Lista 6 - FVVFuncoes de varias variaveis: integral tripla.

1◦ quadrimestre de 2014 - Professor Maurıcio Richartz

Leitura mınima recomendada: Stewart (7a ed.) - secoes 15.7 (integrais triplas) ate 15.9 (inte-grais triplas em coordenadas esfericas).Obs: a maioria dos exercıcios foi retirada/adaptada dos livros do Stewart, do Anton e do Apostol.

1 — Calcule as integrais abaixo:

a)∫20

∫z20

∫y−z0 (2x− y) dxdydz,

b)∫10

∫10

∫√1−z20

zy+1 dxdzdy,

c)∫21

∫2z0

∫ln(x)0 xe−y dydxdz,

d)∫ π2

0

∫y0

∫x0 cos(x+ y+ z) dzdxdy,

2 — Faca um esboco da regiao de integracao e calcule∫∫∫D

f(x, y, z)dV nos seguintes casos:

a) f(x, y, z) = y e D e o solido limitado pelos planos x = 0, y = 0, z = 0 e 2x+ 2y+ z = 4

b) f(x, y, z) = xy e D e o solido limitado pelo cilindro y2 + z2 = 9 e pelos planos x = 0, y = 3x ez = 0 no primeiro octante.

c) f(x, y, z) = xy e D e o solido limitado pelos cilindros parabolicos y = x2 e x = y2 e pelos planosz = 0, z = x+ y.

3 — Sabendo que o volume de um solido R pode ser calculado atraves da integral∫∫∫R

dV, determine

o volume dos seguintes solidos:

a) Tetraedro limitado pelos planos x+ 2y+ z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 0. (ex. 5e - lista 5)

b) Tetraedro de vertices (0, 0, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 0) e (1, 0, 1).

c) O solido limitado pelos paraboloides y = x2 + z2 e y = 8− x2 − z2.

d) O solido limitado pelo cilindro x2 + z2 = 4 e pelos planos y = −1 e y+ z = 4.

e) Esfera de raio R (ex. 6d - lista 5).

f) O solido limitado abaixo pelo cone z =√x2 + y2 e acima pela esfera x2 + y2 + z2 = 1 (ex. 6e -

lista 5)

4 — Faca um esboco do solido cujo volume e calculado pela integral dada. Em cada caso, calculetambem a integral.

a)∫ π2

0

∫20

∫9−r20 rdzdrdθ, b)

∫ π6

0

∫ π2

0

∫30 ρ

2senφdρdφdθ,

5 — Use coordenadas cilındricas e/ou esfericas para calcular∫∫∫D

f(x, y, z)dV, fazendo um esboco da

regiao de integracao em cada caso:

a) f(x, y, z) =√x2 + y2 e D e o solido delimitado pelo cilindro x2 + y2 = 16 e pelos planos x = 0,

y = 0, z = −5 e z = 4.

b) f(x, y, z) =√x2 + y2 eD e o solido limitado abaixo pelo plano xy e acima pela esfera x2+y2+z2 =

1.

c) f(x, y, z) = x e D e o solido delimitado pelos cilindros x2 + y2 = 4 e x2 + y2 = 9 e pelos planosz = 0 e z = x+ y+ 3.

d) f(x, y, z) = e√x2+y2+z2 e D e o solido delimitado pelo esfera x2+y2+ z2 = 9 no primeiro octante.

6 — (Exercıcio Extra - Mudanca de coordenadas) Aprendemos a usar coordenadas cartesia-nas/polares para calcular integrais duplas e coordenadas cartesianas/cilındricas/esfericas para calcularintegrais triplas, mas essas nao sao as unicas possibilidades. De acordo com a simetria do problema,a escolha adequada das coordenadas pode simplificar bastante os calculos.

a) Leia a secao 15.10 do Stewart sobre mudanca de coordenadas em integrais multiplas. Voceaprendera, entre outras coisas, o que e o Jacobiano de uma mudanca de coordenadas.

b) A partir do Jacobiano, mostre que dA = rdrdθ para coordenadas polares, dV = rdrdθdz paracoordenadas cilındricas e dV = ρ2senφdrdθdφ para coordenadas esfericas.

c) Calcule as integrais abaixo fazendo uma mudanca apropriada de coordenadas:

i)∫∫R

x−2y3x−ydA onde R e o paralelogramo delimitado pelas retas x = 2y, x = 2y+ 4, 3x = y+ 1

e 3x = y+ 8.

ii)∫∫R

(x+ y)ex2−y2dA onde R e o retangulo delimitado pelas retas x = y, x = y+ 2, x = −y e

x = −y+ 3.

2