Post on 24-Nov-2018
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E FÍSICA
Professores: Renato Medeiros
MAF 1292
Eletricidade e Eletrônica
NOTA DE AULA II
Goiânia 2014
MAGNETISMO
Linhas de Indução de um Campo Magnético
Podemos representar campos magnéticos com linhas de campo, como fizemos
para os campos elétricos. Regras semelhantes se aplicam; ou seja, estas linhas devem
ser traçadas de tal modo que o vetor B seja sempre tangente a elas em qualquer um de
seus pontos. Além disso, o espaçamento entre as linhas representa a intensidade de B , o
campo magnético é mais intenso onde as linhas estiverem mais próximas. As linhas de
campo saem do polo norte e chega ao polo sul.
Força magnética sobre cargas elétricas em movimento
A força magnética que atua em uma partícula com carga q, pode ser definida
como o produto da carga q pelo produto vetorial da sua velocidade v pelo campo
magnético B .
F = q v B F = q v B sen
onde:
F é o módulo da força magnética que atua na carga q
v é o módulo da velocidade de q
B é o módulo do campo magnético
Direção e sentido da força magnética
A força magnética tem direção perpendicular a v e a B , isto é , ao plano
definido por v e B . O sentido de F é o mesmo do produto vetorial v B , se a carga q
for positiva e contrária a este sentido se q for negativa. A direção e sentido da força
magnética podem ser encontrados por várias regras práticas, entre elas podemos citar a
regra da mão direita ou da mão esquerda.
Regra da mão direita.
Bdedão F
dedos v B
Unidade de campo magnético
A unidade do campo magnético no SI é o Newton. Segundo por Coulomb.Metro.
Por conveniência, esta unidade e chamada de tesla ( ) .
.1
.
N s
C m = 1 tesla = 1
Como iremos trabalhar no plano, usamos a seguinte definição para as linhas de
campo:
entrando pelo plano
saindo pelo plano
Força magnética sobre um condutor retilíneo percorrido por uma corrente elétrica
Se há interação entre campo magnético e partículas portadoras de carga elétrica,
há uma interação entre campo magnético e um condutor percorrido por corrente elétrica,
pois a corrente elétrica é constituída pelo movimento de portadores de carga elétrica.
Se um segmento de fio retilíneo, de comprimento L, percorrido por uma corrente
i, for colocado numa região onde existe um campo magnético uniforme B (como está
representado na figura abaixo), sobre este segmento de fio atuará uma força magnética
dada por
F iL B F B i L sen
onde:
F é a força magnética que atua no fio
L é o comprimento do segmento do fio, sendo que: L é um vetor de
intensidade L e está dirigido na mesma direção do segmento do fio no sentido
(convencional) da corrente elétrica.
ϕ é o ângulo entre o campo magnético B e a corrente i ou o vetor L .
Direção da força magnética
A direção (e sentido) da força magnética é a do produto vetorial L x B . Então, a
força magnética é sempre perpendicular ao plano definido pelos vetores L x B , e o
sentido de F pode ser dado pela regra da mão direita ou da mão esquerda.
Torque em uma espira percorrida por corrente elétrica.
O princípio de funcionamento dos motores elétricos é baseado no torque produzido
por forças magnéticas. Na figura abaixo temos a representação de uma espira percorrida
por uma corrente elétrica, imersa em um campo magnético. As forças magnéticas
produzem um torque na espira que tende a fazê-la girar em torno de um eixo central.
Uma bobina na presença de um campo magnético uniforme experimente um torque
dado por:
B ,
onde é o momento magnético dado por: NiA , onde N é o número de espiras e A é
a área da espira (Ver a demonstração desta expressão no livro texto). Usando a
definição de produto vetorial, temos:
Bsen
NiABsen
Campo magnético gerado por corrente elétrica
Na figura abaixo temos a representação desta regra da mão direita e das linhas
de campo magnético gerado por um fio reto percorrido por uma corrente elétrica i.
No estudo do campo elétrico usamos duas leis para determinar este campo, a lei de
Coulomb e a lei de Gauss. De modo semelhante vamos usar duas leis para estudar o
campo magnético gerado por corrente elétrica, a lei de Biot - Savart e a lei de Ampère.
Lei de Biot – Savart
O campo magnético criado por um condutor transportando uma corrente elétrica
pode ser encontrado pela lei de Biot – Savart. Para determinarmos o campo magnético
gerado por um fio de forma arbitrária podemos dividir mentalmente o fio em elementos
infinitesimais ds e definir para cada elemento um vetor comprimento ds de módulo ds e
sentido da corrente em ds. Se definirmos um elemento de corrente i ds , a lei de Biot –
Savart assegura que a contribuição dB do campo magnético, devido ao elemento de
corrente i ds , num ponto P , a uma distância r do elemento de corrente, é dado por:
0
34
i dd
r
s rB
Podemos calcular o campo resultante B no ponto P somando, por meio de
integração, as contribuições dB de todos os elementos de corrente.
Na expressão acima, o é uma constante chamada de permeabilidade do vácuo,
cujo valor é: o =4 x10-7
T.m/A.
Campo Magnético no centro de uma espira circular
O campo magnético no centro de uma espira circular, percorrida por uma
corrente elétrica i, é diretamente proporcional à corrente elétrica e inversamente
proporcional ao raio da espira.
Direção e sentido de B
A direção do campo magnético é normal ao plano da espira.
O sentido de B pode ser dado pela regra da mão direita.
Podemos usar a lei de Biot - Savart para demonstrar a expressão usada para o
cálculo do campo magnético no centro de uma espira circular de raio r, percorrida por
uma corrente i.
Partindo da Lei de Biot-Savart, temos:
3 3 2
2
2
2 2
0
90
4 4 4
int :
4
24 4
2
o
o o o
o
r
o o
o
ids r idsrsen idsdB dB
r r r
egrando
idsdB
r
i iB ds r
r r
iB
r
Campo magnético devido a uma corrente em um fio reto e longo
A intensidade do campo magnético a uma distância d de um fio reto e longo
transportando uma corrente i é diretamente proporcional à corrente elétrica i e
inversamente proporcional à distância d.
As linhas de campo de B formam círculos concêntricos ao redor do fio, como
está representado na figura abaixo.
Podemos usar a lei de Ampère para demonstrar a expressão usada para o cálculo do
campo magnético gerado por uma corrente i, a uma distância r de um fio reto e longo.
Usando a lei de Ampère
.
cos 0
2
o
o
o
o o
B ds i
Bds i
B ds i B r i
Com isso temos que o módulo do campo magnético em um fio retilíneo longo é dado
por:
2
oiBr
o é a permeabilidade magnética do vácuo
Campo magnético de um solenóide
Denomina-se por solenoide um fio condutor enrolado em uma helicoidal com
voltas de espaçamento muito próximo, ou seja, uma bobina helicoidal formada por
espiras circulares muito próximas.
Este campo magnético tem as seguintes características:
- O vetor B , no interior do solenoide é paralelo ao seu eixo central.
- O sentido de B pode ser dado pela regra da mão direita.
- O campo magnético no solenoide é equivalente ao campo criado por imãs, com polos
Norte e Sul.
- O campo magnético no interior do solenoide é uniforme e diretamente proporcional à
intensidade da corrente nas espiras e ao número de espiras por unidade de comprimento
do solenoide.
0B in
onde:
n é o número de espiras por unidade de comprimento.
Podemos usar a lei de Ampère para demonstrar e expressão do campo magnético
no interior de um solenoide.
0 0 0 0
.
. . . .
.
o env
b c d a
o env
a b c d
B ds B B ds
b
o env
a
o env
o
o
B ds i
B ds B ds B ds B ds i
B ds i
Bh i
Bh inh
B in
Força magnética entre dois fios retos e paralelos percorridos por correntes
elétricas
Dois fios longos e paralelos, percorridos por correntes elétricas, exercem forças um
sobre o outro. Considere dois fios percorridos pelas correntes ia e ib, separados por uma
distância d.
A força que o fio percorrido por ia exerce sobre o comprimento L do outro é dado por
b b aF i LB
O campo magnético criado por este fio, a uma distância d (posição do outro fio), é igual
a:
2
o aa
iB
d
Substituindo esta equação na equação da força temos que,
2
2
o ab b a b
o a b
iF i LB i L
d
Li iF
d
Representando as forças que atuam em cada fio, quando as correntes forem de sentidos
opostos ou de mesmo sentido, podemos verificar que: Quando as correntes forem no
mesmo sentindo os fios irão se atrair. Caso as correntes tenham sentidos opostos os fios
irão se repelir.
FORÇA ELETROMOTRIZ INDUZIDA
Fluxo do campo magnético
Na Figura abaixo está representada uma espira retangular envolvendo uma área
A, colocada em uma região onde existe um campo magnético B . O fluxo magnético
através desta espira é
.B d B A
Como no estudo do fluxo do campo elétrico, o vetor dA é perpendicular a uma
área diferencial dA .
A unidade de fluxo magnético, no SI é o tesla-metro quadrado, que é chamado e
weber (abreviado por Wb)
1 weber = 1wb = 1T.m2
Para o caso particular onde o campo B tem o mesmo módulo por toda uma
superfície de área A e que o ângulo seja constante, temos que:
cosB B A
onde:
B - é o fluxo magnético através da superfície de área A
- é o ângulo entre dA (normal à superfície) e B (campo magnético uniforme)
dAB
Lei de Faraday da Indução Eletromagnética
Quando ocorrer uma variação do fluxo magnético através de uma espira
condutora, aparece nesta espira uma força eletromotriz induzida. A intensidade desta
fem é igual à taxa de variação do fluxo magnético através dessa espira.
Bd
dt
Para uma taxa de variação constante no fluxo ( constante), temos que: B
t
Se variarmos o fluxo magnético através de uma bobina de N voltas, enroladas de
forma compacta de modo que o mesmo fluxo magnético B atravesse todas as voltas, a
fem total induzida na bobina é:
BNd
dt
Apresentamos a seguir algumas maneiras, por meio das quais podemos variar o
fluxo magnético que atravessa uma bobina.
1. Variando a intensidade B do campo magnético no interior da bobina.
2. Variando a área da bobina, ou a porção dessa área que esteja dentro de uma região
onde existe campo magnético (por exemplo, deslocando a bobina para dentro ou
para fora do campo).
3. Variando o ângulo entre B e dA (por exemplo, girando a bobina de modo que o
campo B esteja primeiramente perpendicular ao plano da bobina e depois esteja
paralelo a esse plano).
No esquema representado na figura abaixo, quando o imã em forma de barra se
aproximar ou se afastar da espira, o fluxo magnético através da espira sofre uma
variação e, portanto aparece uma corrente induzida na espira. No entanto, se o imã
permanecer em repouso em relação à espira, não haverá variação no fluxo
magnético e, portanto não teremos corrente induzida na espira.
INDUTORES
Assim como os capacitores podem ser usados para produzir um campo elétrico
numa determinada região os indutores podem ser usados para produzir um campo
magnético. O tipo mais simples de indutor é um solenoide longo.
Um indutor pode ser representado pelo símbolo da figura abaixo.
Indutância
Quando uma corrente i percorre as N espiras de um indutor (por exemplo, um
solenóide), um fluxo magnético é produzido, pela corrente elétrica, no interior do
indutor. A indutância L do indutor é dada por:
NL
i
Unidade de indutância no SI .
1 T m2 / A = 1 henry (H)
Correntes alternadas
A maioria das casas são providas de fiação elétrica que conduz corrente alternada (ca) ,
isto é, corrente cujo valor varia senoidalmente com o tempo. Uma bobina de fio,
rodando com velocidade angular constante, em um campo magnético, pode dar origem a
uma fem alternada senoidalmente. Este dispositivo simples é o protótipo do gerador de
corrente alternada comercial, ou alternador.
A corrente elétrica distribuída para utilização industrial e residencial é corrente
alternada (AC, do inglês “Alternating Current”), tipicamente de frequência f = 60 Hz. A
principal vantagem da corrente alternada é que sua voltagem pode ser facilmente
aumentada ou reduzida usando transformadores. Isso permite transmitir a energia
elétrica em linhas de alta voltagem, convertendo-a no valor “caseiro” (110–220 V) ao
chegar a seu destino. A vantagem da transmissão de potência em alta voltagem é que a
corrente i associada é baixa, reduzindo a perda por efeito Joule nos fios de transmissão
(i2R).
Consideraremos agora alguns circuitos ligados a uma fonte de corrente alternada
que mantém entre seus terminais uma ddp alternada senoidal, dada por:
v Vsen t
onde:
v é a ddp instantânea
V é a ddp máxima ou amplitude de voltagem
é a freqüência angular.
Observação:
As letras minúsculas, como a letra v, representam valores instantâneos de
grandezas variáveis no tempo e as letras maiúsculas, como V, representam as amplitudes
correspondentes.
O símbolo de uma fonte de corrente alternada é:
CIRCUITO CAPACITIVO (C)
Suponha, agora, que um capacitor de capacitância C esteja ligado entre os
terminais da fonte de fem alternada, como está representado na figura abaixo:
A carga instantânea no capacitor é dada por: C C Cq Cv CV sen t
Como, c
dqci
dt cosC Ci CV t
Temos que: cos ( 90º )t sen t
Definindo uma quantidade XC, chamada reatância capacitiva do capacitor, como:
1 1C
C
X CC X
Podemos escrever a equação da corrente
( / ) ( 90º ) ( 90º )C C C C Ci V X sen t i I sen t
Onde, a relação entre as amplitudes de voltagem e corrente C C CV I X se aplica a um
capacitor distinto em qualquer circuito de corrente alternada, não importando quão
complexo seja.
Observação:
A unidade de reatância capacitiva XC, no SI, é o ohm, mesma unidade de
resistência elétrica.
Para este circuito a corrente e a voltagem não estão em fase, elas estão defasadas
em 90º. Como a corrente está adiantada em relação à voltagem, os picos de corrente
ocorrem um quarto de ciclo antes dos picos de voltagem. No diagrama de fasores o
vetor corrente está adiantado do vetor voltagem por um quarto de ciclo ou 90º, como
está representado nas figuras seguintes:
Na figura abaixo estão representados o gráfico (iC e vC) com t e o diagrama
de fasores.
CIRCUITO INDUTIVO ( L )
No circuito indutivo, vamos supor que um indutor de resistência nula e
indutância L, seja ligado a uma fonte de fem alternada, como está representado na figura
abaixo:
Da definição de indutância, temos que:
( / )
( / )cos
L L L
L L
di di div L v sen t L v L sen t
dt dt dt
i v L t
Usando, cos ( 90º )t sen t e definindo que LL X , onde XL é a
reatância indutiva do indutor temos que:
( / ) ( 90º ) ( 90º )L L L L Li v X sen t i I sen t
Onde, a relação entre as amplitudes de voltagem e corrente L L LV I X se aplica
a um indutor distinto em qualquer circuito de corrente alternada, não importando
quão complexo seja.
Observação:
A unidade de reatância indutiva XL, no SI, é o ohm, mesma unidade de
resistência. Para este circuito a corrente e a voltagem não estão em fase, elas estão
defasadas em 90o. A corrente está atrasada em relação à voltagem. Esta relação pode ser
verificada nas figuras a seguir:
Na figura abaixo estão representados o gráfico (iL e vL) com t e o diagrama de
fasores.
O circuito RLC
Em muitas situações, os circuitos de corrente alternada incluem resistência,
reatância indutiva e reatância capacitiva. Na figura abaixo está representado um circuito
LCR em série com um gerador de fem alternada.
Quando aplicamos uma fem alternada ( sen t = m ) no circuito RLC acima,
uma corrente alternada dada por ( )i Isen t é estabelecida no circuito. Nossa
tarefa é determinar a amplitude de corrente I e a constante de fase .
A análise desse circuito é facilitada pelo uso do diagrama de fasores, que inclui
os vetores voltagem e corrente para os vários componentes.
Como a corrente tem um mesmo valor em todos os pontos do circuito, um único
fasor I, é suficiente para representar a corrente no circuito.
Aplicando a lei das malha no circuito acima, temos que: v v vR LC E (soma
algébrica)
Os diagramas de fasores para I , VR , VC , VL e E m , está representado nas
figuras abaixo
O fasor mE é igual à soma (vetorial) dos fasores VR, VC e VL, dada por:
2 2 2 2 2 2
2 2 1/ 2
( ) ( ) ( )
[ ( ) ]
m R L C m L C
M
L C
V V V IR IX IX
IR X X
E E
E
onde: 1/ 2
2 2( )L CR X X Z , é chamado de impedância do circuito .
mIZ
Devemos observar que a unidade de impedância é a mesma de resistência (ohm).
Para determinar a constante de fase, temos que:
tan L
R
V Vc
V
tan LX Xc
R
Dependendo da relação entre as reatâncias indutiva XL e capacitiva XC, o circuito
será mais indutivo (o fasor I gira atrás do fasor mE ) ou mais capacitivo (o fasor I gira à
frente do fasor mE ).
Observação
Nos circuitos estudados, foi considerado o estado estacionário, isto é, a condição
que prevalece depois que o circuito foi ligado à fonte por algum tempo, logo que a fonte
é ligada, podem existir breves correntes e voltagens adicionais chamadas transientes.
Ressonância
As reatâncias indutivas XL e capacitiva XC dependem da frequência da fem
aplicada ao circuito RLC, consequentemente a impedância Z e a amplitude de corrente I
também dependem desta frequência. Teremos uma impedância mínima e uma amplitude
de corrente máxima quando 1 1
0L C L CX X X X LC LC
.
Esta frequência angular é a frequência natural ou de ressonância do circuito.
Portanto a impedância tem o menor valor possível, e a amplitude de corrente o maior
valor possível, quando a frequência da fem do gerador for igual à frequência natural do
circuito. Nesta frequência, se diz que o circuito está em ressonância com o gerador.
Potência em circuitos de corrente alternada
Em um circuito RLC em série, a potência média (Pmed) do gerador é igual à taxa
de produção de energia térmica no resistor, e é dada por:
2 cosmed rms rms rmsP I R I E
Na equação acima as grandezas com o índice rms, se refere ao valor médio
quadrático ou valor eficaz destas grandezas. Os valores eficazes e os valores máximos
de cada grandeza estão relacionados por:
1,
2 2 2
mrms rms rms
VI V e
EE
O termo cos é chamado de fator de potência do circuito, para maximizar a
taxa com que se fornece a uma carga resistiva em um circuito RLC, devemos manter a
constante de fase o mais próximo possível de zero. Para uma resistência pura, 0 ,
cos 1 e med rms rmsP IE . Para um capacitor ou indutor, 90º , cos 0 e 0medP .
Observação:
Os instrumentos de medição de corrente alternada, como por exemplo, o
amperímetro e voltímetro, normalmente são calibrados para mostrarem os valores
eficazes Irms , Vrms , rmsE e não os seus valores máximos.
TRANSFORMADORES
Por razões de eficiência, é desejável transmitir potência elétrica a altas voltagens
e baixas correntes, para diminuir as perdas por aquecimento na linha de transmissão.
Uma das características mais úteis dos circuitos de correntes alternadas é a facilidade e a
eficiência com a qual voltagens (e correntes) podem ser mudadas de um valor para
outro, por meio de transformadores.
Em princípio, o transformador consiste em duas bobinas isoladas eletricamente
uma da outra e enroladas no mesmo núcleo de ferro. Uma corrente alternada em um
enrolamento cria um fluxo alternado no núcleo e o campo elétrico induzido devido a
esta variação do fluxo induz uma fem no outro enrolamento. O enrolamento para o qual
se fornece a potência é chamado de primário e aquele do qual se retira a potência é
chamado de secundário, sendo que, a potência de saída de um transformador é sempre
menor que a potência de entrada, devido às perdas inevitáveis.
Para um transformador suposto ideal (são desprezadas as perdas de energia) a
relação entre a voltagem no primário VP e no secundário VS é dada por:
P P
S S
V N
V N
Onde, NP e NS, são, respectivamente, o número de voltas na bobina primária e
secundária.
Se NS > NP, dizemos que o transformador é um transformador elevador porque
ele eleva a tensão do primário VP para uma tensão mais alta VS. Analogamente, se NS <
NP, o dispositivo é um transformador abaixador.
Para obtermos a relação entre as correntes na bobina primária e secundária de
um transformador ideal, podemos aplicar o princípio da conservação de energia. A taxa
com que o gerador transfere energia para o primário é igual à taxa com que o primário
transfere então energia para o secundário, ou seja: ISVS=IPVP.