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IT744 – Eletrônica de Potência para Geração, Transmissão e Distribuição de
Energia Elétrica
Tópicos em Teorias de Potência em Condições não Ideais de Operação
Campinas – SP9 Maio de 2012
Helmo K. Morales ParedesGrupo de Automação e Sistemas Integráveis (GASI)
UNESP – Univ. Estadual PaulistaCampus Sorocaba
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Sumario1. Introdução condição senoidal x não senoidal
2. Considerações sobre a história de algumas teorias de potência
3. Considerações e motivações sobre a situação atual do sistemas elétricos;
4. Definição de operadores matemáticos para quantidades de fase e vetoriais
5. Algumas teorias de potência
• Budeanu (1927)• Fryze (1931)• Buchholz (1950)• Depenbrock (1962)• Akagi et al (1983 ... )• Tenti, Mattavelli (2003, ..., 2010)
Campinas – SP – Helmo K. Morales Paredes - 09/05/2012
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Sumario1. Introdução condição senoidal x não senoidal
2. Considerações sobre a história de algumas teorias de potência
3. Considerações e motivações sobre a situação atual do sistemas elétricos;
4. Definição de operadores matemáticos para quantidades de fase e vetoriais
5. Algumas teorias de potência
• Budeanu (1927)• Fryze (1931)• Buchholz (1950)• Depenbrock (1962)• Akagi et al (1983 ... )• Tenti, Mattavelli (2003, ..., 2010)
Campinas – SP – Helmo K. Morales Paredes - 09/05/2012
4Campinas – SP – Helmo K. Morales Paredes - 09/05/2012
Em qualquer instalação (circuito) elétricoalimentado em CA. A potência instantâneaé obtida pela multiplicação dos sinais detensão e corrente.
= √
= √ −
=
Introdução condição senoidal
5Campinas – SP – Helmo K. Morales Paredes - 09/05/2012
=
= = Percebe-se que a potência instantânea contém uma parteconstante e uma parte oscilatória com o dobro dafrequência (2ωωωω) das ondas de tensão e corrente.
Verifica-se, portanto, que a parte oscilatória é compostade duas parcelas que oscilam em quadratura: uma parcelaoscila com ω e vale e a outra parcela oscilacom ω e vale .
Potência ativa “P” Potência reativa “Q”
Introdução condição senoidal
6Campinas – SP – Helmo K. Morales Paredes - 09/05/2012
Energia transformada em energia mecânica, emcalor ou em outra modalidade (produze trabalho útil)
Energia necessária para excitar os camposmagnéticos, mas não produz trabalho útil
= !Introdução condição senoidal
7Campinas – SP – Helmo K. Morales Paredes - 09/05/2012
φφφφ
= = " #
$ = ∡&$ = ∡ −
A tensão e a corrente senoidal também podemser representadas por:
Portanto, a corrente também pode serdecomposta em duas parcelas em quadratura:
Corrente ativa Corrente reativa
Introdução condição senoidal
8Campinas – SP – Helmo K. Morales Paredes - 09/05/2012
' = = = " #
' = " # = !ou seja, as potências ativa, reativa e aparenteformam o chamado triângulo de potências.
Portanto:
Define-se a potência aparente S como sendo o produto:
Introdução condição senoidal
9Campinas – SP – Helmo K. Morales Paredes - 09/05/2012
= = "
! = = #
' = = ( !
Potência Aparente (VA)
Potência Ativa (W)
Potência Reativa (VAr)
Fator de Potência ) = = '
P
S
φφφφ
Q
Introduçãocondição senoidal
10Campinas – SP – Helmo K. Morales Paredes - 09/05/2012
A maioria das cargas são indutivas e precisamde um campo magnético para operar:
Motores; Transformadores; Reatores; Lâmpadas de descarga, etc.
O campo é necessário, mas não produz trabalho útil
As concessionárias tem de fornecer energiapara produzir os campos magnéticos etrabalho útil.
Os consumidores pagam por tudo isso!
Introdução condição senoidal
11Campinas – SP – Helmo K. Morales Paredes - 09/05/2012
Potência ativa (P) é o fluxo de energiatransformado pela carga em energia útil.
Potência reativa indutiva (Q) é o fluxo deenergia trocado entre a carga e o resto docircuito (não produz trabalho) que estapresente no sistema elétrico.
Fator de potência (FP) indica o quanto dapotência total fornecida (S) é efetivamenteutilizada como potência ativa (P), dando umaideia da eficiência de utilização da energiaelétrica pelo carga (equipamento) ouinstalação.
Introdução condição senoidal
12Campinas – SP – Helmo K. Morales Paredes - 09/05/2012
Compensação (Capacitor)
) = &, +
) = &, , Carga(motor)
Tarifação (medidores)
Introdução condição senoidal
13Campinas – SP – Helmo K. Morales Paredes - 09/05/2012
P
SL
φφφφL QS
QC
φφφφ
QL
P - potência ativa da carga;
QL - potência reativa da carga;
SL - demanda de potência não corrigida no fornecimento;
φφφφL - Fator de potência inicial;
Q - potência reativa da carga corrigida;
QC - potência reativa do capacitor;
S - demanda de potência corrigida no fornecimento.
φφφφ - Fator de potência corrigido.
Principio da compensação
Introdução condição senoidal
14Campinas – SP – Helmo K. Morales Paredes - 09/05/2012
Vantagem da compensação
Introdução condição senoidal
15Campinas – SP – Helmo K. Morales Paredes - 09/05/2012
Grandezas de interesse
Introduçãocondição não senoidal
Distorção harmonica total (DHT)
)- = = . − /-01 = − -01 = −
Fator de Deslocamento (FD)
16Campinas – SP – Helmo K. Morales Paredes - 09/05/2012
Para exemplificar como os harmônicos influem no FP deum circuito (instalação), vamos assumir que a tensão sejasenoidal, porém a corrente contenha harmônicos.
Sendo o FP dado por: ) = '
) = ' = = -01= )- -01
Introduçãocondição não senoidal
e como, por hipótese, somente as correntes contêmharmônicas, praticamente só existirá potência ativaassociada à fundamental. Dessa forma podemosescrever:
17Campinas – SP – Helmo K. Morales Paredes - 09/05/2012
Similarmente para o caso de corrente senoidal,tensão distorcida temos:
Introduçãocondição não senoidal
2 = ' = = -01= )- -01
Portanto, o FP diminui pela simples presença decorrentes harmônicas ou tensões harmônicas.
18Campinas – SP – Helmo K. Morales Paredes - 09/05/2012
Introduçãocondição não senoidal
Por exemplo, admitindo-se -01 = &% resultaria:
Assim, se a medição de tensões e correntesinclui as harmônicas, o consumidor que absorveou gera correntes harmônicas na verdade jáestará sendo penalizado por isso, no caso doseu FP estar abaixo do limite mínimo.
com isso, o ) mínimo (0,92) cairia para 0,9021.
) = &, ,+&4 = &, ,+&4 56
19Campinas – SP – Helmo K. Morales Paredes - 09/05/2012
Introduçãocondição não senoidal
proliferação de cargas não lineares
O agravamento dos problemas atuais com harmônicosna rede deve-se à pulverização das fontes harmônicas, até mesmo no nível doméstico.
Atualmente a maioria das cargas comerciais e domésticas também são não-lineares, pois contém algum tipo de conversor ou controle ou chaveamento eletrônico.
televisores, aparelhos de som, computadores,copiadoras, dimmers, reatores de iluminação,equipamentos de escritório, condicionadores de ar,aquecedores e fornos elétricos, máquinas de lavar,etc.
20Campinas – SP – Helmo K. Morales Paredes - 09/05/2012
Como taxar quem gera harmônicos e tem FP
acima do limite mínimo de FP?
Como fica a compensação e a tarifação do
circuito elétrico (instalação) na presença de
tensões e correntes harmônicas?
Introduçãocondição não senoidal
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Sumario1. Introdução condição senoidal x não senoidal;
2. Considerações sobre a história de algumas teorias de potência;
3. Considerações e motivações sobre a situação atual dos sistemas elétricos;
4. Definição de operadores matemáticos para quantidades de fase e vetoriais;
5. Algumas teorias de potência:
• Budeanu (1927)• Fryze (1931)• Buchholz (1950)• Depenbrock (1962)• Akagi et al (1983 ... )• Tenti, Mattavelli (2003, ..., 2010)
Campinas – SP – Helmo K. Morales Paredes - 09/05/2012
22Campinas – SP – Helmo K. Morales Paredes - 09/05/2012
Consideraçõessobre a história
1865(James Clerk Maxwell)
fenômeno de defasagem
1888(Oliver B. Shallenberger)
fenômenos de oscilação da potência
23Campinas – SP – Helmo K. Morales Paredes - 09/05/2012
Considerações sobre ahistória
1894(Edwin J. Houston e Arthur E. Kenenlly)
primeiros trabalhos que utiliza o termo harmônico
fenômeno de distorção
24Campinas – SP – Helmo K. Morales Paredes - 09/05/2012
Charles Proteus Steinmetz
1892carga não linear produz
correntes não ativas sem alterar o ângulo de fase
1893fenômeno de ressonância
1897fenômeno de desbalanço
(desequilíbrio)
Considerações sobre ahistória
25Campinas – SP – Helmo K. Morales Paredes - 09/05/2012
Considerações sobre ahistória
1897C. P. Steinmetz
1910Campos, Lupi e Niethammer
debateram problemas relacionados com a assimetria de
tensões e correntes.
', , !, )
• Potência aparente vetorial
• Potência aparente aritmética
', , !, )
'7, , !, ) 7
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1920 AIEE
1927 BudeanuS, P, QB, DB, FPB
(domínio da frequência)
1933 AIEE
1932 FryzeS, P, QF, FPF ia(t)(domínio no tempo)
1935 AIEEHarvey e Francis
Lyon e GoodhueP, S: são interpretados em função da potência
máxima transferida
1941 Definições de potência foram normalizadas
IEEE STD Dictionary(porém continuaram as
discussões)Conceitos e definições
relacionadas com P, S em:
Circuitos monofásicos:senoidais e não-senoidais;
Circuitos polifásicos:balanceados e desbalanceados em condições senoidais e não-senoidais
Considerações sobre ahistória1922
BuchholzValores
coletivosSΣΣΣΣVΣΣΣΣ IΣΣΣΣ
' ) '7 ) 7
27Campinas – SP – Helmo K. Morales Paredes - 09/05/2012
Considerações sobre ahistória
1950 Buchholz
1962 Depenbrock
1982 Akagi, Kanazawa e Nabae
1971 Kimbark
1972 Shepherd e Zakikhani
1973 Sharon
1980 Kuster e Moore
1980 Page
1988 Czarnecki Outros ...
28Campinas – SP – Helmo K. Morales Paredes - 09/05/2012
Considerações sobre ahistória
Nos anos 90 que se iniciaram as principais discussões de propostas com
especialistas de grandes grupos de estudo:
o grupo de estudo do IEEE para situações não senoidais ;
I – VII International Workshop on Power Definitions and Measurementsunder Non-sinusoidal Conditions;
ISNCC – International School on Nosinosoidal Currents andCompensation.
onde foi publicada uma quantidade expressiva de artigos sobre o tema e foram
apresentadas propostas de metodologias e definições para o cálculo e
decomposições de parcelas de corrente e potência em sistemas monofásicos e
polifásicos.
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Sumario1. Introdução condição senoidal x não senoidal;
2. Considerações sobre a história de algumas teorias de potência;
3. Considerações e motivações sobre a situação atual do sistemas elétricos;
4. Definição de operadores matemáticos para quantidades de fase e vetoriais;
5. Algumas teorias de potência:
• Budeanu (1927)• Fryze (1931)• Buchholz (1950)• Depenbrock (1962)• Akagi et al (1983 ... )• Tenti, Mattavelli (2003, ..., 2010)
Campinas – SP – Helmo K. Morales Paredes - 09/05/2012
30Campinas – SP – Helmo K. Morales Paredes - 09/05/2012
Sistemas de potência tradicionais e sistemasde potência modernos (Smart Grids);
O papel da eletrônica de potência nossistemas modernos;
Otimização local e global do desempenho dosistemas de potência;
Principio do controle cooperativo distribuídode Processadores Eletrônicos de Potência.
Motivações para o estudo das teorias de potência
Considerações e Problema atual
31Campinas – SP – Helmo K. Morales Paredes - 09/05/2012
Sistema de Potência Tradicional
Pequeno número de usinas deenergia de grande porte;
Usinas localizadas em locaisestratégicos;
Rede Forte (fontes de tensão quase ideal);
Controle centralizado;
Fluxo de potência unidirecional;Os clientes não participam
o para o equilíbrio da potência.
32Campinas – SP – Helmo K. Morales Paredes - 09/05/2012
Sistema de Potência Moderno
Sistemas de distribuiçãoa escala local;
Fontes de energiadistribuída (FED);
A rede é fraca(fontes de tensão não ideal);
Interfaces eletrônicasinteligentes entre fontesde energia e rede
Fluxo de potênciabidirecional;
Participação multilateral para o equilíbrio da potência.
Smart Grids
33Campinas – SP – Helmo K. Morales Paredes - 09/05/2012
Benefícios das Redes ModernasSmart Grids
Recursos renováveis distribuídos;Menor emissão;Redução de custos da energia.
Redução das perdas de transmissão e distribuição;Fontes de energia perto das cargas.
Melhor utilização das fontes de energia convencionaismenos potência ativa, reativa, desbalanço e distorção.
Suporte para tensão; injeção de potência reativa distribuída.
Incremento na capacidade de potência da rede;sem investimento em infraestrutura de rede.
34Campinas – SP – Helmo K. Morales Paredes - 09/05/2012
Desafios das Redes ModernasSmart Grids
Fluxo de potência bidirecional;novo controle e estratégia de proteção.Estabilização dos perfis de tensão.
Rede fraca;Compensação de tensões distorcidas devido a
cargas não lineares;Compensação de tensões assimétricas devido a
cargas desbalanceadas e unidades monofásicas de FED (PV, baterias, …)
Injeção irregular de potência por fontes de energia renováveis; instalação e controle de dispositivos de
armazenamento de energia
35Campinas – SP – Helmo K. Morales Paredes - 09/05/2012
Em uma situação típica onde:
A rede pode ser fraca (impedância de linha alta);
Frequência pode mudar;
As tensões são assimétricas;
As distorções afetam tensões e correntes.
Necessidade de uma revisão dos termos de energia
Smart Grids
36Campinas – SP – Helmo K. Morales Paredes - 09/05/2012
1. As definições existentes para potência reativa, desbalanço e distorção são realmente válidas?
2. Qual é o significado físico desses termos?3. Estes termos são uteis para tarifação e
compensação?4. Até que ponto as medições de potência são
afetadas pelas formas de ondas não ideais?5. É possível a discriminação de
responsabilidades entre a fonte e a carga sob condições de distorção e assimetria?
Necessidade de uma revisão dos termos de energia
Smart Grids
37Campinas – SP – Helmo K. Morales Paredes - 09/05/2012
Objetivos das teorias de potência
Análise da transferência de potência na presença de tensões e correntes distorcida e/ou assimétricas;
Identificação das fontes de distorção e assimetria da rede;
Compensação de reativos, assimetrias e harmônicas;
Definição de métodos de medição adequados para a correta assinação de responsabilidades (tarifação);
Smart Grids
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Sumario1. Introdução condição senoidal x não senoidal;
2. Considerações sobre a história de algumas teorias de potência;
3. Considerações e motivações sobre a situação atual dos sistemas elétricos;
4. Definição de operadores matemáticos para quantidades de fase e vetoriais;
5. Algumas teorias de potência:
• Budeanu (1927)• Fryze (1931)• Buchholz (1950)• Depenbrock (1962)• Akagi et al (1983 ... )• Tenti, Mattavelli (2003, ..., 2010)
Campinas – SP – Helmo K. Morales Paredes - 09/05/2012
39Campinas – SP – Helmo K. Morales Paredes - 09/05/2012
Definições de algumas teorias de potência
No domínio da frequência Constantin I Budeanu (1927) Leszek Czarnecki (1984 ... ) IEEE STD 1459 (2000 ...)
No domínio do tempo Stanislaw Fryze (1931/1932) F. Buchholz (1922/1950) Manfred Depenbrock (1962/1993) Akagi & Nabae (1983 ... ) Tenti & Mattavelli (2003 ... )
40Campinas – SP – Helmo K. Morales Paredes - 09/05/2012
Operadores matemáticos para quantidades de fase
Valor médio
Produto interno
Norma (valor eficaz)
Ortogonalidade
Desigualdade de Cauchy-Schwartz
8 = 1: ; 8<=<:0
‖8‖ = (⟨8, 8⟩ = B1: ; 82<=<:0 = D
⟨8, E⟩ = 1: ; 8<E<=<:0
⟨8, E⟩ = 0
⟨8, E⟩ ≤ ‖8‖‖E‖ = DG
41Campinas – SP – Helmo K. Morales Paredes - 09/05/2012
Operadores matemáticos para quantidades vetoriais
Valor médio
Produto interno
Norma (valor eficaz)
Ortogonalidade
Desigualdade de Cauchy-Schwartz
8 = 1: ; 8<=<:0 = H 8182⋮8J
K
L8L = M⟨8, 8⟩ = B1: N ; 8O2<=<:0
JO =1 = BN DO2
JO =1 = P
⟨8, E⟩ = N⟨8O , EO ⟩JO =1 = N 1: ; 8O <EO <=<:
0J
O =1
⟨8, E⟩ = 0
⟨8, E⟩ ≤ L8L QEQ = PR
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Sumario1. Introdução condição senoidal x não senoidal;
2. Considerações sobre a história de algumas teorias de potência;
3. Considerações e motivações sobre a situação atual dos sistemas elétricos;
4. Definição de operadores matemáticos para quantidades de fase e vetoriais;
5. Algumas teorias de potência:
• Budeanu (1927)• Fryze (1931)• Buchholz (1950)• Depenbrock (1962)• Akagi et al (1983 ... )• Tenti, Mattavelli (2003, ..., 2010)
Campinas – SP – Helmo K. Morales Paredes - 09/05/2012
43Campinas – SP – Helmo K. Morales Paredes - 09/05/2012
Constantin I. Budeanu (1927)
Abordagem no domínio da frequência
A tensão e a corrente são expressas medianteséries de Fourier. Portanto, o valor eficaz de taisvariáveis pode ser calculado como:
S = ∞U = N UVW
XVYZ = UZW UWW ⋯ U\]ZW U\W
^ = N ^VWX
VYZ = ZW ^WW ⋯ ^\]ZW ^\W
44Campinas – SP – Helmo K. Morales Paredes - 09/05/2012
A partir da análise matemática da interação entrea corrente e a tensão, a potência aparente temos:
Constantin I. Budeanu (1927)
_W = UW^W = UZW ⋯ U\]ZW U\W ZW ⋯ ^\]ZW ^\WPor outro lado, o valor eficaz ao quadrado dacorrente harmônica poder ser expressa como:
Substituindo a equação anterior e aplicando aidentidade de Lagrange na expressão da potenciaaparente obtemos as três potências (P, QB e DB)definidas por Budeanu.
^\W = ^\ cos ∅\ W ^\ sen ∅\ W
45Campinas – SP – Helmo K. Morales Paredes - 09/05/2012
Portanto a potência aparente resulta:
Constantin I. Budeanu (1927)
_W = N UV^V\
VYZ cos ∅VW N UV^V
\VYZ sen ∅V
W N N UV^f W Uf^V W − 2UVUf^V^f cos ∅V − ∅f
\fYVgZ
\]ZVYZ
_W = hW ijW kjW
46Campinas – SP – Helmo K. Morales Paredes - 09/05/2012
Constantin I. Budeanu (1927)
O primeiro termo é:
h = N UV^V\
VYZ cos ∅V Potência ativa total
P corresponde aos produtos das tensões (eficazes)pelas componentes em fase das correntes (eficazes)de mesmas frequências.
h = l < = 1: ; n < o<=<pq
P corresponde também ao valor médio da funçãop(t) = v(t)i(t), ou seja:
S = ∞
47Campinas – SP – Helmo K. Morales Paredes - 09/05/2012
Constantin I. Budeanu (1927)
ij = N UV^V\
VYZ sen ∅Vo segundo termo é:
Potência reativa
QB corresponde aos produtos das tensões (eficazes)pelas componentes em quadratura das correntes(eficazes) de mesmas frequências.
QB foi definida de forma que resulte uma formaanáloga a P porém em quadratura.
Portanto as definições de P, QB para regime distorcidoderivam da definição clássica de regime sinusoidal
S = ∞
48Campinas – SP – Helmo K. Morales Paredes - 09/05/2012
Constantin I. Budeanu (1927)
kj = N N UV^f W Uf^V W − 2UVUf^V^f cos ∅V − ∅f\
fYVgZ\]ZVYZ
e o terceiro termo é:
Potência de Distorção
Outro método usual para o cálculo de DB e através de:
kj = _W − hW − ijW
S = ∞
49Campinas – SP – Helmo K. Morales Paredes - 09/05/2012
P
S
QB
DB _W = hW ijW kjW
Decomposição da potência aparente segundo a proposta de Budeanu
Constantin I. Budeanu (1927)
Esse modelo não permite concluir nada sobre valoresinstantâneos das potências;
Observa-se que nenhum tipo de corrente é associadoas parcelas de potência, portanto não há comoverificar a ortogonalidade entre as parcelas depotência;
50Campinas – SP – Helmo K. Morales Paredes - 09/05/2012
Constantin I. Budeanu (1927)
Exemplo # 1 = rr
!s = N ttu
tY ∅t = &L = ? C = ?
51Campinas – SP – Helmo K. Morales Paredes - 09/05/2012
Constantin I. Budeanu (1927)
Exemplo # 1 = rr
UZ = 100 [v]Uv = 25 [v]wZ = 1 [xyz ]BZ = -
Z [s]
~ = 3257 H = 4932 F = 0 [W] e !s = &
0 2 4 6 8 10 12-200
-100
0
100
200
v(t)
& i
(t)
0 2 4 6 8 10 12
-2
-1
0
1
2
x 104
Tempo [s]p
(t)
52Campinas – SP – Helmo K. Morales Paredes - 09/05/2012
Constantin I. Budeanu (1927)
Exemplo # 1 !s = − N ttu
tY ∅t = −s − rsr = &Há oscilação de
energia, apesar da potência reativa de Budeanu ser nula
(!s = &)!
0 2 4 6 8 10 12-200
-100
0
100
200
v(t)
& i
(t)
0 2 4 6 8 10 12
-2
-1
0
1
2
x 104
Tempo [s]
p(t
)
53Campinas – SP – Helmo K. Morales Paredes - 09/05/2012
Constantin I. Budeanu (1927)
Exemplo # 2
Lb
i(t)
+v(t)–
Y.
Cb
Ca
-s = N N t t − tt ∅t − ∅u
Ytgu]tY = &
Ca = ? Cb = ? e Lb=?
= N ttXtY
54Campinas – SP – Helmo K. Morales Paredes - 09/05/2012
Constantin I. Budeanu (1927)
Exemplo # 2
UZ = 100 [v]Uv = 50 [v]wZ = 1 [xyz ]BZ = BZ = 1 [s]L = 1H
~Cy = 12 HC = 13 H
Lb
i(t)
+v(t)–
Y.
Cb
Ca
= rr
0 2 4 6 8 10 12
-200
0
200
v(t)
& i
(t)
0 2 4 6 8 10 12
-2
-1
0
1
2
x 104
Tempo [s]
p(t
)
= 0 [W] e -s = &
55Campinas – SP – Helmo K. Morales Paredes - 09/05/2012
Constantin I. Budeanu (1927)
Exemplo # 2 -s = N N t R$ t − R$ uYtg
u]tY = &
A potência de distorção é nula
(-s = &) mesmo na presença de
correntes harmônicas na
carga!
0 2 4 6 8 10 12
-200
0
200
v(t)
& i
(t)
0 2 4 6 8 10 12
-2
-1
0
1
2
x 104
Tempo [s]
p(t
)
56Campinas – SP – Helmo K. Morales Paredes - 09/05/2012
Constantin I. Budeanu (1927)
Exemplo # 3 Compensação?
= &, [pu] = − &, [pu]
0 2 4 6 8 10 12
-2
0
2
v(t)
& i
(t)
0 2 4 6 8 10 12-2
0
2
4
Tempo [s]
p(t
)wZ = 1 [
xyz ]
!s = &, = ,
57Campinas – SP – Helmo K. Morales Paredes - 09/05/2012
Constantin I. Budeanu (1927)
Exemplo # 3.1 Compensação?
= &, [pu]
= − &, [pu]
wZ = 1 [xyz ]
) = &, [pu]
Considerando que o compensador entregue a corrente:
A corrente no lado da fonte será:' = − ) = − [pu]
58Campinas – SP – Helmo K. Morales Paredes - 09/05/2012
Constantin I. Budeanu (1927)
Exemplo # 3.1 Compensação?
0 2 4 6 8 10 12-4
-2
0
2
4
v(t)
& i
(t)
0 2 4 6 8 10 12
-2
0
2
4
Tempo [s]
p(t
)
!s = &, = ' = ,
!s = &, ' = , r
Potência reativa e corrente no lada da
fonte após da compensação
Potência reativa e corrente da carga sem
compensação
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Constantin I. Budeanu (1927)
Exemplo # 3.2 Compensação?
= &, [pu]
= − &, [pu]
wZ = 1 [xyz ]
) = , [pu]
Considerando que o compensador entregue a corrente:
A corrente no lado da fonte será:' = − ) = − [pu]
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Constantin I. Budeanu (1927)
Exemplo # 3.2 Compensação?
0 2 4 6 8 10 12
-5
0
5
v(t)
& i
(t)
0 2 4 6 8 10 12-4
-2
0
2
4
6
Tempo [s]
p(t
)
!s = &, = ' = ,
!s = & ' = ,
Potência reativa e corrente no lada da
fonte após da compensação
Potência reativa e corrente da carga sem
compensação
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Constantin I. Budeanu (1927)
A potência reativa (!s) definida por Budeanunão tem uma correlação com a troca deenergia;
A definição de potência reativa (!s) não podeser utilizada para compensação;
A potência de distorção ( -s ) não estarelacionado com as distorções de tensão ecorrente.
62
Sumario1. Introdução condição senoidal x não senoidal;
2. Considerações sobre a história de algumas teorias de potência;
3. Considerações e motivações sobre a situação atual dos sistemas elétricos;
4. Definição de operadores matemáticos para quantidades de fase e vetoriais;
5. Algumas teorias de potência:
• Budeanu (1927) • Fryze (1931)• Buchholz (1950)• Depenbrock (1962)• Akagi et al (1983 ... )• Tenti, Mattavelli (2003, ..., 2010)
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Stanislaw Fryze (1931/1932)
Abordagem no domínio do tempo
Fryze parte da definição de valor eficaz (rms) para tensãoe corrente:
U = 1: ; nW < =<pq
^ = 1: ; oW < =<pq
Formas de onda gerais, porém periódicas, com período T.
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Stanislaw Fryze (1931/1932)
Fryze define a potência aparente como sendo o produto dos valores eficazes: _ = U^e define também potência ativa como sendo a médiatemporal no período T :
h = 1: ; l < =<pq = 1: ; n < o<=<p
q
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Com base na desigualdade de Schwartz entre duasfunções, Fryze mostrou que:_ h = U^onde
= h_ ≤ 1é o fator de potência.
Stanislaw Fryze (1931/1932)
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A igualdade de Schwartz só ocorre se a relaçãov(t)/i(t) for constante, ou seja se as duas funçõesforem proporcionais.
Isso significa que S é igual a P apenas no caso emque a corrente tem a mesma forma de onda que atensão (carga resistiva) e a relação v(t)/i(t) semantiver constante no período:
Essa condição corresponde a uma resistênciainvariante.
n<o< = = cte
Stanislaw Fryze (1931/1932)
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Portanto, a potência aparente ( ' ) de um resistorinvariante coincide com a potência ativa ( ), qualquerque seja a forma de onda ( = ' ). Assim o fator depotência alcança seu valor máximo (2 = ) se e somentese a corrente instantânea for proporcional à tensãoinstantânea.
Em qualquer outro caso 2
Stanislaw Fryze (1931/1932)
Fryze foi quem deu base para a decomposição dacorrente i(t) em duas componentes instantâneasortogonais, ativa (") e não ativa (") da forma:
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o = hUW n = n
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Stanislaw Fryze (1931/1932)
Corrente ativa
" = Condutância equivalente" corresponde à parcela que, efetivamente, transfere potência para a carga e possui a mesma forma de onda da tensão ^ = hU ⇒ h = U^ = UW
Fryze foi quem deu base para a decomposição dacorrente i(t) em duas componentes instantâneasortogonais, ativa (") e não ativa (") da forma:
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Stanislaw Fryze (1931/1932)
E a parte restante é:
o = o − o Corrente não ativa
o , o = 1: ; oo =<pq = 0
o = o o ⇒ ^W = ^W ^ W
A relação de ortogonalidade entre ambas as componentesinstantâneas implica que::
Portanto a corrente pode ser decomposta::
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Similarmente que a corrente, a tensão pode serdecomposta em duas parcelas ortogonais:
Stanislaw Fryze (1931/1932)
n = n n ⇒ UW = UW U W
n = hW o = o tensão ativa
n = n − n tensão não ativa
U = h ⇒ h = U^ = ^W
onde:
n, n = 0
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Sendo assim, os valores quadráticos médios (rms)valem: UW = UW U W^W = ^W ^ We, portanto:
Stanislaw Fryze (1931/1932)
UW^W = UW^W UW^ W = ^WUW ^WU WComo h = U^ = U^
i¡ = U^ = U ^ por analogia Fryze definiu que:
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Resultando a decomposição da potência aparente empotência ativa e reativa:
_ = hW i¡WEssa expressão é similar à obtida para ondas senoidais,e, no entanto, foi deduzida para forma de onda periódicaqualquer!
Falta diferenciar entre potência reativa convencional epotência reativa distorciva;
Stanislaw Fryze (1931/1932)
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Stanislaw Fryze (1931/1932)
circuitos (modelos) equivalentes série e paralelo da carga para ondas periódicas quaisquer.
Decomposição da tensão Decomposição da corrente
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Exemplo # 1
Stanislaw Fryze (1931/1932)
2/3 [F]
ia(t)
1 [Ω ]
1/2 [H ]+va(t)–
Circuito “A” Circuito “B”
= rr
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Stanislaw Fryze (1931/1932)
A teoria de Fryze não permite caracterizar a carga de forma eficiente;
Não permite a compensação mediante componentes passivos;
Não permite o aprofundamento dos estudos sobre cada tipo de fenômeno físico envolvido na transferência de energia;
Não permite a monitoração para fins de tarifação ou compensação “seletiva” de determinadas parcelas de corrente e potência.
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Obrigado pela sua atenção!