Modelagem e Simulação de Processos - Introdução

Prof. Dr. Félix Monteiro Pereira

INTRODUÇÃO A MODELAGEM MATEMÁTICA E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS

INTRODUÇÃO A MODELAGEM MATEMÁTICA E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS

ETAPAS ENVOLVIDAS NA SIMULAÇÃO MATEMÁTICA

PROCESSO: unidades ou arranjo de unidades integradas entre si de maneira racional e sistemática (reatores, trocadores de calor, colunas de destilação, colunas de absorção, evaporadores, tanques de aquecimento, tanques de mistura, etc).

ANÁLISE: corresponde ao desenvolvimento do modelo matemático através da aplicação dos princípios de conservação de massa, energia e quantidade de movimento, da formulação de hipóteses simplificadoras, condições iniciais e condições de contorno.

MODELO: conjunto das equações representativas do processo.

INFORMAÇÕES NECESSÁRIAS: valores dos coeficientes (parâmetros) das equações.TÉCNICAS DE SOLUÇÃO: métodos numéricos utilizados para a resolução das equações.

CLASSIFICAÇÃO DOS MODELOS MATEMÁTICOS

MODELOS FENOMENOLÓGICOS: são modelos que buscam descrever os fenômenos principais envolvidos no processo usando-se, para isso, os princípios básicos de conservação de massa, energia e quantidade de movimento,equações constitutivas, condições iniciais e de contorno.

INTRODUÇÃO A MODELAGEM MATEMÁTICA E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS

MODELOS EMPÍRICOS: o processo é visto como uma “caixa-preta”, desconhecendo-se totalmente os mecanismos de causa/efeito entre as variáveis independentes (x) e as variáveis dependentes (y) do processo. As variáveis dependentes são correlacionadas empiricamentecom as independentes através das chamadas funções de transferência: y=f(x).

y=f(x)

Funções de transferência usuais:- modelos polinomiais;- modelos exponenciais;- modelos de redes neurais.

CLASSIFICAÇÃO DOS MODELOS FENOMENOLÓGICOS

a) segundo a natureza das variáveis:

- modelos determinísticos: são aqueles em que cada variável ou parâmetro pode ser associado a um número fixo definido. A sua solução fornece valores exatos para a variável de resposta.

- modelos estocásticos: os modelos estocásticos são utilizados para fornecer a probabilidade de um determinado valor ocorrer para uma variável. A solução desses modelos é uma probabilidade e não um valor exato.

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b) segundo a dependência com a variável tempo:

- modelos de estado estacionário: não há termo de acúmulo, isto é, não há variação com o tempo. Ex. Reator contínuo de mistura perfeita.

- modelos de estado dinâmico: nesses modelos há variação com o tempo, normalmente utilizados em controle de processos. Ex. Reator em batelada.

c) segundo a natureza das equações resultantes:- modelos representados por equações algébricas;- modelos representados por equações diferenciais ordinárias;- modelos representados por equações diferenciais parciais.

INTRODUÇÃO AO SOFTWARE UTILIZADO PARA A RESOLUÇÃO DOS MODELOS MATEMÁTICOS: SCILAB

ESTUDO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA QUÍMICA E BIOQUÍMICA

O scilab é um software gratuito que pode ser obtido no site: www.scilab.org

Abra o scilab

ESTUDO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA QUÍMICA E BIOQUÍMICAINTRODUÇÃO AO SCILAB

No Scilab Console, os programas computacionais são rodados.As variáveis definidas ou retornadas ao Scilab Console são mostradas no Navegador de variáveis.

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No Scilab Console são realizados os cálculos.

Verificando algumas operações matemáticas:1+25^25*25/22-5pi%picos(%pi)sin(%pi/2)sin(%pi)cos(%pi/2)sin(%pi)/cos(%pi/2)tan(%pi/2)exp(1)log(10)log(exp(5))log10(100)

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Definindo variáveis:a=1A=5;O ponto e vírgula ; no final da linha é utilizado para evitar a impressão da variável, aumentando a velocidade de processamento.b=2;a*Aa/(A+b)log(10^A)log10(10^A)

Utilizando a ajuda do scilab:

Verifique como utilizar a função poly do scilab clique na lupa, digite poly e dê enter:

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Para salvar os programas é conveniente utilizar o editor de texto do scilab. Como no decorrer do curso será utilizada a programação orientada a objetos, deve-se saber utilizar as funções function que é utilizada como entrada para cada objeto de simulação criado, a função return que é a função de saída do objeto de simulação (último comando lógico do objeto) e a função endfunction fechando a programação do objeto.

function nome_do_objeto(x1,x2,x3)…Lista de comandos do objeto….[y1,y2,y3,y4]=return(saida1, saida2, saida3, saida4)endfunction

Exemplo de problema envolvendo cálculo de raizes de polinômio (função roots) no scilab: Diversas substâncias químicas com ponto de ebulição abaixo da temperatura ambiente costumam ser armazenadas na forma liquefeita, sob alta pressão, em recipientes adequados. Os exemplos mais conhecidos são o GLP (gás liquefeito de petróleo), propano, butano e amônia. Diversos tipos de recipientes são utilizados: recipientes cilíndricos (com tampos arredondados) são usados para pequenas quantidades (isqueiros, botijões, cilindros, caminhões tanque). Industrialmente, uma forma consagrada de armazenar estes "gases liquefeitos" é o uso de esferas de armazenamento.Descrição do problema: Uma esfera de armazenamento de propano dispõe de um instrumento de medição de nível que indica a altura (medida do ponto de tangência inferior da esfera) da interface líquido-vapor.O volume de líquido é dado pela fórmulaV=pi * h²(3r-h)/3Uma esfera com 10 metros de diâmetro é utilizada para armazenar propano liquefeito. O nível inicial de líquido é de 5,1 metros.O responsável pela operação da planta precisa transferir 150 m³ de propano líquido desta esfera para o processo. Determine o nível de líquido na esfera ao final da transferência (despreze a parcela do propano presente na fase vapor).

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Solução:

Como dados de entrada o programa fornece os valores do diâmetro da esfera de armazenamento (d = 10 m), o nível inicial de líquido (hi = 5,1 m) e o volume a ser transferido (Vt=150 m³). A saída é o nível final do reservatório (nível a ser atingido quando a válvula de saída deve ser fechada).O problema é de simples solução, porém vamos criar um programa para simular a esfera para qualquer condição inicial.O primeiro passo é abrir o scilab e, depois, começar a criar o programa.Obs. O nível do reservatório pode ser obtido resolvendo o seguinte polinômio:Polinômio= 3*V/pi - 3*r*h² + h³ = 0

Para executar o programa deve-se salvar e executar

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Solução:

Após clicar em salvar e executar, deve-se ir para a janela principal do scilab, verificar se há erros de programação e corrigi-los. E digitar a função com seus valores de entrada entre parênteses, e digitar a variável retornada pela saída do programa (ou verificar o valor da variável no navegador de variáveis).

Nesse caso, a solução é h=3,1 m (pois 0<h<d, d=10 m). Observe que h é uma variável complexa.

Agora vamos fazer o programa mostrar apenas o valor de h utilizando testes lógicos, para selecionar uma raiz real entre 0 e D.

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Seleção do valor de h (para 0<h<d) considerando que h deva ser uma raiz real.

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Até agora, foi criado o script de um objeto de simulação. Agora, vamos criar os objetos a serem utilizados na simulação. Para isso, vamos utilizar o xcos, uma ferramenta de simulação do scilab.

1) Abra o Xcos do scilab.

2) No Navegador de Paleta, clique em fontes para criar as entradas e arraste uma entrada de matriz (CONST_m) para a janela de fluxograma do Xcos.

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3) Clique em Anotações e arraste para o fluxograma para anotar as variáveis de entrada (diâmetro da esfera, nível inicial e volume transferido) como matriz de entrada u=[d,hi,Vt]. Clique no bloco de entrada e substitua com os valores da matriz de entrada u=[10,5.1,50].

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4) Arraste um bloco scifunc_block_m de Funções definidas pelo usuário. Clique sobre o bloco, altere a entrada para uma matriz de uma linha e três colunas e clique em OK.

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5) Após clicar em OK aparecerá uma janela para digitação da função. Copie e cole o programa e faça as alterações pertinentes, como colocar d=u1(1), hi=u1(2) e Vt=u1(3). Na última linha do programa defina y1=h. Não cole a primeira linha (function...) nem as duas últimas (return e endfunction) pois são as entradas e saídas do bloco. Não precisa tipos de entradas nem saidas pedidos em seguida, pois utilizaremos blocos do Xcos.

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6) Em Receptores escolha o bloco AFICH_m para exibição da resposta e adicione um Clock_c de fontes faça as interligações de entrada e saída e clique em iniciar. Clicando no bloco AFICH_m do fluxograma você pode alterar o número de dígitos da parte racional. Alterando os valores de entrada, altera-se também a saída ao clicar em iniciar.

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7) Para demonstrar o funcionamento do XCOS vamos agora criar um gráfico de V versus h para o problema anterior utilizando funções do XCOS. Para facilitar vamos considerar como variável independente o nível (t=h, para h variando de 0 a 10 m) e como variável dependente o volume (y1=V):V=pi * h²(3r-h)/3Faça as interligações como na figura, e configure cada bloco (Obs. Para criar a porta da variável independente, deve-se atribuir [1] em “input event ports sizes”).

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8) Antes de simular deve-se configurar a simulação, pois a variável independente (t=h) deve variar entre 0 e 10 m. Isso é feito definindo o tempo final de integração igual a 10.

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9) Agora basta realizar a simulação e obter o gráfico e alterar o título dos eixos.

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Trabalhando com vetores e matrizes:Os argumentos da matriz devem ser colocados entre colchetes [ ]As linhas são separadas por ponto e vírgula (;)As colunas são separadas por vírgula (,) ou espaçoÉ possivel criar ou modificar valores em uma matriz utilizando o editor de variáveis.Na janela principal do scilab digite:A=[11 12;21 22;31 32]B=[11 12 13;21 22 23]A*BB*AB*BA*(A*B)B*(A*B)A*(A*B)B*(B*A)Matriz transpostaA‘Matriz inversaC=B*Ainv(C)C^(-1)1/CC*inv(C)C/CC*C^(-1)C^(-1)/C

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Dimensões (size), máximos (max), mínimos (min) e módulo (abs)size(A)size(A,1)size(A,2)[m,k]=max(A)[n,j]=min(A)o=min(inv(C))O=min(abs(inv(c))

Adicionando linhas e colunas a uma matriz:

Ex:D=[13;23;33]AE=[A D]E=[E;D']

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Trabalhando com vetores e matrizes:

Utilizando vetores para realização de regressão linear:

Filtração a pressão constante de 105 Pa foi realizada para uma suspensão de de sólidos em H2O sendo obtidos os resultados apresentados na tabela. A superfície total de filtração foi 400 cm², a massa de sólidos por volume de filtrado foi de 5 g/L e a temperatura foi de 20 oC (µH2O=1x10-3kg/[ms]). Calcule os valores de α e Rm.Experimento:V(L) t1 (s)0,5 22,31 83,61,5 184,02 323,52,5 502,03 719,6t=b1V+b2V²

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Utilizando vetores para realização de regressão linear:

Filtração a pressão constante de 105 Pa foi realizada para uma suspensão de de sólidos em H2O sendo obtidos os resultados apresentados na tabela. A superfície total de filtração foi 0,04 m², a massa de sólidos por volume de filtrado foi de 5 kg/m³ e a temperatura foi de 20 oC (µ=1x10-3kg/[ms]). Calcule os parâmetros de filtração α e Rm.Experimento:V(m³) t (s)5*10-4 22,31*10-3 83,61,5*10-3 184,02*10-3 323,52,5*10-3 502,03*10-3 719,6A Equação para a filtração constante pode ser expressa como: t=b1V+ b2 V² onde:b1=c/(2A2P), b2=Rm/(AP)

Os parâmetros b1 e b2 podem ser calculados fazendo a regressão por meio de matrizes:

B=(XTX)-1 * (XTY)Onde:B=[b1;b2]; X=[5d-4,5d-4^2;1d-3,1d-3^2;1.5d-3,1.5d-3^2;2d-3,2d-3^2;2.5d-3,2.5d-3^2;3d-3,3d-3^2]; Y=[22.3;83.6;184;323.5;502;719.6];Compare os valores experimentais com os calculados pelo modelo utilizando para os valores calculados: Yc=X*B;

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Resolução no Xcos:

1) Vamos resolver o problema utilizando os operadores do Xcos.B=(XTX)-1 * (XTY)Onde:B=[b1;b2]; X=[5d-4,5d-4^2;1d-3,1d-3^2;1.5d-3,1.5d-3^2;2d-3,2d-3^2;2.5d-3,2.5d-3^2;3d-3,3d-3^2]; Y=[22.3;83.6;184;323.5;502;719.6];Para facilitar a simulação, vamos utilizar a ferramenta, clicando em “simulação” e depois “definir contexto”.

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Resolução no Xcos:

2) Agora, basta utilizar os blocos de entrada de matriz, e os operadores, como na figura.

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