Post on 16-Apr-2015
FíSICA DE PARTíCULAS A ALTAS ENERGIAS
Uma análise introdutória
Eduardo André Flach Basso ebasso@if.ufrgs.br
Tópicos
1- Motivação geral
2- Visão geral sobre espalhamento
3- Forma geométrica do núcleo
4- Espalhamento elástico de nucleons
5- Conclusões e panorama para o futuro
Introdução/motivação
Familiarização com os aspectos introdutórios da física de partículas elementares.
Conhecer a dinâmica das interações mediadas pela força forte.
Visão geral sobre espalhamento
Processos de espalhamento Para se entender como se dão as interações a nível nuclear
e subnuclear é preciso saber: como extrair informação a respeito dos constituintes fundamentais da matéria? A resposta é, analisando processos de espalhamento.
Em um experimento típico, o objeto a ser estudado (o alvo), é bombardeado com um feixe de partículas com energia bem definida. Podemos representar o processo da seguinte forma:
a + b c + d
Espalhamento elástico
a + b a’ + b’
Partículas permanecem em seu estado fundamental.
Absorvem somente momento de recuo, mudando sua energia cinética.
Espalhamento inelástico
a + b a’ + b*
↳ c + d
presença do estado excitado b*, que logo retorna ao estado fundamental.
a) espalhamento elástico;
b) Espalhamento inelástico – produção de um estado excitado que decai em duas partículas;
c) Produção inelástica de novas partículas;
d) Reação de feixes em colisão.
Cross-sections probabilidade de reação entre
duas partículas em colisão. A “seção de choque de reação
geométrica” é dada por:
bab N
N
onde
toespalhamen de centros de Nº :N
incidente partículas de Fluxo :
reação de Taxa :
b
.
a
N
Esta descrição pode ser uma boa aproximação em muitos casos, mas geralmente a probabilidade de reação entre duas partículas é diferente.
Na pratica, uma grande dependência com a energia é observada.
A forma, força e alcance do potencial da interação é que, a priori, determina a área efetiva da seção de choque.
A interação pode ser determinada da taxa de reação se o fluxo do feixe de partículas e a densidade de área dos centros de espalhamentos são bem conhecidos.
Assim a seção de choque total é definida analogamente àquela geométrica:
área) de to/unidadeespalhamen de (centros tempo)de /unidadefeixe-s(particula
tempode unidadepor reações de º
ntot
Unidades Seções de choque têm dimensão de área. Uma unidade freqüentemente usada é o barn definido por:
1 barn = 1b = 10-28 m2
Seções de choque diferenciais Somente uma parte das reações é medida.
Uma taxa destas reações é proporcional a seção de choque diferencial d(E,)/d.
Pode-se determinar a seção de choque duas vezes diferenciável d2(E,E’,)/ddE’, se o detector puder medir a energia E’ das partículas espalhadas.
''
),',()(
'max
0 4
2
dEddEd
EEdE
E
tot
Forma geométrica do núcleo
Espalhamento por elétrons para investigar pequenos objetos.
Dificuldades:
os projéteis são objetos extensos, o que reflete também na seção de choque.
As forças nucleares entre o projétil e o alvo são complexas e ainda não são bem entendidas.
Cinemática do espalhamento com elétronsGeralmente, usa-se partículas altamente relativísticas, o que
implica no uso de quadri-vetores nos cálculos cinemáticos:
Onde os termos em negrito indicam os tri-vetores.
O produto escalar invariante de Lorentz de dois vetores é defido como
Aplicando esta ao quadri-momento ao quadrado,
ba 0033221100 babababababa
p
x
,/,,,
,,,,
3210
3210
cEppppp
ctxxxxx
22
22 p
c
Ep
Este último é igual ao quadrado da massa de repouso m multiplicado por c2.
A quantidade
é chamada de massa invariante. Das duas últimas obtem-se a relação energia-momentum relativística:
No sistema do laboratório, a energia do elétron espalhado é:
cpm /2
42222 cmcE p
cos11 2'
McE
EE
A seção de choque de Rutherford
Em termos de b, a seção de choque diferencial é igual a área de um anel de raio b e espessura db: ;Como pode ser visto nas figuras acima , um específico parâmetro de impacto resulta em um especifico ângulo de espalhamento.
bdbd 2
Quando o parâmetro de impacto está entre b e b + db, o ângulo de espalhamento estará entre e - d. Assim escreve-se e seção diferencial de choque como:
Deve-se examinar como b depende de cos para chegar em uma expressão para a distribuição angular da partícula espalhada . Pode-se derivar uma eq. Para b achando duas expressões independentes para a variação de momentum p da partícula espalhada que envolvam b e .Tomando:
cos2
coscos d
dbb
d
db
db
d
d
d
toespalhamen do depois de momentum p
toespalhamen do antes de momentum
2
1
p
cos2 2121
22
221
2 ppppppp
então
Somente a direção do momentum muda e não sua magnitude, já que a massa do núcleo é muito maior que a massa da partícula .
Temos então a primeira das expressões para p:
A transferência de momentum se dá ao longo de uma linha que bissecsiona o ângulo ( - ), como mostra a figura abaixo.
1 cos12cos12 vmpp
Com isso escreve-se:
Assim,
cos12
cos22cos222
222222
pp
pppppp
21 vmpp
partícula da e velocidad
partícula da massam
v
Ao resolver esta última, deve-se ter em mente que ambos ( e r ) dependem do tempo. A integral se torna mais simples se usarmos o conceito de conservação de momentum angular. Em qualquer ponto ao longo da trajetória da partícula , a componente da velocidade perpendicular (VT) a direção da força é
dt
drVT
A magnitude da força (F) sobre a partícula é:onde A componente da força na direção da transferência do momentum p é Fcos. Desta forma p pode ser escrita como a integral temporal da força:
221
r
qkqF
núcleo do cargaq
de carga 2
2
1
Ze
eq
2
1
2
1221
coscos
t
t
t
t rdtqkqdtFp
Agora, devemos converter o ângulo 0 de volta no ângulo
de espalhamento. Os dois ângulos estão relacionados por
22 2 00
O momentum angular (L) da partícula em relação ao núcleo é:
com .dt
drmr
dt
drmrVmrVmL TT
2
rVT
Quando a partícula está a uma longa distância do núcleo, antes do espalhamento, tem-se por definição do parâmetro de impacto,
vbmL Pela conservação do momentum angular temos,
dt
drmvbm
2
Então, escreve-se p como
021
002121 sen
2]sen[sencos
0
0
vb
qkq
vb
qkqd
vb
qkqp
vb
d
2r
dt
Equacionando (1) e (2) temos, Resolvendo para o parâmetro de impacto,
Para calcular a seção de choque faz-se a mudança de variável: Assim,
Diferenciando b2 temos:
cos12
cos12 21 vb
qkqvmp
cos1
cos1b
cos1
cos12
2212
221
vm
qkq
vm
qkqb
cos
2
2
221
2
2
221
12
1
112
d
vm
qkqd
vm
qkqbdb
1
1b
2
2212
vm
qkq
Assim
Usando a identidade trigonométrica:
temos,
2cos
2
22sen
2 2121 vb
qkq
vb
qkqp
2
cos1
2cos
2 cos12 21
vb
qkqp
Supondo a carga elétrica do projétil como q1=ze e sendo a carga
elétrica do núcleo Ze, tem-se:
Em termos da constante de acoplamento eletromagnética ( ) tem-se:
2
2
21
cos1
1
2cos
kE
qkq
d
d
222
cos1
1
2cos
kE
zZke
d
d
cke 2
2
2
222
cos1
1
2cos
kE
cZz
d
d
bdbd 2Como temos:
voltando à variável cos:
Podemos escrever esta em termos da energia cinética da partícula incidente ( ), obtendo:
2
2
221
cos1
12
cos
vm
qkq
d
d
2/2vmEk
2
2
211
1
12
vm
qkq
d
d
Notas:
1. Seção de choque proporcional à α2 ; e inversamente proporcional a Ek.
2. Existe uma singularidade na seção de choque para = 0, onde esta é infinita.
Sem a integração no ângulosólido teríamos:
2sen44 422
0
22
E
Ze
d
d
ruth
Esta é a fórmula de Rutherford para a seção de choque diferencial.
A seção de choque de Mott Considera-se o spin da partícula
do feixe. Esta só é valida para |q| 0 ; à grandes valores de |q|, reduzido do fóton virtual diminui e a resolução aumenta.
O elétron espalhado não sente mais toda a carga do núcleo, mas somente parte dela.
O asterisco indica que o recuofoi negligenciado.
2sen1 22
*
RuthMott d
d
d
dc
v
2
cosqc
4
2cos 2
4
'2222
* 2
EcZ
d
d
d
d
RuthMott
gráfico para as seções de choque de Rutherford e Mott; e o gráfico para a taxa de espalhamento, que é proporcional a esta última. Neste último vê-sea inconsistência de um núcleo pontual. Ambos representam espalhamento deElétrons com energia de 125 MeV por núcleos de ouro.
Fatores de forma nucleares: F(q2)Descrevem a extensão espacial dos núcleos.Experimentalmente temos:
Teoricamente, sob certas condições temos:
drrrq
rqrfqF 22 sen
4
22
*
exp
qFd
d
d
d
Mott
Exemplos de fatores de forma com suas respectivas distribuiçõesde carga
Gráfico dos fatores de forma para algumas distribuições de carga.
Distribuição de carga nuclearNúcleos não são esferas com uma superfície bem definida.A distribuição radial de carga na superfície pode ser bem aproximada pela função de Fermi com dois parâmetros:
acre
r
1
0
A constante c é o raio onde cai pela metade.Empiricamente, para núcleos pesados, c e a são dados por:
r
31A [fm] 07.1c [fm] 54.0a
Gráfico da densidade de carga nuclear para o carbono. A densidade de cargano centro foi normalizada à um.
Espalhamento elástico por nucleons
Fatores de forma dos nucleons
Devemos aqui, fazer algumas considerações a respeito dos nucleons (alvos):
Recuo:
Momento magnético:
Momento magnético anômalo:
2tan21. 2
1/2spin point
Mottd
d
d
d22
2
4 cM
Q
NNp
p
g 79.2
2NNn
n
g 91.12
E
E
d
d
d
d
MottMott
'*
.
Onde o magnéton nuclear é:
A seção de choque para o espalhamento de um elétron por um nucleon é dada pela fórmula de Rosenbluth:
pN M
e
2
2tan)(2
1
)()( 2222222
QGQGQG
d
d
d
dM
ME
Mott
Onde e são os fatores de forma elétrico e magnético,ambos dependentes de .
)( 22 QGE )( 22 QGM
2Q
O fator de forma elétrico do próton e os fatores de forma magnético de ambos, prótons e neutrons decaem similarmentecom Q2. Eles podem ser aproximados pelo chamado dipole fit:
onde
222
2
91.179.2QG
QGQGQG dipole
nM
pMp
E
2
2
22
/71.01
cGeV
QQG dipole
Este modelo corresponde a uma distribuição de carga quecai exponencialmente:
com arer 0 -1fm 71.4a
Raio de carga de Pions e Kaons Como pions e kaons são partículas com spin zero, eles têm
apenas um fator de forma elétrico. Ambos podem ser descritos pelo chamado fator de forma de monopolo:
Os raios médios quadrados, que saem da declividade das curvas próximas a origem, são dados por:
12222 )1()( aQQGE2
2 6r
a
22 fm 02.044.0
r 22 fm 05.034.0
r
Fatores de forma para píon e kaon como função de Q2. As linhas sólidas correspondem ao fator de forma de monopolo.
Analisando estes gráficos vê-se que ambos, o píon e o kaon, têm diferentes distribuições de carga e são bem menosespalhadas no espaço do que a distribuição de carga para opróton. Isto pode ser entendido como o resultado das diferentes estrutras internas de seus constituintes:enquanto o próton é formado por três quarks, o pion e o kaon são formados por umquark e um antiquark.
O kaon tem menor raio de carga que o pion. Assim, conclui-seque estes possuem constituintes diferentes.
Para o futuro...
Entender mais a fundo o DIS, o modelo de partons e suas implicações na funções de estrutura.
Aplicação dos conhecimentos ao processo de espalhamento próton-próton, para entender o processo mais geral Pb-Pb produzindo píons.