Post on 27-Apr-2018
Nelly Piedad Rubio Rubio
Estudo de dutos enterrados considerando a interação
solo-estrutura
Tese de Doutorado
Tese apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio como requisito parcial para obtenção do título de Doutor em Engenharia Civil. Área de concentração: Estruturas.
.
Orientadores: Deane de Mesquita Roehl Celso Romanel
Rio de Janeiro
Dezembro de 2008
Nelly Piedad Rubio Rubio
Estudo de dutos enterrados considerando a interação
solo-estrutura
Tese apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Doutor pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada.
Deane de Mesquita Roehl Orientadora
Departamento de Engenharia Civil – PUC-Rio
Celso Romanel Co-Orientador
Departamento de Engenharia Civil – PUC-Rio
Raul Rosas e Silva Departamento de Engenharia Civil – PUC-Rio
Giuseppe Barbosa Guimarães
Departamento de Engenharia Civil – PUC-Rio
Pedro Colmar Gonçalves da Silva Vellasco Departamento de Engenharia Civil – UERJ
Luiz Eloy Vaz
Escola de Engenharia – UFRJ
Prof. José Eugênio Leal Coordenador Setorial do Centro Técnico Científico – PUC-Rio
Rio de Janeiro, 17 de dezembro de 2008
Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução
total ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, da autora e do orientador.
Nelly Piedad Rubio Rubio
Graduada em Engenharia Civil pela Universidade do Estado do Rio de Janeiro (UERJ/RJ) em 1997. Em 2000, obteve o título de Mestre em Engenharia Civil, na área de Estruturas, na PUC-Rio, com dissertação desenvolvida na linha de pesquisa de Comportamento Inelástico de Materiais e Estruturas. Em janeiro de 2005 passou a formar parte da equipe Grupo de Engenharia e Tecnologia de Petróleo (GTEP/PUC-Rio), e na linha de Estabilidade de Poços e Modelagem Geomecânica vem desenvolvendo trabalhos de Pesquisa, Desenvolvimento e Suporte.
Ficha Catalográfica
CDD: 624
Rubio Rubio, Nelly Piedad
Estudo de dutos enterrados considerando a
interação solo-estrutura / Nelly Piedad Rubio Rubio ;
orientadores: Deane de Mesquita Roehl, Celso
Romanel. – 2008.
120 f. : il. ; 30 cm
Tese (Doutorado em Engenharia Civil)–Pontifícia
Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de
Janeiro, 2008.
Inclui bibliografia.
1. Engenharia civil – Teses. 2. Problema de
contato com atrito. 3. Método da penalidade. 4. MEF.
5. Dutos enterrados. 6. Interação solo-estrutura. I.
Roehl, Deane de Mesquita. II. Romanel, Celso. III.
Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
Departamento de Engenharia Civil. IV. Título.
Agradecimentos
A Deus, que me trouxe aqui e que me acompanhou em todos os momentos.
À Prof. Orientadora Deane Roehl, pelos ensinamentos transmitidos, pelo
incentivo e suporte na pesquisa.
Ao Prof. Celso Romanel, pela contribuição na elaboração do trabalho.
Ao Prof. Sergio A. B. da Fontoura pelo apoio, incentivo e motivação.
Ao CNPq, e a PUC-Rio pelo apoio financeiro.
À minha família no Peru: meus pais Luis y Nelly, irmãos e sobrinhos, pelo
amor incondicional sempre. Vocês são especiais demais na minha vida!
À minha familia no Brasil: a familia Tyrrell Rubio, pelo carinho e amparo, em
todos os momentos desde que cheguei ao Brasil.
Aos todos meus colegas e amigos do GTEP/PUC-Rio, em especial: Olga
Carvajal e Bruno Holzberg amigos muito queridos com que partilhei momentos
para sempre.
Aos amigos da PUC, em especial: Isabelle, Luciana, Ciro, Walter, Joabson,
Flâvio, Ataliba e Ana Julia, Paôla, Michele, Emiliana, Cyntia, Luis e Maristâni,
pelos momentos inesquecíveis partilhados.
Aos amigos da Pastoral da PUC, em especial: Pe. Emmanuel, Helena, Juliana,
Ir. Graça e Fernanda. Muito obrigada pela força e pelas suas orações.
A todos os Professores do DEC/PUC-Rio, pelos ensinamentos transmitidos.
Aos meus familiares e amigos do Peru pelo carinho e incentivo.
Aos funcionários da Secretária da Pós do DEC pela disponibilidade, em
especial: Ana Roxo, Rita, Cristiano, Lenilson e Fátima.
A todos os colegas da Pós pelos momentos partilhados.
Aos professores da Comissão Examinadora.
A todos os que me ajudaram nesta caminhada.
Resumo
Rubio, Nelly Piedad Rubio. Roehl, Deane de Mesquita; Romanel, Celso
(Orientadores). Estudo de dutos enterrados considerando a interação
solo-estrutura. Rio de Janeiro, 2008. 120 p. Tese de Doutorado -
Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio
de Janeiro.
Esta pesquisa tem como objetivo o desenvolvimento de uma metodologia
com base no método de elementos finitos para o estudo do problema de contato
com atrito que surge na interação solo-duto no comportamento de dutos
enterrados. O tratamento das restrições de contato e a incorporação da lei do atrito
(tipo Coulomb) é feita através do Método da Penalidade, tomando como
referencia o trabalho de Laursen & Simo (2002), onde as restrições de contato são
impostas de maneira aproximada com o uso de parâmetros de penalidade para as
forças normal e tangencial no contato. As relações cinemáticas são descritas em
termos de uma função diferenciável da distancia entre os corpos (gap). Para a
discretização são empregados elementos hexaedricos de 8 nós com uma
formulação híbrida - Enhanced Assumed Strain (EAS) e os efeitos de
comportamento não-linear dos materiais envolvidos são considerados na presença
de grandes deslocamentos e grandes deformações. A teoria da plasticidade é
utilizada para modelar a natureza não-linear das relações constitutivas do duto.
Aplicações considerando o problema de contato com atrito que surge na interação
solo-duto são apresentadas.
Palavras-chave
Problema de contato com atrito; método da Penalidade; Método dos
Elementos Finitos; dutos enterrados; interação solo-estrutura.
Abstract
Rubio, Nelly Piedad Rubio; Roehl, Deane de Mesquita; Romanel, Celso
(Advisors). Design of buried pipelines considering the reciprocal soil-
structure interaction. Rio de Janeiro, 2008. 120 p. Tese de Doutorado –
Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio
de Janeiro.
This research aims the development of a methodology based on the finite
element method for 3D frictional contact problems such as the frictional contact
problem that arises from the soil-pipe interaction of buried pipelines. The
treatment of the contact restrictions and the incorporation of the friction law of the
Coulomb type are carried out through a penalty method, where the contact
restrictions are imposed in an approximated manner using penalty parameters for
both normal and tangential forces. The cinematic relations are established in terms
of the diferential function of the gap between bodies. Hexahedral eight-node
elements are employed based on the Enhanced Assumed Strain (EAS) concept
and the effects of the non-linear behavior of the materials are considered in
presence of large displacements and large deformations. The theory of plasticity is
used to model the non-linear nature of the constitutive relations of the pipe.
Applications are presented considering the frictional contact problem that arises
on the interaction surfaces of a buried structure such as an oil pipeline.
Keywords
Frictional contact problem; penalty method; finite element method; buried
pipelines; soil-structure interaction.
Sumário
1 INTRODUÇÃO 18
1.1 Definição do Problema 18
1.2 Motivação 19
1.3 Justificativa 20
1.4 Objetivo 21
1.5. Estrutura da Tese 21
2 CONSIDERAÇÕES SOBRE O PROJETO ESTRUTURAL DE DUTOS
ENTERRADOS 23
2.1 Introdução 23
2.2 Pressão Interna 26
2.3 Transporte/Instalação 27
2.4 Deformações do Anel 29
2.5 Deflexão do anel devido à pressão interna 31
2.6 Pressão Vertical do solo (P) 31
2.7 Resistência do solo 32
2.8 Mecanismos do Duto 32
2.8.1 Análises longitudinais 33
2.8.2 Análise do anel: tensão, deformação e estabilidade 33
2.9 Mecanismos Longitudinais 35
2 3 MODELOS DE INTERAÇÃO SOLO-DUTO 36
3.1 Introdução 36
3.2 Modelos Propostos na Literatura 37
3.2.1 Modelo de Selvadurai & Pang (1998)6 37
3.2.2 Modelo de Zhou & Murray (1993, 1996)7,8,9 37
3.2.3 Modelo de Rajani, Robertson & Morgenstern(1995)10 38
3.2.4 Modelo de Veiga, Romanel & Roehl (2000)11 38
3.2.5 Modelo de Lim, Kim, Kim & Jang (2001)12 39
3.2.6 Modelo de Mandolini, Minutolo e Ruocco (2001)13 40
3.2.7 Modelo de Mejia & Roehl (2003)14 40
3.2.8 Modelo de Souza, Guimarães & Roehl (2004)15 41
3.2.9 Modelo de Lazaro, Hecke, Roehl & Machado (2004)16 41
3.2.10 Modelo de Souza, Hecke, Roehl & Machado (2005)17 42
3.2.11 Modelo de Coelho & Roehl (2007)18 43
3.2.12 Modelo de Teixeira & Romanel (2008)19 43
3.3 Comentários Finais 44
4 MODELOS PARA O PROBLEMA DE CONTATO 47
4.1 Introdução 47
4.2 Modelos Propostos na Literatura 49
Modelo de Lee & Kwak43 49
Modelo de Simo, Wriggers & Taylor44 49
Modelo de Nour-Omid & Wriggers45 49
Modelo de Klarbring46 50
Modelo de Fisher & Melosh47 50
Modelo de Kwak & Lee63 50
Modelo de Gakwaya & Lambert64 50
Modelo de Laursen48,50 - Laursen & Simo49 50
Modelo de Björkman76 50
Modelo de Kwak62 51
Modelo de Changming & Yongjie52 51
Modelo de Peric & Owen53 51
Modelo de Klarbring & Bjorkman65 51
Modelo de Heegaard & Curnier54 51
Modelo de Lee, Kwak & Kwon66 51
Modelo de Kim & Kwak77 52
Modelo de Hongwu, Wanxie & Yuanxian78 52
Modelo de Garrido & Lorenzana67 52
Modelo de Liolios, Pitilakis & Yeroyianni68 52
Modelo de Guyot, Kosior & Maurice79 52
Modelo de Pietrzak & Curnier57 52
Modelo de Ferreira & Roehl58,80 53
Modelo de Bandeira59 53
4.3 Modelo Proposto 53
5 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DE CONTATO COM ATRITO 55
5.1 Formulação Continua do Problema de Contato 55
5.1.1 Notação 55
5.1.2 Restrições de contato normal 56
5.1.3 Contato com atrito 58
5.1.4 Método da Penalidade 62
5.1.5 Algoritmos para mapeamento de retorno do atrito 63
5.1.6 Formulação Variacional do Problema de Contato 65
5.2 Implementação da Formulação em Elementos Finitos: Método
da Penalidade 70
5.3 Fluxograma do Método da Penalidade: PC com atrito 77
6 APLICAÇÕES 79
6.1 EXEMPLOS DE VALIDAÇÃO 80
6.1. 1 BLOCO ELÁSTICO com L>>H 80
Solução Numérica: Método de Penalidade considerando contato com atrito 84
6.1. 2 LIGAÇÃO DE PLACA DE EXTREMIDADE 87
6.1. 3 PUNÇÃO ELÁSTICA DE UM BLOCO SOBRE UMA FUNDAÇÃO
RÍGIDA 91
6.1. 4 DESLIZAMENTO DE UM BLOCO ELÁSTICO 93
6.2 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO 95
6.2.1 DUTO ENTERRADO 95
6.2.2 INTERAÇÃO SOLO-DUTO DE UM DUTO ENTERRADO QUE
ATRAVESSA UMA ENCOSTA 98
Modelagem do Duto 98
Modelagem Sistema Solo-Duto 103
7. CONCLUSÕES E SUGESTÕES 111
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 114
Lista de Figuras e Tabelas
Figura 2.1 – Esquema da definição da seção transversal de dutos enterrados 24
Figura 2.2 – Possíveis limites de execução do sistema solo-duto1 24
Figura 2-3 – Limites de Execução do duto enterrado devido à pressão
externa do solo1 25
Figura 2.4 - Diagrama de corpo livre da seção transversal (metade)
incluindo pressão interna 27
Figura 2.5 – Cargas mais comuns nos dutos devido ao transporte/instalação1 28
Figura 2.6 - Diagramas de corpo livre do duto: rígido e flexível sujeito à
força F. 28
Figura 2.7 - Diagrama de corpo livre da seção transversal (metade)
incluindo pressão externa 29
Figura 2.8 – O círculo imaginário como um anel flexível 30
Figura 2.10 – Pressão vertical do solo no nível do topo de um duto
enterrado (P) 32
Figura 2.11 – Comparação da análise de tensão: coluna curta x anel de duto 34
Figura 2.12 – Colapso de um anel circular flexível devido à pressão
externa baseado na rigidez do duto 35
Figura 5.1 – Notação das deformações finitas do Problema de Contato
com atrito 56
Figura 5.2 – Definição da função de folga (“gap”) 57
Figura 5.3 – Parametrizações das superfícies de contato )2(
Γ e )2(
γ 58
Figura 5.4 – Definição do ponto escravo e da superfície mestre em 3D 72
Figura 5.5 – Fluxograma do Método da Penalidade: PC com atrito 78
Figura 6.1 – Definição do problema do bloco elástico L>>H 80
Figura 6.2 – Tensões atuando no elemento infitesimal 81
Figura 6.3 – Comportamento Constitutivo do elemento de interface:
tensão cisalhante versus deslocamento de cisalhamento relativo 82
Figura 6.4 – Deslocamentos Horizontais na interface obtidos com a
formulação analítica 84
Figura 6.5 - Discretização da malha em elementos finitos para o problema
bloco L>>H 85
Figura 6.6 - Deslocamentos Horizontais na Interface obtidos na
Formulação Analítica e na Formulação desenvolvida (CARAT 3D) 86
Figura 6.7 - Deslocamentos na interface CARAT versus
Hird & Russell: diferentes níveis de carregamento 86
Figura 6.8 - Detalhe da zona de contato e o carregamento no plano89. 87
Figura 6.9 – Características geométricas do modelo reduzido89 88
Figura 6.10 – Comparação dos resultados das análises experimental de
Rother et al. E a análise numérica com CARAT 3D com elementos
Hexa8-E3. 89
Figura 6.11 – Deformada da ligação de placa de extremidade no
instante final (maximização em 25 vezes) 89
Tabela 6.1 – Variação de parâmetros de penalidade nas análises realizadas 90
Figura 6.12 – Comparação dos resultados das análises experimental de
Rother et al. e as análise numérica com CARAT 3D com elementos
Hexa8-E3 para diferentes parâmetros de penalidade normal e tangencial
(pn e pt respectivamente). 90
Figura 6.13 – Geometria do bloco sobre uma fundação rígida90,91,92. 91
Figura 6.14 – Discretizacção em elementos finitos do bloco sobre uma
fundação rígida. 92
Figura 6.15 – Geometria do Bloco Elástico sobre uma Fundação
Rígida49,50,93,94 93
Figura 6.16 – Deslocamentos tangenciais na interface de contato com
atrito 0.5 94
Figura 6.17 – Deformada do bloco elástico devido ao carregamento aplicado 94
Figura 6.18 – Geometria do Sistema Solo-Duto 96
Figura 6.19 - Malha em Elementos Finitos do Sistema Solo-Duto
(365 elementos Hexa8-E3) 96
Figura 6.20 - Campo de Deslocamentos DX (eixo horizontal) no sistema
solo-duto 97
Figura 6.21 - Campo de Deslocamentos DY (eixo vertical) no sistema
solo-duto 97
Figura 6.22 - Esquema da linha de duto e as suas condições de contorno 98
Figura 6.23 - Discretização da malha em elementos finitos do duto 100
Figura 6.24 – Curva fator carga versus deslocamento (vertical) para
o nó localizado no comprimento 2.5 m da linha de duto. 101
Figura 6.25 - Campo de deslocamento DX devido a uma pressão
interna equivalente a 9.0 MPa: elemento HEXA8 101
Figura 6.26 - Campo de deslocamento DX devido a uma pressão
interna equivalente a 9.0 MPa: elemento HEXA8-E3 101
Figura 6.27 - Campo de deslocamento DY devido a uma pressão
interna equivalente a 9.0 MPa: elemento HEXA8 102
Figura 6.28 - Campo de deslocamento DY devido a uma pressão
interna equivalente a 9.0 MPa: elemento HEXA8-E3 102
Figura 6.29 - Campo de deslocamento DZ devido a uma pressão
interna equivalente a 9.0 MPa: elemento HEXA8 102
Figura 6.30 - Campo de deslocamento DZ devido a uma pressão
interna equivalente a 9.0 MPa: elemento HEXA8-E3 102
Figura 6.31 – Tensões de von Mises devido a uma pressão interna
equivalente a 9.0 MPa: elemento HEXA8 103
Figura 6.32 – Tensões de von Mises devido a uma pressão interna
equivalente a 9.0 MPa: elemento HEXA8-E3 103
Tabela 6.1 – Carregamento solicitado pelo duto por trechos. 103
Figura 6.33 - Discretização da malha em elementos finitos do duto 104
Tabela 2 – Variação de deslocamentos (em mm) nos nós de contato em
função da variação de coeficiente de atrito para μ =0.1 e μ =0.3. 105
Figura 6.34 – Tensões Von Mises, na configuração final, considerando o
sistema solo-duto, para μ =0.6: Vistas 1 e 2. 106
Figura 6.35 – Tensões longitudinais, na configuração final,
considerando o sistema solo-duto, para o caso μ =0.6. 107
Tabela 6.3 – Verificação de Modelo do Solo: Critério de Falha
Mohr-Coulomb 3D. 108
Figura 6.36 – Tensões Von Mises, no sistema solo-duto, para a
configuração final de carregamento com parâmetros de penalidade:
εN=103 e εT= 102 e coef. de atrito μ=0.6. 109
Lista de Símbolos
( )i Posição corrente da superfície de contorno
( )i Superfícies dos contornos dos corpos i
k
cΦ Vetor das variações nodais correspondente ao ponto k da quadratura
Redução do diâmetro D devido à forca F
k
cΦ Vetor dos valores nodais de hu
r Acréscimo do raio devido à pressão interna
D Acréscimo do raio devido à pressão interna
Deformação
N Penalidade normal
T Penalidade tangencial
b
T
b
T
t
t Taxa de deslizamento
Coeficiente de atrito
Variável do domínio paramétrico
Tensão circunferencial
1
)(a Valor nodal de h)1(
i
t Configuração no tempo t do corpo (i)
_)(i
t Deslocamento prescrito
)i(
tΨ Serie de mapeamentos indexados pelo tempo t
i Configuração inicial do corpo deformável (i)
A Seção transversal do duto
Bi Definição do corpo deformável (i)
d Deflexão do anel (percentagem)
D Diâmetro médio do duto
E Módulo de Elasticidade
αE ξ Base para )2(Γ
αe ξ Base para )2(
F Carga diametral atuante no duto durante o transporte e instalação
)2(
tF Gradiente de deformação correspondente a )2(
,g tX Função de folga (“gap”)
,g t
X Derivada da Função de folga (“gap”)
Tg Função de folga tangencial
),(*
)()()( ii
t
iG Soma do trabalho virtual interno e o trabalho virtual das forças
aplicadas no corpo )(i
)(gH Função Heaviside
ID Diâmetro interno
kj η Jacobiano da transformação em relação ao domínio de referência
k
cK Matriz de rigidez de contato
NcK Rigidez normal
tcK Rigidez tangencial
b
TvL t Derivada de Lie
M Métrica na configuração inicial
m Métrica na configuração corrente
ηaN Função de forma isoparamétrica padrão
intn Número de pontos de integração para a superfície de cada elemento
)()1(
0 Xn Normal a X na configuração de referência
P Pressão vertical total do solo no topo do duto (pressão externa)
)´(IDP Força máxima de ruptura
´P Pressão interna
dP Peso do solo no topo do duto
lP Cargas correspondentes às cargas da superfície
),()1( tXP Primeiro tensor de Piola-Kirchhoff em X
)1(tP Projeção de )1(t no plano tangente associado
r Raio médio do duto
cR Vetor residual
k
cR Vetor residual para o ponto k da quadratura
S Força de escoamento
sf Fator de segurança
t Espessura da parede do duto
(1) ( , )tt X Força superficial de contato
),( ttN X Pressão normal de contato em X
( , )b
T tt X Força superficial de atrito na base dual
_)(i
tt Força superficial prescrita
T e t Vetores tangentes (particularização das bases para o ponto _
ξ )
T Base co-variante ou tangente
T Base contra-variante
ν Normal externa a )1( em )()1(
Xx t
tVT ,X Velocidade tangencial relativa
tb
T ,Xv TV na base dual, na configuração corrente
kW Peso da quadratura correspondente ao ponto local da quadratura k
X Representação dos pontos de )(1 na configuração inicial
x Representação dos pontos de )(1 na configuração corrente
Y Representação dos pontos de )( 2 na configuração inicial
y Representação dos pontos de )( 2 na configuração corrente
1 INTRODUÇÃO
1.1 Definição do Problema
Dutos enterrados de longas extensões são largamente empregados no
transporte de óleo, gás natural, entre outros produtos. Ao contrário dos dutos
aéreos, a análise estrutural, projeto e avaliação de risco nos dutos enterrados
devem considerar a interação recíproca que existe entre o duto flexível e o solo
circunvizinho. Esta interação pode ser considerada pelo efeito das cargas de
serviço, tais como a expansão do duto devido à temperatura e à pressão interna,
as cargas de origem geotécnica tais como recalque da superfície do terreno,
construções de aterros, variação do nível freático, ocorrência de sismos,
empolamento devido a congelamento, além da ação de cargas externas tais como
cargas de tráfego ou funcionamento de máquinas.
Para avaliar o problema de interação solo-duto, para o caso de recalque do
solo, uma série de fatores deve ser levada em conta: a resposta mecânica do solo
circunvizinho ao duto, o comportamento mecânico do duto, a resposta mecânica
da interface solo-estrutura, a geometria e a orientação do duto em relação ao
recalque do solo, as características gerais do terreno onde o duto é localizado.
Para os dutos enterrados cobrindo longas distâncias é necessário fazer as
devidas considerações para as prováveis variações e incertezas que são associadas
com a distribuição espacial das propriedades do solo.
Uma grande variedade de procedimentos analíticos e computacionais pode
ser aplicada na análise do problema de interação solo-duto, desde modelos
simplificados do comportamento do solo que representam a resposta do solo em
termos de elementos discretos unidimensionais de mola, a modelos mais
complexos que representam uma resposta contínua em três dimensões do solo.
Considerações similares aplicam-se ao modelo da resposta estrutural do duto. Em
abordagens elementares, o duto é modelado como uma viga flexível que possui
rigidez de flexão, axial, de cisalhamento e de torção. Em abordagens mais
Capítulo 1 - Introdução
19
avançadas, o duto é modelado como uma casca cilíndrica que possui uma relação
tensão-deformação não-linear.
Um aspecto importante que deve ser considerado no estudo de dutos
enterrados é o tratamento da interface solo-duto. A modelagem da estrutura
considerando o fenômeno de atrito proveniente do contato entre o duto e o solo
circunvizinho torna-se necessária. Alguns modelos de elementos finitos
desenvolvidos adotam que o solo e o duto são solidários durante a deformação1
enquanto que outros modelos adotam que pode existir uma separação entre o solo
e o duto após a deformação2, 3,4.
1.2 Motivação
O sistema de dutos é o meio mais seguro e econômico de transporte e
contribui para aumentar a segurança nas estradas e diminuir a poluição causada
pelo tráfego pesado das carretas. Portanto, investir na ampliação, modernização e
na confiabilidade da malha dutoviária brasileira é fundamental para atender às
necessidades e exigências cada vez maiores da população. Entre os dutos que dão
suporte a setores de grande importância para o país destacam-se:
a) na indústria petrolífera, com atividades de exploração, refino e
transporte de petróleo e seus derivados: os oleodutos da
PETROBRAS: Caxias-Santa Cruz-Volta Redonda, Caxias-Angra
dos Reis, Paraná-Santa Catarina, Araucária-Paranaguá, São
Sebastião-Paulínea, Rio-Belo Horizonte, Sergipe-Alagoas, Macaé-
Caxias, Vale do Paraíba-Utinga, Suzano-Guarulhos, Estreito-
Guamaré, Serraria-Estreito, Urucu-Coari e outros.
b) no setor energético, especialmente com as usinas nucleares de
Angra I e II, os dutos para abastecimento de água e gás: tubulações
enterradas das Usinas Nucleares ANGRA I e II e das Usinas
Termoelétricas a Gás de Uruguaiana (CONSÓRCIO PROMON-
MPE-EBE) e Cuiabá (ENRON).
c) gasodutos de Transporte Sergipe-Alagoas, Macaé-Caxias, Sergipe-
Bahia, Furado- Robalo, do Nordeste, Rio-São Paulo, Tabuleiro dos
Martins-Salgema, Urucu-Coari, Guamaré-Fortaleza
Capítulo 1 - Introdução
20
(PETROBRAS), Gasoduto Bolívia-Brasil (TBG) e Gasodutos
Urbanos de Ponta Grossa (COMPAGAS), Campo Largo
(COMPAGAS), Araucária e Curitiba (COMPAGAS), Tijucas
(SCGAS), Canoas (SULGAS), Gravataí (SULGAS), Itaboraí
(CEG), Barra Mansa (CEG), Campos (CEG), São Paulo
(COMGAS) e outros.
A produção de petróleo e o consumo de derivados estão crescendo cada vez
mais e é preciso que o cuidado com o transporte desses produtos acompanhe esse
crescimento.
A construção de termelétricas por todo o território nacional é a principal
alternativa para minimizar o déficit de energia elétrica. Isto representaria uma
maior participação do gás na matriz energética brasileira e, conseqüentemente,
maior consumo de gás transportado por novos gasodutos.
Devido à sua importância econômica e ambiental, e aos riscos envolvidos
com o dano de tais dutos, o objeto principal desta pesquisa é o estudo do
comportamento de dutos enterrados considerando efeitos de interação solo-
estrutura.
Nos sistemas mencionados são as atividades de inspeção e manutenção de
grande relevância visto que a interrupção de uma linha pode ocasionar prejuízos
elevados. Em casos extremos a ruptura total ou parcial de dutos pode levar a
graves acidentes de trabalho ou ambientais. Destaca-se ainda que alguns dos
sistemas de dutos de petróleo, bem como os da Usina de Angra I são, dado o seu
tempo de operação, fortes candidatos a apresentarem defeitos por corrosão e dano
do material. Assim, atualmente um dos desafios a ser superado é aumentar a vida
útil da malha de dutos existentes (40% dos oleodutos da Petrobrás).
1.3 Justificativa
A pesquisa do comportamento de dutos enterrados é importante para o
avanço dos conhecimentos básicos do problema, principalmente nos aspectos
envolvendo efeitos de interação solo-duto, flambagem, atrito, desgaste, grandes
deslocamentos (deformações), enrugamento e corrosão no comportamento
mecânico da estrutura, tendo, portanto grande relevância científica.
Capítulo 1 - Introdução
21
Tendo em vista os significativos investimentos que o país tem realizado e
pretende realizar nos próximos anos na construção de extensas dutovias para
transporte de óleo e gás entre eles o Gasoduto Bolívia-Brasil, empreendimento
destinado ao transporte de gás natural proveniente da Bolívia até os Estados de
Mato Grosso do Sul, São Paulo, Rio de Janeiro, Minas Gerais, Paraná, Santa
Catarina e Rio Grande do Sul, totalizando cerca de 3.000 km de extensão. No
Mato Grosso do Sul sua extensão será de 702 km, em sua maior parte próxima à
linha da rodovia BR 262, que liga o município de Corumbá ao de Três Lagoas.
Tendo em vista os acidentes envolvendo vazamentos em dutos enterrados (na baía
de Guanabara, no Rio de Janeiro, em janeiro de 2000; na Refinaria de Araucária,
no Paraná, em julho de 2000; na Serra do Mar, no Paraná, em 2001 e 2008), o
estudo também se justifica sob os pontos de vista de interesse social, econômico e
de conservação ambiental.
1.4 Objetivo
Este projeto tem como objetivo o desenvolvimento de uma metodologia
para o estudo do comportamento estrutural de dutos enterrados com base no
método dos elementos finitos e através da formulação matemática do problema de
contato com atrito. Neste estudo são considerados os efeitos de comportamento
não linear dos materiais envolvidos, a presença de grandes deslocamentos e
grandes deformações e a modelagem do contato considerando o fenômeno de
atrito entre o duto e o solo circunvizinho para representar a interação solo-
estrutura.
1.5. Estrutura da Tese
A tese é compreendida pelos capítulos especificados a seguir:
Capitulo 2: Considerações para o Projeto Estrutural de Dutos enterrados;
apresenta os aspectos considerados no projeto e análise de dutos enterrados
especificados em códigos e normas.
Capitulo 3: Modelos de Interação Solo-Duto. São apresentados modelos
propostos na literatura internacional6,7,8,9,10,12,13, para a análise de problemas de
Capítulo 1 - Introdução
22
interação solo-duto. Também são apresentados modelos propostos em pesquisas
realizadas pela PUC-Rio11,14,15,16,17 e em trabalhos desenvolvidos em parceria
entre a Universidade Federal do Paraná e a PUC-Rio como parte do projeto:
Análise do Comportamento Estrutural e Geotécnico de Dutos Enterrados
coordenado pela PUC-Rio com colaboração da UFPR16,17 e da UENF.
Capitulo 4: Modelos para o Problema de Contato. Neste capítulo são
apresentados modelos de contato da literatura. O modelo proposto para o
problema de contato é apresentado
Capítulo 5: Formulação do Problema de Contato com Atrito. Neste capítulo
apresentam-se: a formulação contínua e o procedimento utilizado para a solução
do problema de contato com atrito -método da Penalidade- adotado para a solução
deste problema e a sua implementação em elementos finitos.
Capítulo 6: Aplicações: São apresentadas exemplos da literatura com intuito
de verificar a adequação do método proposto para a solução do problema de
contato com atrito. Finalmente, aplica-se a metodologia à análise de dutos
enterrados para a investigação dos efeitos da interação solo-duto.
Capítulo 7: Conclusões e Sugestões: Elaboram-se neste capítulo as
principais questões levantadas pelo presente estudo e as suas conclusões
Referências Bibliográficas.
2 CONSIDERAÇÕES SOBRE O PROJETO ESTRUTURAL DE DUTOS ENTERRADOS
2.1 Introdução
Para o apoio ao projeto de dutos enterrados são desenvolvidos códigos
(normas) e especificações para o sistema solo-duto de tal forma que em
funcionamento a estrutura não atinja os limites de execução. A Figura 2.1
apresenta a definição da seção transversal de um duto enterrado.
O limite de execução1 é a deformação sob a qual o sistema solo-duto não
atende mais o propósito para o qual foi projetado. Pode ser uma deformação no
solo, tais como inclinação, curvatura ou fratura na superfície do solo sobre o duto,
de tal forma que a deformação é inaceitável. A inclinação e a curvatura dependem
do adensamento relativo tanto do solo diretamente sobre o duto como do solo nas
laterais (ver Fig. 2.2).
Freqüentemente, o limite de execução é a deformação excessiva do duto que
ocasiona vazamentos ou restringe a capacidade de fluxo. Se o duto colapsa devido
ao vácuo interno ou à pressão hidrostática externa, a interrupção do fluxo é
necessária. Por outro lado, se a deformação ocasiona uma pequena deflexão no
duto (ovalização do duto), geralmente a restrição do fluxo não é significante. Por
exemplo se a seção transversal do duto fletir para uma elipse de tal forma que a
diminuição do menor diâmetro é 10% do diâmetro circular original, a diminuição
na área da seção transversal é de somente 1%.
Capítulo 2 – Considerações sobre o Projeto Estrutural de Dutos Enterrados
24
PAREDE DA TRINCHEIRA
EMBUTIMENTO
EXCAVAÇÃO
SUPERF. DE ACAMAMENTO
FUNDAÇÃO
SOLO IN SITU LARGURA DA TRINCHEIRA
LENÇOL FREÁTICO
Figura 2.1 – Esquema da definição da seção transversal de dutos enterrados
TOPO DO DUTO
LINHA CENTRAL
ÁREA DO ARCO
COROA
BASE
INVERSO
DIÂMETROS
ESPESSURA DA PAREDE
Figura 2.2 – Possíveis limites de execução do sistema solo-duto1
FRATURA INCLINAÇÃO CURVATURA
Capítulo 2 – Considerações sobre o Projeto Estrutural de Dutos Enterrados
25
O limite de execução mais comum para um duto é a deformação na qual o
duto não pode resistir a qualquer acréscimo de carga. O mais óbvio é o caso do
rompimento de um duto devido à pressão interna e o menos óbvio e mais
complicado é a deformação devido à pressão externa do solo. Na Fig. 2.3
mostram-se exemplos de limites de execução para o duto. Estes limites de
execução não implicam em colapso ou ruína. É possível que, o solo absorva
qualquer acréscimo de carga pela ação de arqueamento ao duto, protegendo assim
o duto do colapso total. O duto pode até mesmo continuar em serviço, mas
geralmente não se considera explicitamente a ação do solo para preservar a seção
transversal do duto. Qualquer contribuição do solo para resistir a pressões
externas pela ação de arqueamento é tratada como uma reserva de segurança.
SOLO DENSO
FLAMBAGEM DA PAREDE ESMAGAMENTO DA PAREDE
DUTO RÍGIDO DUTO FLEXÍVEL
SOLO MOLE
DEFLEXÃO DO DUTO RACHADURAS OU
RÓTULAS PLÁSTICAS
Entre 10:00 e 2:00 h Em
9:00 e 3:00 h
Inversão na coroa Se possível
rachaduras
rótulas
Figura 2-3 – Limites de Execução do duto enterrado devido à pressão externa do solo1
No projeto estrutural de dutos enterrados são considerados os estados a
seguir: a) resistência à pressão interna, isto é, resistência dos materiais e a
espessura mínima da parede do duto; b) resistência para o transporte e instalação,
isto é, máxima carga admissível no duto; c) resistência à pressão externa e ao
Capítulo 2 – Considerações sobre o Projeto Estrutural de Dutos Enterrados
26
vácuo interno, isto é, a rigidez do anel e a resistência do solo; d) deflexão do anel,
isto é rigidez do anel e a rigidez do solo; e) tensões longitudinais e deflexões; f)
verificações adicionais referentes à flutuação do duto, cargas de construção,
técnicas de instalação, etc.
Os primeiros três estados lidam com a resistência às cargas. Cargas no duto
enterrado podem ser complexas, especialmente quando acontece a ovalização do
duto. A análise pode ser simplificada se adotada uma seção transversal como
circular. Para dutos rígidos, a deflexão é desprezível. Para dutos flexíveis, as
deflexões do anel são geralmente limitadas a vários valores não maiores que 5%.
2.2 Pressão Interna
Para o cálculo da menor área da parede do anel por unidade de
comprimento, considera-se o diagrama de corpo livre da metade do duto com
pressão interna devido ao fluido (ver Fig. 2.4). A força máxima de ruptura é
, onde é a pressão interna e )´(IDP ´P ID é o diâmetro interno. Esta força de
ruptura é resistida pela tensão de tração na parede do duto. Igualando a força de
ruptura e a força resistente, onde A é a seção transversal do duto, obtém-se:
( )2
P IDA
σ =
(2.1)
O limite de execução é atingido quando a tensão σ é igual à força de
escoamento . Para o projeto, a força de escoamento da parede do duto é
reduzida pelo fator de segurança . Assim,
S
sf
´( )2
P ID SA s
σ = =f
(2.2)
Esta é a equação básica para o projeto do duto para resistir a pressão interna.
Aplica-se com adequada precisão a dutos de parede fina, onde a razão 0D t >> ;
onde é o diâmetro médio e t é a espessura da parede do duto. D
Capítulo 2 – Considerações sobre o Projeto Estrutural de Dutos Enterrados
27
FORÇA DE RUPTURA = P(ID)´
Figura 2.4 - Diagrama de corpo livre da seção transversal (metade) incluindo pressão
interna
2.3 Transporte/Instalação
A carga mais comum imposta ao duto durante o seu transporte e instalação é
a carga diametral . Esta carga ocorre quando os dutos são empilhados ou
quando o solo é compactado nas laterais ou no topo dos dutos (ver Fig. 2.5).
F
FORÇA RESISTENTE
PRESSÃO INTERNA = P´
ID
σAσA
EMPILHAMENTO DOS
DUTOS
CARGA F
CARGA F
DEFLEXÃO DO ANELd = Δ/D
CARGA F DEVIDO À COMPACTAÇÃO DO
SOLO
Capítulo 2 – Considerações sobre o Projeto Estrutural de Dutos Enterrados
28
Figura 2.5 – Cargas mais comuns nos dutos devido ao transporte/instalação1
Se a tensão de escoamento do material é excedida devido à carga , o duto
pode fissurar ou a seção transversal do duto deformará de forma permanente
podendo uma dessas situações ser inaceitável. Os fabricantes de dutos limitam a
carga em função da deflexão máxima admissível do anel,
F
F
dDΔ
=
(2.3)
onde é a redução do diâmetro devido à carga . Δ D F
Assim, duas análises são necessárias para o transporte e instalação, com
dois limites de execução: força de escoamento e deflexão do anel (ver Fig. 2.6).
Em geral, a força de escoamento é limitante para dutos rígidos (dutos de concreto)
e a deflexão do anel para dutos flexíveis (ver Fig. 2.7).
RÓTULA
FISSURA
Figura 2.6 - Diagramas de corpo livre do duto: rígido e flexível sujeito à força F.
PRESSÃO EXTERNA P
FORÇA DE COLAPSO P(OD)
FORÇA DE RESISTÊNCIA
(OD)
Capítulo 2 – Considerações sobre o Projeto Estrutural de Dutos Enterrados
29
Figura 2.7 - Diagrama de corpo livre da seção transversal (metade) incluindo pressão
externa
2.4 Deformações do Anel
A deformação no anel do duto ocorre sob qualquer carga. Para a maioria das
análises de dutos enterrados, esta deformação é tão pequena que pode ser
desprezada. Porém, para algumas análises a deformação do anel tem que ser
considerada. Este é o caso da instabilidade do anel, o colapso hidrostático do duto
devido ao vácuo interno ou pressão externa. O colapso pode ocorrer mesmo que a
tensão não tenha atingido a tensão de escoamento, mas ele pode ocorrer quando o
anel se deforma. Análises de colapso requerem um conhecimento da seção
transversal do anel deformado.
Para pequenas deflexões do anel de um duto circular enterrado, a seção
transversal defletida é uma elipse. Considerando-se um meio infinito (solo) com
um círculo imaginário, se o solo é compactado (deformado) uniformemente numa
direção, o círculo torna-se uma elipse. Supondo que esse círculo imaginário seja
um anel flexível, quando o solo é compactado, o anel deflete com a forma
aproximada de uma elipse com pequenos desvios. Se a circunferência do anel
permanece constante, a elipse tem que se expandir para fora, dentro do meio,
aumentando as tensões compressivas entre o anel e o meio e assim o anel torna-se
um ponto rígido no meio. Por outro lado, se a circunferência do anel é reduzida, o
anel torna-se um ponto frágil e a pressão de contato entre o anel e o solo é
diminuída. Em qualquer caso, a deformação básica de um anel enterrado é uma
elipse com pequenas modificações relativas às diminuições nas áreas dentro ou
fora do anel. A seção transversal é também afetada pela não uniformidade do solo
(como mostrado na Fig. 2.8).
Capítulo 2 – Considerações sobre o Projeto Estrutural de Dutos Enterrados
30
Figura 2.8 – O círculo imaginário como um anel flexível
CÍRCULO IMAGINÁRIO SOLO
DEFORMAÇÃO VERTICAL NO SOLO= Δ/D
SOLO
ELIPSE
IMAGINÁRIA
SOLO
SOLO SOB COMPRESSÃO
SOLO
SOLO SOB COMPRESSÃO
SOLO SOB COMPRESSÃO
SOLO SOB COMPRESSÃO
ANEL FLEXÍVEL
CÍRCULO IMAGINÁRIO
ELIPSE INAGINÁRIA
ANEL FLEXÍVEL
Contudo, para pequenas deformações do solo, a deflexão de um duto
enterrado flexível é uma elipse (ver Fig. 2.9).
Figura 2.9 – Aproximação das propriedades de uma elipse para análise de dutos
Capítulo 2 – Considerações sobre o Projeto Estrutural de Dutos Enterrados
31
2.5 Deflexão do anel devido à pressão interna
Quando o anel é sujeito à pressão interna uniforme, o duto expande. O raio
aumenta. A deflexão do anel é igual ao aumento do raio em percentagem, assim,
22
r D rdr D r
π ε επ
Δ Δ= = = =
(2.4)
onde é a deflexão do anel (percentagem); d rΔ e DΔ são acréscimos devido à
pressão interna; r é o raio médio; é o diâmetro médio; D ε é a deformação; E é
o módulo de Elasticidade e σ é a tensão circunferencial, com EdE == εσ
Se:
( )2
P IDA
σ =
(2.5)
Então:
( )2
P IDdAE
=
(2.6)
2.6 Pressão Vertical do solo (P)
Para a análise e projeto de dutos enterrados, a pressão externa do solo tem
que ser conhecida (ver Fig. 2.10). A pressão vertical do solo no topo do duto é
ocasionada por:
a) a carga permanente correspondente ao peso do solo no topo do duto
; )( dP
b) as cargas acidentais correspondentes às cargas da superfície .
Assim:
( )lP
ld PPP += (2.7)
onde P é a pressão vertical total do solo no topo do duto.
Se o solo circunvizinho ao duto é densamente compactado, a pressão
vertical do solo no topo do duto é reduzida pela ação do arqueamento do solo
sobre o duto, caso contrário esta pressão vertical do solo pode aumentar pelas
concentrações de pressão devida à área de relativamente baixa compressibilidade
a uma distância do anel em solo folgado compressível. Para projeto, é necessário
Capítulo 2 – Considerações sobre o Projeto Estrutural de Dutos Enterrados
32
que seja especificado ou o fator de concentração de pressão ou a densidade
mínima do solo. Para um longo período de tempo, as concentrações de pressão no
duto podem ser reduzidas pela deformação na parede do duto (dutos plásticos).
Figura 2.10 – Pressão vertical do solo no nível do topo de um duto enterrado (P)
CARGA DE SUPERFÍCIE (TRANSPORTE DE VEÍCULOS)
CARGA PERMANENTE
γ = PESO ESPECÍFICO DO SOLO γH = PESO ESPECÍFICO DO SOLO
Pl = CARGA ACIDENTAL: PRESSÃO DO SOLO Pd = CARGA PERMANENTE: PRESSÃO DO SOLO
DUTO
2.7 Resistência do solo
A falha de um duto enterrado está muitas vezes associada com a falha do
solo no qual o duto está embutido. Para a análise é usualmente empregado o
modelo clássico bidimensional de resistência ao cisalhamento. O modelo
compreende três elementos: circulo de tensões; diagrama de orientação e
envoltórias de resistência.
2.8 Mecanismos do Duto
No projeto de dutos enterrados as simplificações adotadas são justificadas
devido às inevitáveis imprecisões tais como a variação da geometria, a não
uniformidade do solo e a indeterminação das cargas. A análise longitudinal e a
análise do anel (transversal) são consideradas de forma independente uma da
outra. Cargas concentradas são o pior caso de carga, porque, de fato, as cargas são
distribuídas sobre uma área finita. A instabilidade do anel é o pior caso de análise
Capítulo 2 – Considerações sobre o Projeto Estrutural de Dutos Enterrados
33
de colapso porque a instabilidade é reduzida pela interação da rigidez do anel com
a rigidez longitudinal.
2.8.1 Análises longitudinais
As análises longitudinais básicas são a axial e a de flexão. A análise axial
considera os efeitos longitudinais de mudanças de temperatura, tensão catenária,
empuxo nas válvulas e joelhos e o efeito Poisson da pressão radial. A análise de
flexão considera o efeito longitudinal de curvatura da viga. Estas análises
longitudinais da viga de dutos enterrados seguem os procedimentos clássicos.
Comprimentos de seções de dutos são limitados pelo fabricante para prevenir a
irregularidade longitudinal.
2.8.2 Análise do anel: tensão, deformação e estabilidade
A análise do anel compreende a análise de tensão, deformação e estabilidade
da seção transversal. A teoria da tensão fornece uma análise aceitável para anéis
rígidos e a teoria de deformação fornece uma melhor análise para dutos flexíveis.
A tensão circunferencial compreende: tensão decorrente da compressão do anel e
a tensão decorrente da deformação do anel. A análise da tensão circunferencial é
análoga à análise da tensão de uma coluna curta com uma carga excêntrica (ver
Fig. 2.11).
Usualmente, para um anel flexível, o controle da deformação é melhor
opção comparada ao controle da pressão do solo. Quando é necessário prever a
deformação do anel, a deformação básica do anel do duto circular enterrado é de
círculo para elipse.
Capítulo 2 – Considerações sobre o Projeto Estrutural de Dutos Enterrados
34
Figura 2.11 – Comparação da análise de tensão: coluna curta x anel de duto
A = ÁREA DA ST
A estabilidade do anel é função da resistência a deformações progressivas
devidas a cargas freqüentes. Estas cargas podem ser causadas por pressões
internas, carregamento na viga ou pressão externa. A ruína é repentina e
catastrófica. A falha associada à pressão interna é dada pela ruptura. O diâmetro
do anel aumenta enquanto que a espessura da parede diminui. A falha ocasionada
pelo carregamento da viga se dá por fratura ou flambagem do duto sempre que a
curvatura provocada pelo momento é excessiva. A falha devida à pressão externa
é o colapso. O termo instabilidade, freqüentemente implica em colapso devido à
pressão externa P (ver Fig. 2.12). Se o duto é enterrado (restrito lateralmente), o
solo de suporte tem um efeito predominante na estabilidade. A pressão no duto
não é uniforme. Além disso, o duto enterrado sofrerá uma ovalização.
Capítulo 2 – Considerações sobre o Projeto Estrutural de Dutos Enterrados
35
P = PRESSÃO EXTERNA
CRÍTICA UNIFORME Δ/F = RIGIDEZ DO DUTO
Figura 2.12 – Colapso de um anel circular flexível devido à pressão externa baseado na
rigidez do duto
2.9 Mecanismos Longitudinais
Mecanismos longitudinais de dutos enterrados referem-se às análises de
deformações longitudinais comparados aos limites de execução de deformação.
As principais causas da tensão longitudinal são: 1) mudanças na temperatura e na
pressão, que ocasionam o alongamento e o encurtamento relativos do duto em
relação ao solo e restrições de empuxo; 2) empuxo axial, que é o resultado da
pressão interna ou do vácuo nas válvulas, diafragmas, redutores, etc.; 3) curvatura
da viga, que ocasiona tensões de flexão. As possíveis causas da curvatura da viga
podem ser entre outras, a disposição das seções do duto sobre madeiras,
deslizamentos, movimentos massivos ou assentamentos do solo.
Cada uma das três causas da tensão longitudinal é analisada
individualmente. Os resultados são combinados para a análise.
3 MODELOS DE INTERAÇÃO SOLO-DUTO
3.1 Introdução
A análise de elementos finitos2,3,4 do sistema de interação solo-estrutura, tal
como duto enterrado é efetuada levando em conta que:
i) o solo pode ser representado por uma relação tensão-deformação linear ou
não-linear; ii) diferentes tipos de elementos podem ser usados para representar o
solo e o duto; iii) pode ser necessário permitir movimento entre o solo e o duto,
requerendo assim o uso de elementos de interface ou um modelo que represente a
interação solo-duto e iv) dutos muito flexíveis podem envolver grandes
deslocamentos (deformações), para os quais a solução pode ser geometricamente
não-linear.
Quando o comportamento tensão-deformação do solo é considerado não-
linear a relação tensão-deformação deverá ser obtida de resultados de testes de
laboratório em solos representativos. Foi proposto um método para descrever as
características εσ − do solo usando parâmetros hiperbólicos e apresentados
valores típicos do solo que podem ser usados se os resultados de testes de
laboratório não estão disponíveis5.
Quando se usa o método de elementos finitos para resolver problemas de
engenharia geotécnica, as condições tensão-deformação não-lineares são
geralmente obtidas pelo acréscimo de cargas por incrementos e pelo ajuste das
propriedades do solo de acordo com a magnitude da deformação. A matriz de
rigidez é inicialmente formada usando as propriedades iniciais do solo e da
geometria do elemento. Como as cargas são acrescentadas, o solo se deforma e as
propriedades do solo mudam, a matriz de rigidez tem que ser ajustada para se
obter as novas propriedades do solo.
Se a geometria, propriedades e condições de carregamento forem simétricas,
a metade do sistema solo-duto pode ser representada. As condições de contorno ao
longo da linha de simetria têm que ser apropriadamente estabelecidas para
Capítulo 3 – Modelos de Interação Solo-Duto
37
modelar o comportamento do sistema. A vantagem obtida da geometria reduz
significativamente o tamanho do problema.
3.2 Modelos Propostos na Literatura
3.2.1 Modelo de Selvadurai & Pang (1998)6
Nesse modelo do sistema solo-duto, os autores visam estabelecer
principalmente as influências da não-linearidade do solo no comportamento
interativo de flexão do duto. A interação de flexão é induzida por um
deslocamento descontínuo na base de uma linha do solo que contém o duto. Para
o tratamento da interação solo-duto é utilizado o esquema de elementos finitos
não-lineares que modela o duto como uma casca cilíndrica e o solo circunvizinho
como um sólido elasto-plástico idealizado segundo o critério de escoamento de
Drucker-Prager e a lei do fluxo associado. A interface entre o solo e o duto é
modelada através do contato com aderência perfeita. Este modelo avalia o
comportamento de flexão do duto e enfatiza a relação entre a reposta de flexão do
duto e a rigidez relativa do sistema solo-duto.
3.2.2 Modelo de Zhou & Murray (1993, 1996)7,8,9
O modelo foi desenvolvido com o intuito de realizar análises do
comportamento de dutos enterrados que sofrem grandes recalques quando sujeitos
a deslocamentos geotécnicos impostos, que são suficientemente grandes para
provocar flambagem local severa e enrugamento se desenvolvam. O duto é
representado como uma seqüência de elementos finitos retos de viga, suportado na
parte inferior por molas de sustentação do solo e no topo por molas de elevação do
solo. As propriedades do modelo de viga implicitamente incluem os efeitos de
qualquer flambagem local ou enrugamento, que os modelos de casca prevêem que
devem ocorrer no duto, e as molas do solo atuam somente em compressão e têm
uma resposta elástica perfeitamente plástica. O perfil do recalque do solo é
dividido em três zonas: a) zona de desgelo estável, onde nenhum recalque é
especificado; b) zona de recalque, provocada pelo desgelo, onde as molas do solo
Capítulo 3 – Modelos de Interação Solo-Duto
38
de suporte são deslocadas de um valor de recalque máximo e c) zona de transição
sobre a qual os recalques são especificados de tal maneira de unir as outras duas
zonas.
3.2.3 Modelo de Rajani, Robertson & Morgenstern(1995)10
A NOVA Corporation de Alberta, Canadá, iniciou um programa de pesquisa
em colaboração com a Universidade de Alberta para o estudo da interação solo-
duto sujeita movimentos devido a deslizamentos. Uma solução analítica foi
desenvolvida para um melhor entendimento da influência das principais variáveis
e que trace a seqüência de eventos que acontecem como o resultado de uma
interação entre o duto e o solo circunvizinho quando o movimento de
deslizamento aumenta gradualmente. Estes eventos podem ser resumidos como a
seguir: a) um movimento de deslizamento inicial, tanto o duto enterrado, como o
solo comporta-se elasticamente; b) enquanto o movimento de deslizamento
aumenta, a resistência última passiva desenvolve-se em parte do solo médio
circunvizinho enquanto que o duto permanece elástico; c) quando o movimento de
deslizamento aumenta mais ainda, uma rótula plástica ou enrugamento pode
começar a desenvolver-se no duto dependendo de suas características estruturais.
A solução é baseada em um duto elástico enterrado em um solo elástico-
perfeitamente plástico. A solução incorpora todas as variáveis que desempenham
um papel importante na interação solo-duto.
3.2.4 Modelo de Veiga, Romanel & Roehl (2000)11
Pesquisa realizada pela PUC-Rio na área de dutos enterrados e interação
solo-duto. O trabalho estuda problemas geotécnicos e de interação solo-estrutura
utilizando o método dos elementos finitos acoplado com a transformada de
Fourier. Pela aplicação da transformada de Fourier, as equações diferenciais que
governam o problema elástico linear, com as correspondentes condições de
contorno, são reescritas no plano de Fourier, permitindo que um problema de
natureza tridimensional possa ser numericamente analisado por uma discretização
Capítulo 3 – Modelos de Interação Solo-Duto
39
bidimensional. Esta técnica foi empregada neste trabalho para certos problemas de
engenharia, como dutovias, túneis e fundações tipo radier, onde a geometria e os
parâmetros dos materiais mantêm-se constantes ao longo do eixo longitudinal do
corpo, porém admitindo-se variações espaciais no carregamento imposto ao
sistema, gerando, assim, um estado tridimensional de tensões. Alguns elementos
de interface, com formulação publicada na literatura, foram também considerados
na implementação computacional, visto que em problemas de interação solo-
estrutura o comportamento do sistema é bastante influenciado pelas propriedades
e características mecânicas do solo imediatamente vizinho à estrutura geotécnicos
tridimensionais.
3.2.5 Modelo de Lim, Kim, Kim & Jang (2001)12
Muitos modelos empíricos têm sido propostos para a magnitude da
deformação permanente do solo. Existem três fatores dominantes nesta
deformação: 1) a magnitude da deformação longitudinal permanente do solo; 2) o
comprimento da zona de expansão; e 3) a variação da magnitude ao longo da zona
de expansão, isto é, o padrão da deformação permanente do solo. A liquefação do
solo que induz a expansão lateral é um fenômeno muito complexo.
O estudo desenvolvido por Lim, Kim M., Kim T. e Jang, enfoca a
deformação longitudinal permanente do solo devida a liquefação que induz a
expansão lateral e o comportamento do duto correspondente a essa deformação.
Com base na teoria de viga sobre base elástica e no método de elementos finitos, o
duto é considerado como uma viga e as forças de interação solo-duto são
representadas como uma serie de molas axiais do solo. Quando o carregamento
externo excede a força de interação solo-duto, inicia-se o deslizamento entre solo
circunvizinho e o duto. O comportamento de deslizamento na interface solo-duto
foi modelado como um comportamento elasto-plástico. A força última de
interação solo-duto é uma relação carga-deslocamento elástica perfeitamente
plástica ou exponencial. As principais conclusões obtidas pelos autores, após as
análises efetuadas neste estudo, foram: a) a deformação máxima do duto aumenta
enquanto que o padrão da deformação permanente do solo e o comprimento da
zona de espalhamento lateral aumentam; b) maior diâmetro maior deformação no
Capítulo 3 – Modelos de Interação Solo-Duto
40
duto, devido ao aumento da força de interação solo-duto estimada para diâmetros
de dutos padrão. Para o caso da espessura, maior espessura, diminui a deformação
do duto; c) o comprimento crítico da zona de espalhamento lateral e a magnitude
crítica da deformação permanente do solo, decrescem na flambagem local
enquanto a taxa do diâmetro/espessura aumenta independente da profundidade do
aterro (acima do duto).
3.2.6 Modelo de Mandolini, Minutolo e Ruocco (2001)13
Os autores apresentam o caso de um duto enterrado num solo que sofre
deslizamento lento (monitorado nos últimos anos). O procedimento numérico
implementado tem como finalidade: i) prever a evolução do fenômeno em termos
da tensão induzida na tubulação pelo deslocamento do solo circunvizinho; ii)
tornar disponível conjunto de dados do campo de deslocamentos, capaz de
analisar o comportamento da tensão-deformação de estruturas similares mas em
condições diferentes do caso avaliado. Nesse modelo o duto foi representado
como uma viga e o solo através do método de equação integral de contorno
considerando o contato solo-duto.
3.2.7 Modelo de Mejia & Roehl (2003)14
Pesquisa realizada pela PUC-Rio na área de dutos enterrados e interação
solo-duto. Os autores apresentam uma metodologia de análise numérica para
dutos enterrados usados no transporte de petróleo e gás, considerando não-
linearidades geométricas e não-linearidades de material baseada na formulação
Lagrangeana Total. Modelagem com base em uma discretização com elementos
especiais de viga. Equações de equilíbrio formuladas a partir do principio dos
trabalhos virtuais, segundo as componentes de tensão e deformação no elemento
viga-duto, com a utilização da técnica do Módulo Reduzido de Integração Direta
(RMDI), na qual se incorporou o comportamento plástico do material. Esta
técnica não considera os efeitos da flambagem local nas paredes do duto. Os
efeitos considerados nessa metodologia: pressão interna constante no duto assim
Capítulo 3 – Modelos de Interação Solo-Duto
41
como a interação solo-duto através da modelagem do solo por meio de molas
elasto-plásticas verticais e horizontais. As cargas distribuídas são consideradas
como constantes no sistema global de eixos.
3.2.8 Modelo de Souza, Guimarães & Roehl (2004)15
Pesquisa realizada pela PUC-Rio dando continuidade ao estudo de dutos
enterrados e interação solo-duto. Estudo experimental em modelos reduzidos do
duto PE-3, construído na Baía de Guanabara em 2003. O duto PE-3 tem diâmetro
de 18" e a sua principal característica é a sua geometria em zig-zag. Este duto
transporta óleo combustível à temperatura de 80ºC da Refinaria de Duque de
Caxias aos terminais de navios na Ilha D`Água. Modelos reduzidos com
semelhança física foram implementados para avaliar experimentalmente o
comportamento do modelo variando-se o ângulo de zig-zag e o comprimento do
duto. Os modelos foram submetidos à variação de temperatura, pressão interna e
condições de apoio lateral e longitudinal, simulando as condições reais de trabalho
do protótipo. Para cada comprimento (12m, 16m e 18m) e ângulo de zig-zag (5º,
10º e 15º) foram realizados ensaios com o modelo sem reação lateral do solo, com
reação lateral simulando 1 metro de enterramento no protótipo, com reação lateral
simulando 1 metro de enterramento e vão central livre, e com imperfeição
horizontal. Foram realizados ainda 2 ensaios com um duto reto para efeito de
comparação com o modelo zig-zag. Os resultados mostraram que a geometria em
zig-zag minimiza os esforços gerados pela expansão térmica do duto.
3.2.9 Modelo de Lazaro, Hecke, Roehl & Machado (2004)16
Pesquisa desenvolvida em parceria entre a Universidade Federal do Paraná e
a PUC-Rio como parte do projeto: Análise do Comportamento Estrutural e
Geotécnico de Dutos Enterrados coordenado pela PUC-Rio com colaboração da
UFPR e da UENF. O objetivo do trabalho é a análise da interação solo-duto em
encostas sujeitas a escorregamentos de taludes. O Método dos Elementos Finitos é
utilizado para a discretização espacial (2D) e o Método das Diferenças Finitas
para a discretização temporal. Na modelagem do duto emprega-se elemento de
Capítulo 3 – Modelos de Interação Solo-Duto
42
viga e o para solo e a região circunvizinha são utilizados elementos
isoparamétricos planos. Adotam-se as hipóteses de estado plano de deformação
para representar o solo e uma alteração na matriz constitutiva de acordo com
Desai e Siriwardane (1984) para a região de interface. É considerado um modelo
elástico, perfeitamente plástico para as propriedades do solo e da região de
interface enquanto para o duto o modelo adotado é linear.
3.2.10 Modelo de Souza, Hecke, Roehl & Machado (2005)17
Pesquisa também desenvolvida em parceria entre a Universidade Federal do
Paraná e a PUC-Rio como parte do projeto: Análise do Comportamento
Estrutural e Geotécnico de Dutos Enterrados coordenado pela PUC-Rio com
colaboração da UFPR e da UENF. Os autores apresentam um modelo numérico
em elementos finitos para análise não-linear de tensões e deformações de dutos
enterrados usados no transporte de petróleo e gás. Atenção especial é dada a
problemas de dutos enterrados em encostas que apresentam escorregamento. A
formulação incremental do elemento viga-duto é desenvolvida a partir do
princípio dos trabalhos virtuais, com base nas componentes do segundo tensor de
tensão Piola-Kirchhoff e do tensor de deformação de Green-Lagrange, com o
emprego da técnica do Módulo Reduzido por Integração Direta (RMDI). O
elemento viga-duto é obtido, a partir de elementos especiais de viga bi e
tridimensional. A descrição cinemática do elemento admite grandes
deslocamentos, grandes rotações, mas pequenas deformações e se dá com base em
uma Formulação Lagrangeana Total. Adota-se o modelo constitutivo elasto-
plástico para o duto, com o escoamento segundo o critério de von Mises com
endurecimento isotrópico. A interação solo-duto é feita através de um conjunto
discreto de molas elásticas idealmente plásticas nas direções vertical, lateral e
longitudinal, conectadas ao eixo do duto. Os efeitos da temperatura e pressão
interna no duto são considerados. Um estudo do comportamento do duto é
realizado através da análise de simulações numéricas, sujeito a condições de
carregamentos externos e/ou internos e deslocamentos impostos.
Capítulo 3 – Modelos de Interação Solo-Duto
43
3.2.11 Modelo de Coelho & Roehl (2007)18
Pesquisa realizada pela PUC-Rio dando continuidade ao estudo de dutos
enterrados e interação solo-duto. Análises de estabilidade de dutos enterrados
submetidos a cargas térmicas são realizadas. As cargas térmicas são devidas ao
aquecimento do fluido com o objetivo de facilitar o transporte dos óleos que são
escoados nos dutos. O duto expande na direção transversal devido a estas cargas
térmicas. Além da expansão na direção transversal o duto retrai na direção axial.
Como o duto está restringido em suas extremidades e devido à expansão na
direção transversal e retração na direção axial são causadas forças axiais de
compressão no duto. Para a análise dos dutos submetidos à variação da carga
térmica foram utilizados modelos teóricos e numéricos para o problema de
flambagem vertical e lateral, considerando o duto perfeito e com imperfeição. Os
modelos numéricos foram desenvolvidos utilizando o programa ABAQUS. Para
estes modelos numéricos o duto foi considerado como uma viga e a o solo com
elementos de interface e elementos de mola. Foi desenvolvido também um
modelo de viga-casca onde parte do duto é modelada como uma casca cilíndrica
para permitir a análise de enrugamento e da deformação da seção transversal. São
realizados estudos paramétricos numéricos para investigar o efeito do
recobrimento do duto, da forma e amplitude da imperfeição e da rigidez do solo
na temperatura crítica de flambagem do duto.
3.2.12 Modelo de Teixeira & Romanel (2008)19
Pesquisa realizada também pela PUC-Rio dando continuidade ao estudo
de dutos enterrados e interação solo-duto. Nesse trabalho, os autores realizaram
análises de estabilidade de um trecho da encosta da BR-376, que liga as cidades
de Curitiba a Joinville no km 55+800 do oleoduto OSPAR da Transpetro.
Segundo as informações disponíveis, devido a cortes executados para duplicação
da rodovia provocaram instabilidade em certa área da encosta, em 1995, em
janeiro de 1997, durante um período de fortes chuvas, um novo escorregamento
Capítulo 3 – Modelos de Interação Solo-Duto
44
da porção inferior do talude provocou a ruptura do muro existente e uma série de
escorregamentos sucessivos, que chegaram a atingir a faixa dos oleodutos. O
programa de elementos finitos PLAXIS foi utilizado para as análises de
estabilidade e posteriormente, a fim de comparação, o programa Slope/W e
Sigma/W. Para as análises no PLAXIS foi utilizado o hardening soil model para o
solo, com os parâmetros sendo determinados através de ensaios triaxiais com
amostras obtidas de dois blocos de solo coletados da encosta. Os efeitos da
movimentação da encosta no oleoduto OSPAR foram analisados por programa 3D
de elementos finitos, dando-se ênfase às tensões e deformações para se a fim de
verificar a integridade do duto.
3.3 Comentários Finais
Neste capítulo foram apresentados modelos da literatura que podem ser
aplicados na análise de dutos enterrados, submetidos a diferentes carregamentos,
considerando a interação solo-duto. Formulações analíticas ou numéricas são
adotadas para a definição do problema, bi ou tri-dimensional, de dutos
enterrados20,21,22,23,24,25,26. A seguir serão comentados alguns aspectos relevantes
desta revisão bibliográfica.
A definição do interesse do estudo pode levar a uma combinação de um
modelo relativamente simples para o solo e um modelo relativamente mais
detalhado do duto ou vice-versa.
Na análise em elementos finitos de dutos enterrados, o duto é muitas das
vezes modelado usando elementos de viga. Os nós do elemento do duto são
ligados aos elementos do solo adjacente em seus pontos nodais comuns, porém,
em alguns casos, pode ser necessário permitir que ocorra um deslizamento entre o
duto e o solo, fazendo-se necessário o uso de elementos de interface entre os nós
do duto e os nós do elemento do solo. Esses elementos de interface
cinematicamente permitem o movimento entre os nós quando a força superficial
de atrito especificada for excedida.
A literatura contém uma variedade de formulações de elemento de
interface27, porém eles podem ser geralmente classificados como: a) aproximação
de rigidez (elementos de rigidez); b) aproximação de restrição (multiplicadores de
Capítulo 3 – Modelos de Interação Solo-Duto
45
Lagrange). Um elemento de interface usando a aproximação de restrição, não com
os multiplicadores de Lagrange e sim fazendo uso do Princípio dos Trabalhos
Virtuais foi apresentado. A motivação para adotar a aproximação de restrição foi
para evitar os problemas de arredondamento numérico inerente à aproximação de
rigidez e ao mesmo tempo para um controle direto das forças e deslocamentos
relativos na interface e pela sua fácil implementação no método de elementos
finitos28.
Na interação solo-duto, os efeitos do solo no duto podem ser modelados por
uma serie de molas. Para estabelecer o modelo de interação, o perfil do solo tem
que ser descrito em todos os estágios de deformação. As deformações das molas
do solo podem ser determinadas de acordo com as posições relativas do duto e do
perfil do solo. Pelo uso das relações constitutivas das molas do solo, que descreve
a relação entre as forças e as deformações na mola, as forças de reação das molas
do solo podem ser definidas7,8,9.
Para avaliar o problema de interação solo-duto, para o caso de recalque do
solo, uma série de fatores deve ser levada em conta: a resposta mecânica do solo
circunvizinho ao duto, o comportamento mecânico do duto, a resposta mecânica
da interface do solo-estrutura, a geometria e a orientação do duto em relação à
característica do recalque do solo e as características gerais do terreno onde o duto
é localizado. As análises de dutos sujeitos a recalques diferenciais podem ser
feitas de dois modos: a determinação de um projeto aceitável de um duto para
dado recalque diferencial e a determinação de um recalque diferencial aceitável
para um determinado duto.
O modelo de análise de dutos sujeitos a recalques diferenciais deve abranger
assuntos muito importantes, tais como, i) o recalque do solo induz deformações no
duto que produzem alterações na distribuição de deformações e tensões existentes
na linha antes do recalque. A magnitude e o padrão desta alteração dependem da
resposta estrutural do duto às deformações impostas através do recalque do solo;
ii) a interação solo-duto é um aspecto importante a ser considerado. Na interação,
tanto o duto como estrutura e o solo como meio de suporte têm que estar
apropriadamente modelados, o que usualmente leva a modelos analíticos
complexos.
Na análise de recalque o maior interesse pode ser dirigido na re-distribuição
das deformações e tensões ao longo do comprimento que na deformação da seção
Capítulo 3 – Modelos de Interação Solo-Duto
46
transversal. Portanto, o modelo analítico tem que abranger um comprimento
suficiente para avaliar adequadamente a resposta global. Isto usualmente resulta
num modelo de grande escala dependendo da técnica de discretização particular
utilizada.
As pesquisas em deformação permanente do solo, seus efeitos no duto
enterrado podem ser categorizadas de acordo com o tipo da deformação
permanente do solo, isto é: deformação longitudinal permanente do solo e
deformação transversal permanente do solo. A deformação permanente do solo é
definida como um deslocamento de grande escala. As causas que podem provocar
desse deslocamento de grande escala podem ser dadas por: liquefação do solo,
movimentos de deslizamento e de falha. Observa-se que dentre estas três causas,
os movimentos de deslizamento e de falha apresentam uma baixa freqüência de
ocorrência; porém, muitos casos de liquefação do solo acontecem mais
freqüentemente e induzem grandes deformações permanentes do solo, que
originam muitos danos às estruturas de dutos. As estruturas de dutos, enterrados a
pequenas profundidades, têm a possibilidade de sofrer colapso, localizado ou
completo, causado por deformações permanentes do solo.
Portanto, devido à complexidade do problema, há a necessidade de
desenvolver um modelo que acople de forma adequada os principais fenômenos
envolvidos nos problemas de dutos enterrados considerando a interação solo-duto.
Assim, a formulação utilizada para representar a interação solo-duto deve ser
robusta e flexível, para permitir sua utilização em problemas com diferentes
geometrias. Além disso, o ideal é que os resultados sejam validados com ensaios
de laboratório, ou com outras soluções analíticas ou numéricas já validadas.
4 MODELOS PARA O PROBLEMA DE CONTATO
4.1 Introdução
O desafio da modelagem é idealizar modelos mecânicos que se comportem
como as estruturas reais, aliado aos recursos de formulações avançadas
conseguindo desta forma o equilíbrio entre os mecanismos rigorosos e as
simplificações de engenharia.
Para o caso de dutos enterrados, este desafio abrange quase todos os
aspectos do sistema solo-estrutura, isto é, o modelo constitutivo do solo, modelo
constitutivo estrutural, simulação do incremento de camadas de solo, condições de
contorno, não-linearidades geométricas, etc. Um aspecto de interesse particular é
o tratamento da interface solo-duto. Alguns modelos de elementos finitos
admitem que o solo permanece solidário ao duto durante a deformação, enquanto
que outros modelos admitem que existe uma separação entre o solo e o duto após
a deformação. Um dos objetivos desta pesquisa é a modelagem do contato
considerando o fenômeno de atrito entre o duto e o solo circunvizinho.
Problemas de contato são de grande importância em aplicações industriais e
das Engenharias Civil e Mecânica. As aplicações abrangem elementos de
máquinas tais como: esferas, rolimãs, engrenagens e elementos de ligação;
processos de conformação, colisão de veículos, ligações (semi-rígidas) em
estruturas metálicas e a biomecânica, onde são analisados os esforços nas juntas
humanas e implantes. Os problemas reais têm uma característica não-linear e
irreversível e são difíceis de lidar.
O problema de contato29,30,31,32 é um tópico relevante na mecânica dos
sólidos, porque introduzem muitas das vezes na interação entre os corpos, forças e
deformações locais elevadas. Este problema apresenta um elevado grau de
complexidade porque lida com os fenômenos de não-linearidade geométrica e do
material, até mesmo para materiais considerados com comportamento linear-
elástico. Essa não-linearidade se dá pelo fato de que a condição de contorno
Capítulo 4 – Modelos para o Problema de Contato
48
cinemática é desconhecida (a região de contato é desconhecida), enquanto que a
não-linearidade do material advém do atrito33,34,35,36,37,38,39.
Historicamente, o desenvolvimento deste assunto originou-se com o
trabalho de Heinrich Hertz (1882), que apresentou a solução analítica para o
contato sem atrito de dois corpos elásticos de forma elíptica. A análise de Hertz
ainda é usada hoje como base para projetos em muitas situações industriais que
envolvem contato elástico. Desde então, o problema de contato é um assunto de
pesquisa que vem sendo desenvolvido.
Soluções analíticas podem ser obtidas somente para uma classe muito
limitada de problemas de contato e como conseqüência uma série de métodos
numéricos vêm sendo desenvolvidos. Dois procedimentos numéricos são
largamente empregados para a solução de problemas de contato. O método
empírico busca uma solução de forma iterativa pelo ajuste do estado de
contato40,41,42. Uma alternativa é a formulação de um problema de otimização com
restrição e sua solução através de algoritmos de programação matemática, que
busca a solução via a minimização de uma função sujeita a certas restrições. Este
método apresenta a vantagem de uma convergência estável e uma formulação
simples. Esta alternativa, com base na formulação do problema de otimização com
restrição, vem sendo utilizada com sucesso em aplicações com elementos finitos43-
60. Aplicações com o método de elementos de contorno – MEC61-67, bem como na
combinação de elementos finitos e de contorno68.
A formulação matemática69,70,71,72,73 do problema de contato é caracterizada
por desigualdades unilaterais, que descrevem a impossibilidade física de
ocorrerem forças de tração no contato e a impenetrabilidade do material. Quando
existe atrito na interface de contato, condições adicionais são introduzidas, que
complicam consideravelmente as provas de existência e de unicidade. A mais
simples condição de atrito é o atrito de Coulomb, onde qualquer ponto na área de
contato apresenta uma das seguintes condições: aderência perfeita (’stick’), não
existe movimento relativo e a força tangencial resultante é menor que pμ , onde
μ é o coeficiente de atrito e p é a força normal, deslizamento (‘slip’), existe um
movimento relativo e a força tangencial é de magnitude pμ e seu sentido oposto
ao deslizamento.
Capítulo 4 – Modelos para o Problema de Contato
49
Nota-se que o deslizamento na presença de atrito é essencialmente um
processo incremental e conseqüentemente, a solução do problema depende da
história de carregamento. Se a velocidade do carregamento é suficientemente
lenta, é possível definir uma solução quasi-estática onde os efeitos da inércia são
desprezíveis e o sistema passa por uma seqüência de estados de equilíbrio.
Quando o carregamento é monotônico e proporcional, o problema pode ser
reduzido a um problema estático equivalente74. Exemplos ilustram a
complexidade da dependência da história do carregamento, que pode surgir das
condições de atrito de Coulomb75.
O problema de contato sem atrito pode ser considerado um problema
quadrático que pode ser transformado em um problema complementar pela
aplicação da condição de Kuhn-Tucker às restrições da condição de contato. Este
procedimento pode ser aplicado às análises elasto-plásticas considerando grandes
deformações. Enquanto que o problema de contato com atrito pode ser formulado
como um problema linear complementar usando o método de elementos finitos ou
método de elementos de contorno.
4.2 Modelos Propostos na Literatura
Modelo de Lee & Kwak43
Análise de problemas de contato elasto-plásticos sem atrito, considerando
pequenas deformações, formulado em elementos finitos como um problema
quadrático.
Modelo de Simo, Wriggers & Taylor44
Solução do problema de contato baseada no método de elementos finitos e
no método Lagrangeano Aumentado.
Modelo de Nour-Omid & Wriggers45
Análise do problema de contato formulado em elementos finitos e no
método dos multiplicadores de Lagrange e utiliza um método iterativo, que
Capítulo 4 – Modelos para o Problema de Contato
50
lineariza o problema de contato não-linear e assim o problema é resolvido pelo
método de Newton.
Modelo de Klarbring46
O problema de contato com atrito 3D, cuja formulação é dada em elementos
finitos como um problema linear complementar paramétrico;.
Modelo de Fisher & Melosh47
Análise de problemas de contato elásticos sem atrito e sua solução obtida
via programação linear.
Modelo de Kwak & Lee63
Problema de contato elástico bidimensional, com atrito do tipo Coulomb,
considerando pequenas deformações, formulado em elementos de contorno como
problema complementar linear.
Modelo de Gakwaya & Lambert64
Análise de problemas de contato quase-estáticos, em 3D, com atrito (lei de
Coulomb), utilizando o método de elementos de contorno e a formulação do
problema linear complementar paramétrico.
Modelo de Laursen48,50 - Laursen & Simo49
Análise de problemas de contato 3D com atrito, considerando grandes
deformações, com a sua solução baseada no método de elementos finitos e os
métodos da Penalidade e Lagrangeano Aumentado.
Modelo de Björkman76
Análise de problemas de contato sem atrito, a sua solução é formulada em
elementos finitos como um problema linear complementar.
Capítulo 4 – Modelos para o Problema de Contato
51
Modelo de Kwak62
Análise de problemas de contato com atrito 3D do tipo Coulomb, utiliza o
método de elementos de contorno e a formulação do problema complementar.
Modelo de Changming & Yongjie52
Solução de problemas de contato elasto-plásticos com atrito, baseada no
método dos elementos finitos e na programação linear complementar.
Modelo de Peric & Owen53
Análise de problemas com atrito do tipo Coulomb, utilizando o método
dos elementos finitos, algoritmos de retorno para o critério de deslizamento e o
método da Penalidade.
Modelo de Klarbring & Bjorkman65
Problema de contato com atrito considerando grandes deformações,
formulados com base no método de elementos de contorno e utiliza o método de
Newton.
Modelo de Heegaard & Curnier54
Problema de contato bidimensional considerando grandes deslizamentos,
com sua solução baseada no método dos elementos finitos e no método
Lagrangeano Aumentado.
Modelo de Lee, Kwak & Kwon66
Análise de problemas de contato 3D com atrito do tipo Coulomb,
considerando deslizamento incipiente, formulado em elementos de contorno como
problema linear complementar.
Capítulo 4 – Modelos para o Problema de Contato
52
Modelo de Kim & Kwak77
Análise dinâmica dos problemas de contato 2D, com atrito do tipo Coulomb
usando o método de elementos de contorno e a formulação do problema linear
complementar.
Modelo de Hongwu, Wanxie & Yuanxian78
Análise de problemas de contato elasto-plásticos, considerando o atrito (lei
de Coulomb), emprega o método de elementos finitos, uma combinação da
programação quadrática paramétrica e de um método iterativo.
Modelo de Garrido & Lorenzana67
Análise de problemas de contato em sólidos elásticos em 2D, considerando
grandes deformações, emprega o método de elementos de contorno e o método
Lagrangeano Atualizado.
Modelo de Liolios, Pitilakis & Yeroyianni68
Análise de problemas de contato unilateral na interação solo-duto que
utiliza a combinação do método de elementos finitos e o método de elementos de
contorno, a transformada de Laplace e a programação linear convolucional;
Modelo de Guyot, Kosior & Maurice79
Análise do problema de contato elástico, com atrito (tipo Coulomb), de
duas esferas deformáveis, via a combinação do método de elementos finitos e o
método de elementos de contorno com um método iterativo (sucessivas
aproximações).
Modelo de Pietrzak & Curnier57
Solução do problema de contato com atrito, considerando grandes
deformações, através do método de elementos finitos e o método Lagrangeano
Aumentado.
Capítulo 4 – Modelos para o Problema de Contato
53
Modelo de Ferreira & Roehl58,80
Análise de problemas de contato elasto-plásticos sem atrito considerando
grandes deformações. Utilizam o método dos elementos finitos, o método da
Penalidade e a Programação Linear Complementar.
Modelo de Bandeira59
Solução de problemas de contato elasto-plásticos, com atrito (lei de
Coulomb), considerando grandes deformações, usa o método dos elementos
finitos e o método Lagrangeano Aumentado.
4.3 Modelo Proposto
Neste trabalho de pesquisa será utilizada a formulação, para o problema de
contato com atrito, desenvolvida por Laursen48,50 & Simo e Laursen49 e terá como
base o trabalho desenvolvido por Ferreira & Roehl58,80.
O objetivo desta pesquisa é o desenvolvimento de uma metodologia com
base no método dos elementos finitos para o estudo do comportamento estrutural
de dutos enterrados, considerando a interação solo-duto.
O trabalho desenvolvido por Ferreira & Roehl58,80 tomou-se como base. O
programa de elementos finitos utilizado foi o CARAT- Computer Aided Research
Analysis Tool, no qual já estava implementado:
- o problema de contato sem atrito entre dois corpos bidimensionais ou
tridimensionais com comportamento elasto-plástico, submetidos a grandes
deformações através de duas metodologias de solução;
- o algoritmo para consideração da geometria de contato para condições
genéricas de contato: nó-superficie.
- definição de elementos BRICK8, e elementos de formulação híbrida87 –
Enhanced Assumed Strain-EAS, com 8 nós mais 3 parâmetros internos de
deformação trilinear completo.
Capítulo 4 – Modelos para o Problema de Contato
54
O procedimento de solução numérica inclui não-linearidades geométrica e
física, bem como a não-linearidade das condições de contato baseada em uma
estratégia incremental-iterativa.
No presente trabalho, foi implementada a formulação do problema de
contato considerando o fenômeno de atrito e, para tal emprega-se o método da
Penalidade, formulação baseada no trabalho desenvolvido por Laursen48,50 &
Simo e Laursen49, onde as restrições de contato com atrito são satisfeitas de forma
aproximada através do emprego do parâmetro de penalidade (normal e
tangencial). As relações cinemáticas são dadas em termos de uma função
diferenciável da distancia entre os corpos (gap).
5 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DE CONTATO COM ATRITO
5.1 Formulação Continua do Problema de Contato
5.1.1 Notação
Neste trabalho será utilizadas a formulação e notação para o problema de
contato desenvolvido por Laursen48,50 & Simo e Laursen49. Considerando dois
corpos deformáveis definidos por Bi, 21,i = e suas configurações iniciais por ,
ℜ
1Ω
2Ω ⊂ 3. Estabelece-se que os corpos não estão em contato no tempo
(configuração de referência), ou se estão em contato nenhuma força de contato é
produzida. Configurações subsequentes são dadas por
0t =
[ ]T,0: )1()1( ×Ωϕ no ℜ3
para e para 1Ω [ T,0: )2()2( ×Ωϕ ] 2Ω . Devido ao contato físico dos dois corpos
surgem forças de interação durante o intervalo de tempo [ ]Tt ,0:= . Define-se
qualquer uma dessas configurações no tempo t como , itϕ 21,i = . A extensão para
problemas que envolvem mais corpos é feita levando em conta cada pares de
corpos em contato. Formulações de autocontato (o corpo em contato com ele
mesmo) são feitas similarmente.
As superfícies dos contornos dos corpos e são representadas por
e respectivamente, de tal forma que os pontos onde o contato pode
ocorrer são incluídos (ver Fig. 5-1). As posições correntes das superfícies são
dadas por
1Ω∂ 2Ω∂
)1(Γ )( 2Γ
( ))i()i(t
)i( Γϕ=γ , . 21,i =
Na configuração inicial, os pontos de )(1Γ são representados por e os
pontos de por e na configuração corrente por
X)( 2Γ Y ( )Xx )(
t1ϕ= e ,
respectivamente.
( )Yy )(t
2ϕ=
Capítulo 5 – Formulação do Problema de Contato com Atrito
56
X
)(Ω 1
)2(Ω
)2(Γ
)1(Γ
Y)1(γ
)1(ϕ
)2(ϕ
nℜ
)2(γ
x
y
Figura 5.1 – Notação das deformações finitas do Problema de Contato com atrito
5.1.2 Restrições de contato normal
A superfície de contorno é designada como superfície escrava (“slave”)
e como superfície mestre (“master”). Para uma dada configuração,
)(1Γ)2(Γ
( ))2()2()2( Γ= tϕγ define-se uma superfície na qual nenhum dos pontos do
material pode penetrar. Da mesma maneira, pode ser feita a restrição nos
pontos com relação a .
)1(Γ∈X)2(Γ∈Y )1(Γ
5.1.2.1 Restrições de contato normal (impenetrabilidade)
A restrição de impenetrabilidade é formulada através da função de folga
(“gap”), definida por um par de movimentos ( )),)1( t⋅ϕ , ( )),)2( t⋅ϕ e para todos os
pontos , como a seguir: )1(Γ∈X
( ) ( )( ) ( )tgtgsigntg ,,, XXX =
( ) ( ) ( )tttgY
,,min, )2()1()2(
YXX ϕϕ −=Γ∈
onde: se é admissível 1)),(( −=tgsign X ),()1( tXϕ
1)),(( +=tgsign X , caso contrário (5.1)
Capítulo 5 – Formulação do Problema de Contato com Atrito
57
Figura 5.2 – Definição da função de folga (“gap”)
A definição de é dada em termos da projeção do ponto de
em (ver Fig. 5-2). A restrição de impenetrabilidade é formulada
matematicamente como . As condições de complementaridade estão
associadas à força superficial de contato , onde
é o primeiro tensor de Piola-Kirchhoff em e é a normal a
na configuração de referência. Esta força superficial é dada por:
( tg ,X )
)(1 Xx tϕ=)2(γ
( ) 0, ≤tg X
)().,(),( )1()1()1( XnXPXt ott =
),()1( tXP X )()1(0 Xn X
),(),(),( )1()1( tPttt N XtνXXt ν+= (5.2)
onde ν (negativa) é a normal externa a em e é a projeção de
no plano tangente associado. A parcela , representa a pressão de
contato em . As restrições para contato normal são especificadas como:
)1(γ )()1( Xx tϕ=)1(tνP
)1(t ),( ttN X
X
0),( ≤tg X (5.3a)
0),( ≥ttN X (5.3b)
0),(),( =tgttN XX (5.3c)
0),(),( =•
tgttN XX (5.3d)
As expressões acima (5.3) representam a restrição de impenetrabilidade, a
restrição da força de contato em ser sempre não negativa (pressão); a condição
de complementaridade que admite que a pressão de contato seja diferente
X
),( ttN X
Capítulo 5 – Formulação do Problema de Contato com Atrito
58
de zero somente se a folga (“gap”) for igual a zero ( 0g = ) e a condição de
persistência que é usada quando considerado o atrito cinemático.
5.1.3 Contato com atrito
5.1.3.1 Conversão de base
A restrição de impenetrabilidade introduz a idéia da geometria da estrutura
influenciar na definição da restrição g . Este fato é utilizado para a definição de
uma base tangente associada, conveniente para definir as restrições de atrito
Parametrizações para e , )i(Γ )i(γ 21,i = são adotadas, para o corpo (2)
como mostrado na Fig. 5-3. Define-se e uma serie de mapeamentos
, indexados pelo tempo , assim ,
1−ℜ∈ nA)i(
tΨ t 1Ψ −ℜ→ n)i()i(t A: 21,i = . Em particular,
tem-se: ( ))()(0
)( iii AΨ=Γ , ( ))()()( iit
i AΨ=γ e . Assume-se que estas
parametrizações são suficientemente suaves assim todas as derivadas necessárias
podem ser obtidas
)(0
)()( 0 iit
it ΨΨ ϕ=
48,49,50.
ξ
)2(A
Y
y
( )2t
Ψ
3ℜ)2(
tϕ
( )20
Ψ)2(γ
)2(Γ
Figura 5.3 – Parametrizações das superfícies de contato e )2(Γ )2(γ
Capítulo 5 – Formulação do Problema de Contato com Atrito
59
No caso tridimensional, um ponto é dado por )2(Α∈ξ ( )21,ξξ=ξ . Bases
para e são convenientemente definidas pelas derivadas parciais em
relação a estas variáveis:
)2(Γ )2(γ
( ) ( )ξα)2(
,0ΨξE =α (5.4)
( ) ( ) ( )( ) ( )ξEξΨFΨξe αttα)2(
0)2()2(
, == ξα , 2,1=α (5.5)
onde é o gradiente de deformação correspondente a . As expressões da
forma representam derivadas em relação a .
)2(tF
)2(ϕ
( )α,⋅ αξ
Para qualquer ponto é designado um ponto )1(Γ∈X )2(Γ∈Y que com a
minimização obtém-se . Pontos correspondentes nos domínios espacial (na
configuração corrente) e paramétrico são dados por e e obtém-se as relações a
seguir:
_
Y
_
y_
ξ
( ) ( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛== tt ,,
_)2(
0
_
XξΨXY
(5.6)
( ) ( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛== tt t ,,
_)2(
_
XξΨXy
(5.7)
A identificação de para um ponto depende do movimento de ambos os
corpos. Portanto, o objetivo é parametrizar as restrições pelos pontos ; a
projeção envolvida nesta caracterização é considerada implícita.
_
ξ X)1(Γ∈X
5.1.3.2 Particularização das bases
A particularização das bases para o ponto é dada por: _
ξ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
_
ξET αα
(5.8)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
_
ξet αα , 2,1=α
(5.9)
Nas equações acima as dependências de e em relação a e são
omitidas, embora exista a identificação de . Os vetores tangentes e
αT αt X t
( t,_
Xξ ) αT
Capítulo 5 – Formulação do Problema de Contato com Atrito
60
αt de fato descrevem uma base que mostra como o ponto se move em relação a
. O vetor normal no âmbito espacial é dado por:
X
)2(Γ
21
21:ttttv
××
=
(5.10)
A orientação da superfície é importante, uma vez que adota-se que as
parametrizações ( e ) são tais que a expressão da normal é a da normal
externa ao corpo (2), como mostrado na Fig. 5-2.
)2(γ
)2(0Ψ )2(
tΨ
5.1.3.3 Cinemática do atrito
A condição de persistência na resposta de contato, requer que a derivada da
folga em relação ao tempo seja igual a zero ( ) quando a força de contato é
diferente de zero. Esta condição tem importantes implicações para a cinemática do
atrito. Se , então teremos que a taxa de variação, no tempo, do vetor de
posição relativa entre
0=•
g
( ) 0, =•
tg X
( )t,)1( Xx ϕ= e tem que ser igual
a zero; isto é:
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= tt ,,
_)2( XYy ϕ
( ) ( ) 0,,,_
)2()1( =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛− ttt
dtd XYX ϕϕ
(5.11)
Resolvendo esta derivada no tempo, aplicando a regra da cadeia, obtém-se
uma importante expressão da velocidade relativa do material em : X
( ) ( )⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛− t
dtdttt t ,,,),(
__)2(
0)2(
_)2()1( XYξΨFXYVXV
(5.12)
Na expressão acima, o lado esquerdo da equação representa a diferença
entre as velocidades do material nos pontos e , e fisicamente representa a
razão de deslizamento de em relação à superfície adjacente
X_Y
X ( ))2()2()2( Γtϕγ = . O
lado direito da equação define a geometria que é muito usada quando definida a
evolução das leis de atrito:
( ) ( ) ( ) αα TXξXYX tt
dtdtVT ,,:,
__•
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
(5.13)
Capítulo 5 – Formulação do Problema de Contato com Atrito
61
Matematicamente, representa a velocidade tangencial relativa. A
velocidade tangente relativa não tem componente normal, considerando que foi
adotado, como ponto de partida, que a derivada da folga em relação ao tempo é
igual a zero ( ).
( tVT ,X )
0=•
gβαα
β δ=⋅TT (5.14)
onde é a base co-variante ou tangente e é a base contra-variante. Esta
relação é igualmente definida na configuração corrente como:
αTβT
βαα
β δ=tt
A métrica também pode ser expressa como:
βααβ TT ⋅=M (5.15)
A métrica na configuração corrente é similarmente construída: .
A inversa das métricas
βααβ tt ⋅=m
αβM e são definidas de maneira similar. αβm
Considerando que a velocidade relativa pode ser expressa na base dual,
na configuração corrente, obtém-se:
TV
( tbT ,Xv )
( ) αβαβ ξ tXXv ),),(
_
tMtbT
•
=
(5.16)
A força superficial de atrito também pode ser expressa na base dual:
( ) ( ) αα tXXtXt ),:,:),( )1( tttPt Tv
bT =−= (5.17)
Usando-se estas definições na velocidade de deslizamento e na força
superficial, tem-se a formulação de atrito de Coulomb como a seguir:
0: ≤−= NbT tμtΦ (5.18a)
0=−bT
bTb
T ttv ζ
(5.18b)
0≥ζ (5.18c)
0=ζΦ (5.18d)
Na formulação de atrito acima, nenhuma distinção é feita entre os
coeficientes de atrito estático e cinemático, e não é considerada a evolução do
coeficiente de atrito μ , isto é, não são considerados os efeitos de endurecimento
(“hardening”) e/ou amolecimento (“softening”).
Capítulo 5 – Formulação do Problema de Contato com Atrito
62
5.1.4 Método da Penalidade
5.1.4.1 Restrições de regularização
A solução de problemas de contorno sujeitos a restrições tais como as
condições de Kuhn-Tucker para o contato normal e as leis de atrito de Coulomb,
consiste em encontrar uma solução dentro de um espaço restrito. O uso da
formulação fraca destes problemas induz limitações nas variações admissíveis
impostas pelas restrições físicas. É possível superar estas limitações através do
uso dos Multiplicadores de Lagrange, mas resulta em um aumento das equações e
variáveis do problema. O método da Penalidade remove este aumento de graus de
liberdade do problema e faz cumprir as restrições de contato de forma aproximada
através do emprego do parâmetro da penalidade. A vantagem deste método está na
sua simplicidade e fácil implementação em elementos finitos. Além disso, se o
parâmetro de penalidade é escolhido adequadamente, resultados bastante
satisfatórios são obtidos. A introdução destas técnicas faz com que os algoritmos
empregados para a solução de problemas com atrito sejam análogos aos
algoritmos para resolver problemas elasto-plásticos.
A penalização das condições de Kuhn-Tucker para contato normal é
efetuada através da introdução da penalidade normal Nε através de:
gt NN ε= (5.19)
onde ⋅ representa a parte positiva do operando (colchete de Macauley). A
penalização torna-se exata quando ∞→Nε .
Definindo a penalidade tangencial Tε , a regularização para a resposta do
atrito pode ser expressa como a seguir:
0: ≤−= NbT tμtΦ (5.20a)
bTv
TbT
bTb
T L tttv
εζ 1
=− (5.20b)
0≥ζ (5.20c)
0=ζΦ (5.20d)
onde:
Capítulo 5 – Formulação do Problema de Contato com Atrito
63
αα tt T
bTv tL
•
=: (5.21)
A única diferença devida a penalização está na segunda equação, onde no
lado direito, o zero foi substituído pela penalização da derivada no tempo
(derivada de Lie) . A regularização somente torna-se exata quando bTvL t ∞→Tε ,
no caso que a taxa de deslizamento bT
bT
tt
ζ é forçada a ser igual que à velocidade
relativa . Estas equações são adequadas para a incorporação no Princípio dos
Trabalhos Virtuais e para a posterior implementação no Método dos Elementos
Finitos.
bTv
5.1.5 Algoritmos para mapeamento de retorno do atrito
Considerando um conjunto de sub-intervalos [ ]10 , += nnNn ttU , para resolver um
problema de valor de contorno de forma incremental, inicia-se cada passo com um
estado conhecido, que integra-se no tempo para se obter o estado . Existe
uma série de algoritmos para resolver estes problemas, sendo que a maioria deles
avalia o trabalho virtual interno e de contato em diferentes instantes , onde
nt 1+nt
α+nt
[ 1,0∈ ]α . Neste trabalho utiliza-se o algoritmo explícito de Euler, ou seja adota-se
1=α . Nesse algoritmo o trabalho virtual de contato e a sua linearização são
calculados no instante n+1, sendo que todos os dados em n são conhecidos.
Aplicando o algoritmo de Euler diretamente às equações (5.20), e utilizando as
expressões (5.16), (5.17) e substituindo nelas os termos: e
, obtém-se:
__
1
_ββ ξξξ nn −= +
•
nnn TTT ttt −=+
•
1
0:111 ≤−=
+++ nn NbTn tμtΦ (5.22a)
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+=
+
+
++ bT
TnnTTnT
n
n
n
tMtt
1
1__
11 tα
ααζξξε ββ
αβ (5.22b)
0≥ζ (5.22c)
01 =+ ζnΦ (5.22d)
Capítulo 5 – Formulação do Problema de Contato com Atrito
64
A atualização das tensões (incluindo o atrito) é obtida considerando o gap
normal (necessário para obter ) e o gap tangencial . O
problema é resolvido pela introdução de um estado preditor e de um mapeamento
de retorno, como utilizado em certos algoritmos na integração das equações
elasto-plásticas. Inicialmente considera-se um estado preditor:
1+ng1+nNt
__
1ββ ξξ nn −+
11 +=+ nNN gt
nε (5.23a)
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+= +
__
1ββ
αβ ξξεαα
nnNTtrial Mtt
nnT
(5.23b)
0:111 ≤−=
+++ n
trial
n NbT
trialn tμtΦ (5.23c)
seguido de uma verificação da condição de deslizamento: trialTnT n
ttαα 11 +
=+ se (aderência) 01 ≤+trialnΦ (5.24a)
trial
n
n
n bT
trialT
NnT
ttt
1
1
11
+
+
+=+
tα
αμ , caso contrário (deslizamento)
(5.24b)
As derivadas α1+
ΔnTt podem ser obtidas das equações (5.23) e (5.24). Para a
situação de aderência:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−Δ+Δ=Δ=Δ +++
__
1
_
,
_
:11
ββγγαβ
βαβ ξξξξε
αα nnTtrialTT MMtt
nn
(5.25a)
De forma semelhante, para o caso de deslizamento:
[ ]ααβαα
βγγββ
ββα ξξξμδ
μμε TTTNTTTb
T
NTNT Pptppt
tgpgHt
h
nntrial
n
n
n ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅+−Δ+Δ=Δ
++
+
+
+
__
,
_)2(
,11
1
1
1)( eup
t
(5.25b)
onde: trial
n
trial
n
bT
bT
T
tp
1
1
+
+=t
α . As não-linearidades ainda presentes após a operação de
linearização do trabalho virtual estão associadas ao termo: (rigidez
direta do atrito).
_
1
αξδα+
ΔnTt
Capítulo 5 – Formulação do Problema de Contato com Atrito
65
5.1.6 Formulação Variacional do Problema de Contato
Usando as notações da seção 5.1.1, as equações de equilíbrio e as condições
de contorno, para cada corpo e considerando uma resposta quase-estática, são
dadas a seguir:
0)()( =+ it
itDIV fP em )(iΩ (5.26a)
_)()(
0)( i
tii
t tnP = em )(iσΓ
(5.26b) _
)()( it
it ϕϕ = em )(i
ϕΓ
(5.26c)
onde: o primeiro tensor de tensão Piola-Kirchhoff no corpo (i), no tempo ;
a força prescrita no corpo (i), no tempo t ; a normal externa na
configuração de referência, para o corpo (i); e são as partes do contorno
do corpo (i) onde a força superficial ( ) e o deslocamento ( ) são
prescritos. O termo subscrito é associado a configuração no intervalo de
tempo . O termo pode ser governado por leis constitutivas elásticas
ou inelásticas.
)(itP t
)(itf
)(0in
)(iσΓ
)(iϕΓ
)(iΩ∂_
)(itt
_)(i
tϕ
t )(itϕ
[ Tt ,0= ] )(iP
Na formulação fraca das equações globais consideram-se as funções
para cada corpo (i), onde são todas as variações admissíveis
que satisfazem a condição em . Na linearização das
variações de e em são considerados os campos perturbados dados a
seguir:
)(*
)( ii U∈ϕ )(iU
3)(*
)( : ℜ→Ω iiϕ 0*
)( =iϕ )(iϕΓ
g_
ξ )1(ΓX∈
*)1()1()1( ϕεϕϕε +=
(5.27a)
*)2()2()2( ϕεϕϕε +=
(5.27b)
Assim, para um dado ( ))2()1( ,, ϕϕβ X , para todos os pontos )1(ΓX∈ , a sua
variação linearizada ( ))2()1( ,, ϕϕδβ X , usando a definição da derivada direcional, é:
( ) ( ))1()1()2()1( ,,,, εε ϕδβε
ϕϕδβ XXdd
= para 0=ε
(5.28)
Capítulo 5 – Formulação do Problema de Contato com Atrito
66
logo, a variação de g :
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−= vXYX )(
_)2()1( ϕϕδδg
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−= )()(
_)2()1( gsignXYX ϕϕδ
( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−⋅⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
__*)2(
*)1(
_)2()1( )()( α
α ξδϕϕϕϕ τXYXYXg
gsign
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⋅−= )(
_*)2(
*)1( XYXv ϕϕδg
(5.29)
O termo que contém desaparece devido à ortogonalidade existente
entre a normal e os vetores tangentes . É conveniente ressaltar que qualquer
termo baseado em , tal como , inclui de forma implícita ,
tornando-se necessário considerar a sua variação. A coordenada paramétrica
não pode ser expressa em função das deformações, assim o cálculo da sua
variação é feito de forma implícita como indicado a seguir:
_αξδ
v ατ
)(_
XY )2(tϕ )(
_
Xξ
_
ξ
_αξδ
0)()(_
)2()1( =⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛− αϕϕ τXYX
(5.30)
A expressão (5.30) garante que é a projeção de em
, e a sua variação linerizada é dada por:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ )(
_)2( XYϕ )()1( Xϕ
)2(γ
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
__
,
_*2,
__*)2(
*)1( )()()(0 β
βαααγ
γ ξδϕξδϕϕ ξeXYvττXYX g
(5.31)
ou
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅−⋅
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−= )()(
_*)2(
,
_*)2(
*)1(
_
XYvτXYX ααγ
αβ ϕϕϕξδ gA
(5.32)
onde:
)(_
, ξev βααβαβ ⋅+= gmA (5.33)
A simplificação da variação para o caso de _βξδ 0=g é dada a seguir:
Capítulo 5 – Formulação do Problema de Contato com Atrito
67
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⋅= )(
_*)2(
*)1(
_
XYXτ ϕϕξδ ββ
(5.34)
5.1.6.1 Trabalho Virtual de Contato
Multiplicando a equação de equilíbrio (5.26a) por , integrando
em e aplicando a integração por partes obtém-se:
)(*
)( ii U∈ϕ
)(iΩ
∫ ∫∫Ω ΓΩ
Γ⋅−Ω⋅−Ω⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅=
)( )()(
)(*
)(_
)()(*
)()()(*
)()(*
)()()( :),(i ii
iiiiiit
iiit
iit
i dddGRADGσ
σϕϕϕϕϕ tfP
(5.35a)
∫Γ
Γ⋅=)(
)(*
)(_
)(
i
iiit dϕt
(5.35b)
A equação acima tem que ser satisfeita por cada corpo durante todo o tempo
. O termo representa a soma do trabalho virtual interno e o
trabalho virtual das forças aplicadas no corpo , assim:
t ),(*
)()()( iit
iG ϕϕ
)(i
),(),(:,*
)2()2()2(*
)2()1()1(*
ϕϕϕϕϕϕ ttt GGG +=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∫∫ΓΓ
Γ⋅+Γ⋅=)2()1(
)2(*
)2(_
)2()1(*
)1(_
)1( dd tt ϕϕ tt
(5.36)
onde tϕ abrange os mapeamentos de ambos os corpos e . Idem
para .
)1(tϕ
)2(tϕ
*ϕ
O lado direito da expressão (5.36) representa o trabalho virtual referente ao
contato, que pode ser representado numa única integral no contorno . Para
cada ponto , torna-se necessário que a força de contato induzida no corpo
(2) em seja igual mas com sentido oposto daquela produzida no corpo (1) em
; sendo assim, tem-se:
)1(Γ)1(ΓX∈
_
Y
X
)1()1()2(_
)2( )()( Γ−=Γ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ dd tt XtXYt
(5.37)
Capítulo 5 – Formulação do Problema de Contato com Atrito
68
Adota-se que para um dado instante, em todas as áreas em que ocorre
contato, é considerado ser indexado por )2(Γ )1(Γ∈X pela identificação dos
pontos . Substituindo (5.34) em (5.36), teremos a contribuição do
contato, numa única integral em :
)2(_
)( ΓXY ∈
)1(Γ
0)()(*
,
*
, =+ ϕϕϕϕ tct GG (5.38)
∫Γ
Γ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−⋅−=
)1(
)1(_*
)2(*
)1()1(*
)()()(),( dG ttc XYXXt ϕϕϕϕ
(5.39)
[ ] )1(_*
)2(*
)1(*
)1(
)()(),( Γ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⋅−−= ∫
Γ
dttG TNtc XYXτv ϕϕϕϕ αα
∫Γ
Γ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
)1(
)1(_
dtgttt TN
αα ξδδ
(5.40)
onde as forças superficiais de contato são dadas nas equações (5.19) e
(5.20). Esta formulação do trabalho virtual de contato é obtida diretamente da
forma forte das equações, isto é possível devido à estrutura geométrica das
restrições de contato.
Na determinação de (5.40), foi utilizada (5.34) em lugar de (5.32) para
definir . Considerando a solução, (5.38) tem que satisfazer as restrições de
contato, a folga
_αξ
g tem que ser igual a zero em todos os pontos onde o integrando
de (4.40) é diferente de zero.
5.1.6.2 Linearização do Trabalho Virtual de Contato
A solução implícita da equação não-linear (5.38) requer a linearização das
equações governantes. A linearização do trabalho virtual de contato , pode ser
obtida no contínuo, somente com a parcela da rigidez do atrito, baseada em
algoritmos para a obtenção das forças superficiais de contato.
cG
Assim como a primeira linearização (direcionada para ) de *ϕ );( ϕβ X foi
definida como );( ϕδβ X assim a segunda derivada (direcionada para ) é u
Capítulo 5 – Formulação do Problema de Contato com Atrito
69
definida como );( ϕβ XΔ . O cálculo da derivada de (5.40) torna-se fácil, devido ao
fato que a integral é computada na configuração de referência. Somente o
integrando varia com o movimento. Analisando os termos do contato normal, a
derivada direcional de é dada por: Nt
gt NN εΔ=Δ
ggg
N Δ∂∂
= ε
( ) ggHt NN Δ=Δ ε (5.41)
onde , é a função Heaviside: )(gH 1)( =gH se ou 0>g 0)( =gH se ; a
derivada não é definida quando
0<g
0=g . A expressão para gΔ é dada por:
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⋅−=Δ )(
_*)2()( XYuXuv ig e )( gδΔ :
( ) ( ) ( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⋅+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
Δ+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⋅
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⋅=Δ XYuvξeXYuvξeXYv
_)2(
,
___
,
_)2(
,
__
,
_*)2(
, )()()( ββα
αββγβα
αγγ ξδξξδϕδ mgg
( )___
,
_*)2(
,
_
)( αβαββ
β ξξδϕξ Δ⋅+⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⋅Δ+ ξevXY
(5.42)
onde é obtida da expressão:
onde é dada por
(5.33). Portanto, a expressão para
_βξΔ
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅−⋅
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=Δ )()(
_)2(
,
_)2()1(
_
XYuvτXYuXu ααγ
αβ ξ gA αβA
( )gtNδΔ :
( ) ( ) ( )gtgtgt NNN δδδ Δ+Δ=Δ (5.43)
Na linearização dos termos de contato com atrito, o cálculo de , vai
depender do algoritmo usado para integrar as equações (5.20). A contribuição
permanente (geométrica) da linearização do atrito é dada pelo termo ,
calculado de forma implícita, através da derivada direcional:
TtΔ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Δ
_αξδ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅−Δ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Δ
___
,
_
,
__)2(
,
__*)2(
,
_γβ
βγαγβαα
βαα
βαβ
αβ ξξδξδξϕξδ ξevξetYuτYτ gA
( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅Δ−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅−
__
,
_*)2(
,
___
,
_)2(
,
_γ
γααββγ
γααββ ξδϕξξξδ ξeXYtξeXYut
Capítulo 5 – Formulação do Problema de Contato com Atrito
70
( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅−Δ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅−
__
,
_)2(
,
_*)2(
*)1(
__)2(
,
__*)2(
, )()()( γγαα
ααβ
βαβ ξϕϕξδξϕ ξeXYuXYXXYuXYvg
( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −+
__
,
_*)2(
,
_)2()1( )()( γ
γαα ξδϕ ξeXYXYuXu
(5.44)
onde é dado pela expressão (5.33). Pode-se verificar que a equação (5.44) é
também simétrica em relação a e . Portanto, a linearização do trabalho virtual
de contato devido ao atrito é:
αβA
*ϕ u
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
Γ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+Δ=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛Δ ∫
Γ )1(
)1(_*
, dtgtG TNtcαξδδϕϕ
α
( )∫Γ
Γ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Δ+Δ+Δ=
)1(
)1(__
dttgt TTNαα ξδξδδ
αα
(5.45)
a não-simetria da linearização do PTV referente ao atrito provém do termo
. _αξδ
αTtΔ
5.2 Implementação da Formulação em Elementos Finitos: Método da Penalidade
Na discretização em elementos finitos são utilizados e em
contrapartida a e . Os mapeamentos e são um conjunto de
mapeamentos locais, definidos sobre a superfície de cada elemento, com
, cuja expressão é dada a seguir.
hi)(ϕ*
)( hiϕ
)(iϕ*
)(iϕhi)(ϕ
*)( hiϕ
( )ηh
e)1(ϕ
h
eA )1(∈η
( ) ( )∑=
=eh
n
aa
ae N
1
)1()1( ϕϕ ηη
(5.46)
onde é o valor nodal de , e é o número de nós em cada superfície do
elemento. , representa a função de forma isoparamétrica padrão. Da mesma
forma é feita a interpolação de . Usando o esquema de interpolação
isoparamétrica, pode-se obter também:
1)(aϕ
h)1(ϕ en
( )ηaN*
)1(ϕ
Capítulo 5 – Formulação do Problema de Contato com Atrito
71
( ) ( )∑=
=en
aa
ahe N
1
XηηX
(5.47)
Da forma análoga a (5.46) e (5.47) pode ser obtida para o corpo (2).
Assim, o trabalho virtual de contato na forma discretizada pode ser expresso
como a seguir:
∫Γ
Γ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
hi
hh
dtgtG hT
ht
hN
hhtc
)(
)1(_*
, αξδδϕϕ
(5.48)
A equação (5.48) pode ser escrita como um somatório das integrais nas superfícies
dos elementos em : elnh)1(Γ
∑ ∫=
Γ
Γ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ el
hej
hhn
jej
hT
hhN
hhtc dtgtG
1
)1(_*
)1(
, αξδδϕϕ
(5.49)
onde cada sub-integral acima é avaliada usando uma quadratura adequada. Assim,
aplicando a regra de quadratura e realizando a mudança de variáveis para o
domínio padrão (parametrização: ) obtém-se: h
eA )1(
( ) ( )∑ ∑= = ⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+≈⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ el hn
j
n
k
kkhT
khkhN
kkhhc tgtjWG
1 1
_* int
)()()(, ηηηηη αξδδϕϕα
( )∑ ∑= = ⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧
⋅=eln
j
n
k
kc
kc
kk jW1 1
int
RΦη δ
(5.50)
onde é o número de pontos de integração para a superfície de cada elemento
de , que depende da regra de quadratura usada; é o peso da quadratura
correspondente ao ponto local da quadratura ;
intnh)1(Γ kW
k ( )kj η é o jacobiano da
transformação em relação ao domínio de referência; é o vetor das variações
nodais correspondente ao ponto k da quadratura e é o vetor residual para o
ponto da quadratura. Os termos
kcΦδ
kcR
k ( )khg ηδ e são obtidos usando as
expressões (5.29) e (5.34), com seus correspondentes campos discretos.
( kh
η_αξδ )
Através da linearização de (5.50) obtém-se a rigidez de contato necessária
para a solução de (5.38) pelo método de Newton-Raphson. Esta linearização se
obtém através da aplicação da quadratura a (5.45), isto porque a definição de
envolve uma integral na configuração de referência, assim tem-se:
cG
Capítulo 5 – Formulação do Problema de Contato com Atrito
72
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑= = ⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡Δ+Δ+Δ≈⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Δ
el hhn
j
n
k
kkhT
kkhT
khkhN
kkhhc ttgtjWG
1 1
__* int
, ηηηηηηη αα ξδξδδϕϕαα
( )∑ ∑= = ⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧
Δ⋅=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Δ
eln
j
n
k
kc
kc
kc
kkhhc jWG
1 1
* int
, ΦKΦη δϕϕ (5.51)
onde: é matriz de rigidez de contato; os termos e
são dados por (5.43) e (5.44), com suas respectivos componentes
discretos. O vetor contém os valores nodais de , que é a representação em
elementos finitos de . O termo
kcK ( ) ( )[ ]khkh
N gt ηη δΔ
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡Δ kh
η_αξδ
kcΦΔ hu
u ( )khTt ηΔ é obtido pelo algoritmo de retorno.
Adota-se a quadratura nodal para definir (5.50) e (5.51), e o elemento
sólido híbrido Enhanced Assumed Strain – EAS (Roehl & Ramm, 1996) de oito
(8) nós (BRICK8-E3) é usado para a discretização em elementos finitos. Devido
ao fato que a contribuição total de contato é a soma das contribuições individuais
de cada ponto da quadratura, enfoca-se a um ponto da quadratura a definição da
matriz de rigidez e do vetor residual . cK cR
A posição corrente do ponto da quadratura (escravo) é definido como
sendo e a superfície mestre contém a sua projeção em definido no
elemento como . Adota-se que encontra-se no interior contínuo da
superfície do elemento (ver Fig. 5-4).
x_
yh)2(γ
h
e)2(γ
_
yh
e)2(γ
Figura 5.4 – Definição do ponto escravo e da superfície mestre em 3D
Capítulo 5 – Formulação do Problema de Contato com Atrito
73
Considerando que a quadratura nodal está sendo usada, o ponto de
quadratura escravo é de fato o nó escravo. Assim, Φδ é vetor que contém as
variações deste nó escravo ( ) e as variações dos nós da superfície mestre
em ( ). Logo, os vetores das variações são dados a seguir:
)(*
)1( Xϕ
h
e)2(γ 41),(
*)2( −=aYϕ
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
)(
)(
)(
)(
)(
4
*)2(
3
*)2(
2
*)2(
1
*)2(
*)1(
Y
Y
Y
Y
X
Φ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
δ
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=Δ
)()()()()(
4)2(
3)2(
2)2(
1)2(
)1(
YuYuYuYuXu
Φ
(5.52)
A seguir são definidos os vetores que são usados nas expressões da matriz
de rigidez e do vetor residual para o contato com atrito:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
=
vξ
vξ
vξ
vξv
N
)(
)(
)(
)(
_
4
_
3
_
2
_
1
N
N
N
N
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
=
α
α
α
α
α
α
τξ
τξ
τξ
τξ
τ
T
)(
)(
)(
)(
_
4
_
3
_
2
_
1
N
N
N
N
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
=
vξ
vξ
vξ
vξ
N
)(
)(
)(
)(0
_
,4
_
,3
_
,2
_
,1
α
α
α
α
α
N
N
N
N
(5.53)
onde 2,1=α para as definições de e ; αT αN 4,1, =aNa , representa as funções
de forma isoparamétricas que definem a superfície mestre ( ). Os vetores
definidos a seguir dependem das definições acima (5.53):
h
e)2(γ
[ ] ( ) ([ ]221211221 det1 NTNTA
D gAgA +−+= )
(5.54a)
[ ] ( ) ([ ]111222112 det1 NTNTA
D gAgA +−+= )
(5.54b)
2
_
2,111
_
))(( DvξeNN ⋅−=
(5.54c)
1
_
2,122
_
))(( DvξeNN ⋅−=
(5.54d)
E a matriz é dada em (5.33). Comparando os vetores acima com a expressão
(5.50) torna-se fácil obter a expressão para :
A
cR
Capítulo 5 – Formulação do Problema de Contato com Atrito
74
21 21DDNR TTNc ttt ++= (5.55)
onde as equações para e são dadas por (5.23) e (5.24). A rigidez de contato
é decomposta em uma parcela de rigidez normal e outra de rigidez tangencial:
NtαTt
TN ccc KKK += (5.56)
onde as expressões para e são extraídas de (5.51), (5.43), (5.44) e
(5.25). Assim, a rigidez normal é:
NcK tcK
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++=
TTTT
NT
Nc mmmgtgHKN
2
_
2
_22
1
_
2
_
2
_
1
_12
1
_
1
_11)( NNNNNNNNNNε
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+−−−−+ TTTTTT
Nt 1221
_
2,122112211 )( DDDDvξeDNDNNDND
(5.57)
Para se obter a rigidez tangencial torna-se necessário definir também os
termos a seguir:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
=
αβ
αβ
αβ
αβ
αβ
τξ
τξ
τξ
τξ
T
)(
)(
)(
)(0
_
,4
_
,3
_
,2
_
,1
N
N
N
N
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
=
vξ
vξ
vξ
vξ
N
)(
)(
)(
)(0
_
,4
_
,3
_
,2
_
,1
αβ
αβ
αβ
αβ
αβ
N
N
N
N
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
=
T
T
T
T
N
N
N
N
pξ
pξ
pξ
pξ
P
)(
)(
)(
)(0
_
,4
_
,3
_
,2
_
,1
α
α
α
α
α
(5.58)
onde 2,1, =βα e trial
n
trial
n
bT
bT
T
tp
1
1
+
+=t
α ., discutido no item (5.5). Neste caso, onde a
superfície mestre é definida por funções de interpolação bi-linear, os termos e
são iguais a zero. Baseado nisto definem-se os termos a seguir:
11N
22N
2
_
2,111
_)( DτeTT ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅−= ααα ξ
(5.59a)
1
_
2,122
_)( DτeTT ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅−= ααα ξ
(5.59b)
2
_
2,111
_
)( DpePP ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅−= Tξ
(5.59c)
1
_
2,122
_)( DpePP ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅−= Tξ
(5.59d)
Capítulo 5 – Formulação do Problema de Contato com Atrito
75
logo, teremos a expressão de : TcK
[ ] [ ]221121
22121211TTTT cTTcTT
diretacc AtAtAtAt KKKK ++++= (5.60)
onde:
( )TTTTTTcT 12211
_
2,1122111212111 )(1
DDDDτeTDTDDTDTK +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅−+++= ξ
( )TTTT
TT g 12221221
_
211
_
1221
_
111
_NDDNTDTDDTDT ++++++
TTT
mmmm ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−− 21
_22
11
_21
221
_12
11
_11
11
_TTTTTTNN
TTT
mmmm 221
_22
11
_21
121
_12
11
_11
1
_TTTTTTNN ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−−
(5.61)
( )TTTTTTcT 12212
_
2,1222211222121 )(2
DDDDτeTDTDDTDTK +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅−+++= ξ
( )TTTT
TT g 21112122
_
212
_
1222
_
112
_NDDNTDTDDTDT ++++++
TTT
mmmm ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−− 22
_22
12
_21
222
_12
12
_11
12
_TTTTTTNN
TTT
mmmm 222
_22
12
_21
122
_12
12
_11
2
_TTTTTTNN ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−−
(5.62)
A parcela depende se prevalece a aderência ou o deslizamento. diretacT
K
Para o caso com aderência:
( ) ( )[ ]TTT
TT
TTTTT
diretac gkgkgkMMM
T 212
21
1112
122221221121111 2 DDDDDDDDDDDDK ++++++= ε
( )[ ]TT
TTTT gkgkgk 22
1212
11
222 DDDD +++ ε (5.63)
onde: e __
1ααα ξξ nnTg −= + αα TξE ⋅= )(
_
2,1k
Para o caso com deslizamento:
[ ] TTTN
diretac ppgH
TNDDK 2211)( += με
( )( ) ( )[ ] TTTTTTTTtrial
T
NT gkgkMppgkMppt
111
12
21222
1111 21
11DD
τ++−+−+
με
( )( ) ([ ] TTTTTTTTtrial
T
NT gkMppgkgkMppt
122
11111
12
2122
2221 DD
τ+−++−+
με )
Capítulo 5 – Formulação do Problema de Contato com Atrito
76
( )( ) ([ ] TTTTTTTTtrial
T
NT gkMppgkgkMppt
211
22222
21
1121
2221 DD
τ+−++−+
με )
( )( ) ( )[ ] TTTTTTTTtrial
T
NT gkgkMppgkMppt
222
21
11211
2222 21
22DD
τ++−+−+
με
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+++−
T
TT
T
TT
T
TT
T
TTN ppppppppt 2
_
22
2
_
12
1
_
21
1
_
11
2221PDPDPDPDμ
(5.64)
Capítulo 5 – Formulação do Problema de Contato com Atrito
77
5.3 Fluxograma do Método da Penalidade: PC com atrito
INICIO
Inicializa o contador dos passos de carga, n = 1.
Atualiza a geometria de contato: nova lista de nós de contato.
Inicializa o contador das interações de equilíbrio, k=0
Matriz de rigidez: )(_
kuK Forças externas e internas: )()( kk uFRur −=
Folga Normal e Folga Tangencial
Matriz de rigidez de contato: )( kc uK
Força de contato: cR
Matriz de rigidez global: )()(_
kc
k uKuK +
Vetor de forças global: ( ) ( ) ckk Rurur −=
_
Decomposição LDLT da matriz )(uΚ k
Resolve: )()(_
11 kTkk urLDLuu −+ +=
Capítulo 5 – Formulação do Problema de Contato com Atrito
78
Figura 5.5 – Fluxograma do Método da Penalidade: PC com atrito
não
sim
Convergência
k = k+1
Imprime os deslocamentos nodais, tensões e forças de contato.
Novo passo de carga n=n+1
sim
não
FIM
6 APLICAÇÕES
O método dos elementos finitos é uma ferramenta que devido a sua
versatilidade, permite a modelagem numérica de diversos problemas da
engenharia considerando as recomendações práticas de projeto. Na aplicação a
situações de interesse de engenharia o problema analisado pode ter geometria,
carregamento e condições de contorno arbitrárias, sendo necessária experiência
para representar corretamente esses atributos.
Neste capítulo apresentam-se análises numéricas com o intuito de verificar a
resposta da formulação proposta para a solução do problema de contato com
atrito. O Método da Penalidade para consideração do contato com atrito foi
implementado no programa de elementos finitos CARAT (Computer Aided
Research Analysis Tool - Universitat Stuttgart) disponível no departamento de
Engenharia Civil da PUC/Rio, como já comentado no Capitulo 4, seção 4.3.1. No
desenvolvimento deste programa ferramentas adicionais vêm sendo introduzidas,
entre as quais a consideração do contato sem atrito entre corpos deformáveis são
de grande importância para as análises a serem apresentadas.
As primeiras análises realizadas têm como objetivo principal validar o
algoritmo de contato implementado. Subseqüentemente análises voltadas para a
aplicação da análise de dutos enterrados considerando a interação solo-duto
através do algoritmo de contato apresentado no capitulo 5. Os exemplos que serão
apresentados a seguir incluem exemplos bi e tridimensionais. Os modelos a serem
representados por a formulação implementada podem incluir grandes deformações
e grandes deslocamentos além de não linearidade do material.
O programa POS3D do grupo Tecgraf da PUC-Rio foi utilizado para a
visualização da geometria, discretização da malha em elementos finitos e os
resultados obtidos tais como tensões e deslocamentos.
Capítulo 6 – Aplicações
80
6.1 EXEMPLOS DE VALIDAÇÃO
Este item tem por objetivo apresentar alguns exemplos que validem as
implementações computacionais realizadas.
6.1. 1 BLOCO ELÁSTICO com L>>H
O problema consiste em um bloco elástico onde L>>H apoiado em um
material rígido. Na interface entre a base do bloco e o material rígido considera-se
a ação do atrito. O bloco é submetido a uma força de compressão P na face oposta
a da face que está totalmente restringida (ver Fig. 6.1). Na face horizontal superior
o deslocamento vertical é impedido. Para a análise deste problema utilizou-se o
método da Penalidade. A lei de atrito de Coulomb é aplicada entre o bloco e a
fundação.
y y
H
z xL
P
Figura 6.1 – Definição do problema do bloco elástico L>>H
Este problema é utilizado como referência nos problemas de contato com
atrito. Os resultados obtidos foram comparados com os resultados obtidos tanto na
solução analítica quanto na solução numérica desenvolvida por Hird & Russell88.
A seguir será apresentada a definição do problema e a sua solução analítica.
Solução Analítica
Considerando um elemento de tamanho infitesimal, como mostrado na
Figura 6.2, a hipótese simplificadora adotada é que para um bloco com L>>H as
tensões normais (σ) e as deformações diretas (ε) não variam significativamente
com H acima da interface.
Capítulo 6 – Aplicações
81
dx
σx+ dσxσx
τ
Figura 6.2 – Tensões atuando no elemento infitesimal
Da teoria da elasticidade, as deformações no elemento são:
1 ( )
1 ( )
1 ( )
x x y z
y y x z
z z x y
E
E0
0E
ε σ υ σ σ
ε σ υ σ σ
ε σ υ σ σ
⎡ ⎤= − +⎣ ⎦
⎡ ⎤= − +⎣ ⎦
⎡ ⎤= − +⎣ ⎦
=
=
(6.1)
onde E é o módulo de Young e υ é o coeficiente de Poisson. Considerando as
equações (6.1) pode-se obter a relação entre a tensão (σx) e a deformação (εx) na
direção longitudinal:
( )( )2
11 2x x
E υσ ε
υ υ−
=− − ⋅
(6.2)
O deslocamento de cisalhamento relativo na interface, w, é relativo a εx
por:
xdwdx
ε=
(6.3)
Consequentemente,
( )( )2
11 2x
E dwdx
υσ
υ υ−
= ⋅− − ⋅
(6.4)
Por equilíbrio na direção longitudinal,
( )x xH dx dσ τ σ σ⋅ + ⋅ = + ⋅x H (6.5)
onde τ é a tensão de cisalhamento na interface. Assim tem-se:
xddx Hσ τ
=
(6.6)
Capítulo 6 – Aplicações
82
Considerando as características da interface, de acordo com a Figura 6.3
tem-se:
sk wτ = ⋅ (6.7)
ks1
τmax
w
Figura 6.3 – Comportamento Constitutivo do elemento de interface: tensão cisalhante
versus deslocamento de cisalhamento relativo
onde ks é o parâmetro de rigidez de cisalhamento. Substituindo a tensão de
cisalhamento (τ) na equação 6.6 obtém-se:
x sd kdx H
wσ ⋅=
(6.8)
Pela diferenciação da tensão σx, definida na equação (6.4) tem-se:
( )( )
2
22
11 2
x Ed d wdx dx
υσυ υ
−=
− − ⋅
(6.9)
Combinando as equações (6.8) e (6.9) obtém-se:
2
22 0d w a w
dx− =
(6.10)
onde: ( )
( )
22
1 21
ska
E Hυ υ
υ
⋅ − − ⋅=
⋅ ⋅ −
A solução para a equação (6.10) pode ser expressa como:
1 2ax axw C e C e−= ⋅ + ⋅ (6.11)
onde C1 e C2 são constantes, obtidas pela aplicação das condições de contorno.
Quando x=0, w=0, assim:
C C 1 2 0+ = (6.12)
Capítulo 6 – Aplicações
83
Se o deslizamento ocorre na interface quando x≥x1, assim em x=x1, w=w1
onde w1 é definido na Figura 6.3.
Consequentemente:
1 11 1 2
ax axw C e C e−= ⋅ + ⋅ (6.13)
Pela combinação das equações (6.12) e (6.13) tem-se:
1 1
11 2 ax ax
wC Ce e−= − =
− (6.14)
A distribuição da tensão cisalhante entre x=0 e x=x1 é dado por:
1 11
ax ax
s s ax ax
e ek w k we e
τ−
−
−= ⋅ = ⋅ =
−
(6.15)
A tensão normal longitudinal em x=x1, σx1, pode ser calculada utilizando a
equação (6.4):
( )( ) 1
1 2
11 2x
x x
E dwdx
υσ
υ υ =
− ⎡ ⎤= ⋅ ⎢ ⎥− − ⋅ ⎣ ⎦
(6.16)
Consequentemente, após a avaliação de 1x x
dwdx =
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
pela diferenciação da
equação (6.11):
1 1
1 1
11
ax axs
x ax ax
k w e ea H e e
σ−
−
⋅ +=
⋅ −
(6.17)
Para o deslizamento de uma parte do bloco, entre x=x1 e x=L, a tensão de
cisalhamento na interface é constante max 1sk wτ τ= = ⋅ . Equilíbrio longitudinal
desta parte requer que:
( )1 1x s 1p H H k w Lσ⋅ = ⋅ + ⋅ − x (6.18)
onde p é a pressão aplicada em x=L.
Portanto, após substituição para σx1 na equação (6.17):
( )1 1
1 1
11
ax axs
ax ax
k w e ep a L xa H e e
−
−
⎡ ⎤⋅ += + ⋅⎢ ⎥⋅ −⎣ ⎦
− (6.19)
Esta análise não é rigorosa, considerando que é baseada na hipótese que as
condições de tensão-deformação são uniformes na seção transversal. Na realidade,
a tensão σx e a deformação εx serão menores perto no contorno inferior restrito
longitudinalmente do que perto do contorno superior irrestrito.
Capítulo 6 – Aplicações
84
A solução analítica foi desenvolvida para a compressão do bloco elástico
(L>>H) lateralmente restrito e apoiado em um material rígido. A solução permite
a distribuição da tensão cisalhante na interface com o material rígido e fornece
uma referência para testar a implementação do algoritmo do problema de contato
com atrito aplicado à interação solo-estrutura utilizando elementos finitos (Hird &
Russell88).
As características do problema são dadas a seguir:
Comprimento: L=10 m
Relação comprimento-altura: L/H=10
Carregamento aplicado: P=100 kPa (inicial)
Módulo de elasticidade: E=1.0 e5 kPa
Coeficiente de Poisson: v=0.0
0.0
5.0
10.0
15.0
20.0
25.0
0 2 4 6 8 10
Coordenada em X (m)
Desl
ocam
ento
s Ho
rizo
ntai
s (m
m)
FORMULAÇÃO ANALÍTICAp=400 kPa
Figura 6.4 – Deslocamentos Horizontais na interface obtidos com a formulação analítica
Solução Numérica: Método de Penalidade considerando contato com atrito
A discretização da malha em elementos finitos é dada a seguir, na figura 6.5.
Capítulo 6 – Aplicações
85
Interface
Figura 6.5 - Discretização da malha em elementos finitos para o problema bloco L>>H
O bloco e a base foram modelados com trinta elementos isoparamétricos
com a formulação híbrida mista em deformações do tipo EAS denominada aqui
Hexa8-E3. Estes elementos são compatíveis cinematicamente com a formulação
de contato com atrito implementada.
Uma pequena tensão normal de compressão (0.1 kPa) é aplicada
inicialmente, como artifício para manter inicialmente um estado compressivo.
Para a análise deste problema utilizou-se o método da Penalidade com
penalidade normal e com penalidade tangencial . A lei de atrito
de Coulomb que se assume surge entre o bloco e a fundação tem um coeficiente
de atrito
610Nε = 410Tε =
0.1μ = . Para aplicação do carregamento total foi utilizado o controle de
carga em sete passos. Para a escolha dos parâmetros de penalidade (normal e
tangencial) e do coeficiente de atrito foi necessária uma calibração do modelo. No
método da penalidade a escolha dos parâmetros de penalidade é o ponto crucial na
utilização do mesmo.
Capítulo 6 – Aplicações
86
0.0
5.0
10.0
15.0
20.0
25.0
0 2 4 6 8
Coordenadas em X (m)
Des
loca
men
tos
Hor
izon
tais
(m
m)
10
FORMULAÇÃO ANALÍTICA
FORMULAÇÃO CARAT 3D
Figura 6.6 - Deslocamentos Horizontais na Interface obtidos na Formulação Analítica e na
Formulação desenvolvida (CARAT 3D)
Os resultados obtidos foram comparados também com os resultados obtidos
na solução numérica desenvolvida por Hird & Russell88. Eles utilizaram um
modelo bi-dimensional com vinte (20) elementos triangulares para representar o
bloco e elementos de interface com espessura zero com as seguintes
características: kPa/m e 410sk = max 30τ = kPa.
0.0
5.0
10.0
15.0
20.0
25.0
0 2 4 6 8
Coordendas en X (m)
Des
loca
men
tos
Hori
zont
ais
(mm
)
10
FORMULAÇÃO HIRD & RUSSELL
FORMULAÇÃO CARAT 3D
Figura 6.7 - Deslocamentos na interface CARAT versus Hird & Russell: diferentes níveis
de carregamento
Capítulo 6 – Aplicações
87
6.1. 2 LIGAÇÃO DE PLACA DE EXTREMIDADE
Neste exemplo é feita a análise do comportamento semi-rígido de uma
ligação viga-coluna tipo placa de extremidade estendida, que consiste em uma
placa de extremidade cujo comprimento é maior do que a altura da viga, sendo
mais prolongada junto à parte tracionada da seção da viga (ver Figura 6.8). Esta
aplicação é baseada nos trabalhos desenvolvidos por Rothert, Gebbeken &
Binder89.
O objetivo deste exemplo é verificar o algoritmo de contato implementado
para problemas 3D. Uma finalidade importante é comparar os resultados obtidos
pelos métodos da Penalidade com a curva carga x deslocamento experimental
fornecida pelo trabalho de Rothert , Gebbeken & Binder89 servindo de base de
comparação.
Esta análise se concentra na região da alma e da mesa da coluna que está
ligada à viga através da placa de extremidade na parte tracionada pela mesa da
viga (ver Figura 6.8). A placa de extremidade é considerada rígida quando
comparada com a espessura da mesa da coluna. Assume-se que não há
carregamento fora do plano yz (alma da coluna) e por isso as condições de
contorno são aplicadas de forma a não permitir deslocamentos fora deste plano.
área de contato
h
F
F
área tracionada
M
δ
θ
z
x
Figura 6.8 - Detalhe da zona de contato e o carregamento no plano89.
Capítulo 6 – Aplicações
88
Devido à simetria, na discretização da malha em elementos finitos
considerou-se somente um oitavo da ligação. O detalhe do trecho da coluna
analisado e a discretização em elementos finitos são mostrados respectivamente
nas figuras abaixo:
200
45 155
100
4532
.518
4.5
medidas em mm
100
85
671815
A.
A.
F
Fv
vF
.A
F
yz
zx
y x
Figura 6.9 – Características geométricas do modelo reduzido89
O aço empregado nos perfis é o St37, o módulo de elasticidade vale
E m= 21 2. / E8 kN , o material segue a lei de escoamento J2, sem encruamento,
com tensão de escoamento igual σ . Para o parafuso adota-se o
mesmo modelo do material com tensão de escoamento . As
forças externas F são modeladas por forças nodais na alma da coluna, equivalentes
a uma carga uniformemente distribuída.
y m= 2 4 2. / E5 kN
σ y m= 10 2. / E5 kN
Para a análise deste problema foi utilizado o Método da Penalidade com
penalidade normal e com penalidade tangencial . O
carregamento total foi atingido através de controle de deslocamento.
310Nε = 110Tε =
As curvas carga x deslocamento obtidas pelo método da Penalidade
considerando elementos Hexa8-E3 com integração 3x3x3 e pela curva
experimental obtida por Rothert , Gebbeken & Binder89 no instante final podem
ser visualizadas na Figura 6.10 .
Capítulo 6 – Aplicações
89
0
100
200
300
400
500
600
0 1 2 3 4 5
Deslocamentos (mm)
Car
ga (K
N)
Experimental Rother et al
CARAT 3D Hexa8-E3
Figura 6.10 – Comparação dos resultados das análises experimental de Rother et al. E a
análise numérica com CARAT 3D com elementos Hexa8-E3.
A deformada para o método da Penalidade é apresentada na Figura 6.11.
Figura 6.11 – Deformada da ligação de placa de extremidade no instante final
(maximização em 25 vezes)
Capítulo 6 – Aplicações
90
Neste exemplo foi analisada a variação dos parâmetros de penalidade
normal e tangencial. Os parâmetros utilizados nas análises são mostrados na
tabela a seguir.
Parâmetros Valor Valor Valor Valor
Penalidade Normal 1.0e+3 1.0e+2 1.0e+3 1.0e+4
Penalidade Tangencial 1.0e+1 1.0e+2 1.0e+2 1.0e+2
Tolerância ao Gap 1.0e-4 1.0e-4 1.0e-4 1.0e-4
Coeficiente de atrito 0.1 0.1 0.1 0.1 Tabela 6.1 – Variação de parâmetros de penalidade nas análises realizadas
Os resultados obtidos estão resumidos na Figura 6.12
0.0
100.0
200.0
300.0
400.0
500.0
600.0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
Deslocamentos (mm)
Car
ga (k
N)
CARAT 3D (pn=3, pt=2)
Experimental Rother et al
CARAT 3D (pn=4, pt=2)
CARAT 3D (pn=3, pt=1)
CARAT 3D( pn=2, pt=2)
Figura 6.12 – Comparação dos resultados das análises experimental de Rother et al. e as
análise numérica com CARAT 3D com elementos Hexa8-E3 para diferentes parâmetros de
penalidade normal e tangencial(pn e pt respectivamente).
Capítulo 6 – Aplicações
91
6.1. 3 PUNÇÃO ELÁSTICA DE UM BLOCO SOBRE UMA FUNDAÇÃO RÍGIDA
Neste exemplo é descrito o problema de punção elástica de um bloco sobre
uma fundação rígida. Este exemplo foi analisado por A. F. Martin e A. W.
Leissa90 no modelo 3D e por Jiann-Wen-Ju, R. L. Taylor e L. Cheng91 no modelo
2D. Maiores detalhes deste exemplo também podem ser encontrados em Parisch92.
A geometria do problema e apresentada na figura 6.13. O objetivo deste
exemplo é comparar o resultado obtido com a formulação apresentada com a
solução apresentada na literatura90,91,92.
Figura 6.13 – Geometria do bloco sobre uma fundação rígida90,91,92.
5
20 20
20
30
30
Apenas a base do bloco inferior é mantida indeslocável na direção do eixo z
(direção de aplicação da carga). Um corpo é mantido sobre outro e uma carga de
80000 é aplicada no centro do bloco superior em seis (6) incrementos iguais de
carga.
Os blocos foram modelados com elementos isoparamétricos com a
formulação híbrida mista em deformações - EAS -, denominada Hexa8-E3. Estes
elementos são compatíveis cinematicamente com a formulação de contato com
atrito implementada. A discretização da malha e o comportamento linear elástico
dos materiais atende a finalidade de demonstração da formulação90.
Capítulo 6 – Aplicações
92
Figura 6.14 – Discretizacção em elementos finitos do bloco sobre uma fundação rígida.
As características dos materiais estão apresentas a seguir.
Bloco de Punção Fundação Rígida
Módulo de Elasticidade: .10000=E Módulo de Elasticidade: .1000=E
Coeficiente de Poisson: 3.0=υ Coeficiente de Poisson: 3.0=υ
Para a análise deste problema utilizou-se o método da Penalidade com
penalidade normal e com penalidade tangencial . Considera-se
um coeficiente de atrito de Coulomb
810Nε = 610Tε =
0.5μ = . Para aplicação do carregamento
total fora utilizado o controle de carga. A tolerância de gap normal utilizada foi de
. 410−
O deslocamento obtido no nó 46 é de 3.62. A altura inicialmente de 25.0
fica reduzida há um pouco mais de 10%. A geometria deformada do problema
mostra uma redução altura total como obtida nos trabalhos de A. F. Martin e A.
W. Leissa90 no modelo 3D e por Jiann-Wen-Ju, R. L. Taylor e L. Cheng91 no
modelo 2D.
Neste exemplo foi realizada uma verificação enquanto à variação do
coeficiente de atrito. Os coeficientes de atrito utilizados nas análises foram:
0.1μ = , 0.25μ = e 0.5μ = . Com relação aos resultados obtidos no
deslocamento vertical (nó 46) em função do carregamento aplicado manteve-se o
mesmo, mas a verificaram-se, na interface, algumas modificações nas forcas de
contanto normal e de tangencial.
Capítulo 6 – Aplicações
93
6.1. 4 DESLIZAMENTO DE UM BLOCO ELÁSTICO
Este exemplo é baseado nos trabalhos de Laursen49,50, Oden & Pires93 e
Wriggers et al.94. Neste problema um bloco elástico é simultaneamente empurrado
para dentro da fundação e puxado ao longo da mesma, isto ocasiona uma resposta
de deslizamento com atrito na interface.
As dimensões do bloco elástico são: altura 2=h ; comprimento e uma
largura . O bloco está sujeito a uma carga vertical distribuída
(aplicada num comprimento igual a 3.6) e uma carga horizontal
distribuída aplicada em dos seus lados
4=l
1=e
200−=yp
60=xp (ver Figura 6.15).
Figura 6.15 – Geometria do Bloco Elástico sobre uma Fundação Rígida49,50,93,94
O bloco, que tem um módulo de elasticidade .1000=E e um coeficiente de
Poisson 3.0=υ , está sendo discretizado usando 200 elementos sólidos Hexa8-E3.
Para a análise deste problema foi utilizado o Método da Penalidade com
parâmetros de penalidade normal e penalidade tangencial , os
mesmos utilizados por Simo & Laursen
810Nε = 410Tε =
49, Laursen50 e por Wriggers94 et al. nas
suas simulações. O controle de deslocamento está sendo utilizado para aplicação
do carregamento total.
Os resultados obtidos na análise numérica são muito próximos dos obtidos
no trabalho desenvolvido por Simo & Laursen49 e Laursen50 utilizando tanto o
método da Penalidade e o algoritmo Lagrangiano Aumentado para simular o
contato com atrito, como mostrado na Figura 6.16.
Capítulo 6 – Aplicações
94
A lei de atrito de Coulomb que se assume surge entre o bloco e a fundação
tem um coeficiente de 0.5μ = 49,50.
Figura 6.16 – Deslocamentos tangenciais na interface de contato com atrito 0.5μ =
A seguir a deformada do bloco elástico devido ao carregamento aplicado.
Figura 6.17 – Deformada do bloco elástico devido ao carregamento aplicado
Capítulo 6 – Aplicações
95
6.2 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO
6.2.1 DUTO ENTERRADO
A análise estrutural, o projeto e a avaliação de risco nos dutos enterrados
devem considerar a interação recíproca que existe entre o duto flexível e o solo
circunvizinho. Esta interação é ativada na presença de cargas de serviço, tais
como a expansão do duto devido à temperatura e à pressão interna; as cargas de
origem geotécnica tais como recalque da superfície do terreno, construções de
aterros, variação do nível freático, ocorrência de sismos, empolamento devido a
congelamento, além da ação de cargas externas tais como cargas de tráfego ou
funcionamento de máquinas.
Este exemplo analisa as variações observadas nos campos de
deslocamentos no sistema solo-duto numericamente determinado pela análise de
elementos finitos, considerando as condições de aderência e deslizamento entre o
solo e a estrutura. As condições de deslizamento foram introduzidas assumindo
que a interface solo-duto pode ser aproximadamente descrita pela formulação de
contato com atrito, que permite os deslocamentos relativos entre elementos da
estrutura e do solo.
A Figura (6.18) ilustra um duto de aço enterrado, com um diâmetro
interno , enterrado a uma profundidade de 0.10 =D 02 D× , que apresenta as
seguintes propriedades mecânicas e geométricas:
Rigidez Axial kN; 54.2x10EA =
Rigidez Flexional kN.m0.1EI = 2;
Espessura 2t = mm;
Coeficiente de Poisson 0.3=Dν .
A camada do solo homogêneo linear elástico apresenta as seguintes
características:
Altura m 8=H
Módulo de Elasticidade kPa 2.7x10E 3=
Coeficiente de Poisson 30.3=Sν .
Capítulo 6 – Aplicações
96
Na superfície do solo, numa largura de 2B= m, no plano XY, na superfície
do terreno, acima do duto é aplicada uma carga equivalente a
uniformemente distribuída ao longo do eixo do duto (Figura 6.18). kPa 100q =
Figura 6.18 – Geometria do Sistema Solo-Duto
Figura 6.19 - Malha em Elementos Finitos do Sistema Solo-Duto (365 elementos Hexa8-
E3)
Devido à simetria, a metade do sistema solo-duto foi modelada por uma
malha de elemento finitos (ver Figura 6.19), que consiste de 365 elementos
sólidos Hexa8-E3. A análise foi feita assumindo condições de deformação plana,
Capítulo 6 – Aplicações
97
prevenindo deslocamentos axiais pela introdução de condições de contorno
adequadas.
O coeficiente de atrito considerado foi μ=0.5 e os parâmetros de penalidades
foram os seguintes: εN=104 (penalidade normal) e εT= 104 (penalidade tangencial).
A análise foi realizada com controle de carga e de deslocamento até atingir o fator
de carga igual a 1.0. Neste caso foi realizada uma análise elástica.
As figuras a seguir apresentam os campos de deslocamento horizontal e
vertical do sistema solo-duto como resposta ao carregamento aplicado, de acordo
com a formulação implementada de contato com atrito.
Figura 6.20 - Campo de Deslocamentos DX (eixo horizontal) no sistema solo-duto
Figura 6.21 - Campo de Deslocamentos DY (eixo vertical) no sistema solo-duto
O intuito deste exemplo aplicado foi primeiro fazer uma serie de análises
erro-tentativa para a determinação dos parâmetros de penalidade normal e
penalidade tangencial a serem utilizados, assim como a definição do coeficiente
Capítulo 6 – Aplicações
98
de atrito que melhor representa-se a atrito dos materiais no problema solo-duto.
Também foi necessário verificar a relevância de considerar o contato com atrito
no estudo de dutos enterrados. Isto se faz necessário para cada caso a ser
analisado.
Neste exemplo são tratados dois assuntos extremamente importantes e
complexos: a análise de dutos enterrados e o problema de contato com atrito,
tentar acoplar esses dois assuntos é uma tarefa realmente árdua e que demanda
muito tempo de estudo.
Após uma serie de análises verificou-se a importância do estudo da
interação solo-duto, tomando como referencia o acoplamento dos nos na interface,
que não representa o comportamento real dos dutos.
6.2.2 INTERAÇÃO SOLO-DUTO DE UM DUTO ENTERRADO QUE ATRAVESSA UMA ENCOSTA
O objetivo deste exemplo é a aplicação da formulação de contato com atrito
direcionado para o problema de interação solo-duto em dutos enterrados.
Modelagem do Duto
A seguir uma análise elasto-plástica de uma linha de duto, analisada na
dissertação de Souza19 considerando a geometria dada na figura a seguir:
Figura 6.22 - Esquema da linha de duto e as suas condições de contorno
5m
1.5m 1.5m
1.5m
5.0m
t=0.00625
Capítulo 6 – Aplicações
99
O duto assume um modelo constitutivo elastoplástico, com o escoamento
segundo o critério de von Mises com endurecimento isotrópico. A tensão de
escoamento e o módulo de encruamento isotrópico são adotados iguais a 420 MPa
e 75000 MPa, respectivamente. Os valores do módulo de elasticidade (E) e do
coeficiente de Poisson (ν) para o elemento duto são 205000 MPa e 0.25,
respectivamente. As propriedades geométricas da seção transversal do duto são
apresentadas a seguir:
Propriedades geométricas do duto.
Momento de Inércia Izz (m4) 7.9516531 10-5
Área da seção transversal (m2) 6.2586416 10-3
Diâmetro externo (m) 0.325
Diâmetro interno (m) 0.3125
Espessura (m) 0.00625
No duto é aplicada uma pressão interna de 9.0 MPa. Este carregamento se
da através de controle de carga em um total de sete (7) passos. Adotada a
condição de simetria geométrica e de carregamento considera-se somente a
metade da seção transversal, com a restrição de deslocamento em x.
As análises foram realizadas utilizando elementos formulados em
deslocamentos, hexaédricos de oito (8) nós, denominados Hexa8, e elementos
com a formulação híbrida mista em deformações - EAS -, denominados Hexa8-E3
A discretização da malha em elementos finitos foi de 132 elementos, como
mostrado na figura a seguir:
Capítulo 6 – Aplicações
100
Figura 6.23 - Discretização da malha em elementos finitos do duto
Pode-se observar nas curvas fator de carga x deslocamento, para o nó de
controle (nó 126), nota-se um comportamento mais rígido apresentado pelo
modelo em deslocamentos (ver figura 6.24).
Nas Figuras 6.25 a 6.32, estão apresentados os campos de deslocamento no
estágio final de carregamento com as tensões de von-Mises para ambos os
modelos, Hexa8 e Hexa8-E3, respectivamente. Nota-se que o modelo em
deslocamentos apresenta um nível de tensões bem mais elevado do que o modelo
híbrido Hexa8-E3 em uma mesma faixa de deslocamentos; assim o modelo
Hexa8-E3 apresenta um comportamento mais flexível. Infelizmente não se tem
uma curva carga x deslocamento experimental ou mesmo de um outro modelo
numérico que possa servir de comparação. Testes apresentados na tese de Ferreira
(2000) confirmaram que o elemento Hexa8-E3 apresenta melhor desempenho.
Capítulo 6 – Aplicações
101
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0,00E+00 5,00E-04 1,00E-03 1,50E-03 2,00E-03 2,50E-03 3,00E-03
Deslocamento Vertical
Fato
r de
Car
ga
HEXA8
Formulação Híbrida HEXA8-E3
Figura 6.24 – Curva fator carga versus deslocamento (vertical) para o nó localizado no
comprimento 2.5 m da linha de duto.
Figura 6.25 - Campo de deslocamento DX devido a uma pressão interna equivalente a 9.0 MPa: elemento HEXA8
Figura 6.26 - Campo de deslocamento DX devido a uma pressão interna equivalente a 9.0 MPa: elemento HEXA8-E3
Capítulo 6 – Aplicações
102
Figura 6.27 - Campo de deslocamento DY devido a uma pressão interna equivalente a 9.0 MPa: elemento HEXA8
Figura 6.28 - Campo de deslocamento DY devido a uma pressão interna equivalente a 9.0 MPa: elemento HEXA8-E3
Figura 6.29 - Campo de deslocamento DZ devido a uma pressão interna equivalente a 9.0 MPa: elemento HEXA8
Figura 6.30 - Campo de deslocamento DZ devido a uma pressão interna equivalente a 9.0 MPa: elemento HEXA8-E3
Capítulo 6 – Aplicações
103
Figura 6.31 – Tensões de von Mises devido a uma pressão interna equivalente a 9.0 MPa: elemento HEXA8
Figura 6.32 – Tensões de von Mises devido a uma pressão interna equivalente a 9.0 MPa: elemento HEXA8-E3
Modelagem Sistema Solo-Duto
Neste exemplo, é considerado o comportamento elástico do solo com um
módulo de elasticidade (E) de 50.0 MPa e coeficiente de Poisson (v) de 0.3.
Para o duto adota-se um modelo constitutivo elastoplástico, com o
escoamento segundo o critério de von Mises com endurecimento isotrópico. A
tensão de escoamento e o módulo de encruamento isotrópico são adotados iguais a
420 MPa e 75000 MPa, respectivamente e com coeficiente de Poisson (v) de 0.3.
O duto é solicitado pelos carregamentos dados por pressão interna de 9.0
MPa, sobrecarga de 1000.0 N/m, e peso próprio do solo (γ = 18.0 KN/m3). Os
trechos do duto solicitados são mostrados a seguir:
Trecho Solo Sobrecarga Pressão interna
0 a 5.0 m X X X
5.0 m a 6.5m X X
6.5m a 8.0m - - X
8.0m a 13.0m - - X Tabela 6.1 – Carregamento solicitado pelo duto por trechos.
Capítulo 6 – Aplicações
104
O solo e o duto são modelados com elementos híbridos Hexa8-E3. A
discretização da malha em elementos finitos é dada na figura a seguir:
Figura 6.33 - Discretização da malha em elementos finitos do duto
Devido à simetria, somente foi modelada a metade do sistema solo-duto
(no sentido longitudinal) por uma malha de elementos finitos (ver Figura 6.33),
que consiste de 622 elementos híbridos Hexa8-E3.
Os dados utilizados no solo, duto e interface foram tirados de dados da
literatura26,95. A formulação do problema de contato com atrito permite a
simulação do comportamento da interação solo-duto.
Os parâmetros de penalidades utilizados foram os seguintes: penalidade
normal εN=103 e penalidade tangencial εT= 102.
Análises considerando a variação da magnitude do coeficiente de atrito
foram realizadas; os valores considerados foram de μ=0.1, de μ=0.3 e de μ=0.6.
Para isto o carregamento ao que o duto está submetido (pressão interna e
carregamento externo) foi aumentado até o duto estar totalmente plastificado (10
vezes o valor de carregamento inicial apresentado). Os mesmos valores de
parâmetros de penalidade conseguiram-se manter para as diferentes análises.
Capítulo 6 – Aplicações
105
Nó Contato ΔDX ΔDY ΔDZ Nó Contato ΔDX ΔDY ΔDZ8 0.00 15.06 0.16 92 0.00 12.55 0.359 2.06 11.19 0.00 93 2.09 9.50 0.0010 1.58 3.61 0.00 94 0.45 3.11 0.0011 6.22 0.00 0.00 95 4.27 0.09 0.0012 1.58 3.61 0.00 96 0.48 3.31 0.0013 2.06 11.19 0.00 97 2.05 9.69 0.0014 0.00 15.06 0.16 98 0.00 12.74 0.4215 0.00 12.41 0.04 99 0.00 13.11 0.0316 1.01 8.99 0.00 100 1.27 9.45 0.0017 3.38 2.45 0.00 101 2.90 2.69 0.0018 7.93 0.00 0.00 102 7.40 0.06 0.0019 3.38 2.44 0.00 103 2.89 2.82 0.0020 1.01 8.99 0.00 104 1.28 9.55 0.0021 0.00 12.41 0.04 105 0.00 13.20 0.0322 0.00 14.89 0.22 106 0.00 12.65 0.0923 2.07 11.11 0.00 107 1.47 9.33 0.0024 1.48 3.60 0.00 108 2.18 2.80 0.0025 6.09 0.00 0.00 109 6.47 0.06 0.0026 1.48 3.59 0.00 110 2.18 2.92 0.0027 2.07 11.11 0.00 111 1.47 9.42 0.0028 0.00 14.89 0.22 112 0.00 12.75 0.0536 0.00 11.69 0.54 113 0.00 12.52 0.0237 2.05 9.02 0.00 114 1.46 9.18 0.0038 0.14 3.09 0.00 115 2.17 2.77 0.0039 3.79 0.02 0.00 116 6.36 0.05 0.0040 0.15 3.06 0.00 117 2.17 2.86 0.0041 2.05 8.98 0.00 118 1.46 9.28 0.0042 0.00 11.59 0.56 119 0.00 12.62 0.0143 0.00 14.18 0.02 120 0.00 12.27 0.0144 1.26 10.02 0.00 121 1.47 9.05 0.0045 3.19 2.88 0.00 122 2.00 2.77 0.0046 7.76 0.04 0.00 123 6.12 0.04 0.0047 3.19 2.80 0.00 124 2.00 2.86 0.0048 1.25 10.03 0.00 125 1.47 9.15 0.0049 0.00 14.08 0.06 126 0.00 12.37 0.0150 0.00 11.96 0.57 127 0.00 12.52 0.0451 2.02 9.16 0.00 128 1.46 9.18 0.0052 0.22 3.15 0.00 129 2.14 2.79 0.0053 3.83 0.06 0.00 130 6.34 0.03 0.0054 0.18 3.02 0.00 131 2.14 2.84 0.0055 2.07 8.99 0.00 132 1.46 9.28 0.0056 0.00 11.77 0.45 133 0.00 12.52 0.0464 0.00 8.01 0.94 134 0.00 12.73 0.1165 1.66 7.20 0.00 135 1.48 9.41 0.0066 2.42 4.83 0.00 136 2.20 2.84 0.0067 1.88 2.18 0.00 137 6.50 0.02 0.0068 2.63 0.50 0.00 138 2.20 2.89 0.0069 1.75 2.66 0.00 139 1.48 9.41 0.0070 0.00 3.23 0.92 140 0.00 12.83 0.1171 0.00 6.03 0.94 141 0.00 12.91 0.0572 1.40 5.34 0.00 142 1.26 9.35 0.0073 2.09 3.02 0.00 143 2.80 2.72 0.0074 1.49 0.00 0.00 144 7.26 0.02 0.0075 2.08 3.02 0.00 145 2.80 2.75 0.0076 1.40 5.36 0.00 146 1.26 9.45 0.0077 0.00 6.04 0.92 147 0.00 12.91 0.0578 0.00 3.25 0.89 148 0.00 13.17 0.3179 1.75 2.67 0.00 149 2.06 9.85 0.0080 2.62 0.53 0.00 150 0.74 3.23 0.0081 1.88 2.14 0.00 151 4.68 0.01 0.0082 2.42 4.79 0.00 152 0.74 3.25 0.0083 1.64 7.13 0.00 153 2.06 9.85 0.0084 0.00 7.94 0.95 154 0.00 13.17 0.32
Tabela 2 – Variação de deslocamentos (em mm) nos nós de contato em função da
variação de coeficiente de atrito para μ =0.1 e μ =0.3.
Capítulo 6 – Aplicações
106
Na Tabela 6.2, apresenta-se a variação dos diferentes deslocamentos (em
mm) nos nós de contato em função da mudança do valor do coeficiente de atrito
para μ=0.1 e μ =0.3. Pode-se conferir uma diferença de deslocamento até de
15.06mm. A mudança de μ =0.3 para μ =0.6, para esta mesma geometria, não
representou uma variação significativa nos deslocamentos.
Isto mostra a importância de definir um coeficiente de atrito que melhor
representa-se o atrito dos materiais envolvidos, para ser utilizado na análise
numérica, através de ensaios de laboratório.
Figura 6.34 – Tensões
Von Mises, na
configuração final,
considerando o
sistema solo-duto, para
μ =0.6: Vistas 1 e 2.
Na figura 6.34, estão representadas as tensões de Von Mises (vistas 1 e 2),
na configuração final de carregamento, considerando μ =0.6, onde se verifica o
duto, no sistema solo-estrutura, já completamente plastificado, todo ele já
submetido a tensões maiores que a tensão de escoamento do material 420 MPa.
Capítulo 6 – Aplicações
107
Figura 6.35 – Tensões longitudinais, na configuração final, considerando o sistema solo-
duto, para o caso μ =0.6.
Na figura 6.35, estão representadas as tensões longitudinais, também na
configuração final de carregamento, considerando μ =0.6 para representar o atrito
entre os materiais envolvidos (solo e duto), onde se verificam no duto, tensões
superiores à tensão de escoamento.
Neste exemplo, o modelo elástico foi utilizado para representar o solo.
Hipótese simplificadora considerada, a priori, representativa para o caso
analisado, uma das razões é o interesse principal voltado ao comportamento do
duto no sistema solo-duto. Na configuração final, com o intuito de confirmar esta
representatividade do modelo do solo, as tensões principais nos elementos do solo
foram inseridas no critério de ruptura Mohr-Coulomb em 3D. Para isto,
considerou-se os valores de coesão igual a 0.020MPa e de ângulo de atrito igual a
30º. Na tabela 3, observam-se valores, para alguns elementos das tensões que
representam a função de ruptura através do critério Mohr-Coulomb em 3D.
Capítulo 6 – Aplicações
108
S1 S2 S3 Criterio de Falla Mohr-Coulomb 3D2.14E+06 4.38E+05 -4.27E+05 -2.06E+05 -4.30E+05 1.71E+062.09E+06 3.45E+05 -5.98E+05 -2.64E+05 -5.35E+05 1.72E+062.46E+06 6.44E+05 -3.69E+05 -1.32E+05 -4.38E+05 1.94E+062.57E+06 8.01E+05 -1.51E+05 -4.17E+04 -3.13E+05 1.97E+069.92E+05 4.26E+05 -2.34E+05 7.15E+04 -2.82E+05 8.03E+051.44E+06 5.91E+05 -2.98E+05 8.33E+04 -3.71E+05 1.15E+061.14E+06 3.59E+05 -5.26E+05 -1.57E+04 -4.84E+05 9.87E+057.50E+05 3.18E+05 -4.48E+05 5.10E+04 -4.15E+05 6.75E+05
7.32E-01 2.34E-01 1.56E-01 1.73E+01 1.74E+01 1.78E+013.81E-01 1.37E-01 -1.45E-02 1.73E+01 1.73E+01 1.76E+013.79E-01 7.37E-02 -2.20E-01 1.73E+01 1.71E+01 1.77E+017.40E-01 1.80E-01 -2.95E-02 1.73E+01 1.73E+01 1.79E+016.62E-02 -3.47E-02 -1.05E-01 1.73E+01 1.73E+01 1.74E+018.60E-02 7.31E-02 1.66E-02 1.74E+01 1.73E+01 1.74E+013.37E-02 -4.96E-03 -1.24E-01 1.73E+01 1.72E+01 1.74E+01
-3.95E-02 -9.64E-02 -1.69E-01 1.73E+01 1.72E+01 1.73E+01
4.42E-01 1.65E-01 1.40E-01 1.73E+01 1.74E+01 1.76E+017.59E-01 2.84E-01 1.88E-01 1.73E+01 1.74E+01 1.78E+017.73E-01 2.31E-01 3.94E-03 1.73E+01 1.73E+01 1.79E+014.36E-01 9.19E-02 -8.12E-02 1.73E+01 1.72E+01 1.77E+013.29E-01 1.63E-01 1.15E-01 1.74E+01 1.74E+01 1.75E+016.89E-02 8.59E-03 -9.24E-02 1.73E+01 1.72E+01 1.74E+01
-2.13E-02 -5.72E-02 -1.59E-01 1.73E+01 1.72E+01 1.73E+012.33E-01 6.61E-02 7.41E-03 1.73E+01 1.73E+01 1.75E+01
5.80E+00 2.57E+00 1.88E+00 1.78E+01 1.81E+01 2.12E+019.95E-01 1.89E-01 -1.93E-01 1.72E+01 1.71E+01 1.81E+019.34E-01 1.61E-01 -7.89E-01 1.72E+01 1.67E+01 1.82E+016.52E+00 2.80E+00 2.12E+00 1.78E+01 1.82E+01 2.17E+011.95E+00 -5.01E-01 -1.98E+00 1.65E+01 1.60E+01 1.93E+011.60E+00 1.20E+00 6.58E-01 1.78E+01 1.75E+01 1.84E+011.14E+00 1.07E+00 5.53E-01 1.78E+01 1.75E+01 1.80E+012.83E+00 -2.51E-01 -1.92E+00 1.64E+01 1.59E+01 1.99E+01
-3.49E+00 -5.24E+00 -1.39E+01 1.43E+01 8.21E+00 1.82E+016.51E+00 4.59E+00 1.04E+00 1.91E+01 1.70E+01 2.19E+018.39E+00 3.94E+00 9.43E-01 1.82E+01 1.70E+01 2.34E+01
-2.83E+00 -4.74E+00 -1.56E+01 1.45E+01 6.81E+00 1.91E+019.26E+00 3.39E+00 -2.49E+00 1.75E+01 1.46E+01 2.49E+01-8.95E-01 -2.14E+00 -3.89E+00 1.59E+01 1.49E+01 1.76E+017.71E-01 -2.41E+00 -4.14E+00 1.53E+01 1.48E+01 1.89E+011.01E+01 3.34E+00 -3.77E+00 1.73E+01 1.37E+01 2.58E+01
-3.56E+01 -4.51E+01 -1.21E+02 -7.60E+00 -6.22E+01 2.09E+01-4.54E-01 -1.07E+01 -2.42E+01 9.41E+00 1.85E+00 2.30E+01-4.76E-01 -6.51E+00 -2.26E+01 1.26E+01 2.00E+00 2.26E+01-4.05E+01 -5.25E+01 -1.31E+02 -1.19E+01 -6.78E+01 1.97E+011.28E+01 1.16E+00 -4.44E+01 1.50E+01 -1.63E+01 3.80E+01
-2.15E+00 -2.20E+01 -3.02E+01 1.36E+00 1.71E-01 2.33E+01-2.94E+00 -2.09E+01 -2.47E+01 2.38E+00 4.02E+00 2.13E+011.12E+01 -3.05E+00 -6.07E+01 1.22E+01 -2.74E+01 4.09E+01
Tabela 6.3 – Verificação de Modelo do Solo: Critério de Falha Mohr-Coulomb 3D.
Capítulo 6 – Aplicações
109
Figura 6.36 – Tensões Von Mises, no sistema solo-duto, para a configuração final de
carregamento com parâmetros de penalidade: εN=103 e εT= 102 e coef. de atrito μ=0.6.
Assim como o primeiro exemplo de aplicação foi necessário primeiro
fazer uma serie de análises erro-tentativa para a determinação dos parâmetros de
penalidade normal e penalidade tangencial a serem utilizados na análise.
Definir o coeficiente de atrito que melhor represente o atrito dos materiais
no problema solo-duto, como verificado nas análises realizadas no duto enterrado
com um trecho atravessando um talude é de grande importância para obter
resultados mais precisos.
O modelo elástico do solo, hipótese simplificadora, para este caso é
representativa. O comportamento do duto e a sua interação solo-duto representada
pela formulação do problema de contato com atrito -definido pelos parâmetros de
penalidade (normal e tangencial) e pelo coeficiente de atrito- foram o foco de
atenção das análises realizadas.
Nas analises realizadas também verificou-se que a pressão interna induz o
surgimento de tensões longitudinais no duto devido ao efeito de Poisson. Essa
tensão surge quando o duto está restringido nas extremidades e/ou pelo atrito que
surge na interação entre o solo e o duto ao longo da seção transversal. Neste caso
tem um adicional que é a presença do talude que é um fator atenuante.
Ao ser analisado este exemplo também se verificou as diferentes respostas
considerando o duto simplesmente apoiado no solo (para o caso do duto sem
considerar o talude) e o duto semi-enterrado com a finalidade de se poder ter uma
Capítulo 6 – Aplicações
110
sensibilidade maior do problema. Como já foi dito anteriormente este tipo de
análise demanda um conhecimento de dois tipos de problemas altamente
complexos como são os dutos enterrados e o contato com atrito. A tentativa em
acoplar esses conhecimentos não é uma tarefa trivial e demanda muito tempo de
estudo.
7. CONCLUSÕES E SUGESTÕES
Este trabalho tem como objetivo o desenvolvimento de uma metodologia
com base no método dos elementos finitos para o estudo do comportamento
estrutural de dutos enterrados, considerando a interação solo-duto.
Para representar a interação solo-duto foi implementada a formulação do
problema de contato considerando o fenômeno de atrito e, para tal emprega-se o
método da Penalidade, formulação baseada no trabalho desenvolvido por
Laursen48,50 & Simo e Laursen49, onde as restrições de contato com atrito são
satisfeitas de forma aproximada através do emprego do parâmetro de penalidade
(normal e tangencial). As relações cinemáticas são dadas em termos de uma
função diferenciável da distancia entre os corpos (gap).
O Método da Penalidade para consideração do contato com atrito foi
implementado no programa de elementos finitos CARAT (Computer Aided
Research Analysis Tool - Universitat Stuttgart) disponível no departamento de
Engenharia Civil da PUC/Rio, como já comentado no Capitulo 4, seção 4.3.1
As primeiras análises realizadas tiveram como objetivo principal validar o
algoritmo de contato implementado. Subseqüentemente foram efetuadas as
análises voltadas para a aplicação da análise de dutos enterrados considerando a
interação solo-duto. Os exemplos que apresentados incluem exemplos bi e
tridimensionais nos quais podem ser representados modelos com grandes
deformações e grandes deslocamentos além de não linearidade do material.
O programa POS3D do grupo Tecgraf da PUC-Rio foi utilizado para a
visualização da geometria, discretização da malha em elementos finitos e os
resultados obtidos tais como tensões e deslocamentos.
Para a utilização desta metodologia torna-se necessário primeiro fazer uma
serie de análises erro-tentativa para a determinação dos parâmetros de penalidade
normal e penalidade tangencial a serem utilizados, assim como definir o
coeficiente de atrito que melhor representa-se o atrito dos materiais envolvidos.
Isto se faz necessário para cada caso a ser analisado. Esses parâmetros de
penalidade quando escolhidos adequadamente apresentam resultados bastante
Capítulo 7 – Conclusões e Sugestões
112
satisfatórios. A escolha destes parâmetros é efetuada de maneira que torne o
sistema estável, isto é, que não apresente oscilações nos resultados obtidos.
Na modelagem do sistema solo-duto, o modelo de formulação com
elementos de formulação híbrida mista em deformações -EAS- (Hexa8-E3),
apresentou ser mais versátil e flexível quando comparado com o modelo de
elementos de formulação em deslocamentos (Hexa8).
Na geometria de duto enterrado atravessando uma encosta foram realizadas
análises considerando a variação da magnitude do coeficiente de atrito. Os valores
considerados foram de μ=0.1, de μ=0.3 e de μ=0.6. Nestas análises verificaram-se
diferentes deslocamentos nos nós de contato em função da variação do valor do
coeficiente de atrito para μ=0.1 e μ =0.3, onde se conferiu uma diferença nos
deslocamentos até de 15.06 mm. Isto mostra a importância de definir um
coeficiente de atrito que melhor representa-se o atrito dos materiais envolvidos,
para ser utilizado na análise numérica. Para este caso mesma geometria a mudança
de μ =0.3 para μ =0.6 não representou uma variação significativa nos
deslocamentos.
A hipótese simplificadora adotada de representar o solo como material
elástico considera-se representativa para o caso analisado, uma das razões é o
interesse principal voltado ao comportamento do duto e da interação solo-duto
representada pelo problema de contato com atrito, através dos parâmetros de
penalidade e do coeficiente de atrito. Com o intuito de confirmar esta
representatividade do modelo do solo, as tensões principais nos elementos do solo
foram inseridas no critério de ruptura Mohr-Coulomb em 3D.
Nas analises realizadas verificou-se que a pressão interna induz o
surgimento de tensões longitudinais no duto devido ao efeito de Poisson. Essa
tensão surge quando o duto está restringido nas extremidades e/ou pelo atrito que
surge na interação entre o solo e o duto ao longo da seção transversal. A
geometria é um fator atenuante no surgimento/concentração de tensões.
A implementação de um algoritmo para a adaptação automática para a
seleção dos parâmetros de penalidade normal e tangencial seria de grande de valia
na continuidade do trabalho.
Uma pesquisa com o modelo numérico aliado ao modelo experimental para
a estimativa dos coeficientes de atrito que melhor represente o atrito entre os
materiais envolvidos (solo e duto) sem dúvida seria uma valiosa contribuição para
Capítulo 7 – Conclusões e Sugestões
113
a linha de pesquisa de Estudos do Comportamento de Dutos Enterrados que vem
sendo desenvolvida no DEC/PUC-Rio.
Para um estudo mais a detalhe do solo é necessário utilizar um modelo
elasto-plástico que seja calibrado com resultados obtidos em ensaios de
laboratório.
A geração da malha automática torna-se necessária, uma vez que, os
modelos para a simulação, compreendem muitos nós e elementos, tornando a
malha de elementos finitos muito complexa.
O CARAT (Computer Aided Research Analysis Tool - Universitat
Stuttgart) é uma ferramenta potencialmente poderosa e onde podem ser
implementados modelos mais específicos para o problema de interação solo-duto.
Uma análise alternativa pode considerar elementos de casca para o duto e
elementos sólidos para o solo. A influência do efeito da variação de temperatura
(no duto) e de recalques do solo são efeitos que devem ser levados em conta da
análise de interação solo-duto também.
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