Post on 04-Mar-2018
Gabarito
1Matemática A
Matemática A – Extensivo – V. 7Resolva
25.01) a) 8x – 1 = 32
2 23 3 5x − =3x – 3 = 53x = 8
x = 83
b) 125
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
x
= 625
5 52 4− =x
–2x = 4x = –2
c) 9x – 3 = 1243
3 32 6 5x − −=2x – 6 = –52x = 1
x = 12
d) (0,2)2x + 2 = (125)1 – x
15
2 2⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+x= (53)1 – x
5 52 2 3 3− − −=x x
–2x – 2 = 3 – 3xx = 5
e) 72 4x x− = 1
7 72 4 0x x− =
x2 – 4x = 0x' = 0x'' = 4
25.02) 22x + 1 – 3 . 2x + 2 = 32(2x)2 . 2 – 3 . (2x) . 22 = 322x = y2y2 – 12y – 32 = 0 ÷ (2)y2 – 6y – 16 = 0y' = 8y'' = –22x = 8 ⇒ x = 32x = –2 (impossível)S = {3}
25.03) Df(x) = x2 – 7x + 12xf(x) = 1
xx x2 7 12− += 1
Vamos verificar inicialmente se x = 0 ou x = 1 sãosoluções.x = 0 ⇒ 012 = 1 (falso)x = 1 ⇒ 16 = 1 (verdadeiro)Para x ≠ 0 e x ≠ 1, temos:
xx x2 7 12− + = 1
x xx x2 7 12 0− + =x2 – 7x + 12 = 0x' = 3x'' = 4S = {1, 3, 4}Soma: 1 + 3 + 4 = 8
Aula 26
26.01) a)25x + 2 > 125
5 52 4 3x + =2x + 4 > 32x > –1
x > – 12
b) 13
181
3⎛⎝⎜
⎞⎠⎟≤ ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−x x
13
13
4 12⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
≤ ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−x x
x ≥ 4x – 1212 ≥ 3x4 ≥ x
26.02) A
18
21
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−x
≤ 0,25x – 3
2 14
3 21 3
−− −
( ) ≤ ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
x x
2 232 2 6
3−− +
+
≤x
x
−32
x + 3 ≤ –2x +6
− + ≤ − +3 62
4 122
x x
x ≤ 6
Aula 25
26.03) 4x – 3 . 2x ≤ 40
( )2 2x – 3 . 2x – 40 ≤ 02x = yy2 – 3y – 40 ≤ 0
–5 ≤ y ≤ 8–5 ≤ 2X ≤ 8O valor máximo para xxxxx é aquele quetorna 2x = 8, isto é, x = 3.
Gabarito
2 Matemática A
Aula 27
27.01) a) log2 16 = x2x = 16x = 4
b) log5 125 = x5x = 125x = 3
c) log 1000 = x10x = 1000x = 3
d) log 0,001 = x10x = 0,001x = –3
e) log3 19
= x
3x = 19
x = –2
f) log2 8 = x
2x = 8
2x = 232
x = 32
27.02) a) log13
x = –2
13
2⎛⎝⎜
⎞⎠⎟−
= x
x = 9
b) logx 3 = – 13
( )x−1
3 = 3x = 3–3
x = 127
c) logx 8 = – 34
( )x−3
4 = 8
x = 843
−
x = ( )2343
−
x = 2–4
Aula 28
28.01) log 2 = 0,30; log 3 = 0,48a) log 72 = log (23 . 32) =
= 3log 2 + 2log 3 == 3 . 0,30 + 2 . 0,48 == 1,86
b) log 45 = log 3 .102
2⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟=
= 2log 3 +log 10 – log 2 == 2 . 0,48 + 1 – 0,30 == 1,66
c) log (20/9) + log (0,6) =
= log 2 1032
.⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+ 2 310.⎛
⎝⎜⎞⎠⎟ =
= log 2 + log 10 – 2log 3 + log 2 + log 3 – log 10 =
= 2log 2 – log 3 == 2 . 0,30 – 0,48 == 0,12
d) log 2 45 , =
= log 3 210
315.⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
= 15
. [log 3 + 3log 2 – log 10] =
= 15
0 48 3 0 30 1. , . ,+ −[ ]=
= 15
. 0,38 =
= 0,07628.02) log a = 2; log b = 3; log c = –3
log a bc
3 2
65
. =
= 15
. [3log a + 2log b – 6log c] =
= 15
. [3 . 2 + 2 . 3 – 6 . (–3)] =
= 15
. 30 =
= 6
x = 116
d) log32 x = 35
3235 = x
( )2535 = x
23 = xx = 8
e) x = eIn 2 + In 3
x = eIn 2 . eIn 3
x = 2 . 3x = 6
f) x = 9 2 35 2log . log
x = 32 2 53 2. log . log
x = 3 322 2 5log . log
⎡⎣ ⎤⎦
x = 22 52. log
x = ( )log2 2 5 2
x = 52 = 25
Gabarito
3Matemática A
Testes
Aula 25
25.01) a)16 x – 1 = 128
2 24 4 7x − =4x – 4 = 74x = 11
x = 114
b) 1125
2⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
− x
= 25
5 56 3 2− + =x
–6 +3x = 23x = 8
x = 83
c) 27x – 3 = 1243
3⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
− x
3 33 9 15 5x x− − +
=3x – 9 = –15 + 5x–2x = –6x = 3
d) 36x + 1= 216x – 1
6 62 2 3 3x x+ −=2x + 2 = 3x – 3–x = –5x = 5
e) ( , )1 03 2 5 22x x− + = 1
( , ) ( , )1 03 1 032 5 2 02x x− +
=2x2 – 5x + 2 = 0
x' = 2; x'' = 12
f) 32x – 3 = 10243( )x
2 25 1510
3xx
− =
5x – 15 = 103
x
15x – 45 = 10x5x = 45x = 9
g) 4x – 2x = 2(2x)2 – 2x – 2 = 0; 2x = yy2 – y – 2 = 0y' = 2; y'' = –12x = 2 ⇒ x = 12x = –1 (impossível)
h) 9x – 30 . 3x + 81 = 0(3x)2 – 30 . 3x + 81 = 0; 3x = yy2 – 30y + 81 = 0y' = 27; y'' = 33x = 27 ⇒ x = 33x = 3 ⇒ x = 1
i) 2x + 2 – 2x + 1 + 2x – 1 = 202x . 22 – 2x . 21 + 2x . 2–1 = 20; 2x = y
4y – 2y + y2
= 20
8 42
402
y y y− + =
5y = 40y = 82x = 8 ⇒ x = 3
j) 32x + 1 + 32x – 1 – 9x = 63(3x)2 . 3 + (3x)2 . 3–1 – (3x)2 – 63 = 0; 3x = y
33
63 022
2yy
y+ − − =
9 3 1893
03
2 2 2y y y+ − − =
7y2 = 189
y2 = 27 ⇒ y = ± 27
3x = 27 ⇒ x = 3/2
3x = − 27 (impossível)k) 9x + 4x = 2 . 6x
96
46
x
x
x
x+ = 2
3 3
2 3
2 2
2 3
x x
x x
x x
x x
.
.
.
.+ = 2
32
23
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+ ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
x x
= 2
32
32
1
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+ ⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
−x x
= 2; 32
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
x= y
y + 1y
= 2
yy
yy
2 1 2+ =
y2 – 2y + 1 = 0y' = y'' = 1
32
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
x
= 1 ⇒ x = 0
Gabarito
4 Matemática A
l) 25x – 9x = 025x = 9x
259
x
x= 1
259
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
x= 1
259
259
0⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
x
x = 0
25.02) 127
. 9x – 827
. 3x – 13
= 0
9 8 3 927
027
x x− − =.
(3x)2 – 8 . 3x – 9 = 0; 3x = yy2 – 8y – 9 = 0y' = 9; y'' = –13x = –1 (impossível)3x = 9 ⇒ x = 2
25.03) Af(x) = x2 – 8x + 12xf(x) = 1
xx x2 8 12− + = 1Verificando inicialmente x = 0 e x =1, temos:x = 0 ⇒ 012 =1 (falso)x = 1 ⇒ 15 = 1 (verdadeiro)Para x ≠ 0 e x ≠ 1, encontramos:
xx x2 8 12− + = 1
x xx x2 8 12 0− + =x2 – 8x +12 = 0x' = 6; x'' = 2S = {1, 2, 6}
25.04) 4601. IncorretoIncorretoIncorretoIncorretoIncorreto.
– 3 32
2
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
é negativo, mas
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
32
2
é positivo.
02. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto.52 . (49!) – 2 . (49!) == 50 . (49!) == 50!
04. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto. Como 10 – 4 é negativo,
| 10 – 4| = –( 10 – 4) = 4 – 10 .08. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto. Se x = 1, o denominador se anula.16. IncorretoIncorretoIncorretoIncorretoIncorreto. Se x = 2, temos:
2 . 3x = 2 . 32 = 18, mas3 . 2x = 3 . 22 = 12.
32. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto.0,25 . 10–3 = 2,5 . 10–4
25.05) B
ax = 161,25 = 16125100 =
= ( )24125100 =
= 212525 =
= 25 == 32
25.06)5 1
1253 243
x y
x y
−
+
=
=
⎧⎨⎪
⎩⎪
5 5
3 3
3
5
x y
x y
− −
+
==
⎧⎨⎩
x y
x y
− = −+ =
⎧⎨⎩
3
5
2x =2x = 1; y = 4Logo, (x . y)3 = 43 = 64.
25.07) 55
1125
4 12
3 8
x
x
−
+=
5 54 12 3 8 3x x− − + −=( )
x – 20 = –3x = 17
25.08) A
35
259
1 7⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=− x
35
35
1 72
2⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
− −x
1 72− x = –2
1 – 7x = –4–7x = –5
x = 57
25.09) A
4x – 2 – 22 4 1x x− + = 0
2 22 4 4 12x x x− − +=2x – 4 = x2 – 4x + 10 = x2 – 6x + 5x' = 5; x'' = 1Soma: 5 + 1 = 6
25.10) D
916
129
3⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−x x
34
43
2 6⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−x x
Gabarito
5Matemática A
34
34
2 6⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
− −x x
2x – 6 = – x3x = 6x = 2
25.11)7 1
5 25
2
2
x y
x y
+
+
=
=
⎧⎨⎪
⎩⎪
7 7
5 5
2 0
2 2
x y
x y
+
+
=
=
⎧⎨⎪
⎩⎪
2 0
22
x y
x y
+ =
+ =
⎧⎨⎪
⎩⎪ . (–4)
2 0
2 4 8
x y
x y
+ =− − = −⎧⎨⎩
+
–3y = –8
y = 83
; x = – 43
Logo, yx
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
4
48343
= (–2)4 = 16
25.12) 1232x – 4 . 3x + 3 = 0; 3x = yy2 – 4y + 3 = 0y' = 3; y'' = 13x = 3 ⇒ x = 13x = 1 ⇒ x = 001. IncorretoIncorretoIncorretoIncorretoIncorreto.02. IncorretoIncorretoIncorretoIncorretoIncorreto.04. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto.
s = 1 + 0 = 1 ⇒ 10s = 101 = 1008. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto.
p = 1 . 0 = 0 ⇒ 3p = 30 = 116. IncorretoIncorretoIncorretoIncorretoIncorreto.
25.13) C2x – 1 – 2x + 2 = –562x . 2–1 – 2x . 22 = –56; 2x = y
y2
– 4y = –56
y y− = −82
1122
–7y = –112y = 162x = 16 ⇒ x = 4
25.14) 5x + 1 + 5x + 5x – 1 = 7755x . 5 + 5x + 5x . 5–1 = 775; 5x = y
5y + y + y5
= 775
25 5 15
38755
y y+ + =
31y = 3875y = 1255x = 125 ⇒ x = 3
25.15) D
16 645
x + = 4x + 1
(4x)2 + 64 = 5 . 4x . 4; 4x = yy2 + 64 = 20yy2 – 20y + 64 = 0y' = 16; y'' = 44x = 16 ⇒ x = 24x = 4 ⇒ x = 1
25.16) C
3 32x x = 127
3 3 32 3. ( ) = −x x
3 3x x. = 3–3
3 32 3x( ) = −
3x = 3–3
x = –325.17) A
5y – 1 = 255 5
3
5y – 1 = 5
5 5
23
12.
5y – 1 = 5
5
23
32
5y – 1 = 523
32
−
5y – 1 = 54 9
6−
5y – 1 = 556
−
5y – 1 = 556
12−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
5 515
12y −−
=
y – 1 = – 512
12y – 12 = –512y = 7
y = 712
Gabarito
6 Matemática A
25.18) C(0,5)3y – 6x = 4x = 81 – y
I. (0,5)3y – 6x = 4x
12
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−3 6y x = 22x
2 23 6 2− + =y x x
–3y + 6x = 2xII. 4x = 81 – y
22x = 23 – 3y
2x = 3 – 3yIgualando I e II, temos:
− + = −3 6 3 3y x y
x = 12
; y = 23
Logo x . y = 12
. 23
= 13
< 23
= y
25.19) D9|x – 1| – 10 . 3|x – 1| = –9(3|x – 1|)2 – 10 . 3|x – 1| + 9 = 0; 3|x – 1| = yy2 – 10y + 9 = 0y' = 9; y'' = 13|x – 1| = 9 ⇒ |x – 1| = 2x – 1 = 2 ou x – 1 = –2x = 3; x = –13|x – 1| = 1 ⇒ |x – 1| = 0x – 1 = 0x = 1S = {3, –1, 1}Soma: 3 – 1 + 1 = 3
25.20) B
9 431
x
x
−
−−
12 = –1
9x . 9− 1
2 – 43 31. −x
= –1
( ) .39
4 33
2x x− + 1 = 0; 3x = y
y y2
343
− + 1 = 0
y y2 4 33
03
− + =
y2 – 4y + 3 = 0y' = 1; y'' = 33x = 1⇒ x = 03x = 3 ⇒ x = 1Soma: 0 + 1 = 1
25.21) A4x + 6x = 2 . 9x ÷ (6x)
46
66
2 96
x
x
x
x
x
x+ = .
2 22 3
1 2 3 32 3
x x
x x
x x
x x
..
. ..
+ =
23
1 2 32
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+ = ⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
x x
.
23
1 2 23
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+ = ⎛
⎝⎜⎞⎠⎟−x x
. ; 23
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
x
= y
y + 1 = 2y–1
y + 1 = 2y
y2 + y – 2 = 0y' = –2; y'' = 1
23
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
x = –2 (impossível)
23
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
x = 1 ⇒ x = 0
25.22) A
3 3 33 2 2 3− − + −=x x x.
3 33 2 2 3− − + −=x x x
3 2 2 32 2
− − +( ) = −( )x x x (*)
3 – x – 2 3 2− +x x. + x + 2 = 2x –3
5 – 2 3 6 22x x x+ − − = 2x – 3
8 – 2x = 2 − + +x x2 6 ( ÷2)
(4 – x)2 = ( − + +x x2 6 )2
16 – 8x +x2 = –x2 + x + 62x2 – 9x + 10 = 0
x' = 52
; x'' = 2
Verificando em *, concluímos que:S = ∅
25.23) 2y + 1 – 72 1y −
+ 2y – 2 = 12 2y −
2y . 2 – 72 2 1y . −
+ 2y . 2–2 = 12 2 2y . −
2y = x
2x – 7 24
4.x
xx
+ =
8 564
164
2 2x xx x
− + =
9x2 = 72x2 = 8
x = ± 8
2y = – 8 (impossível)
2y = 8 ⇒ y = 32
Gabarito
7Matemática A
25.24) D4x – 3x – 0,5 = 3x + 0,5 – 22x – 1
4x – 3x . 3– 0,5 = 3x . 30,5 – 22x . 2– 1
4x – 33
x = 3x . 3 – 4
2
x
4x + 42
x = 3 . 3x + 3
3
x
2 4 42
3 3 33
. .x x x x+ = +
3 42
4 33
. .x x=
43
83 3
x
x=
43
2
3 3
3
1
x
x=
.12
43
2
3
232
32
x
x= ( )
43
43
32⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
= ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
x
x = 32
25.25) C
e1 + 3sen x – 2 e sen x2 4+ + e1 + sen x = 0
e1 . (esen x)3 – (2 1 2 2e sen x+ ) + e1 + sen x = 0
e . (esen x)3 – 2e1 + sen x + e1 + sen x = 0e(esen x)3 – 2 . e(esen x)2 + e . esen x = 0esen x = yey3 – 2ey2 + ey = 0y . (ey2 – 2ey + e) = 0⇒ y = 0 ouey2 – 2ey + e = 0 ( ÷ e)y2 – 2y + 1 = 0y' = y'' = 1.esen x = 0 (impossível)Logo, esen x = 1Assim, 2esen x = 2 . 1 = 2.
25.26) Lembre: xa = 3 ⇒ x = 31a
xxx�
= 3
x = 3
1
xx�
Mas, como xxx�
= 3, então:
x = 313
x = 33
26.01) a)43x > 16x + 1
4 43 2 2x x> +
3x >2x + 2x > 2
b) 12
12
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
≤ ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+ −4 1 2 1x x
4x + 1 ≥ 2x – 12x ≥ –2x ≥ –1
c) 22x + 1 > 12
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟−4
2 22 1 4x + >2x + 1 > 42x > 3
x > 32
d) ( , )0 12x x− > 1
( , ) ( , )0 1 0 12 0x x−
>x2 – x < 0
0 < x < 126.02) B
251 – x < 15
5 52 2 1− −<x
2 – 2x < –1–2x < –3 . (–1)2x > 3
x > 32
Aula 26
Gabarito
8 Matemática A
26.03) D
18≤ 2–x
2 23− −≤ x
–3 ≤ –x . (–1)3 ≥ x
26.04) Bf(x) = 4x + 1
g(x) = 4x
f(x) > g(2 – x)
4 41 2x x+ −>x + 1 > 2 – x2x > 1
x > 12
26.05) 2x + 2 – 3x – 1 > 3x – 2x – 1
2x . 22 – 3x . 3–1 > 3x – 2x . 2–1
4 . 2x + 22
x > 3x + 3
3
x
8 2 22
3 3 33
. .x x x x+ > +
9 22
4 33
. .x x>
23
827
x
x>
23
23
3⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
> ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
x
x < 3Números naturais: 0 + 1 + 2 = 3
26.06) 0 < a < 1
a2x + 1 > 1 3
a
x⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−
a ax x2 1 3+ − +>2x + 1 > – x + 33x < 2
x < 23
26.07) E2–x . 4x < 8x + 1
2–x . 22x < 23x + 3
2 23 3x x< +
x < 3x + 3–3 < 2x
– 32
< x
26.08) D81–1 < 32n + 1 < 27
3 3 34 2 1 3− +< <n
–4 < 2n + 1 < 3
–5 < 2n < 2
– 52
< n < 1
Soma dos inteiros: –2 – 1 + 0 = –326.09) B
164
< 4n – 1 < 16
4 4 43 1 2− −< <n
–3 < n – 1 < 2–2 < n < 3Soma dos inteiros: –1 + 0 + 1 + 2 = 2
26.10) E
2 2 121x x+ −+ é real se:
2x + 2x + 1 – 12 ≥ 02x + 2x . 2 – 12 ≥ 03 . 2x ≥ 122x ≥ 4
2 22x ≥
x ≥ 226.11) E
y = 1
4 42x x− −−Domínio: 4x – 2 – 4–x > 0
4 42x x− −>x – 2 > –x2x > 2x > 1
26.12) C
y = 1
13
243⎛⎝⎜
⎞⎠⎟−
x
Domínio: 13
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
x
– 243 > 0
13
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
x
> 243
3 35− >x
–x > 5 . (–1)x < –5
26.13) D
52 3 2x x− + > 1
5 52 3 2 0x x− + >
x2 – 3x + 2 > 0
x < 1 ou x > 126.14) E
32 1x − < 27
Gabarito
9Matemática A
3 32 1 3x − <
x2 – 1 < 3x2 – 4 < 0
–2 < x < 226.15) D
9x ≤ 32x
3 32 2x x≤
2x ≤ x2
–x2 + 2x ≤ 0
x ≤ 0 ou x ≥ 226.16) C
(3 + 2 )x > –2
Como (3 + 2 )x é positivo para qualquer xxxxx real, asolução é R.
26.17) B5x > 1
5 5 0x >x > 0Já 5x – 1 > 0 é verdadeiro para todo x ∈R.
26.18) Dx2x – 1 < x3
Se 0 < x < 1, temos:
x xx2 1 3− <2x – 1 > 32x > 4x > 2Impossível, já que partimos da hipótese 0 < x < 1.Se x > 1, temos:
x xx2 1 3− <2x – 1 < 32x < 4x < 2Conclusão: 1 < x < 2
26.19) C32 – x + 32 + x > 1832 . 3– x + 32 . 3 x > 18
93x
+ 9 . 3x > 18 ÷ (9)
13x
+ 3x > 2; 3x = y
1y
+ y – 2 > 0
1 22+ −y yy
> 0
Como y = 3x, yyyyy é sempre positivo. Assim, bastafazermos y2 – 2y + 1 > 0.
y < 1 ou y > 13x < 1 ⇒ 3x < 30 ⇒ x < 0
3x > 1 ⇒ 3x > 30 ⇒ x > 0Dessa forma, sempre teremos x2 > 0.
26.20) A
2 44
3 22x x+ + ≥
2 24
3 2 22x x+ + ≥
43 2
22x x+ +
≥
23 2
12x x+ +
≥
23 2
1 02x x+ +
− ≥
2 3 23 2
02
2
− − −+ +
≥x xx x
− −+ +
≥x xx x
2
2
33 2
0
y1 = –x2 – 3x
V = {x ∈R/–3 ≤ x <–2 ou –1 ≤ x < 0}26.21) C
0 < α < 1
α2x . 12 2
α⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
x
< 1
α2x . α−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
12
2 2x
< α0
α α α2 02x x. − <
α α2 02x x− <2x – x2 > 0 . (–1)x2 – 2x < 0
0 < x < 2
Gabarito
10 Matemática A
26.22) 3901. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto.
e4x + 1 = 2e2x
(e2x)2 + 1 = 2e2x; e2x = yy2 + 1 = 2yy2 – 2y + 1 = 0y' = y'' = 1e2x = 1
e ex2 0=2x = 0x = 0
02. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto.3x + 1 + 3x – 3x – 1 > 333x . 31 + 3x – 3x . 3– 1 > 33; 3x = y
3y + y – y3
> 33
9 33
993
y y y+ − >
11y > 99y > 93x > 9
3 32x >x > 2
04. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto.
e e e e
e e e e
x y x y
x y x y
− = ⇒ =− = ⇒ =
⎧⎨⎩
− −
− −
0
02 3 2 3( )
(e–y)2 = e–3y
e ey y− −=2 3
–2y = –3yy = 0x = 0
08. IncorretoIncorretoIncorretoIncorretoIncorreto.f(x) = ex; g(x) = x2
Um ponto de encontro e f(x) = g(x) tem únicasolução.
16. IncorretoIncorretoIncorretoIncorretoIncorreto.
e ee e
x y
x y
+− −
= ey – x
ex + ey = ey – x . (ex – e–y)
ex + e y = e y – e–x
ex + e–x = 0Não existe xxxxx que satisfaça essa sentença, jáque ex e e–x são sempre positivos.
32. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto.A(t) = e–3t
B(t) = e–4t + 1
Sendo ttttt o número de dias, temos, após o pri-meiro dia, t > 1.–3t > –4t +1e–3t > e–4t + 1
A(t) > B(t), isto é, após o primeiro dia semprehaverá mais bactérias submetidas à droga Aque à B.
Aula 27
27.01) a) log4 64 = x4x = 64x = 3
b) log3 81 = x3x = 81x = 4
c) log 1000000 = x10x = 1000000x = 6
d) log 0,00001 = x10x = 0,00001x = –5
e) log12
8 = x
12
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
x
= 8
2–x = 23
x = –3
f) log7 343 = x
7x = 343
7x = 732
x = 32
27.02) a) log15
x = –3
15
3⎛⎝⎜
⎞⎠⎟−
= x
x = 125
b) logx 2 = – 15
Gabarito
11Matemática A
x−1
5 = 2x = 2–5
x = 132
c) logx 49 = 23
x23 = 49
x = 4932
x = 7232( )
x = 73 = 343
d) log243 x = 25
24325 = x
( )3525 = x
32 = x9 = x
e) eln ln8 2− = x
x = ee
ln
ln
8
2
x = 82
x = 4
f) x = 8 5 27 5log . log
x = ( )log . log23 5 72 5
x = 23 5 72 5. log . log
x = 2 255 3 7log . log( )
x = 5 3 75log
x = 5 5 7 3log( )x = 73
x = 34327.03) C
S = log 0,001 + log 100 == –3 + 2 == –1
27.04) B
log 0 1, = x
10x = 0 1,
10x = 10 1−
10x = 1012
−
x = – 12
x2 = 14
27.05) A
log13
9 = a
13
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
a
= 9
3–a = 32
a = –2log16 a
2 = log16 4 = x16x = 442x = 42x = 1
x = 12
27.06) Separadamente, temos:
log2 8 = x
2x = 8
x = 32
log913
= x
9x = 13
32x = 3–1
x = – 12
log625 5 = x625x = 5
5 54 1x =
x = 14
Assim, obtemos:
log2 8 – log913
+ 16 . log625 5 =
= 32
– −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟+1
216 1
4. =
= 2 + 4 == 6
27.07) CSeparadamente, temos:log3 1 = x3x = 1x = 0log10 0,01 = x10x = 0,01x = –2
log21
64 = x
2x = 164
x = –6
log4 8 = x
Gabarito
12 Matemática A
4x = 8
22x = 232
x = 34
Assim, obtemos:
log log ,
log . log3 10
2 4
1 0 011
648
+ =
= 0 2
6 34
3
2
+ −
−
( )
. =
= −−
292
=
= 49
27.08) C
log15
x = –2
15
2⎛⎝⎜
⎞⎠⎟−
= x
x = 25logy + 1 9 = 2(y + 1)2 = 9y2 + 2y + 1 = 9y2 + 2y – 8 = 0y' = –4 (Descartado, pois torna a base negativa.)y" = 2log2 0,125 = z2z = 0,125
2z = 18
2z = 2–3
z = –3Assim, temos:x + y – z = 25 + 2 – (–3) = 30
27.09) 3 . loga a5 + loga 1 – 4 . loga a =
= 3 . 5 + 0 – 4 . 12
=
= 15 – 2 == 13
27.10) C
N = loglog
9
93 3( ) =
= (log9 3)2 =
= 12
2⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=
= 14
Assim, log2 N = log214
= –2.
27.11) BlogB N = LBL = N
27.12) D
log93 x = 0,75
x = ( ) ,93 0 75
x = 323
34⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
x = 312
x = 3
27.13) loga 3 = – 17
a−1
7 = 3a = 3–7
7b = –3
b = – 37
Assim, ab = ( )3 737−
−
= 33 = 27.
27.14) D
log10 mm
1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = R1 – R2
log10 mm
1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = 8 – 6
log10 mm
1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = 2
102 = mm
1
2
27.15) EI0 = 10–12
N = 140I = ?
N = 10 . log II0
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
140 10= . log I10 12−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
14 = log I10 12−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
1014 = I10 12−
Gabarito
13Matemática A
1014 . 10–12 = I102 = I100 = I
27.16) C
f(x) = log5 53 (x4)
x = 5
f(5) = log5 53 54 = y
(5 53 )y = 54
(5 . 513 )y = 54
( 543 )y = 54
43y = 4
y = 3 (centenas) = 300 indivíduos27.17) E
logx(ax + b) = 2x = 3 ⇒ log3 (3a + b) = 2 ⇒ 9 = 3a + b (I)x = 4 ⇒ log4 (4a + b) = 2 ⇒ 16 = 4a + b (II)Montando um sistema com I e II, temos:
3 9
4 16
1a b
a b
+ =+ =
⎧⎨⎩
−. ( )
− − = −+ =
⎧⎨⎪
⎩⎪⊕
3 9
4 16
a b
a b
a = 7; b = –1227.18) C
log25 log2 (x – 4) = 12
2512 = log2(x – 4)
5 = log2(x – 4)25 = x – 432 = x – 4x = 36
27.19) Dlogx – 2(x
2 – 3x – 4)
x xI
2 3 4 0− − >( )
x < –1 ou x > 4
xII
− >2 0( )
x > 2
xIII
− ≠2 1( )
x ≠ 3Com base em I, II e III, concluímos:
x > 427.20) logx – 1(2x2 – 7x + 7) = 0
(x – 1)0 = 2x2 – 7x + 71 = 2x2 – 7x + 70 = 2x2 – 7x + 6x' = 2 (Inadequado, pois torna a base igual a 1.)
x" = 32
S = 32
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
27.21) E(log x)2 = 9log x = 3103 = xoulog x = –310–3 = x
27.22) E
x – y = 33 ; x + y = 3log3(x
2 – y2) = log3(x – y) . (x + y)
= log3 33 . 3 =
= log3 313 . 3
12 =
= log3 32 3
6+
=
= log33
56 =
= 56
27.23) E2x = 12log2 2
x = log2 12x = log2(2
2 . 3)x = 2log2 2 + log2 3x = 2 + log2 3
27.24) Df(x) = ax; g(x) = loga (2x2 – 3x + 2) == f[g(–2)] = f[loga(8 + 6 + 2)]= f[loga 16] =
= a alog 16 == 16
27.25) C
2 3 2log (log )x = 12
Gabarito
14 Matemática A
2 23 2 1log (log )x = −
log3 (log2 x) = –13–1 = log2 x
23 1−
= x
213 = x
x3 = 227.26) D
n = 82 15 452 2log log− =
= ( ) log log23 2 15 452 2− =
= 26 15 3 452 2log log− =
= ( )( )
log
log
22
2
2
5 6
45 3=
= 545
6
3=
= 59 5
6
3 3. = 5
9
3
3
27.27) L(x) = a . ebx
a) x = 1; L(x) = 60x = 2; L(x) = 30
a e
a e
I
II
b
b
.
.
( )
( )
==
⎧⎨⎪
⎩⎪
60
302
Dividindo II por I, temos:
a ea e
b
b
..
2 3060
=
eb = 12
loge eb = loge
12
b = loge 2–1
b = –In 2Voltando em I, encontramos:
a . e In− 2 = 60
( )eIn 2 1− = 60a . 2–1 = 60
a . 12
= 60
a = 120b) L(x) = 15
L(x) = a . ebx
15 = 120 . e In x( )− 2
15120
2= −( )eIn x
18
= 2–x
2 23− −= x
x = 3
27.28) Q(t) = log10 10
1
k
t +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
a) t = 0 ⇒ Q(t) = 1
1 = log10 100 1
k
+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
10 = 10k
k = 1b) Q(t) = 0
0 = log10 10
1
1
t +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
100 = 101t +
t + 1 = 10t = 9
27.29) E
a = log4 2 70
20sen o
ocos⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
= log4 2 20
20
cos
cos
o
o
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
=
= log4 2 =
= 12
log2 a = log2 12
= –1
27.30) Blog0,9 0,95 = 0,5Vinicial = 1π . R2 . h = 1 (I)Vfinal = 0,9π . r2 . h = 0,9 (II)Dividindo I por II, obtemos:
ππ
. .. . ,R hr h
2
2
10 9
=
r2 = 0,9R2
log0,9 r2 = log0,9 (0,9R2)
2 log0,9 r = log0,9 0,9 + 2 log0,9 R2 . (log0,9 r – log0,9 R) = 1
log0,9rR
= 12
log0,9rR
= 0,5
log0,9rR
= log0,9 0,95
rR
= 0,95
r = 0,95R
r = 95100
R
(redução de 5%)
Gabarito
15Matemática A
Aula 28
28.01) log 2 = 0,30; log 3 = 0,48a) log 144 = log 32 . 24 – 2log 3 + 4log 2 =
= 2 . 0,48 + 4 . 0,30 == 2,16
b) log 225 = log 9004
= log 3 102
2 2
2
.
= 2log 3 + 2log 10 – 2log 2 == 2 . 0,48 + 2 . 1 – 2 . 0,3 == 2,36
c) log 458
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+ log 0,8 =
= log 9016
+ log 810
=
= log 3 102
2
4
. + log 210
3
=
= 2log 3 + log10 – 4log 2 + 3log 2 – log10 =
= 2log 3 – log 2 == 2 . 0,48 – 0,30 == 0,66
d) log 3 67 , =
= log 3610
17⎛
⎝⎜⎞⎠⎟
=
= log 2 310
2 217.⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
= 17
. [2log 2 + 2log 3 – log 10] =
= 17
. [2 . 0,30 + 2 . 0,48 – 1] =
= 17
. 0,56 =
= 0,0828.02) log a = 3; log b = 5; log c = 2
log a bc
5 7
54
. = 14
. [5log a + 7log b – 5log c] =
= 14
. [5 . 3 + 7 . 5 – 5 . 2] =
= 14
. 40 =
= 1028.03) A
log 2 = 0,30; log 3 = 0,47log 60 = log (2 . 3 . 10)= log 2 + log 3 + log 10 == 0,30 + 0,47 + 1== 1,77
28.04) Blog 2 = 0,301; log 7 = 0,845log 28 = log (22 . 7)= 2log 2 + log 7 == 2 . 0,301 + 0,845 == 1,447
28.05) Elog 2 = 0,301; log 3 = 0,477
log 7 23 , = log 7210
3
= log 2 310
3 213.⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
= 13
. [3log 2 + 2log 3 – log 10]
= 13
. [3 . 0,301 + 2 . 0,477 – 1]
= 13
. 0,857
≅ 0,28528.06) log10α = 0,5
100,5 = αlog10
β = 0,7
100,7 = β
a) log10α .β = log10 100,5 . 100,7 = log10 101,2 =1,2
b) α β.10
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
x
= (α .β )2
10 1010
0 5 0 7, ,.⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
x
= (100,5 . 100,7)2
(100,2)x = (101,2)2
10 100 2 2 4, ,x
=0,2x = 2,4x = 12
28.07) log 2 = 0,30; log 3 = 0,47; log 5 = 0,69x = 100 . (log 12 – log 5)= 100 . (log [3 . 22] – log 5) == 100 . (log 3 + 2 log 2 – log 5) == 100 . (0,47 + 2 . 0,30 – 0,69) == 38
28.08) Blog x = 0,1; log y = 0,2; log z = 0,3
log x yz
2 1. − = 2log x – log y – 1
2 . log z =
= 2 . 0,1 – 0,2 – 12
. 0,3 =
= –0,1528.09) D
log a = 48
Gabarito
16 Matemática A
x = log a a
a a
3 5
3 54
.
. =
= log a a
a a
352
13
54
12
.
.
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=
= 12
. 3 52
13
54
log log log loga a a a+ − −⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
=
= 12
. 3 48 52
48 13
48 54
48. . . .+ − −⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
=
= 12
. [144 + 120 – 16 – 60] =
= 9428.10) log c = 45
2log b = log c2log b = 45
log b = 452
log a = 6log b
log a = 6 . 452
log a = 135
y = log a bc
3 4
25
. =
= 15
. [3log a + 4log b – 2log c] =
= 15
. 3 135 4 452
2 45. . .+ −⎡⎣⎢
⎤⎦⎥ =
= 15
. [405] =
= 8128.11) A
C(x) = In (x2 + 4x)x = 10C(10) = In (102 + 4 . 10) == In (140) == In (22 . 5 . 7) == 2In 2 + In 5 + In 7
28.12) A[H+] = 5,4 . 10–8; log 2 = 0,30; log 3 = 0,48pH = –log [H+] == –log (5,4 . 10–8) == –log (54 . 10–9) == –log (2 . 33 . 10–9) == –(log 2 + 3 log 3 – 9 log 10) == –(0,30 + 3 . 0,48 – 9 . 1) = 7,26
28.13) EI. CorretaCorretaCorretaCorretaCorreta. PropriedadeII. IncorretaIncorretaIncorretaIncorretaIncorreta. Para a = b = 5, log 10 ≠ log 5 + log
5.III. CorretaCorretaCorretaCorretaCorreta. Propriedade
28.14) a = 2; b = 27; c = 144
log y = 2 . log 2 + log 273
– log1442
log y = log 22 + log 273 – log 144
log y = log 4 312.
log y = log 1log y = 0100 = yy = 1
28.15)a b
a b
I− =− =
⎧⎨⎩
48
22 2log log
( )
log2 ab
= 2
22 = a/ba = 4bSubstituindo a = 4b em I, temos:a – b = 484b – b = 483b = 48b = 16; a = 64a + b = 16 + 64 = 80
28.16) a) x y
x y
I+ =
− =
⎧⎨⎪
⎩⎪
15
124 4log log
( )
log4xy
= 12
412 = x
y
2 = xy
x = 2ySubstituindo em I, encontramos:x + y = 152y + y = 153y = 15y = 5; x = 10
b) 52x – 5x + 1 + 4 = 0(5x)2 – 5x . 5 + 4 = 0 (5x = y)y2 – 5y + 4 = 0y' = 4; y" = 15x = 1 ⇒ x = 05x = 4 ⇒ x = log5 4
28.17) E
log log3 3
3
2
3 81
x yx y
− =
=
⎧⎨⎪
⎩⎪+
log3
3 4
2
3 3
xy
x y
=
=
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
+
Gabarito
17Matemática A
9
34
=
+ =
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
xy
x y
x y
xy
=
+ =
⎧⎨⎪
⎩⎪
⇓
9
34
93y + y = 4
4y = 4y = 1; x = 9(x, y) = (9, 1)
28.18) C
log log log2 2 212
7
x y
x y
+ =+ =
⎧⎨⎩
log . log2 212
7
x y
x y
=+ =
⎧⎨⎩
x y
x y
. =+ =
⎧⎨⎩
12
7
x = 4 e y = 3 ou x = 3 e y = 428.19) C
x > 1
y = 4 3 24 4 2
3 2
5 4 2
log log loglog log log
x x xx x x
+ ++ +
=
= 12 6 220 16 4
log log loglog log log
x x xx x x+ ++ +
=
= 20
40
log
log
x
x= (log x ≠ 0)
= 12
28.20) C
log 12
+ log 23
+ log 34
+ ... + log 99100
=
= log 12
23
34
43
99100
. . . . ... .⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
log 1100
= –2
28.21) Elog 5 = 3m; log 3 = m
1002x = 1353
log 1002x = log 1353
2x . log 100 = log 27 53 .
2x . 2 = 13
. [log 33 . 5]
4x = 13
. [3 . log 3 + log 5]
4x = 13
. [3 . m + 3n]
4x = m + n
x = m n+4
28.22) Elog 2 = 0,30; log 7 = 0,84C = xi = 12% = 0,12M = C(1 + i)t
2 x = x . (1 + 0,12)t
2 = 1,12t
log 2 = log 1,12t
0,30 = t . log 112100
0,30 = t . log 7 2100
4.
0,30 = t . [log 7 + 4 . log 2 – log 100]0,30 = t . [0,84 + 4 . 0,30 – 2]0,30 = t . 0,04
30100
4100
= t .
t = 304
t = 152
anos
t = 152
126
.
t = 90 mesest = 7 anos e 6 meses
28.23) Elog 2 = 0,30; log 3 = 0,48M = C(1 + i)t
3 x = x . (1 + 0,20)t
3 = (1,20)t
log 3 = log (1,20)t
0,48 = t . log 3 210
2.⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
0,48 = t . [log 3 + 2 . log 2 – log 10]0,48 = t . [0,48 + 2 . 0,30 – 1]0,48 = t . 0,08
48100
8100
= t .
t = 6 anos28.24) B
I0 = 10–12
β = 10 . log II0
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
Gabarito
18 Matemática A
Há risco de danos quando β ≥ 90.
90 1010 12
≤ ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟−
. log I
9 ≤ log I – log 10–12
9 ≤ log I + 12–3 ≤ log I10–3 ≤ IConclusão: Como 1,0 . 102 ≥ 10–3 e 1,0 ≥ 10–3,as duas fontes – turbina e amplificador de som –estão na faixa de risco.
28.25) P.G. xq
x xq, ,⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
log xq
+ log x + log xq = 3
log xq
x xq. .⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
= 3
log x3 = 3
3 log x = 3log x = 1x = 10
xq
+ x + xq = 35
10q
+ 10 + 10q = 35 ÷ (5)
2q
+ 2 + 2q = 7
2 2 2 72+ + =q qq
2q2 – 5q + 2 = 0
q' = 2; q" = 12
Para q = 2 ⇒ (5, 10, 20)
Para q = 12
⇒ (20, 10, 5)
28.26) P.G. (x, x , log2 (10x)); x ≠ 0
( x )2 = x . log2 (10x)
x = x . log2 (10x)1 = log2 (10x)
2 = 10x ⇒ x = 15
P.G. 15
15
1, , , ...⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
Razão: q =
1515
1515
55
= =
a5 = a1 . q4 = 1
5 . 5
5
4⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ = 1
5 . 5
5
4
2 = 5
28.27) 22P(t) = 30000 . (0,9)t
Hoje: P(0) = 3000001. IncorretoIncorretoIncorretoIncorretoIncorreto.
P(2) = 30000 . (0,9)2 =
= 30000 . 910
2⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=
= 30000 . 81100
=
= 2430002. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto.
P(1) = 30000 . (0,9)1
P(2) = 30000 . (0,9)2
P(3) = 30000 . (0,9)3
�P.G. com razão q = 0,9
04. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto.
15000 30000= . (0,9)t
12
= (0,9)t
log 12
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= log (0,9)t
log 1 – log 2 = t . log (0,9)
log loglog ( , )
1 20 9− = t
08. IncorretoIncorretoIncorretoIncorretoIncorreto. Não existe t ∈ R tal que P(t) = 30000. (0,9)t se anule.
16. CorretoCorretoCorretoCorretoCorreto.P(t) – P(t – 1) == 30000 . (0,9)t – 30000 . (0,9)t – 1 == 30000 . (0,9)t . [1 – (0,9)–1] =
= 30000 . (0,9)t . 1 109
−⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
=
= 30000 . (0,9)t . 110⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
=
= 30000 . (0,9)t . [10%] == [10%] . P(t)
28.28) E
y3 – 12
. xy2 = 0
y2 . y x−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟2
= 0
y2 = 0y = 0ou
y – x2
= 0
y = x2