A EXPLORAÇÃO DAS INTELIGÊNCIAS MÚLTIPLAS

COMO UMA NOVA METODOLOGIA PARA O ENSINO

DA MATEMÁTICA

NOÇÕES DE PROBABILIDADE NOÇÕES DE PROBABILIDADE

ICD – INSTITUTO DA CULTURA E DESENVOLVIMENTO

CAMPO MOURÃO

ABRIL- 2010

PROFESSOR: JOÃO ALESSANDRO•EMAIL/MSN: jalmat@hotmail.com•GMAIL/GOOGLE TALK: jalmat.utfpr@gmail.com•TWITTER: www.twitter.com/jalmat • ORKUT: http://www.orkut.com.br/Main#Profile?uid=16471219565289082570

PROBABILIDADE

INTRODUÇÃO

• A palavra probabilidade deriva do Latim probare (provar

ou testar).

• Informalmente, provável é uma das muitas palavras

utilizadas para eventos incertos ou conhecidos, sendo

também substituída por algumas palavras como “sorte”,

“risco”, “azar”, “incerteza”, “duvidoso”, dependendo do

contexto.

PROBABILIDADE2.Conceitos essenciais:1.1 Espaço Amostral

Consideremos uma experiência onde pode ocorrer n resultados possíveis. Cada um dos n resultados possíveis será chamado ponto amostral, e o conjunto S de todos os resultados possíveis, ou seja, o conjunto S de todos os pontos amostrais será chamado espaço amostral da experiência.

PROBABILIDADE 1.1 Espaço Amostral (continuação)

Exemplo 1: Lançamento de uma moeda: Existem dois resultados possíveis, portanto S = {“cara”, “coroa”}

PROBABILIDADE1.1 Espaço Amostral (continuação)

Exemplo 2: Lançamento de um dado:Existe 6 resultados possíveis, portanto: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}

PROBABILIDADE1.2 Evento

Chama-se evento qualquer subconjunto A do espaço amostral S.

A está contido em S.

PROBABILIDADE1.2 Evento (continuação)

A está contido em S.

Exemplo 1: No lançamento de um dado, o evento “número ímpar” é A = { 1; 3; 5}

PROBABILIDADE1.2.1 Evento Impossível:

O conjunto vazio também é um subconjunto de S, portanto, também é um evento; o conjunto vazio é chamado evento impossível, pois nunca ocorre.

Exemplo: Sair o número 7 no lançamento de um dado é um evento impossível.

{ } φ ou

6} 5, 4, 3, 2, {1, S

===

AA

PROBABILIDADE1.2.2 Evento Certo:

O conjunto S é subconjunto de si próprio, portanto S também é um evento; S é chamado de evento certo, pois sempre acontece.

Exemplo: Sair o número 1 a 6 no lançamento de um dado é um evento certo.

6} 5, 4, 3, 2, {1,

6} 5, 4, 3, 2, {1, S

==

A

PROBABILIDADE1.2.3 Eventos Complementares:

– A.S = A que tal A evento ao

S, amostral espaço num A evento um de

arcomplement evento de se-Chama

Exemplo:No lançamento de um dado, o evento complementar do evento “número ímpar” é o evento “número par”.

6} 4, {2, =A

5} 3, 1, { =A

PROBABILIDADE1.2.4 Eventos Mutuamente Exclusivos:

vazio) conjunto a igual B e A :se-(lê

B A quando

exclusivos mutuamente são B e A eventos Dois

φ=∩

Exemplo: No lançamento de um dado: A: Sair número par.

B: Sair número ímpar.

versa.-vice e ímpar número um sair

como há não par número um sair se Pois

B A φ=∩

PROBABILIDADE2. Probabilidade de Um Evento: É calculada pela fórmula:

)(

)()(

Sn

AnAP =

S evento do elementos de número o é n(S)

Aevento do elementos de número o é n(A)

Aevento o ocorrer de adeprobabilid a é)(

:

AP

Onde

Exercícios

Probabilidade de um Evento

RESOLVENDO EXERCÍCIOS – APOSTILA – PÁGINA 9

1. No lançamento de um dado, onde S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, determine a probabilidade de ocorrer:

a) A: um número primo.

Resolução:

A = { 2, 3, 5} são os números primos retirados S.

n(A) = 3 é o número de elementos do evento A.

n(S) = 6 é o número de elementos do espaço amostral.

%,)(

)(

)()(

50502

1

6

3===

=

ouAP

Sn

AnAP

b) B: um número múltiplo de 3.

Resolução:

B = { 3, 6} são os números múltiplos de 3 retirados S.

n(B) = 2 é o número de elementos do evento B.

n(S) = 6 é o número de elementos do espaço amostral.

%,,)(

)(

)()(

3333303

1

6

2===

=

ouAP

Sn

BnBP

RESOLVENDO EXERCÍCIOS – APOSTILA – PÁGINA 9

1. No lançamento de um dado, onde S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, determine a probabilidade de ocorrer:

2. Em uma urna há 18 bolas numeradas de 1 a 18. Retirando-se uma bola ao acaso, qual a probabilidade de obter um múltiplo de 3?

RESOLVENDO EXERCÍCIOS – APOSTILA – PÁGINA 9

Resolução:

A = { 3, 6, 9, 12, 15, 18} são os números múltiplos de 3 retirados de S.

n(B) = 6 é o número de elementos do evento A.

n(S) = 18

%,...,)(

)(

)()(

333333303

1

18

6 ===

=

ouAP

Sn

AnAP

Observação: Este

exercícioestá resolvido

de forma incorreta na apostila!!!

PROBABILIDADE3. Soma de Probabilidades: É calculada pela fórmula:

)()()()( BAPBPAPBAP ∩−+=∪

B e A evento o ocorrer de adeprobabilid a é B) P(A

B evento o ocorrer de adeprobabilid a é P(B)

Aevento o ocorrer de adeprobabilid a é P(A)

B ou A evento o ocorrer de adeprobabilid a é) B (

:

∩

∪AP

Onde

Dica esperta: Em problemas de “soma de

probabilidades”sempre

encontramos a palavra OU.

Exercícios

SOMA DE PROBABILIDADES

RESOLVENDO EXERCÍCIOS – APOSTILA – PÁGINA 9Lançando-se um dado, onde S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, qual é a probabilidade de se obter um número par ou múltiplo de 3:

amostral. espaço do elementos de número )(

A.evento do elementos de número o é 3 n(A)

S. retirados pares números os são 6} 4, 2, { A

:par número um retirado ser : Aevento o Sendo

P(A). Calculando :1 Passo

:partes por fazer Vamos

:Resolução

oéSn 6==

=

2

1

6

3 ==

=

)(

)(

)()(

AP

Sn

AnAP

2

1=)(AP

RESOLVENDO EXERCÍCIOS – APOSTILA – PÁGINA 9

amostral. espaço do elementos de número )(

B. evento do elementos de número o é 2 n(B)

S. de retirados 3 de múltiplos números os são 6} 3, { B

:3 de múltiplo número um retirado ser :B evento o Sendo

P(B). Calculando :2 Passo

oéSn 6==

=

3

1

6

2 ==

=

)(

)(

)()(

BP

Sn

BnBP

3

1=)(BP

RESOLVENDO EXERCÍCIOS – APOSTILA – PÁGINA 9

amostral. espaço do elementos de número )(

B. Aevento do elementos de número o é 1 B)n(A

S. de retirado 3 de múltiplo e par número o é 6} { B A

:3 de múltiplo e par número um retirado ser :B A evento o Sendo

B). P(A Calculando :3 Passo

oéSn 6=∩=∩

=∩

∩∩

6

1=∩

∩=∩

)(

)(

)()(

BAP

Sn

BAnBAP

6

1=∩ )( BAP

RESOLVENDO EXERCÍCIOS – APOSTILA – PÁGINA 9

B). P(A Calculando :(FINAL) 4 Passo ∪

6

13

1

=∩

=

=

)(

)(

2

1 P(A)

:

BAP

BP

Sendo

%,...,)(

)(

:temos operações as

fazendo e resdenominado dos mmc o tirando

)(

)()()()(

:adesprobabilid das soma a Calculando

6766666603

2

6

46

123

6

1

3

1

2

1

===∪

−+=∪

−+=∪

∩−+=∪

ouBAP

BAP

BAP

BAPBPAPBAP

PROBABILIDADE2.PROBABILIDADE DE EVENTOS INDEPENDENTES:

Multiplicação das probabilidades.Sejam A e B dois eventos de um espaço amostra S. A e B são ditos independentes se a probabilidade de um deles ocorrer não afetar a probabilidade do outro ocorrer, isto é, se:

)/()()( ABPxAPBAP =∩

Aevento o

ocorrido tendo B evento o ocorrer de adeprobabilid a é P(B/A)

Aevento o ocorrer de adeprobabilid a é P(A)

B e A evento o ocorrer de adeprobabilid a é) B (

:

∩AP

Onde

Dica esperta: Em problemas

de “multiplicação de

probabilidades”sempre

encontramos a vogal E, escrita

ou subentendida.

Exercício

MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADES

RESOLVENDO EXERCÍCIOS – APOSTILA – PÁGINA 10Uma urna contém 6 bolas amarelas e 9 bolas brancas.

Calcule a probabilidade de, ao retirar sucessivamente 2 bolas, sem reposição, obtermos a 1ª amarela e 2ª branca.

A.evento do elementos de número o é 6 n(A)

S. de retiradas serem de possíveis amarelas bolas as são amarelas} bolas 6 { A

amarela bola uma retirado ser : Aevento o Sendo

amostral. espaço do elementos de número )(

brancas} bolas 9 amarelas, bolas {6 S

P(A). Calculando :1 Passo

:partes por fazer Vamos

:Resolução

==

==

oéSn 15

5

2

15

6==

=

)(

)(

)()(

AP

Sn

AnAP

5

2=)(AP

RESOLVENDO EXERCÍCIOS – APOSTILA – PÁGINA 10

A.evento do elementos de número o é 9 n(B/A)

S. de retiradas serem de possíveis brancas bolas as são brancas} bolas 9 { B/A

amostral. espaço do elementos de número )(

amarela! bola uma retirada foi pois

,modificado foi amostral espaço o , brancas} bolas 9 amarelas, bolas {5 S

:iaConsequênc

amarela. 1ª a

retirada tendo branca, bola 2ª a retirar :B/A evento o Sendo

P(B/A). Calculando :2 Passo

==

=

=

oéSn 14

14

9=

=

)(

)(

)()(

AP

Sn

AnAP

14

9=)/( ABP

RESOLVENDO EXERCÍCIOS – APOSTILA – PÁGINA 10 B). P(A Calculando :(FINAL) 3 Passo ∩

14

9=

=

)/(

5

2 P(A)

:

ABP

Sendo

%,,)(

:

)(

)(

)/()()(

:adesprobabilid das

çãomultiplica a Calculando

71252571035

9

70

1814

9

5

2

==∩

=∩

=∩

=∩

ouBAP

temosfraçãoandoSimplifica

BAP

xBAP

ABPxAPBAP

LEMBRETEESTA APRESENTAÇÃO ESTÁ NO

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