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Ministério da Educação

Secretaria de Educação a Distância

Guia do professor

Números e fuNções

Geometria e medidas

requisitos de software Navegador moderno (Internet Explorer 7.0+ ou Firefox 3.0+), Adobe Flash Player 9.0+.restrições de acessibilidade Este software não possui recurso nativo de alto contraste nem possibilita navegação plena por teclado.licença Esta obra está licenciada sob uma licença Creative Commons

Geometria do táxi – Distâncias

Objetivos da unidadeConsolidar o uso de coordenadas cartesianas no plano e introduzir 1. uma nova noção de distância, na qual a função módulo aparece de forma natural;Explorar a comparação entre as distâncias euclidiana e do táxi, 2. por meio de coordenadas.

Guia do professor

SinopseO nome “geometria do táxi”, como é conhecida a geometria aqui apresen-tada, vem da associação com a ideia de “trafegar por ruas”. A distância entre dois pontos no plano cartesiano é calculada assumindo-se que só se possa fazer trajetos horizontais e verticais. Na sua definição a função módulo aparece de modo natural. Nas atividades propostas o aluno esco-lhe quais são seus pontos de referência no mapa (sua casa, a escola etc.) e é solicitado a calcular e comparar as distâncias do táxi e euclidiana entre estes pontos e outros.

ConteúdosNúmeros, valor absoluto de números reais; �

Geometria, sistema de coordenadas; �

Geometria, distâncias. �

ObjetivosConsolidar o uso de coordenadas cartesianas no plano e introduzir uma nova 1. noção de distância, na qual a função módulo aparece de forma natural;Explorar a comparação entre as distâncias euclidiana e do táxi, por meio 2. de coordenadas.

DuraçãoUma aula dupla.

Recomendação de usoSugerimos que as atividades sejam realizadas em duplas.

Material relacionadoVídeos: Vou de táxi; �

Software: Geometria do táxi – Contagem, Geometria do táxi – Formas �

Geométricas.

Geometria do táxi – Distâncias

Geometria do táxi – Distâncias Guia do professor 2 / 7

Introdução

Nesta unidade é apresentada uma abordagem diferente da noção de dis-tância, que leva a explorar outra geometria que não a usual. A distância euclidiana usual é apropriada para a descrição de muitos fenômenos, mas existem algumas situações que demandam essa outra abordagem. Por exemplo, a menor distância para irmos de casa até a es-cola depende das ruas que possibilitam esse trajeto e difi cilmente será “a medida do segmento entre estes dois pontos”. O nome “geometria do táxi”, como é conhecida a geometria aqui apresentada, vem justamente da associação com a ideia de “trafegar por ruas”. O ponto de partida é um sistema de coordenadas cartesianas no plano com dois eixos ortogonais (horizontal e vertical). Como usualmente, a cada ponto do plano fi ca associado de maneira única um par de números reais (coordenadas). Dados dois pontos do plano, A= (xA,yA) B= (xB,yB) dtaxi(A,B) = |xA−xB|+ |yA−yB| e A= (xA,yA) B= (xB,yB) dtaxi(A,B) = |xA−xB|+ |yA−yB| , a distância entre eles é calculada assumindo-se que só se possa fazer tra-jetos horizontais e verticais. Formalmente essa distância pode ser defi nida utilizando-se a função módulo de números reais:

A= (xA,yA) B= (xB,yB) dtaxi(A,B) = |xA−xB|+ |yA−yB|.

Neste software, o cenário é um mapa quadriculado onde as quadras são as unidades de medida. O aluno escolhe as esquinas onde quer colo-car seus pontos de referência (sua casa, a escola, a casa de um amigo e a lanchonete). Estes terão portanto sempre coordenadas inteiras. As duas

atividades propostas exploram essencialmente a noção de distância como comprimento mínimo de trajetos, sua associação com o módulo de núme-ros e a comparação com a distância euclidiana (a do helicóptero). Essa mesma geometria e cenário são explorados em dois outros softwa-res com objetivos distintos: Geometria do TÁXi – CoNtaGem e Geometria do TÁXi – Formas GeomÉtricas. Vale a pena ver os três!

O software

Estrutura do software

O software Geometria do TÁXi – DistÂNcias é composto por 2 ativi dades.

tela 1 Mapa do software.

Geometria do táxi – Distâncias Guia do professor 3 / 7

Na parte 2 é considerado um sistema ortogonal de coordenadas carte-sianas e os objetivos são: determinar as coordenadas das localidades marcadas no mapa e a extensão em quadras do menor caminho possível entre uma localidade e outra, e representar no mapa esse caminho.

Na primeira atividade, é apresentada a defi nição da distância do táxi entre dois pontos em um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas, cuja fórmula envolve o conceito de valor absoluto de números reais. Essa atividade é comum a todos os softwares que tratam da Geometria do Táxi. Na segunda atividade são comparadas a distância euclidiana e a distân-cia do táxi entre dois pontos.

1 Distância do táxi

A atividade 1 é dividida em duas partes. A primeira parte contém instru ções gerais para o desenvolvimento das duas atividades e, também, é apresen-tado o mapa de ruas de uma cidade, representado por uma malha quadri-culada. No início, o aluno escolhe posições para quatro localidades que serão utilizadas como pontos de referência nas atividades. As localidades devem estar necessariamente nas esquinas para simplifi car a obtenção das distâncias.

ATIVIDADE

tela 2

Geometria do táxi – Distâncias Guia do professor 4 / 7

a distância mínima de A B C deucli(A,B) =√32+22 =

√13 até A B C deucli(A,B) =

√32+22 =

√13 são 5 quadras a pé. A distância percorrida de

helicóptero será calculada utilizando-se o Teorema de Pitágoras: sabendo-se que 3 quadras separam as localidades A B C deucli(A,B) =

√32+22 =

√13 e A B C deucli(A,B) =

√32+22 =

√13, e 2 quadras separam

as localidades A B C deucli(A,B) =√32+22 =

√13 e A B C deucli(A,B) =

√32+22 =

√13 (ver fi gura), então a distância em quadras percorrida

por um helicóptero de A B C deucli(A,B) =√32+22 =

√13 até A B C deucli(A,B) =

√32+22 =

√13 é dada por: A B C deucli(A,B) =

√32+22 =

√13

quadras, ou seja, aproximadamente 3,6 quadras.

As partes 2 e 3 são direcionadas a mostrar como calcular a distância entre localidades na geometria do táxi, sem depender do mapa das ruas. É esperado que os alunos notem que a distância entre duas localidades é dada pela soma do valor absoluto da diferença das coordenadas horizontais e do valor absoluto da diferença das coordenadas verticais das localidades, ou seja, a distância na geometria do táxi entre os pontos A= (xA,yA) B= (xB,yB) dtaxi(A,B) = |xA−xB|+ |yA−yB| e

A= (xA,yA) B= (xB,yB) dtaxi(A,B) = |xA−xB|+ |yA−yB| é dada por:

A= (xA,yA) B= (xB,yB) dtaxi(A,B) = |xA−xB|+ |yA−yB|

2 Comparando distâncias

A atividade 2 é dividida em 5 partes. O objetivo é calcular distâncias míni-mas entre localidades da cidade. Na parte 1 é comparada a distância entre as localidades percorrida por um helicóptero e a distância quando o trajeto é percorrido a pé. Essa comparação é feita por meio de exemplos e visualização do mapa onde as localidades estão marcadas. A unidade de medida utilizada é a quadra. Por exemplo, considerando-se as localidades representadas pelos pontos A B C deucli(A,B) =

√32+22 =

√13 e A B C deucli(A,B) =

√32+22 =

√13, como na fi gura,

tela 3

ATIVIDADE

A

B

C

fig. 1

Geometria do táxi – Distâncias Guia do professor 5 / 7

distância euclidiana, se as distâncias a pé e de helicóptero são iguais, temos

(xA−xB)2+(yA−yB)2 = |xA−xB|+ |yA−yB| (xA−xB)

2+(yA−yB)2 = (|xA−xB|+ |yA−yB|)

2 (xA−xB)2+(yA−yB)

2 = |xA−xB|2+ |yA−yB|

2+2 · |xA−xB| · |yA−yB| 0= 2 · |xA−xB| · |yA−yB|. Assim, elevando os dois membros ao quadrado,

(xA−xB)2+(yA−yB)2 = |xA−xB|+ |yA−yB| (xA−xB)

2+(yA−yB)2 = (|xA−xB|+ |yA−yB|)

2 (xA−xB)2+(yA−yB)

2 = |xA−xB|2+ |yA−yB|

2+2 · |xA−xB| · |yA−yB| 0= 2 · |xA−xB| · |yA−yB|

(xA−xB)2+(yA−yB)2 = |xA−xB|+ |yA−yB| (xA−xB)

2+(yA−yB)2 = (|xA−xB|+ |yA−yB|)

2 (xA−xB)2+(yA−yB)

2 = |xA−xB|2+ |yA−yB|

2+2 · |xA−xB| · |yA−yB| 0= 2 · |xA−xB| · |yA−yB|(xA−xB)2+(yA−yB)2 = |xA−xB|+ |yA−yB| (xA−xB)

2+(yA−yB)2 = (|xA−xB|+ |yA−yB|)

2 (xA−xB)2+(yA−yB)

2 = |xA−xB|2+ |yA−yB|

2+2 · |xA−xB| · |yA−yB| 0= 2 · |xA−xB| · |yA−yB|(xA−xB)2+(yA−yB)2 = |xA−xB|+ |yA−yB| (xA−xB)

2+(yA−yB)2 = (|xA−xB|+ |yA−yB|)

2 (xA−xB)2+(yA−yB)

2 = |xA−xB|2+ |yA−yB|

2+2 · |xA−xB| · |yA−yB| 0= 2 · |xA−xB| · |yA−yB|

Logo, |xA−xB|= 0 |yA−yB|= 0 xA = xB yA = yB x y ou |xA−xB|= 0 |yA−yB|= 0 xA = xB yA = yB x y. Assim, |xA−xB|= 0 |yA−yB|= 0 xA = xB yA = yB x y ou |xA−xB|= 0 |yA−yB|= 0 xA = xB yA = yB x y. Isto significa que os pontos A B C deucli(A,B) =

√32+22 =

√13 e A B C deucli(A,B) =

√32+22 =

√13 estão em reta paralela ao eixo dos |xA−xB|= 0 |yA−yB|= 0 xA = xB yA = yB x y ou

em reta paralela ao eixo dos |xA−xB|= 0 |yA−yB|= 0 xA = xB yA = yB x y. Reciprocamente, se os pontos A B C deucli(A,B) =√32+22 =

√13 e A B C deucli(A,B) =

√32+22 =

√13 estão

em reta paralela ao eixo dos |xA−xB|= 0 |yA−yB|= 0 xA = xB yA = yB x y ou em reta paralela ao eixo dos |xA−xB|= 0 |yA−yB|= 0 xA = xB yA = yB x y, também se conclui que a distância euclidiana e a distância do táxi são iguais.

Demonstre que a distância euclidiana é sempre menor ou igual à distância do táxi.

Sejam os pontos A= (xA,yA) B= (xB,yB) 0 2|xA−xB| · |yA−yB| (xA−xB)2+(yA−yB)

2 (xA−xB)2+(yA−yB)

2 (xA−xB)2+(yA−yB)

2+2|xA−xB| · |yA−yB| (xA−xB)2+(yA−yB)

2 (|xA−xB|+ |yA−yB|)2 e A= (xA,yA) B= (xB,yB) 0 2|xA−xB| · |yA−yB| (xA−xB)

2+(yA−yB)2 (xA−xB)

2+(yA−yB)2 (xA−xB)

2+(yA−yB)2+2|xA−xB| · |yA−yB| (xA−xB)

2+(yA−yB)2 (|xA−xB|+ |yA−yB|)

2 e consideremos a desi-gualdade A= (xA,yA) B= (xB,yB) 0 2|xA−xB| · |yA−yB| (xA−xB)

2+(yA−yB)2 (xA−xB)

2+(yA−yB)2 (xA−xB)

2+(yA−yB)2+2|xA−xB| · |yA−yB| (xA−xB)

2+(yA−yB)2 (|xA−xB|+ |yA−yB|)

2. Somando A= (xA,yA) B= (xB,yB) 0 2|xA−xB| · |yA−yB| (xA−xB)

2+(yA−yB)2 (xA−xB)

2+(yA−yB)2 (xA−xB)

2+(yA−yB)2+2|xA−xB| · |yA−yB| (xA−xB)

2+(yA−yB)2 (|xA−xB|+ |yA−yB|)

2 aos dois membros da desigual-dade obtemos

A= (xA,yA) B= (xB,yB) 0 2|xA−xB| · |yA−yB| (xA−xB)2+(yA−yB)

2 (xA−xB)2+(yA−yB)

2 (xA−xB)2+(yA−yB)

2+2|xA−xB| · |yA−yB| (xA−xB)2+(yA−yB)

2 (|xA−xB|+ |yA−yB|)2

A= (xA,yA) B= (xB,yB) 0 2|xA−xB| · |yA−yB| (xA−xB)2+(yA−yB)

2 (xA−xB)2+(yA−yB)

2 (xA−xB)2+(yA−yB)

2+2|xA−xB| · |yA−yB| (xA−xB)2+(yA−yB)

2 (|xA−xB|+ |yA−yB|)2

Logo,

A= (xA,yA) B= (xB,yB) 0 2|xA−xB| · |yA−yB| (xA−xB)2+(yA−yB)

2 (xA−xB)2+(yA−yB)

2 (xA−xB)2+(yA−yB)

2+2|xA−xB| · |yA−yB| (xA−xB)2+(yA−yB)

2 (|xA−xB|+ |yA−yB|)2 .

Sabendo-se que a distância euclidiana dos pontos A B C deucli(A,B) =√32+22 =

√13 e A B C deucli(A,B) =

√32+22 =

√13 é dada por

deucli(A,B) =(xA−xB)2+(yA−yB)2

as partes 4 e 5 têm como objetivo a comparação das distâncias euclidiana e do táxi entre dois pontos. No final da parte 4 há questões para serem respondidas no caderno, por meio das quais o aluno poderá refletir sobre a atividade. Essas ques-tões, que versam sobre a relação entre a distância euclidiana e a distância do táxi, devem ser discutidas na aula seguinte ao uso do software, durante o fechameNto.

Fechamento

Na aula seguinte ao uso do software ou depois do término das atividades, o professor deverá comentar as conclusões e os resultados obtidos pelos alunos. O objetivo principal é que os alunos entendam a definição da distância na geometria do táxi e, também, concluam que a distância euclidiana é sempre menor ou igual à distância do táxi. A seguir vamos justificar as duas questões do final da atividade 2, suge-ridas para serem respondidas no caderno.

Como dois locais devem estar posicionados para que a distância entre um e outro seja a mesma a pé e de helicóptero?

Sejam os pontos A= (xA,yA) B= (xB,yB) dtaxi(A,B) = |xA−xB|+ |yA−yB| e A= (xA,yA) B= (xB,yB) dtaxi(A,B) = |xA−xB|+ |yA−yB|. Como a distância a pé é dada pela distância do táxi e a distância do helicóptero é dada pela

Questão para o caderno: 1a

Questão para o caderno: 1B

Geometria do táxi – Distâncias Guia do professor 6 / 7

Bibliografia

Lima, Elon Lages; Carvalho, Paulo Cezar Pinto; WaGNer, Eduardo; MorGado, Augusto César. A Matemática do Ensino Médio, Vol 3, Coleção do Professor de Matemática (3a Edição). Rio de Janeiro: sbm, 2000.

Krause, Eugene F. Taxicab Geometry. New York: Dover, 1986.

Veloso, Eduardo. Geometria: Temas Actuais. Materiais para professores. Lisboa: Instituto de Inovação Educacional, 2000.

Como os dois membros da desigualdade são maiores ou iguais a zero, podemos extrair a raiz quadrada dos dois membros e a desigualdade conti-nuará válida. Assim

(xA−xB)2+(yA−yB)2

(|xA−xB|+ |yA−yB|)2

(xA−xB)2+(yA−yB)2 |xA−xB|+ |yA−yB| deucli(A,B) =

(xA−xB)2+(yA−yB)2 dtaxi(A,B) = |xA−xB|+ |yA−yB| deucli(A,B) dtext(A,B).

Portanto,

(xA−xB)2+(yA−yB)2

(|xA−xB|+ |yA−yB|)2

(xA−xB)2+(yA−yB)2 |xA−xB|+ |yA−yB| deucli(A,B) =

(xA−xB)2+(yA−yB)2 dtaxi(A,B) = |xA−xB|+ |yA−yB| deucli(A,B) dtext(A,B).

Assim, mostramos que a distância euclidiana

(xA−xB)2+(yA−yB)2

(|xA−xB|+ |yA−yB|)2

(xA−xB)2+(yA−yB)2 |xA−xB|+ |yA−yB| deucli(A,B) =

(xA−xB)2+(yA−yB)2 dtaxi(A,B) = |xA−xB|+ |yA−yB| deucli(A,B) dtext(A,B)

entre os pontos A B C deucli(A,B) =√32+22 =

√13 e A B C deucli(A,B) =

√32+22 =

√13 é menor ou igual à distância do táxi

(xA−xB)2+(yA−yB)2

(|xA−xB|+ |yA−yB|)2

(xA−xB)2+(yA−yB)2 |xA−xB|+ |yA−yB| deucli(A,B) =

(xA−xB)2+(yA−yB)2 dtaxi(A,B) = |xA−xB|+ |yA−yB| deucli(A,B) dtext(A,B),

ou seja,(xA−xB)2+(yA−yB)2

(|xA−xB|+ |yA−yB|)2

(xA−xB)2+(yA−yB)2 |xA−xB|+ |yA−yB| deucli(A,B) =

(xA−xB)2+(yA−yB)2 dtaxi(A,B) = |xA−xB|+ |yA−yB| deucli(A,B) dtaxi(A,B).

Apesar de tratarem de conteúdos diferentes, os outros dois softwares sobre a Geometria do Táxi (Contagem e Formas Geométricas) são boas alternativas para continuar o trabalho em torno deste tema, caso os alunos tenham se interessado pela proposta.

Ficha técnica

Ministério da Ciência e Tecnologia

Ministério da Educação

Secretaria de Educação a Distância

Matemática MultimídiaCoordenador GeralSamuel Rocha de OliveiraCoordenador de SoftwareLeonardo BarichelloCoordenador de ImplementaçãoMatias Costa

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (imecc – unicamp)DiretorJayme Vaz Jr.Vice-DiretorEdmundo Capelas de Oliveira

Universidade Estadual de CampinasReitorFernando Ferreira CostaVice-ReitorEdgar Salvadori de DeccaPró-Reitor de Pós-GraduaçãoEuclides de Mesquita Neto

licença Esta obrá está licenciada sob uma licença Creative Commons

AutorasClaudina Izepe Rodrigues e Sueli I. Costa

RevisoresLíngua PortuguesaAna Cecília Agua de Melo

Projeto gráfico Preface Design IlustradorLucas Ogasawara