Post on 05-Mar-2016
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Elaborado por:
Alvick Mallqui Alor
20084006J
PROFESOR: ING. RONALD CUEVA PACHECO
INDICE
I. ENUNCIADO DEL PROBLEMA ............................................................................................................ 3
II. SOLUCION ...................................................................................................................................... 3
II.1. MODELADO DEL CUERPO REAL ............................................................................................. 3
II.2. GRADOS DE LIBERTAD NODALES (Vector desplazamiento) ................................................... 5
II.3. VECTOR CARGA ........................................................................................................................ 5
II.4. MATRICES DE RIGIDEZ ............................................................................................................ 5
II.5. ECUACION DE RIGIDEZ Y CONDICIONES DE ENTORNO ...................................................... 6
II.6. ESFUERZOS .............................................................................................................................. 6
III. DIAGRAMA DE FLUJO ................................................................................................................... 8
IV. CODIGO MATLAB ......................................................................................................................... 11
V. CONCLUSIONES .......................................................................................................................... 13
I. ENUNCIADO DEL PROBLEMA
Resolver el problema de la tercera prctica considerando el peso del propio material y calcular
esfuerzos y las reacciones en los apoyos (empotrados).
Considerar:
PA = 5KN
PB = 4KN
PC = 3KN
PE = 2KN
Dimetro de barras = 50mm
Material:
E = 3x105 N/mm2 ; = 7.8 gr-f/cm3
II. SOLUCION
II.1. MODELADO DEL CUERPO REAL
Cuadro de conectividad
a. Coordenadas nodales:
NODO X(mm) Y(mm)
1 0 0
2 1500 0
3 3000 0
4 1500 1500
5 0 1500
b. Conectividad de los elementos
Elemento Nodos GDL Le Ae Ee
(1) (2) (1) (2) (3) (4) (mm) (mm2) (N/mm2)
1 1 2 1 2 3 4 1500 1963.5 3.1x105
2 2 3 3 4 5 6 1500 1963.5 3.1x105
3 3 4 5 6 7 8 2121.32 1963.5 3.1x105
4 4 2 7 8 3 4 1500 1963.5 3.1x105
5 4 1 7 8 1 2 2121.32 1963.5 3.1x105
6 4 5 7 8 9 10 1500 1963.5 3.1x105
7 5 1 9 10 1 2 1500 1963.5 3.1x105
Elemento Le l m
(mm)
1 1500 1 0
2 1500 1 0
3 2121.32 -0.707 0.707
4 1500 0 -1
5 2121.32 -0.707 -0.707
6 1500 -1 0
7 1500 0 -1
II.2. GRADOS DE LIBERTAD NODALES (Vector desplazamiento)
Observando el grfico 1:
=
[ 0034567800 ]
()
Como hay apoyos fijos y no hay fuerzas, Q1, Q2, Q9 y Q10 =0.
II.3. VECTOR CARGA
=
[ 12000910]
=
[
12
20005000
000
3000910 ]
()
II.4. MATRICES DE RIGIDEZ
= (
)
[
2 2
2 2
2 2
2 2
]
Elemento Le l m
(mm)
1 1500 1 0
2 1500 1 0
3 2121.32 -0.707 0.707
4 1500 0 -1
5 2121.32 -0.707 -0.707
6 1500 -1 0
7 1500 0 -1
II.5. ECUACION DE RIGIDEZ Y CONDICIONES DE ENTORNO
=
3000
0
0
5000
2000
0
6.9273 0 1.4347- 1.4347 4.0579- 0
0 6.9273 1.4347 1.4347- 0 0
1.4347- 1.4347 1.4347 1.4347- 0 0
1.4347 1.4347- 1.4347- 5.4926 0 4.0579-
4.0579- 0 0 0 4.0579 0
0 0 0 4.0579- 0 8.1158
10
8
7
6
5
4
3
5
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Resolviendo obtenemos:
[ 345678]
=
[
0.0120.05210.0250.0841
0.01230.0472 ]
II.6. ESFUERZOS
Se emplea la siguiente formula:
=
[ ][]
1 =3.1105
1500[1 0 1 0] [
00
0.0120.0521
] 1 = 2.48
2 =3.1105
1500[1 0 1 0] [
0.0120.05210.0250.0841
] 2 = 2.687
3 =3.1105
2121.32[0.707 0.707 0.707 0.707] [
0.0250.0841
0.01230.0472
] 3 = 0.0413
4 =3.1105
1500[0 1 0 1] [
0.01230.04720.0120.0521
] 4 = 1.0127
5 =3.1105
2121.32[0.707 0.707 0.707 0.707] [
0.01230.0472
00
] 5 = 3.61
6 =3.1105
1500[1 0 1 0] [
0.01230.0472
00
] 6 = 2.542
7 =3.1105
1500[0 0.707 0 0.707] [
0000
] 7 = 0
III. DIAGRAMA DE FLUJO
INICIO
Leer datos de
entrada.
Para i=1 hasta
N de nodos
Ingresar coordenadas de
los nodos.
Calcular rea, N de filas de
cond_contorno(CC1)
Para i=1 hasta 2veces
N de nodos
Cont=0
Para j=1 hasta N de filas
de cond_contorno(CC1)
1 2 3
1 2
Si
i=CC(i,1)
Cont=1,
C2=CC1(i,2)
C1=CC1(i,1)
SI
Si cont=1
concontc
ont=1
CC(i,1)=C1;
CC(i,2)=C2
3
SI N
O
CC(i,1)=0;
CC(i,2)=0
Para i=1 hasta
N elementos
Calcula Le, l, m, las posiciones
de la matriz de rigidez global y
su valor.
4
4
Para i=1 hasta 2veces N
elementos.
Si
i=CC(i,1)
Q(i,1)=CC(i,2) Acumulamos
fuerzas
(FC=[FC;F(i)])
SI NO
Para
j=1;2*Nnodos
Si jCC(j,1)
acuh=[acuh,Kij(i,j)]
acumula filas
SI
acuv=[acuv;acuh];
acumula columnas
Calcula los desplazamientos
generales
Q1=acuv\FC;
5
IV. CODIGO MATLAB
clc; clear all; %ARMADURAS PLANAS format long nd=input('INGRESE EL NUMERO DE NODOS='); ne=input('INGRESE EL NUMERO DE ELEMENTOS='); D=input('INGRESE EL DIMETRO DE LAS SECCIONES(mm)='); E=input('INGRESE EL MODULO DE ELASTICIDAD(N/mm^2='); tc=input('INGRESE TABLA DE CONECTIVIDAD(solo nodos)='); %EJEMPLO [1 2;2 3;3 4;4 2;4 1;4 5;5 1] ni=[]; for i=1:nd disp('INGRESE LAS CORDENADAS DEL NODO ');disp(i);
5
Para i=1;
2N nodos
Si
i==CC(i,1)
Calcula las reacciones
r=Kij(i,1:2*nd)*Q-F(i,1);
R=[R;r i];
Para i=1 hasta N
de elementos
Calcula esfuerzos
Imprime Desplazamientos,
reacciones y esfuerzos
n(i,1)=input('N(X)= '); n(i,2)=input('N(Y)= '); end F=input('INGRESE EL VECTOR COLUMNA DE FUERZAS='); CC1=input('INGRESE CONDICIONES DE CONTORNO [posicin valor]='); lm=[]; A=pi/4*D^2; krs=zeros(2*nd); Kij=zeros(2*nd);acuh=[];acuv=[];FC=[]; le=[];Q=[];R=[];l=[];m=[];CC=[]; [fc,cc]=size(CC1); for i=1:2*nd cont=0; for j=1:fc if i==CC1(j,1) cont=1; c1=CC1(j,1); c2=CC1(j,2); end end if cont==1 CC(i,1)=c1; CC(i,2)=c2; else CC(i,1)=0; CC(i,2)=0; end end for i=1:ne le(i)=sqrt((n(tc(i,2),1)-n(tc(i,1),1))^2+(n(tc(i,2),2)-n(tc(i,1),2))^2); l(i)=(n(tc(i,2),1)-n(tc(i,1),1))/le(i); m(i)=(n(tc(i,2),2)-n(tc(i,1),2))/le(i); ps1=tc(i,1)*2-1;ps2=tc(i,1)*2;ps3=tc(i,2)*2-1;ps4=tc(i,2)*2; krs(ps1,ps1)=l(i)^2;krs(ps1,ps2)=l(i)*m(i);krs(ps1,ps3)=-l(i)^2;krs(ps1,ps4)=-l(i)*m(i); krs(ps2,ps1)=l(i)*m(i);krs(ps2,ps2)=m(i)^2;krs(ps2,ps3)=-l(i)*m(i);krs(ps2,ps4)=-m(i)^2; krs(ps3,ps1)=-l(i)^2;krs(ps3,ps2)=-l(i)*m(i);krs(ps3,ps3)=l(i)^2;krs(ps3,ps4)=l(i)*m(i); krs(ps4,ps1)=-l(i)*m(i);krs(ps4,ps2)=-m(i)^2;krs(ps4,ps3)=l(i)*m(i);krs(ps4,ps4)=m(i)^2; Kij=Kij+E*A/le(i)*krs; krs=zeros(2*nd); end for i=1:2*nd if i==CC(i,1) Q(i,1)=CC(i,2); else FC=[FC;F(i)]; for j=1:2*nd if j~=CC(j,1) acuh=[acuh,Kij(i,j)]; end end end acuv=[acuv;acuh]; acuh=[]; end Q1=acuv\FC; for i=1:2*nd if i~=CC(i,1)
Q(i,1)=Q1(1,1); [f,c]=size(Q1); if f>=2 Q1=Q1(2:f,1); end end end for i=1:2*nd if i==CC(i,1) r=Kij(i,1:2*nd)*Q-F(i,1); R=[R;r i]; end end ESF=[]; for i=1:ne ps1=tc(i,1)*2-1;ps2=tc(i,1)*2;ps3=tc(i,2)*2-1;ps4=tc(i,2)*2; ESF(i)=E/le(i)*[-l(i) -m(i) l(i) m(i)]*[Q(ps1,1);Q(ps2,1);Q(ps3,1);Q(ps4,1)]; end format short disp('============='); disp('RESULTADOS'); disp('============='); disp('LOS DESPLAZAMIENTOS'); disp(Q); disp('LAS REACIONES'); disp('REACCIN POSICIN'); disp(R); disp('LOS ESFUERZOS'); disp(ESF');
V. CONCLUSIONES
Vemos que para esfuerzos negativos, las barras correspondientes estarn sometidas a
compresin.
Como ya se tena previsto, la barra 7 no est sometida ningn esfuerzo; sin embargo es
indispensable ponerlo ya que al momento de construir e instalar la armadura, servir
como base para que esta no se desarme.
Los desplazamientos estarn referidos al sistema XY planteado inicialmente, para el
caso el nico desplazamiento negativo es el del grado de libertad 7, esto quiere decir
que sufre una deformacin en sentido contrario al eje X.
El mtodo por elementos finitos para el clculo de armaduras en el plano tiene una tiene
una aproximacin casi exacta, slo se comete error por las cifras significativas que
trabaja el MATLAB; al comparar los resultados en forma analtica con la de elementos
finitos el error del clculo es cero.
El mtodo de elementos finitos es aplicable a cualquier estructura en el plano, para ello
tenemos que ingresar la tabla de conectividad, que resultara tedioso si la estructura
consta de muchos elementos. La ventaja de este mtodo es la facilidad de clculo por
medio del MATLAB, en nuestro caso, ya que se sigue una rutina y es de fcil clculo
para un nmero de elementos muy grande, que resultara casi imposible de resolverlo
analticamente.