Fısica Matematica:a teoria das teorias

Victor Chabu

22 de fevereiro de 2019 – Bem vindos!

Provocacao: teoria das teorias?

Relatividade

Intervalos de luz

I Coisas que podem estar ligadas por efeitos fısicos:

∆x

∆t6 c

⇒ c2(∆t)2 − (∆x)2 > 0.

I Coisas que se movem a velocidade da luz:

∆x

∆t= c ⇒ c2(∆t)2 − (∆x)2 = 0.

I Coisas que nao podem estar ligadas por efeitos fısicos:

∆x

∆t> c ⇒ c2(∆t)2 − (∆x)2 < 0.

Relatividade

Intervalos de luz

I Coisas que podem estar ligadas por efeitos fısicos:

∆x

∆t6 c ⇒ c2(∆t)2 − (∆x)2 > 0.

I Coisas que se movem a velocidade da luz:

∆x

∆t= c ⇒ c2(∆t)2 − (∆x)2 = 0.

I Coisas que nao podem estar ligadas por efeitos fısicos:

∆x

∆t> c ⇒ c2(∆t)2 − (∆x)2 < 0.

Relatividade

Intervalos de luz

I Coisas que podem estar ligadas por efeitos fısicos:

∆x

∆t6 c ⇒ c2(∆t)2 − (∆x)2 > 0.

I Coisas que se movem a velocidade da luz:

∆x

∆t= c

⇒ c2(∆t)2 − (∆x)2 = 0.

I Coisas que nao podem estar ligadas por efeitos fısicos:

∆x

∆t> c ⇒ c2(∆t)2 − (∆x)2 < 0.

Relatividade

Intervalos de luz

I Coisas que podem estar ligadas por efeitos fısicos:

∆x

∆t6 c ⇒ c2(∆t)2 − (∆x)2 > 0.

I Coisas que se movem a velocidade da luz:

∆x

∆t= c ⇒ c2(∆t)2 − (∆x)2 = 0.

I Coisas que nao podem estar ligadas por efeitos fısicos:

∆x

∆t> c ⇒ c2(∆t)2 − (∆x)2 < 0.

Relatividade

Intervalos de luz

I Coisas que podem estar ligadas por efeitos fısicos:

∆x

∆t6 c ⇒ c2(∆t)2 − (∆x)2 > 0.

I Coisas que se movem a velocidade da luz:

∆x

∆t= c ⇒ c2(∆t)2 − (∆x)2 = 0.

I Coisas que nao podem estar ligadas por efeitos fısicos:

∆x

∆t> c

⇒ c2(∆t)2 − (∆x)2 < 0.

Relatividade

Intervalos de luz

I Coisas que podem estar ligadas por efeitos fısicos:

∆x

∆t6 c ⇒ c2(∆t)2 − (∆x)2 > 0.

I Coisas que se movem a velocidade da luz:

∆x

∆t= c ⇒ c2(∆t)2 − (∆x)2 = 0.

I Coisas que nao podem estar ligadas por efeitos fısicos:

∆x

∆t> c ⇒ c2(∆t)2 − (∆x)2 < 0.

Relatividade

Intervalos de luz

O importante e avaliar o sinal da quantidade

c2(∆t)2 − (∆x)2,

ou seja, estudar a funcao:

D(t, x) = c2t2 − x2.

Esperteza:

D(t, x) =(ct x

)(1 00 −1

)︸ ︷︷ ︸

M

(ctx

).

Relatividade

Intervalos de luz

O importante e avaliar o sinal da quantidade

c2(∆t)2 − (∆x)2,

ou seja, estudar a funcao:

D(t, x) = c2t2 − x2.

Esperteza:

D(t, x) =(ct x

)(1 00 −1

)︸ ︷︷ ︸

M

(ctx

).

Relatividade

Mudanca de coordenadas

I Novas coordenadas:(ctx

)=

(a1 a2

a3 a4

)︸ ︷︷ ︸

L

(ctx

).

I Preservacao da causalidade: D (t, x) tem que ter omesmo sinal de D(t, x); em particular:

D (t, x) = 0 ⇔ D (t, x) = 0.

I Teorema: se L preserva o sinal de D e os intervalos tipoluz, entao D (t, x) = D (t, x) sempre.

Relatividade

Mudanca de coordenadas

I Novas coordenadas:(ctx

)=

(a1 a2

a3 a4

)︸ ︷︷ ︸

L

(ctx

).

I Preservacao da causalidade: D (t, x) tem que ter omesmo sinal de D(t, x); em particular:

D (t, x) = 0 ⇔ D (t, x) = 0.

I Teorema: se L preserva o sinal de D e os intervalos tipoluz, entao D (t, x) = D (t, x) sempre.

Relatividade

Mudanca de coordenadas

I Novas coordenadas:(ctx

)=

(a1 a2

a3 a4

)︸ ︷︷ ︸

L

(ctx

).

I Preservacao da causalidade: D (t, x) tem que ter omesmo sinal de D(t, x); em particular:

D (t, x) = 0 ⇔ D (t, x) = 0.

I Teorema: se L preserva o sinal de D e os intervalos tipoluz, entao D (t, x) = D (t, x) sempre.

Relatividade

Mudanca de coordenadas

Em palavras, para todo vetor u =

(ctx

), deve-se ter

uT LTMLu = uT M u,

o que da:LTML = M .

I Examinando o determinante: det(L) = ±1.Em componentes: a1a4 − a2a3 = 1.

I Examinando a inversa: L−1 = MLTM .

Em componentes:

(a4 −a2

−a3 a1

)=

(a1 −a3

−a2 a4

)⇒{

a1 = a4

a2 = a3.

Relatividade

Mudanca de coordenadas

Em palavras, para todo vetor u =

(ctx

), deve-se ter

uT LTMLu = uT M u,

o que da:LTML = M .

I Examinando o determinante: det(L) = ±1.Em componentes: a1a4 − a2a3 = 1.

I Examinando a inversa: L−1 = MLTM .

Em componentes:

(a4 −a2

−a3 a1

)=

(a1 −a3

−a2 a4

)⇒{

a1 = a4

a2 = a3.

Relatividade

Mudanca de coordenadas

Em palavras, para todo vetor u =

(ctx

), deve-se ter

uT LTMLu = uT M u,

o que da:LTML = M .

I Examinando o determinante: det(L) = ±1.Em componentes: a1a4 − a2a3 = 1.

I Examinando a inversa: L−1 = MLTM .

Em componentes:

(a4 −a2

−a3 a1

)=

(a1 −a3

−a2 a4

)⇒{

a1 = a4

a2 = a3.

Relatividade

Mudanca de coordenadas

Em palavras, para todo vetor u =

(ctx

), deve-se ter

uT LTMLu = uT M u,

o que da:LTML = M .

I Examinando o determinante: det(L) = ±1.Em componentes: a1a4 − a2a3 = 1.

I Examinando a inversa: L−1 = MLTM .

Em componentes:

(a4 −a2

−a3 a1

)=

(a1 −a3

−a2 a4

)⇒{

a1 = a4

a2 = a3.

Relatividade

Transformacoes de Lorentz

Juntando tudo: a21 = 1 + a2

2 e obtem-se

L =

(√1 + a2

2 a2

a2

√1 + a2

2

);

pondo 1 + a22 = 1

1−( vc )

2

?? (fator de Lorentz, γ2(v)):

L(v) =

(γ(v) − v

cγ(v)

− vcγ(v) γ(v)

).

I Transformacoes de Lorentz:

x =x − vt√1−

(vc

)2e t =

t − vc2 x√

1−(

vc

)2

Relatividade

Transformacoes de Lorentz

Juntando tudo: a21 = 1 + a2

2 e obtem-se

L =

(√1 + a2

2 a2

a2

√1 + a2

2

);

pondo 1 + a22 = 1

1−( vc )

2 ??

(fator de Lorentz, γ2(v)):

L(v) =

(γ(v) − v

cγ(v)

− vcγ(v) γ(v)

).

I Transformacoes de Lorentz:

x =x − vt√1−

(vc

)2e t =

t − vc2 x√

1−(

vc

)2

Relatividade

Transformacoes de Lorentz

Juntando tudo: a21 = 1 + a2

2 e obtem-se

L =

(√1 + a2

2 a2

a2

√1 + a2

2

);

pondo 1 + a22 = 1

1−( vc )

2 ?? (fator de Lorentz, γ2(v)):

L(v) =

(γ(v) − v

cγ(v)

− vcγ(v) γ(v)

).

I Transformacoes de Lorentz:

x =x − vt√1−

(vc

)2e t =

t − vc2 x√

1−(

vc

)2

Relatividade

Transformacoes de Lorentz

Juntando tudo: a21 = 1 + a2

2 e obtem-se

L =

(√1 + a2

2 a2

a2

√1 + a2

2

);

pondo 1 + a22 = 1

1−( vc )

2 ?? (fator de Lorentz, γ2(v)):

L(v) =

(γ(v) − v

cγ(v)

− vcγ(v) γ(v)

).

I Transformacoes de Lorentz:

x =x − vt√1−

(vc

)2e t =

t − vc2 x√

1−(

vc

)2

Mecanica Quantica

Panorama classico

I Descricao:I Um estado fısico e um ponto (x , p) do espaco de fases.I O sistema evolui segundo uma trajetoria no espaco de fases:

Φ(t) = ((x(t), p(t)) .I Dinamica:

I O sistema e descrito por uma energia E no espaco de fases.I As trajetorias sao dadas pelas equacoes de Hamilton:

∆Φ(t)

∆t=

(∆E

∆p,−∆E

∆x

).

I Medida:I Um observavel e uma funcao A sobre o espaco de fases.I A evolucao de A e dada pela composicao com a trajetoria:

A(t) = A (x(t), p(t)) .

∆E∆p

= pm

e −∆E∆x

= ∓1 se x ≷ 0

Figura: Campo vetorial para: E (x , p) = 12m p2 + |x |.

∆Φ(t)∆t

=(

∆x(t)∆t

, ∆p(t)∆t

)=(

∆E∆p,−∆E

∆x

)

Figura: Trajetorias para: E (x , p) = 12m p2 + |x |.

Mecanica Quantica

Panorama quantico

I Descricao:I Um estado fısico e uma funcao Ψ ∈ L2.

Ex.: a nıveis de energia n1, n2, ..., associa-se Ψ(ni ).

I |Ψ|2 representa uma densidade de probabilidade.

Ex.: |Ψ(ni )|2 e a probabilidade do sistema estar no nıvel ni .

I Dinamica:I O sistema e descrito por um operador H.I A evolucao de Ψ e dada pela equacao de Schrodinger:

i~ ∂tΨ = H Ψ.(Nao vai ter desenho para essa equacao.)

I Medida:I Um observavel e um tipo de operador A.I Calcula-se a media de A para um sistema no estado Ψ.

Ex.: A = (λ1, λ2, ...),⟨

A⟩

Ψ=∑∞

n=1 λi |Ψ(ni )|2.

Mecanica Quantica

Limite semiclassico

I Pergunta: entre dois mundos tao diferentes, algumaconexao?

Mecanica Classica Mecanica Quantica

Descricaoespaco de fase espaco L2

determinıstico probabilıstico

Dinamicatrajetorias princıpio de incerteza

equacoes de Hamilton equacao de Schrodinger

Medicaocomposicao com trajetorias produto internopreserva o estado medido destroi o estado medido

Mecanica Quantica

Limite semiclassico

I Resposta: sejam U(x , p) operadores de translacao emespaco e momento:⟨

X⟩

U(x ,p)Ψ=

⟨X⟩

Ψ+ x ;⟨

P⟩

U(x ,p)Ψ=

⟨P⟩

Ψ+ p.

Isso induz uma funcao sobre o espaco de fase. E atransformada de Wigner, WΨ(x , p).

Mecanica Quantica

Limite semiclassico

I Resposta: sejam U(x , p) operadores de translacao emespaco e momento:⟨

X⟩

U(x ,p)Ψ=

⟨X⟩

Ψ+ x ;⟨

P⟩

U(x ,p)Ψ=

⟨P⟩

Ψ+ p.

Isso induz uma funcao sobre o espaco de fase. E atransformada de Wigner, WΨ(x , p).

Mecanica Quantica

Limite semiclassico

I Limite semiclassico: e quando ~ −→ 0. Nesse limitetem-se:

WΨ −→ µ,µ(x , p) densidade de probabilidade

no sentido que, para todo observavel A:⟨A⟩

Ψ−→ 〈A〉µ .

I Teorema: µ obedece as equacoes de Hamilton, ou seja,evolui conforme a Mecanica Classica:

∂tµt(x , p) + p · ∂xµt(x , p)−∇V (x) · ∂pµt(x , p) = 0.

Mecanica Quantica

Limite semiclassico

I Limite semiclassico: e quando ~ −→ 0. Nesse limitetem-se:

WΨ −→ µ,µ(x , p) densidade de probabilidade

no sentido que, para todo observavel A:⟨A⟩

Ψ−→ 〈A〉µ .

I Teorema: µ obedece as equacoes de Hamilton, ou seja,evolui conforme a Mecanica Classica:

∂tµt(x , p) + p · ∂xµt(x , p)−∇V (x) · ∂pµt(x , p) = 0.

Fısica Matematica

A fısica e a matematica

I Transformacoes de coordenadas: algebra linear.

I Preservacao de intervalos: teoria de grupos.

I Transformacoes uniparametricas, L(v): teoria de Lie.

I Espaco de fase: geometria diferencial.

I Equacoes de movimento, com os ∆...∆...

: teoria de equacoes diferenciais.

I Encontrar trajetorias: teoria de sistemas dinamicos.

I Estados quanticos: analise funcional.

I Estudo dos operadores quanticos: analise espectral.

I Acao das translacoes em posicao e momento: teoria da representacao.

I Em que sentido as coisas convergem: topologia.

I Densidades de probabilidade e medias: teoria da medida.

I Usar objetos que se escondem dentro das medias para cada estado: teoria dedistribuicoes.

I Repararam que eu nem falei em calculo integral e diferencial?

Fısica Matematica

A fısica e a matematica

I Transformacoes de coordenadas: algebra linear.

I Preservacao de intervalos: teoria de grupos.

I Transformacoes uniparametricas, L(v): teoria de Lie.

I Espaco de fase: geometria diferencial.

I Equacoes de movimento, com os ∆...∆...

: teoria de equacoes diferenciais.

I Encontrar trajetorias: teoria de sistemas dinamicos.

I Estados quanticos: analise funcional.

I Estudo dos operadores quanticos: analise espectral.

I Acao das translacoes em posicao e momento: teoria da representacao.

I Em que sentido as coisas convergem: topologia.

I Densidades de probabilidade e medias: teoria da medida.

I Usar objetos que se escondem dentro das medias para cada estado: teoria dedistribuicoes.

I Repararam que eu nem falei em calculo integral e diferencial?

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I Preservacao de intervalos: teoria de grupos.

I Transformacoes uniparametricas, L(v): teoria de Lie.

I Espaco de fase: geometria diferencial.

I Equacoes de movimento, com os ∆...∆...

: teoria de equacoes diferenciais.

I Encontrar trajetorias: teoria de sistemas dinamicos.

I Estados quanticos: analise funcional.

I Estudo dos operadores quanticos: analise espectral.

I Acao das translacoes em posicao e momento: teoria da representacao.

I Em que sentido as coisas convergem: topologia.

I Densidades de probabilidade e medias: teoria da medida.

I Usar objetos que se escondem dentro das medias para cada estado: teoria dedistribuicoes.

I Repararam que eu nem falei em calculo integral e diferencial?

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I Transformacoes uniparametricas, L(v): teoria de Lie.

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: teoria de equacoes diferenciais.

I Encontrar trajetorias: teoria de sistemas dinamicos.

I Estados quanticos: analise funcional.

I Estudo dos operadores quanticos: analise espectral.

I Acao das translacoes em posicao e momento: teoria da representacao.

I Em que sentido as coisas convergem: topologia.

I Densidades de probabilidade e medias: teoria da medida.

I Usar objetos que se escondem dentro das medias para cada estado: teoria dedistribuicoes.

I Repararam que eu nem falei em calculo integral e diferencial?

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I Estudo dos operadores quanticos: analise espectral.

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I Em que sentido as coisas convergem: topologia.

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I Em que sentido as coisas convergem: topologia.

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I Usar objetos que se escondem dentro das medias para cada estado: teoria dedistribuicoes.

I Repararam que eu nem falei em calculo integral e diferencial?

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I Transformacoes uniparametricas, L(v): teoria de Lie.

I Espaco de fase: geometria diferencial.

I Equacoes de movimento, com os ∆...∆...

: teoria de equacoes diferenciais.

I Encontrar trajetorias: teoria de sistemas dinamicos.

I Estados quanticos: analise funcional.

I Estudo dos operadores quanticos: analise espectral.

I Acao das translacoes em posicao e momento: teoria da representacao.

I Em que sentido as coisas convergem: topologia.

I Densidades de probabilidade e medias: teoria da medida.

I Usar objetos que se escondem dentro das medias para cada estado: teoria dedistribuicoes.

I Repararam que eu nem falei em calculo integral e diferencial?

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I Preservacao de intervalos: teoria de grupos.

I Transformacoes uniparametricas, L(v): teoria de Lie.

I Espaco de fase: geometria diferencial.

I Equacoes de movimento, com os ∆...∆...

: teoria de equacoes diferenciais.

I Encontrar trajetorias: teoria de sistemas dinamicos.

I Estados quanticos: analise funcional.

I Estudo dos operadores quanticos: analise espectral.

I Acao das translacoes em posicao e momento: teoria da representacao.

I Em que sentido as coisas convergem: topologia.

I Densidades de probabilidade e medias: teoria da medida.

I Usar objetos que se escondem dentro das medias para cada estado: teoria dedistribuicoes.

I Repararam que eu nem falei em calculo integral e diferencial?

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I Transformacoes uniparametricas, L(v): teoria de Lie.

I Espaco de fase: geometria diferencial.

I Equacoes de movimento, com os ∆...∆...

: teoria de equacoes diferenciais.

I Encontrar trajetorias: teoria de sistemas dinamicos.

I Estados quanticos: analise funcional.

I Estudo dos operadores quanticos: analise espectral.

I Acao das translacoes em posicao e momento: teoria da representacao.

I Em que sentido as coisas convergem: topologia.

I Densidades de probabilidade e medias: teoria da medida.

I Usar objetos que se escondem dentro das medias para cada estado: teoria dedistribuicoes.

I Repararam que eu nem falei em calculo integral e diferencial?

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I Preservacao de intervalos: teoria de grupos.

I Transformacoes uniparametricas, L(v): teoria de Lie.

I Espaco de fase: geometria diferencial.

I Equacoes de movimento, com os ∆...∆...

: teoria de equacoes diferenciais.

I Encontrar trajetorias: teoria de sistemas dinamicos.

I Estados quanticos: analise funcional.

I Estudo dos operadores quanticos: analise espectral.

I Acao das translacoes em posicao e momento: teoria da representacao.

I Em que sentido as coisas convergem: topologia.

I Densidades de probabilidade e medias: teoria da medida.

I Usar objetos que se escondem dentro das medias para cada estado: teoria dedistribuicoes.

I Repararam que eu nem falei em calculo integral e diferencial?

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I Transformacoes uniparametricas, L(v): teoria de Lie.

I Espaco de fase: geometria diferencial.

I Equacoes de movimento, com os ∆...∆...

: teoria de equacoes diferenciais.

I Encontrar trajetorias: teoria de sistemas dinamicos.

I Estados quanticos: analise funcional.

I Estudo dos operadores quanticos: analise espectral.

I Acao das translacoes em posicao e momento: teoria da representacao.

I Em que sentido as coisas convergem: topologia.

I Densidades de probabilidade e medias: teoria da medida.

I Usar objetos que se escondem dentro das medias para cada estado: teoria dedistribuicoes.

I Repararam que eu nem falei em calculo integral e diferencial?

Fısica Matematica

A fısica e a matematica

I Transformacoes de coordenadas: algebra linear.

I Preservacao de intervalos: teoria de grupos.

I Transformacoes uniparametricas, L(v): teoria de Lie.

I Espaco de fase: geometria diferencial.

I Equacoes de movimento, com os ∆...∆...

: teoria de equacoes diferenciais.

I Encontrar trajetorias: teoria de sistemas dinamicos.

I Estados quanticos: analise funcional.

I Estudo dos operadores quanticos: analise espectral.

I Acao das translacoes em posicao e momento: teoria da representacao.

I Em que sentido as coisas convergem: topologia.

I Densidades de probabilidade e medias: teoria da medida.

I Usar objetos que se escondem dentro das medias para cada estado: teoria dedistribuicoes.

I Repararam que eu nem falei em calculo integral e diferencial?

Obrigado pela atencao!