Post on 14-Aug-2020
Modelos de Probabilidade e Inferencia Estatıstica
Departamento de Estatıstica
Universidade Federal da Paraıba
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 03/14 1 / 49
IntroducaoA Teoria das Probabilidades e o ramo da matematica desenvolvidopara tratar com incertezas (aleatoriedade).
Muitos fenomenos tem a propriedade de a sua observacao, repetidasob condicoes especificadas, conduzir invariavelmente ao mesmoresultado.
Exemplos:1 O fluxo de corrente eletrica observavel em um circuito simples (Lei
de Ohm: I = E/R).2 O tempo em que uma bola atingira o solo apos cair atraves do
vacuo (Lei da Gravitacao: t =√
2d/g).3 O ındice de massa corporal (IMC) em um estudo sobre Cancer
(IMC = peso/altura2).
Para tais exemplos, modelos que estipulam que as condicoes sob asquais um experimento seja executado determinam o resultado doexperimento sao apropriados. Tais modelos sao chamados demodelos determinısticos.
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 03/14 21 / 49
IntroducaoA Teoria das Probabilidades e o ramo da matematica desenvolvidopara tratar com incertezas (aleatoriedade).
Muitos fenomenos tem a propriedade de a sua observacao, repetidasob condicoes especificadas, conduzir invariavelmente ao mesmoresultado.
Exemplos:1 O fluxo de corrente eletrica observavel em um circuito simples (Lei
de Ohm: I = E/R).2 O tempo em que uma bola atingira o solo apos cair atraves do
vacuo (Lei da Gravitacao: t =√
2d/g).3 O ındice de massa corporal (IMC) em um estudo sobre Cancer
(IMC = peso/altura2).
Para tais exemplos, modelos que estipulam que as condicoes sob asquais um experimento seja executado determinam o resultado doexperimento sao apropriados. Tais modelos sao chamados demodelos determinısticos.
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IntroducaoA Teoria das Probabilidades e o ramo da matematica desenvolvidopara tratar com incertezas (aleatoriedade).
Muitos fenomenos tem a propriedade de a sua observacao, repetidasob condicoes especificadas, conduzir invariavelmente ao mesmoresultado.
Exemplos:1 O fluxo de corrente eletrica observavel em um circuito simples (Lei
de Ohm: I = E/R).2 O tempo em que uma bola atingira o solo apos cair atraves do
vacuo (Lei da Gravitacao: t =√
2d/g).3 O ındice de massa corporal (IMC) em um estudo sobre Cancer
(IMC = peso/altura2).
Para tais exemplos, modelos que estipulam que as condicoes sob asquais um experimento seja executado determinam o resultado doexperimento sao apropriados. Tais modelos sao chamados demodelos determinısticos.
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IntroducaoA Teoria das Probabilidades e o ramo da matematica desenvolvidopara tratar com incertezas (aleatoriedade).
Muitos fenomenos tem a propriedade de a sua observacao, repetidasob condicoes especificadas, conduzir invariavelmente ao mesmoresultado.
Exemplos:1 O fluxo de corrente eletrica observavel em um circuito simples (Lei
de Ohm: I = E/R).2 O tempo em que uma bola atingira o solo apos cair atraves do
vacuo (Lei da Gravitacao: t =√
2d/g).3 O ındice de massa corporal (IMC) em um estudo sobre Cancer
(IMC = peso/altura2).
Para tais exemplos, modelos que estipulam que as condicoes sob asquais um experimento seja executado determinam o resultado doexperimento sao apropriados. Tais modelos sao chamados demodelos determinısticos.
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IntroducaoA Teoria das Probabilidades e o ramo da matematica desenvolvidopara tratar com incertezas (aleatoriedade).
Muitos fenomenos tem a propriedade de a sua observacao, repetidasob condicoes especificadas, conduzir invariavelmente ao mesmoresultado.
Exemplos:1 O fluxo de corrente eletrica observavel em um circuito simples (Lei
de Ohm: I = E/R).2 O tempo em que uma bola atingira o solo apos cair atraves do
vacuo (Lei da Gravitacao: t =√
2d/g).3 O ındice de massa corporal (IMC) em um estudo sobre Cancer
(IMC = peso/altura2).
Para tais exemplos, modelos que estipulam que as condicoes sob asquais um experimento seja executado determinam o resultado doexperimento sao apropriados. Tais modelos sao chamados demodelos determinısticos.
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 03/14 21 / 49
IntroducaoA Teoria das Probabilidades e o ramo da matematica desenvolvidopara tratar com incertezas (aleatoriedade).
Muitos fenomenos tem a propriedade de a sua observacao, repetidasob condicoes especificadas, conduzir invariavelmente ao mesmoresultado.
Exemplos:1 O fluxo de corrente eletrica observavel em um circuito simples (Lei
de Ohm: I = E/R).2 O tempo em que uma bola atingira o solo apos cair atraves do
vacuo (Lei da Gravitacao: t =√
2d/g).3 O ındice de massa corporal (IMC) em um estudo sobre Cancer
(IMC = peso/altura2).
Para tais exemplos, modelos que estipulam que as condicoes sob asquais um experimento seja executado determinam o resultado doexperimento sao apropriados. Tais modelos sao chamados demodelos determinısticos.
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 03/14 21 / 49
IntroducaoExistem outros fenomenos cuja observacao, repetida sob condicoesespecificadas, nao conduz sempre ao mesmo resultado.
Exemplos:1 Lancamento de uma moeda.2 Jogo de futebol: SPORT x Nautico.3
Pode parecer impossıvel fazer qualquer afirmacao valida sob taisfenomenos, contudo a experiencia mostra que muitos fenomenosaleatorios exibem uma regularidade estatıstica que os torna passıveisde estudo.
Para tais fenomenos, modelos que estipulam que as condicoesdo experimento determinam apenas o comportamentoprobabilıstico do resultado observavel sao apropriados.
Tais modelos sao chamados modelos probabilısticos.
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 03/14 22 / 49
IntroducaoExistem outros fenomenos cuja observacao, repetida sob condicoesespecificadas, nao conduz sempre ao mesmo resultado.
Exemplos:1 Lancamento de uma moeda.2 Jogo de futebol: SPORT x Nautico.3
Pode parecer impossıvel fazer qualquer afirmacao valida sob taisfenomenos, contudo a experiencia mostra que muitos fenomenosaleatorios exibem uma regularidade estatıstica que os torna passıveisde estudo.
Para tais fenomenos, modelos que estipulam que as condicoesdo experimento determinam apenas o comportamentoprobabilıstico do resultado observavel sao apropriados.
Tais modelos sao chamados modelos probabilısticos.
Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 1 03/14 22 / 49
IntroducaoA teoria da probabilidade oferece metodos de quantificacao daschances ou possibilidades de ocorrencia associadas aos diversosresultados de um experimento aleatorio.
Experimento Aleatorio: E qualquer acao ou processo cujo resultadoesta sujeito a incerteza. Isto e, um experimento aleatorio podefornecer diferentes resultados, embora seja repetido da mesmamaneira.
Pergunta: O que os experimentos aleatorios tem em comum?
Resposta:I Cada experimento pode ser repetido indefinidamente sob
condicoes essencialmente inalteradas.
I Embora nao possamos afirmar que resultado particular ocorrera,nos podemos descrever o conjunto de todos os resultadospossıveis do experimento.
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Introducao
Quando o experimento e executado repetidamente, sob asmesmas condicoes, os resultados individuais parecerao ocorrerde uma forma casual (acidental). No entanto, a medida que onumero de repeticoes aumenta, surgem certos padroes nafrequencia de ocorrencia dos resultados.
E esta regularidade (padrao) que torna possıvel construir um modelomatematico para analisar o experimento.
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IntroducaoObservacao 1.1: Cada resultado possıvel e denominado elemento deΩ e denotado por ω.
Exemplos de experimentos aleatorios:
E1: Jogue um dado e observe a face superior.
E2: Jogue uma moeda tres vezes e observe a sequencia decaras e coroas.
E3: Jogue uma moeda tres vezes e observe ao numero decaras obtidos.
E4: Jogue uma moeda ate obter a primeira cara e observe asequencia obtida.
E5: Jogue uma moeda ate obter a primeira cara e observe onumero de lancametos necessarios.
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IntroducaoExemplos de experimentos aleatorios:
E6: Um lote de 10 testes de farmacia contem 3 defeituosos.Os testes sao retirados um a um (sem reposicao) ate queo ultimo teste defeituoso seja encontrado. O numero totalde testes retirados do lote e contado.
E7: Avaliacao de uma nova maquina para realizacao deexames no Hospital Vida Saudavel. O tempo decorrido(em horas) ate a falha e registrado.
E8: Avaliacao de perdas na Energisa. O numero de ligacoesclandestinas em uma comunidade e anotado.
E9: Avaliacao do desempenho dos alunos de MPIE. A mediafinal e anotada.
E10: Em um estudo sobre obesidade infantil, escolhe-se dezcriancas cujos pesos sao anotados.
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Introducao
Exercıcio: Descreva um espaco amostral para cada um dosexperimentos descritos anteriormente.
Espacos amostrais:
E1: Ω =.
E2: Ω =
E3: Ω =.
E4: Ω =
E5: Ω =.
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Introducao
Exercıcio: Descreva um espaco amostral para cada um dosexperimentos descritos anteriormente.
Espacos amostrais:
E6: Ω =.
E7: Ω =.
E8: Ω =
E9: Ω =.
E10: Ω =.
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ExercıciosExercıcio: Descreva um espaco amostral para cada um dosexperimentos descritos abaixo.
(a) Uma moeda e lancada duas vezes e observam-se asfaces obtidas.
(b) Um dado e lancado duas vezes e a ocorrencia de facepar ou ımpar e observada.
(c) Uma urna contem 10 bolas azuis e 10 vermelhas comdimensoes rigorosamente iguais. Tres bolas saoselecionadas ao acaso com reposicao e as cores saoanotadas.
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Exercıcios(d) Dois dados sao lancados simultaneamente e estamos
interessados na soma das faces observadas.
(e) Em uma cidade, famılias com 3 criancas saoselecionadas ao acaso, anotando-se o sexo de cadauma.
(f) Uma maquina produz 20 medicamentos por hora,escolhe-se um instante qualquer e observa-se o numerode defeituosas na proxima hora.
(g) Uma moeda e lancada consecutivamente ate oaparecimento da primeira cara. As faces observadas saoanotadas.
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Introducao
Definicao 1.2: (Evento)
E qualquer subconjunto de resultados contidos no espaco amostral.
Observacao 1.2: Como regra geral, uma letra maiuscula sera usadapara denotar um evento.Observacao 1.3: Quando um experimento e realizado, diz-se queocorre o evento A se o resultado do experimento estiver contido em A.Observacao 1.4: O espaco amostral Ω e o evento certo e o conjuntovazio e o evento impossıvel.
IMPORTANTE: Escrevemos ω ∈ Ω para indicar que o elemento ωesta em Ω. Escrevemos A ⊂ Ω para indicar que A e umsubconjunto do espaco amostral.
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Uma revisao sobre a teoria dos conjuntos
Para apresentar os conceitos basicos de probabilidade, usaremosalgumas ideias da teoria de conjuntos.
Um conjunto e uma colecao de objetos, representados por letrasmaiusculas A, B, etc.
Existem tres maneiras de descrever que objetos estao contidosno conjunto A:
1 Fazer uma lista dos elementos de A: A = 1,2,3,4.2 Descrever o conjunto A por meio de palavras: A e formado pelas
notas dos alunos aprovados em Probabailidade I.
3 A = x |0 ≤ x ≤ 1; A e o conjunto de todos os numeros reais entre0 e 1.
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Uma revisao sobre a teoria dos conjuntos
Algumas Notacoes Importantes:
A notacao ω ∈ A significa que ω e um elemento de A.
A notacao ω /∈ A significa que ω nao pertence a A.
Para representar um conjunto, tambem usaremos anotacaoω : p(ω), onde p(ω) e uma proposicao concernete a ω,e o conjunto consiste de todos os elementos para os quais p(ω) everdadeira.
Exemplo: ω : ω = 2k ; k = 1,2, . . . e o conjunto de todos osinteiros positivos pares.
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IntroducaoExercıcio: Descreva o evento associado a cada experimento.
Eventos:
(E1) A =Um numero ımpar ocorre.
(E2) =Obtencao de faces iguais.
(E7) C =A maquina falha em menos de um dia.
(E8) D =Pelo menos quatro casas apresentam ligacoesclandestinas.
(E9) E =O Aluno passa na disciplina.
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Uma revisao sobre a teoria dos conjuntos
1.1 Algumas operacoes entre conjuntos
1 UNIAO: A ∪ B = w ∈ Ω : w ∈ A ou w ∈ B (ou ambos)A ∪ B sera formado por todos os elementos que estejam em A, ouem B, ou em ambos (adicao).
2 INTERSECAO: A ∩ B = w ∈ Ω : w ∈ A e w ∈ BA ∩ B sera formado por todos os elementos que estejam em A eem B (multiplicacao).
3 COMPLEMENTAR: Ac = w ∈ Ω : w /∈ AAc sera formado por todos os elementos de Ω que nao estejamem A.
4 DIFERENCA: A− B = w ∈ Ω : w ∈ A e w /∈ BA− B sera formado por todos os elementos de A, exceto os quetambem estejam em B (A− B = A ∩ Bc).
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Uma revisao sobre a teoria dos conjuntos
Observacao 1.8: As operacoes de uniao e intersecao podem serestendidas a mais de dois eventos.
A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An oun⋃
i=1
Ai
A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An oun⋂
i=1
Ai
IMPORTANTE: Uma representacao grafica utilizada para uma melhorvisualizacao das operacoes entre eventos e o diagrama de Venn.
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Uma revisao sobre a teoria dos conjuntosDefinicao 1.5: (Eventos disjuntos) Dois eventos sao disjuntos oumutuamente exclusivos se e somente se A ∩ B = ∅.
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Uma revisao sobre a teoria dos conjuntosDefinicao 1.6: (Espaco produto) Sejam Ω1 e Ω2 dois espacosamostrais. O espaco produto Ω = Ω1 × Ω2 e dado por:
Ω1 × Ω2 = (w1,w2) : w1 ∈ Ω1 e w2 ∈ Ω2
1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1
ExeperimentoExeperimento:: Dois dados são jogados e as faces são
observadas.
Espaço Amostral (Ω):
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
4,6
5,1
5,2
5,3
5,4
5,5
5,6
6,1
6,2
6,3
6,4
6,5
6,6
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Exercıcios1. Uma urna contem duas bolas brancas e tres bolas vermelha.Retira-se uma bola ao acaso da urna. Se for branca, lanca-se umamoeda; se for vermelha, ela e devolvida a urna e retira-se outra bola.Anota-se o resultado obtido. Obtenha o espaco amostral desseexperimento.
2. Dois dados sao lancados. Sejam os eventos: A=o primeiro numeroe maior que o segundo, B=o primeiro numero e igual ao dobro dosegundo e C=a soma dos dois numeros e maior ou igual a 8.Descreva os eventos: A, B, C, Ac ∪ B, B ∩ Cc , (Ac)c ∩ C e(A ∩ (B ∪ C))c .
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Exercıcios3. Considere os veıculos que trafegam pela BR-230 na altura daUFPB, no ponto em que podem continuar na BR-230(S), seguir emdirecao a UFPB(R) ou seguir em direcao ao centro (L). Observe adirecao de cada um de 3 veıculos sucessivamente:
1 Relacione todos os resultados do evento A em que todos osveıculos seguem na mesma direcao.
2 Relacione todos os resultados do evento B em que todos osveıculos seguem diferentes direcoes.
3 Relacione todos os resultados do evento C em que exatamentedois dos tres veıculos seguem para a UFPB.
4 Relacione todos os resultados do evento D em que exatamentedois veıculos seguem na mesma direcao.
5 Relacione os resultados em Dc , C ∪ D e C ∩ D.
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