Post on 07-Jan-2020
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Matemática – 9.º Ano
RESOLUÇÕES
Tema 4 – ÁlgebraPraticar – páginas 88 a 93
1.1.1. 2x + 301.2. 2(x + 30)1.3. 5 + 15x1.4. 4x – 7
2.2.1. 1,30 – 12 → representa a poupança em 1 kg.Então em 20 kg poupa 20 × (1,30 – 1,20)Logo, a opção correta é a [A].2.2. x × (1,30 – 1,20) = x × 0,10 = 0,10x = �
110�x
3.3.1. 5x – 6 – x – 4⇔ 5x – x = –4 + 6⇔ 4x = 2⇔ 2x = 13.2. 2(x – 6) = 3x – 1⇔ 2x – 12 = 3x – 1⇔ 2x – 3x = –1 + 12⇔ –x = 11
4.4.1. x + 7 = 5⇔ x = 5 – 7⇔ x = –2C.S. = {–2}4.2. x – 11 = 12⇔ x = 12 + 11⇔ x = 23C.S. = {23}4.3. 2x – 1 = 2x + 3⇔ 2x – 2x = 3 + 1⇔ 0x = 4C.S. = { } Equação impossível.4.4. 3x = 18
⇔ x = �138�
⇔ x = 6C.S. = {6}
4.5. �3x� = 11
⇔ x = 33
C.S. = {33}
4.6. �2x5– 1� = 2
⇔ 2x – 1 = 10⇔ 2x = 10 + 1⇔ 2x = 11
⇔ x = �121�
C.S. = ��121��
4.7. 2(x – 5) = –x – 4⇔ 2x – 10 = –x – 4⇔ 2x + x = –4 + 10⇔ 3x = 6
⇔ x = �63
�
⇔ x = 2C.S. = {2}
4.8. –(x – 1) + 3 = �2x�
⇔ – �1x� + �
11
� + �31
� = �2x�
(×2) (×2) (×2)
⇔ –2x + 2 + 6 = x⇔ –2x – x = –2 – 6 ⇔ –3x = –8
⇔ x = �83
�
C.S. = ��83
��4.9. �
32x� – �
11
� = �x +
21
�
(×2)
⇔ 3x – 2 = x + 1⇔ 3x – x = 1 + 2⇔ 2x = 3
⇔ x = �32
�
C.S. = ��32
��5. [A] –3 × (–3) + 4 = 9 + 4 = 13 ≠ –13[B] –(–3) + 5 = 3 + 5 = 8 ≠ 2[C] 2(–3 + 4) = 2 × 1 = 2, a afirmação é verdadeira.[D] 11 + (–3) = 8 ≠ 14Logo, a opção correta é a [C].
6. Para verificar se 8 é solução de equação, bastasubstituir x por 8 e verificar a veracidade.
2(8 – 1) = �84
� – (2 × 8 – 4)
RESOLUÇÕES2
A_Prova
⇔ 2 × 7 = 2 – (16 – 4)⇔ 14 = 2 – (12)⇔ 14 = –10 FalsoEntão, 8 não é solução da equação.
7. un = �2n
3– 4�
7.1. u8 = �2 × 8
3– 4
� = 4
7.2. un = 78
�2n
3– 4� = 78
⇔ 2n – 4 = 234⇔ 2n = 234 – 4 ⇔ 2n = 230
⇔ n = �2320
�
⇔ n = 115 R.: 78 é o termo de ordem 115.
8. Seja x a idade atual da Maria. Assim, x + 5 é aidade da Maria daqui a 5 anos e x – 5 é a idade daMaria há 5 anos.
x + 5 = 3(x – 5)⇔ x + 5 = 3x – 15⇔ x – 3x = –15 – 5⇔ –2x = –20
⇔ x = �––220
�
⇔ x = 10C.S. = {10}R.: A idade atual da Maria é 10 anos.
9. Seja x o peso de uma esfera.9.1. Como o peso total é 13 kg, então4 + x + 6 = 13 ⇔ x = 13 – 4 – 6 ⇔ x = 3C.S. = {3}R.: A esfera pesa 3 kg.9.2. 3x = x + 5 ⇔ 3x – x = 5
⇔ 2x = 5 ⇔ x = �52
�
⇔ x = 2,5C.S. = {2,5}R.: Cada esfera pesa 2,5 kg.9.3. 3x + 5 = 18⇔ 3x = 18 – 5⇔ 3x = 13
⇔ x = �133�
C.S.: = �133�
R.: Cada esfera pesa �133� kg.
10. Ppentágono = 3 × Ptriângulo
10.1. 5 × 6 = 3 × 3x ⇔ 9x = 30
10.2. 9x = 30 ⇔ x = �390� ⇔ x = �
130�
C.S. = ��130��
Logo, P = 3 × �130� = 10
R.: P = 10 cm
11.11.1. O perímetro é igual à soma de todos os ladosdo polígono.Logo, P = x + 2x + 2 + x + 8 + 3x – 1 == x + 2x + x + 3x + 2 + 8 – 1 == 7x + 911.2. Se x = 3P = 7 × 3 + 9 = 30 cmLogo, a opção correta é a [B].11.3. P = 17,47x + 9 = 17,4⇔ 7x = 17,4 – 9⇔ 7x = 8,4
⇔ �71
� x = �452�
(×5)
⇔ 35x = 42
⇔ x = �4375�
⇔ x = �65
�
⇔ x = 1,2C.S. = {1,2}
12. f(x) = g(x) ⇔ 2x + 4 = 6x – 412.1. a) primeiro membro: 2x + 4b) incógnita: xc) segundo membro: 6x – 412.2. 2 × 4 + 4 = 6 × 4 – 4⇔ 8 + 4 = 24 – 4⇔ 12 = 20 FalsoR.: 4 não é solução da equação f(x) = g(x).12.3. f(x) = g(x)2x + 4 = 6x – 4
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Matemática – 9.º Ano
RESOLUÇÕES
⇔ 2x – 6x = –4 – 4⇔ –4x = –8
⇔ x = �––84�
⇔ x = 2C.S. = {2}
13. Sejam n, n + 1 e n + 2 três números inteirosconsecutivos.Assim, n + n + 1 + n + 2 = 99⇔ n + n + n = 99 – 1 – 2⇔ 3n = 96
⇔ n = �936�
⇔ n = 32C.S. = {32}Logo,n = 32n + 1 = 33n + 2 = 34R.: Os números são 32, 33 e 34.
14.14.1. Como 40 € é um valor constante e os 15 € éem função do tempo, C = 40 + 15n.Logo, a opção correta é a [B].14.2. n = 3C = 40 + 15 × 3 = 40 + 45 = 85R.: O Guilherme pagará 85 €.14.3. C = 19040 + 15n = 190⇔ 15n = 190 – 40⇔ 15n = 150
⇔ n = �11550
�
⇔ n = 10C.S. = {10}R.: A intervenção em casa do André demorou 10horas.
15.15.1. 2x – 4 = x + 8⇔ 2x – x = 8 + 4⇔ x = 12C.S. = {12}15.2. 3x – 11 = –x + 1⇔ 3x + x = 1 + 11⇔ 4x = 12
⇔ x = �142�
⇔ x = 3C.S. = {3}15.3. 2x – 5 = 2x –4⇔ 2x – 2x = –4 + 5⇔ 0x = 1Equação impossível. C.S. = { }15.4. 3(x – 2) = 3x – 5⇔ 3x – 6 = 3x – 5⇔ 3x – 3x = –5 + 6⇔ 0x = 1Equação impossível. C.S. = { }15.5. 2(x – 2) = 4(x – 1) – 2x⇔ 2x – 4 = 4x – 4 – 2x⇔ 2x – 4x + 2x = –4 + 4⇔ 0x = 0Equação possível e indeterminada. C.S. = Q15.6. �
2x� – �
41x� = �
61
�
(×2) (×2)
⇔ x – 8x = 12⇔ –7x = 12
⇔ x = �1–27�
⇔ x = – �172�
C.S. = �– �172��
15.7. �x +2
1� = 15
(×2)
⇔ x + 1 = 30⇔ x = 30 – 1⇔ x = 29C.S. = {29}
15.8. 4 – �2x
3– 1� = 10
(×2) (×2)
⇔ 12 – 2x + 1 = 30⇔ –2x = 30 – 12 – 1⇔ –2x = 17
⇔ x = – �127�
C.S. = �– �127��
15.9. 2(3 – x) – �3x� = �
x –2
3�
⇔ 6 – 2x – �3x� = �
x –2
3�
(×6) (×6) (×2) (×3)
RESOLUÇÕES4
A_Prova
⇔ 36 – 12x – 2x = 3x – 9⇔ –12x – 2x – 3x = –9 – 36⇔ –17x = –45
⇔ x = �4157�
C.S. = ��4157��
15.10. 1 – �x –
41
� = �3(x
2+ 1)�
⇔ �11
� – �x –
41
� = �3x
2+ 3�
(×4) (×2)
⇔ 4 – x + 1 = 6x + 6⇔ –x – 6x = 6 – 4 – 1⇔ –7x = 1
⇔ x = – �17
�
C.S. = �– �17
��16.16.1. Se a imagem é zero, então g(x) = 0.
3 – �23
� (2 – 3x) = 0
⇔ �31
� – �43
� + �63
�x = 0 (×3)
⇔ 9 – 4 + 6x⇔ 6x = –9 + 4⇔ 6x = –5
⇔ x = – �56
�
C.S. = �– �56
��R.: – �
56
� é o zero da função g.
16.2. f (x) = g(x)
2(x – 3) + �12
� = 3 – �23
� (2 – 3x)
⇔ 2 – 6 + �12
� = 3 – �43
� + �63
� x
(×6) (×6) (×3) (×6) (×2) (×2)
⇔ 12x – 36 + 3 = 18 – 8 + 12x⇔ 12x – 12x = 18 – 8 + 36 – 3⇔ 0x = 43 Equação impossível.C.S. = { }
17. A opção [A] não é correta porque4 × (–5) – 5 = 5(2 × (–5) – 13)
⇔ –20 – 5 = 5(–10 – 13)
⇔ –25 = 5 × (–23) FalsoAs equações são equivalentes se tiverem o mesmoconjunto-solução.
Resolvendo-as,• 4x – 5 = 5(2x – 13) ⇔ 4x – 5 = 10x – 65⇔ 4x – 10x = –65 + 5⇔ –6x = –60
⇔ x = �––660
�
⇔ x = 10C.S. = {10}
• �2(x
3+ 2)� = 8
⇔ �2x
3+ 4� = �
81
�
(×3)
⇔ 2x + 4 = 24⇔ 2x = 24 – 4 ⇔ 2x = 20
⇔ x = �220�
⇔ x = 10C.S. = {10} Logo, as equações são equivalentes e a opção [B] éa correta.A opção [C] não é a correta porque a equação épossível e determinada, C.S. = {10}A opção [D] não é a correta porque a equação épossível e determinada, C.S. = {10}Logo, a opção correta é a [B].
18. Seja x a herança deixada à Teresa. Assim, x + 50 000 representa a herança deixada àAna.
x + x + 50 000 = 200 000⇔ 2x = 200 000 – 50 000⇔ 2x = 150 000
⇔ x = �150
2000�
⇔ x = 75 000Logo, x + 50 000 = 75 000 + 50 000 = 125 000R.: A herança da Ana foi 125 000€.
19. Como A = �b ×
2h
� e a área é igual a 40 cm2, então
40 = �b ×
28
� ⇔ b = �880� ⇔ b = 10 cm
R.: A base tem 10 cm de comprimento.
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Matemática – 9.º Ano
RESOLUÇÕES
20. Seja x o número de rosas vermelhas. Assim, 2x éo número de rosas amarelas. Como existem 36 rosasno total, temos:
x + 2x = 36⇔ 3x = 36
⇔ x = �336�
⇔ x = 12Logo, 2x × 12 = 24R.: O ramo tem 24 rosas amarelas.
21. �25
� — votaram
1 – �25
� = �55
� – �25
� = �35
� — não votaram, que são 81 alunos
81 : �35
� = 81 × �53
� = 135, total de alunos.
R.: A escola do Francisco tem 135 alunos.
22. Como a soma das amplitudes dos ângulos inter-nos de um triângulo é igual a 180o, então
4x + 50 + 6x + x + 20 = 180⇔ 4x + 6x + x = 180 – 50 – 20⇔ 11x = 110
⇔ x = �11110
�
⇔ x = 10C.S. = {10}Como x = 10, então• 4x + 50 = 4 × 10 + 50 = 90o
• 6x = 6 × 10 = 60o
• x + 20 = 10 + 20 = 30o
O triângulo [ABC] é retângulo, porque um dos ângu-los internos tem 90o de amplitude.
23. 146 – 2 = 144Como são três autocarros, 144 : 3 = 48.Logo, 48 é o número de alunos de dois autocarros.48 + 2 = 50R.: O autocarro mais cheio transportou 50 alunos.
24. 2(x – 3) + 1 = k – 5x24.1. k = –2
2(x – 3) + 1 = –2 – 5x⇔ 2x – 6 + 1 = –2 – 5x⇔ 2x + 5x = –2 + 6 – 1 ⇔ 7x = 3
⇔ x = �37
�
C.S. = ��37
��
24.2. x = 52(5 – 3) + 1 = k – 5 × 5
⇔ 2 × 2 + 1 = k – 25⇔ –k = –25 – 4 – 1⇔ –k = –30⇔ k = 30
25. d = 100 cmSe um dos quadrados tem mais 20 cm de perímetro,
x + x + 20 = 100⇔ 2x = 100 – 20⇔ 2x = 80
⇔ x = �820�
⇔ x = 40C.S. = {10}Assim, x = 40 cm e x + 20 = 60 cm.R.: O fio de 100 cm foi dividido em dois fios com 40 cm e 60 cm.
26. Seja x o valor do aluguer de uma loja. Assim,x + 0,2x representa o aluguer da loja mais cara.Logo, x + x + 0,2x = 35 000⇔ 2,2x = 35 200
⇔ �2120�k = 35 200
⇔ 22x = 352 000
⇔ x = �352
22000�
⇔ x = 16 000C.S. = {16 000}x = 16 000 €x + 0,2x = 19200 €R.: A renda mensal de cada uma das lojas é 16 000 €e 19 200 €.
27.
27.1. 3(x – 1) + �4x
4+ 2� = �
2x� – (x – 4)
⇔ 3x – 3 + �4x
4+ 2� = �
2x� – x + 4
(×4) (×4) (×2) (×4) (×4)
⇔ 12x – 12 + 4x + 2 = 2x – 4x + 16⇔ 12x + 4x – 2x + 4x = 16 + 12 – 2⇔ 18x = 26
⇔ x = �2168�
⇔ x = �193�
C.S. = ��193��
RESOLUÇÕES6
A_Prova
27.2. – �3(x
2– 1)� + �
3x� = 0
⇔ – �3x
2– 3� + �
3x� = 0
(×3) (×2)
⇔ –9x + 9 + 2x = 0⇔ –9x + 2x = –9⇔ –7x = –9
⇔ x = �97
�
C.S. = ��97
��
27.3. 4 – �x –
52
� – = 0,2
⇔ 4 – �x –
52
� – �x – 1
6+ 6� = �
120�
(×30) (×6) (×5) (×3)
⇔ 120 – 6x + 12 – 5x + 5 – 30 = 6⇔ –6x – 5x = 6 – 120 – 12 – 5 + 30⇔ –11x = –101
⇔ x = �11011
�
C.S. = ��11011
��
27.4. 4x – = –2(–x – 3)
⇔ 4x – �2x
9+ 6� = 2x + 6
(×9) (×9) (×9)
⇔ 36x – 2x – 6 = 18x + 54⇔ 36x – 2x – 18x = 54 + 6⇔ 16x = 60
⇔ x = �6106�
⇔ x = �145�
C.S. = ��145��
28.28.1. Seja x o número de eleitores.
�23
� x + �16
� x + 80 = x
28.2. �23
� x + �16
� x + 80 = x(×2) (×6) (×6)
⇔ 4x + x + 480 = 6x⇔ 4x + x – 6x = –480⇔ –x = –480 ⇔ x = 480C.S. = {480}Como são 480 eleitores, a lista B recebeu 80 votos
��16
�x = �16
� × 480 = 80�.29. Seja x o valor que o Pedro recebeu.
�2x� + �
3x� + 100 = x
(×3) (×2) (×6) (×6)
⇔ 3x + 2x + 6000 = 6x⇔ 3x + 2x – 6x = –6000⇔ –x = –6000⇔ x = 6000C.S. = {6000}Como pagou 23% de imposto, x – 0,23x = 6000.Assim, 0,77x = 6000 ⇔ x = 7792,21R.: O Pedro recebeu 7792,21 € pela venda dos reló-gios.
30. Como f (x) = g(x) ⇔ f (x) – g(x) = 0, o conjunto--solução é o mesmo, ou seja, {1, 2, 3}.Logo, a opção correta é a [D].
31. Traduzindo o problema por uma equação, temos:x + 42 = (13 + x) + (15 + x)
⇔ x – x – x = 13 + 15 – 42⇔ –x = –14⇔ x = 14C.S. = {14}R.: Daqui a 14 anos a idade da mãe será igual à somadas idades dos filhos.
32. Sabemos que f (x) = 3x – 12. 32.1. g(x) = 7 e x = 2. Então, por exemplo, g(x) = 3x + 1.32.2. Por exemplo, 3x – 12 = 3x – 1 é uma equaçãoimpossível, então g(x) = 3x – 1.32.3. Por exemplo, x – 12 = 6x – 24 é uma equaçãopossível e determinada. Então, g(x) = 6x – 24.
�x
2–1� + 3
��3
x – �3x� + 2
��3
⇔ 4 – �x –
52
� – = �120�
�x –
21
� + �62
�
��2
⇔ 4x – = 2x + 6�3x –
3x – 6�
��3
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Matemática – 9.º Ano
RESOLUÇÕES
33. Para que f (x) – g(x) seja igual a zero é necessárioque f (x) seja igual a g(x), ou seja, f (x) – g(x) = 0 ⇔ f (x) = g(x)Como f (2) = g(2) = –2 e f(0) = g(0) = 4, entãof (x) – g(x) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 2C.S. = {0, 2}
34. �x –3
1� – (x – 1) = 0
⇔ �x –
31
� – x + 1 = 0(×3) (×3)
⇔ �x –
31
� – �33x� + �
33
� = 0
⇔ x – 1 – 3x + 3 = 0⇔ x – 3x = 1 – 3⇔ –2x = –2⇔ x = 1C.S. = {1}A afirmação falsa é a da opção [B].
35. Seja x o valor que cada um recebeu. Assim, �67
� x
é o valor que o João gastou e �18
� x é o valor com que
o Filipe ficou.
Como o João gastou �67
� x, então ficou �17
� x.
�18
� x + 1 = �17
� x
(7) (56) (8)
⇔ 7x + 56 = 8x⇔ 7x – 8x = –56⇔ x = 56C.S. = {56} R.: O avô deu a cada um dos netos 56 €.
36. 50 – 10 = 40 cm36.1. 40 : 2 = 20Cada fita tem (20 + 10) cm = 30 cm de comprimento.
36.2. Como cada fita mede 30 cm 30 + 30 = 60 cm60 – 56 = 4 cm, sobrepostos.R.: A zona sobreposta tem 4 cm de comprimento.
Monómios
Praticar – páginas 98 a 103
1.1.1. Parte numérica: 13Parte literal: y3
1.2. Parte numérica: 12Parte literal: não tem1.3. Parte numérica: 17k7
Parte literal: x2
1.4. Parte numérica: �7a3
5�
Parte literal: b7
2.2.1. A = 5b × 5b = 25b2
2.2. A = x2y × 2x2y = 2x4y2
2.3. A = �5t ×
22t2y� = 5t3y
3.3.1. a) A + 2B == 6x3 – 3x + 2(–3x3 + 2x2 – 3x + 1) == 6x3 – 3x – 6x3 + 4x2 – 6x + 2 == 4x2 – 9x + 2 b) B – 2C == –3x3 + 2x2 – 3x + 1 – 2(–x2 + 2x) == –3x3 + 2x2 – 3x + 1 + 2x2 – 4x == –3x3 + 4x2 – 7x + 1c) –B + A == –(–3x3 + 2x2 – 3x + 1) + 6x3 – 3x == 3x3 – 2x2 + 3x – 1 + 6x3 – 3x == 9x3 – 2x2 – 13.2. O simétrico de B é:–B = 3x3 – 2x2 + 3x – 13.3. Se x = –2B = –3 × (–2)3 + 2 × (–2)2 – 3 × (–2) + 1 == –3 × (–8) + 2 × 4 + 6 + 1 == 24 + 8 + 6 + 1 = = 39
4.4.1. (x + 1)2 = x2 + 2x + 14.2. (x – 1)2 = x2 – 2x + 14.3. (x – 2)2 = x2 – 4x + 44.4. (x + 2)2 = x2 + 4x + 44.5. (x – 3)2 = x2 – 6x + 94.6. (x + 5)2 = x2 + 10x + 254.7. (x + 10)2 = x2 + 20x + 100
RESOLUÇÕES8
A_Prova
4.8. (x – 7)2 = x2 – 14x + 49
5.5.1. x2 – 15.2. x2 – 45.3. x2 – 255.4. x2 – 365.5. x2 – 1005.6. x2 – 121
6.6.1. (x – 5)2 = x2 – 10x + 256.2. (x – 7)2 = x2 – 14x + 496.3. (x – 6) (x + 6) = x2 – 366.4. (2x – 7) (2x + 7) = 4x2 – 49
7.7.1. 10x – 5 = 2 × 5 × x – 5 = 5(2x – 5)7.2. x2 – 12x = x × x – 12 × x = x(x – 12)7.3. y3 – 7y = y × y2 – 7y = y(y2 – 7)7.4. t4 – t5 = t4 – t × t4 = t4(1 – t)7.5. 80abc – 7ab = ab(80c – 7)7.6. 5(x – 1) – x(x – 1) = (x – 1)(5 – x)
8. [A] 2(x2 – 6x + 9) = 2x2 – 12x + 18[B] 2(x – 3)2 = 2(x2 – 6x + 9) = 2x2 – 12x + 18[C] 2(x – 3) (x – 3) = 2(x2 – 6x + 9) = 2x2 – 12x + 18[D] 2(x – 3) (x + 3) = 2(x2 – 9) = 2x2 – 18A opção correta é a [D].
9.9.1. x2 – 16 = (x – 4)(x + 4)9.2. x2 – 10x + 25 = (x – 5)2 = (x – 5)(x – 5)9.3. a2 – 36 = (a – 6)(a + 6)9.4. 100 – x2 = (10 – x)(10 + x)9.5. t2 + 6t + 9 = (t + 3)2 = (t + 3)(t + 3)9.6. 4x2 + 4x + 1 = (2x + 1)2 = (2x + 1)(2x + 1)
10.10.1. 2(x – 3) = x2
⇔ 2x – 6 – x2 = 0⇔ –x2 + 2x – 6 = 0 10.2. (x – 5)2 – 3x = –3⇔ x2 – 10x + 25 – 3x + 3 = 0⇔ x2 – 13x + 28 = 0
10.3. 2��3x� – 2� ��
3x� + 2� = –1
⇔ 2��x
9
2� – 4� + 1 = 0
⇔ �29
� x2 – 8 + 1 = 0
⇔ �29
� x2 – 7 = 0
11.11.1. (x – 1) (x – 5) = 0⇔ x – 1 = 0 ∨ x – 5 = 0⇔ x = 1 ∨ x = 5C.S. = {1, 5}11.2. (2x – 4) (x – 1) = 0⇔ 2x – 4 = 0 ∨ x – 1 = 0⇔ 2x = 4 ∨ x = 1
⇔ x = �42
� ∨ x = 1
⇔ x = 2 ∨ x = 1C.S. = {1, 2}
11.3. ��2x� – 3� ��
5x� –1� = 0
⇔ �2x� –3 = 0 ∨ �
5x� –1 = 0
⇔ �2x� = 3 ∨ �
5x� = 1
⇔ x = 6 ∨ x = 5C.S. = {5, 6}11.4. (7x – 6) (2x – 5) = 0⇔ 7x – 6 = 0 ∨ 2x – 5 = 0⇔ 7x = 6 ∨ 2x = 5
⇔ x = �67
� ∨ x = �52
�
C.S. = ��67
�, �52
��11.5. –(–5 – x) ��
3x� + 3� = 0
⇔ 5 + x = 0 ∨ �3x� + 3 = 0
⇔ x = –5 ∨ �3x� = –3
⇔ x = –5 ∨ x = –9C.S. = {–9, –5}11.6. (x + 11) (2x – 5) = 0⇔ x + 11 = 0 ∨ 2x – 5 = 0⇔ x = –11 ∨ 2x = 5
⇔ x = –11 ∨ x = �52
�
C.S. = �– 11, �52
��
9
Matemática – 9.º Ano
RESOLUÇÕES
12.12.1. Substituindo x por 0 obtém-se:2 × 02 – 32 = 0 ⇔ –32 = 0 FalsoAssim, concluímos que 0 não é solução da equação.12.2. 2x2 – 32 = 2(x2 – 16) = 2(x – 4) (x + 4) == (2x – 8) (x + 4)12.3. 2x2 – 32 = 0⇔ 2(x2 – 16) = 0⇔ 2(x – 4) (x + 4) = 0⇔ x – 4 = 0 ∨ x + 4 = 0⇔ x = 4 ∨ x = –3C.S. = {–4, 4}
13. A� = b × h e A� = �2
Logo, A� = (x – y)(x + 2y) e A� = x2.Então, Aamarelo = (x – y)(x + 2y) – x2 == x2 + 2xy – yx – 2y2 – x2 == xy – 2y2
14. A equação que traduz o problema é 2 × (x2 + 5) = 18.Resolvendo a equação temos:⇔ 2x2 + 10 = 18⇔ 2x2 = 18 – 10
⇔ x2 = �82
�
⇔ x2 = 4⇔ x ± �4�⇔ x = –2 ∨ x = 2C.S. = {–2, 2} R.: Existem dois números nestas condições, –2 e 2.
15. x2 + 100 = 0 ⇔ x2 = –100. Equação impossívelC.S. = { }Logo, a opção correta é a [B].
16. ? × 4kw2 = 162w2 ou seja, �164kk
2
ww2
3� = 4kw
17.17.1. Monómios semelhantes são monómios com amesma parte literal.
Por exemplo, –3a2b3 e �45
�a2b3.
17.2. a = –1 e b = 23(–1)2 × 23 = 3 × 8 = 24
18.18.1. Por exemplo, –5xy.18.2. Por exemplo, x + 8.
18.3. Por exemplo, x2 + 2x + 1.18.4. Por exemplo, y3 + 6.
19.19.1. 2 + (2x – 6) (2x + 6) – (x – 3)2 == 2 + 4x2 – 36 – (x2 – 6x + 9) == 2 + 4x2 – 36 – x2 + 6x – 9 = = 3x2 + 6x – 4319.2. (–x + 1)2 – 3(x – 1)(x + 1) == x2 – 2x + 1 – 3(x2 – 1) == x2 – 2x + 1 – 3x2 + 3 == –2x2 –2x + 4
20. Consideremos, por exemplo, os polinómiosx3 – 2x2 + x + 3 e x3 – 2x2 + 4x – 1 x3 – 2x2 + x + 3 – (x3 – 2x2 + 4x – 1) == x3 – x3 –2x2 + 2x2 + x – 4x + 3 + 1 == –3x + 4Ou seja, a diferença entre os dois polinómios é umpolinómio do 1.o grau.Nota: Basta que a parte numérica dos termos degrau 3 e de grau 2 seja igual nos dois polinómios.
21. P = �b ×2
h�.
Assim, P = �4x × (3
2x + 5)� = 2x(2x + 5) = 4x2 + 10x
22. A área do setor circular é igual a �34
� da área docírculo. Assim,
�34
� π × r2 = π × x2 = �3π
4x2�
Logo, a opção correta é a [D].
23. Vparalelepípedo = c × � × hLogo, Vcaixa = (2x – 4) × 2x × x = (2x – 4) × 2x2 =
= 4x3 – 8x2
24.24.1. A = b × hLogo, A = (x + 5) (x – 2) = x2 – 2x + 5x – 10 == x2 + 3x –1024.2. A = 36 ⇔ x2 = 36 ⇔ x = 6O perímetro do retângulo que se obtém é:P = 2(x + 5) + 2(x – 2) == 2x + 10 + 2x – 4 == 4x + 6
Para x = 6, temos P = 4 × 6 + 6 = 24 + 6 = 30
R.: P = 30 u.c.
RESOLUÇÕES10
A_Prova
25.25.1. (2x – 8) (x – 3) = 0⇔ 2x – 8 = 0 ∨ x – 3 = 0⇔ 2x = 8 ∨ x = 3
⇔ x = �82
� ∨ x = 3
⇔ x = 4 ∨ x = 3C.S. = {3, 4}25.2. 9x2 + 16 = 24x⇔ 9x2 – 24x + 16 = 0⇔ (3x – 4)2 = 0⇔ (3x – 4) (3x – 4) = 0⇔ 3x – 4 = 0⇔ 3x = 4
⇔ x = �43
�
C.S. = ��43
��25.3. 21x2 = 7x⇔ 21x2 – 7x = 0⇔ 7x(3x – 1) = 0⇔ 7x = 0 ∨ 3x – 1 = 0⇔ x = 0 ∨ 3x = 1
⇔ x = 0 ∨ x = �13
�
C.S. = �0, �13
��25.4. 4x2 – 36 = 0⇔ (2x – 6) (2x + 6) = 0⇔ 2x – 6 = 0 ∨ 2x + 6 = 0⇔ 2x = 6 ∨ 2x = –6
⇔ x = �62
� ∨ x = – �62
�
⇔ x = 3 ∨ x = –3C.S. = {–3, 3}25.5. 7x2 = 28
⇔ x = �278�
⇔ x2 = 4⇔ x = �4� ∨ x = �4�⇔ x = –2 ∨ x = 2C.S. = {–2, 2}25.6. 49 – 9x2 = 0⇔ –9x2 = –49
⇔ x2 = �499�
⇔ x = ± ��49�9��
⇔ x = – �73
� ∨ x = �73
�
C.S. = �– �73
�, �73
��26. Seja x o comprimento do lado de um quadradoe 2x o comprimento do lado de um outro quadrado.Assim,
(2x)2 – x2 = 27⇔ 4x2 – x2 = 27⇔ 3x2 = 27
⇔ x2 = �237�
⇔ x2 = 9⇔ x = ± 3C.S. = {3}Como x > 0, então x = 3 cm.Logo, o quadrado maior tem 6 cm de lado (2 × 3 = 6),e o seu perímetro é igual a 24 cm (6 × 4 = 24).
27. A[ABCD] = (x + 3 + x) × (x + 2 + x + 2) = = (2x + 3) (2x + 4) == 4x2 + 8x + 6x + 12 == 4x2 + 14x + 12A[BGFE] = (x + 3) × (x + 2) == x2 + 2x + 3x + 6 == x2 + 5x + 6Logo, Averde = 4x2 + 14x + 12 – (x2 + 5x + 6) == 4x2 – x2 + 14x – 5x + 12 – 6 == 3x2 + 9x + 6
28.28.1. Se não tem termo independente,a2 – 4 = 0 ⇔ a2 = 4 ⇔ a = –2 ∨ a = 2C.S. = {–2, 2}R.: a = –2 ou a = 228.2. a – 2 = 0 ⇔ a = 2, mas se a = 2 o polinómionão tem termo independente.R.: Impossível, não existe nenhum valor de a nascondições pedidas.
29.29.1. Por exemplo, 4x2 – 3x e 3x4 + 2x + 1.29.2. Por exemplo, 3x4 + 3x3 + x e 3x4 + 2x + 5.29.3. Por exemplo, 2x4 + 3x2 + 7 e 2x4 + 3x2 + 2x.
30.30.1. Se P é do 2.o grau, então k – 3 = 0 ⇔ k = 330.2. Se k = 3 e k – 2 = 0 ⇔ k = 2
11
Matemática – 9.º Ano
RESOLUÇÕES
Não é possível porque se k = 3 o polinómio é do 2.o
grau e se k = 2, o polinómio é do 4.o grau.
31.31.1. 3x2 × (x – 6) – (x – 6) × 7 = (x – 6)(3x2 – 7)31.2. 4y2 – 8xy + 4x2 = (2y – 2x)2
32.32.1. 5(x – 3)2 = 125
⇔ (x – 3)2 = �1255
�
⇔ (x – 3)2 = 25⇔ x – 3 = –5 ∨ x – 3 = 5⇔ x = –5 + 3 ∨ x = 5 + 3⇔ x = –2 ∨ x = 8C.S. = {–2, 8}32.2. (x – 3)2 – 5(x – 3) = 0⇔ (x – 3) (x – 3 – 5) = 0⇔ x – 3 = 0 ∨ x – 8 = 0⇔ x = 3 ∨ x = 8C.S. = {3, 8}32.3. 2(x · 3)2 = 19 + (x – 1) (x + 1)⇔ 2(x2 – 6x + 9) = 19 + x2 – 1⇔ 2x2 – 12x + 18 – 19 – x2 + 1 = 0⇔ x2 – 12x = 0⇔ x(x – 12) = 0⇔ x = 0 ∨ x – 12 = 0⇔ x = 0 ∨ x = 12C.S. = {0, 12}32.4. 3x2 = 24(x – 2)⇔ 3x2 – 24x + 48 = 0⇔ 3(x2 – 8x + 16) = 0⇔ 3(x – 4)2 = 0⇔ x – 4 = 0⇔ x = 4C.S. = {4}
33. (3x – n)2 = 9x2 – 42x + n2 == 2 × 3 × x × (–n) == –6xn
–42x = –6xn ⇔ n = �––462x
x� ⇔ n = 7
Logo, a opção correta é a [D].
34.34.1. x2 + 3x – 18 == (x2 – 3x) + (6x – 18) == x(x – 3) + 6(x – 3) == (x – 3)(x + 6)
34.2. x2 = –3(x – 6)⇔ x2 + 3(x – 6) = 0⇔ x2 + 3x – 18 = 0⇔ (x – 3)(x + 6) = 0⇔ x – 3 = 0 ∨ x + 6 = 0⇔ x = 3 ∨ x = –6C.S. = {–6, 3}
35.35.1. (ax2 – 4y)(3bx3 – 4cz + 4) + 16(y – cyz) == 3abx5 – 4aczx2 + 49x2 – 12bx3y + 16czy – 16y ++16y – 16cyz == 3abx5 + 4ax2 – 4aczx2 – 12bx3y
35.2. ax(3x2 – 4by + 1) – 3x(aby) + 7ax == 3ax3 – 4abxy + ax – 3abxy + 7ax == 3ax3 – 7abyx + 6ax
36. Se A = 18x2 então, como A� = �b ×
2h
�,
18x2 = �2x
2× h� ⇔ h = �
18x2
2
x
× 2� ⇔ h = 18x
37. A[ABCD] – A[EFGH] = g2 – h2 = (g – h)(g + h)
38.38.1. a) Se t = 0, então h = –(–0 – 2)2 + 10⇔ h = –4 + 20⇔ h = 6 mb) Se t = 1, então h = –(1 – 2)2 + 10⇔ h = –1 + 10⇔ h = 9 m38.2. h = 0
–(t – 2)2 + 10 ⇔ –(t – 2)2 = –10⇔ (t – 2)2 = 10⇔ t – 2 = – �1�0� ∨ t – 2 = �1�0�⇔ t = – �1�0� – 2 ∨ t = �1�0� + 2
< 0
Logo, t ≈ 5,2 s.
39. 2(x3 – 25) + 7(x – 5) == �2� (x – 5) (x + 5) + 7(x – 5) == (x – 5)(2x + 10 + 7) == (x – 5)(2x + 17)
40.40.1. As dimensões do paralelepípedo II são x – y, ye y, então o volume é igual aV = (x – y) × y × y = xy2 – y3
RESOLUÇÕES12
A_Prova
40.2. VIII = (x – y) × y (x – y) = (x – y)2 × y == (x2 – 2xy + y2)y = x2y – 2xy2 + y3
VIV = (x – y) (x – y) × y = (x – y)2 × y = … == x2y – 2xy2 + y3
40.3. Vcubo – VI – VII – VIII – VIV = são iguais
= x3 – y3 – (xy2 – y3) – 2 × (x2y – 2xy2 + y3) == x3 – y3 – xy2 + y3 – 2x2y + 4xy2 + 2y3 == x3 – y3 + 3xy2 + y3 – 2x2y – 2y3 == x3 – y (2x2 – 3xy + 2y2)
41. A = �92
�
�(x – 4) ×
2(x + 4)� = �
92
�
⇔ (x – 4) (x + 4) = 9⇔ x2 – 16 – 9 = 0⇔ x2 – 25 = 0⇔ x – 5) (x + 5) = 0⇔ x = 5 ∨ x = –5C.S. = {–5, 5} Como x > 0, então x = 5 cm.O cateto maior mede 9 cm (x + 4 = 5 + 4 = 9).
42. Como A = 900 cm2, então (a – 30)2 = 900⇔ (a – 30)2 – 302 = 0⇔ (a – 30 – 30) (a – 30 + 30) = 0⇔ a – 60 = 0 ∨ a = 0⇔ a = 60 ∨ a = 0
a > 0
⇔ a = 60R.: a = 60 m
Equações literais. Sistemas de duas equações
Praticar – páginas 106 a 111
1. 5x – 3y = –20, se x = –1 e y = 55 × (–1) – 3 × 5 = –20 × –5 – 15 = –20 × –20 = 20Verdade(–1, 5) é solução da equação 5x – 3y = –20
2. 2x – y = 6Por exemplo, (1, –4) é solução de equação:2 × 1 – (–4) = 2 + 4 = 6
↑ ↑ x y
(2, –2) é solução de equação:2 × 2 – (–2) = 4 + 2 = 6
↑ ↑ x y
(–3, –12) é solução de equação:2 × (–3) – (–12) = –6 + 12 = 6
↑ ↑ x y
Logo, (1, –4), (2, –2) e (–3, –12) são soluções deequação 2x – y = 6.
3. Por exemplo, (–5, 1)↑ ↑ x y
2 × (–5) + 1 = –10 + 1 = 9, então 2x + y = –9.↑ ↑ x y
4.4.1. x – 5y – 7 = 0 ⇔ x = 5y + 74.2. 2x – 8y = 10 ⇔ 2x = 8y + 10
⇔ x = �8y +
210
�
⇔ x = 4y + 54.3. 3y = 5x – 11⇔ 5x – 11 = 34⇔ 5x = 3y + 11
⇔ x = �35
� y + �151�
5. Verificar se (2, 4) é solução do sistema é verifi-car se é solução das duas equações.
2 × 2 – 4 × 4 = 12 4 – 16 = 12 –12 = 12 Falso⇔ ⇔
–2 + 4 = 2 2 = 2 V
Concluímos que (2, 4) não é solução do sistemaporque não é solução de uma das equações.
6. [A] (8,2)
8 – 2 = 7 6 = 7 Falso⇔
–2 × 8 + 5 × 2 = –5
Logo, (8, 2) não é solução do sistema.
[B] (10, 3)
10 – 3 =7 7 = 7 7 = 7 V⇔ ⇔
–2 ×10 + 5 × 3 = –5 –20 + 15 = –5 –5 = –5 V
Logo (10, 3) é solução do sistema.
13
Matemática – 9.º Ano
RESOLUÇÕES
[C] (2, 8)
2 – 8 = 7 –6 = 7 Falso⇔
–2 × 2 + 5 × 8 = –5
Logo, (2, 8) não é solução do sistema.
[D] (3, 10)
3 – 10 = 7 –7 = 7 Falso⇔
–2 × 3 + 5 × 10 = –5 ———
Logo, (3, 10) não é solução do sistema.A opção correta é a [B].
7.7.1. Forma canónicax + y = 9 x – (15 – x) = 9 x – 15 + x = 9
⇔ ⇔x + y = 15 y = 15 – x ———
x + x = 9 + 15 2x = 24 x = �224� x = 12
⇔ ⇔ ⇔ ⇔——— ——— ——— y = 3
C.S. = {(12, 3)}7.2. Forma canónicax + y = 1 y = 1 – x ———
⇔ ⇔ –x + y = 9 –x + 1 – x = 9 –2x = 9 –1
——— y = 1 – (–4) y =5⇔ ⇔ ⇔
x = �–82� x = –4 x = –4
C.S. = {(–4, 5)}7.3. Forma canónica2x + y = –10 2x – 3 – x = –10 2x – x = –10 + 3
⇔ ⇔ x + y = –3 y = –3 – x ———
x = –7 x = –7⇔ ⇔
y = –3 –(–7) y = 4
C.S. = {(–7, 4)}7.4. Forma canónica2y – x = 7 –x + 2y = 7 –(–1 + y) + 2y = 7
⇔ ⇔ –y + x = –1 x – y = –1 x = –1 + y
1 – y + 2y = 7 – y + 2y = 7 – 1⇔ ⇔
——— ———
y = 6 y = 6⇔ ⇔
x = –1 + 6 x = 5
C.S. = {(5, 6)}7.5. Forma canónica2x + y = 2 2x + y = 2 y = 2 – 2x
⇔ ⇔ –7y – 3x = –3 –3x – 7y = –3 –3x – 7(2 – 2x) = –3
——— –y + 2y = 7 – 1⇔ ⇔
–3x – 14 + 14x = –3 –3x + 14x = –3 + 14
——— ——— y = 2 – 2 × 1⇔ ⇔ ⇔
11x = 11 x = �1111� x = 1
y = 2 – 2 y = 0⇔ ⇔
——— x = 1
C.S. = {(1, 0)}7.6. Forma canónica4x – 2y = 14 2x – y = 7 2(–4 – 2y) – y = 7
⇔ ⇔ 2y + x = –4 x + 2y = –4 x = –4 – 2y
–8 – 4y – y = 7 –4y – y = 7 + 8 –5y = 15⇔ ⇔ ⇔
——— ———
y = �1–55� y = –3 y = –3
⇔ ⇔ ⇔ ——— x = –4 – 2 × (–3) x = 2
C.S. = {(2, –3)}
8.8.1. Por exemplo, (0, 4) porque 3 × 0 + 2 × 4 = 8 ⇔ 8 = 8 Verdadeiroe 4 = 2 × 0 – 3 ⇔ 4 = –3 Falso8.2. Por exemplo, (3, 3) porque 3 = 2 × 3 – 3 ⇔ 3 = 3 Verdadeiroe 3 × 3 + 2 × 3 = 8 ⇔ 6 + 6 = 8 Falso8.3. A solução do sistema é o par ordenado (2, 1). Éo ponto de interseção das duas retas.8.4. Resolvendo o sistema pelo método de substitui-ção, 3x + 2y = 8 3x + 2y = 8 3x + 2(–3 + 2x) = 8
⇔ ⇔ y = 2x – 3 –2x + y = –3 y = –3 + 2x
RESOLUÇÕES14
A_Prova
3x – 6 + 4x = 8 3x + 4x = 8 + 6 7x = 14⇔ ⇔ ⇔
——— ——— ———
x = 2 x = 2⇔ ⇔
y = –3 + 2 × 2 y = 1
C.S. = {(2, 1)}
9. Como o perímetro é igual a 100 cm, P = 100
2 × (2x + y) + 2 × (3x + 2y) = 10⇔ 4x + 2y + 6x + 4y = 100⇔ 10x + 6y = 10⇔ 5x + 3y = 509.1. Se x = 4, 5 × 4 + 3y = 50⇔ 20 + 3y = 50⇔ 3y = 50 – 20 ⇔ 3y = 30
⇔ y = �330�
⇔ y = 109.2. Se y = 5, 5x + 3 × 5 = 50⇔ 5x + 15 = 50⇔ 5x = 50 – 15⇔ 5x = 35
⇔ x = �355�
⇔ x = 7Como x = 7 e y = 5A = (3x + 2y) × (2x + y), ou seja, A = (3 × 7 + 2 × 5) × (2 × 7 + 5) == (21 + 10) × (14 + 5) = 31 × 19 = 589R.: A = 589 cm2
10. Para determinar o par ordenado (x, y) bastaresolver o sistema pelo método de substituição.Forma canónica2(x – 1) = 4 + y 2x – 2 – y = 4 2x – y = 4 + 2
⇔ ⇔ –y – x = 1 –x – y = 1 ———
2x – y = 6 — 2(–y – 1) – y = 6⇔ ⇔ ⇔
–x – y = 1 –x = 1 + y ———
–3y = 8 y = – �83
� ———⇔ ⇔ ⇔
——— x = – �– �83
�� – 1 x = �83
� – �53
�
y = – �83
�
⇔ x = �
53
�
C.S. = ���53
�, – �83
���10.1. Para x = �
53
� e y = – �83
�, temos
2x + 3y = 2 × �53
� + 3 × �– �83
�� = �130� – �
234� = – �
134�
10.2. Para x = �53
� e y = – �83
�, temos
x – y = �53
� – �– �83
��2
= �53
� – �694� = �
195� – �
694� = – �
499�
10.3. Para x = �53
� e y = – �83
�, temos
(x + y)2 = ��53
� + �– �83
���2
= ��53
� – �83
��2
=
= �– �33
��2
= (–1)2 = 1
11. x: idade do Fernandoy: idade da filha mais velha do Fernando
• x + y = 42x + 5 – idade do Fernando daqui a 5 anos.y + 5 – idade da filha mais velha do Fernandodaqui a 5 anos
• x + 5 = 3 × (y + 5)Resolvendo o sistema com as duas equações
x + y = 42 x + y = 42 x + y = 42⇔ ⇔
x + 5 = 3(y + 5) x + 5 = 3y + 15 y = 8
Forma canónica
x + y = 41 x = 42 – y ———⇔ ⇔ ⇔
x – 3y = 10 42 – y – 3y = 10 –4y = –32
x = 42 – 8 x = 34⇔ ⇔
y = 8 y = 8
C.S. = {(34, 8)}R.: O Fernando tem 34 anos.
12.12.1. Como as retas são estritamente paralelas, o sis-tema é impossível.12.2. x y = –x + 6
0 6 → –0 + 6 = 62 4 → –2 + 6 = 4
15
Matemática – 9.º Ano
RESOLUÇÕES
Logo, a reta contém os pontos (0, 6) e (2, 4).12.3. a) Por exemplo,y = –x + 6
porque são retas concorrentesy = 2x + 1
b) Por exemplo,y = 2x – 1
porque são retas coincidentesy = 2x – 1
13. Sejam x o preço de cada martelo e y o preçode cada chave inglesa
3x + 2y = 29 3x = 29 – 2y x = �29
3– 2y�
⇔ ⇔ 2x + 3y = 31 ——— 2��29
3– 2y�� + 3y = 31
——— ———⇔ ⇔
�538� – �
43
� + 3y = 31 58 – 4y + 9y = 93
——— ——— x = �29 –
32 × 7�
⇔ ⇔ ⇔ – 4y + 9y = 93 – 58 y = �
355� y = 7
x = �135� x = 5
⇔ ⇔ ——— y = 7
Como cada martelo custa 5 € e cada chave inglesa 7 €.5 martelos custam 5 × 5 = 25 € e cada chave ingle-sa 7 €.Então 5 martelos e chave inglesa fica por 27 + 7 = 32 €R.: O novo pack custará 32 €.
14.14.1. Como se trata de um hexágono, n = 6S = (6 – 2) × 180o = 720o
14.2. Como x = 1080o, (n – 2) × 180o = 1980o
⇔ n – 2 = �1198800
�
⇔ n – 2 = 11⇔ n = 11 + 2⇔ n = 13R.: O polígono tem 13 lados.14.3. Como se trata de um pentágono, n = 5S = (5 – 2) × 180 ⇔ S = 540o
O pentágono tem cinco ângulos internos então,cada ângulo tem 108o (540o : 5 = 108o).14.4. S = (n – 2) × 180o
⇔ (n – 2) × 180o = S
⇔ n – 2 = �1S80�
⇔ n = �1S80� + 2
15.15.1. Se x = 3, y – 2 – �
23
� x = 4 ⇔ y – �23
� × 3 = 4
⇔ y = 4 + 2⇔ y = 6Se x = 6, y – �
23
� x = 4 ⇔ y – �23
� × 6 = 4
⇔ y = 4 + 4⇔ y = 8Se, por exemplo, x = 9,
y – �23
� x = 4 ⇔ y – �23
� × 9 = 4
⇔ y = 4 + 6⇔ y = 10Então
15.2. Marcar, por exemplo, os pontos (0, 4) e (3, 6) noreferencial e traçar a reta que contém esses pontos.
15.3. A solução do sistema é (3, 6), ponto onde asduas retas se intersetam.15.4. Por exemplo, y = –2x. Basta que as duas retastenham o mesmo declive.
x 0 3 6 9y 4 6 8 10
y = 2x + 1 y = 2x – 1
y = –x + 6
O
y
x–2
2
4
6
10
8
2 4 6 8 10
O
y
x–2
246
101215
8
1 2 3 4 5 6
y = x + 423
2x + y = 12
O
y
x–2
246
101215
8
1 2 3 4 5 6 7
2x + y = 12
y = –2x
RESOLUÇÕES16
A_Prova
Como as retas são estritamente paralelas, o sistemaé impossível.
16. Para que (3, –2) seja solução de um sistema énecessário que seja solução das duas equações.
2k + y = 4 2 × 3 + (–2) = 4 6 – 2 = 4 V[A] ⇔ ⇔
x + y = 5 3 + (–2) = 5 3 – 2 = 5 F
(3, –2) não é solução da 2.a equação. Logo, não ésolução do sistema.
–x – �y +
32
� = 3 –3 – �–2
3+ 2� = 3
[B] ⇔——— ———
–3 – 0 = 3 Falso⇔
———
Como (3, –2) não é solução da 1.a equação não ésolução do sistema.
�3x� – y = – �
32
� �33
� – (–2) = – �32
�
[C] ⇔–(x – 2y) + 1 = –10 ———
1 + 2 = – �32
� Falso⇔
———Como (3, –2) não é solução da 1.a equação não ésolução do sistema.
x = 1 – y 3 = 1 – (–2) 3 = 3 V[D] ⇔ ⇔
y = –x + 1 –2 = –3 + 1 –2 = –2 V
(3, –2) é solução do sistema, porque é solução dasduas equações.Logo, a opção correta é a [D].
17. (1, –7) e (4, 5) são pontos da reta r.
Assim, o declive da reta é:
a = �5
4––(–17)
� = �132� = 4
Substituindo, por exemplo, x = 4 e y = 5, na equa-ção y = ax + b obtemos: 5 = 4 × b ⇔ b = 16 + 5 ⇔ b = –11Logo, a = 4 e b = –11
18.18.1. O sistema III, porque está escrito na forma
ax + bx = c
a’x + b’y = c’
18.2.
2x – �12
� (y – 3) = 2 2x – �12
� y + �32
� = 2⇔ (×2) (×2)
�2x� – �
3y� = –3 3x – 2y = –18
(×3) (×2) (×6)
4x – y = 1 ⇔ (Forma canónica)
3x – 2y = –18
18.3. [A] (1, 5)
�15
� × 1 = –1 + 2 × 5 �15
� = 9 Falso⇔
1 – 3 × 5 = 2 ———
Logo, (1, 5) não é solução do sistema II porque nãoé solução da 1.a equação do sistema.[B] (–1, –1)
�15
� × (–1) = –1 + 2 × (–1) – �15
� = –3 F⇔
–1 – 3 × (–1) = 2 2 = 2 V
Logo, (–1, –1) não é solução do sistema II porquenão é solução da 1.a equação do sistema.
[C] (5, 1)
�15
� × 5 = –1 + 2 × 1 1 = 1 V⇔
5 – 3 × 1 = 2 2 = 2 V
Logo, (5, 1) é solução do sistema II porque é soluçãodas duas equações do sistema.
[D] (1, 1)
�15
� × 1 = –1 + 2 × 1 �15
� = 1 F⇔
1 – 3 × 1 = 2 –2 = 2 F
Logo, (1, 1) não é solução do sistema porque não ésolução das duas equações.Assim a opção correta é a [C].
17
Matemática – 9.º Ano
RESOLUÇÕES
18.4. Escrevendo o sistema na forma canónica,obte mos
�15
�x = –1 + 2y x = –5 + 10y x – 10y = –5(×5) (×5) ⇔ ⇔
x – 3y = 2 x – 3y = 2 x – 3y = 2
Resolvendo as duas equações em ordem a y
–10y = –5 – x y = �––51–0x
� x = �12
� + �1x
0�
⇔ ⇔ –3y = 2– x y = �
2––3x
� y = – �23
� + �3x�
x y = �12
� + �1x
0�
5 1 → �12
� + �150� = �
12
� + �12
� = 1
–5 0 → �12
� – �150� = �
12
� – �12
� = 0
Sistema possível e determinado. C.S. = {(5, 1)}
18.5. 2x – 5y = 4 2x – 5(–2 + 3x) = 4
⇔ –3x + y = –2 y = –2 + 3x
2x + 10 – 15x = 4 2x – 15x = 4 – 10⇔ ⇔
——— ———
–13x = –6 x = �163� x = �
163�
⇔ ⇔ ⇔ ——— y = – 2 + 3 × �
163� y = –2 + �
1183�
(×13)
——— x = �163�
⇔ ⇔ y = – �
2163� + �
1183� y = – �
183�
C.S. = ��163�, – �
183��
19. O sistema I é impossível porque as retas r e ssão estritamente paralelas.O sistema II é possível e indeterminado porque asretas r e s são coincidentes.Os sistemas III e IV são possíveis e determinadosporque as retas r e s são concorrentes.
20. Sejam x o preço de um par de calças e y o preçode uma blusa.20.1. x + y – preço de um par de calças e de umablusa.
x + y = 85x – 6 = y + 7
20.2. x + y – preço de um par de calças e de umablusa.
x + y = 85 x + y = 85 x + y = 85⇔ ⇔
x – 6 = y + 7 x – y = 13 85 – y – y = 13
——— ———⇔ ⇔
–y – y = 13 – 85 –2y = –72
x = 85 – 36 x = 49⇔ ⇔
y = 36 y = 36
C.S. = {(49, 36)}R.: As calças custaram 49 € e a blusa 36 €.
21. Seja x a idade do João e y a idade do Filipe.21.1. x + 5 representa a idade do João daqui a 5 anos e y + 5 representa a idade do Filipe daqui a 5anos.
x + y = 42x + 5 + y + 5 = 52
21.2.
x + y = 42 x + y = 42⇔
x + y = 52 – 10 x + y = 42
Como as equações são equivalentes, o sistema épossível e indeterminado, o que significa que o sis-tema tem uma infinidade de soluções.21.3. Por exemplo, (10, 32), (15, 27), (20, 22) e (21, 21).
O
y
x–5 1
234
–3 –1
–22 4 6 8
y = – +23
x3
y = + 12
x10
x y = – �23
� + �3x�
2 0 → – �23
� + �23
� = 0
–1 –1 → – �23
� – �13
� = –1
RESOLUÇÕES18
A_Prova
22. Seja x o número de notas de 20 € e y o númerode notas de 100 €.20x + 100y = 1000 20(26 – y) + 100y = 1000
⇔ x + y = 26 x = 26 – y
520 – 20y + 100y = 1000⇔
———
–20y + 100y = 1000 – 520 80y = 480⇔ ⇔
——— ———
y = �48800
� y = 6 y = 6⇔ ⇔ ⇔
——— x = 26 – 6 x = 20 C.S. = {(20, 6)}O Pedro tem 20 notas de 20 € e 6 notas de 100 €.Em notas de 20 €, o Pedro tem 20 × 20 = 400 €, ouseja, a quantia é inferior a 419,99 €.R.: O Pedro não consegue comprar a bicicleta, ape-nas com as notas de 20 €.
23. Para determinar as coordenadas de A bastaresolver o sistema.y = 4x – 8 2x + 3 = 4x – 8 2x – 4x = –8 – 3
⇔ ⇔ y = 3x + 3 ——— ———
–2x = –11 x = �121� ——— x = �
121�
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ——— y = 2 × �
121� + 3 y = 11 + 3 y = 14
C.S. = ���121�, 14��
Logo, A = ��121�, 14�
O ponto B é um ponto do eixo Ox, ou seja, tem de
ordenada zero. A abcissa de B é igual à abcissa de
A, �121�.
Logo, B tem coordenadas ��121�, 0�.
A[OBA] = �b ×2
h�
A[OBA] = = �1544
� = 38,5 u.a.
24.24.1. Como a 1.a equação, y = ax + 2, tem ordenadana origem 2, corresponde à reta vermelha.Determinando o declive, o valor de a:a reta contém por exemplo, o ponto (1, 0), então0 = a × 1 + 2 ⇔ a = –2y = –2x + 2Os pontos (3, –2) e (6, 0) pertencem à reta de equa-ção bx + cy = d e –4 é a ordenada na origem, então
bx + cy = d ⇔ y = – �bc
� x + �dc
� e �dc
� = –4.
Assim, y = – �bc
� x –4
Utilizando, por exemplo, os pontos (3, –2) e (6, 0),podemos determinar o seu declive.
�06––(–32)
� = �23
�, ou seja, – �bc
� = �23
�.
Escrevendo a equação y = �23
� x – 4 na forma bx + cy = d, temos:
y = �23
� x – 4 ⇔ – �23
� x + 3y = –4 ⇔ –2x + 3y = –12
ou seja, b = –2, c = 3 e d = –12.R.: a = –2 e, por exemplo, b = –2, c = 3 e d = –12.24.2. O sistema é possível e determinado porque asretas são concorrentes. Como as retas se intersetamno ponto de coordenadas (3, –2), a solução do sis-tema é C.S. = {(3, –2)}.24.3. Como a = –2 (por 24.1.), pretendemos repre-sentar a reta de equação y = –2x – 2.
x y
0 –2–1 0
24.4. O sistema é impossível porque as retas deequações y = ax + 2 (a vermelho) e y = ax – 2 (alí-nea 24.3.) são paralelas.
25. [A] –4 × �12
� + (–3) = 5 ⇔ –2 – 3 = 5 ⇔ –5 = 5Falso.
��12
�, –5� não é solução da equação. [B] 6 × �
12
� + (–3) = 2 ⇔ 3 – 3 = 2 Falso
�121� × 14
��2
y
x–2
–4
–6
–8 y = ax – 2
O
2
4
2–2 4 6 8
19
Matemática – 9.º Ano
RESOLUÇÕES
��12
�, –5� não é solução da equação. [C] –2 × �
12
� – (–3) = 20 ⇔ –1 + 3 = 20 Falso
��12
�, –5� não é solução da equação.
[D] �12
� + �(–23)� = –1 ⇔ – �
22
� = –1 Verdadeiro
Assim, a outra equação é x + �2y� = –1 e a opção cor-
reta é a [D].
26. A = π × r2 ⇔ r2 = �Aπ
� ⇔ r = ��Aπ
��Logo, a opção correta é a [B].
27.
3x + 2y = 11 3x + 2y = 11 3x + 2(6 – 2x) = 11⇔ ⇔
2x – 2 + y = 4 2x + y = 6 y = 6 – 2x
3x + 12 – 4x = 11 3x – 4x = 11 – 12⇔ ⇔
——— ———
–x = –1 x = 1 x = 1⇔ ⇔ ⇔
——— y = 6 – 2 × 1 y = 14
C.S. = {(1, 4)}
Como (k – 2p, k – p) é solução do sistema, temos:
k – 2p = 1 k = 1 + 2p k = 7⇔ ⇔
k – p = 4 1 + 2p – p = 4 p = 3
Logo, k = 7 e p = 3.
28.
–6x + 3y = 12
–ax + y = b
28.1. Por exemplo, a = 1 e b = 2.28.2. a = 2 e, por exemplo, b = 2.28.3. Por exemplo, a = 2 e b = 2.
29. Seja x o número de adultos e y o número decrianças.x + y = 300 x = 300 – y
⇔ 10x + 3y = 2440 10(300 – y) + 3y = 2440
——— ——— ⇔ ⇔
3000 – 10y + 3y = 2440 –7y = –560
x = 300 – 80 x = 220 ⇔ ⇔
y = 80 y = 80
C.S. = {(220, 80)}R.: Assistiram à peça 80 crianças.
30.30.1.
4 – �x +2y
� = 6 �41
� – �x +2y
� = �61
�
⇔ (×2) (×2)
�2x
2– 6� = 2�x + �
2y�� – x �
22x� – �
62
� = 2x + �22y� – x
8 – x – y = 12 –x – y = 12 – 8⇔ ⇔
x – 3 = 2x + y – x x – 2x + x – y = 3
–x – y = 4 ——— –x – (–3) = 4⇔ ⇔ ⇔
0x – y = 3 –y = 3 y = –3
–x + 3 = 4 –x = 4 – 3 –x = 1 x = –1⇔ ⇔ ⇔ ⇔
——— ——— ——— y = 3
C.S. = {(–1, 3)}30.2.
�3x
3– 1� + y = 2 �
3x3– 1� + �
y
1� = �
21
�
⇔ (×3) (×3)
– �x –31
� = 2y – (2x – 1) – �x –31
� = �22y� – �
22x� + �
11
�
(×3) (×3) (×3)
3x – 1 + 3y = 6 3x + 3y = 6 + 1⇔ ⇔
–x + 1 = 6y – 6x + 3 –x + 6x – 6y = 3 – 1
3x + 3y = 5 3x = 5 – 3y x = �53
� – y⇔ ⇔ ⇔
5x – 6y = 2 ——— 5 × ��53
� – y� – 6y = 2——— ———
⇔ ⇔ �235� – �
51y� – �
61y� = �
21
� 25 – 15y – 18y = 6(×3) (×3) (×3)
RESOLUÇÕES20
A_Prova
——— ——— x = �53
� – �1393�
⇔ ⇔ ⇔ (×11)–33y = –19 y = �
1393� ———
x = �5353� – �
1393� x = �
3363� x = �
1121�
⇔ ⇔ ⇔ ——— ——— y = �
1393�
C.S. = ���1121�, �
1393���
31. Como �x +
34y� = x – 2y = 6 podemos escrever
�x +
34y� = 6 x + 4y = 18 6 + 2y + 4y = 18
⇔ ⇔ x – 2y = 6 x = 6 + 2y ———
6y = 12 y = 2 y = 2⇔ ⇔ ⇔
——— x = 6 + 2 × 2 x =10
C.S. = {(10, 2)}R.: x = 10 e y = 2.
32. Seja �y
x� a fração pedida.
�x –y
6� = �
14
� 4x – 24 = y ———⇔ ⇔
�y +x
2� = �
12
� 2x = y + 2 2x = 4x – 24 + 2
——— ——— 4 × 11 – 24 = y⇔ ⇔ ⇔
2x – 4x = –24 + 2 –2x = –22 x = 11
y = 20⇔
x = 11
C.S. = {(11, 20)}
R.: A fração é �1210�.
33. x + �2y� = 3y – �
5x� + 2 + 6
⇔ x + �5x� + �
2y� – 3y = 8
(×10) (×2) (×5) (×10) (×10)
⇔ 10x + 2x + 5y – 30y = 80⇔ 12x – 25y = 80Como a soma dos ângulos internos de um triânguloé igual a 180o e o triângulo é retângulo, ou seja, umdos ângulos tem de amplitude 90o, temos:
x + �2y� + 3y – �
5x� + 2 + 90 = 180o
12x – 25y = 80
x – �5x� + �
2y� + 3 = 88
⇔ (×10) (×2) (×5) (×10) (×10)12x – 25y = 802
10x – 2x + 5y + 30y = 880 8x + 35y = 880⇔ (×10) (×2) (×5) (×10) (×10) ⇔
——— x = �80
1+225y�
8��80 1+225y�� + 35y = 880
⇔ ———
�61420
� + �21020
�y + 35y = 880⇔ (×12) (×12)
———
640 + 200y + 420y = 10 560 620y = 9920⇔ ⇔
——— ———
y = 16 y = 16⇔ ⇔
x = �80 +
1225 × 16� x = 40
C.S. = {(40, 16)}R.: x = 40 e y = 16
34. Seja x o número de quilogramas de café daColômbia e y o número de quilogramas de café deSão Tomé e Príncipe.Assim, podemos construir a seguinte tabela:
Logo, ficamos a saber que x + y = 6 e 35x + 25y = 192.Para determinar x e y basta resolver o sistema.x + y = 6 x = 6 – y
⇔ 35x + 25y = 192 35(6 – y) + 25y = 192
——— ⇔
210 – 35y + 25y = 192
CAFÉ Número de quilogramas
Preço do quilograma Custo total
Colômbia x kg 35€ 35x€
São Tomé e Príncipe y kg 25€ 25y€
Mistura 6 kg 32€ 192€
21
Matemática – 9.º Ano
RESOLUÇÕES
——— ———⇔ ⇔
–35y + 25y = 192 – 210 10y = 18
x = 6 – �95
� x = �251� x = 4,2
⇔ ⇔ ⇔ y = �
95
� y = �95
� y = –1,8
C.S. = {(4,2; 1,8)}R.: A mistura deve conter 4,2 kg de café da Colômbia.
Equações completas do 2.o grau
Praticar – páginas 114 a 119
1.1.1. x2 – 4x + 8 = (x2 – 4x) + 8 == (x2 – 4x + 4) + 8 – 4 == (x – 2)2 + 41.2. x2 + 16x – 5 = (x2 + 16x) –5 == (x2 – 16x + 64) – 5 – 64 == (x + 8)2 – 69
2.2.1. x2 – 10x + 12 = (x2 – 10x) + 12 == (x2 – 10x + 25) + 12 – 25 == (x – 5)2 – 132.2. x2 + 8x = (x2 + 8x + 16) + 16 == (x – 4)2 – 162.3. x2 – 2x + 12 = (x2 – 2x) + 12 == (x2 – 2x + 1) + 12 – 1 == (x – 1)2 + 112.4. x2 – x + 15 = (x2 – x) + 15 =
= �x2 – x + �14
�� + 15 – �14
� =
= �x – �12
��2+ �
549�
3. 2x2 + 2x – 12 = 0⇔ x2 + x – 6 = 0
⇔ �x2 – x + �14
�� – 6 – �14
� = 0
⇔ �x – �12
��2= �
245�
⇔ x – �12
� = ��24�5�� ∨ x + �
12
� = ��24�5��
⇔ x + �12
� = �52
� ∨ x + �12
� = – �52
�
⇔ x = �52
� – �12
� ∨ x = – �52
� – �12
�
⇔ x = �42
� ∨ x = – �62
�
⇔ x = 2 ∨ x = –3
4. [A] (–2) + (–2) – 1 = 0 ⇔ –2 + 2 – 1 = 0 ⇔ –1 = 0 Falso–2 não é solução da equação x2 + x – 1 = 0.[B] (–2)2 – 3 × (–2) + 2 = 0 ⇔ 4 + 6 + 2 = 0 Falso–2 não é solução da equação x2 – 3x + 2 = 0.[C] (–2 + 2) (–2 – 1) = 0 ⇔ 0 × (–3) = 0 Verdadeiro–2 é solução da equação (x + 2) (x – 1) = 0.(1 + 2) (1 – 1) = 0 ⇔ 3 × 0 = 0 Verdadeiro1 é solução da equação (x + 2) (x – 1) = 0 {–2; 2} é o conjunto-solução da equação.[D] (–2 – 2) (–2 + 1) = 0 – 4 × (–1) = 0 Falso–2 não é solução da equação (x – 2)(x + 1) = 0(1 – 2) (1 + 1) = 0 ⇔ (–1) × 2 = 0 FalsoAssim, 1 não é solução da equação (x – 2)(x + 1) = 0.Logo, a opção correta é a [C].
5.5.1. x2 + 4x + 3 = 0
⇔ x =
⇔ x = �–4
2± 2�
⇔ x = �–4
2– 2� ∨ x = �
–42+ 2�
⇔ x = – �62
� ∨ x = – �22
�
⇔ x = –3 ∨ x = –1C.S. = {–3, –1}5.2. 2k2 – 50 = 0⇔ 2k2 = 50
⇔ k2 = �520�
⇔ k2 = 25⇔ k = –2�5� ∨ k = 2�5�⇔ k = –5 ∨ k = 5C.S. = {–5, 5}5.3. c2 + 12 = 7c⇔ c2 – 7c + 12 = 0
⇔ c =
–4 ± 4�2�–� 4� ×� 1� ×�3����
2 × 1
–(–7) ± (–�7�)2� –� 4� ×� 1� ×� 1�2�����
2 × 1
⇔ x = –4 ± 1�6� –� 1�2���
2
⇔ c = 7 ± 4�9� –� 4�8���
2
RESOLUÇÕES22
A_Prova
⇔ c = �72± 1�
⇔ c = �82
� ∨ c = �62
�
⇔ c = 4 ∨ c = 3C.S. = {3, 4}5.4. (3t + 1)(2t – 1) = 0⇔ 3t + 1 = 0 ∨ 2t – 1 = 0⇔ 3t = –1 ∨ 2t = 1
⇔ t = – �13
� ∨ t = �12
�
C.S. = �– �13
�, �12
��5.5. x2 – 5x – 14 = 0
⇔ x =
⇔ x =
⇔ x = �5 –29
� ∨ x = �5 +29
�
⇔ x = – �42
� ∨ x = �124�
⇔ x = –2 ∨ x = 5C.S. = {–2, 7}5.6. x2 – x = 0⇔ x(x – 9) = 0⇔ x = 0 ∨ x –9 = 0⇔ x = 0 ∨ x = 9C.S. = {0, 9}5.7. 2x2 + 5x – 8 = 0
⇔ x =
⇔ x =
⇔ x = �–5
4– 9� ∨ x = �
–54+ 9�
⇔ x = – �144� ∨ x = �
44
�
⇔ x = – �72
� ∨ x = 1
C.S. = �– �72
�, 1�
5.8. a2 – 8a + 7 = 0
⇔ a =
⇔ a =
⇔ a = �82– 6� ∨ a = �
82+ 6�
⇔ a = �22
� ∨ a = �124�
⇔ a = 1 ∨ a = 7C.S. = {1, 7}5.9. x(x – 1) = 6 – 2x – 4x2
⇔ x2 – x – 6 + 2x + 4x2 = 0⇔ 5x2 – x – 6 = 0
⇔ x =
⇔ x = �–11±011
�
⇔ x = – �1120� ∨ x = �
1100�
⇔ x = – �65
� ∨ x = 1
C.S. = �– �65
�, 1�5.10. 2(x2 – 2x) = 16⇔ x2 – 2x = 8⇔ x2 – 2x – 8 = 0
⇔ x =
⇔ x =
⇔ x = �2 –26
� ∨ x = �2 +26
�
⇔ x = –2 ∨ x = 4C.S. = {–2, 4}
6. Para determinar as coordenadas dos pontos A eB, basta resolver a equação.
x2 = –x + 12⇔ x2 + x – 12 = 0
–(–5) ± (–�5�)2� –� 4� ×� 1� ×�(�–�1�4�)�����
2 × 1
5 ± 8�1���
2
–(–8) ± (–�8�)2� –� 4� ×�1� ×�7�����
2 × 1
8 ± 3�6���
2
2 ± �(–��2)2�–� 4� ×� 1� ×� (�–�8�)����
2 × 1
2 ± 3�6���
2
–5 ± 5�2�–� 4� ×�2� ×�(�–�7�)����
2 × 2
–5 ± 8�1���
4
–1 ± 1�2�–� 4� ×�5� ×�(�–�6�)����
2 × 5
⇔ x = 5 ± 2�5� +� 5�6���
2
⇔ x = –5 ± 2�5� +� 5�6���
4
⇔ a = 8 ± 6�4� –� 2�8���
2
⇔ x = –1 ± 1� +� 1�2�1���
10
⇔ x = 2 ± 4� +� 3�2���
2
23
Matemática – 9.º Ano
RESOLUÇÕES
⇔ x =
⇔ x =
⇔ x = �– 1
2± 7�
⇔ x = �–1
2– 7� ∨ x = �
–12+ 7�
⇔ x = – �82
� ∨ x = �62
�
⇔ x = –4 ∨ x = 3C.S. = {–4, 3}Como a abcissa do ponto A é –4, então a ordenadaé 16 (y = (–4)2 ⇔ y = 16). Logo, A (–4, 16).A abcissa do ponto B é 3, então y = 32 ⇔ y = 9, aordenada é 9.Logo, B (3, 9).R.: A(–4, 16) e B(3, 9)
7. Para determinar o número de soluções de umaequação do 2.o grau é necessário verificar o sinal dobinómio discriminante � = b2 – 4ac.7.1. x2 + 4x + 12 = 0, a = 1, b = 4 e c = 12 � = 42 – 4 × 1 × 12= 16 – 48= –32� < 0, então a equação x2 + 4x + 12 = 0 é impossí-vel, logo não tem soluções.7.2. 2x2 – 3x – 8 = 0, a = 2, b = –3 e c = –8 � = (–3)2 – 4 × 2 × (–8) == 9 + 64 == 3 Como � > 0, então a equação é possível. Logo, temduas soluções distintas.7.3. x2 – 2�4�x + 6 = 0, a = 1, b = –2�4� e c = 6.� = (–2�4�)2 – 4 × 1 × 6 == 24 – 24 = = 0� = 0, então a equação é possível e tem apenasuma solução.
8. Duas equações são equivalentes se tiverem omesmo conjunto solução.
x2 – x – 6 = 0
⇔ x =
⇔ x =
⇔ x = ��1 ±25
�
⇔ x = �1 –25
� ∨ x = �1 +25
�
⇔ x = – �42
� ∨ x = �62
�
⇔ x = –2 ∨ x = 3C.S. = {–2, 3}[A] x2 + x – 6 = 0
⇔ x =
⇔ x = �–1
2± 5�
⇔ x = –3 ∨ x = 2C.S. = {–3, 2}x2 + x – 6 = 0 não é equivalente à equação dada.[B] x2 – x + 6 = 0
⇔ x =
x2 – x + 6 = 0 não é equivalente à equação dada.[C] 7(x – 3)(x + 2) = 0⇔ x – 3 = 0 ∨ x + 2 = 0⇔ x = 3 ∨ x = –27(x – 3)(x + 2) = 0 é equivalente à equação dada.[D] 2(x + 3)(x – 2) = 0⇔ x + 3 = 0 ∨ x – 2 = 0⇔ x = –3 ∨ x = 2C.S. = {–3, 2}2(x + 3)(x – 2) = 0 é equivalente à equação dada.Logo, a opção correta é a [C].
9. Verificar se 4 é solução, é substituir o x por 4,2 × 42 – 7 × 4 + 3 ⇔ 2 × 16 – 28 + 3 = 0 ⇔ 7 = 0Falso. 4 não é solução da equação 2x2 – 7x + 3 = 0
–(–1) ± (–�1�)2� –� 4� ×� 1� ×� (�–�6�)�����
2 × 1
1 ± 2�5���
2
–1 ± �12�–� 4� ×� 1� ×� (�–�1�2�)����
2 × 1
–1 ± 4�9���
2
–1 ± �12�–� 4� ×� 1� ×� (�–�6�)����
2 × 1
–(–1) ± (–�1�)2� –� 4� ×� 1� ×� 6����
2 × 1
⇔ x = –1 ± 1� +� 4�8���
2 ⇔ x = 1 + 1� +� 2�4���
2
⇔ x = –1 ± 2�5���
2
⇔ x = equação impossível. C.S. = { }1 ± –�2�3���
2
RESOLUÇÕES24
A_Prova
10. g(x) = x2 – 5x + 6Se a imagem é 0, então g(x) = 0.
x2 – 5x + 6 = 0
⇔ x =
⇔ x = �52± 1�
⇔ x = �42
� ∨ x = �62
�
⇔ x = 2 ∨ x = 3C.S. = {2, 3}R.: Os objetos 2 e 3 têm imagem 0.
11. x2 – 6x + k = 011.1. Se k = 0x2 – 6x = 0
⇔ x(x – 6) = 0⇔ x = 0 ∨ x – 6 = 0⇔ x = 0 ∨ x = 6C.S. = {0, 6}11.2. Se x = 552 – 6 × 5 + k = 0 ⇔ 25 – 30k = 0 ⇔ k = 5C.S. = {5}Substituindo k por 5,
x2 – 6x + 5 = 0
⇔ x =
⇔ x = �62± 4�
⇔ x = �22
� ∨ x = �120�
⇔ x = 1 ∨ x = 5C.S. = {1, 5}A outra solução é 1.
12. Seja � a largura do terremo e c o comprimentodo terreno.� = c – 160 e A = 8000 então,
� = c – 160 ———⇔
c × � = 8000 c(c – 160) – 8000
——— ⇔
c2 – 160c – 8000 = 0
——— ⇔
——— ———⇔ ⇔
�160
2± 240� c = –45 ∨ c = 200
� = 200 – 160 � = 40⇔ ⇔
——— c = 200
R.: O terreno tem 40 metros de largura e 200 metrosde comprimento.
13. A área do retângulo é dada por A = b × h ouseja, A(2x – 23) × (x + 6).A área do quadrado é dada por A = �2, ou seja, A = (x – 4)2.Como os dois polígonos têm a mesma área(2x – 23) (x + 6) = (x – 4)2
Resolvendo a equação, obtemos2x2 + 12x – 23x – 138 = x2 – 8x + 16
⇔ 2x2 – x2 + 12x – 23x + 8x – 138 – 16 = 0⇔ x2 – 3x – 154 = 0
⇔ x =
⇔ x = �3 –
225� ∨ x = �
3 +225�
⇔ x = –11 ∨ x = 14
Como 2x – 23 > 0, então x > �223�. Logo, x = 14.
R.: x = 14
14. Recorrendo ao sistema,
x – 3y ——— ———⇔ ⇔
x × y = 48 3y × y = 48 y2 = 16
x = 3 × (–4) x = 3 × 4⇔ ⇔
y = –4 y = 4
–(–5) ± (–�5�)2� –� 4� ×� 1� ×� 6����
2 × 1
–(–6) ± (–�6�)2� –� 4� ×� 1� ×� 5����
2 × 1
160 ± (1�6�0�)2� –� 4� ×� 1��×�(–�8�0�0�0)����
2 × 1
–(–3) ± (–�3�)2� –� 4� ×� 1� ×� (�–�1�5�4�)�����
2 × 1
⇔ x = 5 ± 2�5� –� 2�4���
2
⇔ x = 6 ± 3�6� –� 2�0���
2
⇔ x = 3 ± 6�2�5���
2
25
Matemática – 9.º Ano
RESOLUÇÕES
x = –12 x = 12⇔ ∨
y = –4 y = 4
C.S. = {(–12, –4), (12, 4)}R.: Como os números são positivos, então são 12 e 4.
15.15.1. 2x2 – 20x + 5 = (2x2 – 20x) + 5 == 2(x2 – 10x) + 5 == 2(x2 – 10x + 25) + 5 – 50 == 2(x – 5)2 – 45
15.2. 3x2 + 12x – 1 = (3x2 + 12x) – 1 == 3(x2 – 4x) – 1 == 3(x2 + 4x + 4) – 1 – 12 == 3(x + 2)2 – 13
1616.1. 2x2 + 20x – 1 = (2x2 + 20) – 1 == 2(x2 + 10) – 1 = = 2(x2 + 10x + 25) – 1 – 50 == 2(x + 5)2 – 5116.2. 3x2 – 18x + 15 = (3x2 – 18x) + 15 == 3(x2 – 6x) + 15 == 3(x2 – 6x + 9) + 15 – 27 == 3(x – 3)2 – 1216.3. –x2 – 4x – 20 = (–x2 – 4x) – 20 == –(x2 + 4x) – 20 == –(x2 + 4x + 4) – 20 + 4 == –(x + 2)2 – 1616.4. 4x2 – 4x – 17 = (4x2 – 4x) – 17 == 4(x2 – x) – 17 =
= 4�x2 – x + �14
�� – 17 – 1 == 4�x – �
12
��2– 18
17.17.1. (x – 4)2 = 25⇔ x = –4 = –2�5� ∨ x – 4 = 2�5�⇔ x – 5 + 4 ∨ x = 5 + 4⇔ x = –1 ∨ x = 9C.S. = {–1, 9}17.2. x2 + 8x – 9 = 0⇔ x2 + 8x = 9⇔ x2 + 8x + 16 = 9 + 16⇔ (x + 4)2 = 25⇔ x + 4 = –2�5� ∨ x + 4 = 2�5�
⇔ x = –5 – 4 ∨ x = 5 – 4⇔ x = –9 ∨ x = 1C.S. = {–9, 1}17.3. x2 = 4(x + 3)⇔ x2 = 4x + 12⇔ x2 – 4x = 12⇔ x – 4x + 4 = 12 + 4⇔ (x – 2)2 = 16⇔ x – 2 = –1�6� ∨ x – 2 = 1�6�⇔ x = –4 + 2 ∨ x = 4 + 2 ⇔ x = –2 ∨ x = 6C.S. = {–2, 6}17.4. 3x2 – 30x + 75 = 0⇔ 3(x2 – 10x) + 75 = 0⇔ 3(x2 – 10x + 25) + 75 – 75 = 0⇔ (x – 5)2 = 0⇔ x – 5 = 0⇔ x = 5C.S. = {5}
18.18.1. (x + 2)2 = 3x�x + �
23
��⇔ x2 + 4x + 4 = 3x2 + 2x⇔ x2 – 3x2 + 4x – 2x + 4 = 0⇔ –2x2 + 2x + 4 = 0
⇔ x =
⇔ x = �–2
–±46
�
⇔ x = �–44� ∨ x = �
––84�
⇔ x = –1 ∨ x = 2C.S. = {–1, 2}
18.2. �(2x2–42)2
� – �142� – �
23x� = 1
(×2) (×8) (×24)
⇔ 4x2 – 8x + 4 – 8 – 16x = 24⇔ 4x2 – 24x – 28 = 0
⇔ x =
⇔ x = �24 –
832
� ∨ x = �24 +
832
�
⇔ x = –1 ∨ x = 7C.S. = {–1, 7}
–2 ± (–�2�)2� –� 4� ×� (�–�2�)�×� 4�����
2 × (–2)
24 ± (–�2�4�)2� –� 4� ×� 4� ×� (�–�2�8�)�����
2 × 4
⇔ x = –2 ± 4� +� 3�2���
–4
⇔ x = 24 ± 1�0�2�4���
8
RESOLUÇÕES26
A_Prova
18.3. (x + 3)2 + 2 = 2x2 + x + 5⇔ x2 + 6x + 9 + 2 – 2x2 – x – 5 = 0⇔ –x2 + 5x + 6 = 0
⇔ x =
⇔ x = �–5–2± 7�
⇔ x = �––122
� ∨ x = �–22�
⇔ x = 6 ∨ x = –1C.S. = {–1, 6}18.4. 2(x – 1) (x + 1) = 3x⇔ 2(x2 – 1) – 3x = 0⇔ 2x2 – 2 – 3x = 0⇔ 2x2 – 3x – 2 = 0
⇔ x =
⇔ x = �34± 5�
⇔ x = �3 –45
� ∨ x = �3 +45
�
⇔ x = – �12
� ∨ x = 2
C.S. = �– �12
�, 2�19. Como o ponto A pertence ao gráfico da funçãof, para determinar o valor de a basta substituir x e yna expressão f (x) = 2x – 3, pelas coordenadas doponto A. Ou seja,f (x) = 2x – 3y = 2x – 3
⇔ a2 = 2 ��a +215�� –3
⇔ a2 = a + 15 – 3⇔ a2 – a – 12 = 0
⇔ a =
⇔ a =
⇔ a = �12± 7�
⇔ a = – �62
� ∨ a = �82
�
⇔ a = –3 ∨ a = 4C.S. = {–3, 4}
Se a – 3, A��–3 +215
� ; (–3)2� = (6,9)Se a = 4, A��4 +2
15�, 42� = ��
129�, 16�
20. 20.1. A equação tem uma solução dupla se � = 0,então, como � = b2 – 4ac, temos b2 – 4ac = 0.
(–1)2 – 4 × 2 × k = 0⇔ –8k = –1
⇔ k = �18
�
C.S. = ��18
��R.: k > �
18
�
20.2. A equação admite duas soluções distintas se� > 0, ou seja,
–8k + 1 > 0⇔ –8k > –1⇔ 8k < 1
⇔ k < �18
�
C.S. = �–�, �18
��R.: k ∈ �+�, �
18
��20.3. A equação é impossível se � < 0, ou seja,
–8k + 1 < 0⇔ –8k < –1
⇔ k = �18
�
C.S. = ��18
�, +��R.: k ∈ ��
18
�, +��20.4. Se –5 é solução da equação então
2 × (–5)2 – (–5) + k = 0⇔ 2 × 25 + 5 + k = 0⇔ k = –55C.S. = {–55}R.: k = –55
–5 ± 5�2�–� 4� ×� (�–�1�)�×� 6����
2 × (–1)
–(–3) ± (–�3�)2� –� 4� ×� 2� ×� (�–�2�)�����
2 × 2
–(–1) ± (–�1�)2� –� 4� ×� 1� ×� (�–�1�2�)�����
2 × 1
1 ± 4�9���
2
⇔ x = –5 ± 2�5� +� 2�4���
–2
⇔ x = 3 ± 9� +� 1�6���
4
⇔ a = 1 + 1� +� 4�8���
2
27
Matemática – 9.º Ano
RESOLUÇÕES
21. Como Asombreado = A[ACEF] – A[BCDG], entãoA[ACEF] = x × x = x2 cm2
A[BCDG] = 102 = 100 cm2
A[ACEF] – A[BCDG] = x2 – 100Com a área da região sombreada é igual a 156 cm2,entãox2 – 100 = 156
⇔ x2 = 256⇔ x = ± 2�5�6�⇔ x = –16 ∨ x = 16Como x > 10, então x = 16.R.: x = 16 cm
22. Como 4 é solução da equação, basta substituir xpor 4.
–k × 42 + 4(4 + 4) = 0⇔ –16k + 32 = 0⇔ k = 2C.S. = {2}Substituindo k por 2 na equação –kx2 + 4(x + 4) = 0obtemos: –2x2 + 4x + 16 = 0
⇔ x =
⇔ x = �–4
––412
� ∨ x = �–4
–+412
�
⇔ x = 4 ∨ x = –2C.S. = {–2, 4}R.: A outra soluçao é –2.
23. y = x2 e y = 2(x + 1)2 – 7Para determinar a abcissa do ponto de interseçãodas duas parábolas, basta resolver a equação.x2 = 2(x + 1)2 – 7⇔ x2 = 2(x2 + 2x + 1) – 7⇔ x2 = 2x2 + 4x + 2 – 7⇔ x2 –2x2 – 4x – 2 + 7 = 0⇔ –x2 – 4x + 5 = 0
⇔ x =
⇔ x = �4–±26
�
⇔ x = �––22� ∨ x = �
1–02�
⇔ x = 1 ∨ x = –5
C.S. = {–5, 1}Como a abcissa do ponto A é 1, então a ordenada é y = 12 ⇔ y = 1R.: As coordenadas do ponto A são (1, 1).
24. Considerando x e y as dimensões do terreno esabendo que o terreno tem 3200 m2 de área, obte-mos a equação x × y = 3200.Como foi utilizado 220 metros de rede,
2x + y + y – 20 = 220⇔ 2x + 2y = 240⇔ x + y = 120 Escrevendo o sistemax × y = 3200
x + y = 120
Para obter o valor de x e o valor de y resolvemos osistema
x × y = 3200 (120 – y) × y = 3200⇔
x + y = 120 x = 120 – y
120y – y2 = 3200 y2 – 120y + 3200 = 0⇔ ⇔
——— ———
y = ⇔
———
y =
⇔ ———
y = x = �120
2± 40� y = 40 y = 80
⇔ ⇔ ⇔ ——— x = 80 x = 40
R.: As dimensões do terreno são 40 metros de largu-ra e 80 metros de comprimento.
25. A área atual do parque é 700 m2, ou seja,20 × y = 700.O novo parque terá 1000 m2 de área, ou seja,(x + 20) × (x + y) = 1000Como 20 × y = 700 então y = 35.Substituindo o y por 35 na equação(x + 20) × (x + y) = 1000 obtemos
–4 ± 4�2�–� 4� ×� (�–�2�)�×� (�1�6�)�����
2 × (–2)
–(–4) ± (–�4�)2� –� 4� ×� (�–�1�)�×� 5�����
2 × (–1)
–(–120) ± (–�1�2�0�)2� –� 4� ×� 1� ×� 3�2�0�0������
2 × 1
120 ± 1�4� 4�0�0� –� 1�2� 8�0�0����
2
⇔ x = –4 ± 1�4�4���
–4
⇔ x = 4 ± 3�6���
–2
RESOLUÇÕES28
A_Prova
(x + 20) × (x + 35) = 1000⇔ x2 + 35x + 20x + 700 – 1000 = 0⇔ x2 + 55x – 300 = 0
⇔ x =
⇔ x =
⇔ x = �–55
2± 65�
⇔ x = –60 ∨ x = 5C.S. = {–60, 5}Como x > 0 então x = 5.x + 20 = 5 + 20 = 25 e y + x = 35 + 5 = 40R.: As dimensões do novo parque de estacionamen-to são 25 metros de largura e 40 metros de compri-mento.
26. Como x = –2 ∨ x = 5, então (x + 2)(x – 5) = 0,simplificando a equação temosx2 – 5x + 2x – 10 = 0 ⇔ x2 – 3x – 10 = 0
27.27.1. Substituindo k por 2, obtemos
–2x2 – 2x + 4 = 0
⇔ x =
⇔ x = �2–±46
�
⇔ x = �–44� ∨ x = �
–84�
⇔ x = 1 ∨ x = –2C.S. = {–2, 1}27.2. Uma equação do 2.o grau admite duas solu-ções distintas se � > 0, então b2 – 4ac = (–k)2 – 4 × (–2) × 4 = k2 + 32 k2 + 32 é sempre maior do que zero.
28. Escrevendo o sistema,
x + y = 4 x = 4 – y ———⇔ ⇔
x × y = 3 (4 – y)y = 3 4y – y2 = 3
———⇔
–y2 + 4y – 3 = 0
———⇔
y =
——— x = 1 x = 3⇔ ⇔ ∨
y = y = 3 y = 1
Obtêm-se os pontos (1, 3) e (3, 1).Se x = 1 e y = 3, 2x – 3y = 2 × 1 – 3 × 3 = –7.Se x = 3 e y = 1, 2x – 3y = 2 × 3 – 3 × 1 = 3.
29. Uma equação do 2.o grau admite duas soluçõesdistintas se � > 0, então (–a)2 – 4(–1) × 5 = a2 + 20.a2 + 20 é sempre maior do que zero.
30. Como a equação admite duas soluções distintas,� > 0, com a = 2, b = 3 e c = –b.� = 32 – 4 × 2 × (–b) = 9 + 8bPor exemplo, se b = 1, 9 + 8b > 0.
31. (x2 + 12x + 32) (x2 – 5) = 0⇔ x2 + 12x + 32 = 0 ∨ x2 – 5 = 0
⇔ x = ∨ x2 = 5
⇔ x = ∨ x = –5� ∨ x = 5�
⇔ x = �–12
2– 4� ∨ x = �
–122+ 4� ∨ x = –5� ∨ x = 5�
⇔ x = –8 ∨ x = –4 ∨ x = –5� ∨ x = 5�C.S. = {–8, –4, –5�, 5�}–8 × (–4) × (–5�) × 5� = –160
32. Considerando c o comprimento e � a largura,como o seu comprimento é igual a 200 cm, então2c + 2� = 200.Se a área é igual a 2400 cm2, c × � = 2400.O sistema que traduz o enunciado é2c + 2c = 200
c × � = 2400
–55 ± 5�5�2�–� 4� ×� 1� ×� (�–�3�0�0�)�����
2 × 1
–55 ± 4�2�2�5���
2
–(–2) ± (–�2�)2� –� 4� ×� (�–�2�)�×� 4�����
2 × (–2)
4 ± 4�2�–� 4� ×� (�–�1�)�×� (�–�3�)�����
2 × (–1)
–4 ± 1�6� –� 1�2���
–2
–12 ± 12�2�–� 4� ×� 1� ×� (�3�2�)����
2 × 1
–12 ± 1�6���
2
⇔ x = –55 ± 3�0�2�5� +� 1�2�0�0����
2
⇔ x = 2 ± 4� +� 3�2���
–4
⇔ x = ∨ x = ± 5�–12 ± 1�4�4� –� 1�2�8����
2
29
Matemática – 9.º Ano
RESOLUÇÕES
Resolvendo o sistema, obtém-se:
c = c = 100 – �
⇔ ⇔ ——— (100 – �) × � = 2400
——— ———⇔ ⇔
100� – �2 – 2400 = 0 –�2 + 100� – 2400 = 0
——— ———⇔
� =
——— ———⇔ ⇔
� = � = �–10
–02± 20�
c = 100 – 60 c = 100 – 40⇔ ∨
� = 60 � = 40
c = 40 c = 60⇔ ∨
� = 60 � = 40
R.: As dimensões do retângulo são 40 cm de largurae 60 cm de comprimento.
33.33.1. Os pontos A e B são os pontos de interseçãodos dois gráficos, então:
–x2 + 2 = –x⇔ –x2 + x + 2 = 0
⇔ x =
⇔ x = �–1–2± 3�
⇔ x = –1 ∨ x = 2C.S. = {–1, 2}As abcissas dos pontos A e B são respetivamente –1e 2.Para determinar as ordenadas, basta substituir ovalor de cada uma das abcissas numa das equações,yA = –(–1) = 1, a ordenada de A é 1.yB = –2 = –2, a ordenada de B é –2.Logo, A(–1, 1) e B(2, –2).33.2. Os pontos C e D têm ordenada nula e perten-cem ao gráfico de função f.
Basta substituir y por zero e determinar as abcissasde C e de D.y = –x2 + 2 ⇔ –x2 + 2 = 0 ⇔ –x2 = –2 ⇔ x = ± 2� ⇔ x = –2� ∨ x = 2�C.S. = {–2�, 2�}As abcissas dos pontos C e D são respetivamente–2� e 2�.C(–2�, 0) D(2�, 0)
A[BCD] = �b ×2
h�
A[BCD] = = 22�
R.: A[BCD] = 22� u.a.
34.34.1. A área do quadrado de lado [AP] é igual a 32 = 9 u.a.34.2. P�B� = A�B� – A�P�P�B� = 12 – xEntão a área do quadrado de lado [PB] é igual a (12 – x)2
A = (12 – x)2
34.3. A área do quadrado de lado [PB] é igual a(12 – x)2.A área do quadrado de lado [AP] é igual a x2.Então, (12 – x)2 = 25 × x2.Para determinar o valor de x basta resolver a equa-ção anterior.
144 – 24x + x2 – 25x2 = 0⇔ –24x2 – 24x + 144 = 0⇔ x2 + x – 6 = 0
⇔ x =
⇔ x = �–1
2± 5�
⇔ x = –3 ∨ x = 2C.S. = {–3, 2}Como 0 < x < 12, então x = 2.
3535.1. Recorrendo ao teorema de Pitágoras,h2 = c1
2 + c22
52 = 32 + C�D�2
⇔ C�D�2 = 25 – 9
⇔ C�D�2 = 16
200 – 2��
2
–100 ± 1�0�0�2�–� 4� ×� (�–�1�)�×� (�–�2�4�0�0�)������
2 × (–1)
–100 ± 4�0�0����
–2
–1 ± 1�2�–� 4� ×� (�–�1�)�×� 2����
2 × (–1)
2 × 2� × 2 ��
2
–1 ± 1�2�–� 4� ×� 1� ×� (�–�6�)����
2 × 1
⇔ x = –1 ± 1� +� 8���
–2⇔ x = –1 ± 2�5�
��2
RESOLUÇÕES30
A_Prova
⇔ C�D� = ± 1�6� ⇔ C�D� = 4↓
C�D� > 0
R.: C�D� = 4 u.c.35.2. Como os triângulos são semelhantes, então
�h4
� = ⇔ 3h = 12 – 4 �x
2�
⇔ h = �12
3– 2x�
⇔ h = 4 – �23
� x
35.3. Atotal = A[ABC] = �b ×2
h�
A[ABC] = �6 ×2
4� = �
224� = 12 u.a.
A área ocupada pelo preçário é dada por A� = b × h.
x × h = x × �4 – �23
� x� = 4x – �23
� x2
A área destinada às fotografias é igual à diferençaentre a área total e a área do preçário. Então,
12 – �4x – �23
� x2� = �23
� x2 – 4x + 12
35.4. Como a expressão de área do preçário é igual a
4x – �23
� x2, então 4x – �23
� x2 = 6
⇔ – �23
� x2 + 4x – 6 = 0
⇔ –2x2 + 12x – 18 = 0
⇔ x =
⇔ x = �142�
⇔ x = 3C.S. = {3}R.: x = 3
36.36.1. Como a abcissa de A é x e pertence ao gráficoda função y = 2x2, então A(x, 2x2).36.2. Os pontos A e B têm a mesma ordenada,então B(0, 18). Como A pertence ao gráfico da fun-ção y = 2x2, então 2x2 = 18 ⇔ x2 = 9 ⇔ x = ± 3 ⇔ x = 3 (x > 0)Logo, A(3, 9).
A[AOB] = �b ×2
h�
A[AOB] = �18
2× 9� = 81 u.a.
36.3. Como B tem a mesma ordenada que A, entãoB(0, 2x2).Logo, A[AOB] = �
x ×22x2� = x3
37. A caixa tem 588 cm3 de volume e os quadradoscortados têm 9 cm2 de área9� = 3 cm, lado do quadrado recortadox – 6, lado da base da caixaV = 588
(x – 6)(x – 6) × 3 = 588⇔ 3 × (x2 – 12x + 36) – 588 = 0⇔ 3x2 – 36x + 108 – 588 = 0⇔ 3x2 – 36x – 480 = 0
⇔ x =
⇔ x = �36
6± 84�
⇔ x = –8 ∨ x = 20⇔ x = 20 cm
↓x > 0
R.: A folha de papel tinha 20 cm de lado.
38.38.1. Para determinar a altura do 2.o poste, basta
substituir x por 30 na expressão �410� (x – 10)2 + 5, ou
seja,
�410� (30 – 10)2 + 5 = �
410� × 202 + 5 = �
44000
� + 5 = 15
R.: O 2.o poste tem 15 metros de altura.
38.2. Se o ponto situa-se a 5 metros de altura, basta
igualar a expressão �410� (x – 10)2 + 5 a 5, e resolver
a equação
�410� (x – 10)2 + 5 = 5
⇔ �410� (x – 10)2 = 0
⇔ (x – 10)2 = 0⇔ x – 10 = 0⇔ x = 10C.S. = {10}R.: O ponto situa-se a 10 metros de distância do 1.o poste.
–12 ± 1�2�2�–� 4� ×� (�–�2�)�×� (�–��18�)�����
2 × (–2)
36 ± (–�3�6�)2� –� 4� ×� 3� ×� (�–�4�8�0�)�����
2 × 3
3 – �x
2�
�3
⇔ x = –12 ± 1�4�4� –� 1�4�4����
–4
⇔ x = 36 ± 1�2�9�6� +� 5�7�6�0����
6
31
Matemática – 9.º Ano
RESOLUÇÕES
Relação de ordem. Intervalos. Inequações
Praticar – páginas 124 a 129
1.1.1. Se y < 11 ⇔ y + 4 < 11 + 4 ⇔ y + 4 < 151.2. Se y < 11 ⇔ 2y < 11 × 2 ⇔ 2y < 221.3. Se y < 11 ⇔ 5y < 11 × 5 ⇔ 5y < 55⇔ 5y – 10 < 55 – 10 ⇔ 5y – 10 < 45
2.2.1. –5 < x < 10⇔ –5 – 3 < x – 3 < 10 – 3 ⇔ –8 < x – 3 < 72.2. –5 < x < 10⇔ –5 × 2 < 2x < 10 × 2⇔ –10 < 2x < 202.3. –5 < x < 10⇔ –5 × 4 < 4x < 10 × 4⇔ –20 < 4x < 40⇔ –20 – 1 < 4x – 1 < 40 – 1⇔ –21 < 4x – 1 < 39
3.3.1. O perímetro é igual à soma de todos os ladosP = 1 + 1 + 2� = 2 + 2�3.2. Se 1,414 < 2� < 1,415 então 2 + 1,414 < 2 + 2� < 2 + 1,415⇔ 3,414 < 2 + 2� < 3,415
4.4.1. a > b ⇔ 2 × a > 2 × b4.2. a > b ⇔ –a < –b4.3. a > b ⇔ 3a > 3b ⇔ –3a < –3b4.4. a > b ⇔ a – 3 > b – 34.5. a > b ⇔ –a < –b ⇔ –a + 5 < –b + 54.6. a > b ⇔ 3a > 3b ⇔ 3a – 2 > 3b – 2
5.5.1. [2, 6]
5.2. [–4, 2]
5.3. [–4, 2[
5.4. ]–3, 3[
5.5. ]–5, 6]
5.6. [–2, 1]
6.6.1. x > –3 ∧ x ≤ 1 ⇔ –3 < x ≤ 1R.: ]–3, 1] e –3 < x ≤ 16.2. x ≥ –7 ∧ x ≤ –5 ⇔ –7 ≤ x ≤ –5R.: [–7, –5] e –7 ≤ x ≤ –56.3. ]–7, + �[ e x > –76.4. ]–�, 3] e x ≤ 36.5. x > –11 ∧ x ≤ –3 ⇔ –11 < x ≤ –3R.: [–11, –3] e –11 < x ≤ –36.6. ]–�, 700] e x ≤ 700
7.7.1.
7.2.
8. C = [–2, 1�0�[, 1�0� ≈ 3,168.1. São todos os números inteiros compreendidosentre –2 e 3, ou seja, –2, –1, 0, 1, 2 e 3.8.2. c = {x ∈ R: –2 ≤ x ≤ 1�0�}
9. 9.1. Geometricamente:
Na forma de intervalo: [0, 10] 9.2. Geometricamente:
Na forma de intervalo: ]–4, 7[
2 3 4 5 6 71
–4 –1–2–3 0 1 2 3–5
–4 –1–2–3 0 1 2 3–5
–3 0 3
–5 0 6
–2 –1 0 1 2–3
0 9 +∞–∞
–3 0 +∞–∞
–2 0 1410
–4 0 2 75
RESOLUÇÕES32
A_Prova
9.3. Geometricamente:
Na forma de intervalo: ]–1, 7]9.4. Geometricamente:
Na forma de intervalo: [6, 18] 9.5. Geometricamente:
Na forma de intervalo: [–3, 11[ 9.6. Geometricamente:
Na forma de intervalo: ]–�, 17] 9.7. Geometricamente:
Na forma de intervalo: ]–4, +�[ 9.8. Geometricamente:
Na forma de intervalo: ∅9.9. Geometricamente:
Na forma de intervalo: {2}9.10. Geometricamente:
Na forma de intervalo: ]–�, 22]
10.10.1. 2x – 3 ≥ 3⇔ 2x ≥ 3 + 3⇔ 2x ≥ 6
⇔ x ≥ �62
�
⇔ x ≥ 3C.S. = [3, +�[
10.2. 5f – 10 < 0⇔ 5f < 10
⇔ f < �150�
⇔ f < 2C.S. = ]–�, 2[10.3. 5g + 2 < 14 – g⇔ 5g + g > 14 – 2⇔ 6g > 12
⇔ g > �162�
⇔ g > 2C.S. = ]2, +�[10.4. 4x – 10 ≥ 2x + 16⇔ 4x – 2x ≥ 16 + 10⇔ 2x ≥ 26
⇔ x ≥ �226�
⇔ x ≥ 14C.S. = [13, +�[10.5. 5x ≥ 7x – 8⇔ 5x – 7x ≥ –8⇔ –2x ≥ –8⇔ 2x ≤ 8
⇔ x ≤ �82
�
⇔ x ≤ 4C.S. = ]–�, 4]10.6. x + 5 > 7 + 3x⇔ x – 3x > 7 – 5⇔ –2x > 2⇔ 2x < –2
⇔ x < – �22
�
⇔ x < –1C.S. = ]–�, –1[10.7. 3a – 2 < 19 + 49⇔ 3a – 4a < 19 + 2⇔ –a < 21⇔ a > –21C.S. = ]–21, +�[10.8. 3a – 1 ≥ a + 4⇔ 3a – a ≥ 4 + 1⇔ 2a > 5
⇔ a > �52
�
C.S. = ��52
� , +��
4 6 2218
–14 11–3
–13 332
–∞ 1710
–4 +∞80
–∞ 10021
–∞ 225
–1 0 2 74
33
Matemática – 9.º Ano
RESOLUÇÕES
10.9. –11a – 11 > –7a + 13⇔ –11a + 7a > 13 + 11⇔ –4a > 24⇔ 4a < –24
⇔ a < – �244�
⇔ a < –6C.S. = ]–�, –6[10.10. –3(a – 1) < a + 2⇔ –3a + 3 < a + 2⇔ –3a – a < 2 – 3⇔ –4a < –1⇔ 4a > 1
⇔ a > �14
�
C.S. = ��14
�, +��11.11.1. 2(x – 6) > – (–x + 4)⇔ 2x –12 > x – 4⇔ 2x – x > –4 + 12⇔ x > 8C.S. = ]8, +�[11.2. 8 não é solução da inequação porque o inter-valo do conjunto solução é aberto em 8, logo 8 nãoé elemento desses conjunto.11.3. O menor número inteiro é 9, porque é omenor número inteiro maior do que 8.
12.12.1. 2x – 1 ≥ 7 ∧ 2x ≤ 12
⇔ 2x ≥ 7 + 1 ∧ x ≤ �122�
⇔ 2x ≥ 8 ∧ x ≤ 6
⇔ x ≥ �82
� ∧ x ≤ 6
⇔ x ≥ 4 ∧ x ≤ 6[4, +�[ ∩ ]–�, 6] = [4, 6]C.S. = [4, 6]12.2. 3(x – 5) < –15 ∨ 2x ≥ x – 3⇔ 3x – 15 < –15 ∨ 2x – x ≥ –3⇔ 3x < –15 + 15 ∨ x ≥ –3⇔ 3x < 0 ∨ x ≥ –3⇔ x < 0 ∨ x ≥ –3]–�, 0[ ∩ ]–3, +�[ = ]–�, +�[ = RC.S. = R12.3. –2x – 4 < –8 ∧ 2(x – 3) ≤ 4⇔ –2x < –8 + 4 ∧ 2x – 6 ≤ 4
⇔ –2x < –4 ∧ 2x ≤ 4 + 6⇔ 2x < 4 ∧ 2x ≤ 10
⇔ x < �42
� ∧ x ≤ �120�
⇔ x < 2 ∧ x ≤ 5]–�, 2[ ∩ ]–�, 5] = ]–�, 2[C.S. = ]–�, 2[
13. [A] �2� é um número irracional.
[B] –3x > –27 ⇔ 3x < 27 ⇔ x < �237� ⇔ x < 9
[C] �1�3� não pertence a A porque o intervalo éaberto em �1�3�.[D] [–1; 4[ ∩ [2; 7] = [2; 4[, verdadeira.Logo, a opção correta é a [D].
14. P = x + x + 2x + 6 + x + 4, simplificando aexpressão P = 5x + 10.Como o perímetro é inferior a 25, P < 25
5x + 10 < 25⇔ 5x < 25 – 10⇔ 5x < 15
⇔ x < �155�
⇔ x < 3C.S. = ]–�, 3[, como x > 0, então x ∈ ]0, 3[.
15. Se a ≤ b e b ≤ a, então a = b.
16. [A] a < a ⇔ a – a < 0 ⇔ 0 < 0 falso[B] a ≤ a ⇔ a – a ≤ 0 ⇔ 0 < 0, a é um valor inde-finido[C] a > a ⇔ a – a > 0 ⇔ 0 > 0 falso[D] a > 0, a é um número positivo.Logo, a opção correta é a [B].
17. [A] a – 3 ≤ b – 3 ⇔ a ≤ b verdadeiro[B] –c ≤ –d ⇔ c ≥ d falsa, porque c ≤ d[C] a + c ≤ b + d verdadeiro[D] 6a ≤ 6b ⇔ a ≤ b verdadeiroLogo, a opção correta é a [B].
18.18.1. �–�, �
25
��18.2. ]3, 5[
RESOLUÇÕES34
A_Prova
19.19.1. {x ∈ R: x > 12} = ]12, +�[19.2. {x ∈ R: –3 ≤ x < 17} = ]–3, 17[19.3. {x ∈ N: x < 5} = {1, 2, 3, 4}19.4. {x ∈ Z: –2 < x ≤ 2} = {–1, 0, 1, 2}
20. Por exemplo, {x ∈ R: x ≥ –4 ∧ x < 7}.
21. Por exemplo, {x ∈ R: x > –6 ∨ x < 3}.
22. Atrapézio = �B +
2b
� × h ou seja, �2x + 1
2+ 5x� × 3,
simplificando-a obtemos
�7x
2+ 1� × 3 = �
221� x + �
32
�
Como a área é inferior a 19, temos:
�221� x + �
32
� < 19
⇔ 21x + 3 < 38⇔ 21x < 38 – 3⇔ 21x < 35
⇔ x < �3251�
⇔ x < �53
�
C.S. = �–�, �53
��Como x > 0, então x ∈ �0, �
53
��. 23. 4(–d + 6) – 5 = –4d + 24 – 5 = –4d + 1923.1. Um valor não negativo é um valor superior ouigual a zero.Logo, –4d + 19 ≥ 0⇔ –4d ≥ –19⇔ 4d ≤ 19
⇔ d ≤ �149�
C.S. = �–�, �149��
d ∈ �–�, �149��
23.2. Se o valor da expressão pertence ao intervalo[–3, +�[, então é superior ou igual a –3. Assim,
–4d + 19 ≥ –3⇔ –4d ≥ –3 – 19⇔ –4d ≥ –22⇔ 4d ≤ 22
⇔ d ≤ �242�
⇔ d ≤ �121�
C.S. = �–�, �121��
d ∈ �–�, �121��
23.3. Se a expressão assume um valor positivo, então–4d + 19 > 0.Se a expressão é menor do que 10 então –4d + 19 < 10. Então, obtemos a conjunção
–4d + 19 > 0 ∧ –4d + 19 < 10⇔ –4d > –19 ∧ –4d < 10 – 19⇔ 4d < 19 ∧ –4d < –9
⇔ d < �149� ∧ 4d > 9
⇔ d < �149� ∧ d > �
94
�
C.S. = ��94
�, �149��
Logo, d � ��94
�, �149��.
24.24.1. A ∩ B = ]–�, 5[ ∩ [–4, 6[ = [–4, 5[Logo, a opção correta é a [C].24.2. a) A ∩ R = ]–�, 5[ ∩ R =
= ]–�, 5[b) A ∪ B = ]–�, 5[ ∪ [–4, 6] =
= ]–�, 6]c) B ∩ R+ = [–4, 6] ∩ R+ =
= ]0, 6]
25. [A] �3� � [0, �3�[, porque o intervalo é abertoem �3�.[B] �3� � [�2�; 7[, porque �3� > �2� e �3� < 7.[C] �3� � {�2�, 7}[D] �3� � {�2� + 1}Logo, a opção correta é a [B].
26. I. 2 – �x –
36
� ≥ –(x – 3)
⇔ 2 – �x –
36
� ≥ –x + 3⇔ 6 – x + 6 ≥ –3x + 9⇔ –x + 3x ≥ 9 – 6 – 6⇔ 2x ≥ –3
⇔ x ≥ – �32
�
C.S. = �– �32
�, +��
35
Matemática – 9.º Ano
RESOLUÇÕES
II. 2(–x + 4) < �2x� – 1
⇔ –2x + 8 < �2x� – 1
⇔ –4x + 16 < x – 2⇔ –4x – x < –2 – 16⇔ –5x < –18 ⇔ 5x > 18
⇔ x > �158�
C.S. = ��158�, +��
III. 3 – �x –
21
� ≤ –3(2 – x) + 1
⇔ 3 – �x –
21
� ≤ –6 + 3x + 1
⇔ 6 – x + 1 ≤ –12 + 6x + 2⇔ –x – 6x ≤ –12 + 2 – 6 – 1⇔ –7x ≤ –17⇔ 7x ≥ 17
⇔ x ≥ �177�
C.S. = ��177�, +��
27. Sendo x o número de bilhetes, temos:50 + 2x ≤ 12x
⇔ –12x + 2x ≤ –50⇔ –10x ≤ 50⇔ 10x ≥ 50⇔ x ≥ 5C.S. = [5, +�[R.: O Filipe terá de assistir a mais de cinco jogospara que compense tornar-se sócio.
28. Seja x o peso de cada esfera.3x + 10 < x + 17
⇔ 3x – x < 17 – 10⇔ 2x < 7
⇔ x < �72
�
C.S. = �–�; �72
��Cada esfera pesa menos do que 3,5 kg.Então, k = 3.Logo, a opção correta é a [C].
29. O perímetro do triângulo é dado pela expressão2x + 2x + 3 + x + 1 = 5x + 4O perímetro do hexágono é dado pela expressão x × 6 = 6x.
Então, 5x + 4 > 6x.⇔ 5x – 6x > –4⇔ –x > –4⇔ x < 4C.S. = ]–�, 4[Como x > 0 então, x � ]0, 4[.
30. [A] A afirmação é verdadeira.[B] A afirmação é falsa. Se a < b então a ≠ b.[C] A afirmação é falsa porque –a < –b ⇔ a > b.[D] A afirmação é falsa porque –3 + a > –3 + b ⇔ a > b.Logo, a opção correta é a [B].
31. Seja x o preço dos sapatos e o y o preço dablusa.Como os sapatos custam mais 20 € do que a blusa,então x = 20 + y.A Margarida pretende comprar uns sapatos e umablusa, sem gastar mais de 200 €, então x + y ≤ 200.Como x = 20 + y, temos:
20 + y + y ≤ 200⇔ 2y ≤ 200 – 20⇔ 2y ≤ 180
⇔ y ≤ �1820
�
⇔ y ≤ 90C.S. = ]–�, 90]R.: A blusa custará, no máximo, 90 €.
3232.1. {x ∈ R: 2x – 4 ≥ 12} ∩ [x ∈ R: 2(x – 5) – 3 < 7}
2x ≥ 12 + 4 ∧ 2x – 10 – 3 < 7⇔ 2x ≥ 16 ∧ 2x < 7 + 10 + 3
⇔ x ≥ �126� ∧ 2x < 20
⇔ x ≥ 8 ∧ x < �220�
⇔ x ≥ 8 ∧ x < 10[8, +�[ ∩ ]–�, 10[ = [8, 10[C.S. = [8, 10[32.2. {x � Z: x ≥ 11} ∩ [x � R: x < 15}
x ≥ 11 ∧ x < 15⇔ 11 ≤ x < 15, x � Zx � {11, 12, 13}32.3. {x � N: –2(x + 3) ≥ –14} ∪ {–3, –2, –1}
–2x – 6 ≥ –14⇔ –2x ≥ –14 + 6⇔ –2x ≥ –8
RESOLUÇÕES36
A_Prova
⇔ 2x ≤ 8
⇔ x ≥ �82
�
⇔ x ≤ 4, x � N{1, 2, 3, 4} ∪ {–3, –2, –1} = {–3, –2, –1, 1, 2, 3, 4}C.S. = {–3, –2, –1, 1, 2, 3, 4}
33. Se Q � 3.o Quadrante, então as coordenadastêm valor negativo. Logo,
�4(m –
31) – 5� < 0 ∧ –m + 2 < 0
⇔ �4m –
34 – 5� < 0 ∧ –m < –2
⇔ 4m – 9 < 0 ∧ m > 2⇔ 4m < 9 ∧ m > 2
⇔ m > �94
� ∧ m > 2
⇔ 2 < m < �94
�
m ∈ �2, �94
��34. Se C.S. = �–�, �
72
��, então x < �72
�
⇔ 2x < 7⇔ 2(x – 6) + 12 < 7
35.
�3(x
7– 4)� < 0 �
3x –7
12� ≤ 0 3x ≤ 12
⇔ ⇔�23
� (x –2) > – �83
� �23
�x – �43
� > �83
� 2x > –8 + 4
x ≤ �132� x ≤ 4 x ≤ 4
⇔ ⇔ ⇔2x > –4 x > – �
42
� x > –2
C.S. = {–1, 0, 1, 2, 3, 4}
36. 3�x2 – �43
� x� = –k ⇔ 3x2 – 4x + k = 0
A equação é impossível se b2 – 4ac < 0, ou seja,(–4)2 – 4 × 3 × k < 0
⇔ 16 – 12k < 0⇔ –12k < –16⇔ 12k > 16
⇔ k > �1162�
⇔ k = �43
�
C.S. = ��43
�, +��
k ∈ ��43
�, +��37. 2x + 1, 2x + 3 e 2x + 5 são três números ímparesconsecutivos.
2x + 1 + 2x + 3 + 2x + 5 > 53⇔ 6x > 53 – 1 – 3 – 5⇔ 6x > 44
⇔ x > �464�
⇔ x > �232�
C.S. = ��232�, +��
Como �232� ≈ 7,(3), então os três números são
2 × 8 + 1 = 172 × 8 + 3 = 192 × 8 + 5 = 21R.: 17, 19 e 21
38. B = ]–�8�, π[B ∩ N = ]–�8�, π[ ∩ {1, 2, 3, 4, 5, …} = {1, 2, 3}Os elementos comuns aos dois cojuntos são 1, 2 e 3.
39. 39.1. 3t + 27 ≤ 81
⇔ �33t� + �
237� ≤ �
831�
(:3)
⇔ t + 9 ≤ 2739.2. 3t + 27 ≤ 81⇔ t + 9 ≤ 27⇔ t + 9 – 27 ≤ 0⇔ t – 18 ≤ 0⇔ 5t – 5 × 18 ≤ 0(×5)
⇔ 5t – 90 ≤ 0
40. Começando por resolver a inequação, temos–2(x – 3) – 3 < 11
⇔ –2x + 8 – 3 < 11⇔ –2x < 11 – 8 + 3⇔ –2x < 6⇔ 2x > 6
⇔ x > – �62
�
⇔ x > –3]–3, +�[ ∩ Z– = {–2, –1}Logo, há dois números, –2 e –1, que satisfazem acondição –2(x – 4) – 3 < 11.
37
Matemática – 9.º Ano
RESOLUÇÕES
41.41.1. 3x < 3x ⇔ 3x – 3x < 0 ⇔ 0 < 0Inequação impossível. C.S. = { }41.2. x ≥ x ⇔ x – x ≥ 0 ⇔ 0x > 0C.S. = R41.3. 5x – 1 < 5x ⇔ 5x – 5x < 1 ⇔ 0x < 1 C.S. = R
42. Como π ≈ 3,1415…[A] π � ]–�; 3,14] porque π > 3,14.[B] π � ]0; π[ porque o intervalo é aberto em π.[C] π � ]3,14; +�[, porque π > 3,14.[D] π � ]π; +�[, porque o intervalo é aberto em π.Logo, a opção correta é a [C].
43. w ≥ –�3� + 1 ∧ �25
�(4 – w) > �85
�
⇔ w ≥ –�3� + 1 ∧ �85
� – �25
�w > �85
�
⇔ w ≥ –�3� + 1 ∧ –2w ≥ 8 – 8⇔ w ≥ –�3� + 1 ∧ 2w ≤ 0⇔ w ≥ –�3� + 1 ∧ w ≤ 0w ∈ [–�3� + 1; 0]Como –�3� + 1 ≈ –0,73, então, por exemplo:
w = –0,5 = – �12
�
R.: w = – �12
�
44. [A] I ∩ A = [�2� – 1, +�[ ∩ ]–1, 4] = [–�2�, 4][B] I ∩ A = [�2� – 1, 8[ ∩ ]–1, 4] = [�2� –1, 4][C] I ∩ A = [�2� – 1, 4[ ∩ ]–1, 4] = [�2� –1, 4][D] I ∩ A = [�2� – 1, 4[ ∩ ]–1, 4] = [�2� –1, 4]Logo, a opção correta é a [B].
45. Seja c o comprimento do retângulo e � a largurado retângulo.Sabemos que c = 7 + � e P = 2� + 2c. Então,P = 2� + 2(7 + �) =
= 2� + 14 + 2� == 4� + 14
Como P ≥ 54, temos:4� + 14 ≥ 54
⇔ 4� ≥ 54 – 14⇔ 4� ≥ 40
⇔ � ≥ �440�
⇔ � ≥ 10� � [10, +�[A largura tem, no mínimo, 10 cm.
c = 7 + � ⇔ c = 7 + 10 ⇔ c = 17 cmR.: As dimensões mínimas do retângulo são 10 cmde largura e 17 cm de comprimento.
46. A média dos três valores é dado pela expressão
�8,11 +
38,42 + x� = �
13
� x + 5 + 5,1
Como a média deve ser inferior a 8,6 e superior a8,3, então:
�13
� x + 5 + 5,1 > 8,3 ∧ �13
� x + 5,51 < 8,6
⇔ �13
� x > 2,79 ∧ �13
� x < 3,09
⇔ x > 8,37 ∧ x < 9,27C.S. = ]8,37; 9,27[R.: Na última medição o valor de PH poderá estarentre 8,37 e 9,27.
Praticar + – páginas 130 a 136
1.1.1. Como as retas r e s são paralelas, então têm omesmo declive.Sendo r : y = 25 + 10x, então s: y = 10x + b.A reta s interseta o eixo Oy no ponto (40, 0).Logo, a ordenada na origem é 40.s: y = 10x + 401.2. A abcissa do ponto A é 2 e A é um ponto dereta r. Logo,y = 25 + 10 × 2 ⇔ y = 25 + 20 ⇔ y = 45Então, A(2, 45)1.3. O sistema é impossível porque as retas sãoestritamente paralelas.
2. Substituindo a por 7 e b por 3 na expressão
�2a –
53b
� + (a + b)2, obtém-se:
�2 × 7 –
53 × 3� + (7 + 3)2 =
= �14
5– 9� + 102 =
= �55
� + 100 =
= 101Logo, 7 Ψ 3 = 101
RESOLUÇÕES38
A_Prova
3. Resolvendo o sistema
2x – y = 8 2(5 – y) – y = 8 10 – 2y – y = 8⇔ ⇔
x + y = 5 x = 5 – y ———
– 2y – y = 8 – 10 –3y = –2 ——— ⇔ ⇔ ⇔
——— ——— x = 5 – �23
�
——— y = �23
�
⇔ ⇔ x = �
135� – �
23
� x = �133�
C.S. = ���133�, �
23
���(x, y) = ��
133�, �
23
��4. Seja x a quantidade procurada.
Assim, �13
�x é terça parte dessa quantidade
�1x� + �
13
�x = �4010
�
(×3) (×3)
⇔ 3x + x = 1200⇔ 4x = 1200
⇔ x = �12
400�
⇔ x = 300C.S. = {300}R.: A quantidade procurada é 300.
5. A opção [A] não é a correta porque π � A, umavez que π > �2�.Como �2� � A, as opções [B] e [C] não são corre-tas.Logo, a opção correta é a [D].
6. A média dos três números é dada pela expressão
= =
= �10x
3+ 6� = �
130� x + 2
Como a média é igual a 4x, então
�130� x + 2 = 4x
(×3) (×3)
⇔ 10x + 6 = 12x⇔ 10x – 12x = –6⇔ –2x = –6
⇔ x = �––62�
⇔ x = 3C.S. = {3}• x + 9 = 3 + 9 = 12• 7x – 3 = 7 × 3 – 3 = 18• 2x = 2 × 3 = 6R.: Os números são 6, 12 e 18.
7. 3 × f (a) = g(2a)
3 × �a2
3+ 4� = 2 × 2a
⇔ a2 + 4 – 4a = 0⇔ a2 – 4a + 4 = 0⇔ (a – 2)2 = 0⇔ a = 2C.S. = {a}Logo, a opção correta é a [B].
8.8.1. 2(2x – 3) = 4x – 1⇔ 4x – 6 = 4x – 1⇔ 4x – 4x = –1 + 6⇔ 0x = 5C.S. = { }Equação impossível.
8.2. 1 – �x –
36
� = –(x – 1)
⇔ �11
� – �x –
36
� = – �1x� + �
11
�
(×3) (×3) (×3)
⇔ 3 – x + 6 = –3x + 3⇔ –x + 3x = 3 – 3 – 6⇔ 2x = –6
⇔ x = �–26�
⇔ x = –3C.S. = {–3}Equação possível e determinada.
8.3. 2(x – 3) = �4x
2– 6� – 3
⇔ �21x� – �
61
� = �4x
2– 6� – �
31
�
(×2) (×2) (×2)
⇔ 4x – 12 = 4x – 6 – 6⇔ 4x – 4x = –6 – 6 + 12⇔ 0x = 0C.S. = REquação possível e indeterminada.
(x + 9) + (7x – 3) + (2x)���
3x + 7x + 2x + 9 – 3���
2
39
Matemática – 9.º Ano
RESOLUÇÕES
8.4. 2x – 3(x – 4) – �x –
26
� = – �23
�
⇔ �21x� – �
31x� + �
112� – �
x –2
6� = – �
23
�
(×6) (×6) (×6) (×3) (×2)
⇔ 12x – 18x + 72 – 3x + 18 = –4⇔ 12x – 18x – 3x = –4 – 72 – 18⇔ –9x = –94
⇔ x = �––994
�
⇔ x = �994�
C.S. = ��994��
Equação possível e determinada.
9.9.1. 2x = 18
⇔ x = �128�
⇔ x = 9C.S. = {9}9.2. x2 – 10x + 25 = 0⇔ (x – 5)2 = 0⇔ x – 5 = 0⇔ x = 5C.S. = {5}
10.10.1. P = A�B� + B�C� + C�D� + D�E� + E�F� + F�G� + G�H� ++ H�A�F�G� = 2x – (x – 4 + x – 4) = 2x – x + 4 – x + 4 = 8P = 2x + 4 + x – 4 + 4 + 8 + 4 + x – 4 + 4 = 4x + 1610.2. P = 36
4x + 16 = 36⇔ 4x = 36 – 16⇔ 4x = 20
⇔ x = �240�
⇔ x = 5R.: x = 510.3. Apolígono = A[ABCH] + A[DEFG]
A[ABCH] = b × hA[ABCH] = 2x × 4 = 8xA[DEFG] = b × hA[DEFG] = 8 × 4 = 32Logo, Apolígono = 8x + 3210.4. Se a área do polígono é igual a 80, então
8x + 32 = 80⇔ 8x = 80 – 32
⇔ 8x = 48
⇔ x = �488�
⇔ x = 6R.: x = 6
11. Se a = 2, então 3a – 5b2 = 6⇔ 3 × 2 – 5b2 = 6⇔ –5b2 = 6 – 6⇔ –5b2 = 0
⇔ b2 = �–05�
⇔ b2 = 0⇔ b = 0C.S. = {0}R.: b = 0
12. [A] x2 – 16 = (x – 4) (x + 4)[B] 3x – 9x2 = 3x(1 – 3x)[C] (x – 7) (x + 7) = x2 – 49[D] 2x2 – 8x + 8 = 2(x2 – 4x + 4) = 2(x – 2)2
Logo, a opção correta é a [D].
13. a2 + 2ab + b2 = (a + b)2.Como a + b = 3, então (a + b)2 = 32 = 9.
14. [A] Se x > y, ax + ay ≠ 0[B] Se x = y, ax + ay ≠ 0[C] Se x < y, ax + ay ≠ 0[D] Se x = –y, ax + ay = 0. Substituindo x por –y,temos –ay + ay = 0Logo, a opção correta é a [D].
15. Atrapézio = �B
2+ b� × h
Atrapézio = �x + 4
2x – 2� × 8 = �
5x2– 2� × 8 = 20x – 8
Atriângulo = �b ×
2h
�
Atriângulo = �(3x +
21) × 8� = 12x + 4
Como os dois polígonos têm a mesma área, bastaigualar as duas expressões 20x – 8 = 12x + 4, resol-vendo a equação em ordem a x, obtemos
20x – 12x = 4 + 8⇔ 8x = 12
⇔ x = �182�
⇔ x = �32
�
RESOLUÇÕES40
A_Prova
⇔ x = 1,5C.S. = {1,5}R.: x = 1,5 cm
16. –x ≥ –10. Trocando os sinais de desigualdadeobtemos x ≤ 10.C.S. = ]–�, 10]
17. A soma dos ângulos internos de um polígono édada pela expressão S = (n – 2) × 180o.Como se trata de um pentágono, n = 5.Logo, S = (5 – 2) × 180o = 3 × 180o = 540o
A amplitude de cada ângulo interno é 108o
(540 : 5 = 108).Então, x + y + 2 = 108 e 3y + x – 22 + x + y + 2 = 180, porque é um ânguloraso.Resolvendo o sistema com as duas equações
x + y + 2 =108
3x + x – 22 + x + y + 2 = 180
x + y = 108 – 2⇔
x + x + 3y + y = 180 + 22 – 2
x + y = 106 x = 106 – y⇔ ⇔
2x + 4y = 200 2(106 – y) + 4y = 200
——— ———⇔ ⇔
212 – 2y + 4y = 200 –2y + 4y = 200 – 212
——— ———⇔ ⇔
2y + 4y = 200 – 212 2y = –12
——— x = 106 + 6 x = 112⇔ ⇔ ⇔
y = �–122
� y = –6 y = –6
C.S. = {(112, –6)}R.: x = 112 e y = –6
18. Seja x o número de cachorros ‘‘simples’’ e y onúmero de cachorros ‘‘com tudo’’.Como vendeu 25 cachorros, então x + y = 25.Como faturou 59,5 €, então 2x + 3,5y = 69,5.Obtém-se o sistema de equações:
x + y = 25 ———⇔
2x + 3,5y = 69,5 20x + 35y = 695
x = 25 – y
⇔ 20(25 – y) + 35y = 695
——— ———⇔ ⇔
500 – 20y + 35y = 695 15y = 195
——— x = 25 – 13 x = 12⇔ ⇔ ⇔
y = �11955
� y = 13 y = 13
R.: O António vendeu 13 cachorros ‘‘com tudo’’.
19. a2 + 2 × a × b + b2 = 16⇔ (a + b)2 = 16⇔ a + b = –�1�6� ∨ a + b = �1�6�⇔ a + b = –4 ∨ a + b = 4⇔ 3(a + b) = –4 × 3 ∨ 3(a + b) = 4 × 3⇔ 3a + 3b = –12 ∨ 3a + 3b = 12Logo, a opção correta é a [C].
20. Sendo x, y e z os comprimentos dos lados dotriângulo escaleno e x < y < z.
�zx
� = 2; x + y = z + 2 e x + y + z = 24
Como �zx
� = 2 ⇔ x = 2x
Substituindo z por 2x nas expressões• x + y = z + 2 ⇔ x + y = 2x + 2 ? –x + y = 2• x + y + z = 24 ⇔ x + y + 2x = 24 ⇔ 3x + y = 24
Resolvendo o sistema de equações
–x + y = 2 y = 2 + x⇔
3x + y = 24 3x + 3 + x = 24
——— ——— ———
⇔ ⇔ ⇔ 3x + x = 24 – 2 4x = 22 x = �
242�
y = 2 + �121� y = �
125� y = 7,5
⇔ ⇔ ⇔ x = �
121� x = �
121� x = 5,5
(x; y) = (5,5; 7,5)O comprimento do lado maior é z, entãoz = 2x ou seja z = 2 × 5,5 = 11R.: O lado maior tem 11 cm de comprimento.
41
Matemática – 9.º Ano
RESOLUÇÕES
21. �ab
� = �1x� ⇔ x = �
ab
�
Logo, a opção correta é a [A].
22. Seja x o dinheiro que a Inês recebeu do avô.
Então, �4x� representa o que gastou numa mochila e
�3x� representa o que gastou num tablet.
Como sobraram 100 €, temos:
x = �4x� + �
3x� + 100
(×12) (×3) (×4) (×12)
⇔ 12x = 3x + 4x + 1200⇔ 12x – 3x – 4x = 1200⇔ 5x = 1200
⇔ x = �12
500�
⇔ x = 240C.S. = {240}R.: A Inês recebeu 240 € do seu avô.
23.
18 + x = 2 × (7 + x)⇔ 18 + x = 14 + 2x⇔ x – 2x = 14 – 18⇔ –x = –4⇔ x = 4C.S. = {4}R.: Daqui a quatro anos a Filipa terá o dobro daidade da Ana.
24.24.1. 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 624.2. ]�2�, π[ ∩ A == ]�2�, π[ ∩ ]–�, 6[ == ]�2�, π[
25. 0,002x < 0,04
⇔ – �10
200� x < �
1400�
(×10)
⇔ –2x < 40⇔ 2x > –40
⇔ x > �420�
⇔ x > –20C.S. = ]–20, +�[
26. Sejam x, x + 1, x + 2 três números inteiros conse-cutivos.
x + x + 1 + x + 2 = (2x + 2) – 6⇔ 3x + 3 = 2x + 4 – 6⇔ 3x – 2x = 4 – 6 – 3⇔ x = –5C.S. = {–5}x = –5x + 1 = –4x + 2 = –3R.: –5, –4 e –3
27. Como a e b são números naturais, então a > 0 e
b > 0 e, portanto, a + b > 0, a × b > 0 e �ab
� > 0.
Logo, as opções [A] e [B] são verdadeiras e a opção[C] é falsa.A opção [D] pode ser verdadeira.Por exemplo, 1 – 3 < 0.Logo, a opção correta é a [C].
28. Como o aluguer da caravana custa D euros pordia, em 17 dias custa 17D.Como cada quilómetro percorrido custa K cêntimospercorrendo, 5300 km, custa 5300k, ou seja 53keuros.Assim, no total, pagará 17D + 53K cêntimos.Logo, a opção correta é a [B].
29. Uma fração equivalente a �56
� é do tipo �56kk�, sendo
k ≠ 0.Então, como adicionando 5 ao numerador obtém--se 15,5k + 5 = 15⇔ 5k = 10⇔ k = 2e 6 × 2 – y = 7⇔ –y = 7 – 12⇔ y = 5
Logo, �56
××
22
� = �1102�.
Idade atual Idade daqui a x anos
Filipa 18 18 + x
Ana 7 7 + x
RESOLUÇÕES42
A_Prova
30. A opção [A] é falsa, porque se c > d e a > 0,então a × c > a × d.A opção [B] é falsa, porque se a > 0, b > 0, b = a,então a × c > b × d.A opção [C] é verdadeira, porque se d < c e b > 0,então b × d < b × d.A opção [D] é falsa, porque se c > d e b = a, a > 0,então b × c > a × d.Logo, a opção correta é a [C].
31. –3x ≥ 9⇔ 3x < –9
⇔ x ≤ – �93
�
⇔ x ≤ –3Logo, a opção correta é a [D].
32. [A] (2, –8)
2 × 2 – (–8) = 4 4 + 8 = 4 falso⇔
�2 × 2
3+ (–8)� = 2 × 2 – �
43
� = 4 falso
(2, –8) não é solução do sistema porque não é solu-ção das equações do sistema.[B] (–2, –8)
2 × (–2) – (–8) = 4 –4 + 8 = 4 verdadeiro⇔
�2 × (–2
3) + (–8)� = 2 × 2 �
–43– 8� = –4 verdadeiro
(2, –8) é solução do sistema porque é solução dasduas equações do sistema.[C] (–2, 8)
2 × (–2) – 8 = 4 –4 – 8 = 4 falso⇔
�2 × (–
32) + 8� = 2 × (–2) �
–43+ 8� = 4 verdadeiro
(–2, 8) não é solução do sistema porque não é solu-ção das equações do sistema.[D] (2, 8)
2 × 2 – 8 = 4 4 – 8 = 4 falso⇔
�2 × 2
3+ 8� = 2 × 2 �
4 +3
8� = 4 verdadeiro
(2, 8) não é solução do sistema porque não é solu-ção de uma das equações do sistema.Logo, a opção correta é a [B].
33. (x – 2) (x + 2) + 16 = 7x + 2(x – 3)2 ?⇔ x2 – 4 + 16 = 7x + 2(x2 – 6x + 9)⇔ x2 – 4 + 16 = 7x + 2x2 – 12x + 18⇔ x2 – 2x2 – 7x + 12x – 4 + 16 – 18 = 0⇔ –x2 + 5x – 6 = 0
⇔ x =
⇔ x = �–5
–2± 1�
⇔ x = ∨ x =
⇔ x = 3 ∨ x = –2C.S. = {2, 3}
34. Como foram necessários três autocarros de 50 lu - gares, significa que foram 150 pessoas (50 × 3 = 150).Seja x o número de alunos e y o número de profes-sores.
x + y = 150 x = 150 – y⇔
8x + 15y = 1410 8(150 – y) + 15y = 1410
——— ———⇔ ⇔
1200 – 8y + 15y = 1410 –7y = –210
——— ——— ⇔ ⇔
y = �2170
� y = 30
x = 150 – 30 x = 120 ⇔ ⇔
y = 30 y = 30
R.: Acompanharam o grupo 30 professores.
35. [A] ]–�; 10] ∩ [4; +�[ = [4; 10][B] ]–�; 4] ∩ [–10; +�[ = [–10, 4][C] ]–�; 10] ∪ [4; +�[ = R[D] ]–�; 4] ∪ [–10; +�[ = RLogo, a opção correta é a [B].
36. 8x < 17 ⇔ 16x < 34(×2) (×2)
Logo, a opção correta é a [C].
–5 ± �5�2�–� 4� ×� (�–�1�)�×� (�–�6�)�����
2 × (–1)
–4�–2
–6�–2
⇔ x = –5 ± �2�5� –� 2�4���
–2
43
Matemática – 9.º Ano
RESOLUÇÕES
37. f (x) = �2(x
3– 3)� + 4x
Se a imagem é �53
� então f (x) = �53
�
�2(x
3– 3)� + 4x = �
53
�
⇔ �2x
3– 6� + 4x = �
53
�
⇔ 2x – 6 + 12x = 5⇔ 2x + 12x = 5 + 6⇔ 14x = 11
⇔ x = �1114�
C.S. = ��1114��
R.: O objeto é �1114�.
38.38.1. a) Como g é uma função afim, é do tipo y = ax + b. Como A(1, 5) e B(2, 4) pertencem ao seugráfico, temos:
5 = 1 × a + b a + b = 5 a = 5 – b⇔ ⇔
4 = 2 × a + b 2a + b = 4 2(5 – b) + b = 4
——— ———⇔ ⇔
10 – 2b + b = 4 –2b + b = 4 – 10
——— a = 5 – 6 a = –1⇔ ⇔ ⇔
–b = –6 b = 6 b = 6
(a, b) = (–1, 6)Então, g(x) = –x + 6.b) Como a função f é uma função quadrática comvértice na origem do referencial, então f (x) = ax2.Sendo B(2, 4) um ponto do seu gráfico, então4 = a × 22 ⇔ 4a = 4 ⇔ a = 1Logo, f (x) = x2.c) y = –x2
38.2. f (x) = 25x2 = 25
⇔ x = ± �2�5�⇔ x = –5 ∨ x = 5C.S. = {–5, 5}R.: Os objetos são –5 e 5.38.3. Como o ponto c é o ponto de interseção dosgráficos das duas funções, basta igualar as funções edeterminar o valor de x, ou seja,
x2 = –x + 6⇔ x2 + x – 6 = 0
⇔ x =
⇔ x = �–1
2± 5�
⇔ x = –3 ∨ x = 2C.S. = {–3, 2}
↓abcissa do ponto B.
Se x = –3, então g(–3) = –(–3) + 6 = 3 + 6 = 9R.: C(–3, 9).
39. (–x + 5)2 = (–x)2 + 2 × (–x) × 5 + 52 == x2 – 10x + 25Logo, a opção correta é a [D].
40. [A] 14x – 8y é um binómio.[B] 2x + 3y é um binómio.[C] 4xy é um monómio.
[D] �–x
3+ y� = – �
3x� + �
3y� é um binómio.
Logo, a opção correta é a [C].
41. 2x2 – 8x + 8 = 0⇔ 2(x2 – 4x + 4) = 0
⇔ x2 – 4x + 4 = �02
�
⇔ x2 – 4x + 4 = 0⇔ (x – 2)2 = 0⇔ (x – 2) = 0⇔ x = 2C.S. = {2}
42. Seja x a idade do Fernando.Então, x – 1 é a idade da Catarina.Como a soma das duas idades é 69, temos:
x + (x – 1) = 69⇔ 2x = 70
⇔ x = �720�
⇔ x = 35C.S. = {35}x – 1 = 35 – 1 = 34R.: A Catarina tem 34 anos.
–1 ± �1� –� 4� ×� (�–�6�)����
2 × 1
⇔ x = –1 ± �2�5���
2
RESOLUÇÕES44
A_Prova
43.43.1. mAB = �
100––48
� = �–24� = – �
12
�
43.2. Se a reta s é paralela à reta AB, então as retas
têm o mesmo declive, ou seja, – �12
�.
s: y = �12
� x + b
Como a reta AB passa no ponto (0, –3), então tem
ordenada na origem –3. Logo, s: y = – �12
� x – 3.
6. [A] –4(x – 7) = 0 ⇔ –4x + 28 = 0Equação do 1.o grau.[B] 3(x2 – 4x) = 2 + 3x2
⇔ 3x2 – 12x – 2 – 3x2 = 0 ⇔ –12x – 2 = 0Equação do 2.o grau.[C] 42 + 16 = 32Não é uma equação.[D] x(x – 4) = 7 ⇔ x2 – 4x – 7 = 0Equação do 2.o grau.Logo, a opção correta é a [D].