Post on 14-Aug-2015
Curso Técnico em Eletromecânica
Matemática Aplicada à Eletromecânica
Armando de Queiroz Monteiro NetoPresidente da Confederação Nacional da Indústria
José Manuel de Aguiar MartinsDiretor do Departamento Nacional do SENAI
Regina Maria de Fátima TorresDiretora de Operações do Departamento Nacional do SENAI
Alcantaro CorrêaPresidente da Federação das Indústrias do Estado de Santa Catarina
Sérgio Roberto ArrudaDiretor Regional do SENAI/SC
Antônio José CarradoreDiretor de Educação e Tecnologia do SENAI/SC
Marco Antônio DociattiDiretor de Desenvolvimento Organizacional do SENAI/SC
Confederação Nacional das Indústrias
Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial
Curso Técnico em Eletromecânica
Matemática Aplicada à Eletromecânica
Fernando Carlos Dorte
Florianópolis/SC2010
É proibida a reprodução total ou parcial deste material por qualquer meio ou sistema sem o prévio consentimento do editor. Material em conformidade com a nova ortografia da língua portuguesa.
Equipe técnica que participou da elaboração desta obra
Coordenação de Educação a DistânciaBeth Schirmer
Revisão Ortográfica e NormatizaçãoContextual Serviços Editoriais
Coordenação Projetos EaDMaristela de Lourdes Alves
Design Educacional, Ilustração, Projeto Gráfico Editorial, Diagramação Equipe de Recursos Didáticos SENAI/SC em Florianópolis
AutorFernando Carlos Dorte
Ficha catalográfica elaborada por Luciana Effting CRB14/937 - Biblioteca do SENAI/SC Florianópolis
SENAI/SC — Serviço Nacional de Aprendizagem IndustrialRodovia Admar Gonzaga, 2.765 – Itacorubi – Florianópolis/SCCEP: 88034-001Fone: (48) 0800 48 12 12www.sc.senai.br
Ficha catalográfica elaborada por Luciana Effting CRB14/937 - Biblioteca do SENAI/SC Florianópolis D719m
Dorte, Fernando Carlos Matemática aplicada à eletromecânica / Fernando Carlos Dorte. –
Florianópolis : SENAI/SC, 2010. 49 p. : il. color ; 28 cm.
Inclui bibliografias.
1. Matemática. 2. Matemática - Estudo e ensino. 3. Trigonometria. I.
SENAI. Departamento Regional de Santa Catarina. II. Título.
CDU 51
Prefácio
Você faz parte da maior instituição de educação profissional do estado. Uma rede de Educação e Tecnologia, formada por 35 unidades conecta-das e estrategicamente instaladas em todas as regiões de Santa Catarina.
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Estruturado com o objetivo de atualizar constantemente os métodos de ensino-aprendizagem da instituição, o Programa Educação em Movi-mento promove a discussão, a revisão e o aprimoramento dos processos de educação do SENAI. Buscando manter o alinhamento com as neces-sidades do mercado, ampliar as possibilidades do processo educacional, oferecer recursos didáticos de excelência e consolidar o modelo de Edu-cação por Competências, em todos os seus cursos.
É nesse contexto que este livro foi produzido e chega às suas mãos. Todos os materiais didáticos do SENAI Santa Catarina são produções colaborativas dos professores mais qualificados e experientes, e contam com ambiente virtual, mini-aulas e apresentações, muitas com anima-ções, tornando a aula mais interativa e atraente.
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Sumário
Conteúdo Formativo 9
Apresentação 11
12 Unidade de estudo 1
Números Decimais
Seção 1 - Introdução
Seção 2 - Operações básicas com números decimais
16 Unidade de estudo 2
Proporções
Seção 1 - Definição de pro-porção (conceito de razão)
Seção 2 - Regra de três simples
20 Unidade de estudo 3
Frações
Seção 1 - Propriedades com frações: multiplicação e divisão
Seção 2 - Propriedades com frações: adição e subtração
13
13
24 Unidade de estudo 4
Potenciação e Radiciação
Seção 1 - Propriedades de potenciação
Seção 2 - Propriedades de radiciação
30 Unidade de estudo 5
Equação de 1º e 2º Grau
Seção 1 - Introdução à equação
Seção 2 - Equação de 1º grau
Seção 3 - Equação de 2º grau
34 Unidade de estudo 6
Função de 1º e 2º Grau
Seção 1 - Definição de função
Seção 2 - Função de 1º grau
Seção 3 - Função de 2º grau
17
19
25
27
31
31
32
40 Unidade de estudo 7
Trigonometria Básica
Seção 1 - Definição de trigo-nometria
Seção 2 - O triângulo retân-gulo
Seção 3 - Teorema de Pitágoras, seno, cosseno e tangente
Seção 4 - Aplicação prática
Finalizando 47
Referências 49
21
21
35
36
37
41
41
43
45
8 CURSOS TÉCNICOS SENAI
Conteúdo Formativo
9MATEMÁTICA APLICADA À ELETROMECÂNICA
Carga horária da dedicação
Carga horária: 30 horas
Competências
Aplicar ferramentas matemáticas para resolução de problemas em sistemas industriais.
Conhecimentos
▪ Conjuntos numéricos.
▪ Operações com números decimais.
▪ Frações, potenciação e radiciação.
▪ Proporções e regra de três simples.
▪ Equações do 1º e 2º grau.
▪ Funções do 1º e 2º grau.
▪ Trigonometria básica.
Habilidades
▪ Interpretar catálogos, manuais e tabelas técnicas.
▪ Utilizar técnicas da matemática aplicada.
▪ Utilizar calculadora científica.
Atitudes
▪ Proatividade.
▪ Trabalho em equipe.
Apresentação
MATEMÁTICA APLICADA À ELETROMECÂNICA 11
Sabemos que hoje é de fundamental importância o desenvolvimento pessoal e profissional. A sociedade e as empresas almejam não somente indivíduos capacitados, mas também profissionais que sejam acima de tudo éticos e tenham atitudes proativas em busca de desenvolvimento e crescimento contínuos.Você está convidado a iniciar uma nova etapa no desenvolvimento de sua formação, com um maior aprofundamento de seus conhecimentos, utilizando-se de uma abordagem integrada entre os assuntos expostos nesta unidade curricular e suas aplicações práticas.Os fundamentos matemáticos aqui tratados estão elaborados de forma a lhe fornecer informações, objetivando contribuir para o seu cresci-mento profissional e proporcionando o interesse e a motivação para a sua autoaprendizagem. Os assuntos abordados procuram estabelecer ligações com as atividades e as situações práticas vivenciadas no dia a dia, objetivando o seu aperfeiçoamento profissional e social de uma for-ma prática, criativa e agradável por meio dos temas correlacionados e desenvolvidos.Bons estudos!
Professor Fernando Carlos Dorte
Fernando Carlos Dorte é pós-graduado em Gestão Industrial pela UNERJ Jaraguá do Sul, formado em Pedagogia para o Ensino Técnico pela UNISUL, tecnólogo em Processos de Fabricação (convênio CEFET/PR – UNERJ/SC), técnico em Mecânica pelo CIS Joinville e em Mecânica Geral pelo SENAI Taubaté. Trabalha há 25 anos na área de engenharia industrial de diversas empresas atuando como analista de processos e desenvolvendo atividades ob-jetivando a redução dos custos industriais, melhoria da quali-dade do produto, processos e também das condições de tra-balho (ergonomia). Atualmente, exerce a função de especialista de ensino no SENAI Unidade de Jaraguá do Sul, no núcleo Metal Mecânico, onde ministra além de disciplinas nas áreas de exa-tas, disciplinas relacionadas à gestão e humanas. Participou de vários cursos relativos a ges-tão industrial, sistemas da quali-dade, processos de fabricação e gestão de manutenção e ainda de cursos de formação pedagó-gica e desenvolvimento tecno-lógico pelo SENAI/SC.
Unidade de estudo 1
Seções de estudo
Seção 1 – IntroduçãoSeção 2 – Operações básicas com nú-meros decimais
13MATEMÁTICA APLICADA À ELETROMECÂNICA
SEÇÃO 1 Introdução
Leitura de um número decimal
No número decimal, temos:
Parte Inteira Parte Decimal
3 , 52
{ {
Para ler um número decimal, de-vemos proceder conforme descri-to a seguir. Acompanhe!
1. Primeiro, lemos os inteiros.
2. Depois, lemos a parte decimal seguida da palavra:
▪ décimos – caso exista apenas uma casa decimal; ▪ centésimos – caso existam
duas casas decimais; ▪ milésimos – caso existam três
casas decimais.
Exemplos
a. 2,8 (dois inteiros e oito déci-mos).
b. 3,27 (três inteiros e vinte e sete centésimos).
c. 14,008 (quatorze inteiros e oito milésimos).
d. 12,531 (doze inteiros, quinhen-tos e trinta e um milésimos).
Números Decimais
DICA Quando a parte inteira for zero, lemos apenas a parte decimal.
Exemplos
a. 0,6 (seis décimos).
b. 0,38 (trinta e oito centésimos).
c. 0,25 (vinte e cinco centési-mos).
d. 0,002 (dois milésimos).
Composição de um va-lor (padrão de leitura)
Milhar
Centena
Dezena
Unidade
,
Décimos
Centésimos
Milésimos
Décimos
milésimo
Centésimos
milésimo
Exemplo
64,5836 (sessenta e quatro intei-ros, cinco mil, oitocentos e trinta e seis décimos de milésimos).
SEÇÃO 2Operações básicas com números decimais
Adição e subtração
Prática para realizar as operações de adição e subtração com núme-ros decimais:1º Passo: é preciso organizar os números colocando vírgula abai-xo de vírgula;2º Passo: adicionar ou subtrair como se fossem números natu-rais.
Exemplos
a. Comprei uns utensílios domés-ticos de limpeza que me custa-ram, respectivamente, R$ 4,34 e R$ 2,27. Quanto gastei no total?
4,34
+2,27
6,61
14 CURSOS TÉCNICOS SENAI
Resposta: gastei um total de R$ 6,61.
c. Eu possuía uma saca contendo arroz pesando 84,63 kg; meu vizinho solicitou um emprés-timo de três conchas pesando 8,74 kg. Quantos quilos resta-ram na saca?
84,63-8,74
75,89
Resposta: restaram na saca 75,89 kg de arroz.
DICA Havendo uma quantidade de casas diferente entre os números após a vírgula, você deve igualar com ze-ros à direita.
Exemplos
a. 3,73 + 2,4
3,73+2,40 6,13
b. 47,6 – 23,84
47,60-23,84 31,76
Multiplicação
Multiplicar os números decimais como se fossem Números Na-turais.
Devemos contar o total de casas decimais dos números multipli-cados entre si para posicionar a vírgula no resultado final (pro-duto), contando da direita para a esquerda.
Exemplos
a. 4,26 x 2,3
4,26x2,31278852/
9,798
b. 0,23 x 0,007
0,23x0,0070,00161
Divisão
Dividir os números decimais como se fossem Números Natu-rais.Para se dividir números decimais, devemos igualar as casas decimais destes, completando com quantos zeros forem necessários.
Exemplos
a. 3,52 ÷ 0,2 = Igualando as casas decimais: 3,52 ÷ 0,20
Após as casas decimais estarem com a mesma quantidade de al-garismos, eliminamos as vírgulas e procedemos a divisão como se fossem números naturais.
352 | 20 20 17,6 152 140 0120 120 0
Números Naturais: Integram ao conjunto dos Números Naturais (N) os números não decimais e maiores ou iguais a zero.N = {0, 1,2,3...}.
15MATEMÁTICA APLICADA À ELETROMECÂNICA
Observe que a divisão foi efetuada como se tivéssemos multiplicado ambos os números decimais por 100, eliminando assim as vírgulas.
b. 68,4 ÷ 1,44 = 684 ÷ 144 = 47,5 (ambos multiplicados por 100).
c. 3,458 ÷ 0,25 = 3458 ÷ 250 = 13,832 (ambos multiplicados por 1.000).
DICA Podemos encontrar expressões que envolvem adições, subtrações, multiplicações e divisões. Quando isso ocorrer, devemos primeira-mente efetuar a multiplicação ou divisão e somente após somar ou subtrair, salvo operações que se encontrem entre parênteses.
Exemplo
a. 3,5 x 2,45 + 2,5 = multiplicando: 3,5 x 2,45 = 8,575.
Finalmente, soma-se o resultado ao valor restante: 8,575 + 2,5 = 11,075.
Compreendido isso, que tal agora você avançar em seus estudos e co-nhecer o conceito de razão? A compreensão deste conceito é primordial para o entendimento de proporções, tema da unidade de estudo a seguir. Vamos! O que você está esperando para prosseguir? Bons estudos!
Unidade de estudo 2
Seções de estudo
Seção 1 – Definição de proporção (con-ceito de razão)Seção 2 – Regra de três simples
17MATEMÁTICA APLICADA À ELETROMECÂNICA
SEÇÃO 1 Definição de proporção (conceito de razão)
Para compreendermos a definição e aplicação prática de proporção, devemos entender o conceito de razão.
Razão
Entre dois números dados, é o quociente do primeiro pelo se-gundo, ou seja, a relação entre es-ses números.
Exemplo
De cada 10 bolas coloridas, 5 são azuis. Portanto, 5 em 10 são azuis.
5 → Lê-se 5 para 10;10 A razão é “0,5“ pois 5 ÷ 10 = 0,5 Os números dados são os ter-mos da razão e, em toda razão, o dividendo é chamado anteceden-te e o divisor é chamado conse-quente.
12 → Antecedente2 → Consequente
Proporção
É a igualdade entre duas ou mais razões, isto é, mantendo-se a mes-ma relação (quociente) entre o antecedente e o consequente de cada uma das razões temos razões proporcionais.
Proporções
Exemplo
9 = 6 12 8
Lê-se: 9 está para 12, assim como 6 está para 8.
Note que a razão para cada uma das relações é mantida inalterada, isto é, igual a “0,75”, portanto, são razões proporcionais.Os números que compõem uma proporção são chamados termos, os quais recebem denominações especiais. O primeiro e o último termo entre duas razões são os extremos e os outros recebem a denominação de meios:
extremo
meio
meio
extremo
→→
=←←
86
129
7289
72612
86
129
=×→=×→
=
Propriedade fundamental das proporções: “O produto dos extremos é igual ao produto dos meios.” (NEVES, [200-?]).
Grandezas direta e inversamente proporcio-nais
Duas grandezas são diretamen-te proporcionais quando, ao se aumentar o valor de uma certo número de vezes, o valor da outra aumenta o mesmo número de ve-zes, ou quando, ao se diminuir o valor de uma, o valor da outra di-minui o mesmo número de vezes.
Exemplo
Uma pessoa paga R$ 2,58 por um litro de gasolina, por 45 litros pa-gará o valor de: 45 x R$ 2,58 = R$ 116,10.
Tabela 1 - Grandezas Diretas
Gasolina Preço (R$)
1 litro 2,58
2 litros 5,16
5 litros 12,90
10 litros 25,80
45 litros 116,10
18 CURSOS TÉCNICOS SENAI
Nas grandezas diretamente proporcionais, a razão entre os valores cor-respondentes é constante.
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentan-do a grandeza de uma certo número de vezes, a grandeza da outra dimi-nui o mesmo número de vezes, ou quando, ao se diminuir a grandeza de uma, a grandeza da outra aumentará o mesmo número de vezes.
Exemplo
Relação entre velocidade e tempo necessário para percorrer a distância de 180 km.
Tabela 2 - Grandezas Inversas
Velocidade (km/h) Tempo (horas)
90 2
60 3
45 4
36 5
30 6
Sempre que duas grandezas são inversamente proporcionais, o produto entre os valores correspondentes é constante.90 x 2 = 60 x 3 = 36 x 5 = 30 x 6 = 180
58,245
10,11610
80,25590,12
216,5
158,2
=====
19MATEMÁTICA APLICADA À ELETROMECÂNICA
SEÇÃO 2Regra de três simples
Por meio da regra de três podemos determinar um termo desconhecido de uma relação de proporção, caso sejam conhecidos os demais termos. A regra de três se baseia na propriedade fundamental das proporções.
Exemplo
a.
:4
122
epropriedadaAplicandox
∴=
:1224 Assimx ×=×
64
244122
=∴=∴×
= xxx
b. Se um minuto equivale a 60 s, então 400 min equivalem a quantos segundos?
Visto a regra de três simples, estudaremos agora as frações, nosso próxi-mo tema de estudo. Continue antenado!
Montando a proporção: xs
s
⇒⇒
min400
60min1 Portanto:
x60
4001
=
400601 ×=× x Matematicamente: sxx 24000140060
=∴×
=
Unidade de estudo 3
Seções de estudo
Seção 1 – Propriedades com frações: multiplicação e divisãoSeção 2 – Propriedades com frações: adição e subtração
21MATEMÁTICA APLICADA À ELETROMECÂNICA
SEÇÃO 1 Propriedades com frações: multiplicação e divisão
Números fracionários são for-mas de representação numérica, significando uma relação de pro-porção, que não passa de uma di-visão entre valores apresentada da seguinte forma:
Multiplicação com frações
A operação de multiplicação en-tre frações é muito simples, basta multiplicar os numeradores entre si e os denominadores entre si.
Exemplos
a.
286
4732
43
72
=××
=⋅
b.
43
34
154135
43
5 ==××
=⋅
Frações
Divisão com frações
A operação de divisão com frações segue a seguinte regra: para se dividir fração por fração, deve-se transformar a operação de divisão em uma multiplicação. No entanto, é necessário respeitar o seguinte processo: a primeira fração é mantida inalterada enquanto ela é multiplicada pela segunda fração invertida. Em outras palavras, o numerador é trocado pelo denominador dessa mesma fração. Por fim, a regra da multiplicação é aplicada.
Observe que no exemplo “b” a fração resultante possui o numerador maior que o denominador, para realizar sua simplificação foram retira-dos os inteiros do número fracionário, formando uma fração composta.
SEÇÃO 2Propriedades com frações: adição e subtração
As operações de adiçãoe subtração de frações exigem uma condição fundamental a ser respeitada, acompanhe!
Para se efetuar as operações de adição e subtração entre duas ou mais fra-ções, os denominadores das respectivas frações “devem ser iguais”, pois devemos manter uma relação de proporcionalidade entre elas.
Fração equivalente
Frações equivalentes são aquelas que não alteram sua grandeza, repre-sentam a mesma parte de um inteiro, assim, mantemos a essa relação de proporção entre numerador e denominador da fração, multiplicando ou dividindo os mesmos por um único valor.
Exemplos
a.
218
3742
34
72
43
:72
=××
=×=
b.
32
63
203145
34
543
5 ==××
=×=÷
Segunda fração invertida
22 CURSOS TÉCNICOS SENAI
21
Ex.: 42
2
12
2
=×
×
e 21
4
22
2
=÷
÷
42
Assim: ""
21
e ""
42
são frações equivalentes.
21
42
Para igualar os denominadores das frações a serem somadas ou subtraí-das, podemos aplicar a sistemática do Mínimo Múltiplo Comum (m.m.c).Vamos relembrar como obter o Mínimo Múltiplo Comum (m.m.c.) en-tre dois ou mais denominadores:
Ex.: ?61
103
32
=+−
30532
5
3
2
111
511
533
10,6,3
=××
Assim: 158
30
1630
5920305
309
3020
61
103
32
2
2
ivalentesFraçõesEqu
adorcomummindenogosadoresantimindeno
==+−
=+−=+− ÷
÷
= ÷
é o m.m.c. de 3, 6 e 10.
×
23MATEMÁTICA APLICADA À ELETROMECÂNICA
DICA Processo: dividir o novo denominador das frações equivalentes pelo antigo de cada fração e multiplicar esse resultado pelo numerador respectivo de cada fração.
Exemplos
a.
2013
2058
41
52
=+
=+
b.
165
1638
163
21
=−
=−
Com o tema propriedades com frações: adição e subtração, você con-cluiu aqui a terceira unidade de estudo. Antes de avançar para uma pró-xima unidade, certifique-se de que apreendeu todas as dicas e orienta-ções para operar propriedades com frações. Vamos! Não custa conferir. Como diz o ditado, “o seguro morreu de velho...”
Unidade de estudo 4
Seções de estudo
Seção 1 – Propriedades de potenciaçãoSeção 2 – Propriedades de radiciação
25MATEMÁTICA APLICADA À ELETROMECÂNICA
SEÇÃO 1 Propriedades de potenciação
A potenciação indica o produto (multiplicações) de fatores (números) iguais, representado da seguinte forma:
an = a . a . a .( . . .) . a{ n = número de vezes que o fator “a” deve ser multiplicado). Sendo:
Símbolo de potência: an expoente basePor exemplo, o produto: 5 . 5 . 5 . 5 pode ser indicado na forma 54.
Exemplos
23 = 2. 2. 2 = 8 32 = 3. 3. = 944 = 4. 4. 4. 4 = 256 53 = 5. 5. 5 = 125
Atenção: todo número inteiro é uma potência de expoente 1.
Ex.: 7 = 71
Podemos reverter o processo, neste caso, transformar um número intei-ro não primo em potência, fatorando esses números. Observe.
Exemplo 8 = 23 8 2
4 2 2 2 1 8
Multiplicação de potências
Bases iguais: para multiplicar potências de mesma base, deve-se man-ter a base e somar os expoentes. am . an = am+n
Exemplos
a. a4 . a7 = a4+7 = a11
b. 25 . 22 = 25+2 = 27
Expoentes iguais: para multiplicar potências de mesmo expoente, deve-se manter o expoente e multiplicar as bases.
Potenciação e Radiciação
xn . yn = x .yn
Exemplos
a. a5 . b5 = a . b5
b. 57 . 27 = (5 . 2)7 = 107
Divisão de potênciasBases iguais: para dividir potên-cias de mesma base, deve-se man-ter a base e subtrair os expoentes.
nmn
m
aa
a −=
Exemplos
2242
4
333
3== −
5838
3
555
5 −− ==
a.
b.
Expoentes iguais: para dividir potências de mesmo expoente, deve-se manter o expoente e divi-dir as bases.
n
n
n
yx
y
x
=
26 CURSOS TÉCNICOS SENAI
Exemplos
4
4
4
43
4
3
=
22
2
2
23
46
4
6
=
=
a.
b.
Potências de base negativa
Podemos encontrar potências com base negativa em que o sinal de ne-gatividade pode estar sob o efeito do expoente (entre parênteses) ou não.
Exemplos
a. 81)3.3.3.3(34 −=−=−
b. 81)3.3.3.3()3( 4 =−−−−=−
c. 8)2.2.2(23 −=−=−
d. 8)2.2.2()2( 3 −=−−−=−
a.
b.
c.
d.
Conclusões
Sempre que a base for negativa, isto é, o sinal também estiver sob a influência do expoente (entre parênteses), o resultado depende-rá da regra dos sinais.
DICA Observe que se o expoen-te for par, o resultado será positivo; e se o expoente for ímpar, o resultado será negativo.
2
12 1 =−
271
3
13 3
3 ==−
41
249
2
323
32
2
222
===
=
−
31
134
3
434
43
1
111
===
=
−
Expoente igual a zero (0)
Toda potência de expoente 0 é igual a 1.
a0 = 1
Exemplos 20 = 1
30 = 1
100 = 1
1000 = 1
3000 = 1
10000 = 1
Potência de expoente negativo
Podemos alterar o expoente nega-tivo de uma potência para positi-vo invertendo a base.
nn
aa
1=−
Exemplos
a.
b. c. d.
Expoente de expoente
Existem duas formas para en-contrar potências elevadas a um determinado expoente. Em uma situação, tem-se a base sendo uma potência (entre parênteses) (am)n =
am-n; e, em outra, tem-se apenas o expoente da base elevado a outro expoente:
)".."...( vezesnmesmoelepordomultiplicamnm aa =
Neste caso, elevamos o expoente da base ao segundo expoente.
Exemplos
a. b. c. d.
Notação científica – potência de dez (10)
Aplicamos números representa-dos em forma de notação cientí-fica quando esses números forem de grandeza muito reduzida ou de grandeza muito elevada, com o objetivo de facilitar seu enten-dimento ou os cálculos a serem efetuados.Para representar um número em notação científica devemos res-peitar o seguinte formato: a x 10n em que: “a” deverá ser um núme-ro entre 1,00 e 9,99 multiplicado por uma potência de expoente “n” e base 10.
DICA Quando o expoente “n” for positivo, devemos acres-centar zeros ao valor “a” ou deslocar a vírgula para a di-reita; quando for negativo, devemos acrescentar casas decimais ou deslocar a vír-gula para a esquerda.
( ) 63.232 33)3( ==
( ) 62.323 22)2( ==
( ) 82.2.22 3333
==
( ) 93.33 2222
==
27MATEMÁTICA APLICADA À ELETROMECÂNICA
Exemplos
a.
b.
c.
d.
e.
f.
SEÇÃO 2Propriedades de radiciação
A radiciação é a operação inversa da potenciação, na qual:
xyyx nn=∴=
Sendo: xyyx nn=∴=
n – é chamado índice;x – é chamado radicando.√ – é chamado radical.
DICA Devemos lembrar que quan-do o índice não aparecer na representação, temos uma raiz quadrada, assim, o índi-ce é n = 2.
Exemplos
a.
b.
Multiplicação e divisão de raízes
Para multiplicar e dividir raízes, deve-se possuir o mesmo índice.
Multiplicação
Multiplicamos duas ou mais raízes entre si mantendo o índice e mul-tiplicando os radicandos.
nnn xyyx =×
Divisão
Dividimos duas raízes entre si mantendo o índice e dividindo os radicandos.
nn
n
yx
y
x=
Exemplos
a.
b.
c.
d.
Raiz de raiz
Quando temos a raiz de outra raiz podemos transformá-la em uma única raiz multiplicando os índi-ces das raízes.
mnnmm n xxx =∴ .
Exemplos
a.
b.
c.
d.
Raiz de uma potência
Quando temos a raiz de uma po-tência podemos transformá-la em uma potência de expoente fracio-nário, ou vice-versa, caso isso fa-cilite a simplificação da expressão matemática.
nm
n m xx ⇔
Exemplos
a.
b.
c.
d.
DICA Muitas vezes podemos fa-torar o radicando e obter uma potência.
Exemplo
5
35 35 228 =∴
4108365,448365 ×=
81062,50000000562,0 −×=
3,45 x 34500104 =
1,38 x 00138,010 3 =−
8 x 000.000.000.8109 =
6,8 x 0000068,010 6 =−
9339 2 =∴=
8228 33=∴=
3333 153535 =×=×
63232 =×=×
55
5
75
7
5=
444
4
21
63
6
3==
12433 4 777 == x
10255 333 == x
242433 4 777 == ×x
10525 333 == x
32
3 2 55 ⇔
72
7 2 33−− ⇔
7721
⇔
5 252
2104
4,0 2222 ⇔∴∴ ÷
28 CURSOS TÉCNICOS SENAI
Potência de raiz
Quando temos a potência de uma raiz dizemos que o radicando dessa raiz está elevado ao mesmo expoente.
( ) n ppn xx ∴
Exemplos
( ) 4
34 334 5::55 recordando∴
Aplicando as propriedades já conhecidas:
( ) 4 3444434 55555555 ∴××=××∴
Redução de radicais ao mesmo índice
Podemos alterar o índice de uma raiz com o objetivo de aplicar alguma outra propriedade já conhecida, ou mesmo objetivando a simplificação da expressão matemática.Procedemos multiplicando ou dividindo o índice da raiz e o expoente do radicando por um mesmo número, assim, mantemos a sua grandeza.
pn pmn m xx× ×∴
Exemplos
a.
b.
c.
6 423 223 2 333 ∴∴ × ×
10 552 51 222 ∴∴ × ×
666 326 36 232 3123 213 728923232323 ∴×∴×∴×∴×∴× × ×× ×
29MATEMÁTICA APLICADA À ELETROMECÂNICA
Adição e subtração de raízes
Somente podemos somar ou subtrair raízes que forem totalmente iguais, isto é, que possuírem o mesmo índice e o mesmo radicando.
444 3.233 =+
Exemplos
a.
b.
c.
Aplicando a propriedade de potenciação teremos:
23222 2 +× .
Lembrando a propriedade de multiplicação de raízes.
222222222 2 22 ××⇒××⇒×
Assim:
272324 ∴+
Iniciaremos agora a quinta unidade de estudo. Perceba que já fizemos uma boa caminhada até aqui. Mas não pense que acabou! Ainda há mui-to pela frente... Bons estudos!
26252 =+
74747375 =−+
23222382 3 +∴+
Unidade de estudo 5
Seções de estudo
Seção 1 – Introdução à equaçãoSeção 2 – Equação de 1º grauSeção 3 – Equação de 2º grau
31MATEMÁTICA APLICADA À ELETROMECÂNICA
SEÇÃO 1 Introdução à equação
Para resolvermos expressões ma-temáticas aplicamos a lógica, assim, conseguimos transformar desafios cotidianos em um “pro-blema matemático”, esse é o pri-meiro passo para entender e resol-ver uma equação de igualdade que possua pelo menos uma incógnita (valor que você não conhece) re-presentada por letra.Vejamos a condição seguinte. Pense em um número, multipli-que-o por 2, diminua 5 e o resul-tado será 3. Que número é esse?Para resolver, devemos nos utili-zar das operações inversas e ini-ciar pelo fim, veja. 1º Passo: 3 + 5 = 8 (a adição é a operação inversa da subtração).2º Passo: 8 ÷ 2 = 4 (a divisão é a operação inversa da multiplica-ção).Assim obteremos o número resul-tante que é 4.Porém podemos descrever o de-safio de forma diferente, veja. 1º Passo: “Pense em um núme-ro”: como não conhecemos esse número, pode ser qualquer valor, assim, vamos representá-lo por uma letra, que tal X?
x
2º Passo: “multiplique-o por 2”:
2 . x
3º Passo: “diminua 5”:
2x - 5
4º Passo: o resultado será 3:
2x - 5 = 3
Equação de 1º e 2º grau
Resolvendo pelas operações inversas:
2 . x = 3 + 5
x = 3 + 5
2
x = 4
SEÇÃO 2Equação de 1º grau
Definição de equação
Qualquer expressão matemática determinada por uma condição de igual-dade, formada por uma ou mais letras (variáveis ou incógnitas) que repre-sentem valores numéricos desconhecidos. Define-se como sendo de 1º grau quando suas variáveis constituem uma potência de expoente igual a 1.A expressão matemática situada à esquerda da igualdade é denominada: 1º membro da equação (ou igualdade).A expressão matemática situada à direita da igualdade é denominada 2º membro da igualdade (ou equação).
incógnitaouiávelvaraé"x"oOnde35x2IgualdadeEquação
=−
DICA Podemos transformar uma equação em outra equivalente simplifica-da adicionando ou subtraindo um mesmo valor em ambos os mem-bros da equação. Ou ainda, multiplicando ou dividindo seus mem-bros por um mesmo valor, diferente de zero.
Exemplo
)5(0)5(5x:teremosmembrososambosa5Somando05x +=+−=−
Portanto: x = 5
32 CURSOS TÉCNICOS SENAI
Assim, solucionar uma equação significa encontrar as grandezas de suas incógnitas, valor esse que deverá respeitar a condição de igualdade.
Exemplos de equação de 1º grau
a.
b.
SEÇÃO 3Equação de 2º grau
Também conhecida como equação quadrática, é uma equação polino-mial matemática. Para que a equação seja considerada quadrática, é ne-cessário que sua incógnita forme uma potência de expoente 2 e siga a forma geral:
0cbxax2 =++
Sendo que: “a”, “b” e “c” são os coeficientes da equação; o coeficiente “a” deve ser sem-pre diferente de zero (caso con-trário, não teríamos uma equação de 2º grau);a incógnita “x”, que determina a equação quadrática, é a grandeza a ser determinada.A maneira mais simples e prin-cipal de se resolver uma equação quadrática é aplicar a chamada Fórmula de Bhaskara:
a2ac4bb
x2 −±−
=
sendo “a”, “b” e “c” os mes-mos coeficientes da equação de 2º grau. A partir dessa fórmula po-demos encontrar os possíveis va-lores para a resolução da equação. A parcela da Fórmula de Bhaska-ra b2 - 4ac também é conhecida como Δ. Vale salientar que po-demos encontrar duas grandezas possíveis que atendam a con-dição de igualdade da equação.
108x2 =+
810x2 −=
1x22
x2
810x =∴=∴
−=
108x2 =+
810x2 −=
1x22
x2
810x =∴=∴
−=
108x2 =+
810x2 −=
1x22
x2
810x =∴=∴
−=
75x =+
57x −=
2x =
33MATEMÁTICA APLICADA À ELETROMECÂNICA
Exemplo
02x7x3 2 =+−
Temos:
a = 3 b = –7 c = 2
Sabendo-se que:
ac4b2 −=∆ Obteremos:
( ) 2.3.47 2 −−=∆
Concluindo:
252449 =∆∴−=∆
Aplicando a Fórmula de Bhaskara:
3257
x±−
=
Assim:
2x6
122.3
5)7(x 11 =∴∴
+−−=
31
x62
2.35)7(
x 12 =∴∴−−−
=
Visto isso, que tal agora saber se você apreendeu tudo até aqui? Retome os exemplos. Se possível, refaça-os. Articular teoria e prática, esse é o segredo. Bom trabalho!
Unidade de estudo 6
Seções de estudo
Seção 1 – Definição de funçãoSeção 2 – Função de 1º grauSeção 3 – Função de 2º grau
35MATEMÁTICA APLICADA À ELETROMECÂNICA
SEÇÃO 1 Definição de função
O conceito de função é um dos mais importantes em toda a mate-mática por se tratar de estabelecer a relação de grandezas entre si. Tem grande importância não só pela sua aplicação na Matemática, mas também na Química, Biolo-gia, Física, entre outras ciências. Dessa forma, podemos dizer que a função está presente em nosso dia a dia e nos possibilita entender melhor o mundo que nos cerca.
Eis alguns exemplos práticos para compreensão das relações entre grandezas e da importância da função:
a. o preço de uma refeição em função do peso;
b. a altura de uma pessoa em fun-ção de sua idade;
c. o salário de um vendedor em função do volume de vendas;
d. a área de um quadrado em fun-ção da medida seu lado.
Função de 1º e 2º Grau
DICA Nesses pequenos exemplos se reflete o conceito de função, perce-ba que existe uma relação entre as duas grandezas, e que a varia-ção de uma depende da variação da outra.
Domínio e imagem
Nos exemplos anteriores, o peso expressa a grandeza que chamamos domínio, enquanto a grandeza preço expressa o que chamamos ima-gem.Tomando um dos exemplos citados acima, vamos verificar como pode-mos relacioná-lo com função, utilizando-se de um quadro. No 1º exemplo podemos afirmar que o valor da refeição é de R$15,00/kg, portanto:
Peso 0,5 1 1,5 2 2,5
Preço (R$) 7,50 15 22,50 30,00 37,50
Perceba que o valor da refeição é uma grandeza variável e que o peso também é uma grandeza variável, assim, podemos afirmar que o preço é função do peso.
36 CURSOS TÉCNICOS SENAI
Notação de uma função
Representamos a função pela letra “f ” e, matematicamente, utilizamos letras para representar grandezas variáveis, assim, no exemplo citado an-teriormente vamos utilizar “x” para representar a variável peso e “y” para a variável preço.
Assim:
"x"defunçãoé"y"quesignifica)x(fy ⇒=
A função do exemplo acima fica desta forma:
x.15)x(f =
SEÇÃO 2Função de 1º grau
Funções e gráficos
Frequentemente nos deparamos com tabelas e gráficos em jornais, re-vistas e, especialmente, em empresas. De forma simples, são transmi-tidos os mais variados tipos de informações, acontecimentos do dia a dia, desempenho de uma empresa, etc. Pela compreensão de funções podemos facilmente interpretar e compreender os dados apresentados nesses gráficos e até projetar possíveis tendências.Para construir um gráfico baseado numa função, basta atribuir valores do domínio da função e calcular suas respectivas imagens por meio da sentença matemática que define essa função.A função de 1º grau com duas variáveis pode ser representada por uma equação de 1º grau, em que:
bx.a)x(f += Valor inicial Portanto: bx.ay +=
Variável determinante
Variação constante
Observação: se a grandeza “a” for positiva, temos uma função crescen-te; se for negativa, a função é decrescente. Para “a” nulo (a = 0) obtemos uma função constante.O valor “b” corresponde à ordenada do ponto no gráfico de f(x) que cruza o eixo “y”:
37MATEMÁTICA APLICADA À ELETROMECÂNICA
Figura 1 - Exemplos de Gráficos da Função de 1º Grau
Exemplo
Para a função 2
x)x(f =
x 2 4 6 8
y 1 2 3 4
Obtenção dos valores de “y” em função de “x”:
1y22
y2
xy 11
11 ==∴=
2y24
y2
xy 22
22 ==∴=
3y26
y2
xy 33
33 ==∴=
4y28
y2
xy 44
44 ==∴=
Elaborando o gráfico
Figura 2: Gráfico 2x
)x(f =
Observação: o gráfico de uma função de 1º grau gera uma reta.
SEÇÃO 3Função de 2º grau
Denominamos função de 2º grau como sendo toda função que tem o fator de uma potência quadrá-tica e suas variáveis, por isso, a função de 2º grau também é co-nhecida como função quadrática. Como vimos em função de 1º grau, a função de 2º grau também é representada por uma equação, e a equação que melhor represen-ta uma função de 2º grau é uma equação já conhecida nossa:
cbxax)x(f 2 ++=
.
Observação: para termos uma fun-ção de 2º grau, o termo “a” deve ser diferente de “0”.
Funções e gráficos
Como na função de 1º grau ob-temos gráficos que podem repre-sentar a função, assim também podemos elaborar gráficos a par-tir de uma função de 2º grau.Os gráficos gerados por uma função de 2º grau têm uma par-ticularidade, o resultado das co-ordenadas obtidas pelos cálculos formará uma parábola.
38 CURSOS TÉCNICOS SENAI
Exemplo
Vejamos a função: x6x)x(f 2 +−
na qual entendemos: y = -x² + 6x.
Vamos determinar valores para “x” e obter grandezas relativas para “y”.
Elaborando o gráfico
Coordenadas Gráfico
x y Cálculo
1 5 y = - 12 + 6 . 1 y = -1 + 6 y = 5
2 8 y = - 22 + 6 . 2 y = -4 + 12 y = 8
3 9 y = - 32 + 6 . 3 y = -9 + 18 y = 9
4 8 y = - 42 + 6 . 4 y = -16 + 24 y = 8
5 5 y = - 52 + 6 . 5 y = -25 + 30 y = 5
6 0 y = - 62 + 6 . 6 y = -36 + 36 y = 0
Figura 3 - Gráfico de Parábola
39MATEMÁTICA APLICADA À ELETROMECÂNICA
Quando a > 0, o gráfico da função forma uma parábola côncava para cima. Quando a < 0, a parábola é côncava para baixo.
Tabela 3 - Tipos de Parábolas
Fonte: Coser (2009).
Estamos chegando ao final desta unidade curricular. A unidade de es-tudo que veremos a seguir trata especialmente da trigonometria básica. Aqui você terá algumas noções introdutórias de trigonometria.
Unidade de estudo 7
Seções de estudo
Seção 1 – Definição de trigonometriaSeção 2 – O triângulo retânguloSeção 3 – Teorema de Pitágoras, seno, cosseno e tangenteSeção 4 – Aplicação prática
41MATEMÁTICA APLICADA À ELETROMECÂNICA
SEÇÃO 1 Definição de trigonometria
De origem grega, “trigonon + metria” significa o estudo puro e simples das medidas dos lados, ângulos e outros elementos dos triângulos. A tri-gonometria é usada em várias áreas das ciências, como as Engenharias, a Física, a Astronomia, a Navegação, etc., segundo Cardoso (2009).
Para aplicação em nossa área iremos estudar, em particular, os funda-mentos e as propriedades relativas ao triângulo retângulo e para isso é fundamental o conhecimento dessa figura geométrica.
SEÇÃO 2O triângulo retângulo
Triângulo retângulo é todo triângulo que possui um de seus ângulos com inclinação igual a 90° (ângulo reto). Como já sabemos, a somatória dos
ângulos internos de um triângulo é igual a 180° ∑ °=180Ângulos
, então, para em um triângulo retângulo os outros dois ângulos somarão 90° (ângulos complementares) °=+ 90βα
.Os lados de um triângulo retângulo são denominados de forma especial, tomando-se como referência o ângulo reto (90°), de acordo com suas posições em relação a esse ângulo. O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa, ou também o maior lado do triângulo retângulo. Os lados que formam o ângulo reto são conhecidos por catetos.
Figura 4 - Triângulo Retângulo
Trigonometria Básica
Hipotenusa: hypoteinusa = hipó (por baixo) + teino (eu estendo).
Catetos: cathetós (perpendi-cular).
42 CURSOS TÉCNICOS SENAI
Identificando os cate-tos
Como já aprendemos, os cate-tos são os lados do triângulo que formam o ângulo reto, devemos diferenciá-los entre si tomando como referência outros dois ân-gulos restantes, pois será necessá-rio utilizar um desses ângulos, ou mesmo os dois, para podermos aplicar as relações trigonométri-cas ao triângulo retângulo.
Esse ângulo complementar será considerado o ângulo de referên-cia para basear os cálculos mate-máticos que iremos estudar, bem como orientar as práticas envolvi-das nesta unidade.
É primordial a interpretação cor-reta de um triângulo retângulo e a identificação de suas informações, em especial seus catetos, para que possamos desenvolver os cálculos necessários e compreender suas relações. Portanto, continue ante-nado em sua aprendizagem.
Figura 5 - Ângulos Complementares
Cateto oposto e cateto adjacente
Orientados por esse ângulo de referência determinado, podemos distin-guir os catetos e identificar adequadamente todas as características do triângulo retângulo analisado.
Cateto oposto
Entendemos por cateto oposto o lado do triângulo que fica oposto ao ângulo determinado como ângulo de referência.
Figura 6 - Ângulo de Referência: Cateto Oposto
43MATEMÁTICA APLICADA À ELETROMECÂNICA
Cateto adjacente
Entendemos por cateto adjacente o lado do triângulo que forma conjun-tamente com a hipotenusa esse mesmo ângulo de referência.
Figura 7 - Ângulo de Referência: Cateto Adjacente
Nota: alterando o ângulo de referência, alteramos os ca-tetos oposto e adjacente.
SEÇÃO 3Teorema de Pitágoras, seno, cosseno e tangente
Teorema de Pitágoras
Existe uma relação direta entre os lados de um triângulo e por meio des-sa afirmação foi elaborada uma teoria na qual Pitágoras pôde demons-trar que: "Em um triângulo retângulo, a hipotenusa ao quadrado é igual à soma dos quadrados dos catetos".
222 catetocatetohip +=
Figura 8 - Teorema de Pitágoras
Seno
Num triângulo retângulo, o sen de determinado ângulo de referência é dado pela razão (divisão) entre o cateto oposto (CO) a esse ângulo e a hipotenusa (HIP).
HIPCO
sen =α
Figura 9 - Lei do Seno
44 CURSOS TÉCNICOS SENAI
Cosseno
Num triângulo retângulo, o cos de determinado ângulo de referência é dado pela razão (divisão) entre o cateto adjacente (CA) a esse ângu-lo e a hipotenusa (HIP).
HIP
CAcos =α
Figura 10 - Lei do Cosseno
Tangente
Num triângulo retângulo, a tg de determinado ângulo de referência é dada pela razão (divisão) entre o cateto oposto (CO) e o cateto adjacente (CA) a esse ângulo. Po-demos também dividir o valor do seno do ângulo pelo valor do cos-seno do mesmo ângulo e, assim, obteremos a sua tangente,
ou
CA
COtg =α
ααα
cossen
tg =
Figura 11 - Lei da Tangente
Exemplo
Determinar as dimensões faltantes para o triângulo retângulo abaixo.
Dados: ângulo 30° e CO 122 mm.Sendo a dimensão “x” o CA em relação ao ângulo de referência, aplica-mos a fórmula da tangente:
mm3,211x
30tg122
xx
12230tg
CACO
tg =∴°
=∴=°∴=α
Utilizando os mesmos dados e sendo “y” a hipotenusa, aplicamos a fór-mula do seno:
mm244y
30sen122
yy
12230sen
HipCO
sen =∴°
=∴=°∴=α
Sendo “α” um ângulo complementar:
°−°=∴°=°+°=+ 3090903090 ααβα
°= 60α
45MATEMÁTICA APLICADA À ELETROMECÂNICA
SEÇÃO 4Aplicação prática
A trigonometria nasceu entre os gregos e foi aplicada à Astrono-mia pura. Suas primeiras apli-cações práticas ocorreram com Ptolemaios, por volta do ano 150 d.C., que a usou para determinar a latitude e a longitude de cidades e de outros pontos geográficos em seus mapas.Do mundo grego, a trigonometria passou para a Índia, onde era usa-da a partir do século V nos cál-culos astrológicos. No ano 800, aproximadamente, ela chegou ao mundo islâmico, onde foi muito desenvolvida e utilizada na Astro-nomia e Cartografia. Alcançou, com os livros de Ptolemaios, a Europa Cristã em torno do ano de 1100. Com os portugueses, en-controu uma aplicação de enorme valor econômico na navegação oceânica.Até cerca do ano de 1600, todas as aplicações da trigonometria nada tinham a ver com problemas de agrimensura ou topografia.A trigonometria possui uma in-finidade de aplicações práticas, vejamos alguns exemplos que en-volveram a necessidade da aplica-ção da trigonometria e que ainda hoje continua sendo largamente aplicada:
Os gregos, há mais de 2000 anos, conseguiram determinar o raio da Terra (distância inacessível). Os astrônomos precisaram, no passado, determinar a distância da Terra até a Lua. Muito utilizada ainda hoje pelos navios para determinar distâncias entre ilhas, de sua posição até a costa, etc. Os cartógrafos se utilizam dos recursos trigonométricos para de-terminar a altura de montanhas, o comprimento de rios, desenhar mapas, etc. Um engenheiro aplica a trigono-metria para determinar larguras de rios e assim construir uma ponte, em dimensionamentos de componentes mecânicos, etc.Em atividades de produção, nas quais operadores de equipamen-tos de usinagem determinam re-gulagens para preparação de má-quinas operatrizes ou fabricação de produtos.Como podemos notar, são inúme-ras as possibilidades de aplicação da trigonometria em nosso coti-diano e, em especial, em nossas atividades. Encontre você mesmo outras possibilidades de aplicação da trigonometria em sua vida. Va-mos! Não é difícil...
Trigonometria: Astronomia, Cartografia e Navegação Oce-ânica.
47MATEMÁTICA APLICADA À ELETROMECÂNICA
Finalizando
Este material foi elaborado de forma a relacionar todos os assuntos abordados com a vivência prática necessária para o desenvolvimento das atividades profissionais inerentes ao seu curso.
Todos os temas abordados são de fundamental importância para o seu crescimento profissional e pessoal dentro do ambiente de trabalho, bem como para o seu crescimento social, procurando lhe proporcionar capacitação para que se torne autodidata, possa se aprofundar cada vez mais nos assuntos e, assim, crescer no mercado de trabalho tão concorrido e exigente.
Esperamos ter atingido nossos objetivos e desejamos que você possa aprofundar seus conheci-mentos e desenvolver suas habilidades e atitudes.Sucesso!
Referências
49MATEMÁTICA APLICADA À ELETROMECÂNICA
▪ CARDOSO, Adriano Sumar. Matemática na cabeça: Trigonometria. 2009. Disponível em: <http://profdrico.sites.uol.com.br/trigono2.html>. Acesso em: 20 out. 2009.
▪ COSER, Marcelo Cóser. Funções de 1º grau. 2009. Disponível em: <http://www.marce-locoser.com.br/03_funcoes1.pdf>. Acesso em: 01 nov. 2009.
▪ NEVES, Márcio. Proporção. [200-?]. Disponível em: <fadepe.com.br/restrito/conteudo/matematica_proporcao.doc>. Acesso em: 10 jan. 2010.
Bibliografia complementar
▪ COLÉGIO Trilíngue Inovação. Disponível em: <http://www.colegioinovacao.com.br/cms>. Acesso em: 30 out. 2009.
▪ FACCHINI, Walter. Matemática para a escola de hoje: guia pedagógico. São Paulo: FTD, 2006. 280 p.
▪ IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; DEGENSZAJN, David Mauro. Matemática: ciência e aplicações. São Paulo: Atual, 2001. 2 v.
▪ IEZZI, Gelson. Matemática e realidade: manual do professor. São Paulo: Atual, [199-?]. 242 p. (8ª série do primeiro grau).
▪ MACHADO, Antonio dos Santos. Matemática na escola do segundo grau. São Paulo: Atual, 1994. 3 v.
▪ MARTINS, Luciano Camargo. Matemática C - Aula 4: razões e proporções. Disponível em: <http://www.mundofisico.joinville.udesc.br/PreVestibular/2005-1/mod1/node56.html>. Acesso em: 25 out. 2009.
▪ PITOMBEIRA, João Bosco. Matemática: 1ª fase, 1º grau. São Paulo: Globo, c1994. 127 p. (Telecurso 2000. Profissionalizante, v. 2).
▪ ______. Matemática: 2ª fase, 1º grau. São Paulo: Globo, c1994. 144 p. (Telecurso 2000. Profissionalizante, v. 3, 4).
▪ ______. Matemática: 2º grau. São Paulo: Globo, c1995. 176 p. (Telecurso 2000. Profis-sionalizante, v 1, 2, 3).
▪ SCALZO, Maria Luiza Vollet; SODRÉ, Ulysses. Ensino fundamental: geometria: polígo-nos e triângulos. (atualizada em 17 nov. 2006.) Disponível em: <http://www.mat.uel.br/matessencial/fundam/geometria/poligonos.htm>. Acesso em: 20 out. 2009.
▪ SCARAMBONI, Antonio; NOVAES, Regina Célia Roland. Mecânica: cálculo técnico. São Paulo: Globo; c1995. 144 p. (Telecurso 2000. Profissionalizante).
▪ SÓ Matemática: o seu portal matemático. Disponível em: <http://www.somatematica.com.br/emedio.php>. Acesso em: 20 out. 2009.