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Matemática IConceito de Função

Plano Cartesiano

Matemática, 1º Ano, Função: conceito

• O conceito de função, presente emdiferentes ramos da ciência, teve suaorigem na tentativa de filósofos e cientistasem compreender a realidade e encontrarmétodos que permitissem estudar edescrever os fenômenos naturais.

• Ao longo da História vários matemáticoscontribuíram para que se chegasse aoconceito atual de função.

• Ao matemático alemão Leibniz (1646-1716)atribui-se a denominação função queusamos hoje.

Imagem : Christoph Bernhard Francke / Portrait of Gottfried Leibniz, c. 1700 / Herzog-Anton-Ulrich-Museum, Braunschweig / Public Domain.

Conceito de função: um pouco da história

Matemática, 1º Ano, Função: conceito

A representação de uma função pela notação(x) (lê-se: de x) foi atribuída aomatemático suíço Euler (1707-1783), noséculo XVII.

O Matemático alemão Dirichlet (1805-1859)escreveu uma primeira definição de funçãomuito semelhante àquela que usamosatualmente.

Conceito de função: um pouco da história

Peter G. L. Dirichlet

Em Joinville, um taxista cobra R$ 5,25de bandeirada (comum) mais R$ 2,90por quilômetro rodado (bandeira 1) ouR$ 3,80 (bandeira 2). Sabendo que opreço a pagar é dado em função donúmero de quilômetros rodados, qualo preço a ser pago por uma corrida emque se percorreu 22 quilômetros nabandeira 1?

Preço a pagar (p) = 5,25 + R$ 2,90 vezes o número de quilômetros rodados (x)

p = 2,90.x + 5,25 (lei da função ou fórmula matemática da função)

Noção intuitiva de função

O diagrama a seguir considera a quantidade de litros de gasolina eos seus respectivos preços a pagar em um posto de combustível nacidade de Joinville:

Quantidade de litros (l)

Preço a pagar (R$) O preço a pagar é dado em função

da quantidade de litros que se colocano tanque, ou seja o preço dependedo número de litros comprados.

123...50x

3,777,5411,31...188,503,77x

Preço a pagar (p) = R$ 3,77 vezes o número de litros (x) comprados

p = 3,77.x (lei da função ou fórmula matemática da função)

Agora, responda:a) Qual é o preço de 10 litros degasolina?b) Quantos litros de gasolina podemser comprados com R$ 67,40?

A noção de função por meio de conjuntos1) Observe os conjuntos A e B relacionados da seguinte forma:em A estão os números inteiros e em B, outros.Devemos associar cada elemento de A ao seu triplo em B

Note que:- todos os elementos de A têm correspondente em B;- a cada elemento de A corresponde um único elemento de B.Nesse caso, temos uma função de A em B, expressa pela fórmula y = 3x.

-2∙-1∙0 ∙1 ∙2 ∙

∙ -8∙ -6∙ -4∙ -3∙ 0∙ 3∙ 6

A B

2) Dados A = {1, 4} e B = {2, 3, 5}, relacionamos A e B da seguinteforma: cada elemento de A é menor do que um elemento de B:

Nesse caso, não temos uma função de A em B, pois ao elemento 1de A correspondem três elementos de B, e não apenas um únicoelemento de B.

1 ∙

4 ∙

∙ 2

∙ 3

∙ 5

A B

Matemática, 1º Ano, Função: conceito

3) Dados A = {- 4, - 2, 0, 2, 4} e B = {0, 2, 4, 6, 8}, associamos oselementos de A aos elementos de igual valor em B.

Observe que há elementos em A que não têm correspondenteem B. Nesse caso, não temos uma função de A em B.

-4∙-2∙0 ∙2 ∙4 ∙

∙ 0∙ 2∙ 4∙ 6∙ 8

A B

Dados dois conjuntos não vazios, A e B, uma função de A em B éuma relação que indica como associar cada elemento x do conjuntoA a um único elemento y do conjunto B.

“A cada elemento x de A corresponde um único elemento (x) de B, levado pela função .”

A B

: A → B

x f(x)

Definição e notação

Exemplo

Uma pausa para um vídeo...No link https://www.youtube.com/watch?v=HCr6Ys0zvr8 vamos assistir umvídeo do Programa M3 Matemática Multimídia da Universidade Estadual deCampinas (Unicamp).

Vídeo: Descobrindo o algoritmo de Guido

Série Matemática na Escola

Objetivos

1. Apresentar as definições e exemplos de relação e de função.

2. Mostrar uma conexão histórica entre a música Gregoriana e a Matemática.

Sinopse

Um jovem aprende o segredo do monge Guido para compor músicasdevocionais, no estilo Gregoriano. O segredo envolve relações entre umconjunto de notas musicais e um conjunto de letras do alfabeto.

Domínio, contradomínio e conjunto imagemO diagrama de flechas a seguir representa uma função f de A em B.Vamos determinar:

a) D(f) b) CD(f)

D(f) = 2, 3, 5 ou D(f) = A CD(f) = 0, 2, 4, 6, 8, 10 ou CD(f) = B

c) Im (f) d) f(3)

Im(f) = 4, 6, 10 f(3) = 6

e) f(5) f) x para f(x) = 4

f(5) = 10 x = 2

2∙

3 ∙

5 ∙

∙ 0∙ 2∙ 4∙ 6∙ 8∙ 10

A B

Uma pausa para um vídeo...No link https://www.youtube.com/watch?v=UhIbDZaObfQ vamos assistir umvídeo do Programa M3 Matemática Multimídia da Universidade Estadual deCampinas (Unicamp).

Vídeo: Carro Flex

Série Matemática na Escola

Objetivos

1. Recordar conceitos básicos relacionados a funções;

2. Exemplificar o uso de funções no cotidiano.

Sinopse

Frentista ajuda cliente a descobrir quais são as proporções de álcool e gasolinaque devem ser abastecidas em seu carro flex para que o custo tenha um valorpreestabelecido.

Foi o matemático e filósofo francês René Descartes o criador daparte da Matemática que relaciona as ideias da Álgebra com aGeometria, chamada de Geometria Analítica.

Em sua homenagem, o sistema de coordenadas foi denominadoplano cartesiano.

MATEMÁTICA, 9º AnoPontos no plano cartesiano/pares ordenados

Sistema Cartesiano de Coordenadas

Quando estudamos o conjunto dos números reais (R), verificamosque o número zero fica localizado entre os números reais positivose os números reais negativos.

0 +1 +2 +3-1-2-3-10 +10

+2-2

+2,5-2,5

Reta dos números reais

O plano cartesiano é formado por uma região geométrica plana,cortada por duas retas perpendiculares entre si.

MATEMÁTICA, 9º AnoPontos no plano cartesiano/pares ordenados

Retas perpendicularesformam ângulos de 900 entre si.

Sistema Cartesiano de Coordenadas

Eixo das ordenadas.

Eixo das abscissas.

A reta horizontal é denominada deeixo das abscissas. Representada porx, xR.

A reta vertical é denominada de eixodas ordenadas. Representada por y,yR.

As retas dividem o plano em quatro regiões chamadas quadrantes.

MATEMÁTICA, 9º AnoPontos no plano cartesiano/pares ordenados

Sistema Cartesiano de Coordenadas

Denomina-se par ordenadoao par (x, y), no qual oprimeiro elemento pertenceao eixo das abscissas e osegundo elemento pertenceao eixo das ordenadas.

Localizar no plano cartesiano xOy os pontos:a) A (2, -3)b) B (-5, 1)

2

-3

-5

1

0 x

y

A

B

Exemplo

MATEMÁTICA, 9º AnoPontos no plano cartesiano/pares ordenados

Localizar no plano cartesiano xOy os pontos:a) A (-5, 0)b) B (0, -4)

- 4

- 5 0 x

y

A

B

Exemplo

Na figura a seguir, temos um recorte do layout de uma planilha do Excel. Nele,consta uma lista de compras feita por uma família pernambucana. Nessascondições, relacionando as linhas e colunas dessa planilha, indique ascoordenadas da posição da célula do Excel em que está o AZEITE.

Imag

em: V

ania

Teof

ilo/ C

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Com

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ibut

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Shar

eAlik

e3.

0 U

npor

ted.

Analisando o layout do recorte do Excel, podemos concluir que aposição do AZEITE é 3C.

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados

No mapa-múndi a seguir, temos a localização geográfica de algunslugares, representados pelas letras A, B, C, D e E. Identifique ascoordenadas geográficas dos lugares representados pelas letras A eB, a partir dos conceitos estudados sobre o plano cartesiano eutilizando também a latitude e a longitude, respectivamente, doslugares propostos.

Latitude: é distância medida em graus de um ponto qualquer dasuperfície terrestre em relação à linha do equador.

Longitude: é distância medida em graus de um ponto qualquerda superfície terrestre em relação ao meridiano de Greenwich.

Exemplo

MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados

Qual a localização desses dois pontos?

A

B

180160160 140140 120120 100100 80 806060 4020040 20

60

40

20

0

40

20

60

80

Imag

em: R

oke

/ G

NU

Fre

eD

ocum

enta

tion

Lice

nse.

Traçando o plano cartesiano, temos:A (Latitude: 400 N; Longitude: 800 W)B (Latitude: 200 S; Longitude: 400 W)

LW

Latitude: linhas horizontais.

Longitude: linhas verticais.

A

B

180160160 140140 120120 100100 80 806060 4020040 20

60

40

20

0

40

20

60

80N

S

Imag

em: R

oke

/ G

NU

Fre

eD

ocum

enta

tion

Lice

nse.

Solução

No plano cartesiano a seguir, estão localizados alguns pontos. Determine as coordenadas desses pontos.

x

y

AB

C

DE

A(3, 2), B(-3, 3), C(0, 0), D(-3, -2) e E(1, -3)

Atividades

MATEMÁTICA, 9º AnoPontos no plano cartesiano/pares ordenadosDesenhe o plano cartesiano no caderno e, em seguida,localize os pontos abaixo. Indique também seusrespectivos quadrantes.

a) P (-3, 4)b) M (0, -5)c) N (-4, -6)d) K (5, 0)

x

y

P

MN

K

P(-3, 4) - 2º QuadranteM(0, -5) - OrdenadaN (-4, -6) - 3º QuadranteK(5, 0) – Abscissa

Solução

O gráfico de uma função é o conjunto de pares ordenados (x, y)que tenham x pertencente ao domínio da função e y = f(x).

Reconhecimento do gráfico de uma função

Um gráfico representa uma função se para cada elemento dodomínio existe apenas um único correspondente nocontradomínio.

Geometricamente significa que qualquer reta perpendicular aoeixo Ox deve interceptar o gráfico em um único ponto.

Gráfico de uma função

Reconhecimento do gráfico de uma funçãoy

x

y

x

y

x

Qualquer reta perpendicular ao eixo Ox intercepta o gráfico em um único ponto; portanto, o gráfico representa uma função de x em y.

Existem retas perpendi-culares ao eixo Ox que interceptam o gráfico em mais de um ponto; portanto, o gráfico não representa uma função de x em y.

Existem retas perpendi-culares ao eixo Ox que interceptam o gráfico em mais de um ponto; portanto, o gráfico não representa uma função de x em y.

Domínio e imagem a partir do gráfico

x

y

a b

f(b)

f(a)

Domínio: a x b ou [a, b]

Imagem: f(a) y f(b) ou [f(a), f(b)]

Matemática, 1º Ano, Função: conceito

Atividade

(ENEM) O dono de uma farmácia resolveu colocar a vista do público o gráficomostrado a seguir, que apresenta a evolução do total de vendas (em Reais) decerto medicamento ao longo do ano. De acordo com o gráfico, os

meses em que ocorreram,respectivamente, a maior e amenor venda absoluta foram

a) março e abril.b) março e agosto.c) agosto e setembro.d) junho e setembro.e) junho e agosto.

De acordo com o gráfico, os meses em que ocorreram, respectivamente, a maior e amenor venda absolutas foram junho e agosto. Portanto item E.

Agora analise os intervalos onde aconteceram crescimento (aumento) ou decrescimento(queda) das vendas do medicamento em questão.

Imagem: INEP-MEC

A função y = f(x) é crescente para 1 ≤ x < 3, decrescente para 3 ≤ x < 4e é constante para x ≥ 4.O gráfico que mais adequadamente representa a função y = f(x) é:

Imagem: SEE-PE

Observe abaixo o gráfico de uma função real definida no intervalo [–5, 6].

Essa função é decrescente em:

a) [– 5, – 3] U [3, 5]b) [– 3, 0] U [0, 3]c) [– 3, – 1] U [5, 6]d) [– 3, 0] U [5, 6]e) [– 1, 2] U [2, 4]

Imagem: SEE-PE

Matemática, 1º Ano, Função: conceito

Aplicação de função na Biologia...(ENEM) Um cientista trabalha com as espécies I e II de bactérias emum ambiente de cultura. Inicialmente, existem 350 bactérias daespécie I e 1.250 bactérias da espécie II. O gráfico representa asquantidades de bactérias de cada espécie, em função do dia,durante uma semana.

Em que dia dessa semana aquantidade total de bactériasnesse ambiente de cultura foimáxima?

a) Terça-feira.b) Quarta-feira.c) Quinta-feira.d) Sexta-feira.e) Domingo.

Imag

em: I

NE

P -

ME

C

Matemática, 1º Ano, Função: conceito

Em que dia dessa semana a quantidade total de bactériasnesse ambiente de cultura foi máxima?

a) Terça-feira.b) Quarta-feira.c) Quinta-feira.d) Sexta-feira.e) Domingo.

A quantidade total de bactérias nesse ambiente de culturafoi máxima na terça feira, num total de 800 + 1100 = 1900,pois nos demais dias, temos: Segunda: 350 + 1250 = 1600;Quarta: 300 + 1450 = 1750; Quinta = 850 + 650 = 1500;Sexta: 300 + 1400 = 1700; Sábado: 290 + 100 = 1290 eDomingo: 0 + 1350 = 1350. Portanto a resposta é o item A.

Imag

em: I

NE

P -

ME

C

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Função do 1º grau

• Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, qualquerfunção f: IR → IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a eb são números reais e a ≠ 0.

• O número a é chamado de coeficiente angular de x.• O número b é chamado de coeficiente linear ou termo independente.

Exemplos: f(x) = 2x + 5 f(x) = x – 4 y = 5x + 8

Função do 1º Grau

Matemática, 1º Ano, Função: conceito

Todos os dias nos deparamos com notícias como:

• Dólar fecha em queda após quatro altas seguidas;

• Com mercado de carros novos em queda, cresce avenda de veículos usados;

• Previsão de inflação para 2018 é de queda;

• Taxa de desemprego recua em todo o país.

Função crescente e decrescente

Matemática, 1º Ano, Função: conceito

Função crescente Função decrescente

Quando o valor de y aumentar conforme o de x aumentar, temos uma função crescente.

Quando o valor de y diminuir conforme o de x aumentar, temos uma função decrescente.

40

Gráficos da Função do 1º Grau

Raiz da Função: valor que anula a função

42

Construção Gráfica

y = 2x -1

Atribui-se valores para xe calcula-se o valor de y.

x y-1 -30 -11 12 3

43

a) O gráfico representa uma função do 1º grau?

b) Qual a raiz da função?

c) Descubra a função que gerou esse gráfico.

d) A função é crescente ou decrescente?

Dado o gráfico, responda:

44

a) O gráfico representa uma função do 1º grau?

b) Qual a raiz da função?

c) Descubra a função que gerou esse gráfico.

d) A função é crescente ou decrescente?

Dado o gráfico, responda:

• Através de um estudo sobre o consumo de energia elétrica deuma fábrica, chegou-se à função C = 400.t, em que C é oconsumo em KWh e t é o tempo em dias.

a) Quantos dias são necessários para que o consumo atinja4.800 kWh?

b) Construa um gráfico que represente o consumo através dotempo.

Exemplo 1

Para produzir uma quantidade de peças, uma empresa deveinvestir R$ 200.000,00 em máquinas e, além disso, gastar R$ 0,50na produção de cada peça.

a) Determine a função que relaciona o custo (C) com a produçãodas peças.

b) Qual o custo para se produzir 300.000 peças?

Exemplo 2

Uma técnica em Informática foi contratada para resolverproblemas de configuração de um computador. Em seus honoráriosa técnica cobra R$ 30,00 por hora trabalhada e mais uma taxa devisita de R$ 80,00. Nestas condições, pode-se afirmar que a funçãoque representa o ganho da técnica para executar seus serviços e ovalor gasto por uma pessoa que usa os serviços dessa técnica por5 horas será:

a) y = 80 + 30x e R$ 250,00b) y = 80x + 30 e R$ 350,00c) y = 80x + 30x e R$ 150,00d) y = 80x e R$ 200,00e) y = 80 + 30x e R$ 230,00

Exemplo 3

Exemplo 4

O gráfico relaciona o custo de produção de uma substância em função do volume produzido. Nestas condições, pergunta-se:a) A função que relaciona o custo de produção com a quantidade de substância produzida.a) O custo de R$ 700,00 corresponde à produção de quantos litros?b) Qual o custo de 25 litros dessa substância?

O preço de uma máquina nova é R$ 10.000,00. Após 3 anos de uso seu valor de mercado é de R$ 7.300,00. Admitindo-se que ela tenha sido projetada para durar 11 anos e sofra depreciação linear com o tempo, encontre:

a) A função que relaciona o preço P(t) da máquina após t anos de funcionamento.

b) Seu valor após 6 anos de uso.

Exemplo 5

50

https://www.youtube.com/watch?v=M5Bj6q18RHI – Plano Cartesiano e pares ordenados

https://www.youtube.com/watch?v=hdMFlAv5GkU – Função do 1º grau

https://www.youtube.com/watch?v=2KWDWpmDZwQ – Gráfico da função do 1º grau

Referências

BALESTRI, Rodrigo. Matemática: Interação e Tecnologia. 2ª edição – São Paulo:LeYa, 2016.

DANTE, Luiz Roberto Dante. Matemática: contexto & aplicações. 2ª edição – SãoPaulo: Ática, 2013.

BIANCHINI, Edwaldo. Matemática, volume 1: versão beta / Edwaldo Bianchini,Herval Paccola. 2. ed. Ver. E ampl. – São Paulo: Moderna 1995.

BUCCHI, Paulo. Curso prático de matemática. São Paulo: Moderna, 1998.

STOCCO SMOLE, Kátia. Matemática: ensino médio 1 / Kátia Stocco Smole, MariaIgnez Diniz. - 8. ed. São Paulo: Saraiva 2013.

LIMA, Elon Lages. A Matemática do ensino médio – volume 1 / Elon Lages Lima,Paulo Cezar Pinto Carvalho, Eduardo Wagner, Augusto César Morgado. – 10. ed.– Rio de Janeiro: SBM, 2012.