Lógica de Primeira Ordem

Alexandre Rademaker

September 28, 2010

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Linguagem

Símbolos lógicos:“(”, “)”,→, ¬, ∧, ∨.VariáveisSímbolo de igualdade

Parâmetros:Símbolos quantificadores: ∀ e ∃Símbolos predicativos de aridade n. Exemplo: pai2.Símbolos de constantes (aridade zero). Exemplo: z0

Símbolos de funções de aridade n. Exemplo: +2.

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Exemplos

Linguagem dos conjutos:

L = 〈∈2,=2, ∅〉

Linguagem da teoria elementar dos números:

L = 〈00, <2,S1,+2,×2,E2〉

Pura predicativa:L = 〈An

1,Am2 , . . . ,a1,a2, . . .〉

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Formulas

Uma expressão é qualquer sequência de símbolos.Expressões interessantes: termos e fórmulas bem formadas(wff).Termos são entendidos como os nomes e pronomes dalinguagem, dão nomes à objetos.Fórmulas atômicas não têm quantificadores nem conectivos.Fórmulas são afirmações sobre objetos.

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Formulas

Uma expressão é qualquer sequência de símbolos.Expressões interessantes: termos e fórmulas bem formadas(wff).Termos são entendidos como os nomes e pronomes dalinguagem, dão nomes à objetos.Fórmulas atômicas não têm quantificadores nem conectivos.Fórmulas são afirmações sobre objetos.

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Formulas

Uma expressão é qualquer sequência de símbolos.Expressões interessantes: termos e fórmulas bem formadas(wff).Termos são entendidos como os nomes e pronomes dalinguagem, dão nomes à objetos.Fórmulas atômicas não têm quantificadores nem conectivos.Fórmulas são afirmações sobre objetos.

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Formulas

Uma expressão é qualquer sequência de símbolos.Expressões interessantes: termos e fórmulas bem formadas(wff).Termos são entendidos como os nomes e pronomes dalinguagem, dão nomes à objetos.Fórmulas atômicas não têm quantificadores nem conectivos.Fórmulas são afirmações sobre objetos.

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Formulas

Uma expressão é qualquer sequência de símbolos.Expressões interessantes: termos e fórmulas bem formadas(wff).Termos são entendidos como os nomes e pronomes dalinguagem, dão nomes à objetos.Fórmulas atômicas não têm quantificadores nem conectivos.Fórmulas são afirmações sobre objetos.

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Termos

Podem ser construídos a partir de constantes e variáveis sob osquais são aplicados um ou mais símbolos funcionais.

+(v1,S(0))

S(S(S(0)))

+(E(v1,S(S(0))),E(v2,S(S(0))))

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Fórmulas

Fórmulas atômicas tem função similar aos símbolos sentênciais naLógica Proposicional. Tem a forma:

P(t1, . . . , tn)

onde P é um símbolo predicativo de aridade n e t1, . . . , tn são termos.

Por exemplo, v1 = v2 (ou = (v1, v2)) são fórmulas. Ou ainda, ∈ (v5, v3)na linguagem dos conjuntos.

Se α e β são fórmulas atômicas, então são WFF: α ∧ β, α ∨ β, ¬α,α→ β, ∀viα e ∃viα.

Não é WFF: ¬v3 ou v1 → v2

É WFF: ∀v1((¬∀v3(¬(v3 ∈ v1)))→ (v1 ∈ v4))

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Variáveis

∀v2(v2 ∈ v1) ∃v1∀v2v2 ∈ v1

A segunda, formaliza a frase “existe um conjunto que todo conjunto émembro dele”. A primeira, “todo conjunto é membro de . . .”.

Seja x uma variável, dizemos que x é livre em α se:

Se α é atômica, x é livre em α se x é um símbolo em α.x é livre em ¬α se é livre em α.x é livre em α→ β se é livre em α e livre em β.x é livre em ∀viα se é livre em α e x 6= vi .

Sentenças? Fórmulas sem variáveis livres!

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Estruturas

Nos dizem:

A qual coleção de coisas os quantificadores ∀ e ∃ referem-se.O que os símbolos de predicados e funções denotam.

Formalmente, uma estrutura A para uma linguagem FOL associa:

Ao quantificador ∀ um conjunto não vazio |A| denominadouniverso ou domínio.A cada símbolo predicativo P de aridade n, uma relação dearidade n, PA ⊆ |A|n.A cada símbolo funcional f de aridade n, uma funçãofA : |A|n → |A|.A cada símbolo constante c, um membro cA ∈ |A|.

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Estruturas

Seja a linguagem dos conjuntos L = 〈∈〉. Podemos considerar a estru-tura A que:

|A| = o conjunto dos números naturais.∈A= o conjunto dos pares (m,n) tal que m < n.

Como a estrutura A nos permite interpretar (ler) a sentença:

∃x∀y¬(y ∈ x)

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Estruturas

Seja a linguagem L = 〈E2〉 e o parâmetro ∀. Considere a estruturafinita B com universo |B| = {a,b, c,d}. Suponha a relação binária

EB = {(a,b), (b,a), (b, c), (c, c)}

que pode ser desejada como um grafo

a b c d

A sentença ∃x∀y¬yEx na estrutura B pode ser interpretada como? Éverdadeira?

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Semântica

Se σ é uma sentença. Como dizer que “σ é verdade em A”? Sem anecessidade de traduzir σ para português?

|=A σ

Para uma WFF qualquer, precisamos de:

s : V → |A|

Para então, informalmente definir “A satisfaz σ com s” representadopor:

|=A σ[s]

se e somente se da tradução de σ determinada por A, onde a variávelx é traduzida por s(x) se x é livre, é verdade.

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Semântica

Formalmente, precisamos definir a interpretação de termos e fórmulaspor uma estrutura...

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Interpretação de termos

Definimos a função:s : T → |A|

que mapea termos para elementos do universo de A. Como:

1 Para cada variável x , s(x) = s(x).2 Para cada constante c, s(c) = cA.3 Se t1, . . . , tn são termos e f é uma fução, então

s(f (t1, . . . , tn)) = fA(s(t1), . . . , s(tn))

s depende de A e s. Notação alternativa para s(t) poderia ser tA[s].

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Interpretação de fórmulas

Fórmulas atômicas. Definimos explicitamente, dois casos:

1 Igualdade onde = significa =, não é um parâmetro aberto àinterpretações.

|=A t1 = t2 [s] sse s(t1) = s(t2)

2 Para um predicado n-ário P:

|=A P(t1, . . . , tn) [s] sse 〈s(t1), . . . , s(tn)〉 ∈ PA

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Interpretação de fórmulas

Outras WFF. Definimos recursivamente:

1 |=A ¬φ [s] sse 6|=A φ [s]2 |=A φ→ ψ [s] sse ou 6|=A φ [s] ou |=A ψ [s] ou ambos.3 |=A φ ∧ ψ [s] sse |=A φ [s] e |=A ψ [s].4 |=A φ ∨ ψ [s] sse |=A φ [s] ou |=A ψ [s].5 |=A ∀xψ [s] sse para todo d ∈ |A|, temos |=A ψ [s(x |d)].

Onde s(x |d) é a função s com uma diferença, para a variável x , elaretorna d .

s(x |d)(y) ={

s(y) se y 6= xd se y = x

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