Post on 21-May-2020
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO - UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS - DEPARTAMENTO DE EXPRESSÃO GRÁFICA Professora Deise Maria Bertholdi Costa - Disciplina CD020 Geometria Descritiva Curso de Engenharia de Produção – Turma PA – 2016.1 – Apostila GD - Parte 1
SISTEMAS DE PROJEÇÃO
1. Operações fundamentais no desenho projetivo
1.1 Conceito de projetar a) Projetar um ponto A a partir de um outro ponto O, distinto de A, significa determinar a reta pertencente aos dois pontos. A reta OA é denominada projetante do ponto A e o ponto O é denominado de centro de projeção (Figura 1).
FIGURA 1 – PROJEÇÃO DO PONTO A b) Projetar uma reta r partir de um ponto O, não pertencente a essa reta, significa determinar o
plano pertencente ao ponto e à reta. Esse plano, , é denominado plano projetante da reta r (Figura 2).
FIGURA 2 – PROJEÇÃO DA RETA R, A PARTIR DO PONTO O c) Projetar um objeto a partir de um ponto significa determinar as projetantes de todos os
pontos desse objeto. Quando se quer projetar um objeto, normalmente são projetados somente os elementos necessários e suficientes que o determinam (Figura 3).
FIGURA 3 – PROJEÇÃO DE UM OBJETO A PARTIR DO PONTO O Observação: Sejam uma reta a e um ponto A fixos e b uma reta móvel passando por A, que
rotaciona em torno do ponto A (Figura 4):
FIGURA 4 – CONCEITO DE PONTO IMPRÓPRIO
UFPR – Setor de Ciências Exatas – Departamento de Expressão Gráfica – Profa Deise Maria Bertholdi Costa
2 Geometria Descritiva 1.2 Conceito de cortar
a) Cortar uma reta a por outra b, significa obter o ponto (ab) comum às duas retas. O ponto considerado pode ser próprio ou impróprio, conforme as retas sejam concorrentes ou paralelas (Figura 5).
FIGURA 5 – CORTE DA RETA a NA RETA b b) Cortar um plano por uma reta a, ou uma reta a por um plano , significa obter o ponto
(a ) comum à reta e ao plano (Figura 6).
FIGURA 6 – CORTE DA RETA a NO PLANO c) Cortar um plano outro significa encontrar a reta comum a ambos os planos (Figura 7).
FIGURA 7 – CORTE DO PLANO NO PLANO d) Cortar um objeto por um plano significa encontrar a seção plana produzida por este plano no sólido considerado (Figura 8).
FIGURA 8 – CORTE DO PLANO NA SUPERFÍCIE Observação: o ponto ou a reta ou a curva quando determinados por cortes chamam-se traços.
UFPR – Setor de Ciências Exatas – Departamento de Expressão Gráfica – Profa Deise Maria Bertholdi Costa
3 Geometria Descritiva 2. Conceito de projeção cônica (ou central)
Considere um plano e um ponto fixo O não pertencente ao plano considerado.
Denomina-se projeção central ou cônica, no plano , de um ponto A, distinto de O, ao traço A , produzido sobre o plano, pela reta projetante do ponto A a partir do ponto O (Figura 9).
FIGURA 9 – PROJEÇÃO CÔNICA DO PONTO A O plano é denominado plano de projeção e o ponto O é denominado centro, pólo ou
vértice de projeção. A projeção central ou cônica é também denominada perspectiva cônica, ou perspectiva linear exata do ponto A.
Plano de projeção não é o mesmo que plano projetante. O sistema é chamado de projeção cônica, pois as projetantes descrevem uma superfície
cônica. 3. Conceito de projeção cilíndrica (oblíqua ou ortogonal)
Denomina-se projeção cilíndrica de um ponto A, no plano a partir de O, ao traço A’
produzido sobre , pela reta projetante do ponto A a partir do ponto O (Figura 10).
FIGURA 10 – PROJEÇÃO CILÍNDRICA DO PONTO A Observações: Dado o ponto A, A’ é único, porém dado somente A’ sabe-se que o ponto A pertence a
sua reta projetante; O sistema é denominado projeção cilíndrica, pois as projetantes descrevem uma superfície cilíndrica; Os pontos do plano de projeção coincidem com suas projeções; Se a direção das projetantes for oblíqua ao plano de projeções tem-se o sistema de projeção Cilíndrica Oblíqua; Se a direção das projetantes for perpendicular ao plano de projeções tem-se o Sistema de Projeção Cilíndrica Ortogonal.
UFPR – Setor de Ciências Exatas – Departamento de Expressão Gráfica – Profa Deise Maria Bertholdi Costa
4 Geometria Descritiva 3.1 Propriedades das projeções cilíndricas (oblíquas ou ortogonais) Propriedade 1: A projeção cilíndrica de uma reta não paralela à direção das projetantes é uma reta (Figura 11). A projeção cilíndrica de uma reta paralela à direção das projetantes é um ponto (Figura 12).
FIGURA 11 – PROJEÇÃO CILÍNDRICA DA RETA R
FIGURA 12 – PROJEÇÃO CILÍNDRICA DA RETA R Observações: a) Se a projeção cilíndrica de uma reta é uma reta, então a reta objetiva não é paralela a
direção das projetantes; b) Se a projeção cilíndrica de uma reta é um ponto, então a reta é paralela à direção das
projetantes; c) Se uma reta é perpendicular ao plano de projeção, sua projeção cilíndrica-ortogonal sobre o
mesmo será o seu traço no plano de projeção considerado. Reciprocamente, se a projeção ortogonal de uma reta sobre um plano reduzir-se a um ponto, então a reta será perpendicular ao plano de projeção, ou o que é equivalente, a reta será paralela à direção das projetantes.
d) Uma reta r, não paralela à direção das projetantes, e sua projeção cilíndrica r são coplanares; logo, pode ocorrer entre a reta e sua projeção uma das seguintes condições: r e r são concorrentes, neste caso a reta corta o plano de projeção (Figura 11); São paralelas, neste caso a reta será paralela ao plano de projeção; São coincidentes, neste caso a reta estará contida no plano de projeção.
UFPR – Setor de Ciências Exatas – Departamento de Expressão Gráfica – Profa Deise Maria Bertholdi Costa
5 Geometria Descritiva Propriedade 2: Se duas retas r e s são paralelas, então as suas projeções cilíndricas ou são paralelas (Figura 13), ou são coincidentes (Figura 14) ou são pontuais (Figura 15).
FIGURA 13 – PROJEÇÕES PARALELAS
FIGURA 14 – PROJEÇÕES COINCIDENTES FIGURA 15 – PROJEÇÕES PONTUAIS
Observação: A recíproca da propriedade 2 não é verdadeira (Figura 16). Ou seja, se t’//s’ não implica que t//s.
FIGURA 16 – CONTRA EXEMPLO DA RECÍPROCA DA PROPRIEDADE 2
=s =s
=t
UFPR – Setor de Ciências Exatas – Departamento de Expressão Gráfica – Profa Deise Maria Bertholdi Costa
6 Geometria Descritiva Propriedade 3: Se dois segmentos são paralelos ou são colineares, então a razão entre eles no espaço conserva-se na projeção cilíndrica, desde que a direção dos segmentos não seja paralela à direção das projetantes (Figuras 17 e 18).
DCBA
CDAB a paralelos não e
colinearesou
CD // AB Se
d
a) AB//CD
FIGURA 17 – RAZÃO ENTRE AS PROJEÇÕES DE SEGMENTOS PARALELOS b) AB e CD colineares
FIGURA 18 – RAZÃO ENTRE AS PROJEÇÕES DE SEGMENTOS COLINEARES Conseqüência: Se M é ponto médio do segmento AB então M’ é ponto médio da projeção do segmento AB (A’B’).
Observação: A recíproca não é verdadeira. Ou seja, se AB/CD=A’B’/C’D’ não implica que AB//CD ou colineares (Figura 19).
FIGURA 19 – CONTRA-EXEMPLO PARA A RECÍPROCA DA PROPRIEDADE 3
UFPR – Setor de Ciências Exatas – Departamento de Expressão Gráfica – Profa Deise Maria Bertholdi Costa
7 Geometria Descritiva Propriedade 4: Se uma figura está contida num plano paralelo ao plano de projeção, então essa figura será congruente à sua projeção cilíndrica, isto é, a projeção cilíndrica desta figura está em verdadeira grandeza (VG) (Figura 20).
FIGURA 20 – PROPRIEDADE 4 Observação: A recíproca não é verdadeira em projeção oblíqua, porém é verdadeira em
projeção ortogonal (Figura 21).
FIGURA 21 – CONTRA-EXEMPLO PARA A RECÍPROCA DA PROPRIEDADE 4 Propriedade 5: Qualquer figura contida num plano paralelo à direção das projetantes tem para projeção um segmento que está contido no traço do plano dessa figura sobre o plano de projeção (Figura 22).
FIGURA 22– PROPRIEDADE 5 Observação: A recíproca da Propriedade 5 é verdadeira.
=C=D’
UFPR – Setor de Ciências Exatas – Departamento de Expressão Gráfica – Profa Deise Maria Bertholdi Costa
8 Geometria Descritiva 3.2 Propriedades das projeções cilíndricas ortogonais Propriedade 6: Se um segmento é oblíquo ao plano de projeção , então sua projeção ortogonal é menor que a sua verdadeira grandeza (Figura 23).
FIGURA 23 – PROPRIEDADE 6
Observação: A recíproca da Propriedade 6 é verdadeira. Propriedade 7: Se duas retas são perpendiculares ou ortogonais entre si, sendo uma delas paralela ou pertencente ao plano de projeção e a outra não perpendicular a esse plano, então as projeções ortogonais dessas retas são perpendiculares entre si (Figura 24). Resumindo:
r s ou r s (1) Se r // ou r (2) r’ s’ (4)
s (3)
FIGURA 24 – PROPRIEDADE 7 Observação: As recíprocas da propriedade 7 são verdadeiras. São elas: Recíproca 1: (2) + (3) +(4) (1) Recíproca 2: (1) + (4) (2) + (3)
UFPR – Setor de Ciências Exatas – Departamento de Expressão Gráfica – Profa Deise Maria Bertholdi Costa
9 Geometria Descritiva Exercícios: Considere um sistema de projeção cilíndrica com somente um plano de projeção . Escrever ao lado de cada exercício as propriedades geométricas e as propriedades das projeções cilíndricas utilizadas. 1. Representar o ponto médio M do segmento dado AB. a) b)
2. Representar o paralelogramo ABCD sendo dados os três vértices. a) b)
c) d)
UFPR – Setor de Ciências Exatas – Departamento de Expressão Gráfica – Profa Deise Maria Bertholdi Costa
10 Geometria Descritiva 3. Representar o paralelogramo ABCD sendo dados os pontos A e B e o ponto M de
interseção das diagonais. a) b)
c)
4. Representar o triângulo ABC sendo dados os vértices A e B e o baricentro G. a) b)
c)
UFPR – Setor de Ciências Exatas – Departamento de Expressão Gráfica – Profa Deise Maria Bertholdi Costa
11 Geometria Descritiva 5. Representar o hexágono regular ABCDEF sendo dados dois vértices e o centro O da
circunferência circunscrita. a) b)
c)
6. Representar o hexágono regular ABCDEF sendo dados A, B e C a) b)
c)
UFPR – Setor de Ciências Exatas – Departamento de Expressão Gráfica – Profa Deise Maria Bertholdi Costa
12 Geometria Descritiva
O MÉTODO DAS DUPLAS PROJEÇÕES ORTOGONAIS
O Método das Duplas Projeções Ortogonais (ou Método de Monge) é utilizada para representar os objetos do espaço tridimensional no espaço bidimensional, mediante a utilização de projeções e resolver os problemas relativos a esses objetos através da Geometria Plana e do Desenho Geométrico. São utilizados pelo menos dois planos de projeção.
I – REPRESENTAÇÃO DO PONTO 1. Planos fundamentais de referência (PFR)
Consideremos e π dois planos perpendiculares entre si, denominados Planos
Fundamentais de Referência (PFR) ou Planos de Fundamentais de Projeção (PFP). Denominamos: - 1º PFR ou 1º PFP ou Plano Horizontal de Projeção.
π - 2º PFR ou 2º PFP ou Plano Vertical de Projeção. A interseção de e π chama-se Linha de Terra. Esta divide nas partes: anterior e posterior e π em superior e inferior. Estes dois planos dividem o espaço em 4 porções, chamadas de diedros: 1º diedro – entre a parte anterior de e a superior de π 2º diedro – entre a parte posterior de e a superior de π 3º diedro – entre a parte posterior de e a inferior de π 4º diedro – entre a parte anterior de e a inferior de π Considerando uma origem O sobre a Linha de Terra temos os eixos x, y e z. No 1º diedro temos os valores para x ____ y ____ e z ____ No 2º diedro temos os valores para x ____ y ____ e z ____ No 3º diedro temos os valores para x ____ y ____ e z ____ No 4º diedro temos os valores para x ____ y ____ e z ____ Consideremos um 3º PFR (ou 3º PFP ou 3º PDP ou Plano Lateral de Projeção) π que contém os eixos y e z. Estes 3 planos dividem o espaço em octantes.
UFPR – Setor de Ciências Exatas – Departamento de Expressão Gráfica – Profa Deise Maria Bertholdi Costa
13 Geometria Descritiva 2. Representação do ponto
Seja A um ponto. Consideremos as três projeções cilíndricas ortogonais: A’, A’’ e A’’’ sobre os planos , π e π , respectivamente. Temos as distâncias de A até os 3PFR:
Cota – distância de A até = segmento AA’ Afastamento – distância de A até π = segmento AA’’ Abscissa – distância de A até π = segmento AA’’’
Estas distâncias também nos fornecem as coordenadas (x,y,z) do ponto A:
x = abscissa y = afastamento z = cota
Fixamos um dos PFR e rebatemos os outros sobre o primeiro escolhido, temos a representação plana do ponto, chamada de épura do ponto A:
UFPR – Setor de Ciências Exatas – Departamento de Expressão Gráfica – Profa Deise Maria Bertholdi Costa
14 Geometria Descritiva Um ponto pode pertencer a qualquer diedro:
a) A pertence ao 1º diedro
b) B pertence ao 2º diedro
c) C pertence ao 3º diedro
d) D pertence ao 4º diedro
UFPR – Setor de Ciências Exatas – Departamento de Expressão Gráfica – Profa Deise Maria Bertholdi Costa
15 Geometria Descritiva 3. Pontos pertencentes aos PFR Espaço: Épura: a) é o lugar geométrico (LG) dos pontos de _____________ nulas. Se A ____ LT. b) π é o lugar geométrico (LG) dos pontos de _____________ nulos. Se B π ____ LT. c) π é o lugar geométrico (LG) dos pontos de _____________ nulas. Se C π _______. 4. Pontos pertencentes aos eixos Espaço: Épura: a) A LT (eixo x) é o LG dos pontos de _______________ nulas. Se A LT __________. b) O eixo y é o LG dos pontos de __________________ nulos. Se B y ___________. c) O eixo z é o LG dos pontos de __________________ nulas. Se C z ___________.
UFPR – Setor de Ciências Exatas – Departamento de Expressão Gráfica – Profa Deise Maria Bertholdi Costa
16 Geometria Descritiva 5. Obtenção da 3a projeção
Para obtermos a representação do ponto na 3ª projeção, podemos rebater o 3º PFP sobre o 1º ou 2º PFP.
Rebatimento sobre π : Consideremos o 2º PFP fixo. Ao rebatermos o 3º plano sobre o 2º, a 3ª projeção do ponto
descreverá um arco de circunferência com centro no eixo z e raio o seu afastamento. Este arco está contido num plano paralelo a e, portanto está em VG na 1ª projeção. A 3ª projeção rebatida do ponto pertence a uma reta que passa pela segunda projeção do ponto e é paralela à linha de terra. Espaço Épura
UFPR – Setor de Ciências Exatas – Departamento de Expressão Gráfica – Profa Deise Maria Bertholdi Costa
17 Geometria Descritiva Exercícios A unidade utilizada é o milímetro.
1. Representar os pontos dados.
a) A(30,20,40) b) B(20,-10,40)
c) C(30,-20,-40) d) D(20,30,-20)
UFPR – Setor de Ciências Exatas – Departamento de Expressão Gráfica – Profa Deise Maria Bertholdi Costa
18 Geometria Descritiva
O
2. Localizar os pontos dados nos diedros.
A ____ B ____ C ____ D ____ E ____
3. Representar os pontos dados (as primeiras e segundas projeções). Identificar a posição do ponto em relação aos diedros ou aos planos de projeção.
A(20,30,10) _____ B(50,-20,40) _____ C(30,-40,-20) ____ D(40,50,-10) _____ E(10,0,30) _______ F(60,20,0) _______ G(-20,40,50) ______
UFPR – Setor de Ciências Exatas – Departamento de Expressão Gráfica – Profa Deise Maria Bertholdi Costa
19 Geometria Descritiva
O
4. Representar os pontos dados e obter as terceiras projeções. A(20,50,20) B(40,-10,-20) C(50,-20,10) D(60,30,-40) E(10,40,?) F(-10,-20,-30) G(-40,30,-10) H(-20,0,20)
5. Representar um quadrado contido em sendo dados A e B.
UFPR – Setor de Ciências Exatas – Departamento de Expressão Gráfica – Profa Deise Maria Bertholdi Costa
20 Geometria Descritiva
6. Representar um quadrado contido num plano paralelo a sendo dados A e B. A(20,20,10) B(40,30,?)
7. Representar o paralelogramo ABCD, sendo dados os vértices A e B, e o ponto M de interseção das diagonais. A(10,60,50) B(30,20,20) M(40,40,30)
UFPR – Setor de Ciências Exatas – Departamento de Expressão Gráfica – Profa Deise Maria Bertholdi Costa
21 Geometria Descritiva
8. Representar um hexágono regular ABCDEF, contido em sendo dados dois vértices. a) A(20,?,20) e B(40,?,10)
b) A(30,?,50) e C(60,?,30)
UFPR – Setor de Ciências Exatas – Departamento de Expressão Gráfica – Profa Deise Maria Bertholdi Costa
22 Geometria Descritiva 9. Representar o triângulo ABC sendo dados M, N e P, pontos médios dos lados AB, BC e
CA, respectivamente. M(20,15,30) N(40,40,20) P(60,30,10)
10. Representar o triângulo ABC sendo dados os vértices A e B e o baricentro G. A(30,10,20) B(20,50,40) G(50,30,30).
UFPR – Setor de Ciências Exatas – Departamento de Expressão Gráfica – Profa Deise Maria Bertholdi Costa
23 Geometria Descritiva
11. Representar um quadrado contido em sendo dados A(20,40,?) e sabendo-se que o lado AB mede 30 e é paralelo à LT.
12. Representar os pontos A e B de conhecendo A(10,30,?) e B(x,50,?) sabendo-se que AB=30.
UFPR – Setor de Ciências Exatas – Departamento de Expressão Gráfica – Profa Deise Maria Bertholdi Costa
24 Geometria Descritiva II – REPRESENTAÇÃO DA RETA
1. Representação da reta
Propriedade já vista: Se r é uma reta então r’ ou é uma reta (se r não for paralela à direção das projetantes d) ou um ponto (se r for paralela à direção das projetantes d). Para obtemos a projeção de uma reta consideramos: - ou dois pontos A e B pertencentes a r - ou o seu plano projetante Como temos 3 PFR então há 3 projeções e portanto 3 planos projetantes. Normalmente, consideramos apenas a 1ª e a 2ª projeções da reta, pois são suficientes para determinar a 3ª projeção (exceto para a reta de perfil que veremos mais tarde). Espaço Épura
2. Ponto pertencente à reta Propriedade: Pr P’r’ e P’’r’’ Mas se r// π e r então também deve ser verificado se P’’’ r’’’. Exemplos:
UFPR – Setor de Ciências Exatas – Departamento de Expressão Gráfica – Profa Deise Maria Bertholdi Costa
25 Geometria Descritiva 3. Posições da reta em relação aos PFR
A reta pode ocupar posições distintas em relação aos 3 PFR, podendo ser:
- r perpendicular a um dos PFR:
reta vertical reta de topo reta fronto-horizontal - r paralela a um dos PFR e oblíqua em relação aos outros dois PFR:
reta horizontal reta frontal reta de perfil - r oblíqua em relação a todos os 3 PFR:
reta qualquer
r'’’
UFPR – Setor de Ciências Exatas – Departamento de Expressão Gráfica – Profa Deise Maria Bertholdi Costa
26 Geometria Descritiva 3.1. Reta vertical Essa reta é perpendicular ao Plano Horizontal de Projeção e paralela em relação ao Plano Vertical de Projeção. a) Característica espacial: __________________ b) Épura:
c) Diedros: ________________________ d) Ângulos:
com ________________ com π ________________ com π ________________
e) Tem alguma projeção em VG? ____________________ f) Quantidade de pontos necessários para representá-la: ___________________ g) Traços: H, V, L
UFPR – Setor de Ciências Exatas – Departamento de Expressão Gráfica – Profa Deise Maria Bertholdi Costa
27 Geometria Descritiva 3.2. Reta de topo Essa reta é paralela ao Plano Horizontal de Projeção e perpendicular em relação ao Plano Vertical de Projeção. a) Característica espacial: __________________ b) Épura
c) Diedros: ________________________ d) Ângulos:
com ________________ com π ________________ com π ________________
e) Tem alguma projeção em VG? ____________________ f) Quantidade de pontos necessários para representá-la: ___________________ g) Traços: H, V, L
UFPR – Setor de Ciências Exatas – Departamento de Expressão Gráfica – Profa Deise Maria Bertholdi Costa
28 Geometria Descritiva 3.3. Reta fronto-horizontal Essa reta é paralela ao Plano Horizontal de Projeção e paralela em relação ao Plano Vertical de Projeção. a) Característica espacial: __________________ b) Épura:
c) Diedros: ________________________ d) Ângulos: com ________________
com π ________________ com π ________________
e) Tem alguma projeção em VG? ____________________ f) Quantidade de pontos necessários para representá-la: ___________________ g) Traços: H, V, L
UFPR – Setor de Ciências Exatas – Departamento de Expressão Gráfica – Profa Deise Maria Bertholdi Costa
29 Geometria Descritiva 3.4. Reta horizontal Essa reta é paralela ao Plano Horizontal de Projeção e inclinada em relação ao Plano Vertical de Projeção. a) Característica espacial: __________________ b) épura
c) Diedros: ________________________ d) Ângulos:
com ________________ com π ________________ com π ________________
e) Tem alguma projeção em VG? ____________________ f) Quantidade de pontos necessários para representá-la: ___________________ g) Traços: H, V, L
UFPR – Setor de Ciências Exatas – Departamento de Expressão Gráfica – Profa Deise Maria Bertholdi Costa
30 Geometria Descritiva 3.5. Reta frontal Essa reta é inclinada em relação ao Plano Horizontal de Projeção e paralela em relação ao Plano Vertical de Projeção. a) Característica espacial: __________________ b) Épura:
c) Diedros: ________________________ d) Ângulos:
com ________________ com π ________________ com π ________________
e) Tem alguma projeção em VG? ____________________ f) Quantidade de pontos necessários para representá-la: ___________________ g) Traços: H, V, L
UFPR – Setor de Ciências Exatas – Departamento de Expressão Gráfica – Profa Deise Maria Bertholdi Costa
31 Geometria Descritiva 3.6. Reta de perfil Essa reta é inclinada em relação ao Plano Horizontal de Projeção e ao Plano Vertical de Projeção e paralela ao Plano Lateral de Projeção. a) Característica espacial: _____________________ b) Épura:
c) Diedros: _______________________________ d) Ângulos:
com ________________ com π ________________ com π ________________
e) Tem alguma projeção em VG? ____________________ f) Quantidade de pontos necessários para representá-la: ___________________ g) Traços: H, V, L
UFPR – Setor de Ciências Exatas – Departamento de Expressão Gráfica – Profa Deise Maria Bertholdi Costa
32 Geometria Descritiva
x
z
yr'
r"
r
3.7. Reta qualquer Essa reta é inclinada em relação ao Plano Horizontal de Projeção, ao Plano Vertical de Projeção e ao Plano Lateral de Projeção. a) Característica espacial: __________________ b) Épura
c) Diedros: ________________________ d) Ângulos:
com ________________ com π ________________ com π ________________
e) Tem alguma projeção em VG? ____________________ f) Quantidade de pontos necessários para representá-la: ___________________ g) Traços: H, V, L
UFPR – Setor de Ciências Exatas – Departamento de Expressão Gráfica – Profa Deise Maria Bertholdi Costa
33 Geometria Descritiva
O
O
Exercícios 1. Na reta r, definida pelos pontos A(20,40,10) e B(60,10,-40) representar os pontos: C(40,?,?) D(?,50,?) E(?,?,-10) F(?,-10,?) G(?,?,0) H(-10,?,?) I(0,?,?)
2. Na reta r, definida pelos pontos A(40,30,10) e B(40,10,30) representar os pontos:
C(?,35,?) D(?,?,20) E(?,?,-10) F(?,-10,?) G(?,?,0) H(?,0,?)
UFPR – Setor de Ciências Exatas – Departamento de Expressão Gráfica – Profa Deise Maria Bertholdi Costa
34 Geometria Descritiva 3. Seja a reta r definida pelos pontos A e B. Representá-la, identificar o nome da reta e sua
posição em relação aos PFR (paralela, oblíqua ou perpendicular). a) A(30,20,10), B(60,50,20) b) A(20,30,20), B(20,40,20) c) A(10,20,30), B(40,20,50) d) A(40,50,10), B(40,20,30)
UFPR – Setor de Ciências Exatas – Departamento de Expressão Gráfica – Profa Deise Maria Bertholdi Costa
35 Geometria Descritiva 4. Seja a reta r definida pelos pontos A e B. Representar os traços H, V e L sobre os
PFR( , π e π ). Identificar os diedros pelos quais a reta atravessa. a) A(30,20,10), B(50,10,40) b) A(20,30,10), B(40,20,10) c) A(30,20,20), B(30,20,40) d) A(30,30,10), B(30,20,30)
UFPR – Setor de Ciências Exatas – Departamento de Expressão Gráfica – Profa Deise Maria Bertholdi Costa
36 Geometria Descritiva 5. Seja a reta r definida pelos pontos A e B. Identificar o nome da reta. Encontrar os
ângulos que a reta forma com os PFR, bem como a VG do segmento AB.
a) A(10,20,30) B(40,20,10) b) A(30,-10,40), B(30,20,40) c) A(20,20,10), B(40,30,40) d) A(30,-30,-10), B(30,-30,20)
UFPR – Setor de Ciências Exatas – Departamento de Expressão Gráfica – Profa Deise Maria Bertholdi Costa
37 Geometria Descritiva e) A(20,-20,-30), B(50,-20,-30) f) A(30,10,50), B(30,-20,-15) g) A(20,10,0), B(40,10,30) h) A(0,-20,-10), B(50,20,-10)
UFPR – Setor de Ciências Exatas – Departamento de Expressão Gráfica – Profa Deise Maria Bertholdi Costa
38 Geometria Descritiva 6. Representar as retas horizontais que passem pelo ponto dado A e que formem ângulo
dado com um dos PFR. a) A(20,30,40) 3=30o b) A(30,40,20) 2=15o
7. Representar as retas frontais que passem pelo ponto dado A e que formem ângulo dado com um dos PFR. a) A(30,30,40) 1=30o b) A(30,30,40) 3=15o
UFPR – Setor de Ciências Exatas – Departamento de Expressão Gráfica – Profa Deise Maria Bertholdi Costa
39 Geometria Descritiva 8. Representar as retas de perfil que passem pelo ponto dado A e que formem ângulo
dado com um dos PFR. a) A(20,30,10), 1 = 600 b) A(30,20,40), 2 = 150
UFPR – Setor de Ciências Exatas – Departamento de Expressão Gráfica – Profa Deise Maria Bertholdi Costa
40 Geometria Descritiva
9. Representar uma reta horizontal que passe pelo ponto dado A(30,40,30) sabendo-se que qualquer segmento da mesma tem a sua segunda projeção reduzida a metade desse segmento.
10. Representar as retas quaisquer que passam pelo ponto dado A(30,20,40) e formam ângulo θ1 =30º com e θ2 = 45º com π .
UFPR – Setor de Ciências Exatas – Departamento de Expressão Gráfica – Profa Deise Maria Bertholdi Costa
41 Geometria Descritiva 4. Posição relativa de duas retas
Duas retas r e s podem ser:
reversas ou coplanaresnãoescoincidentesconcorrent
paralelas coplanares
Observação: sejam r, s, P r e (P,s) então - se (P,s) possuir em comum com r apenas o ponto P então r e s são reversas e P≡(r); - ou se r estiver contida em então as retas r e s são coplanares. 4.1. Condições de paralelismo 1º) Retas não de perfil Vimos propriedade 2: Se r//s então r’//s’ ou r’≡s’ ou são pontuais. Como trabalhamos com pelo menos duas projeções então:
r//s
)s//r e pontuais são s" e r" ou ( //s"r" e pontuais são s' e r')s'r' e s"r" (ou //s"r" e s'r'
//s"r" e //s'r'//
Se r’≡s’ e r”≡s” e r e s são não de perfil então r≡s 2º) Retas de perfil a) as retas pertencem a um mesmo plano projetante em 1ª e 2ª projeções
sxr se esconcorrentsr se escoincident
s//r se paralelas ser podem s e r
b) as retas pertencem a planos projetantes distintos em 1ª e 2ª projeções
sxr se reversassr ou s//r se paralelas ser podem s e r
4.2. Condições de incidência 1º) Retas não de perfil
)s a e ponto um é r , s x r (ou s a e ponto um é r , s x r
)s r e s x r (ou sr e s x rLC mesma PP e P em s x r e P em s x r
s x r
2º) Uma reta é de perfil e a outra não Além das condições anteriores deve ser verificada também a 3ª projeção. 3º) Retas de perfil
Duas retas de perfil somente poderão ser concorrentes se pertencem ao mesmo plano projetante em 1ª projeção e suas 3as projeções são concorrentes.
UFPR – Setor de Ciências Exatas – Departamento de Expressão Gráfica – Profa Deise Maria Bertholdi Costa
42 Geometria Descritiva Exercícios de posição relativa de duas retas
1. Representar a reta r pertencente ao ponto A(10,20,30) e paralela a reta s(P,Q): a) P(40,10,30) Q(40,20,30) b) P(40,30,10) Q(40,30,20) c) P(30,30,20) Q(50,30,20) d) P(30,10,20) Q(50,30,20) e) P(30,30,20) Q(50,30,30) f) P(30,40,10) Q(60,30,-10)
UFPR – Setor de Ciências Exatas – Departamento de Expressão Gráfica – Profa Deise Maria Bertholdi Costa
43 Geometria Descritiva 2. Representar a reta r, pertencente ao ponto dado A e paralela a reta s(P,Q)
a) A(30,50,20) P(30,40,50) Q(30,20,30)
b) A(60,40,10) P(40,30,40) Q(40,10,20)
UFPR – Setor de Ciências Exatas – Departamento de Expressão Gráfica – Profa Deise Maria Bertholdi Costa
44 Geometria Descritiva 3. São dadas duas retas r(A,B) e s(P,Q), verificar se são coincidentes, paralelas,
concorrentes ou reversas. Caso sejam concorrentes, determinar o ponto X em comum. 3.1 As retas dadas são não de perfil
a) b)
c) d)
UFPR – Setor de Ciências Exatas – Departamento de Expressão Gráfica – Profa Deise Maria Bertholdi Costa
45 Geometria Descritiva e) f)
g) h)
UFPR – Setor de Ciências Exatas – Departamento de Expressão Gráfica – Profa Deise Maria Bertholdi Costa
46 Geometria Descritiva 3.2. As retas dadas são de perfil
i) A(30,30,40) B(30,40,20) P(30,10,30) Q(30,20,40)
j) A(30,20,10) B(30,10,20) P(30,30,30) Q(30,40,40)
UFPR – Setor de Ciências Exatas – Departamento de Expressão Gráfica – Profa Deise Maria Bertholdi Costa
47 Geometria Descritiva k) A(20,30,40) B(20,40,50) P(40,40,20) Q(40,10,30) l) A(20,30,40) B(20,40,50) P(40,40,20) Q(40,50,30)
UFPR – Setor de Ciências Exatas – Departamento de Expressão Gráfica – Profa Deise Maria Bertholdi Costa
48 Geometria Descritiva 3.3 Uma das retas dadas é de perfil e a outra é não de perfil m) A(30,-10,40) B(30,0,40) P(30,10,20) Q(30,20,30) n) A(40,10,20) B(40,30,10) P(20,10,10) Q(60,30,50)
UFPR – Setor de Ciências Exatas – Departamento de Expressão Gráfica – Profa Deise Maria Bertholdi Costa
49 Geometria Descritiva 4. Representar a reta horizontal r pertencente ao ponto dado A e concorrente com uma
reta qualquer s(P,Q) dada. Representar o ponto X de interseção. A(10,20,10) P(30,30,30) Q(50,20,40)
5. Representar a reta frontal r pertencente ao ponto dado A e concorrente com uma reta qualquer s(P,Q) dada. Representar o ponto X de interseção. A(10,20,50) P(30,30,30) Q(50,10,40)
UFPR – Setor de Ciências Exatas – Departamento de Expressão Gráfica – Profa Deise Maria Bertholdi Costa
50 Geometria Descritiva 6. Representar a reta de perfil r pertencente ao ponto dado A e concorrente com uma reta
qualquer s(P,Q) dada. Representar o ponto X de interseção. A(10,20,10) P(30,20,30) Q(50,10,40)
7. Representar a reta horizontal r pertencente ao ponto dado A e concorrente com uma reta de perfil s(P,Q) dada. Representar o ponto X de interseção. A(10,20,20) P(30,30,40) Q(30,10,10)
UFPR – Setor de Ciências Exatas – Departamento de Expressão Gráfica – Profa Deise Maria Bertholdi Costa
51 Geometria Descritiva 8. Representar a reta de topo r pertencente ao ponto dado A e concorrente com uma reta
de perfil s(P,Q) dada. Representar o ponto X de interseção. A(30,-10,30) P(30,30,20) Q(30,50,10)
9. Representar a reta vertical r pertencente ao ponto dado A e concorrente com uma reta de perfil s(P,Q) dada. Representar o ponto X de interseção. A(30,15,50) P(30,30,20) Q(30,50,10)
UFPR – Setor de Ciências Exatas – Departamento de Expressão Gráfica – Profa Deise Maria Bertholdi Costa
52 Geometria Descritiva 10. Representar a reta fronto-horizontal r pertencente ao ponto dado A e concorrente com
uma reta de perfil s(P,Q) dada. Representar o ponto X de interseção. A(20,30,?) P(30,10,20) Q(30,40,10)
11. Representar uma reta r(A,B) qualquer concorrente com uma reta de perfil s(P,Q) dada. Representar o ponto X de interseção. A(10,30,30) B(30,20,?) P(40,30,40) Q(40,10,10)
UFPR – Setor de Ciências Exatas – Departamento de Expressão Gráfica – Profa Deise Maria Bertholdi Costa
53 Geometria Descritiva 5. Perpendicularidade e ortogonalidade de retas
Relembrando a Propriedade 7 para somente uma projeção:
(1) r s ( ou r s ) Se (2) r // ( ou r ) (4) r’ s’
(3) s Recíprocas são válidas:
(2) r // ( ou r ) Se (3) s (1) r s ( ou r s )
(4) r’ s’
Se (1) r s ( ou r s ) (3) s (4) r’ s’ (2) r // ( ou r )
Na projeção cilíndrica ortogonal tem-se que um ângulo não reto somente se projeta em VG quando os dois lados forem paralelos ao plano de projeção. Porém, se o ângulo for reto, basta um só lado ser paralelo (ou estar contido) e o outro ser não perpendicular ao plano de projeção para que ele tenha projeção ortogonal em VG. Exercícios de perpendicularidade e ortogonalidade de retas 1. Representar a reta s que passe pelo ponto dado P e seja perpendicular a uma reta dada r. a) r é horizontal b) r é frontal
UFPR – Setor de Ciências Exatas – Departamento de Expressão Gráfica – Profa Deise Maria Bertholdi Costa
54 Geometria Descritiva c) r é de perfil
d) r é fronto-horizontal
e) r é qualquer
UFPR – Setor de Ciências Exatas – Departamento de Expressão Gráfica – Profa Deise Maria Bertholdi Costa
55 Geometria Descritiva 2. Representar pelo ponto dado P uma reta s ortogonal a reta dada r, sabendo-se que: a) s é horizontal b) s é frontal
c) s é de perfil
d) s é qualquer
UFPR – Setor de Ciências Exatas – Departamento de Expressão Gráfica – Profa Deise Maria Bertholdi Costa
56 Geometria Descritiva 3. Representar a distância do ponto dado P a uma reta dada r. Obter a verdadeira grandeza dessa distância. a) r é horizontal b) r é frontal
c) r é de perfil
d) r é fronto-horizontal e) r é qualquer
UFPR – Setor de Ciências Exatas – Departamento de Expressão Gráfica – Profa Deise Maria Bertholdi Costa
57 Geometria Descritiva 4. Representar o losango ABCD, de diagonal BD horizontal, sendo dados os vértices A e C, e o comprimento da diagonal BD. A(20,35,10) C(50,15,30) BD=30 5. Representar o losango ABCD, de diagonal BD horizontal, sendo dados os vértices A e C e sabendo-se que a primeira projeção do mesmo deve ser um quadrado. A(20,35,10) C(50,15,30)
UFPR – Setor de Ciências Exatas – Departamento de Expressão Gráfica – Profa Deise Maria Bertholdi Costa
58 Geometria Descritiva 6. Representar um triângulo ABC isósceles, de base AB horizontal dada, sendo dados o afastamento e a cota do vértice C. A(20,40,20) B(50,50,20) C(x,20,40) 7. Representar um retângulo ABCD, sendo dados os vértices A e C, e sabendo-se que o lado AB é frontal e tem comprimento dado. A(20,20,25) C(50,40,45) AB=20