp-ycalcf).^2;res2f=sum(res2f);plot(t,ycalcf,'r-')plot(t,yexp,'bo')endfunction
function ycalcf=ycalc2_(par)// Modelo a ser ajustadoglobal t Pi zi Gp Bg P_z A B CJ=exp(par(1));Vi=exp(par(2));We=J*(A*t.^3+B*t.^2+C*t);ycalcf=Pi*Vi./(zi*(Vi-We));ycalcf=ycalcf./(1+Bg.*Gp./(Vi-We));endfunction
clearclc// Regressão do modelo do Caso 03t=90*(0:13)';P=[266.67
61
266.32265.34263.51260.77258.73256.13252.75249.38247.34245.02241.64240.17237.57];We=[0731394312003273464912776314111767155489204458256923315908379662445323];deltaWe=diff(We);Pi=P(1);Pbarra=P;Pbarra(length(Pbarra))=[];Pbarra=Pbarra+diff(P)/2;deltat=90;tbarra=t;tbarra(length(tbarra))=[];tbarra=tbarra+diff(t)/2;v=deltaWe./(Pi-Pbarra)./deltat;y=log10(tbarra);x=ones(length(v),1)./v;X=[ones(length(tbarra),1) x];W=diag(tbarra)/90;beta=inv(X'*W*X)*X'*W*y;c=10^(-beta(1))C=beta(2)
clearclcglobal t qi qexpexec('ycalc41.sci',-1)exec('res41.sci',-1)exec('cost41.sci',-1)// Regressão do modelo do Caso 04 - Modelo hiperbólicot=1:1:5;t=t';qi=100;qexp=[77;61;49.5;41;34.5];par0=[.4;.6];
// Quasi-Newton[fot,par,got]=optim(cost41,par0);
62
// Cálculo da resposta do modeloqcalc=ycalc41(par);plot(t,qcalc,'k-')
//Estimador da variância fundamental e da matriz de variâncias e covariânciasnexp=length(qexp);q=length(par);indices=1:nexp;
S2y=sum(sum((qexp-qcalc).^2));disp('Estimador da variância fundamental');S2y=S2y/(nexp-q)
// Jacobiana do modelo em relação aos parâmetrosfor i=1:q para=par; para(i)=par(i)*(1+1e-4); parr=par; parr(i)=par(i)*(1-1e-4); fa=ycalc41(log(para)); fr=ycalc41(log(parr)); J(:,i)=(fa-fr)/((2e-4)*par(i));end
A=J'*J;
B=inv(A);
disp('Estimador da matriz de variâncias e covariâncias');COV=S2y*B
function [f,g,ind] = cost41(par,ind)// Função auxiliar para a otimizaçãof=res41(par);for i=1:length(par) para=par; parr=par; para(i)=par(i)*(1+1e-4); parr(i)=par(i)*(1-1e-4); fa=res41(para); fr=res41(parr); g(i)=(fa-fr)/par(i)/2e-4;endendfunction
function resf=res41(par)// Função resíduoglobal t qi qexpycalcf=ycalc41(par);resf=ycalcf-qexp;resf=resf'*resf;plot(t,qexp,'bo',t,ycalcf,'r-')endfunctionfunction ycalcf=ycalc41(par)// Modelo a ser ajustadoglobal t qiai=par(1);n=par(2);ycalcf=1+n*ai*t;ycalcf=ycalcf.^(1/n);
63
ycalcf=qi./ycalcf;endfunction
clearclcglobal t qi qexpexec('ycalc42.sci',-1)exec('res42.sci',-1)exec('cost42.sci',-1)// Regressão do modelo do Caso 04 - Modelo Exponencialt=1:1:5;t=t';qi=100;qexp=[77;61;49.5;41;34.5];par0=[.4];
// Quasi-Newton[fot,par,got]=optim(cost42,par0);
// Cálculo da resposta do modeloqcalc=ycalc42(par);plot(t,qcalc,'k-')
//Estimador da variância fundamental e da matriz de variâncias e covariânciasnexp=length(qexp);q=length(par);indices=1:nexp;
S2y=sum(sum((qexp-qcalc).^2));disp('Estimador da variância fundamental');S2y=S2y/(nexp-q)
// Jacobiana do modelo em relação aos parâmetrosfor i=1:q para=par; para(i)=par(i)*(1+1e-4); parr=par; parr(i)=par(i)*(1-1e-4); fa=ycalc42(log(para)); fr=ycalc42(log(parr)); J(:,i)=(fa-fr)/((2e-4)*par(i));end
A=J'*J;
B=inv(A);
disp('Estimador da matriz de variâncias e covariâncias');COV=S2y*B
function [f,g,ind] = cost42(par,ind)// Função auxiliar para a otimizaçãof=res42(par);for i=1:length(par) para=par; parr=par; para(i)=par(i)*(1+1e-4); parr(i)=par(i)*(1-1e-4);
64
fa=res42(para); fr=res42(parr); g(i)=(fa-fr)/par(i)/2e-4;endendfunction
function resf=res42(par)// Função-resíduoglobal t qi qexpycalcf=ycalc42(par);resf=ycalcf-qexp;resf=resf'*resf;plot(t,qexp,'bo',t,ycalcf,'r-')endfunction
function ycalcf=ycalc42(par)// Modelo a ser ajustadoglobal t qiai=par(1);ycalcf=qi*exp(-ai*t);endfunction
clearclcglobal t qi qexpexec('ycalc43.sci',-1)exec('res43.sci',-1)exec('cost43.sci',-1)// Regressão do modelo do Caso 04 - Modelo Harmônicot=1:1:5;t=t';qi=100;qexp=[77;61;49.5;41;34.5];par0=[.6];
// Quasi-Newton[fot,par,got]=optim(cost43,par0);
// Cálculo da resposta do modeloqcalc=ycalc43(par);plot(t,qcalc,'k-')
//Estimador da variância fundamental e da matriz de variâncias e covariânciasnexp=length(qexp);q=length(par);indices=1:nexp;
S2y=sum(sum((qexp-qcalc).^2));disp('Estimador da variância fundamental');S2y=S2y/(nexp-q)
// Jacobiana do modelo em relação aos parâmetrosfor i=1:q para=par; para(i)=par(i)*(1+1e-4); parr=par; parr(i)=par(i)*(1-1e-4); fa=ycalc43(log(para)); fr=ycalc43(log(parr)); J(:,i)=(fa-fr)/((2e-4)*par(i));
65
end
A=J'*J;
B=inv(A);
disp('Estimador da matriz de variâncias e covariâncias');COV=S2y*B
function [f,g,ind] = cost43(par,ind)// Função auxiliar para a otimizaçãof=res43(par);for i=1:length(par) para=par; parr=par; para(i)=par(i)*(1+1e-4); parr(i)=par(i)*(1-1e-4); fa=res43(para); fr=res43(parr); g(i)=(fa-fr)/par(i)/2e-4;endendfunction
function resf=res43(par)// Função-resíduoglobal t qi qexpycalcf=ycalc43(par);resf=ycalcf-qexp;resf=resf'*resf;plot(t,qexp,'bo',t,ycalcf,'r-')endfunction
function ycalcf=ycalc43(par)// Modelo a ser ajustadoglobal t qiai=par(1);ycalcf=1+ai*t;ycalcf=qi./ycalcf;endfunction
66