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DIMENSÕES • Matemática A • 10.o ano • Santillana
Soluções das Fichas de trabalho
Ficha de trabalho 1 Lógica e teoria dos conjuntos1 (A) d; (B) P; (C) d; (D) P; (E) d; (F) P; (G) d; (H) P.
2 (A) Verdadeira; (B) Falsa; (C) Falsa; (D) Falsa; (E) Verdadeira; (F) Verdadeira.
3 p , r e s ; q e t .
4 a) b & c ; b) c & +a ; c) +b / +c ; d) (+a / b) & c
5 a) as retas m e l são paralelas, logo, são retas com o mesmo declive.
b) as retas m e l são paralelas, logo, não são concorrentes.
c) as retas m e l são paralelas, logo, têm o mesmo declive.
d) as retas m e l são paralelas ou concorrentes.
e) as retas m e l são concorrentes e intersetam-se, formando um ângulo reto, logo, não são retas paralelas.
6 a) Verdadeiro. b) Falso. c) Verdadeiro. d) Falso.
7 a) a b (a 0 b) 0 +a
V
F
F VV
V V
F
V V
F V
b) a a + bb +a 0 b (a + b) & (+a 0 b)
V V
F F
F F VV F
V V V
F V
V V V
F V V
8 a) a / +b ; b) a 0 b ; c) (a 0 b) / c
9 (A) Falsa; (B) Falsa; (C) Verdadeira; (D) Verdadeira; (E) Falsa.
10 a) p (+p & p) + p
F F
V V
b) p q [+p 0 (p / q)] 0 (p / +q)
V
F
F VV
V V
F
V V
F V
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Fichas de trabalho
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c) p q (p & q) 0 (p 0 +q)
V
F
F VV
V V
F
V V
F V
11 a) p verdadeiro; q verdadeiro; r falso.
b) p verdadeiro; q falso; r verdadeiro.
c) p verdadeiro; q falso; r verdadeiro.
Ficha de trabalho 2 Lógica e teoria dos conjuntos1 Em IN Em IR
(A) impossível Possível
(B) Universal Universal
(C) Universal Possível
(D) impossível Possível
(E) impossível Possível
(F) impossível impossível
2 a) Por exemplo, IR ; b) ]3, +3[ ; c) IN
3 a) Por exemplo, x - 5 < 0 .
b) Por exemplo, x + 5 < 0 .
c) Por exemplo, x - 6 < 0 .
4 a) ,5 5-# - ; b) ,21
3- + ;E ; c) {-2, 5} ; d) ]-2, 2[
5 a) o dobro de um número real é maior do que esse número; falsa.
b) Qualquer potência de dois de um número natural é maior do que o quadrado desse número; falsa.
c) Um quadrado de um número real é maior do que esse número; falsa.
d) o quadrado da soma entre um número real e dois é igual à soma dos quadrados desse número e de 2 ; falsa.
e) Qualquer número real é racional; verdadeira.
6 a) 7x ! IQ: x > 3 ; verdadeira. b) 6n ! IN, x H 0 ; falsa. c) 6x ! IQ, x ! IQ ; falsa.
7 (A) Falsa; (B) Verdadeira; (C) Falsa; (D) Verdadeira.
8 (A) Verdadeira; (B) Falsa; (C) Verdadeira.
9 (A) Falsa; (B) Verdadeira.
10 a) 7x ! IR: x " IQ ; b) 6x ! IQ, x " IR ; c) 6x ! ℤ-, 2x < 0
11 a) n = 3 ; b) x = 1 ; c) x = 0
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Ficha de trabalho 3 Lógica e teoria dos conjuntos1 a) {2} ; b) ]5, 9[ ; c) ]1, 9[ ; d) ]-1, 4[
2 a) 5n ; b) {-2} ; c) {x ! IR: x H 0}
3 a) ]2, +3[ ; b) ]-3, 4] ; c) ]0, 4]
4 a) x2 - 9 = 0 + x = ! 9 + x = -3 0 x = 3 + x = 3, x ! IN A = {3}
2x - 6 = 0 + x = 36
+ x = 3, x ! IN B = {3}
b) |2x - 3| = 1 + 2x - 3 = -1 0 2x - 3 = 1 + x = 1 0 x = 2 A = {1, 2}
x = (3 ! 23 9 4 1 2! # #-
+ x = 23 1!
+ x = 1 0 x = 2 B = {1, 2}
c) 3x - 5 < 10 + x < 5 A = ]-3, 5[
|x| < 5 + x < 5 / x > -5 B = ]-5, 5[
d) x2 + 1 G 0 A = IR
5x < 5 (x - 1) + 5x < 5x - 5 + 0x < -5 B = IR
5 a) ]7, +3[ ; b) {-4} ; c) ]-3, 3[
6 A , B = {-9, 0, 9} A + B = {0}
7 A , B = ]-3, 2] A + B = [-2, 2]
8 a) A\B = {2, 6, 10} B\A = {12, 16, 18}
b) A\B = ]2, 5] B\A = [-2, 5[
c) A\B = ℤ0- B\A = Ø
9 a) A + B ; b) Ø
10 a) A + B\(A + B + C) ; b) c\(A , B) ; c) A\(B + C)
11 17
Ficha de trabalho 4 Álgebra1 a) 4-2 ; b) -1 ; c) 2
1
2 a) < ; b) = ; c) = ; d) = ; e) <
3 (A) Falsa; (B) Verdadeira; (C) Falsa.
4 a) x = -8 0 x = 8 ; b) impossível. c) x = 4 ; d) x = -4 ; e) x = 0 ; f) x = 1
5 a) 7 2 - 9 3 ; b) 2 53
- 16 ; c) -2 ; d) 0,06
6 a) 45 5-
; b) -2 ; c) -5 - 3 5
7 a) 5 21
; b) 216 41
; c) 27 31
; d) 3 101
8 a) 823 ; b) 8
3 ; c) 1000 000
13
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Fichas de trabalho
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9 15 cm2
10 10.1 P = 4 10 + 2 6 cm
10.2 V = 316 3
11 11.1 AE = 42 5+
11.2 P = 26 5+
Ficha de trabalho 5 Álgebra1 a) x4 + 3x2 + 7x - 2
b) -x4 + x3 - 3x2 + 4x - 2
c) 3x5 + x4 + 9x3 + 9x2 - 7x + 1
d) 4x2 - x3 + 18x2 - 7x + 1
2 a) x5 + 3x3 + x + 3
b) -2x5 + 3x3 - 6x2 - 3
c) 4x2 - 12x + 36
d) x x x x
26 2 2 35 3 2- - + - -
3 a) Q = x2 - x + 5 R = -6
b) Q(x) = x21
+ 35
R(x) = x21
- - 35
4 a) Q = x2 + 1 R = 0
b) Q = x3 - 5x2 + 6x R = 0
5 a) Q = 3x2 + 8x + 16 R = 19
b) Q = x3 21
- x2 43
- x 83
- R = 1625
6 m = 10 e n = -8.
7 a) Q(x) = (x + 2)(x + 4)
b) R(x) = x(x - 1)(x + 1)(x + 4)
8 a) 2 é raiz de multiplicidade 2 e 1 é raiz.
b) 2 é raiz de multiplicidade 2 e -2 é raiz.
9 a) x ! ]-3, 3]
b) x ! [1, 5]
Ficha de trabalho 6 Geometria analítica1 1.1 A(2, 2) ; B(0, 4) ; C(2, 2) ; O(0, 0)
1.2 a) Al(-2, -2)
b) Am (2, -2)
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2 2.1 B(-2, -4); C(2, -4); D(4, 0); E(2, 4); F(-2, 4)
2.2 B(-2, -4)
2.3 y = -4
3 a)
u3p40h1
xO
3
23
22
y c)
u3p40h3
xO
3
23
y
b)
u3p40h2
xO
2
y d)
u3p40h4
xO
5
3
2
y
4 a) y G x / x G 2 / y b) y < 1 / y G x H 0
5 5.1 a) Por exemplo: AO e DC .
b) Por exemplo: AD e DC .
c) Por exemplo: JL .
5.2 A(3, 0, 0) ; B(3, 3, 0) ; D(3, 0, 3) ; E(3, 23, 0) ; F(0, 3, 0) ; G(0, 0, 3) ; H(0, 3, 3) ; J(3, 0, 6) ; L(0, 0, 6) ; M(0, 23, 6).
5.3 a) y = -3
b) y = 0 / z = 3
c) x = 3 / z = 3 / 0 G y G 3
Ficha de trabalho 7 Geometria analítica1 a) y = 5x + 1 ; b) y = -2x + 7 ; c) y = -7x - 4 ; d) y = 1 ; e) y = -x ; f) y = 2
7- x + 1
2 2.1 t : y = 2 ; s : y = 23
x ; r : y = -2x + 1
2.2 a) ,A 72
73
c m
b) a = 84121
m2
3 a)
u3p41h1
xO
2
y b)
u3p41h2
xO23
1
3
y
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Fichas de trabalho
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4 4.1 (x + 3)2 + (y - 2)2 = 8
4.2 y = 43
x + 6 e y = 43
x + 3
4.3 (x + 3)2 + (y - 2)2 H 8 / y H 43
x + 3 / y G 43
x + 6
Ficha de trabalho 8 Geometria analítica1 1.1 Não, porque os vetores AB e AC são não colineares.
1.2 , ,0 1 23
c m
1.3 x2 + (y - 1)2 + z 23 2
-c m G 425
1.4 o triângulo [ABC] não é retângulo.
1.5 (x, y, z) = (-2, 0, 1) + k(6, -2, 5), k ! IR
2 2.1 a) CE
b) DC
c) H
d) O
2.2 2.2.1 B(-6, 4, 0) ; C(-6, 24, 0) ; D(6, -4, 0) ; E(6, 4, 6) ; F(-6, 4, 6) ; G(-6, 24, 6) ; H(6, -4, 6)
2.2.2 como os vetores MN e BC são colineares, sendo MN o vetor diretor da reta MN e BC o vetor diretor da reta BC , pertencente ao plano ABC , então, pelo critério de paralelismo entre uma reta e um plano (se uma reta é paralela a uma reta de um plano, então, é paralela a esse plano), a reta MN é paralela ao plano ABC .
2.2.3 CB = 2MN
2.2.4 x2 + y2 + z2 = 80
2.2.5
u3p43h1
10 8
6 6
!§29 !§52
2.2.6 aproximadamente, 45,6 litros.
Ficha de trabalho 9 Funções reais de variável real1 1.1 Funções: b e d .
1.2
domínio
conjunto de chegada
contradomínio
b
{1, 2, 3}
{4, 5, 6, 7}
{4, 5, 6}
d
{1, 2, 3}
{4, 5}
{4, 5}
2 P = 2x + x20
3 D = ]-5, 5] e Dl = [-4, 5]
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4 4.1 a) 2 ; b) 7 ; c) 2
4.2
4.3
4.4 {-8, -3, 2, 7, 12}
5 5.1 Uma função é injetiva no seu domínio se x1 ! x2 , então, f(x1) ! f(x2) . Portanto, vem 2x1 - 3 ! 2x2 - 3x1 ! x2 . logo, a função é injetiva.
5.2 -4
5.3 4
5.4 k
23+
6 Uma função quadrada não é injetiva, pois a objetos diferentes correspondem imagens iguais. No caso da função dada: f(-2) = f(3) = 0 , isto é, x1 ! x2 & f(x1) = f(x2) .
Uma função é sobrejetiva quando o seu conjunto de chegada coincide com o contradomínio. No caso
da função dada, o contradomínio é [ 425
- , +3[ , assim, 6y ! Dlf , 7x ! IR: y = f(x) .
7 7.1 Df %g = {0, 2, 4, 6, 8} e Dg%f = {0, 1, 2, 3, 4}
7.2 x
f %g
0
3
4
3
2
0
6
0
8
3
Dg%f = {0, 1, 2, 3, 4}
8 8.1 Zero: x = 35
-
8.2 a função é injetiva.
8.3 f(x) = 8 + x = 1 y = f(-1) = 2
8.4 f-1 (x) = x
35-
9 9.1 a função é bijetiva pois é sobrejetiva e injetiva.
9.2 f-1 (2) = 0
Ficha de trabalho 10 Funções reais de variável real1 1.1 Df = IR e Dlf = IR ; Dg = [-5, 6] e Dlg = [-5, 4] ; Dh = ]-3, -2] , [1, +3[ e Dlh = [-3, +3[
1.2 x
f %g
-3
- +
-1
0
0 2
0 0
+3
- +
1.3 g é crescente em [-5, -3] e em [0, 3] e decrescente em [-3, 0] e em [3, 6] .
u3p44h1
y
f
xO
4
2
22
20,5 0,5
u3p44h2
y
xO
2
22 0,5 2
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1.4 Não, 2 e 6 são zeros de h .
1.5 ]6, 7[
1.6 725
- e 715
- .
Ficha de trabalho 11 Funções reais de variável real1 a) f(x) = 3
1- x + 3
b) f(x) = x + 4 , por exemplo;
c) f(x) = 4
d) f(x) = -x + 3
2 2.1 g(x) = x 1-
x x34
310
1se 1- - -
x 1se H-*
2.2 25
- e 1 .
2.3 , 25
3- - ;E , ]1, +3[
3 a) Não tem zeros, é sempre positiva e Dlf = ]1, +3[ .
b) Zeros: 1 e 3 ; Dlf = ]-2, +3[ ; positiva em ]-3, 1[ , ]1, +3[ e negativa em ]1, 3[ .
c) Não tem zeros, é sempre positiva e Dlf = ]1, +3[ .
4 a) h(x) = 94
- x2 + 916
x + 920
b) h(x) = x2 + 2x - 3
c) h(x) = -4x2 + 8x
5 5.1 36
5.2 36,75
5.3 6 segundos.
5.4 3 segundos.
6 6.1 Dlf = [-1, +3[ e Dlf = [-2, +3[
6.2 a) [1, 3] ; b) {-7, -3} ; c) [-10, 0]
6.3 {0, 5}
Ficha de trabalho 12 Funções reais de variável real
1 1.1 h(x) = 4
x x x43
6 9 1se2 H- +
x 2se G-*
1.2 a) [-1, 3] ; b) [0, +3[ ; c) -6
1.3 [1, 8]
2 2.1
u3p45h1
y
x0121
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2.2 a) Dl = [-7, 2[ ; tem dois zeros; b) Dl = [-10, 3[ ; c) D´ = [0, 5[
2.3 k = -2
3 a) -3(x - 6)(x + 1)
b) (x - 2)(x + 1)(x + 2)
c) x(x - 3)(x - 2)(x + 1)
d) (x + 2)2(x2 + 4x + 10)
4 a) p = - 225
; b) p = 631279
5 a) 121
(x2 - 4)(x + 1)(x - 3) ; b) 15 (x + 3)(x - 1)2(x - 3)
6 a) ]-3, -3[ , ]0, 1[ ; b) ]-3, -2] , [0, 7] ; c) [-4, -1] , [2, 3]
7 7.1 designando por x a aresta lateral do prisma quadrangular, vem:
400 = 12a + 4x + 4x = 400 - 12a + x = 100 - 3a
logo, o volume do prisma é:
V(a) = Abase × altura + V(a) = a2 × (100 - 3a) + V(a) + 100a2 - 3a3 c.q.d.
7.2 a . 33 m
Ficha de trabalho 13 Estatística1 a) 15,6 ; 15 ; 15 ; b) 1,5 ; c) P25 : 15 ; P50 : 15 ; P75 : 16
2 5 ; 3,3 ; 3,5 ; 4 ; 2
3 12
4 65
5 14 anos: 2 alunos; 15 anos: 13 alunos; 16 anos: 4 alunos; 17 anos: 6 alunos; 18 anos: 1 aluno.
6 a) Média = 592 ; moda = 400 ; mediana = 450
b) P25 : 400 ; P50 : 450 ; P75 : 500
Ficha de trabalho 14 Estatística1 a) 21 ; b) 28
2 37
3 a) 49 ; b) 125
4 14,35
5 18,5 ; 25 ; 26,5
6 a) v = 4,56
b) 10 , 12 , 16
7 9,6 ; 8 e 12 (distribuição bimodal); 8
8 5
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