Post on 18-Apr-2015
Material de apoio: movimento oscilatório
Uma partícula descreve um movimento oscilatório quando se move periodicamente em torno de uma posição de equilíbrio
Exemplos: movimento pendular movimento de uma mola vibração dos átomos numa molécula vibração do campo electromagnético numa onda electromagnética …
Movimento Harmónico Simples (MHS) movimento oscilatório mais simpes consitui uma descrição bastante precisa de muitos fenómenos
oscilatórios
Material de apoio: movimento oscilatório
Uma partícula tem um MHS ao longo do eixo dos xx, quando o seu deslocamento relativamente à origem do eixo é dada por
)wcos()( tAtx )wcos()( tAtx
- fase da onda - fase inicial da onda A – amplitude do movimento: deslocamento máximo para a direita
e para a esquerda da origem do eixo – posição de equilíbrio
tt w)(
)0(
0x Ax Ax
movimento oscilatório em torno de x=0, a posição de equilíbrio
Material de apoio: movimento oscilatório
T – período do movimento: intervalo de tempo mínimo ao fim do qual x(t) repete o seu valor
)wcos(
)(
)w(cos
)(
tA
tx
TtA
Ttx
TTtTt
2w2w)wcos()wcos(w
w – frequência angular f – frequência: número de reptições na unidade de tempo:
Notas:
1 - o movimento pode igualmente ser descrito através da função seno, igual à função cosseno com um desfasamento de /2, implicando apenas um ajuste na fase inicial
2 – a frequência angular, w, só é igual à velocidade angular, w, quando esta é constante
Tf
1
período da função cosseno
Material de apoio: movimento oscilatório
Velocidade de uma partícula com MHS ao longo do eixo dos xx
)wsin(w)()( tAtdt
dxtv )wsin(w)()( tAt
dt
dxtv
varia periòdicamente, com a mesma frequência angular, entre os valores wA e -wA
Aceleração de uma partícula com MHS ao longo do eixo dos xx
)wcos(w)()()( 22
2
tAtdt
xdt
dt
dvta )wcos(w)()()( 2
2
2
tAtdt
xdt
dt
dvta
aceleração é proporcional ao deslocamento; varia periòdicamente, com a mesma frequência angular, entre os valores wA e -wA
Material de apoio: movimento oscilatório
em oposição de fase
)wcos(w)(
)wsin(w)(
0 ; )wcos()(
2
tAta
tAtv
tAtx
T
t
)(tx
)(tv
)(ta
A
A2w
Aw
Material de apoio: movimento oscilatório
amplitude, frequência angular e condições iniciais
2
2
202
00
0
w)sin(w)0(
)cos()0(A
vx
Avv
Axx
2
202
0 w
vxA
2
202
0 w
vxA
condições iniciais
equação do movimento
)(w)(
)wcos(w)(
)wcos()(2
2txta
tAta
tAtx
)(w)( 22
2
txtdt
xd )(w)( 2
2
2
txtdt
xd
cuja solução é portanto
)wcos()( tAtx )wcos()( tAtx
x(t) pode ser interpretado como a componente x de um vector
de norma igual à amplitude:
que roda com velocidade angular igual à frequência angular do MHS:
Material de apoio: movimento oscilatório
w)( tw
)(tA
AtA )(
)(tA
)(tx
)(t)wcos(
)(cos
)(
tA
tA
Atx x
Material de apoio: movimento oscilatório
Composição, ou sobreposição de dois MHS Mesma direcção e mesma frequência
diferença de fase dos dois MHS: independente do tempo12
)wcos()()( 1111 tAtAtx x
xx
xx
tAtAtA
tAtAtxtxtx
)()()(
)()()()()(
21
2121
)wcos()()( 2222 tAtAtx x
)w()( ; )(cos)( tttAtx
cos2 2122
21
21
AAAA
AAAA
A
AAxxx 2211
21
coscoscos)0()0()0(
)(tA
)(1 tA
)(2 tA
)(tx
)(t
Material de apoio: movimento oscilatório
Composição, ou sobreposição de dois MHS Mesma direcção e mesma frequência: casos especiais
dois MHS em fase: 012
)wcos()()( 1111 tAtAtx x
122222 ; )wcos()()( tAtAtx x
21
21
)w()(
)(cos)(
AAA
tt
tAtx
interferência construtiva
)(1 tx
t
)(2 tx
)()( 21 txtx
)wcos(
)()()(
121
21
tAA
txtxtx
Material de apoio: movimento oscilatório
Composição, ou sobreposição de dois MHS Mesma direcção e mesma frequência: casos especiais
dois MHS em oposição de fase: 12
)wcos()()( 1111 tAtAtx x
122222 ; )wcos()()( tAtAtx x
121
21
21
coscos
)w()(
)(cos)(
AA
AA
AAA
tt
tAtx
)wcos(
)()()(
121
21
tAA
txtxtx
interferência destrutiva
)(1 tx
t)(2 tx
)()( 21 txtx
Material de apoio: movimento oscilatório
Composição, ou sobreposição de dois MHS Mesma direcção e frequências diferentes
diferença de fase dos dois MHS:
12
12 )w-w()(
tt
)wcos()()( 11111 tAtAtx x
x
xx
tAtAtA
tAtAtxtxtx
)()()(
)()()()()(
21
2121
)wcos()()( 22222 tAtAtx x
)(cos2
)()()()(
2122
21
21
tAAAA
tAtAtAtA
)(tA
)(1 tA
)(2 tA
)(t )(tx
)(t
amplitude depende do tempo, oscila entre e21max AAA 21min AAA
Material de apoio: movimento oscilatório
Composição, ou sobreposição de dois MHS Mesma direcção e frequências diferentes e amplitudes iguais
)wcos()()( 11111 tAtAtx x
1222222 ; )wcos()()( tAtAtx x
amplitude modulada pela frequencia w2-w1
2
12)ww(cos
2
)w-w(cos2)()()( 1212
121
ttAtxtxtx
2
)w-w(cos2)( 12
1
tAtA
)(tx
2
)w-w(cos2 12
1
tA
Composição, ou sobreposição de dois MHS Direcções ortogonais
exemplo: movimento plano de uma partícula com as coordenadas x e y animadas de MHS
Material de apoio: movimento oscilatório
12 )wcos()()( 111 tAtxtx
yx utyutxtr
)()()(
)wcos()()( 222 tBtytx
By
By
)(tx
)(ty
)(tr
Ax Ax
extremidade descreve linha, trajectória, confinada pelas rectas x=±A e y=±B
a forma da linha depende da razão w1/w2 e de
esta linha genérica tem o nome de Figura de Lissajous
Composição, ou sobreposição de dois MHS Direcções ortogonais
Caso especial:
Material de apoio: movimento oscilatório
0 ; www 1221
)w(cos)(
)()()(
)(
)wcos()()(
)wcos()()(
22222
1
tBAtr
txA
Bty
A
B
tx
ty
tBtytx
tAtxtx
trajectória descrita sobre a recta y=B/Ax posição sobre esta recta pode ser
descrita por
oscilação, sobre a recta y=B/Ax, em torno da origem com w
By
By
)(tx
)(ty
)(tr
Ax Ax
xABy
tBAt wcos)( 22
distância à origem
Composição, ou sobreposição de dois MHS Direcções ortogonais
Caso especial:
Material de apoio: movimento oscilatório
1221 ; www
trajectória descrita sobre a recta y=-B/Ax posição sobre esta recta pode ser descrita
por
oscilação, sobre a recta y=-B/Ax, em torno da origem com w
tBAt wcos)( 22
)w(cos)(
)()()(
)(
)wcos(
)wcos()()(
)wcos()()(
22221
22
11
tBAtr
txA
Bty
A
B
tx
ty
t
tBtytx
tAtxtx
distância à origem
By
By
)(tx)(ty
)(tr
Ax Ax
xABy
By
By
Ax Ax
Composição, ou sobreposição de dois MHS Direcções ortogonais
caso especial:
Material de apoio: movimento oscilatório
2 ; www 1221
1)()(
)wsin(
)wcos()()(
)wcos()()(
2
2
2
2
1
22
11
B
ty
A
tx
t
tBtytx
tAtxtx
equação de uma elipse de semieixos A e B
se A=B, a trajectória é circular
)(tx
)(ty
)(tr1
)()(2
2
2
2
B
ty
A
tx
Material de apoio: movimento oscilatório
MHS -partícula de massa m presa à extremidade de uma mola
xuxtxktF
)()( 0 xuxtxktF
)()( 0
força da mola é proporcional, e opõe-se, à sua deformação: força elástica
deformação da mola no instante de tempo t : x(t) - x0
)()()()( )()(2
2
02
2
0 tXm
kt
dt
Xdxtx
m
kt
dt
xduxtx
m
kta x
posição de não deformação: posição de equilíbrio
0xx F
0)( xtx
x
Material de apoio: movimento oscilatório
MHS -partícula de massa m presa à extremidade de uma mola
massa oscila em torno de x0 com
m
ktAtXtX
m
kt
dt
Xd w; wcos)()()(
2
2
m
kw
)0(
)0(
w
)0()0(
2
22
0 v
x ;
vxxA
frequência angular amplitude condições iniciais
tAxtx wcos)( 0 tAxtx wcos)( 0 tAtv wsinw)( tAtv wsinw)(
Axx
Axx
0min
0max
0xminx maxx
F
x
Material de apoio: movimento oscilatório MHS -partícula de massa m presa à extremidade de uma mola
força elástica é conservativa deriva de energia potencial energia mecânica conserva-se
0constante ; constante 2
1)(
2
1
2
1')'(
02
0
20
200
)Ep(xxxkxE
xxkxxkudxuxxkrdFEW
p
ffif
fx
ix xxpif
2220
2 )wcos(2
1)wsin(w
2
1
2
1
2
1 tAktAmxxkmvEEE pk
Axx
Axx
0min
0max
0xminx maxxx
2
2
1kAEEE pk 2
2
1kAEEE pk km 2w
maxvv
EE k
0
v
EE p
0
v
EE p
Material de apoio: movimento oscilatório
MHS -partícula de massa m presa à extremidade de uma mola sob acção do campo gravítico
00 0 xx umgukxPF
situação de equilíbrio
mgkx 0 mgkx 0condição de equilíbrio
situação de oscilação
2
2
0
dt
xdm
kx
mgkxamPF
0x
minx
maxx
x
0 posição de não deformação
posição de equilíbrio
F
P )( 02
2
xxm
k
dt
xd
tAxtx wcos)( 0 tAxtx wcos)( 0
Material de apoio: movimento oscilatório
MHS -partícula de massa m presa à extremidade de uma mola sob acção do campo gravítico forças elástica e gravítica conservativas
situação de oscilação
constante
constante2
1
2
1
constante)(2
1)(
020
2
20
mgxkxmgxkx
xxkxEp
2
2
1kAEEE pk 2
2
1kAEEE pk
0constante)( 0 xEp
0x
maxx
minx
x
0
F
P
0v
EE p
maxvv
EE k
0vv
EE p
elásticagravítica
derivam de energias potenciais
Material de apoio: movimento oscilatório
MHS: pêndulo de massa pontual m regime das pequenas oscilações
)wcos()( 0 tt )wcos()( 0 tt
l
vmmgT
vmR
gdt
dv
dt
dvmmg
dt
dvmR
N
T
22
cos
sinsin
T
P
2
2
0
dt
dr
dt
dv
w
dt
dlrwv
sin
2
2
l
g
dt
d
l
g
dt
d
2
2
amplitude
l
gw
l
gw 2
22
0 w
)0()0(
w
2
22
0 w
)0()0(
w
l
sin
frequência angular
Material de apoio: movimento oscilatório MHS: pêndulo de massa pontual m
regime das pequenas oscilações tensão: ortogonal ao deslocamento não realiza trabalho peso: força conservativa deriva de eergia potencial energia mecânica conserva-se
00constante ; constante )Ep(mghEp
202
1 mglEEE pk 202
1 mglEEE pk
)w(sinw2
1
)w(cos2
1
2
1)cos1(
220
22
220
2
tg
lmEdt
dlv
tmgEllh
k
p
00
0 ; hEE k
0 ; vEE p0 ; vEE p
Material de apoio: movimento oscilatório
MHS: pêndulo de massa extensa m regime das pequenas oscilações
)wcos()( 0 tt )wcos()( 0 ttsin
2
2
I
lmg
dt
d
I
lmg
dt
d
2
2
momentos calculados relativamente a O
I
lmgw
I
lmgw
sin
massa roda em sentido retrágrado (movimento descendente) em torno do eixo dos zz perpendicular ao plano formado por
e , e que passa por O: eixo de simetriaT
P
zzz
zPP
TT
TP
udt
du
dt
duww
ulmgPrN
TrN
Idt
wId
dt
LdNN
2
2
sin
0
l
O
T
P
z
vectores paralelos
se a massa for pontual l
gmlI w2
Material de apoio: movimento oscilatório
Oscilações Amortecidas: presença de uma força resistiva fraca exemplo – efeito do ar
x
x
x
xxR
udt
xdmamR
v
udt
dxb
uxxk
ukxumgFFPR
2
2
0
dt
dxbxxk
dt
xdm 02
2
dt
dxbxxk
dt
xdm 02
2termo de
amortecimento
)wcos()( 0 tAextx t
)wcos()( 0 tAextx t
m
b
2
m
b
2
m
k 0
220 w; ww
m
k 0
220 w; ww
amplitude tende exponencialmente para zero: movimento oscilatório não periódico
x
F
P
RF
força resistiva opõe-se ao movimento realiza
trabalho negativo corpo perde energia
mecânica
l
vmmgT
vmR
vm
bg
dt
dv
dt
dvmbvmg
dt
dvmR
N
T
22
cos
sinsin
Material de apoio: movimento oscilatório
Oscilações Amortecidas: presença de uma força resistiva fraca exemplo – efeito do ar
dt
d
m
b
l
g
dt
d
2
2
dt
d
m
b
l
g
dt
d
2
2
termo de amortecimento
)wcos()( tAet t)wcos()( tAet t
m
b
2
m
b
2 l
g 0
220 w; ww
l
g 0
220 w; ww
amplitude tende exponencialmente para zero: movimento oscilatório não periódico
T
P
l
RF
vb
FFPR R
2
2
dt
dl
dt
dv
dt
dlv
força resistiva opõe-se ao movimento realiza
trabalho negativo corpo perde energia
mecânica
Material de apoio: movimento oscilatório Oscilações Forçadas
força resistiva opõe-se ao movimento realiza trabalho negativo sistema perde energia mecânica amplitude do movimento tende exponencialmente para zero
perda da amplitude pode ser compensada pela aplicação de uma força periódica, , que contrarie a força resistiva, também periódica porque proporcional à velocidade forneça sustentadamente energia ao sistema
xff
xR
x
fR
utFF
ubvF
ukxF
FFFR
)(wcos0
)wcos(02
2
tFdt
dx
m
bx
m
k
dt
xdf )wcos(02
2
tFdt
dx
m
bx
m
k
dt
xdf
termo de amortecimento
termo elástico termo forçado
fF
Material de apoio: movimento oscilatório
Oscilações Forçadas ao fim de um certo intervalo de tempo, o sistema estabiliza: em
cada ciclo a energia perdida, por acção de , iguala a energia fornecida por
sistema entra em regime estável e oscila forçadamente com amplitude constante e a frequência da força periódica aplicada
)wcos()( tAtx f )wcos()( tAtx f
m
k ;
mb
mF
A 0
f20
2f
w
ww-w2
2
0
m
k ;
mb
mF
A 0
f20
2f
w
ww-w2
2
0
frequência natural do oscilador
fF RF
frequência forçada
amplitude forçada
intensidade da força aplicada
Material de apoio: movimento oscilatório
Oscilações Forçadas fenómeno ressonante
mesmo para uma intensidade fraca da força aplicada, a amplitude pode assumir valores muitos elevados quando
b é pequeno – força resistiva de fraca intensidade wf ~ w0 – frequência forçada muito próxima da frequência
natural
m
k ;
mb
mF
A 0
f20
2f
w
ww-w2
2
0
m
k ;
mb
mF
A 0
f20
2f
w
ww-w2
2
0
fw0w
A
b grande
b pequeno
b ~ 0