Jessica Kubrusly 1,4, Hélio Lopes 1,3, e Álvaro Veiga 2,3

Um Novo Modelo Probabilístico para Estimação de Reservas do Tipo IBNR

1 Departamento de Matemática 2 Departamento de Engenharia Elétrica 3 IAPUC 4 Bolsista FUNENSEG

IntroduçãoIntrodução

IBNR (Incurred But Not Reported):

Representa a soma de todos os sinistros ocorridos mas ainda não avisados à seguradora.

Alguns Trabalhos Anteriores

1934 Tarbell, T. F. Incurred but not reported claim reserves

Proceedings for the Casualty Actuarial Society - Part II Volume XX

1985 Hertig, J. A statistical approach to ibnr-reserves in marine reinsurance

ASTIN Bulletin –

15:171-183

1996 Doray, L.G. Umvue of the ibnr reserve in a lognormal linear regression model

Insurance: Mathematics and Economics

Ano Autor Título Jornal ou Revista

Alguns Trabalhos Anteriores

1999 Herbst, T. An application of randomly truncated data models in reserving ibnr claims

Insurance: Mathematics and Economics

2002 England, P.D.

and

Verrall, R.J.

Stochastic claims reserving in general insurance

British Actuarial Journal, 8(3):443-518(76)

2004 De Jong, P. Forecasting General Insurance Liabilities

Department of Actuarial Studies Research Series

Ano Autor Título Jornal ou Revista

IntroduçãoIntrodução

O objetivo principal desse trabalho é apresentar um novo estimador probabilístico para a média do IBNR que leve em consideração não só os sinistros avisados como também os dados das apólices.

IntroduçãoIntrodução

Esse método utiliza os seguintes dados de entrada: O valor total assegurado; O período de exposição; A data de ocorrência, a data de aviso e o valor do

sinistro, para as apólices com sinistro.

O Novo Estimador - NotaçãoO Novo Estimador - Notação

= data presente N = número total de apólices

Para cada apólice i , seja: Yi = o valor total assegurado;

[ai , bi] = o período de exposição;

yi = o valor do sinistro;

i = yi / Yi .

O Novo Estimador - ModeloO Novo Estimador - Modelo

N

iii IYIBNR

1

avisado não ainda e i apólice na sinistroOcorreu

O Novo Estimador - ModeloO Novo Estimador - Modelo IBNRE

N

iii IYE

1

avisado foi não ainda e i apólice na sinsitroOcorreu

N

iii IYE

1

avisado foi não ainda e i apólice na sinistroOcorreu

N

iii IEY

1

avisado foi não ainda e i apólice na sinsitroOcorreu

N

iii IEEY

1

avisado foi não ainda e i apólice na sinistroOcorreu

N

iii PEY

1

avisado foi não ainda e i apólice na sinistroOcorreu

N

iii PPEY

1

i sinistroocorreu i sinistroocorreu | i sinistro avisado foi não

O Novo Estimador - ModeloO Novo Estimador - Modelo

Então, temos que estimar: E[i] P(não foi avisado sinistro i | ocorreu sinistro i) P(ocorreu sinistro i)

N

iii PPEYIBNRE

1

i sinsitroocorreu i sinsitroocorreu | i sinistro avisado foi não][

O Novo Estimador O Novo Estimador - - E[i]

n

i i

ii Y

y

nE

1

1

Onde n = número de apólices com sinistro; Yi = valor total assegurado na i-ésima apólice;

yi = valor do sinistro da i-ésima apólice.

O Novo EstimadorO Novo Estimador - P(..|..)- P(..|..)

Onde, para a i-ésima apólice com sinistro ocorrido temos: Si = instante em que o sinistro ocorreu,

Si Uniforme(ai,bi) ;

Di = tempo entre o dia da ocorrência o o dia do aviso

Di Lognormal(,) .

ii DSPP i sinistroocorreu | i sinistro avisado foi não

O Novo EstimadorO Novo Estimador - P(..|..)- P(..|..)

Por que usamos Si Uniforme?

Dados dois intervalos I1 e I2 do mesmo tamanho espera-se que P(Si I1) = P(Si I2). Dessa forma, Si deve ser modelada como uma variável aleatória uniforme.

Como [ai,bi] é o período de exposição da i-ésima apólice, Si Uniform(ai,bi).

O Novo EstimadorO Novo Estimador - P(..|..)- P(..|..)

Por que usamos Di Lognormal?

Os testes de Kolmogorov-Smirnov e Anderson-Darling mostraram que a Lognormal é a distribuição mais adequada para Di.

Tabela gerada pelo Easy Fit

O Novo EstimadorO Novo Estimador - P(..|..)- P(..|..)

Primeiro, os parâmetros da distribuição Lognormal foram estimados.

Em seguida, utilizando o método de Monte Carlo, determinou-se uma estimativa para P(Si+Di>).

O Novo EstimadorO Novo Estimador - P(..)- P(..)

Ti = tempo entre o início da exposição e o acontecimento de um sinistro na apólice i. Ti é uma variável aleatória sem memória;

Ti > 0;

Ti exp( )

iii abTPP i sinsitroocorreu

O Novo EstimadorO Novo Estimador - P(..)- P(..)

será estimado pelo uso do algoritmo EM.

i sinsitroocorreu P

)( iii abTP

ii ab t

dte0

1

ii ab

e

1

O Novo EstimadorO Novo Estimador – Algoritmo – Algoritmo EM

é o limite da sequencia definida por:

Onde, A = conjunto dos índices das apólices com sinistro. B = conjunto dos índices das apólices sem sinistro. na= número de elementos em A.

nb= número de elementos em B.

O Novo EstimadorO Novo Estimador

N

i

ab

iiiNOVO

ii

eDSPYIBNR1

ˆ1

ResultadosResultados

IBNR1 : Chain Ladder

IBNR2 : Hertig’s model

IBNR3 : Doray’s UMVUE model

ResultadosResultadosIBNR1 IBNR2 IBNR3 IBNRNOVO IBNROBSERVADO

FEV 0.085 0.085 0.085 3.592 0.582

MAR 0.860 0.878 0.828 3.544 0.897

ABR 1.787 1.834 1.889 3.168 1.256

MAI 5.941 6.036 6.077 2.824 1.455

JUN 1.340 1.680 2.437 2.532 1.152

JUL 1.510 1.954 2.327 2.397 1.343

AGO 2.364 2.990 3.378 2.306 1.485

SET 2.352 2.982 3.528 2.203 1.487

OUT 2.094 2.566 3.058 2.073 1.589

NOV 2.398 2.974 3.392 1.934 1.654

DEZ 1.368 1.590 1.955 1.793 1.768

ResultadosResultados

0.000

1.000

2.000

3.000

4.000

5.000

6.000

7.000

FEB MAR APR MAY J UN J UL AUG SEP OCT NOV DEC

IBNR1

IBNR2

IBNR3

IBNRNEW

IBNROBSERVED

ResultadosResultados

FEV 0.302 1.010 812.60 127.86

MAR 0.299 1.006 1311.82 129.87

ABR 0.298 1.009 1765.80 130.11

MAI 0.295 1.011 2136.60 129.68

JUN 0.292 0.977 2480.67 128.20

JUL 0.299 0.977 2764.38 125.95

AGO 0.306 0.984 3027.66 123.00

SET 0.311 0.992 3301.46 120.08

OUT 0.313 0.999 3611.83 118.16

NOV 0.314 1.000 3947.43 116.46

DEZ 0.314   4305.56 115.57

Resultados Com Beta FixoResultados Com Beta FixoIBNRNOVO IBNROBSERVADO

FEV 0.689 0.582

MAR 1.096 0.897

ABR 1.316 1.256

MAI 1.421 1.455

JUN 1.476 1.152

JUL 1.553 1.343

AGO 1.635 1.485

SET 1.702 1.487

OUT 1.747 1.589

NOV 1.776 1.654

DEZ 1.794 1.768

Resultados Com Beta FixoResultados Com Beta Fixo

0.000

1.000

2.000

3.000

4.000

5.000

6.000

7.000

FEB MAR APR MAY J UN J UL AUG SEP OCT NOV DEC

IBNR1

IBNR2

IBNR3

IBNRNEW

IBNROBSERVED

Comentários Finais

O novo estimador mostrou-se mais suave.

Uma estável para o beta resulta numa estimativa estável para a reserva IBNR.

Para melhores resultados seria necessário testar o novo estimador em outros bancos de dados.

Trabalhos Futuros

Calcular a variância do novo estimador.

Modificar o modelo de forma a incluir mais de um sinistro.

Adaptar o modelo para o caso de seguro de vida.