Post on 12-Jul-2022
MAE 317
Planejamento de
Experimentos I
Delineamento Fatorial
Profa. Júlia Maria Pavan Soler
pavan@ime.usp.br
IME/USP
Delineamento Completmente Aleatorizado
DCA - Um Único Fator
F.V. g l SQ QM F p
ENTRE K-1
DENTRO N-K
TOTAL N-1
2)( yyn jj
ij
jij yy 2)(
ij
ij yy 2)(
SQE / (K-1)
SQR / (N-K)
QME / QMR
0. . .:. . .: 110210 kk HH
i jii jii jy 2
1
;0~;0 Ni j
k
i
i
F = F (K-1,N-K ) QME
QMR
Delineamento Fatorial
A1 A2 . . . Aa
B1 B2 ... Bb B1 B2 ... Bb . . . B1 B2 ... Bb
Yijk
• Estrutura de Tratamento 2 ou + Fatores Cruzados
• Atribuição completamente aleatória das unidades amostrais aos k=ab tratamentos
• Replicações em cada combinação dos níveis dos fatores
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
DCA: Fatorial a x b
Exemplo Dados: Medidas de clorofila a
Fatorial 2x2: 4 Tratamentos
T1 T2 T3 T4
6,2 12,7 7,0 8,3
4,8 11,3 4,4 7,1
3,0 9,3 3,8 11,7
5,6 9,5 5,0 10,0
7,1 11,7 5,5 8,5
4,8 15,3 3,2 12,4
30% 100%
SN N SN N
Luminosidade
Nutrientes
2 fatores,
cada um
em dois
níveis
Results for Lumino = 1
Variable Nutri N Mean SE Mean StDev
Clora 1 6 5,250 0,575 1,408
2 6 11,633 0,907 2,222
Results for Lumino = 2
Variable Nutri N Mean SE Mean StDev
Clora 1 6 4,817 0,550 1,348
2 6 9,667 0,847 2,075
21
12
11
10
9
8
7
6
5
4
Nutri
Me
an
1
2
Lumino
Interaction Plot for CloraData Means
Gráfico de perfis de médias
Gráfico de perfis de
médias: representação das
(ab=4) médias para melhor
visualização do efeito de
interação entre os fatores.
(Compare com os box-
plots dos quatro grupos)
Análise
Descritiva
Perfis de Médias – Efeito de Interação
Fatorial 2x2
A1 A2
B1
B2
A1 A2
B1
B2
A1 A2
B1
B2
A1 A2
B1
B2
Existência de Interação Não Existência de Interação
Efeito
principal
somente
de B
Efeito
principal
tanto de A
como de B
A direção da
diferença
entre as
médias de B
muda de
acordo com o
nível de A
A
magnitude
do Efeito
de B muda
de acordo
com o nível
de A
Tabela de ANOVA
DCA com um único Fator em k níveis
F.V. g l SQ
ENTRE k-1
DENTRO n-k
TOTAL n-1
2)( yyn jj
ij
jij yy 2)(
ij
ij yy 2)(
Fator A a-1
Fator B b-1
Interação A*B (a-1)*(b-1)
(a-1)+(b-1)+(a-1)(b-1)=ab-1=k-1
k=ab, n=abr nj=r
Particionar a soma de quadrados e o número de graus de liberdade
ENTRE tratamentos em termos de efeitos principais e de interação
entre os fatores
Modelo Teórico
2;0~ Ni j k
Componente aleatório:
modela a variância de Y
: desvio em relação à média geral devido ao efeito principal do
fator A no nível i
ijkijji
ijkijijky
componente fixo: modela
o valor esperado de Y
.ii
jj .
01111
b
j
ij
a
i
i j
b
j
j
a
i
i
: desvio em relação à média geral devido ao efeito principal do
fator B no nível j
Modelo Teórico
2;0~ Ni j k
é o efeito de interação entre os fatores, isto é, o quanto a média
conjunta dos fatores se desvia do efeito aditivo dos mesmos.
Este parâmetro mede a diferença do efeito do fator A em cada nível do
fator B.
;i j ki jjii j ki ji j ky
jii jjii jjii ji j ....
01111
b
j
ij
a
i
i j
b
j
j
a
i
i
ij
Modelo Teórico
i j ki jjii j ki ji j ky
Modelo Aditivo (reduzido): i j kjii j ky
Para um delineamento Fatorial 2x2, escreva, na forma matricial, o
modelo completo formulado com a parametrização de desvios em
relação à média.
Considere também a parametrização do modelo em termos das 4 médias.
Modelo Completo: inclui os efeitos principais e de
interação entre os fatores
Modelo Teórico
;ijkijjiijkijijky
112211121121
12121
1
1221
1
1221
1
1221
1
;;
00;00
00;00
iii
b
j
ijjjjj
a
i
ij
b
j
j
a
i
i
kkk
kkk
kkk
kkk
y
y
y
y
111111222222
211111212121
111111121212
111111111111
;
;
;
Dados de Clorofila a
Matriz de Planejamento
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 -1 -1
1 1 -1 -1
1 1 -1 -1
1 1 -1 -1
1 1 -1 -1
1 1 -1 -1
1 -1 1 -1
1 -1 1 -1
1 -1 1 -1
1 -1 1 -1
1 -1 1 -1
1 -1 1 -1
1 -1 -1 1
1 -1 -1 1
1 -1 -1 1
1 -1 -1 1
1 -1 -1 1
1 -1 -1 1
12414424124 eXY
Descreva cada parâmetro do modelo em termos de
contrastes ortogonais entre as 4 médias conjuntas.
Proponha uma estatística F para testar cada contraste
ortogonal separadamente.
Como construir uma única estatística F para testar
simultâneamente estes 3 contrastes ortogonais?
Delineamento Fatorial 2x2
A terceira coluna é
o produto da
segunda e terceira
Modelo Teórico
;ijkijjiijkijijky
jj
ii
a
i
b
j
ij
a
i
ij
j
b
j
ij
i
jiijjiij
abab
.
.
1 1
1.
1
.
..
1;
“Fontes de Variabilidade”
Delineamento Fatorial
)()()()( .... i ji j kjii jjii j k yyyyyyyyyyyy
SQTotal SQA SQResid SQB SQA*B
Efeito principal
dos fatores A e B
Efeito de interação
Elevando ao
quadrado e aplicando
o somatório em ijk:
)()()()( .... i ji j kjii jjii j k yyyyyyyyyyyy
Identidade útil
“Fontes de Variabilidade”
Delineamento Fatorial
ijk
ijij
ij
jiij
b
j
j
a
i
i
ijk
ijk
yyyyyyr
yyrayyrbyy
22
..
1
2
.
1
2
.
2
Mostre que a soma dos três primeiros termos (efeitos principais e de interação) é a
soma de quadrados do efeito (total) dos tratamentos com (k-1) graus de liberdade:
ij
ij yyr2
SQTotal = SQ(A) + SQ(B) + SQ(A*B) + SQRes
Tabela de ANOVA
DCA – Fatorial axb
F.V. g.l. SQ QM F
Total n-1
i j k
i ji j k yy 2)(
i j k
i j k yy 2)(
Fator A a-1 QM(A) QM(A)/QMRes
Fator B b-1 QM(B) QM(B)/QMRes
Interação A*B (a-1)(b-1) QM(A*B) QM(A*B)/QMRes
Resíduo n-k QMRes
i
i yybr 2
. )(
j
j yyar 2
. )(
i j
jii j yyyyr 2
.. )(
Testar primeiro o efeito de interação (H01: ij=0)
Se H01 for rejeitada, realizar comparações múltiplas para estudar o efeito de interação
Se H01snão for rejeitada, testar os efeitos principais dos fatores (modelos reduzidos, aditivos)
“Fontes de Variabilidade”
Delineamento Fatorial
Mostre que:
1
)(
Re
1
2
2
2
arbAQME
sQME
a
i
i
SQTotal = SQ(A) + SQ(B) + SQ(A*B) + SQRes
(abr – 1) = (a – 1) + (b – 1) + (a - 1)(b – 1) + (abr – ab)
)1)(1(
)*(
1)(
2
2
1
2
2
barBAQME
braBQME
ij
ij
b
j
j
Graus de liberdade
=ab(r-1) O resíduo é um
efeito de interação
ANÁLISE DE VARIÂNCIA – MODELO COMPLETO – Fatorial 2x2
Factor Type Levels Values
Lumino fixed 2 1 2
Nutri fixed 2 1 2
Analysis of Variance for Resp
Source DF SS MS F P
Lumino 1 8.640 8.640 2.65 0.119
Nutri 1 189.282 189.282 58.04 0.000
Lumino*Nutri 1 3.527 3.527 1.08 0.311
Error 20 65.230 3.261
Total 23 266.678
Concl. ?
Escreva a
hipótese H0.
Compare o valor da soma destas
SQ com a SQTrat no DCA!
Tabela de ANOVA DCA com um único fator em 4 níveis.
5,02,50,0-2,5-5,0
99
90
50
10
1
Residual
Pe
rce
nt
1210864
4
2
0
-2
-4
Fitted Value
Re
sid
ua
l
43210-1-2-3
4,8
3,6
2,4
1,2
0,0
Residual
Fre
qu
en
cy
24222018161412108642
4
2
0
-2
-4
Observation OrderR
esid
ua
l
Normal Probability Plot Versus Fits
Histogram Versus Order
Residual Plots for Clora
Análise de Diagnóstico
Quais são as suposições adotadas no modelo de ANOVA?
As suposições estão satisfeitas?
Para os dados de Clorofila a calcule os valores ajustados da resposta e os resíduos.
ANÁLISE DE VARIÂNCIA – MODELO REDUZIDO
EFEITOS PRINCIPAIS
Source DF SS MS F P
Lumino 1 8,640 8,640 2,64 0,119
Nutri 1 189,282 189,282 57,81 0,000
Error 21 68,757 3,274
Total 23 266,678
S=1,80945 R=74,22%
R(adj)=71,76%
21
11
10
9
8
7
6
5
21
Lumino
Me
an
Nutri
Main Effects Plot for CloraData Means
Concl. ?
ANÁLISE DE VARIÂNCIA – MODELO “MAIS” REDUZIDO
EFEITO PRINCIPAL DE NUTRIENTES
Source DF SS MS F P
Nutri 1 189,28 189,28 53,80 0,000
Error 22 77,40 3,52
Total 23 266,68
S = 1,87564 R=70,98%
R(adj)=69,66%
21
11
10
9
8
7
6
5
Nutri
Me
an
Main Effects Plot for CloraData Means
Concl. ?
É necessário aplicar o teste
de Tukey neste caso?
O teste F apresentado é
equivalente a qual teste de
comparação de médias?
2
22 1,22t F
Teste t
sob homocedasticidade!
A B C D
I 0,31 0,82 0,43 0,45
0,45 1,1 0,45 0,71
0,46 0,88 0,63 0,66
0,43 0,72 0,76 0,62
II 0,36 0,92 0,44 0,56
0,29 0,61 0,35 1,02
0,4 0,49 0,31 0,71
0,23 1,24 0,4 0,38
III 0,22 0,3 0,23 0,3
0,21 0,37 0,25 0,36
0,18 0,38 0,24 0,31
0,23 0,29 0,22 0,33
Delineamento Fatorial 3x4
Resposta imunológica de acordo com o tipo de Agente
Infeccioso (I, II e III) e Espécie (A, B, C e D)
Há efeito do agente infeccioso e espécie da planta na
resposta imunológica?
Realize a análise destes dados.
Boxplot da resposta imunológica de acordo com os tratamentos.
Perfis de médias
Padrão de interação entre os
fatores agente infeccioso (fa)
e espécie da planta (fb)
Perfis de médias - Efeitos principais de cada fator sob estudo.
Médias Conjuntas
1 2 3 4
1 0.5025 0.6775 0.6575 0.6325
2 0.5700 0.5675 0.4775 0.5625
3 0.2625 0.2975 0.2775 0.2675
Médias Marginais
1 2 3
0.617500 0.544375 0.276250
1 2 3 4
0.4450000 0.5141667 0.4708333 0.4875000
Tabela de ANOVA:
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
fa 2 1.0330 0.5165 9.940 0.000365 ***
fb 3 0.0304 0.0101 0.195 0.899224
fa:fb 6 0.0711 0.0118 0.228 0.964912
Residuals 36 1.8706 0.0520
---
ANOVA:
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
trat 11 1.135 0.10313 1.985 0.0601 .
Residuals 36 1.871 0.05196
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
fa 2 1.0330 0.5165 9.940 0.000365 ***
fb 3 0.0304 0.0101 0.195 0.899224
fa:fb 6 0.0711 0.0118 0.228 0.964912
Residuals 36 1.8706 0.0520
Delineamento Fatorial 3x4
Resposta Imunológica
Conclusão?
Quais são os próximos passos da análise?
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
-0.2
0.0
0.2
0.4
Valores Ajustados
Resíduos
Resíduos vs Preditos
Delineamento Fatorial 3x4
Tempos de sobrevivência
Análise de resíduos: indicação
de heterocedasticidade.
Realize uma transformação dos
dados para estabilizar a
variância. Use a transformação
indicada segundo a técnica de
Box-Cox.
(Veja Aula CEC)
A1 A2
B1 B2 B3 B1 B2 B3
8 8 4 14 0 15
4 10 8 10 4 9
0 6 7 13 2 12
Delineamento Fatorial 2x3
Diâmetro do tumor após tratamento
Realize uma análise de variância destes dados: apresente o modelo estrutural e
distribucional, interprete os parâmetros, indique a formulação matricial do
modelo, realize uma análise descritiva, obtenha a tabela de ANOVA, defina as
hipóteses envolvidas, realize a análise de diagnóstico das premissas do modelo.
Quais as conclusões? Realize comparações múltiplas se necessário.
A1 A2
B1 4 (4) 12,33 (2,08) 8,17
B2 8 (2) 2 (2) 5
B3 6,33 (2,08) 12 (3) 9,17
6,11 8,78 7,44
Delineamento Fatorial 2x3: Diâmetro do tumor após tratamento
Estatísticas descritivas. Média e desvio padrão (entre parênteses).
; 1, 2, 3; 1, 2; 1, 2, 3ijk i j ij ijky e k i j
0i j ij ij
i j i j
Delineamento Fatorial 2x3: Diâmetro do tumor após tratamento
; 1, 2, 3; 1, 2; 1, 2, 3ijk i j ij ijky e k i j
0i j ij ij
i j i j
:
:
:
:
:
:
ijk
i
j
ij
ijk
y
e
diâmetro do tumor avaliado no indivíduo k do tratamento A no nível I e B no nível j
média basal do diâmetro do tumor idenpendentemente dos tratamentos
desvio da média basal devido ao efeito do tratamento A no nível i
desvio da média basal devido ao efeito do tratamento B no nível j
é o desvio da média conjunta imposto pelo efeito de interação entre os tratamentos.
é o componente aleatório do mpdelo devido ao efeito de erros não controlados no
experimento.
2 2~ 0; ; ~ ;ijk ijk ije N Y N
18 1 18 6 6 1 18 1Y X e
Delineamento Fatorial 2x3: Diâmetro do tumor após tratamento
1 1 1 0 1 0
1 1 1 0 1 0
1 1 1 0 1 0
1 1 0 1 0 1
1 1 0 1 0 1
1 1 0 1 0 1
1 1 -1 -1 -1 -1
1 1 -1 -1 -1 -1
1 1 -1 -1 -1 -1
1 -1 1 0 -1 0
1 -1 1 0 -1 0
1 -1 1 0 -1 0
1 -1 0 1 0 -1
1 -1 0 1 0 -1
1 -1 0 1 0 -1
1 -1 -1 -1 1 1
1 -1 -1 -1 1 1
1 -1 -1 -1 1 1
X=
Matriz de Planejamento
Vetor de parâmetros
1
1
2
11
12
Modelo matricial
Como a variável resposta que recebeu
A no nível 2 e B no nível 3 está
estruturada sob o modelo de ANOVA
com interação? E sob o modelo
reduzido com somente efeitos
principais dos fatores?
Delineamento Fatorial 2x3
Diâmetro do tumor após tratamento
Boxplot
Bartlett test of homogeneity of variances: K-squared = 1.595, df = 5, p-value = 0.9019
A1 A2
B1 4 (4) 12,33 (2,08) 8,17
B2 8 (2) 2 (2) 5
B3 6,33 (2,08) 12 (3) 9,17
6,11 8,78 7,44
Estatísticas descritivas. Média e desvio
padrão (entre parênteses).
Comente o padrão de variação das
médias.
Há evidência de variâncias
heterogêneas entre os grupos?
Delineamento Fatorial 2x3
Diâmetro do tumor após tratamento
Gráfico de Perfis de Médias
Delineamento Fatorial 2x3
Diâmetro do tumor após tratamento
Tabela ANOVA
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
A 1 32.00 32.00 4.608 0.05296 .
B 2 56.78 28.39 4.088 0.04427 *
A*B 2 174.33 87.17 12.552 0.00114 **
Residuals 12 83.33 6.94
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Conclusão!
Estimativas dos Parâmetros do Modelo
A1 A2
B1 4 12,33 8,17
B2 8 2 5
B3 6,33 12 9,17
6,11 8,78 7,44
Médias conjuntas e marginais.
33,444,7511,68ˆ
83,244,717,811,64ˆ
44,244,75ˆ
772,044,717,8ˆ
33,144,711,6ˆ
44,7ˆ
211..22121
111..11111
22.2
11.1
1.11
; 1, 2, 3; 1, 2; 1, 2, 3ijk i j ij ijky e k i j 0i j ij ij
i j i j
Delineamento Fatorial 2x3
Diâmetro do tumor após tratamento
Comparações Múltiplas de Tukey
Quais as conclusões sobre o efeito de
interação?
Tukey multiple comparisons of means
95% family-wise confidence level
Fit: aov(formula = resp ~ fa1 + fa2 + fa1 * fa2)
$fa1
diff lwr upr p adj
A2-A1 2.666667 -0.03998531 5.373319 0.0529613
$fa2
diff lwr upr p adj
B2-B1 -3.166667 -7.2256920 0.8923586 0.1355932
B3-B1 1.000000 -3.0590253 5.0590253 0.7918881
B3-B2 4.166667 0.1076414 8.2256920 0.0441382
$`fa1:fa2`
diff lwr upr p adj
A2:B1-A1:B1 8.3333333 1.106086 15.560580 0.0210126
A1:B2-A1:B1 4.0000000 -3.227247 11.227247 0.4680175
A2:B2-A1:B1 -2.0000000 -9.227247 5.227247 0.9311201
A1:B3-A1:B1 2.3333333 -4.893914 9.560580 0.8784933
A2:B3-A1:B1 8.0000000 0.772753 15.227247 0.0273035
A1:B2-A2:B1 -4.3333333 -11.560580 2.893914 0.3886729
A2:B2-A2:B1 -10.3333333 -17.560580 -3.106086 0.0044581
A1:B3-A2:B1 -6.0000000 -13.227247 1.227247 0.1272120
A2:B3-A2:B1 -0.3333333 -7.560580 6.893914 0.9999837
A2:B2-A1:B2 -6.0000000 -13.227247 1.227247 0.1272120
A1:B3-A1:B2 -1.6666667 -8.893914 5.560580 0.9668330
A2:B3-A1:B2 4.0000000 -3.227247 11.227247 0.4680175
A1:B3-A2:B2 4.3333333 -2.893914 11.560580 0.3886729
A2:B3-A2:B2 10.0000000 2.772753 17.227247 0.0057481
A2:B3-A1:B3 5.6666667 -1.560580 12.893914 0.1620495
Realize comparações múltiplas de
Tukey entre as médias de A dentro
dos níveis do fator B.
Construa o teste dos contrastes do efeito de
interação.
2;12; /2
1( Re )i jY Y q QM s
r
B1: 8.33 4.688
B2: -6.0 4.688
B3: 5.67 4.688
Realize comparações múltiplas entre
as médias de B dentro dos níveis do
fator A.
3;12; /2
1( Re )i jY Y q QM s
r
A1: 4.00 5.74 2.33 5.74 -1.67 5.74
A2:-10.33 5.74 -0.33 5.74 10.005.74
11 12 13 21 22 23
11 13 21 23
12 13 22 23
1 0 -1 -1 0 1
0 1 -1 0 -1 1
Conclusão?
Qual é o coletivo?
Conclusão? Qual é o coletivo?
Calcule também os intervalos de
Bonferroni para comparar as médias de A
dentro de B e de B dentro de A.
A1 A2
B1 B2 B3 B1 B2 B3
8 8 4 14 0 15
4 10 8 10 4 9
0 6 7 13 2 12
Delineamento Fatorial 2x3
Diâmetro do tumor após tratamento
A análise destes dados pode também ser feita via a formulação de um
modelo de regressão com variáveis indicadoras de efeito de tratamentos:
Veja a matriz de regressão definida a seguir:
1 1 1 2 2 3 11 1 2 12 1 3* * ; 1, 2, ...,18k k k k k k k k ijky X X X X X X X e k
Variáveis preditoras: X1 X2 X3 X1X2 X1X3
Modelo de regressão ajustado:
A B Repl Y X1 X2 X3 X1X2 X1X3
1 1 1 8 1 1 0 1 0
1 1 2 4 1 1 0 1 0
1 1 3 0 1 1 0 1 0
1 2 1 8 1 0 1 0 1
1 2 2 10 1 0 1 0 1
1 2 3 6 1 0 1 0 1
1 3 1 4 1 -1 -1 -1 -1
1 3 2 8 1 -1 -1 -1 -1
1 3 3 7 1 -1 -1 -1 -1
2 1 1 14 -1 1 0 -1 0
2 1 2 10 -1 1 0 -1 0
2 1 3 13 -1 1 0 -1 0
2 2 1 0 -1 0 1 0 -1
2 2 2 4 -1 0 1 0 -1
2 2 3 2 -1 0 1 0 -1
2 3 1 15 -1 -1 -1 1 1
2 3 2 9 -1 -1 -1 1 1
2 3 3 12 -1 -1 -1 1 1
Y = 7,44 - 1,33 X1 + 0,722 X2 - 2,44 X3 - 2,83 X1X2 + 4,33 X1X3
Formulação de Regressão do Modelo ANOVA
Formulação de Regressão do Modelo ANOVA
The regression equation is
Y = 7,44 - 1,33 X1 + 0,722 X2 - 2,44 X3 - 2,83 X1X2 + 4,33 X1X3
Predictor Coef SE Coef T P
Constant 7,4444 0,6211 11,99 0,000
X1 -1,3333 0,6211 -2,15 0,053
X2 0,7222 0,8784 0,82 0,427
X3 -2,4444 0,8784 -2,78 0,017
X1X2 -2,8333 0,8784 -3,23 0,007
X1X3 4,3333 0,8784 4,93 0,000
S = 2,63523 R-Sq = 75,9% R-Sq(adj) = 65,9%
Interprete as estimativas dos
coeficientes de regressão em
termos dos efeitos principais e
de interação do modelo de
ANOVA!
Teste dos dois contrastes ortogonais
representando o efeito de interação
Y = 7,44 - 1,33 X1 + 0,722 X2 - 2,44 X3 - 2,83 X1X2 + 4,33 X1X3
Formulação de Regressão do Modelo ANOVA
A1 A2
B1 4 12,33 8,17
B2 8 2 5
B3 6,33 12 9,17
6,11 8,78 7,44
Médias conjuntas e marginais.
33,444,7511,68ˆ
83,244,717,811,64ˆ
44,244,75ˆ
772,044,717,8ˆ
33,144,711,6ˆ
44,7ˆ
211..22121
111..11111
22.2
11.1
1.11
FV SQ gl QM
Modelo 263,111 5 52,622
X1 32,00 1
X2|X1 3,00 1
X3|X1,X2 53,78 1
X1X2|X1,X2,X3 5,33 1
X1X3|X1,X2,X3,X1X2 169,00 1
Resíduo 83,333 18-6 6,944
Total 346,444 18-1
SQM(X2|X1) = SQM(X1,X2) – SQM(X1) = SQRes(X1) – SQRes(X1,X2)
SQM(X3|X1,X2) = SQRes(X1,X2) – SQRes(X1,X2,X3)
SQM(X1X2|X1,X2,X3) = SQRes(X1,X2,X3) – SQRes(X1,X2,X3, X1X2)
SQM(X1X3|X1,X2,X3,X1X2) = SQRes(X1,X2,X3,X1X2) – SQRes(X1,X2,X3,X1X2,X1X3)
SQ(A*B)
174,33
SQ(B)
56,78
Formulação de Regressão do Modelo ANOVA
SQ(A)
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
A 1 32.00 32.00 4.608 0.05296 .
B 2 56.78 28.39 4.088 0.04427 *
A*B 2 174.33 87.17 12.552 0.00114 **
Residuals 12 83.33 6.94
Delineamento Completamente
Aleatorizado com Estrutura Fatorial 2K
Concentração de um metabólito de acordo com dois níveis
fixados de variáveis químicas da dieta.
A B C Y
1 - - - 60
2 + - - 72
3 - + - 54
4 + + - 68
5 - - + 52
6 + - + 83
7 - + + 45
8 + + + 80
Discuta características
deste delineamento:
• Tratamentos
• Réplicas
• Esqueleto da
ANOVA
• Estimativas dos
Efeitos
- : nível baixo do fator; +: nível alto do fator
Delineamento Completamente
Aleatorizado com Estrutura Fatorial 2K
Dados da concentração de um metabólito de
acordo com dois níveis dos fatores A, B e C.
A B C Y
1 - - - 60
2 + - - 72
3 - + - 54
4 + + - 68
5 - - + 52
6 + - + 83
7 - + + 45
8 + + + 80
> fiti2 <- aov(resp ~ fa1 + fa2 + fa3 + fa1*fa2
+ fa1:fa3 + fa2:fa3 + fa1:fa2:fa3)
> anova(fiti2)
Analysis of Variance Table
Response: resp
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
fa1 1 1058.0 1058.0
fa2 1 50.0 50.0
fa3 1 4.5 4.5
fa1:fa2 1 4.5 4.5
fa1:fa3 1 200.0 200.0
fa2:fa3 1 0.0 0.0
fa1:fa2:fa3 1 0.5 0.5
Residuals 0 0.0
Não há graus de liberdade para o Resíduo!
Solução: Incluir termos de interação de mais alta
ordem como fatores residuais.
Delineamento Completamente
Aleatorizado com Estrutura Fatorial 2K
> fiti1 <- aov(resp ~ fa1 + fa2 + fa3 + fa1:fa2 + fa1:fa3)
Analysis of Variance Table
Response: resp
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
fa1 1 1058.0 1058.00 4232 0.0002362 ***
fa2 1 50.0 50.00 200 0.0049628 **
fa3 1 4.5 4.50 18 0.0513167 .
fa1:fa2 1 4.5 4.50 18 0.0513167 .
fa1:fa3 1 200.0 200.00 800 0.0012477 **
Residuals 2 0.5 0.25
Fatores incluídos no resíduo (2 graus de Liberdade) que
não são significantes:
fa2:fa3 + fa1:fa2:fa3
SQResíduo = SQ(fa2:fa3) + SQ(fa1:fa2:fa3)
> tapply(resp,list(fa1,fa2), mean)
0 1
0 56.0 49.5
1 77.5 74.0
> fiti1.tu12 <- TukeyHSD(fiti1, "fa1:fa2")
> fiti1.tu12
Tukey multiple comparisons of means
95% family-wise confidence level
Fit: aov(formula = resp ~ fa1 + fa2 + fa3 + fa1:fa2 + fa1:fa3)
$`fa1:fa2`
diff lwr upr p adj
1:0-0:0 21.5 18.035527 24.96447342 0.0001277
0:1-0:0 -6.5 -9.964473 -3.03552658 0.0147557
1:1-0:0 18.0 14.535527 21.46447342 0.0005878
0:1-1:0 -28.0 -31.464473 -24.53552658 0.0000036
1:1-1:0 -3.5 -6.964473 -0.03552658 0.0490327
1:1-0:1 24.5 21.035527 27.96447342 0.0000276
Delineamento Completamente
Aleatorizado com Estrutura Fatorial 2K
Interprete os resultados das
comparações múltiplas de
Tukey entre pares de medias.
Delineamento Fatorial 2K
Concentração de um metabólito de acordo com dois níveis
fixados de variáveis químicas da dieta.
A B C Y
1 - - - 60
2 + - - 72
3 - + - 54
4 + + - 68
5 - - + 52
6 + - + 83
7 - + + 45
8 + + + 80
Estruturação
conveniente dos
dados para
estimação dos
efeitos principais e
de interação!
Delineamento 2K
Média A B C AB AC BC ABC Y
+ - - - + + + - 60
+ + - - - - + + 72
+ - + - - + - + 54
+ + + - + - - - 68
+ - - + + - - + 52
+ + - + - + - - 83
+ - + + - - + - 45
+ + + + + + + + 80
Média geral:
Efeito principal de A:
Efeito de interação de primeira ordem de AB:
60 72 54 68 52 83 45 80 51464,25
8 8
60 72 54 68 52 83 45 80 303 211 9223,00
4 4 4 4
60 72 54 68 52 83 45 80 4010,00
4 4
lj jA A jY Y c Y
lj jA B A B A B A B jY Y Y Y c Y
Não há replicas:
; 1j ijY Y i
Estimativas dos efeitos:
> Efeito A = 23.0
> Efeito B = -5.0
> Efeito C = 1.5
> Efeito AB = 1.5
> Efeito AC = 10.0
> Efeito BC = 0.0
> Efeito ABC = 0.5
Delineamento 2K
Média A B C AB AC BC ABC Y
+ - - - + + + - 60
+ + - - - - + + 72
+ - + - - + - + 54
+ + + - + - - - 68
+ - - + + - - + 52
+ + - + - + - - 83
+ - + + - - + - 45
+ + + + + + + + 80
Teste a significância destes efeitos.
Obtenha Intervalos de Confiança para estes Efeitos.
Delineamento Fatorial 2K
2~ ; ; 1,..., ; 1,..., ; 2K
ij jY N i r j G G
22~ ; ; 0lj j lj j lj ljj j j j
c Y N c c cr
0 1: 0 : 0j j j jj jH c H c
2
. .Re
2
ˆ~ ; ReRe
lj jj
l g l s
ljj
c Yt t QM s
QM sc
r
2 2
2
2
1,( . .Re )2
/~
1 Re / Re /Re
lj j lj j ljj j j l
l l g l s
ljj
c Y c Y c SQ Ct F F
QM s r QM s rQM s c
r
Delineamento Fatorial 2K
Analysis of Variance Table
Response: resp
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
fa1 1 1058.0 1058.00 4232 0.0002362 ***
fa2 1 50.0 50.00 200 0.0049628 **
fa3 1 4.5 4.50 18 0.0513167 .
fa1:fa2 1 4.5 4.50 18 0.0513167 .
fa1:fa3 1 200.0 200.00 800 0.0012477 **
Residuals 2 0.5 0.25
2 2
2
1,( . .Re )2
/~
1 Re / Re /Re
lj j lj j ljj j j l
l g l s
ljj
c Y c Y c SQ CF F
QM s r QM s rQM s c
r
5,( . .Re )~
Re
A B C AB AC
A B C AB AC g l s
SQ C SQ C SQ C SQ C SQ CF F F F F F
QM s
Delineamento Fatorial 2K
Analysis of Variance Table
Response: resp
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
fa1 1 1058.0 1058.00 4232 0.0002362 ***
fa2 1 50.0 50.00 200 0.0049628 **
fa3 1 4.5 4.50 18 0.0513167 .
fa1:fa2 1 4.5 4.50 18 0.0513167 .
fa1:fa3 1 200.0 200.00 800 0.0012477 **
Residuals 2 0.5 0.25
(5,2)
1317,005.268,00 ~
0.25lF F
2
. .Re a (1 )100% ( / 2) Rel lj j g l s ljj jIC C c Y t QM s c
Estimativas dos efeitos:
> Efeito A 23.0 4.30(0.25/4)= 23 1.075
> Efeito B = -5.0 1.075
> Efeito C = 1.5 1.075
> Efeito AB = 1.5 1.075
> Efeito AC = 10.0 1.075
> Efeito BC = 0.0 1.075
> Efeito ABC = 0.5 1.075
K: número de
grupos : número
de graus de
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