MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

Ensino Médio, 2º Ano

Binômio de Newton

Matemática, 2º Ano, Binômio de Newton

Binômio de Newton

O Binômio de Newton foi definido pelo físico e matemático inglês Isaac

Newton (1642-1727), esse estudo veio complementar o estudo dos

produtos notáveis (quadrado da soma ou quadrado da diferença).

Isaac Newton nasceu em 25 de dezembro de 1642. Em 1661 matriculou-

se no Trinity College, em Cambridge. Em 1672 foi eleito membro da Royal

Society e em 1703 tornou-se presidente da mesma. Em 20 de março de

1727 Newton faleceu.

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O quadrado da soma diz que um binômio elevado ao quadrado é igual ao

quadrado do primeiro monômio (termo) mais duas vezes o primeiro vezes o

segundo monômio (termo), mais o quadrado do segundo monômio (termo).

(a + b)² = a² + 2ab + b²

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A fórmula do binômio de Newton destina-se ao desenvolvimento das

potências sucessivas de um binômio.

Vejamos as seguintes potências:

(a + b)0 = 1

(a + b)1 = a + b

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

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É interessante considerar a relação existente entre os coeficientes dos

desenvolvimentos de cada potência anterior com os valores do triângulo

de Pascal.

Triângulo de Pascal:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

...

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Fórmula do Binômio de Newton

(a + b)n = Cn,0 a∙ n b∙ 0 + Cn,1 a∙ n-1 b∙ 1 + Cn,2 a∙ n-2 b∙ 2 + ... + Cn,n n∙ a-n b∙ n

ou

(a + b)n = n,p a∙ n-p b∙ p

Observação: Cn,p =

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Termo Geral

Chama-se termo geral do desenvolvimento do binômio o termo que vem

precedido de p termos. É, pois, o termo de ordem p + 1. Ele será

designado por Tp+1.

Temos:

Tp+1 = Cn,p a∙ n-p b∙ p

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Desenvolvimento de (a – b)n

Vejamos as potências:

(a – b)0 = 1 com a b

(a – b)1 = a – b

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

(a – b)4 = a4 – 4a3b + 6a2b2 – 4ab3 + b4

(a – b)5 = a5 – 5a4b + 10a3b2 – 10a2b3 + 5ab4 – b5

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Assim, obtemos a fórmula

Tp+1 = (1)p C∙ n,p a∙ n-p b∙ p

para o termo geral de (a – b)n.

Observe que, desta forma, os termos do desenvolvimento terão os sinais

alternados entre positivo e negativo, pois (− 1) quando elevado a um

expoente par resulta em 1 e quando elevado a um expoente ímpar resulta

em − 1.

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Soma dos coeficientes numéricos da expansão binomial

Fazendo a = b = 1, em (a + b)n, teremos:

(1 + 1)n = 2n

Fazendo a = b = 1, em (a – b)n, teremos:

(1 – 1)n = 0n = 0 (supondo n 1)

Isto também é válido para outras potências de polinômios.

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Exemplos:

Para a obtenção da soma dos coeficientes dos termos do

desenvolvimento de (4x2 + 5yz – 3xz2)5, fazemos x = 1, y = 1 e z = 1, assim:

(4 1∙ 2 + 5 1 1 – 3 1 1∙ ∙ ∙ ∙ 2)5 = (4 + 5 – 3)5 = 65.

Para a soma dos coeficientes dos termos do desenvolvimento de (3a2 +

2b5 – c3)6, fazemos a = 1, b = 1 e c = 1 e teremos:

(3 1∙ 2 + 2 1∙ 5 – 13)6 = (3 + 2 – 1)6 = 46

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Fórmula de Leibniz

A fórmula do binômio de Newton, pode ser generalizada, para a potenciação dos

polinômios.

Seja um polinômio de p termos, que devemos elevar à potência n

(a + b + c + ... + m)n

O problema se reduz, aos dois seguintes:

1) Determinar o coeficiente de cada termo;

2) Formar todos os termos possíveis da forma aα b∙ β c∙ γ ... mλ (α + β

+ γ + ... + λ = n).

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Fórmula de Leibniz

O coeficiente procurado será, pois

O cálculo dos termos se executa facilmente, decompondo de todas as

formas possíveis o número n em p parcelas, partindo da parcela de valor

maior.

Podemos escrever a fórmula de Leibniz:

(a + b + c + ... + m)n = Ʃ aα b∙ β c∙ γ ... mλ

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Leibniz

Gottfried Wilhelm von Leibniz nasceu em 1º de julho de 1646. Em 1666

Leibniz recebeu o título de Doutor em Direito. Em 1670, aos 24 anos, foi

nomeado conselheiro da Alta Corte de Justiça de Mogúncia. Em 1676

descobriu o cálculo diferencial, praticamente ao mesmo tempo e

independentemente das descobertas de Isaac Newton sobre o mesmo

tema. A 14 de novembro de 1716, acometido de uma crise de gota, morre

Leibniz.

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Exemplo: Dado o polinômio (4x5 + 3y2 + 2z3)7 calcule, no desenvolvimento da

potência, o valor do coeficiente do termo de parte literal x10y6z6.

Temos, então:

5α = 10 α= 2

2β = 6 β= 3

3γ = 6 γ= 2

Portanto, o coeficiente será dado por:

7! . 42 3∙ 3 2∙ 2

2! 3! 2!

ou seja: 362 880.

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Atividades Resolvidas

1) No desenvolvimento de (3x4 + 2x-3)14, obtenha o termo:

a) em x21.

b) independente de x.

c) médio.

a) Tp+1 = C14,p (3x∙ 4)14-p (2x∙ -3)p = C14,p 3∙ 14-p 2∙ p x∙ 56-7p

O expoente de x deve ser 21, portanto:

56 – 7p = 21 p = 5

Logo:

T5+1 = C14,5 3∙ 14-5 2∙ 5 x∙ 56-7 5∙

T6 = C14,5 3∙ 9 2∙ 5 x∙ 21

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b) Nesse caso, o expoente de x deve ser zero:

56 – 7p = 0 p = 8

Logo:

T8+1 = C14,8 3∙ 14-8 2∙ 8

T9 = C14,8 3∙ 6 2∙ 8

c) A expansão de (3x4 + 2x-3)14 tem 15 termos.

Logo o termo solicitado é:

T8 = T7+1 = C14,7 3∙ 14-7 2∙ 7 x∙ 56-7 7∙

T8 = C14,7 3∙ 7 2∙ 7 x∙ 7

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2) No desenvolvimento de (x + 2y)n, segundo potências decrescentes de x,

os coeficientes binomiais do 14º e do 28º termos são iguais. Calcule a soma

dos coeficientes numéricos dessa expansão.

T14 = Cn,13 x∙ n-13 (2y)∙ 13 e T28 = Cn,27 x∙ n-27 (2y)∙ 27.

Daí vem:

n = 13 + 27 (propriedade das combinações)

n = 40

Portanto, a soma dos coeficientes numéricos da expansão de (x + 2y)40 é

obtida fazendo x = 1 e y = 1:

(1 + 2 1)∙ 40

340

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3) Determine a condição sobre n pertencente ao conjunto dos números

naturais, para que a expansão de (x – x-2)n tenha termo independente

de x.

Sendo o termo geral:

Tp+1 = (1)p Cn,p xn-p (x-2)p∙ ∙ ∙Tp+1 = (1)p Cn,p xn-3p.∙ ∙O expoente de x deve ser zero, portanto:

n 3p = 0 n = 3p, p pertencente ao conjunto dos números naturais e

p n.

Logo:

n deve ser múltiplo natural de 3.

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4) Calcule o valor de:

a) y = C18,0 7∙ 18 + C18,1 7∙ 17 3 + C∙ 18,2 7∙ 16 3∙ 2 + ... + C18,18 3∙ 18

b) E = C20,0 5∙ 20 – C20,1 5∙ 19 3 + C∙ 20,2 5∙ 18 3∙ 2 ... + C20,20 3∙ 20

a) Basta notar que a expressão dada é o desenvolvimento de (7 +

3)18.

Então:

y = (7 + 3)18 = 1018.

b) Basta notar que a expressão dada é a expansão de (5 – 3)20.

Então:

E = (5 – 3)20 = 220.

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5) Achar o coeficiente de x5 no desenvolvimento de (1 + 2x + x2)4.

Temos, imediatamente:

α + β + γ = 4

β + 2γ = 5

donde

α = γ 1, β = 5 2γ

Ora, α e β devem ser inteiros positivos, logo a segunda relação

mostra que γ 2, enquanto que a primeira indica ser γ 1.

Concluímos que γ só pode receber os valores 1 e 2.

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Obtemos assim o quadro:

α β γ0 3 11 1 2

E o coeficiente procurado será, finalmente:

4! 10 2∙ 3 1∙ 1 + 4! 11 2∙ 1 1∙ 2

0! 3! 1! 1! 1! 2!

4 1 8 1 + 12 1 2 1 = 32 + 24 = ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ 56

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Atividades Propostas

1) Ao desenvolver totalmente (2x + 4)12, qual o coeficiente do termo de

grau 5?

2) Determine a soma dos coeficientes dos termos obtidos no

desenvolvimento dos binômios:

a) (x + y)6

b) (x + y)11

c) (x + y)13

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3) Calcule o 10º termo do desenvolvimento dos binômios a seguir

(segundo expoentes decrescentes de x)

a) (x + 4y)11

b) (2x – y)n

c) (x + y-1)n

d) (x2 – y2)13

4) No desenvolvimento de (a3 – 2)8 encontre o termo que contém a15.

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5) Encontre o 4º termo no desenvolvimento do binômio (2 – x)7.

6) Marque verdadeiro ou falso e justifique sua resposta. No

desenvolvimento de (x + 3y)9:

a) existem 9 termos.

b) o coeficiente de x5 é ímpar.

c) o coeficiente de y7 é par.

d) a soma dos coeficientes é menor que 1 000.

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LINKS

http://www.infoescola.com/matematica/binomio-de-newton/

http://www.ime.unicamp.br/~

ftorres/ENSINO/MONOGRAFIAS/G_M1_FM_2014.pdf

https://www.youtube.com/watch?v=HfcPAXVJKg8