Post on 18-Apr-2015
Fundamentos de Mecânica Ondulatória
Ondas propagantes
Ondas• Ondas mecânicas
– precisam de um meio de propagação
• Ondas Eletromagnéticas– não precisam de um meio de propagação
(podem se propagar no vácuo).
• Ondas uni-dimensionais • Ondas bi-dimensionais• Ondas tri-dimensionais
• Ondas Transversais• Ondas Longitudinais
• Ondas progressivas• Ondas estacionárias
Ondas transversais e longitudinais
Direção do movimento
Ondas transversais e longitudinais
Timbre: composição harmônica e decaimento
Forma da frente de onda: esférica (esq.) e plana (dir.)
Ondas Progressivas:transversais e longitudinais
Propagação de uma onda transversal e uma onda longitudinal- applet Angel Garcia – applet “ondas-armonicas”
Propagação de um pulso transversal e um pulso longitudinal- applet Angel Garcia – applet “ondas-descripcion”
Geração de uma onda transversal e sua relação com o movimento circular: Norimari – applet ewave1
Ondas Progressivas e MCU
Ondas Progressivas
transversais e longitudinais
Qualquer ponto da corda oscila comMHS de amplitude ym ;
Onda se desloca por distância igual aocomprimento de onda vT) durante um período T;
Ou seja v = fT =
Os pontos que diferem por x = noscilam em fase.
Ondas Transversais: Função de Onday(x,t)=f(x,t)
y’(x’, t)=f(x’,t)
Sendo x’=x – vtpara pulso da esquerda p/ direita
y(x,t)=y’(x’,t)=f(x’)
y(x,t)=f(x-vt)
Se x-vt=cte vfase=dx/dt
Representação de uma onda transversalAmplitude x deslocamento e Amplitude x tempo
Como y(x) = y(x+nt a função de onda senoidal fica:
y(x,t) = ym sen [(2(x -vt)] = ym sen [k(x –vt)] y(x,t) = ym sen (k x - t + ) onde v = fk
Velocidade em uma onda
Dada a função de onda y(x,t) = ym sen (k x - t + )
Concavidade Aceleraçao
²y = -k2 ym sen(kx-t) ²y = -2 ym sen(kx-t)
x² t²
Concavidade Positiva Aceleraçao PositivaConcavidade Nula Aceleraçao NulaConcavidade Negativa Aceleraçao Negativa
Temos a Equação de Onda:
²y = v2 ²y onde v = fk
t² x²
Equação de Onda
Equação de Onda
F1y /F = - (dy/dx)x
F2y /F = (dy/dx)x+dx
Fy = F1y + F2y
Equação de OndaFy = F[(y/x)] (x + x) – F[(y/x)] (x)
Fy = Fx[ y (x + x) – y (x ) ] 1 x x x Fy = Fx ²y x²
Como Fres = mares Temos
Fy = Fx ²y = x ²y x² t²
²y = F ²y
t² x²
²y = ²y
x² F t²
²y = v²²y
x² t²
v² = F v = ( F/ )1/2
Ou seja, a velocidade depende das prop. do meio.
Na mudança de meio f1 = f2
V1 = V2
1 2
Energia em uma onda transversalPara propagar energia é preciso esticar a corda!!! Ou seja, é preciso realizar trabalho sobre os elementos da corda!
Energia PotencialW = F. L
onde L = [dl – dx] L = { [(dy)2 + (dx)2]1/2 - dx } L = {dx[1 + (dy/dx)2]1/2 - dx}
Em primeira aproximação (1+z)n = 1 + nz quando z << 1
L = { dx[1 + 1/2(dy/dx)2] - dx } L = { dx + [1/2(dy/dx)2]dx - dx } L = { [1/2(dy/dx)2]dx }
U = -F L = -F/2 (y/x)2 dx
Energia Cinética e Potência
K = (y/t)2 dx
P(x,t) = Fy vy = - F (y/x) (y/t) P(x,t) = y2
m v cos2[kx –t]
Mostrando que a potência é um número positivo e portantoa energia está fluindo o tempo todo pela corda.
Na média cos2[kx –t] = ½ tal que Pmed = (½) y2m v
QUESTÃO: Quanto vale K e U para um elemento de corda que se encontra em y(x,t) = ym?
Representação de uma Onda Longitudinal
onda de deslocamento s = smcos(kx - t) onda de variação de pressão Δp = Δpmsen(kx - t)
onda de variação de densidade Δ = Δ msen(kx - t)
Propagação de uma onda transversal e uma onda longitudinal- applet Angel Garcia – applet “ondas-armonicas”
Ondas longitudinais
Lembrando que a densidade é:
= m/V dm/V2)dV ddV/V) ddV/V
Sabendo que o módulo de compressibilidade volumétrica é:
B = -V p/V
onde B expressa a variação relativa de volume de um elemento de fluido submetido à uma variação de pressão temos:
p = -BdV/V) = B d
Ondas longitudinaisSuponha um elemento de fluido de área A e espessura x. Seu volume é dado por: V = A x
Quando uma onda de variação de pressão passa pelo elemento de fluido temos que a espessura varia de x para x’ = x(1+ds/dx)
Tal que a densidade seja dada por: ’m/A x’’m/[A x(1+ds/dx)]’m/A x) 1/[1+ds/dx]’o 1/[1+ds/dx]
Em 1a. Aprox.: (1+z)-1 = 1 –z +…
’o(1-ds/dx)
o ds/dx p = -B ds/dx
x’ = [x + x + s(x+x)] – (x+s(x,t)] x’ = x + s(x+x) - s(x,t) x’ = x [ 1+ds/dx]
Onda longitudinal
B = -V p/V
Logo a velocidade
v = (B/0 )1/2
v = (RT/M)1/2
Var << Vsólido
VT=0C < VT=20C