Post on 19-Apr-2015
SISTEMA DE EDPS COM DOIS POTENCIAIS ACOPLADOS
Luiz Antonio Righi – DESP/CT - 07.10.2013
ORGANIZAÇÃO
Eletromagnetismo e as EDPs Tensor de relutividade ou permeabilidade Forma fraca do método de Elementos Finitos Proposta de EDP com dois potenciais Questões para discussão
ELETROMAGNETISMO E AS EDPS - 1
O eletromagnetismo se estabelece a partir das quatro equações diferenciais de Maxwell
H – campo magnético [A/m] B - indução magnética [T] E – campo elétrico [V/m] D – indução elétrica [C/m2]
vD
t
BE
B
t
DJH
0
Eletrostática Magnetostática
ELETROMAGNETISMO E AS EDPS - 2
Considerando as derivadas parciais no tempo muito pequenas, podemos separar as equações de Maxwell em dois grupos:
0
B
JH
vD
E
0
LEIS DO MAGNETISMO
Regra da mão direita
H
Lei de Gauss do magnetismo
Elas são totalmente independentes!
ELETROMAGNETISMO E AS EDPS - 3
A solução de cada problema é feito com um potencial escalar ou vetorial.
Na magnetostática (nossa área de interesse), utilizamos principalmente o potencial vetor magnético A e o tensor de relutividade.
0
B
JH
JA
AB
BH
TENSORES DO MAGNETISMO - 1
O tensor (termo mais geral) é a relação entre os dois campos vetoriais, que modelam o sistema físico real.
No magnetismo: tensores de relutividade ou permeabilidade
HB
BH
1
TENSORES DO MAGNETISMO - 2
A dimensão do tensor depende do tipo de problema: 1D, 2D ou 3D.
Qualquer relação entre dois vetores pode ser escrita como:
ROTAÇÃOXGANHOou
• Esta regra vale em 1D, 2D ou 3D.• Outras matrizes podem ser
“diagonalizadas” em uma matriz de rotação.
TENSOR=GANHO X ROTAÇÃO
TENSORES DO MAGNETISMO - 3
No caso 2D (mais didático), a matriz de rotação é
cossen
sen-cosROTAÇÃO
• E o tensor característico do material pode ser o tensor de relutividade
• Os termos da matriz são obtidos com o modelo de histerese.
-
TENSORES DO MAGNETISMO - 4
Modelo de histerese: Langevin + “Histerese”
Y
X
H(x,y)
B(x,y)
CALCULANDO O TENSOR ANALITICAMENTE
Considerando duas funções escalares f(x,y) e g(x,y), podemos calcular os termos do tensor, fazendo as derivadas parciais de f e g ...
LAPLACIANO ENTRE DUAS FUNÇÕES
Em que situações isto é ou não é válido?
TENSOR = RELAÇÃO ENTRE “STREAM” E “EQUIPOTENTIAL LINES”
O tensor relaciona duas funções quaisquer,
que têm derivadas parciais contínuas,
e uma relação entre seus laplacianos.
Isto permitiria montar um sistema de equações diferenciais parciais, tendo os dois potenciais como incógnitas.
FORMA FRACA DO MEF - 1
Vamos considerar o potencial vetor e a densidade de corrente J no caso 2D, orientado segundo o eixo z
JA
JA
• E ainda, desconsiderando os termos fora da diagonal principal da matriz de rotação, tem-se o laplaciano ou Eq. de Poisson:
Jy
A
x
A
2
2
2
2
FORMA FRACA DO MEF - 2
Adotando elementos finitos triangulares, o potencial em cada nó pode ser a equação de um plano
• E, como a indução B é o rotacional de A:
qx
AB
ry
AB
y
x
ryqxpA
FORMA FRACA DO MEF - 3
Podemos definir o funcional, correspondendo a um estado de mínimo. JABBF
2
1
• cuja derivada de em relação a A resulta no sistema matricial JAM
onde: [M] é a matriz de rigidez; [A] é o vetor dos potenciais (incógnitas); e [J] é o vetor das fontes.
PROPOSTA COM DOIS POTENCIAIS - 1 Barra imantada (B.D.Cullity):
a formulação clássica de A não se aplica neste caso!?
• O campo magnético obtido pelo MEF é:
BBH
PROPOSTA COM DOIS POTENCIAIS - 2 Casos onde H e B não são colineares: campo girante de máquinas elétricas cantos de núcleos de transformadores presença de saturação e histerese.
PROPOSTA COM DOIS POTENCIAIS - 3 Campos H e B colineares (dois
potenciais ortogonais):
PROPOSTA COM DOIS POTENCIAIS - 4 H e B não colineares (os dois
potenciais não são ortogonais):
PROPOSTA COM DOIS POTENCIAIS - 5 Forma fraca com f(x,y) e g(x,y)
PROPOSTA COM DOIS POTENCIAIS - 6
AB
H
1. Potencial escalar magnético2. Potencial vetor magnético.
PROPOSTA COM DOIS POTENCIAIS - 7 Sistema linear para [A] e [phi]:
onde:
QUESTÕES PARA DISCUSSÃO
Existe forma forte? Como seria possível obter a forma
forte? Quais as aplicações do modelo? Existem outras equações semelhantes? Como obter uma solução
analiticamente, para uma configuração mais simples?
Seria aplicável a outros métodos numéricos, como das diferenças finitas?
OBRIGADO PELA ATENÇÃO.
Prof. Luiz Antonio Righi
www.ufsm.br/righi (55) 3220 8147