MC102 – Aula 26Recursão

Instituto de Computação Unicamp04 de Dezembro de 2014

Recursão

Uma função é dita recursiva quando dentro do seu código existe uma chamada para si mesma

ExemploCálculo do fatorial de um número:

𝑓 𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙 (𝑛)={ 1𝑠𝑒𝑛=0𝑛∗ 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙 (𝑛−1 )𝑠𝑒𝑛>0

Fatorial

𝑓 𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙 (𝑛)={ 1𝑠𝑒𝑛=0𝑛∗ 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙 (𝑛−1 )𝑠𝑒𝑛>0

0! = 11! = 1 * 12! = 2 * 13! = 3 * 2 * 14! = 4 * 3 * 2 * 15! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 Função Iterativa

Função Iterativa

Fatorial

𝑓 𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙 (𝑛)={ 1𝑠𝑒𝑛=0𝑛∗ 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙 (𝑛−1 )𝑠𝑒𝑛>0

0! = 11! = 1 * 12! = 2 * 13! = 3 * 2 * 14! = 4 * 3 * 2 * 15! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1

0! = 11! = 1 * 0!2! = 2 * 1!3! = 3 * 2!4! = 4 * 3!5! = 5 * 4!

Fatorial1 5! = 5 * 4!2 4! = 4 * 3!3 3! = 3 * 2!4 2! = 2 * 1!5 1! = 1 * 0!6 0! = 1

6’ 0! = 15’ 1! = 1 * 0! = 1 * 1 = 1 4’ 2! = 2 * 1! = 2 * 1 = 23’ 3! = 3 * 2! = 3 * 2 = 62’ 4! = 4 * 3! = 4 * 6 = 241’ 5! = 5 * 4! = 5 * 24 = 120

Fatorial1 5! = 5 * 4!2 4! = 4 * 3!3 3! = 3 * 2!4 2! = 2 * 1!5 1! = 1 * 0!6 0! = 1

120

Fatorial

𝑓 𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙 (𝑛)={ 1𝑠𝑒𝑛=0𝑛∗ 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙 (𝑛−1 )𝑠𝑒𝑛>0

0! = 11! = 1 * 0!2! = 2 * 1!3! = 3 * 2!4! = 4 * 3!5! = 5 * 4!

Função Recursiva

Função Iterativa

Recursão e a Pilha de Execução (stack)

Supõe que façamos• int x = fatorial(4);

XFunção Recursiva

4

Recursão e a Pilha de Execução (stack)

fatorial(4)

XRetorno

n

4

Recursão e a Pilha de Execução (stack)

fatorial(4)

XRetorno

n

fatorial(3)

3

Retorno

n

4

Recursão e a Pilha de Execução (stack)

fatorial(4)

XRetorno

n

fatorial(3)

3

Retorno

n

fatorial(2)2

Retorno

n

4

Recursão e a Pilha de Execução (stack)

fatorial(4)

XRetorno

n

fatorial(3)

3

Retorno

n

fatorial(2)2

Retorno

nfatorial(1)

1

Retorno

n

4

Recursão e a Pilha de Execução (stack)

fatorial(4)

XRetorno

n

fatorial(3)

3

Retorno

n

fatorial(2)2

Retorno

nfatorial(1)

1

Retorno

n

fatorial(0)

0

Retorno

n

4

Recursão e a Pilha de Execução (stack)

fatorial(4)

XRetorno

n

fatorial(3)

3

Retorno

n

fatorial(2)2

Retorno

nfatorial(1)

1

Retorno

n1Retorno

4

Recursão e a Pilha de Execução (stack)

fatorial(4)

XRetorno

n

fatorial(3)

3

Retorno

n

fatorial(2)2

Retorno

n1Retorno

4

Recursão e a Pilha de Execução (stack)

fatorial(4)

XRetorno

n

fatorial(3)

3

Retorno

n

2Retorno

4

Recursão e a Pilha de Execução (stack)

fatorial(4)

XRetorno

n

6Retorno

24

Recursão e a Pilha de Execução (stack)

XRetorno

Supõe que façamos• int x = fatorial(4);

Função Recursiva

Recursão e a Pilha de Execução (stack)

X 24

Supõe que façamos• int x = fatorial(4);

Função Recursiva

Elementos de uma função recursiva

• Condição de parada ou caso base ou caso trivial:• É a parte da definição da função que não faz chamada recursiva

• Chamada recursiva propriamente dita ou passo de recursão: • Deve resolver uma instância menor do mesmo problema

• Processamento de apoio ou processamento complementar: • Demais processamentos que acompanham e/ou utilizam o que resulta

da chamada recursiva

Exemplo: Condição de Parada

Elementos de uma função recursiva

Exemplo: Chamada recursiva a uma instância menor

Elementos de uma função recursiva

Exemplo: Processamento de apoio

Elementos de uma função recursiva

Importante

• Se não existir o caso base (condição de parada), o programa entra em loop infinito

• Se a chamada recursiva não for aplicada a uma instância menor do problema, o programa entra em um loop infinito

• Se um função recursiva ficar chamando a si mesma indefinidamente (num loop infinito) o programa rapidamente para por “estouro da pilha” (stack overflow)

Fibonacci• O número de Fibonacci Fn para n>=0 é definido da seguinte maneira:

Fibonacci• O número de Fibonacci Fn para n>=0 é definido da seguinte maneira:

Função Recursiva

Exercício 01 – Faça uma função recursiva para calcular o número de Fibonacci.

Fibonacci• O número de Fibonacci Fn para n>=0 é definido da seguinte maneira:

Função Recursiva

Exercício 01

Faça um programa para imprimir a sequência de Fibonacci.

Sequência de Fibonacci

Exercício 2

O que faz o programa abaixo? Justifique!

Processamento de apoio?

Torre de Hanói• A lenda diz que num templo perdido na Ásia uns monges estão

tentando mover 64 discos de tamanhos diferentes de um pino para outro, usando um terceiro como auxiliar, de tal forma que:• Nunca um disco maior é colocado sobre um menor

• De acordo com a lenda o mundo se acaba no momento que esta tarefa é completada.

Torre de Hanói• Estado inicial: • pilha de discos ordenados pelo raio

• Objetivo: • transferir a pilha de discos para uma das outras pilhas vazias

• Restrição:• Mover um disco por vez• Um disco de raio maior não pode estar sobre um disco de raio menor

A C B

Torre de Hanói• Se o valor fornecido para o programa for 3, então a sequência de chamadas

e as saídas geradas são:

321

A C B

Torre de Hanói• Se o valor fornecido para o programa for 3, então a sequência de chamadas

e as saídas geradas são:

3 21

A C B

Torre de Hanói• Se o valor fornecido para o programa for 3, então a sequência de chamadas

e as saídas geradas são:

321

A C B

Torre de Hanói• Se o valor fornecido para o programa for 3, então a sequência de chamadas

e as saídas geradas são:

321

• Ok, mas só podemos mover um disco por vez

• Como a pilha com os 2 discos menores foi parar no pino C, e depois no pino B?

A C B

Torre de Hanói• Se o valor fornecido para o programa for 3, então a sequência de chamadas

e as saídas geradas são:

321

A C B

Torre de Hanói• Se o valor fornecido para o programa for 3, então a sequência de chamadas

e as saídas geradas são:

32

1

Movimento = 1

Mova o disco 1 do pino A para o pino B

A C B

Torre de Hanói• Se o valor fornecido para o programa for 3, então a sequência de chamadas

e as saídas geradas são:

3 2 1

Movimento = 2

Mova o disco 2 do pino A para o pino C

A C B

Torre de Hanói• Se o valor fornecido para o programa for 3, então a sequência de chamadas

e as saídas geradas são:

3 21

Movimento = 3

Mova o disco 1 do pino B para o pino C

A C B

Torre de Hanói• Se o valor fornecido para o programa for 3, então a sequência de chamadas

e as saídas geradas são:

321

Movimento = 4

Mova o disco 3 do pino A para o pino B

A C B

Torre de Hanói• Se o valor fornecido para o programa for 3, então a sequência de chamadas

e as saídas geradas são:

321

Movimento = 5

Mova o disco 1 do pino C para o pino A

A C B

Torre de Hanói• Se o valor fornecido para o programa for 3, então a sequência de chamadas

e as saídas geradas são:

32

1

Movimento = 6

Mova o disco 2 do pino C para o pino B

A C B

Torre de Hanói• Se o valor fornecido para o programa for 3, então a sequência de chamadas

e as saídas geradas são:

321

PARABÉNS!Conseguiu mover os 3 discos com o mínimo de movimentos

Movimento = 7

M

Quantidade mínima de movimentos

Número dediscos

Mova o disco 1 do pino A para o pino B

Torre de HanóiPara solucionar um Hanói de 3 discos, são necessários 7 movimentos

Para solucionar um Hanói de 4 discos, são necessários 15 movimentos

Para solucionar um Hanói de 5 discos, são necessários 31 movimentos

Para solucionar um Hanói de 6 discos, são necessários 63 movimentos

Para solucionar um Hanói de 7 discos, são necessários 127 movimentos

Para solucionar um Hanói de 15 discos, são necessários 32.767 movimentos

Para solucionar um Hanói de 64 discos, como diz a lenda, são necessários 18.446.744.073.709.551.615 movimentos.

Tarefa• Torre de Hanói

Escrever um programa em C que calcula o movimento de n discos de acordo com as regras estabelecidas

Material Baseado em:

• Estrutura de Dados Usando C (Livro)

• Slides do Prof. Daniel M. Martin