Post on 13-Nov-2018
• M O T I V A Ç Ã O• F U N Ç Õ E S C O M P L E X A S
• definições• propriedades (Teorema de Cauchy)
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• estabilidade Relativa • Margem de Ganho• Margem de Fase
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1Método de Nyquist
Motivação2
Determinação e medida da estabilidade absoluta erelativa, que outros métodos não conseguem fazer.
Aplicável a funções de transferências transcen-dentais ou determinadas experimentalmente.
Obs.: plano-s (P(s)) plano dospolos e zeros!!!
p1*
p1P(s)(plano-s)
Funções Complexas3
A variável independente (frequência) s de Laplace é dada por: s = σ+ωj
P(s)(plano-s)So
σo
ωo
ωj
σ
Funções Complexas4 Como s= σ + ωj, para representar G(s) são
necessários dois planos:P(s)(plano-s)
So
σo
ωo
ωj
σψ(s)(plano complexo)
Im(G)
Re(G)Domínio Contra-domínio
TransformaçãoG(So)
Funções Complexas: ex. 3D 5
Definições6
a) A derivada de G(s) no ponto so é dada por:
b) Se a derivada existe no interior de uma região doplano complexo, onde os extremos são finitos edefinidos, G(s) é dita analítica nesta região.
c) Pontos de G(s) que não são analíticos, sãochamados pontos singulares ou singularidades deG(s). Todo polo de G(s) é uma singularidade.
.)()(lim sossoGsG
dsdG
sossos
Definições7
d) Um curva fechada no plano complexo é uma curva contínua que começa e termina num mesmo ponto Im(G)
Re(G)
Definições8
e) Todos os pontos que ficam à direita de uma curva quando se anda no sentido pré-estabelecido são ditos contornados pela curva (pontos em amarelo).Im(G)
Re(G)
Definições9
Re(G)
Im(G) Origem contornada
Definições10
Re(G)
Im(G) Origem fora da região contornada.
Definições11
Re(G)
Im(G) Origem contornada uma vez,positivamente
f) O sentido horário (SH) será considerado o sentido positivo
Definições12
Re(G)
Im(G) Uma volta positiva ao redor da origem.
g) Uma curva fechada dá n vezes na origem positivamentequando a reta que liga a origem a um ponto da curva percorrer nx360° no sentindo horário.
θ
Definições13
Re(G)
Im(G) Volta negativa ao redor da Origem.
θ
Definições14
No=+1
Re(G)
Im(G)θ
Voltas líquidas: No= nxSH-mxSAH
Propriedades da Transformada G(s)15
Para G(s) analítica, a transformação é: Unívoca Contornos no plano-s (P(s)) excluem singularidades A transformada é conforme: ângulos e orientação
relativas no plano-s são preservadas no plano complexo do contra-domínio (ψ(s)).
Transformada conforme trajetória fechada no plano-s trajetória fechada no plano ψ(s).
Transformada conforme16P(s) ψ(s)
Teorema de Cauchy17
Também conhecido como Princípio do Argumento“ O número de voltas (No) num contornofechado ao redor da origem do plano ψ(s) éigual ao número de zeros (Zo) menos onúmero de polos (Po) de G(s) que sãocontornados por uma curva fechada noplano-s:
No= Zo-Po. ”
Teorema de Cauchy18
Ilustração:ωj
σ
P(s)(plano-s)
Domínio
Teorema de Cauchy19
Ilustração:Im(G)
Re(G)
ψ(s)
No= +1
Contra-domínio
SH
Teorema de Cauchy (cont.)20
Se a origem é contornada no sentido horário pelacurva no plano ψ(s), então No>0, caso contrárioNo≤0, isto é, a origem não é contornada ou écontornada negativamente (SAH).Im(G)
Re(G)
ψ(s)No= -1 SAH
GE(s) Y(s)
TH
Critério de Estabilidade de Nyquist21R(s)
Φ(s)GH(s)Φ(s)
GHGsT
GH(s)
de zeros MFde Polos:obs01
1)( :FTMF :FTMA
Critério de Estabilidade de Nyquist Para estabilidade em MF sabemos que os polos deMF, portanto os zeros de Φ(s), devem estar todos nosemi-plano esquerdo do plano-s (P(s)), isto é, devemter todos parte real negativa. Nyquist propôs um critério de estabilidade baseadono teorema do argumento de Cauchy e nos planosP(s) e ψ(s). Ele criou uma curva fechadaenglobando todo o semi-plano direito de P(s) eusando a equação característica Φ(s) para criar aimagem em ψ(s) pôde associar os zeros e poloscontornados em P(s) com os contornos da origem emψ(s). A curva fechada em P(s) é conhecida como oCaminho de Nyquist.
22
Caminho de Nyquist23
Caminho de Nyquist24
Caminho de Nyquist25
O Caminho de Nyquist é a curva fechada C no plano-s, que contorna todos os pontos no semi-planodireito. Se G(s) tem polos no eixo imaginário ou na origem, a curva C contorna estes pontos com pequenas circunferências de raio ρ→0.
O raio R de C tende para infinito: R ∞ , de modo que a curva engloba todo o semi-plano direito do plano-s. Evidentemente, a curva C contornará todos os polos e zeros de G(s) que estiverem no semiplano direito.
Critério de Estabilidade de Nyquist26
Im(Φ)
Re(Φ)
Caminho de Nyquist Diagrama de Nyquist
Φ(s)O
213:)(argumentoCauchy deTeorema Pelo
DDo -PZN
Critério de Estabilidade de Nyquist
origem)!da redor ao positivas (voltas MFeminstávelseria anterior slide dosistema O :Obs
(s).tica caracterís equaçãoda instáveis polos de número ao igualser deve -plano do
(SAH) horário-anti sentido no origemda redor ao voltasde número o ,para é, isto
0 para :Nyquist
MF)de polos(s) de zeros :(Obs. :Cauchy
Ψ(s)
deestabilidaPN
ZdeestabilidaZ
PZN
Do
D
D
DDo
27
Critério de Estabilidade de Nyquist
. -plano do 1 ponto doredor ao de voltasasolhar podemos -plano do
origemda redor ao de voltasas olharmos de invés Ao.1 01 )2
tica).caracterís equaçãoda polos MAde polos(0 de polos de polos
0)()(11 )1
Ψ(s)-GH(s)Ψ(s)
Φ(s)GH(s)GH(s)Φ(s)
D(s)Φ(s)GH(s)DKND
sDsNKGH(s)Φ(s)
28
Critério de Estabilidade de Nyquist29
Considerando: GH(s)=-1“Um sistema de controle em malha
fechada é estável se e somente se:N1 ≤ -PGH
isto é, o número de voltas ao redor do ponto -1no plano complexo ψ(s) seja nulo ounegativo (sentido anti-horário) e igual aonúmero de polos instáveis da função detransferência de malha aberta (GH(s))”
Critério de Estabilidade de Nyquist30
Im(GH)
Caminho de Nyquist Diagrama de Nyquist
GH(s)ORe(GH)
-1
nte)positivame contornado (-1 instávelhada Malha Fecemsistema
:Nyquist de Critério Pelo
Critério de Estabilidade de Nyquist31
Se N1>0 (ponto -1 contornado positivamente) SISTEMA INSTÁVEL. Se a FTMA (GH(s)) for instável, isto é, possuir PGHpolos instáveis no semiplano direito de P(s) e
(sistema físico), então, paraestabilidade em Malha Fechada, o diagrama deNyquist deve contornar o ponto -1 no plano ψ(s)PGH vezes no sentido anti-horário. Se N1≤0 e PGH=0 (FTMA estável) o sistema em MFé estável se e somente se N1=0 (isto é, -1 não écontornado em ψ(s).
cte)(lim
sGHs
32
Critério de Estabilidade de NyquistQuando N1≤0, o ponto -1 não é contornado positivamente
Im(GH)
O-1
Im(GH)
ORe(GH)-1-1 Re(GH)
Diagramas polares e Diagramas de Nyquist
33 G(s) com s= σ + ωj.
No caso especial em que σ = 0, G(ωj) é a função detransferência senoidal. O plano-s torna-se a reta doeixo imaginário. G(ωj) pode ser descrita no contra-domínio em função de um único parâmetro, afrequência ω. Com o auxílio da reta ωj do plano-s,constroem-se os diagramas polares no plano ψ(s). Usando s= σ + ωj constroem-se os diagramas deNyquist, que são todos curvas fechadas em ψ(s). Os ‘softwares’ como Matlab ou Scilab constroemapenas os diagramas polares. Quando eles foremabertos deverão ser fechados ‘manualmente’, atravésde métodos analíticos ou gráficos.
34
jΦejGjwGjGjG )()()()( Diagramas polares
Im(G) ψ(s)
Re(G)
ωo)( jG
Φ
35
)()()(
)()()()(
)()()(
21
2121
21
jwGjwGjwGeejwG
jwGjwGjGjwGjwGjGjΦΦjjΦ
Diagramas polares
21GG
ΦΦ1
1GΦ22G
Diagramas polares e Nyquist36
A serem desenvolvidos em aula: Sistemas do tipo zero: 1ª e 2ª Ordem e ordem superior.
Diagramas polares fechados Sistemas do tipo um:
Diagrama polar aberto, uma semicircunferência de raio infinito. Sistemas do tipo dois:
Diagrama polar aberto, duas semicircunferências de raio infinito. Sistemas do tipo q:
Diagrama polar aberto, q semicircunferências de raio infinito.
Diagramas polares e Nyquist37
A serem desenvolvidos em aula: Sistemas do tipo zero: 1ª e 2ª Ordem e ordem superior.
Diagramas polares fechados Sistemas do tipo um:
Diagrama polar aberto, uma semicircunferência de raio infinito. Sistemas do tipo dois:
Diagrama polar aberto, duas semicircunferências de raio infinito. Sistemas do tipo q:
Diagrama polar aberto, q semicircunferências de raio infinito.
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Exemplos
-1 MF!em estávelsistema
nte)positivame contornado é não (-1 0N caso, Neste0N :deestabilidaPara
estável ntemarginalme 10
)1(1)(
1
1
2
1
GHs
ssssGH Ψ(s)
39
r ∫B yx
D
A
Cy
xe
Estabilidade Nominal - MIMO
40Estabilidade Nominal - MIMO
0:. .)( com ],[
)4( )(,)3(
:com malha a Fechando0:. .)(
)()()2()1()(,
1
1)(
FFF
FFF
A
caractEqs
o
caractEqs
ss
o
sFTMA
AsIAsIΦIDCD)B(IAA
xxrBxAxyre
AsIAsIΦ
EDBA)C(sIYDeCxy
xxBeAxx
1o
1
o
L
41Estabilidade Nominal - MIMO
ILIL
AIAIIL
AIAIIL
ILAIAI0D
FF
F
F
de zeros MFde poloshada. Malha Fecde ticascaracterís as descreve 0
MFde de 0:raízes de tocancelamenhouver não
00
:facilidadepor
polosszerossse
ssss
Estabilidade Nominal - MIMO42
Seja: L(jw) = GK(jw) com PR polos instáveis:N = - PR (PR voltas no SAH ao redor de -1).“ O sistema em MF com matriz de transferência demalha aberta L(s) com PR polos instáveis é estável see somente se o diagrama de Nyquist do det(L(jw))não passa pelo ponto -1 e o contorna PR no SAH,quando s percorre o Caminho de Nyquist”