Post on 28-Dec-2018
Derivada: 1˝ Problema
Distância
Aumento
a b a bc
c
(A) (B)
(C)
Figura: (A) Problema Elementar, (B) Problema de Cálculo e (C) Ideia daSolução
Derivada: 2˝ Problema
c
c
(A) (B)
(C)
a
b
Figura: (A) Razão Média, (B) Razão Instantanea e (C) Ideia da Solução
Derivada de uma função num ponto
DefiniçãoSeja f : RÑ R uma função definida no ponto a P Dompf q, diremos que fé derivável no ponto a se existe o seguinte limite:
f1
paq “ limhÑ0
f pa` hq ´ f paq
h
Se a função f é derivável em a, f1
paq é chamada de derivada de f em a.
Observação
1 Existem outras notação para a derivada de f em a: Dx f paq,df pxqdx |x“a
e f ¨pxq.2 Uma forma equivalente ao limite anterior é:
f1
paq “ limxÑa
f pxq ´ f paq
x ´ a
ExemploAchar a derivada da função f pxq “
?x em a “ 4
DefiniçãoSeja f : RÑ R uma função tal que
f1
pxq “ limhÑ0
f px ` hq ´ f pxq
h
exista, é chamada função derivada de f ou simplesmente derivada de f .Obviamente Dompf
1
q “ tx P Dompf q; f1
pxq exista u.
ExemplosProve que:
1 Se f pxq “ k , k constante; então f1
pxq “ 0 para todo x P R.2 Se f pxq “ ax ` b com a, b P R e a ‰ 0, então f
1
pxq “ a para todox P R.
3 Se f pxq “ xn com n P N, então f1
pxq “ nxn´1.4 Se f pxq “ a|x |, então f não é derivável no 0. (f phq ď h2)5 Se
f pxq “
"
x2; 0 ď x0; x ă 0
Calcular f1
p0q
Derivadas laterais
DefiniçãoSeja f : RÑ R uma função e a P Dompf q.
1 A derivada pela esquerda de f em a é definida e denotada por
f1
pa´q “ limhÑ0´
f pa` hq ´ f paq
h“ lim
xÑa´
f pxq ´ f paq
x ´ a
se o limite existir.
2 A derivada pela direita de f em a é definida e denotada por
f1
pa`q “ limhÑ0`
f pa` hq ´ f paq
h“ lim
xÑa`
f pxq ´ f paq
x ´ a
se o limite existir.
Derivadas laterais
DefiniçãoSeja f : RÑ R uma função e a P Dompf q.
1 A derivada pela esquerda de f em a é definida e denotada por
f1
pa´q “ limhÑ0´
f pa` hq ´ f paq
h“ lim
xÑa´
f pxq ´ f paq
x ´ a
se o limite existir.2 A derivada pela direita de f em a é definida e denotada por
f1
pa`q “ limhÑ0`
f pa` hq ´ f paq
h“ lim
xÑa`
f pxq ´ f paq
x ´ a
se o limite existir.
ProposiçãoA função f : RÑ R é derivável no ponto a P Dompf q se, e somente se,existem e são iguais f
1
pa`q e f1
pa´q.
ProposiçãoSe uma função é derivável no ponto a P Dompf q, então ela é contínua ema.
O reciproco não é verdadeiro, como mostra o exemplo a seguir:
ExemploA função definida por:
f pxq “
"
2´ x2 se x ď 2x2 ´ 4x ` 2 se x ą 2
é contínua no ponto a “ 2? é diferenciável no ponto a “ 2?
11a Aula
ProposiçãoA função f : RÑ R é derivável no ponto a P Dompf q se, e somente se,existem e são iguais f
1
pa`q e f1
pa´q.
ProposiçãoSe uma função é derivável no ponto a P Dompf q, então ela é contínua ema.
O reciproco não é verdadeiro, como mostra o exemplo a seguir:
ExemploA função definida por:
f pxq “
"
2´ x2 se x ď 2x2 ´ 4x ` 2 se x ą 2
é contínua no ponto a “ 2? é diferenciável no ponto a “ 2?
11a Aula
ProposiçãoA função f : RÑ R é derivável no ponto a P Dompf q se, e somente se,existem e são iguais f
1
pa`q e f1
pa´q.
ProposiçãoSe uma função é derivável no ponto a P Dompf q, então ela é contínua ema.
O reciproco não é verdadeiro, como mostra o exemplo a seguir:
ExemploA função definida por:
f pxq “
"
2´ x2 se x ď 2x2 ´ 4x ` 2 se x ą 2
é contínua no ponto a “ 2? é diferenciável no ponto a “ 2?
11a Aula
Reta Tangente e Reta Normal
Seja f : RÑ R uma função derivável no ponto x “ a, com a interpretaçãogeométrica dada anteriormente, temos:
Definição (Reta Tangente)A reta definida por:
LT : y ´ f paq “ f1
paqpx ´ aq
é chamada de reta tangente ao gráfico de f no ponto Ppa; f paqq.
Definição (Reta Normal)A reta que passa pelo ponto Ppa; f paqq e perpendicular à reta tangente aográfico de f no ponto P é chamada de reta normal ao gráfico de f noponto Ppa; f paqq.
Reta Tangente e Reta Normal
Seja f : RÑ R uma função derivável no ponto x “ a, com a interpretaçãogeométrica dada anteriormente, temos:
Definição (Reta Tangente)A reta definida por:
LT : y ´ f paq “ f1
paqpx ´ aq
é chamada de reta tangente ao gráfico de f no ponto Ppa; f paqq.
Definição (Reta Normal)A reta que passa pelo ponto Ppa; f paqq e perpendicular à reta tangente aográfico de f no ponto P é chamada de reta normal ao gráfico de f noponto Ppa; f paqq.
observação1 Se f
1
paq ‰ 0 a equação da reta normal é:
LN : y ´ f paq “1
f 1paqpx ´ aq
2 Se f1
paq “ 0 a equação da reta normal é:
LN : px ´ aq “ 0
Exemplos1 Dada f pxq “ x2 ´ 2x ` 3, achar LT e LN ao gráfico de f em Pp2; 3q2 Dada f pxq “ 2x3 ` 3x2 ´ 36x ` 1, determine as equações das
tangentes horizotais ao gráfico de f .
observação1 Se f
1
paq ‰ 0 a equação da reta normal é:
LN : y ´ f paq “1
f 1paqpx ´ aq
2 Se f1
paq “ 0 a equação da reta normal é:
LN : px ´ aq “ 0
Exemplos1 Dada f pxq “ x2 ´ 2x ` 3, achar LT e LN ao gráfico de f em Pp2; 3q2 Dada f pxq “ 2x3 ` 3x2 ´ 36x ` 1, determine as equações das
tangentes horizotais ao gráfico de f .
Regras Básicas
TeoremaSejam f e g funções deriváveis em x e K uma constante, então as funçõesKf , f ˘ g , fg f
g são deriváveis em x e temos:
1 pKf q1
pxq “ Kf1
pxq
2 pf ˘ gq1
pxq “ f1
pxq ˘ g1
pxq
3 pfgq1
pxq “ f1
pxqgpxq ` f pxqg1
pxq
4 pf
gq1
pxq “f1
pxqgpxq ´ f pxqg1
pxq
rgpxqs2Se gpxq ‰ 0.
Regras Básicas
TeoremaSejam f e g funções deriváveis em x e K uma constante, então as funçõesKf , f ˘ g , fg f
g são deriváveis em x e temos:
1 pKf q1
pxq “ Kf1
pxq
2 pf ˘ gq1
pxq “ f1
pxq ˘ g1
pxq
3 pfgq1
pxq “ f1
pxqgpxq ` f pxqg1
pxq
4 pf
gq1
pxq “f1
pxqgpxq ´ f pxqg1
pxq
rgpxqs2Se gpxq ‰ 0.
Regras Básicas
TeoremaSejam f e g funções deriváveis em x e K uma constante, então as funçõesKf , f ˘ g , fg f
g são deriváveis em x e temos:
1 pKf q1
pxq “ Kf1
pxq
2 pf ˘ gq1
pxq “ f1
pxq ˘ g1
pxq
3 pfgq1
pxq “ f1
pxqgpxq ` f pxqg1
pxq
4 pf
gq1
pxq “f1
pxqgpxq ´ f pxqg1
pxq
rgpxqs2Se gpxq ‰ 0.
Regras Básicas
TeoremaSejam f e g funções deriváveis em x e K uma constante, então as funçõesKf , f ˘ g , fg f
g são deriváveis em x e temos:
1 pKf q1
pxq “ Kf1
pxq
2 pf ˘ gq1
pxq “ f1
pxq ˘ g1
pxq
3 pfgq1
pxq “ f1
pxqgpxq ` f pxqg1
pxq
4 pf
gq1
pxq “f1
pxqgpxq ´ f pxqg1
pxq
rgpxqs2Se gpxq ‰ 0.
Exemplos1 Se f pxq “ 5x5 ` x4 ´ 2x3 ` 1, calcular f
1
pxq e f1
p1q.2 Dada f pxq “ x´n, x ‰ 0 e n P N, calcular f 1pxq.3 Se f pxq “ x`3
2´x , x ‰ 2 calcular f1
pxq.
4 Provar que psenpxqq1
“ cospxq
5 Provar que pcospxqq1
“ ´senpxq
6 Sem Prova pLnpxqq1
“ 1x
7 Sem Prova pexq1
“ ex
12a Aula
A Regra da Cadeia
Teorema (Regra da Cadeia)Sejam f : AÑ R e g : B Ñ R duas funções tais que Impf q Ă B . Se f éderivável no ponto a P Dompf q e g é derivável em b “ f paq P B , entãog ˝ f é derivável em a e temos que:
pg ˝ f q1
paq “ g1
pf paqqf1
paq
ExemplosDerivar
1 f pxq “ px3 ` 12x ` 666q200, achar g1
pxq
2 f pxq “”
x`2x´2
ı16, achar f
1
pxq.
3 f pxq “ CospSenpxqSenpxqq
4 f pxq “ ee
x2 ` 13x
5 f pxq “
„
Cospxq
1` Senpx2q
π
6 f pxq “ 3Senpxq
Observação1 Se y “ yptq e t “ tpxq são funções deriváveis, então:
dy
dx“
dy
dt
dt
dx
2 Se y “ f pxq é uma função derivável e tem inversa x “ f ´1pyq, então:
dx
dy“
1dydx
Se dydx ‰ 0.
3 Se y “ yptq e x “ xptq são duas funções deriváveis, então:
dy
dx“
dydtdxdt
Se dxdt ‰ 0.
Observação1 Se y “ yptq e t “ tpxq são funções deriváveis, então:
dy
dx“
dy
dt
dt
dx
2 Se y “ f pxq é uma função derivável e tem inversa x “ f ´1pyq, então:
dx
dy“
1dydx
Se dydx ‰ 0.
3 Se y “ yptq e x “ xptq são duas funções deriváveis, então:
dy
dx“
dydtdxdt
Se dxdt ‰ 0.
Observação1 Se y “ yptq e t “ tpxq são funções deriváveis, então:
dy
dx“
dy
dt
dt
dx
2 Se y “ f pxq é uma função derivável e tem inversa x “ f ´1pyq, então:
dx
dy“
1dydx
Se dydx ‰ 0.
3 Se y “ yptq e x “ xptq são duas funções deriváveis, então:
dy
dx“
dydtdxdt
Se dxdt ‰ 0.
Observação1 Se y “ f pxq “ rupxqsn e upxq é derivável, então:
f1
pxq “ nrupxqsn´1u1
pxq
2 Se y “ f pxq “a
upxq e upxq é derivável com upxq ą 0, então:
f1
pxq “u1
pxq
2a
upxq
Observação1 Se y “ f pxq “ rupxqsn e upxq é derivável, então:
f1
pxq “ nrupxqsn´1u1
pxq
2 Se y “ f pxq “a
upxq e upxq é derivável com upxq ą 0, então:
f1
pxq “u1
pxq
2a
upxq
Exemplos1 Se y “ x4 ´ x2 ` x e x “ pt2 ` 1q4. Achar dy
dt
2 Dada f pxq “?5` 3x2, achar f
1
pxq.
13a Aula
Derivadas de ordem superior
1 Seja y “ f pxq uma função diferenciável, a derivada da função f1
pxq échamada de segunda derivada de f e é denotada por f
2
, D2x f pxq,
d2f pxqdx2 , f ¨¨pxq ou dy
dx .
2 Se f2
px0q existe, diremos que f é duas vezes derivável em x0 e onúmero f
2
px0q é chamado de segunda derivada de f em x0.3 De forma análoga, derivando sucessivamente a função f (sempre que
possível), obtemos a n-ésima derivada ou derivada de ordem n de f
que denotaremos por: f pnq, Dnx f pxq,
dnf pxqdxn , ou dny
dxn .
Derivadas de ordem superior
1 Seja y “ f pxq uma função diferenciável, a derivada da função f1
pxq échamada de segunda derivada de f e é denotada por f
2
, D2x f pxq,
d2f pxqdx2 , f ¨¨pxq ou dy
dx .2 Se f
2
px0q existe, diremos que f é duas vezes derivável em x0 e onúmero f
2
px0q é chamado de segunda derivada de f em x0.
3 De forma análoga, derivando sucessivamente a função f (sempre quepossível), obtemos a n-ésima derivada ou derivada de ordem n de f
que denotaremos por: f pnq, Dnx f pxq,
dnf pxqdxn , ou dny
dxn .
Derivadas de ordem superior
1 Seja y “ f pxq uma função diferenciável, a derivada da função f1
pxq échamada de segunda derivada de f e é denotada por f
2
, D2x f pxq,
d2f pxqdx2 , f ¨¨pxq ou dy
dx .2 Se f
2
px0q existe, diremos que f é duas vezes derivável em x0 e onúmero f
2
px0q é chamado de segunda derivada de f em x0.3 De forma análoga, derivando sucessivamente a função f (sempre que
possível), obtemos a n-ésima derivada ou derivada de ordem n de f
que denotaremos por: f pnq, Dnx f pxq,
dnf pxqdxn , ou dny
dxn .
Derivação Implícita
DefiniçãoSeja E px , yq “ 0 uma equação das variáveis x e y . Se ao reemplazarmos ypor f pxq, a equação transforma-se numa identidade, então diremos que afunção y “ f pxq esta definida implicitamente pela equação E px , yq.
Exemplos1 y “ f pxq “
?x ´ 1 e y “ gpxq “ ´
?x ´ 1 estão definidas
implicitamente pela equação y2 ´ x ` 1 “ 0.2 y7 ` cospyq ´ x2 ` senpxq ` 4 “ 03 x2 ` y2 ` 4 “ 0
A obtenção da derivada de uma função y “ f pxq definida em formaimplicita por uma equação E px , yq “ 0 é chamada de derivação implicita epode ser obtida com:
dy
dx“ ´
E1
x
E 1y
ExemplosAs seguintes equações definem implicitamente uma função y “ f pxq, achary1
“dydx .
1 x2 ` y2 “ 252 4x2 ´ 9y2 “ 36
36x ` 8x2y ´ y3 ` y5
x2 “ 4
A obtenção da derivada de uma função y “ f pxq definida em formaimplicita por uma equação E px , yq “ 0 é chamada de derivação implicita epode ser obtida com:
dy
dx“ ´
E1
x
E 1y
ExemplosAs seguintes equações definem implicitamente uma função y “ f pxq, achary1
“dydx .
1 x2 ` y2 “ 252 4x2 ´ 9y2 “ 36
36x ` 8x2y ´ y3 ` y5
x2 “ 4
Derivada da função inversa
Se uma função f é derivável e possui inversa perto de a com inversacontínua perto de b “ f paq e f
1
paq ‰ 0, então a função inversa f ´1 éderivável em b e
pf ´1q1
pbq “1
f 1pf ´1pbqq“
1f 1paq
ExemploCalcular as derivadas de:
1 gpyq “ arctanpyq
2 gpyq “ arcsenpyq
14a Aula
Derivada da função inversa
Se uma função f é derivável e possui inversa perto de a com inversacontínua perto de b “ f paq e f
1
paq ‰ 0, então a função inversa f ´1 éderivável em b e
pf ´1q1
pbq “1
f 1pf ´1pbqq“
1f 1paq
ExemploCalcular as derivadas de:
1 gpyq “ arctanpyq
2 gpyq “ arcsenpyq
14a Aula
Taxas Relacionadas
DefiniçãoSeja f : RÑ R função definida por y “ f pxq.
1 Se a P Dompf q e ∆x ‰ 0 é um número tal que a`∆x P Dompf q,então ∆x é chamado de incremento de x , observe que o incremento∆x é a mudança que experimenta a variável independente x ao passarde a até a`∆x .
2 A mudança que experimenta y (quando x ao passar de a até a`∆x .)é o incremento de y , denotado por ∆y e esta definido por∆y “ f pa`∆xq ´ f paq.
3 A diferencial da variável independente x , denotada por dx é definidocomo dx “ ∆x .
4 A diferencial da função f no ponto a, correspondente ao incremento∆x , denotada por dy é definido como dy “ f
1
paq∆x “ f1
paqdx , emgeral a A diferencial da função f em qualquer ponto x P Dompf q,correspondente ao incremento ∆x é dy “ f
1
pxqdx (dy „ δy)
Taxas Relacionadas
DefiniçãoSeja f : RÑ R função definida por y “ f pxq.
1 Se a P Dompf q e ∆x ‰ 0 é um número tal que a`∆x P Dompf q,então ∆x é chamado de incremento de x , observe que o incremento∆x é a mudança que experimenta a variável independente x ao passarde a até a`∆x .
2 A mudança que experimenta y (quando x ao passar de a até a`∆x .)é o incremento de y , denotado por ∆y e esta definido por∆y “ f pa`∆xq ´ f paq.
3 A diferencial da variável independente x , denotada por dx é definidocomo dx “ ∆x .
4 A diferencial da função f no ponto a, correspondente ao incremento∆x , denotada por dy é definido como dy “ f
1
paq∆x “ f1
paqdx , emgeral a A diferencial da função f em qualquer ponto x P Dompf q,correspondente ao incremento ∆x é dy “ f
1
pxqdx (dy „ δy)
Taxas Relacionadas
DefiniçãoSeja f : RÑ R função definida por y “ f pxq.
1 Se a P Dompf q e ∆x ‰ 0 é um número tal que a`∆x P Dompf q,então ∆x é chamado de incremento de x , observe que o incremento∆x é a mudança que experimenta a variável independente x ao passarde a até a`∆x .
2 A mudança que experimenta y (quando x ao passar de a até a`∆x .)é o incremento de y , denotado por ∆y e esta definido por∆y “ f pa`∆xq ´ f paq.
3 A diferencial da variável independente x , denotada por dx é definidocomo dx “ ∆x .
4 A diferencial da função f no ponto a, correspondente ao incremento∆x , denotada por dy é definido como dy “ f
1
paq∆x “ f1
paqdx , emgeral a A diferencial da função f em qualquer ponto x P Dompf q,correspondente ao incremento ∆x é dy “ f
1
pxqdx (dy „ δy)
Taxas Relacionadas
DefiniçãoSeja f : RÑ R função definida por y “ f pxq.
1 Se a P Dompf q e ∆x ‰ 0 é um número tal que a`∆x P Dompf q,então ∆x é chamado de incremento de x , observe que o incremento∆x é a mudança que experimenta a variável independente x ao passarde a até a`∆x .
2 A mudança que experimenta y (quando x ao passar de a até a`∆x .)é o incremento de y , denotado por ∆y e esta definido por∆y “ f pa`∆xq ´ f paq.
3 A diferencial da variável independente x , denotada por dx é definidocomo dx “ ∆x .
4 A diferencial da função f no ponto a, correspondente ao incremento∆x , denotada por dy é definido como dy “ f
1
paq∆x “ f1
paqdx , emgeral a A diferencial da função f em qualquer ponto x P Dompf q,correspondente ao incremento ∆x é dy “ f
1
pxqdx (dy „ δy)
Exemplo1 Se f pxq “ x2 calcule ∆y e dy para a “ 3 e ∆x “ 0.3
2 Se o comprimento do raio de um círculo é 8, 25cm e o erro máximopossível é de ˘0, 05 Qual é o erro cometido ao calcular à área?
3 Se y “ 6 3?x4, calcule dy em qualquer ponto x .
4 Um quadro de 1m de altura é colocado em uma parede de tal formaque sua base esteja no mesmo nível dos olhos de um observador queestá se aproximando da parede a uma velocidade de 3m{s. Com quevelocidade a medida do ângulo de visão do quadro estará variandoquando o observador estiver a 2m da parede?
Exemplo1 Se f pxq “ x2 calcule ∆y e dy para a “ 3 e ∆x “ 0.32 Se o comprimento do raio de um círculo é 8, 25cm e o erro máximo
possível é de ˘0, 05 Qual é o erro cometido ao calcular à área?
3 Se y “ 6 3?x4, calcule dy em qualquer ponto x .
4 Um quadro de 1m de altura é colocado em uma parede de tal formaque sua base esteja no mesmo nível dos olhos de um observador queestá se aproximando da parede a uma velocidade de 3m{s. Com quevelocidade a medida do ângulo de visão do quadro estará variandoquando o observador estiver a 2m da parede?
Exemplo1 Se f pxq “ x2 calcule ∆y e dy para a “ 3 e ∆x “ 0.32 Se o comprimento do raio de um círculo é 8, 25cm e o erro máximo
possível é de ˘0, 05 Qual é o erro cometido ao calcular à área?3 Se y “ 6 3
?x4, calcule dy em qualquer ponto x .
4 Um quadro de 1m de altura é colocado em uma parede de tal formaque sua base esteja no mesmo nível dos olhos de um observador queestá se aproximando da parede a uma velocidade de 3m{s. Com quevelocidade a medida do ângulo de visão do quadro estará variandoquando o observador estiver a 2m da parede?
propriedades do diferencial
Sejam u “ f pxq e v “ gpxq duas funções deriváveis e c uma constante,então:
1 dpcq “ 02 dpcuq “ cdu
3 dpu ˘ vq “ du ˘ dv
4 dpu ¨ vq “ vdu ` udv
5 dpuv q “vdu´udv
v2 sempre que v ‰ 0.
ExemploSe f pxq “ 4x?
x2`x2 , achar df pxq.
15a Aula
Teorema de Rolle e Teorema do Valor MédioDefinição (Valores Máximos e Mínimos de uma função)Seja f : RÑ R uma função com dominio D Ă R e seja a P D.
1 Diremos que f apresenta valor máximo global em x “ a se:
f pxq ď f paq,@x P D
2 Diremos que f apresenta valor mínimo global em x “ a se:
f paq ď f pxq,@x P D
3 Diremos que f apresenta valor máximo local em x “ a se existe δ ą 0tal que:
f pxq ď f paq,@x P pa´ δ; a` δq
4 Diremos que f apresenta valor mínimo local em x “ a se existe δ ą 0tal que:
f paq ď f pxq,@x P pa´ δ; a` δq
Teorema de Rolle e Teorema do Valor MédioDefinição (Valores Máximos e Mínimos de uma função)Seja f : RÑ R uma função com dominio D Ă R e seja a P D.
1 Diremos que f apresenta valor máximo global em x “ a se:
f pxq ď f paq,@x P D
2 Diremos que f apresenta valor mínimo global em x “ a se:
f paq ď f pxq,@x P D
3 Diremos que f apresenta valor máximo local em x “ a se existe δ ą 0tal que:
f pxq ď f paq,@x P pa´ δ; a` δq
4 Diremos que f apresenta valor mínimo local em x “ a se existe δ ą 0tal que:
f paq ď f pxq,@x P pa´ δ; a` δq
Teorema de Rolle e Teorema do Valor MédioDefinição (Valores Máximos e Mínimos de uma função)Seja f : RÑ R uma função com dominio D Ă R e seja a P D.
1 Diremos que f apresenta valor máximo global em x “ a se:
f pxq ď f paq,@x P D
2 Diremos que f apresenta valor mínimo global em x “ a se:
f paq ď f pxq,@x P D
3 Diremos que f apresenta valor máximo local em x “ a se existe δ ą 0tal que:
f pxq ď f paq,@x P pa´ δ; a` δq
4 Diremos que f apresenta valor mínimo local em x “ a se existe δ ą 0tal que:
f paq ď f pxq,@x P pa´ δ; a` δq
Teorema de Rolle e Teorema do Valor MédioDefinição (Valores Máximos e Mínimos de uma função)Seja f : RÑ R uma função com dominio D Ă R e seja a P D.
1 Diremos que f apresenta valor máximo global em x “ a se:
f pxq ď f paq,@x P D
2 Diremos que f apresenta valor mínimo global em x “ a se:
f paq ď f pxq,@x P D
3 Diremos que f apresenta valor máximo local em x “ a se existe δ ą 0tal que:
f pxq ď f paq,@x P pa´ δ; a` δq
4 Diremos que f apresenta valor mínimo local em x “ a se existe δ ą 0tal que:
f paq ď f pxq,@x P pa´ δ; a` δq
Exemplo1 Se f pxq “
?9´ x2 Determine os valores máximos e mínimos globais.
2 Se f pxq “ |2x |1`x2 Determine os valores máximos e mínimos globais.
Observação1 Se f pcq é um valor máximo ou mínimo, então ele será chamado de
valor extremos de f .
Exemplo1 Se f pxq “
?9´ x2 Determine os valores máximos e mínimos globais.
2 Se f pxq “ |2x |1`x2 Determine os valores máximos e mínimos globais.
Observação1 Se f pcq é um valor máximo ou mínimo, então ele será chamado de
valor extremos de f .
LemaSeja f : RÑ R uma função tal que:
1 f pcq é um extremo local de f
2 f é derivável em c
Então f1
pcq “ 0.
Definição (Ponto Crítico)Seja f : RÑ R uma função derivável em c P Dompf q. O número c échamado de ponto crítico de f ou ponto singular de f se f
1
pcq “ 0
LemaSeja f : RÑ R uma função tal que:
1 f pcq é um extremo local de f
2 f é derivável em c
Então f1
pcq “ 0.
Definição (Ponto Crítico)Seja f : RÑ R uma função derivável em c P Dompf q. O número c échamado de ponto crítico de f ou ponto singular de f se f
1
pcq “ 0
ExemplosCarcular os pontos críticos das seguintes funções:
1 16p2x
3 ` 3x2 ´ 36x ` 6q
2 f pxq “|2x |
1` x2
3 f pxq “x
7`
7x
16a Aula
Teorema (Teorema de Rolle)Seja f : ra; bs Ñ R uma função tal que:
1 f é contínua em ra; bs
2 f é derivável em pa; bq
3 f paq “ f pbq “ 0Então existe c P pa; bq f
1
pcq “ 0.
ExemploEn cada caso, dada f pxq, verifique se ela satisfaz o Teorema de Rolle noIntervalo I :
1 f pxq “ x43 ´ 3x
13 , I “ r0; 3s
2 f pxq “ x2´9xx´3 , I “ r0; 3s
Teorema (Teorema de Rolle)Seja f : ra; bs Ñ R uma função tal que:
1 f é contínua em ra; bs
2 f é derivável em pa; bq
3 f paq “ f pbq “ 0Então existe c P pa; bq f
1
pcq “ 0.
ExemploEn cada caso, dada f pxq, verifique se ela satisfaz o Teorema de Rolle noIntervalo I :
1 f pxq “ x43 ´ 3x
13 , I “ r0; 3s
2 f pxq “ x2´9xx´3 , I “ r0; 3s
Teorema do valor médioTeorema (T.V.M.)Seja f : ra; bs Ñ R uma função tal que:
1 f é contínua em ra; bs
2 f é derivável em pa; bq
Então existe c P pa; bq tal que f1
pcq “ f pbq´f paqb´a
ObservaçãoSejam f , g : ra; bs Ñ R funções
1 Se f é contínua em ra; bs e diferenciável em pa; bq tal que f1
pxq “ 0para todo x P pa; bq, então f pxq “ k para todo x P ra; bs.
2 Se f e g são contínuas em ra; bs e diferenciáveis em pa; bq tal quef1
pxq “ g1
pxq para todo x P pa; bq, então f pxq “ gpxq ` K para todox P ra; bs
17a Aula
Teorema do valor médioTeorema (T.V.M.)Seja f : ra; bs Ñ R uma função tal que:
1 f é contínua em ra; bs
2 f é derivável em pa; bq
Então existe c P pa; bq tal que f1
pcq “ f pbq´f paqb´a
ObservaçãoSejam f , g : ra; bs Ñ R funções
1 Se f é contínua em ra; bs e diferenciável em pa; bq tal que f1
pxq “ 0para todo x P pa; bq, então f pxq “ k para todo x P ra; bs.
2 Se f e g são contínuas em ra; bs e diferenciáveis em pa; bq tal quef1
pxq “ g1
pxq para todo x P pa; bq, então f pxq “ gpxq ` K para todox P ra; bs
17a Aula
Funções Crescentes e DecrescentesSeja f : RÑ R uma função, diremos que f pxq é:
Não Crescente se para cada par x1, x2 P Dompf q com
x1 ă x2 ñ f px1q ě f px2q
Não Descrescente se para cada par x1, x2 P Dompf q com
x1 ă x2 ñ f px1q ď f px2q
Crescente se para cada par x1, x2 P Dompf q com
x1 ă x2 ñ f px1q ă f px2q
Descrescente se para cada par x1, x2 P Dompf q com
x1 ă x2 ñ f px1q ą f px2q
Funções Crescentes e DecrescentesSeja f : RÑ R uma função, diremos que f pxq é:
Não Crescente se para cada par x1, x2 P Dompf q com
x1 ă x2 ñ f px1q ě f px2q
Não Descrescente se para cada par x1, x2 P Dompf q com
x1 ă x2 ñ f px1q ď f px2q
Crescente se para cada par x1, x2 P Dompf q com
x1 ă x2 ñ f px1q ă f px2q
Descrescente se para cada par x1, x2 P Dompf q com
x1 ă x2 ñ f px1q ą f px2q
Funções Crescentes e DecrescentesSeja f : RÑ R uma função, diremos que f pxq é:
Não Crescente se para cada par x1, x2 P Dompf q com
x1 ă x2 ñ f px1q ě f px2q
Não Descrescente se para cada par x1, x2 P Dompf q com
x1 ă x2 ñ f px1q ď f px2q
Crescente se para cada par x1, x2 P Dompf q com
x1 ă x2 ñ f px1q ă f px2q
Descrescente se para cada par x1, x2 P Dompf q com
x1 ă x2 ñ f px1q ą f px2q
Funções Crescentes e DecrescentesSeja f : RÑ R uma função, diremos que f pxq é:
Não Crescente se para cada par x1, x2 P Dompf q com
x1 ă x2 ñ f px1q ě f px2q
Não Descrescente se para cada par x1, x2 P Dompf q com
x1 ă x2 ñ f px1q ď f px2q
Crescente se para cada par x1, x2 P Dompf q com
x1 ă x2 ñ f px1q ă f px2q
Descrescente se para cada par x1, x2 P Dompf q com
x1 ă x2 ñ f px1q ą f px2q
TeoremaSeja f : RÑ R contínua em ra; bs e derivável em pa; bq.
1 Se f1
pxq ą 0 para todo x P pa; bq, então f é crescente em ra; bs.
2 Se f1
pxq ă 0 para todo x P pa; bq, então f é decrescente em ra; bs.
TeoremaSeja f : RÑ R contínua em ra; bs e derivável em pa; bq.
1 Se f1
pxq ą 0 para todo x P pa; bq, então f é crescente em ra; bs.2 Se f
1
pxq ă 0 para todo x P pa; bq, então f é decrescente em ra; bs.
Teste de 1ra Derivada
Seja f uma função definida numa vizinhança Bpc ; δq do ponto c e é:Contínua em Bpc ; δq “ pc ´ δ; +̧δq,Derivável em Bpc ; δq (excepto talves em c)
Logo1 Se f
1
pxq ą 0 para todo x P pc ´ δ; cq e f1
pxq ă 0 para todox P pc ; c ` δq, então f pcq é um valor de máximo local de f .
2 Se f1
pxq ă 0 para todo x P pc ´ δ; cq e f1
pxq ą 0 para todox P pc ; c ` δq, então f pcq é um valor de mínimo local de f .
Teste de 2da Derivada
Seja f uma função tal que:Existem suas derivadas até de sugunda ordem numa vizinhançaBpc ; δq do ponto c
f1
pcq “ 0f2
pcq ‰ 0Logo
1 Se f2
pxq ă 0 então f pcq é um valor de máximo local de f .2 Se f
2
pxq ą 0 então f pcq é um valor de mínimo local de f .
ExemplosDetermine os intervalos de crescimento e os valores extremos locais dasfunções:
1 f pxq “ x3 ´ x2 ´ 9x ` 2
2 gpxq “5x`
x
53 hpxq “ 1
1`|x | `1
1`|x´a| com a ą 0
4 f pxq “ x3 ` 3x2 ´ 24x ´ 10 no intervalo r0; 4s.
ObservaçãoSe f é definido em ra; bs, então ele tem máximo global e mínimo global(Teorema de Weierstrass), para achar eles, achamos os extremos locaisinteriores, calculamos os valores nos extremos do intervalo para finalmentecompararlos.
18a Aula
Concavidade e Pontos de inflexãoDefiniçãoSeja f : RÑ R uma função derivável no ponto c interior a Dompf qlembremos que a equação da reta tangente ao gráfico de f no pontoPpc , f pcqq éT pxq “ f pcq ` f
1
pcqpx ´ cq
1 Diremos que f é cóncava para cima no ponto c , se existe umavizinhança Bpc; δq Ă Dompf q tal que
upxq “ f pxq ´ T pxq ą 0,@x P Bpc; δq, x ‰ c
2 Diremos que f é cóncava para baixo no ponto c , se existe umavizinhança Bpc; δq Ă Dompf q tal que
upxq “ f pxq ´ T pxq ă 0,@x P Bpc; δq, x ‰ c
3 Diremos que f é concava para cima (baixo) em pa; bq se for concavapara cima (baixo) em todo ponto de pa; bq.
Concavidade e Pontos de inflexãoDefiniçãoSeja f : RÑ R uma função derivável no ponto c interior a Dompf qlembremos que a equação da reta tangente ao gráfico de f no pontoPpc , f pcqq éT pxq “ f pcq ` f
1
pcqpx ´ cq
1 Diremos que f é cóncava para cima no ponto c , se existe umavizinhança Bpc; δq Ă Dompf q tal que
upxq “ f pxq ´ T pxq ą 0,@x P Bpc; δq, x ‰ c
2 Diremos que f é cóncava para baixo no ponto c , se existe umavizinhança Bpc; δq Ă Dompf q tal que
upxq “ f pxq ´ T pxq ă 0,@x P Bpc; δq, x ‰ c
3 Diremos que f é concava para cima (baixo) em pa; bq se for concavapara cima (baixo) em todo ponto de pa; bq.
Concavidade e Pontos de inflexãoDefiniçãoSeja f : RÑ R uma função derivável no ponto c interior a Dompf qlembremos que a equação da reta tangente ao gráfico de f no pontoPpc , f pcqq éT pxq “ f pcq ` f
1
pcqpx ´ cq
1 Diremos que f é cóncava para cima no ponto c , se existe umavizinhança Bpc; δq Ă Dompf q tal que
upxq “ f pxq ´ T pxq ą 0,@x P Bpc; δq, x ‰ c
2 Diremos que f é cóncava para baixo no ponto c , se existe umavizinhança Bpc; δq Ă Dompf q tal que
upxq “ f pxq ´ T pxq ă 0,@x P Bpc; δq, x ‰ c
3 Diremos que f é concava para cima (baixo) em pa; bq se for concavapara cima (baixo) em todo ponto de pa; bq.
DefiniçãoSeja f uma função contínua no ponto c , diremos que o ponto Ppc , f pcqq éum ponto de inflexão de f se existe δ ą 0 tal que as concavidades nosintervalos pc ´ δ; cq e pc ; c ` δq são diferentes.
TeoremaSeja f : RÑ R derivável ate a segunda ordem numa vizinhançaBpc ; δq Ă Dompf q.
1 Se f2
‰ 0 e f2
ą 0, então f é concava para cima no ponto c .2 Se f
2
‰ 0 e f2
ă 0, então f é concava para baixo no ponto c .3 Se f
2
pcq “ 0 e f3
pcq ‰ 0 então Ppc ; f pcqq é um ponto de inflexão def .
DefiniçãoSeja f uma função contínua no ponto c , diremos que o ponto Ppc , f pcqq éum ponto de inflexão de f se existe δ ą 0 tal que as concavidades nosintervalos pc ´ δ; cq e pc ; c ` δq são diferentes.
TeoremaSeja f : RÑ R derivável ate a segunda ordem numa vizinhançaBpc ; δq Ă Dompf q.
1 Se f2
‰ 0 e f2
ą 0, então f é concava para cima no ponto c .
2 Se f2
‰ 0 e f2
ă 0, então f é concava para baixo no ponto c .3 Se f
2
pcq “ 0 e f3
pcq ‰ 0 então Ppc ; f pcqq é um ponto de inflexão def .
DefiniçãoSeja f uma função contínua no ponto c , diremos que o ponto Ppc , f pcqq éum ponto de inflexão de f se existe δ ą 0 tal que as concavidades nosintervalos pc ´ δ; cq e pc ; c ` δq são diferentes.
TeoremaSeja f : RÑ R derivável ate a segunda ordem numa vizinhançaBpc ; δq Ă Dompf q.
1 Se f2
‰ 0 e f2
ą 0, então f é concava para cima no ponto c .2 Se f
2
‰ 0 e f2
ă 0, então f é concava para baixo no ponto c .
3 Se f2
pcq “ 0 e f3
pcq ‰ 0 então Ppc ; f pcqq é um ponto de inflexão def .
DefiniçãoSeja f uma função contínua no ponto c , diremos que o ponto Ppc , f pcqq éum ponto de inflexão de f se existe δ ą 0 tal que as concavidades nosintervalos pc ´ δ; cq e pc ; c ` δq são diferentes.
TeoremaSeja f : RÑ R derivável ate a segunda ordem numa vizinhançaBpc ; δq Ă Dompf q.
1 Se f2
‰ 0 e f2
ą 0, então f é concava para cima no ponto c .2 Se f
2
‰ 0 e f2
ă 0, então f é concava para baixo no ponto c .3 Se f
2
pcq “ 0 e f3
pcq ‰ 0 então Ppc ; f pcqq é um ponto de inflexão def .
ExemploDetermine os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão dasseguintes funções:
1 f pxq “ x4 ´ 3x3 ´ x ` 12 f pxq “ x`3
x´3
19a Aula
Traçado de Curvas
1 Determinar o dominio Dompf q de f .
2 Determinar as interseções com os eixos.3 Verificar simetrias da função, existência de assintotas, calcular limites
laterais nos extremos do dominio e nos pontos de discontinuidade.4 Determinar os intervalos de crescimento e os valores extremos da
função.5 Determinas os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.6 Construir o grafico com o auxilio das informações anteriores.
Traçado de Curvas
1 Determinar o dominio Dompf q de f .2 Determinar as interseções com os eixos.
3 Verificar simetrias da função, existência de assintotas, calcular limiteslaterais nos extremos do dominio e nos pontos de discontinuidade.
4 Determinar os intervalos de crescimento e os valores extremos dafunção.
5 Determinas os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.6 Construir o grafico com o auxilio das informações anteriores.
Traçado de Curvas
1 Determinar o dominio Dompf q de f .2 Determinar as interseções com os eixos.3 Verificar simetrias da função, existência de assintotas, calcular limites
laterais nos extremos do dominio e nos pontos de discontinuidade.
4 Determinar os intervalos de crescimento e os valores extremos dafunção.
5 Determinas os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.6 Construir o grafico com o auxilio das informações anteriores.
Traçado de Curvas
1 Determinar o dominio Dompf q de f .2 Determinar as interseções com os eixos.3 Verificar simetrias da função, existência de assintotas, calcular limites
laterais nos extremos do dominio e nos pontos de discontinuidade.4 Determinar os intervalos de crescimento e os valores extremos da
função.
5 Determinas os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.6 Construir o grafico com o auxilio das informações anteriores.
Traçado de Curvas
1 Determinar o dominio Dompf q de f .2 Determinar as interseções com os eixos.3 Verificar simetrias da função, existência de assintotas, calcular limites
laterais nos extremos do dominio e nos pontos de discontinuidade.4 Determinar os intervalos de crescimento e os valores extremos da
função.5 Determinas os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.6 Construir o grafico com o auxilio das informações anteriores.