INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS NUMÉRICOS

Ementa

Noções Básicas sobre Erros

Zeros Reais de Funções Reais

Resolução de Sistemas Lineares

Introdução à Resolução de Sistemas Não-Lineares

Interpolação

Ajuste de funções

Integração Numérica

Introdução aos Métodos Numéricos

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Métodos de Refinamento (Iterativos)

☺Método da Bissecção;

☺Método do Ponto Fixo (MPF);

☺Método de Newton-Raphson;

☺Método da Secante.

Método de Newton Raphson

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Método de Newton-Raphson

➢ O método de ponto fixo consiste em estimar a raiz de uma funçãof(x) usando o processo iterativo:

➢ Essa expressão define a forma de (x). Podemos escrever uma formageral para essa função dada por:

pois, para x igual à raiz de f(x), tem-se f(x)=0, ou seja x=(x) paraqualquer A(x)≠0.

)(1 kk xx =+

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Método de Newton-Raphson

➢ Para haver a convergência no método da iteração linear é precisoque |’(x)|<1 em um intervalo [a,b] que contém a raiz de f(x).

➢ Portanto, a idéia no método de Newton-Raphson é escolher umafunção (x) tal que ’(α)=0 onde α é a raiz de f(x) e α∈[a,b].

➢ Com isso, teremos |’(x)|<1 desde que não nos afastemos muito dovalor de α durante o processo de resolução do Problema.

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Método de Newton-Raphson

➢ Derivando (x) dada pela expressão anterior em relação a x, temos:

Exigindo que ’(x)=0, tem-se:

Portanto,

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Método de Newton-Raphson

➢ O Método de Newton-Raphson consiste em usar o processo iterativo:

e como função de iteração a expressão:

)(1 kk xx =+

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Convergência do Método de Newton-Raphson

➢ Apesar de obtermos a forma da função (x) procurando garantir aconvergência do processo iterativo, esta não esta sempregarantida para este método (mas quase sempre).

➢ A convergência no método de Newton-Raphson esta sempregarantida para um certo intervalo [a,b] que contém a raiz de f(x),desde que f(x) e f '(x) sejam contínuas nesse intervalo e quef '(α)≠0, onde α é a raiz de f(x) (f(α)=0). Portanto, se utilizarmosuma estimativa inicial x0 tal que x0 ∈ [a,b], a convergência estarágarantida.

➢ Em outras palavras, para o método de Newton-Raphson convergir, épreciso que nossa estimativa inicial esteja próxima da raiz de f(x).A proximidade exigida para a convergência vai depender de caso acaso e nem sempre é simples de determinar.

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Interpretação Geométrica (Newton-Raphson)

0x x

y )(xf

1x2x3x

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Exercício

Solução:

Exemplo 1: Calcule a raiz de f(x)=x2+x-6, usando o método de Newton-Raphson, x0=3 como estimativa inicial e como critério de parada|f (xn)|0,001 .

Para encontrar a raiz de f(x) usando o método de Newton-Raphson,devemos ter:

onde,

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Exemplo 1: Calcule a raiz de f(x)=x2+x-6, usando o método de Newton-Raphson, x0=3 como estimativa inicial e como critério de parada|f (xn)|0,001 .

X Xn f(x) f'(x) Xn+1 = Xn -(f(x)/f'(x)) Erro

0

1

2

3

3 6

2,1429 0,1390

2,14297

0,7349 5,2858 2,0039

2,0039

2,0000

0,0195

0,0000

5,0078

5,0000

2,0000

2,0000

0,0039

0,0000

Logo, a raiz de f(x) = x² + x – 6 é x = 2.

𝒙𝒏 − 𝒙𝒏+𝟏

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X Xn f(x) f'(x) Xn+1=Xn -(f(x)/f'(x)) Erro

0 -2,2000 -3,3600 -3,4000 -3,1882

1 -3,1882 0,9766 -5,3765 -3,0066 -0,1816

2 -3,0066 0,0330 -5,0132 -3,0000 -0,0066

3 -3,0000 0,0000 -5,0000 -3,0000 0,0000

Exemplo 1: Calcule a raiz de f(x)=x2+x-6, usando o método de Newton-Raphson, x0 = -2,2 como estimativa inicial e como critério deparada |f (xn)| 0,001 .

Logo, a raiz de f(x) = x² + x – 6 é x = -3.

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X Xn f(x) f'(x) Xn+1 = Xn -(f(x)/f'(x)) Erro

0

1

2

3

Exemplo 1: Calcule a raiz de f(x) = 2x³ + 3x² - 2, usando o método de Newton-Raphson, x0 = 0,5 como estimativa inicial e como critério deparada |f (xn)| 0,001 .

0,5 −1

0,7222 0,0426

0,72224,5

0,3181 7,4626 0,6796

0,6796

0,6774

0,0133

0,0003

6,8487

0,3181

0,6777

0,6777

0,0019

0,0000

Logo, a raiz de f(x) = 2x³ + 3x² - 2 é x = 0,6777.

𝒙𝒏 − 𝒙𝒏+𝟏

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Exercícios

Método da Secante

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Método da Secante

➢ Este método não é mais do que uma variante do método de Newton-Raphson visto anteriormente.

➢ O método da secante evita o cálculo de f '(x) (em certos problemaspode consumir muito tempo de computação).

➢ No método da secante a derivada é substituída por:

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Método da Secante

➢ conseqüentemente a fórmula de recorrência virá:

a partir de dois valores iniciais de x0 e x1 quaisquer.

Os valores x0 e x1

podem ser tomados dos extremos do

intervalo [a,b], da qual sabemos que existe uma raiz.

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Interpretação Geométrica (Secante)

x

y )(xf

0x

1x

2x 3x

4x

5x

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Exercício

Solução:

Exemplo 1: Calcule a raiz de f(x)=x2+x-6, usando o método da Secante,sabendo que este encontra-se no intervalo [1,3] e como critériode parada |f (xn)|0,001 .

Para encontrar a raiz de f(x) usando o método da Secante, devemos fazer:

),( 1 nn xx −

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0 1,0000

1 3,0000 -4,0000 6,0000 1,8000

2 1,8000 6,0000 -0,9600 1,9655

3 1,9655 -0,9600 -0,1712 2,0014

4 2,0014 -0,1712 0,0072 2,0000

5 2,0000 0,0072 -0,0001 2,0000

𝜑 𝑥 =𝑥𝑛−1. 𝑓 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛. 𝑓 𝑥𝑛−1

𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓(𝑥𝑛−1)𝑥𝑛 𝑓(𝑥𝑛−1) 𝑓(𝑥𝑛)𝑥

f(x) = x2 + x - 6, intervalo [1,3] e |f (xn)| 0,001 .

Logo, a raiz de f(x) = x² + x – 6 é x = 2.

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0 0,0000

1 1,0000 1,0000 15,0000 -0,0714

2 -0,0714 15,0000 0,8152 -0,1330

3 -0,1330 0,8152 0,6739 -0,4266

4 -0,4266 0,6739 0,1244 -0,4931

5 -0,4931 0,1244 0,0117 -0,5000

6 -0,5000 0,0117 0,0000 -0,5000

𝜑 𝑥 =𝑥𝑛−1. 𝑓 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛. 𝑓 𝑥𝑛−1

𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓(𝑥𝑛−1)𝑥𝑛 𝑓(𝑥𝑛−1) 𝑓(𝑥𝑛)𝑥

Exemplo 2: Calcule a raiz de 𝑦 = 42𝑥 − 𝑥2, usando o método da Secante,sabendo que este encontra-se no intervalo [0,1] e como critériode parada |f (xn)| 0,001 .

Logo, a raiz de 𝑦 = 42𝑥 − 𝑥2 é x = - 0,5.

Comparação dos Métodos

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Comparação dos Métodos

➢ Os quatro métodos podem ser comparados quanto à existência evelocidade de convergência e também quanto a característicasespeciais, de modo a facilitar a escolha do método mais adequado acada situação.

➢ O método mais simples e robusto é o da bissecção, que apresentacomo grande vantagem o fato de convergir sempre. É contudo ummétodo muito lento, apresentando como curiosidade o fato deconvergir para a raiz sempre com a mesma velocidade.

➢ Pela sua robustez são ótimos como métodos preliminares para adefinição de um intervalo de pequena amplitude, dentro do qual seencontra uma raiz da equação a resolver.

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Comparação dos Métodos

➢ O método das aproximações sucessivas é mais rápido do que o dabissecção, mas obriga a una escolha criteriosa da função f(x), aore-escrever F(x)=0 como x= f(x) de modo a que seja satisfeita acondição de convergência.

➢ O método de Newton-Raphson é sem dúvida o método que convergepara a solução mais rapidamente. Este método apresenta noentanto algumas desvantagens.

➢ Para que este método seja convergente é porém necessário quecertas condições sejam satisfeitas, além disso obriga ao cálculo, emcada iteração, não só da função como também da sua derivada. Esteúltimo cálculo pode consumir muito tempo de computação porser difícil, ou então ser mesmo impossível (por exemplo se a funçãoé definida por pontos).

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Comparação dos Métodos

➢ Para estes casos podemos recorrer ao método da secante ou mesmoao das aproximações sucessivas.

➢ O método da secante converge com uma velocidade apreciável,mas existe circunstâncias em que é muito lento a convergir.

➢ Uma dificuldade característica do método de Newton-Raphson é adeterminação de duas raízes muito próximas, dado que a derivada seanula na vizinhança das duas raízes.

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Conclusão

Podemos dizer como conclusão que o método da bissecção converge sempre e portanto podem ser utilizados em qualquer circunstância,

tendo como desvantagem serem bastante lentos a convergir.

O método das aproximações sucessivas é bastante rápido a convergir, mas exige a escolha correta da função f(x) para que a condição de

convergência seja satisfeita.

Por último temos o método de Newton- Raphson que é sem dúvida o mais rápido a convergir, mas que apresenta duas grandes desvantagens - para que o método seja convergente é necessário que certas condições sejam satisfeitas e também obriga em cada iteração ao cálculo não só

da função mas também da sua primeira derivada.

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Exercícios