UNSAACUNSAACLic. Guillermo Mario, Chuquipoma Pacheco

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Métodos NuméricosMétodos Numéricos

Lic. Guillermo Mario Chuquipoma PachecoLic. Guillermo Mario Chuquipoma Pacheco 20102010

MétodoMétodo de Newtonde Newton--RaphsonRaphson

MétodoMétodo de Newtonde Newton--RaphsonRaphson

( ) kf xx x= −

Fórmula iterativa de Newton-Raphson

Tal vez, de las fórmulas para localizar raíces, la fórmula de Ne wton-Raphsonsea la más ampliamente utilizada. Es un método abierto que usa laaproximación de línea recta que es la tangente a la curva.

1

( )

'( )k

k kk

f xx x

f x+ = −

InterpretaciónInterpretación gráficagráficadel del

MétodoMétodo dedeMétodoMétodo dedeNewtonNewton--RaphsonRaphson

0 0( , ( ))x f x

MétodoMétodo de Newtonde Newton--RaphsonRaphson

( )y f x=

0x

'( )km f x=

1x2x3x

Raíz

1 1( , ( ))x f x

2 2( , ( ))x f x3 3( , ( ))x f x

La formula La formula iterativaiterativa de de NewtonNewton--RaphsonRaphson

( , ( ))k kx f x

Formula Formula iteracióniteración dedeNewtonNewton--RaphsonRaphson

( ) kf xx x= −

1

0 ( )k

k kxm

f x

x +

−=− 1

'( )( )

kk

k k

f xf

xx

x+

−=−⇒

( ,0)kx

'( )km f x=

1( ,0)kx +

1

( )

'( )k

k kk

f xx x

f x+ = −

'( ) 0kf x ≠

⇒

( )y f x=

De acuerdo con la serie truncada de Taylor :

2''( ( ))( ) ( ) '( )( ) ( )

2

f xf x f a f a x a x a

ξ= + − + −= + − + −= + − + −= + − + −

OtraOtra maneramanera de de obtenerobtenerla formula de Newtonla formula de Newton--RaphsonRaphson

1kx x ++++==== ka x====Haciendo cambio de Variable 1kx x ++++==== ka x====

211 1 1

''( ( ))( ) ( ) '( )( ) ( )

2k

k k k k k k kf x

f x f x f x x x x xξ ++++

+ + ++ + ++ + ++ + += + − + −= + − + −= + − + −= + − + −

1 0k kx x++++ − ≈− ≈− ≈− ≈ 1( ) 0kf x ++++ ====

10 ( ) '( )( )k k k kf x f x x x++++= + −= + −= + −= + − ⇒⇒⇒⇒ 1( )

'( )k

k kk

f xx x

f x++++ = −= −= −= −

Haciendo cambio de Variable

Considerando:

Método de Newton-Raphson

Se ejecuta la iteración como: = − anteriornuevo anterior

anterior

f(x )x x

f '(x )

Algoritmo del método de Newton-Raphson

Proceso de iteración:

inicializa: x0 = . . .

inicia_iteración k = 0,1, 2, . . .

xk+1 = xk - f( xk )/ f ’(xk )

Si converge,que pare en alguna iteración

fin_de_iteración

Método de NewtonMétodo de Newton-- RaphsonRaphsonEN MATLABEN MATLAB

Ejemplo:Usar una iteración simple de punto fijo para hallar un valor aproximadoa la raíz de:

SoluciónConsideramos: xf(x) xe−= −

x x 0e− − =

−= − −xf '(x) 1e

=0Punto inicial x 0

Crear el archivo m-file de la función de f.mfunction y=f(x)y=exp(-x)-x;

Crear el archivo m-file de la derivada de la función f1.mfunction y=f1(x)y=-exp(-x)-1;

f(x) xe= − = − −f '(x) 1e

function [x,iter] = newton1(f,f1,x0,maxiter)iter = 0;disp('i xi');while iter < maxiter

Método de Newton-Rahson

Escribir en un archivo m-file con el nombre de newton1.m

while iter < maxiterdisp(sprintf('%-3d %2.15f ',iter,x0));

x = x0 - feval(f,x0)/ feval(f1,x0);iter = iter + 1;x0 = x;

end

Guardar en su área de trabajo…

En la línea de comandos escribir:>> newton1( ‘f ‘, ‘f1‘,0,100)

Ejercicio

DESVENTAJAS DEL MÉTODO DE NEWTON RAPHSON

El método es muy eficiente, aunque hay situaciones en que se c omportaen forma deficiente. Un caso especial en raíces múltiples, y cuando laderivada de la función es compleja de realizar.

( )f x

x1x

DESVENTAJAS DEL MÉTODO DE NEWTON RAPHSON

2x0x1x

X

En este caso en el que existe un punto de inflexión, f’’(x)=0 e n la vecindadde una raíz, con lo que las iteraciones divergen rápidamente y no esposible hallar el cero.

( )f x

DESVENTAJAS DEL MÉTODO DE NEWTON RAPHSON

0x 1x X2x

En este caso de algunas iteraciones la pendiente se hace cerc ana a cero, loque hace que el próximo valor encontrado salga del área de int erés ydiverja.

( )f x

2xx

1x

0x X

En este caso existen raíces cercanas, dado un valor inicial n o se acerca a laraíz más cercana, lo que hace que el próximo valor encontrado salga delárea de interés y diverja.

( )f x

0x 1x X

En este caso se observa que en la segunda iteración la pendien te es cero yel valor se dispara horizontalmente al infinito. Estas posib ilidades traenconsigo una división por cero, que hacen fallar el método.

GRACIAS POR SU ATENCIÓNGRACIAS POR SU ATENCIÓN

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