Post on 29-Sep-2018
Técnologías en la educación matemática – Dra. Marcela Capobianco – 1 de
Tecnologías en la Educación Matemática Dr. Carlos Gonzalía
DCIC - UNS
Módulo 1: Algoritmos
Técnologías en la educación matemática – Dr. Carlos Gonzalía– 2
Copyright
● Copyright © 2012 M. Capobianco, C. Gonzalía
● Se asegura la libertad para copiar, distribuir y modificar este
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Problemas
● ¿Qué es un problema? Pensemos en algunos
ejemplos...
–Encontrar el camino más corto desde mi casa hasta el
trabajo o la escuela.
–Cómo pasar al próximo nivel de un juego.
–Cómo aprobar una materia.
● ¿Cómo podemos definir un problema? Busquemos
en el diccionario…
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Definiciones
1) Cuestión que se trata de aclarar.
2) Proposición o dificultad de solución dudosa.
3) Conjunto de hechos o circunstancias que dificultan
la consecución de algún fin.
4) Disgusto, preocupación.
5) Planteamiento de una situación cuya respuesta
desconocida debe obtenerse a través de métodos
científicos.
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Tipos de problemas
● Nombrar las tres mejores películas que vio este año.
● Sumar los números del 1 al 20.
¿Cuál es la diferencia entre estos problemas?
● Algunos problemas tienen una solución subjetiva y
otros poseen una solución objetiva.
● En este curso nos ocuparemos de la segunda
categoría.
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● Encontrar el valor de X en X+2=5.
● ¿Cuántos valores pueden tomar X e Y para que
X+Y=5, con X e Y números naturales?
● ¿Cuántos valores pueden tomar X e Y para que
X+Y=5, con X e Y números enteros?
● ¿Cuántos valores pueden tomar X e Y para que
X+Y=5, con X e Y números naturales mayores que 3?
Cantidad de soluciones
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Ejercicio
● Pensar ejemplos de problemas para los siguientes
casos:
– con muchas soluciones
– sin solución
– con infinitas soluciones
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Pasos para resolver un problema
● Analizar y comprender el problema: muy
importante…
● Construir la solución: se elige y se aplica una
estrategia o un conjunto de estrategias combinadas.
● Verificar la solución: confrontar los resultados
obtenidos con el problema, verificando que la
solución sea correcta.
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Cómo analizar un problema
● En todo problema se pueden distinguir los siguientes elementos: – los datos
– la incógnita
– el conjunto de reglas que los vinculan
● El análisis de un problema comienza con la correcta identificación de cada uno de estos elementos.
● Para esto, es una buena idea tener en cuenta las siguientes recomendaciones.
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Análisis y comprensión del problema
● Leer con detenimiento todo el enunciado.
● Comprender el significado de cada palabra y frase.
● Atender a los signos de puntuación.
● Identificar la incógnita.
● Identificar datos explícitos (los puede haber relevantes e
irrelevantes).
● Identificar datos implícitos (tanto relevantes como
irrelevantes) y explicitarlos.
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Análisis y comprensión del problema
● Eliminar las dobles negaciones.
● Detectar ambigüedades e impresiciones para luego
resolverlas.
● Obtener inferencias a partir de los datos identificados y
hacerlas explícitas.
● Construir un enunciado simple y sencillo con los datos
considerados relevantes.
● Verificar la equivalencia entre la especificación inicial y
la obtenida.
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Construir la solución
● Sabemos que encontrar la solución a un problema
puede no ser una tarea sencilla.
● Para buscar una solución a un problema, lo que
hacemos es plantear un modelo.
● Un modelo es una versión simplificada de la realidad
que cuenta sólo con los datos relevantes del problema.
● Los modelos se construyen haciendo abstracciones.
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Abstracciones
● Las abstracciones tratan de
simplificar la realidad
● Un mapa es un ejemplo de
abstracción que usamos muy a
menudo
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Formas de describir el problema
● Descripción verbal.
● Notación matemática: descripciones algebraicas, ecuaciones,
sistemas de ecuaciones.
● Gráficos.
● Representaciones geométricas.
● Diagramas: por ejemplo, de conjuntos.
● Notaciones lógicas.
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Ejemplo: reyes, caballos y sotas
Roberto y Lola estaban jugando al truco, y al finalizar el partido Lola le propuso a Roberto un desafío. Dispuso sobre la mesa seis cartas boca abajo como muestra la figura de la derecha, donde puede verse que cada carta está al menos junto a otra y a lo sumo junto a otras cuatro.
Roberto debía descubrir qué carta era cada una, sabiendo que Lola sólo puso Reyes, Caballos y Sotas.
Lola le dijo que había al menos dos Reyes, a lo sumo dos Caballos, tantas Sotas como Reyes, y por cada Sota un Caballo. Además ninguna carta está junto a otra de su misma figura y cada Sota estaba arriba de un Rey.
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Ejemplo: reyes, caballos y sotas (2)
Denotemos #R, #C, #S la cantidad de reyes, caballos y sotas (respect.) en la mesa.
#R + #C + #S = 6
#R ≥ 2
#C ≤ 2
#S = #R
#S ≤ #C
Entonces #S ≤ 2, y también #S ≥ 2.
Luego #R = 2, y finalmente #C = 2.
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Ejemplo: reyes, caballos y sotas (3)
Consideremos la carta en posición 1:
a) Si es S, viola la regla de estar arriba de un R
b) Si es C, consideremos la carta en 2:
i. Si es S, viola la regla de estar arriba de un R
ii. Si es R, entonces 3 debe ser S, pero también debe serlo una de las tres restantes a su lado.
iii. Obviamente no puede ser C.
Entonces 2 no puede ser C.
Entonces 1 solo puede ser R. Y 2 debe ahora ser S.
Consideremos la carta en posición 3… (completar)
3
2
1
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Otra vez reyes, caballos y sotas
Roberto le propuso a Lola un nuevo desafío. Dispuso sobre la mesa seis cartas boca abajo como muestra la figura de la izquierda. Lola ahora debía descubrir cuántos Reyes había, sabiendo que Roberto sólo puso Reyes, Caballos y Sotas.
Roberto le dijo que había al menos dos Reyes, a lo sumo dos Caballos, más Reyes que Caballos y que de cada figura había un número distinto de cartas. Además la única Sota no estaba junto a un Rey, y cada caballo estaba arriba de un Rey.
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Clariobaldo y su sobrina
Clariobaldo es ahora tres veces más viejo de lo que lo
era su sobrina Anabela hace 10 años y Anabela tiene
ahora la mitad de la edad que tendrá su tío dentro de
5 años. ¿Cuánto más viejo es Clariobaldo que
Anabela?
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Sobre resolución de problemas
Pueden leer el cuadernillo del curso de ingreso
“Resolución de Problemas” (ver en la página de esta
materia).
Cómo plantear y resolver problemas, George Polya,
Editorial Trillas, 1965. (Probablemente agotado, se
puede conseguir como e-libro buscando en Google…)
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Problemas y computadoras Problemas
Modelos
Algoritmos
Programas
Lenguaje de
Programación
representables por
Problemas
solubles por
computadora
implementados
escritos en un
son
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Abstracciones y modelos
● Las abstracciones nos permiten construir modelos.
● Ahora usaremos los algoritmos como un modelo.
● El objetivo es aprender a decirle a la computadora
cómo resolver un problema.
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Algoritmo
● Un algoritmo es una secuencia de pasos u
operaciones, que al ejecutarlo producirá resultados y
terminará luego de una cantidad finita de tiempo.
● Existen muchos ejemplos de algoritmos en nuestra
vida cotidiana, no relacionados con las computadoras.
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Ejemplos de algoritmos
Instrucciones impresas en una caja de mate cocido
Para preparar un buen mate cocido:
– Coloque en la taza un saquito de mate cocido.
– Caliente agua fresca hasta el primer hervor.
– Vierta el agua en la taza.
– Deje reposar 5 minutos.
– Si lo prefiere helado, déjelo enfriar y luego agregue hielo,
limón y azúcar.
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Ejemplos de algoritmos
Instrucciones impresas detrás de una tarjeta telefónica
prepaga
Para cargar el monto de su tarjeta a su cuenta:
– Raspe suavemente el código de seguridad.
– Marque el número de acceso y siga las instrucciones.
– Seleccione la opción de cara y cuando el sistema lo solicite
ingrese el código descubierto.
– A continuación escuchará el nuevo saldo de su cuenta y
podrá realizar llamadas.
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Ejercicios
● Pensar 3 ejemplos de algoritmos que usa en su vida
cotidiana y escribirlos.
● Pensar 3 ejemplos de algoritmos que haya aprendido
en la escuela primaria o secundaria.
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Algoritmos
Es importante que en los algoritmos:
– cada paso debe estar definido sin ambigüedad
– las operaciones deben ser comprensibles
– debe haber un único punto de comienzo y al
menos un punto final
Existe una visión estática y una visión dinámica
de un algoritmo.
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Ejemplo de un algoritmo
Queremos encontrar a Maradona, Diego en la
guía telefónica:
– comenzar con el primer nombre en la guía
– si el nombre es igual Maradona, Diego
entonces lo encontré (fin)
– si no es igual repetir el proceso con el próximo
nombre de la guía
No parece muy razonable, no?
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Datos
● Los algoritmos tienen datos y acciones.
● Las acciones modifican los datos de entrada y
obtienen a partir de ellos a los datos de salida que son
la solución buscada.
Algoritmo Datos de Entrada Datos de Salida
Datos Auxiliares
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Algoritmo con datos
ALGORITMO PromedioCuatro
DATOS DE ENTRADA: NUM1, NUM2, NUM3, NUM4
DATOS DE SALIDA : PROMEDIO
Promedio (num1 + num2 + num3 + num4) / 4
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Acciones en un algoritmo
● Existe un orden secuencial en las acciones de
arriba hacia abajo.
● Existen operaciones de asignación de valores a
datos ().
● Existen operaciones condicionales (como en el
ejemplo de la guia telefónica).
● Existen operaciones de repetición que indican
que una acción se repita un número de veces.
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Ejemplo de condicional
Escribir un algoritmo que tome dos números num1 y
num2 y devuelva el mayor de ellos en el dato de salida
mayor. ALGORITMO MayordeDos
DATOS DE ENTRADA: NUM1, NUM2
DATOS DE SALIDA : MAYOR
COMIENZO
SI NUM1>NUM2
ENTONCES MAYOR ← NUM1
SINO MAYOR ← NUM2
FIN ALGORITMO
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Uso de repetición
Supongamos ahora que queremos sumar los números
naturales entre 1 y un número dado como entrada…
¿Cómo podemos hacer?
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Ejemplo de repetición
ALGORITMO SumadeN
DATOS DE ENTRADA: N
DATOS DE SALIDA : SUMA
COMIENZO
aux ← 1
SUMA ← 0
REPETIR MIENTRAS aux <= N
SUMA ← SUMA + aux
aux ← aux + 1
FIN ALGORITMO
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Recomendaciones generales
● Recordar que todo dato en un algoritmo debe tener
un nombre significativo.
● Recordar que todo dato de entrada en un algoritmo
tiene asociado un valor y que todo dato de salida
debería devolver un valor.
● Los algoritmos se deben escribir en forma clara y
prolija.
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Ejercicios
Identificar en los siguientes enunciados cuáles serían
los datos de entrada y de salida de los siguientes
algoritmos:
– Obtener el cociente y el resto de dividir dos números
naturales entre sí.
– Calcular el divisor común mayor de dos números enteros.
– Determinar si una fecha es válida.
– Calcular la suma de todos los números menores que un tope
dado.
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Ejercicios
● Escribir un algoritmo para sumar tres números
naturales dados como entrada.
● Escribir un algoritmo para hallar el cuadrado de un
número dado como dato de entrada.
● Escribir un algoritmo para calcular el valor de la
función f(X)=X2+X3 para un X dado como dato de
entrada del algoritmo.
● Escribir un algoritmo para ver si un número es par.