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Geometria eTrigonometria
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Geometria e Trigonometria
Elementos de um tringulo retngulo
O tringulo ABC da figura representa um tringulo retngulo em A .
( reto)
O lado oposto ao ngulo reto
chamado de hipotenusa,enquanto os outros dois sochamados catetos.
ra!ando a altura relati"a # hipotenusa, temos as medidas h, me n.
$ h% medida da altura relati"a # hipotenusa&$ m% medida da pro'e!o do cateto
sore a hipotenusa&$ n% medida da pro'e!o do cateto
sore a hipotenusa.
a
A
B C
c
cateto
cateto
hipotenusa
CB
A
c
a
h
m n
*
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Geometria e Trigonometria
Teorema ou relao de Pitgoras
+amos eemplificar a rela!o de -itgoras "ista no ano anterior para umcaso particular%
A rela!o ou teorema de -itgoras enunciada%
/m todo tringulo retngulo, o quadrado da medida da hipotenusa (a) igual # soma dos quadrados das medidas dos catetos (be c).
a*0 *1 c*
2
a c
C
B
A
3
4 0 1
4
a 0 2 0 3
c 0 4
a* *
c*
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Geometria e TrigonometriaDemonstrao do teorema de Pitgoras
/istem muitas formas de demonstrar esse teorema. +e'amos uma delas,aseada na semelhan!a de tringulos.
Considere um tringulo ABC, retngulo em A, com altura relati"a #hipotenusa.
A
emos que% a 0 m 1 n 5
CB
A
c
a
h
m n
3
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Geometria e Trigonometria
Colocando6os na mesma posi!o, podemos perceer os ladoscorrespondentes.
+amos considerar agora os tringulos BA e ABC.
Os dois tringulos t7m um ngulo reto e o ngulo B em comum.
O que eles t7m em comum8
Assim, os tringulos so semelhantes pelo caso de semelhan!a AA.
c*0 am *
ah 0 c 4
ch 0 m 3
0 0
c h
m
c
a
m h
c
c
a
2
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Geometria e Trigonometria+amos considerar agora os tringulos ABC e AC.
Os dois tringulos t7m um ngulo reto e o ngulo C em comum& portanto, sosemelhantes.
9o"amente, "amos refletir sore o que eles t7m em comum.
*0 an
ah 0 c
h 0 nc
2
4
: c*0 am *
*1 c*0 an 1 am
*1 c*0 a(n 1 m)
5a 0 m 1 nComo,
/nto, *1 c*0 a*
c
a
A
CB
A
C n
h
:
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Geometria e Trigonometria
Outras relaes mtricas importantes no tringulo retngulo
Assim como fi;emos anteriormente,ao oser"ar os dois tringulospodemos "erificar que eles so
semelhantes.
/m qualquer tringulo retngulo, o quadrado da medida da altura relati"a #hipotenusa igual ao produto das medidas das pro'e!
Logo,
h2= mn
A
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Geometria e Trigonometria
c*0 am *0 an
ah 0 c 4
O quadrado da medida de um cateto igual ao produto da medida da
hipotenusa pela medida da pro'e!o desse cateto sore a hipotenusa.
=a demonstra!o do teorema de -itgoras, "oc7 p?de notar que foramestaelecidas outras rela!
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Geometria e Trigonometria
c*0 am
ah 0 ca 0 m 1 n
esumindo, as rela!
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Geometria e Trigonometria
Aplicaes importantes do teorema de Pitgoras
Diagonal de um quadrado
O tringulo A=C retngulo em D.
-odemos aplicar ento o teorema de-itgoras%
-ortanto, a medida da diagonal de um quadrado sempre igual ao produto damedida de um lado por .
=ado um quadrado ABC= qualquer, cu'o lado mede , como encontrar amedida (d) da diagonal desse quadrado em fun!o de 8
A B
C=
d
d*0 *1 *
d*0 * *
d 0d 0
2
5D
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Geometria e TrigonometriaAltura de um tringulo equiltero
O tringulo AB retngulo em .
+amos aplicar o teorema de -itgoras%
=ado um tringulo equiltero ABC qualquer, cu'o lado mede , como podemosencontrar a medida (h) da altura desse tringulo em fun!o de 8
-ortanto, a medida da altura igual ao produto da metade da medida de umlado por .
h*1 0 * h 0 ou*
h*0 * E *
h*0 *
h 0 ou
h 0 .
55
A
B C
h
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Geometria e TrigonometriaDiagonal de um bloco retangular
!aso particular" diagonal do
cubo
Consideremos um loco retangular cu'as arestas medem a, b, c, a diagonal deuma face mede d ea diagonal do loco mede D.
O tringulo B/ retngulo em Ee sua hipotenusa mede D, mas paracalcul6la precisamos encontrar o "alor de d.
Aplicando o teorema de -itgoras%
d*0 a*1 *
=*0 d*1 c*
=*0 a*1 *1 c*
O cuo um caso particular do locoretangular em que a 0 0 c 0 & assim%
A
B C
I
E F
HH
D
d
ab
c
= 0
5*
A
B C
D
I
F
HG
E
d
0 0= 0 2 + 2+ 2 2
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Geometria e Trigonometria
Outras situaes que en%ol%em as relaes mtricas no tringulo
retngulo
Os ternos pitag&ricos
ernos de nGmeros inteiros positi"os a, be cque oedecem # rela!oa*0 *1 c*so chamados ternos pitagricos.
ente pensar em um terno pitagHricoI
Os mais conhecidos so%
4,3,2
2, 5*, 54
5
4
3
53
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Geometria e Trigonometria
!lassi#icao dos tringulos quanto aos ngulos conhecendo'se
as medidas de seus tr$s lados(
Considere a, be cas medidas dos tr7s lados de um tringulo, na mesmaunidade de medida, com asendo a medida do lado maior.
-odemos classificar o tringulo com rela!o a seus ngulos internos%
J saemos que, se a*
0 *
1 c*
, temos um tringulo retngulo.Ke a*L *1 c*, temos um tringulootusngulo.
Ke a*M *1 c*, temosum tringulo acutngulo.
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Geometria e Trigonometria
)elaes mtricas na circun#er$ncia
)elao entre duas cordas de uma circun#er$ncia
Considerando os tringulos A-C e =-B, temos%
ngulos inscritos de mesmo arco
ngulos opostos pelo "rtice
-odemos concluir, ento, que os tringulos so semelhantes. Nogo,
Assim, demonstramos que%
/m toda circunfer7ncia, quando duas cordas secru;am, o produto das medidas das duas partes
de uma igual ao produto das medidasdas duas partes de outra.
C
D
B
A
P9a circunfer7ncia ao lado, e so duas cordas quese cru;am no ponto P.
A- (B- 0 C- (=-
0 0
5:
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Geometria e Trigonometria)elao entre dois segmentos secantes a uma circun#er$ncia
/m toda circunfer7ncia, se tra!amos dois segmentos secantes a partir de ummesmo ponto, o produto da medida de um deles pela medida da sua parte
eterna igual ao produto da medida do outro pela medida da sua parteeterna.
Ou se'a, -A (-B 0 -C (-=
A B
=
C
-
5>
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Geometria e Trigonometria)elao entre um segmento secante e um segmento tangente a uma
circun#er$ncia
Oser"ando os tringulos -AC e -BA, temos%
ngulo comum
ngulo de segmento e nguloinscrito de mesmo arco
A
B
C-
9a circunfer7ncia aaio, a partir do ponto P, temos um segmento tangente e um segmento secante .
5@
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Geometria e Trigonometria-elo caso AA, os tringulos -AC e -BA so semelhantes. -ortanto, os lados
homHlogos t7m medidas proporcionais%
/m toda circunfer7ncia, se tra!amos, a partir de um mesmo ponto, umsegmento tangente e um segmento secante, o quadrado da medida dosegmento tangente igual ao produto da medida do segmento secantepela medida da sua parte eterna.
(-A)*0 -B (-C0 0
5
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Geometria e Trigonometria
A ideia de tangente
tg = = ndice de subida
*D
alturaafastamento
percurso
afastamento
altura
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Geometria e Trigonometria
cos =
A ideia de cosseno
**
afastamentopercurso
afastamento
percurso
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Geometria e Trigonometria
sen (0 < < 90)
*4
O= O O0 0 0OC O/ OP
C= / P0 0 0OC O/ OP
C= / P0 0 0O= O O
cos (0 < < 90)
tg (0 < < 90)
Definio de seno, cosseno e tangente por semelhana
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Geometria e Trigonometria
*2
Outras relaes
Relaes entre seno, cosseno e tangente
c
5c
5tg Q
5
tg Qtg 0 0 0 tg 0
a
sen 0 0 cos Q
cacos 0 0 sen Q
0 0 % 0 . 0 0 tg 0 tg
Q
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Geometria e Trigonometria
sen cos tg
30
45
60
*:
1
5*
4*
44
**
**
4
*
5
* 4
Razes trigonomtricas para ngulos de 30, 45 e 60
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Geometria e Trigonometria
Substituindoh2de (II) em (I), temos:
*>
a2= h2+ (b x)2
c2= h2+ x2
a2= h2+ b2 2bx + x2(I)
h2= c2 x2(II)
a2= c2 x2+ b2 2bx + x2a2= b2+ c2 2bx
Como x = c.cos , temos:a2= b2+ c2 2b.cos
para ngulos agudos.
Lei dos cossenos
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Geometria e Trigonometria
*@
a2= h2+ (b + x)2 a2= h2+ b2+ 2bx + x2(I)
c2= h2+ x2 h2= c2 x2(II)
Substituindoh2de (II) em (I), temos:
a2= c2 x2+ b2+ 2bx + x2
a2= b2+ c2+ 2bx
Como x = c.cos BH e o cosseno de umngulo igual ao oposto do cosseno doseu suplemento (cos = cos(180 )),temos:
a2= b2+ c2+ 2b.c.cos BHoua2= b2+ c2 2bc.cos para ngulos obtusos.
Lei dos cossenos
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Geometria e Trigonometria
Portanto:
*
sen = ou
sen = ouh = c.sen
h = a.sen
hc
ha
Ento,c.sen = a.sen
Ke tra!armos a altura relati"a aongulo , oteremos%
Lei dos senos
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Geometria e Trigonometria
Portanto:
4D
hasen = ou
Lei dos senos
h = a.sen
sen (180 ) =hc e como sen (180 ) = sen ,
ento sen = ouhc h = c.sen
Ento:a.sen = c.sen
Considerando a altura relativa ao ngulo
chegamos a:
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Geometria e Trigonometria
A altura de cada um desses tringulosissceles chamada de aptema dopolgono regular. O aptema tambmmediana e bissetriz, pois os tringulos soissceles.
45
Uso das relaes trigonomtricas em polgonosregulares inscritos em uma circunferncia
Ligando o centroOa todos os vrtices,obtemos cinco tringulos.Cada ngulo central mede 72, medidaque se obtm fazendo 360: 5.Cada um dos cinco tringulos obtidos issceles, com lados medindor,re .Cada um desses tringulos issceles temngulos de 72, 54e 54.
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Geometria e Trigonometria
4*
4*
6ar r 4
r 4*
r *
r **
r 4
r*
Generalizaes: hexgono, quadrado e tringulo regulares
, pois o tringulo equiltero.:0 r
cos 4D 0 0
a:0
*a:0
Fuadrado
30
a30 0
ringulo equiltero
40
a40