Post on 21-Feb-2021
J.C. Torres 1
F. Geometría y Geometría Computacional
Fundamentos de Geometría y Geometría Computacional
J.C. Torres 2
F. Geometría y Geometría Computacional
Geometría
1. Elementos geométricos en 2D. Rectas. Triángulos. Polígonos. Curvas.
2. Problemas geométricos 2D. Distancia. Intersección.
3. Elementos geométricos 3D. Rectas. Planos. Superficies. Poliedros.
4. Problemas geométricos 3D. Distancia. Inclusión. Intersección.
5. Geometría diferencial. Campos escalares y vectoriales. Gradiente. Isosuperficies.
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F. Geometría y Geometría Computacional
Geometría
Bibliografía
P.J. Shneider; D.H. Eberly: Geometric Tools for Computer Graphics. Morgan Kaufmann. 2003.
J. Vince: Essential mathematics for computer graphics fast. Springer 2006.
A. Paoluzzi. Geometric programming for Computer-Aided Design. Wiley 2003.
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F. Geometría y Geometría Computacional
3. Elementos geométricos en 3D. Rectas. (Shneider chap. 9, 325, Vince 170)
d
P
Qlado + lado -
d=d x ,d y ,d z
Recta que pasa por el punto P
P t =Pt · d
recta : t∈[−∞ ,∞]rayo :t ∈[0 ,∞]línea : t∈[t 0 , t 1]
n0 ·Q−P =0
n1 ·Q−P =0
Par
amét
ricas
Impl
ícita
s
n0
n1
Línea : d=P1−P0
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F. Geometría y Geometría Computacional
3. Elementos geométricos en 3D. Planos (Shneider 326, Vince 173)
n
P
Q
n · Q−P =0
n · Q−n · P=0
n · Qd=0d=−n · P
semiespacio +
semiespacio -
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F. Geometría y Geometría Computacional
3. Elementos geométricos en 2D. Planos. (Shneider 328, Vince 176)
P t , s=Pt · us ·vP t , s=P0t · P1−P 0s · P 2−P 0
n=u×v
a · xb · yc · zd=0
n=[a ,b ,c ]
Paramétricas
Impl
ícita
s
{P , d 0,d 1}
{P0, P1, P 2}{n ,d }
n
P
Q
semiespacio +
semiespacio -
v
u
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3. Elementos geométricos en 3D. Triángulos. (Shneider 331, Vince 179)
{P0, P1, P 2}
P t0, t1, t 2=t 0P 0t1P1t 2P2
t 0t 1t 2=1 0≤t i≤1
P u , v =u1−v P 01−uv P11−u1−v P 2
u , v∈[0,1]
P0P1
P2
(1,0,0) (0,1,0)
(0,0,1)
n
n=P 2−P0×P1−P 0n×P2d =0
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3. Elementos geométricos en 2D. Tetraedros
P t0, t 1, t 2, t 3=t 0P 0t1P1t 2P2t 3 P 3
t0t 1t 2t 3=10≤t i≤1
Baricéntricas
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3. Elementos geométricos en 2D. Poliedros
Sólido= ∩ caras semiespacios
Convexos
{caras ,aristas , vértices}
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Geometría
1. Elementos geométricos en 2D. Rectas. Triángulos. Polígonos. Curvas.
2. Problemas geométricos 2D. Distancia. Intersección.
3. Elementos geométricos 3D. Rectas. Planos. Superficies. Poliedros.
4. Problemas geométricos 3D. Distancia. Inclusión. Intersección.
5. Geometría diferencial. Campos escalares y vectoriales. Gradiente. Isosuperficies.
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4. Problemas geométricos en 3D. Inclusión
Punto – Plano
n ·Qd=0n · Q−P =0
: n ·Pd =0
n
P
Q
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4. Problemas geométricos en 3D. Inclusión Punto – Línea
d
P0
QP1
n0 · Q−P0=0n1 · Q−P 0=0Q∈[P0, P1]
n0
n1
n0 ·Qd 0=0n1 ·Qd1=0
n0 ·Q−P =0n1· Q−P =0
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4. Problemas geométricos en 3D. Inclusión Punto – Triángulo
1. siQ noesta enel plano⇒ noestá enel triángulo2. proyectar sobre plano2D
resolver en 2D
n
Q
P1
P2
P0
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4. Problemas geométricos en 3D. Distancia (Shneider chap.10, 365) Punto – línea (segmento)
d
P0
Q
Q'(t)
P1
distancia Q ,={ ∥P0−Q∥ si tQ≤0
∥t · dP0−Q∥ si tQ≥1∥P1−Q∥ si tQ≥1 }
d · Q−Q ' t =0d · Q−P 0−tQ
d =0d · Q−P0−tQ ·∥d∥2=0
tQ=d ·Q−P 0
∥d∥2
d=P1−P0
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4. Problemas geométricos en 3D. Distancia (Shneider 374)
Punto – Plano
r=∥Q−Q '∥=∥Q−P∥cos =
=∥Q−P∥ n · Q−P ∥Q−P∥·∥n∥
=
=n · Q−P ∥n∥
r= n ·Qd∥n∥
n
P
Q rQ'α
P ·nd=0 ∧ ∥n∥=1r ·n=Q−Q '
r ·n ·n=n ·Q−n ·Q 'r=Q ·nd
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4. Problemas geométricos en 3D. Distancia (Shneider 376)
Punto – Triángulo
Q '=Q−r ·nQ '=Q−n Q−P ·n
Q '=u 1−vP 01−uv P11−u1−v P2
si u , v∈[0,1]⇒distancia=rsi no⇒ distancia²=r²distancia Q' ,arista más próxima ²
n
Q rQ'
P1
P2
P0
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F. Geometría y Geometría Computacional
4. Problemas geométricos en 3D. Distancia (Shneider 376)
Q '=Q−r ·nQ '=Q−n Q−P ·n
Q '=u 1−vP 01−uv P11−u1−v P2
si u , v∈[0,1]⇒distancia=rsi no⇒ distancia²=r²distancia Q' ,arista más próxima ²
n
Qr Q'
P1
P2
P0
Punto – Triángulo
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F. Geometría y Geometría Computacional
4. Problemas geométricos en 3D. Intersección (Shneider 483)
Recta – Plano
n ·Qd=0Q=P 0t P 1−P 0
n ·P 0t P 1−P 0d=0
t=−d−n · P 0
n ·P 1−P 0
nPd
P0
n0
n1Q
P1
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F. Geometría y Geometría Computacional
4. Problemas geométricos en 3D. Intersección (Shneider 530)
Plano – Planod= n0× n1=0
n0 ·Qd 0=0n1 ·Qd 1=0
Q=a · n0b · n1
a=d 1 · n0 · n1−d 0
n0 · n1−1
b=d 0 · n0 · n1−d 1
n0 · n1−1con∥n0∥=∥n1∥=1
n0
P0
d
n1
P1
Q
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nP1
P2
P0
4. Problemas geométricos en 3D. Intersección (Shneider 485)
Triángulo – línea
d
Q0
Q
Q1
signo n ·Q0d ≠signo n ·Q1d
ó
1. Los vértices del segmento están a distintos lados del plano. Hay intersección con el plano.
signo volumen [P0, P1, P2,Q1]≠signo volumen [P0, P1, P2,Q2]
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nP1
P2
P0
4. Problemas geométricos en 3D. Intersección Triángulo – línea
d
Q0
Q
Q1
signo volumen [ P0, P1, Q1,Q2]=signo volumen [ P1, P2,Q1,Q2]=signo volumen [ P2, P0,Q1,Q2]
2. y, Q es interior al triángulo. Las aristas de este están al mismo lado de la línea.
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F. Geometría y Geometría Computacional
Geometría
1. Elementos geométricos en 2D. Rectas. Triángulos. Polígonos. Curvas.
2. Problemas geométricos 2D. Distancia. Intersección.
3. Elementos geométricos 3D. Rectas. Planos. Superficies. Poliedros.
4. Problemas geométricos 3D. Distancia. Inclusión. Intersección.
5. Geometría diferencial. Curvas. Superficies. Campos escalares y vectoriales. Gradiente. Isosuperficies.
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F. Geometría y Geometría Computacional
Bibliografía
T. M. Apostol: Calculus Reverté , 1992
A. Paoluzzi. Geometric programming for Computer-Aided Design. Wiley 2003.
Boehm, W. and Prautzsch, H. 1994 Geometric Concepts for Geometric Design. A. K. Peters, Ltd.
M. Desbrun, P.. Schröder: Discrete Differential Geometry: An Applied Introduction. SigGraph. Full-Day tutorial, 31 July 2005.http://ddg.cs.columbia.edu/SIGGRAPH05/NOTES-small.pdf
J.C. Torres 24
F. Geometría y Geometría Computacional
5. Geometría diferencial [Boehm 351]
Utiliza el cálculo diferencial e integral para resolver problemas geométricos.
Se desarrollo para estudiar propiedades de curvas y superficies.
Una herramienta esencial en geometría diferencial es el uso de sistemas de coordenadas locales, que cambia de forma continua e infinitesimal a lo largo del elemento geométrico.
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F. Geometría y Geometría Computacional
1. Curvas [Boehm 353]
x=x t =[ x t y t z t ] , t ∈[a ,b ]⊂ℝ
x t =[ x t y t z t ]≠0
donde x(t), y(t), z(t) son diferenciables. Consideramos solo parametrizaciones regulares.
x(t)
x'(t)
x'(t) es la pendiente a la curva |x'(t)| dt diferencial de arco
s=s t0=∫a
t0∣x t ∣d t
x '= d xd s
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F. Geometría y Geometría Computacional
Marcos de Frenet [Boehm 354]
Podemos definir un sistema de coordenadas local en cada punto x de la curva, a partir de las tres primeras derivadas, siempre que sean linealmente independientes
F= (t , m , b , x)
con
t
t
m
b
x
t= x∣x∣
b= x× x∣x× x∣
m=b×t
t: vector tangentem: vector normal principalb: vector binormal
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F. Geometría y Geometría Computacional
Curvatura y torsión [Boehm 356]
Curvatura
k=∣x ' '∣=∣d² xd s²
∣=∣x× x∣∣x∣3
Torsión
= 1k²
det [ x ' x ' ' x ' ' ' ]= det [ x x x ]∣x× x∣2
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F. Geometría y Geometría Computacional
Interpretación geométrica [Desbrun]
Curvatura. k es la inversa del radio de la circunferencia tangente a la curva
1k
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F. Geometría y Geometría Computacional
Interpretación geométrica [Desbrun]
Representación de Gaus: El vector normal se puede representar sobre un circulo (o una esfera)
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F. Geometría y Geometría Computacional
Interpretación geométrica [Desbrun]
Número de giros, (índice de rotación) (K).+/- 1: curva simple
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F. Geometría y Geometría Computacional
Interpretación geométrica [Desbrun]
Teorema del número de giros. La integral de la curvatura (con signo) de cualquier curva cerrada depende solo del número de giros.
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F. Geometría y Geometría Computacional
Interpretación geométrica [Desbrun]
Podemos aplicar los mismos conceptos a elementos discretizados.
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F. Geometría y Geometría Computacional
vv
u u
2. Superficies
J.C. Torres 34
F. Geometría y Geometría Computacional
Superficies
Vectores tangentes en superficies paramétricas
∂ S∂u
S u , v
∂ S∂ v
P
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F. Geometría y Geometría Computacional
Superficies
Vector normal en superficies paramétricas
n=
∂ S∂ v
× ∂ S∂ v
∣∂ S∂ v
× ∂ S∂ v
∣
∂ S∂u
S u , v
∂ S∂ v
P n
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F. Geometría y Geometría Computacional
div =∇ · =∂ x
∂ x
∂ y
∂ y
∂ z
∂ z
K =∇ ·n
Superficies
Curvatura
∂ S∂u
S u , v
∂ S∂ v
P n
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F. Geometría y Geometría Computacional
3. Campo escalar. (Apostol)
: Eℝ
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F. Geometría y Geometría Computacional
Campo escalar: Isosuperficies y líneas de flujo
P =x² y²−1
s=k≡x² y²−1k =0
s=k
: Eℝ
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F. Geometría y Geometría Computacional
Campo escalar: gradiente
∇ =∂∂ x
,∂∂ y
,∂∂ z
∇ n=∇
∣∇ ∣
P =x² y²−1
∇ = x2 ,2 y
n= x , y x² y²
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F. Geometría y Geometría Computacional
Campo escalar: curvatura
div =∇ · =∂ x
∂ x
∂ y
∂ y
∂ z
∂ z
K =∇ ·n=∇ ·∇
∣∇ ∣
P =x² y²−1
= 1
x² y²
∇ · ∇ =∇ ²= ∂ ²∂ X²
∂ ²∂ y²
∂ ²∂ z²
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F. Geometría y Geometría Computacional
Campo vectorialF :Eℝ3
J.C. Torres 42
F. Geometría y Geometría Computacional
Campo vectorial
El gradiente de un campo escalar es un campo vectorial
∇ =∂∂ x
,∂∂ y
,∂∂ z
P =x² y²−1
∇ =2x.2y
J.C. Torres 43
F. Geometría y Geometría Computacional
Campo vectorial
x =∫a
xF ds
∇ =∂∂ x
,∂∂ y
,∂∂ z
=F x ,F y ,F z
Si F es un campo vectorial continuo en un espacio conexo, S, y su integral de línea es independiente del camino, podemos definir un campo escalar a partir de cualquier punto fijo de S..
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F. Geometría y Geometría Computacional
Campo vectorial
Si F es un campo vectorial continuo en un espacio conexo, S, y su integral de línea es independiente del camino, podemos definir un campo escalar a partir de cualquier punto fijo de S..
rotacional F=∇×F=0 x =∫a
xF ds
∇ =∂∂ x
,∂∂ y
,∂∂ z
=F x ,F y ,F z
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F. Geometría y Geometría Computacional
Cálculo en sistemas discretos
∂∂ x
≈i1−i−1
2 x
∂ ²∂ x²
≈i1−2ii−1
x²
i i+1i -1i -2
j -1
j
j +1
j +2