Post on 21-Apr-2015
NOÇÕES SOBRE ESCOAMENTO NEWTONIANO
Agustinho Plucenio
Noções sobre Escoamento Newtoniano
Apresentação em parte baseada nos trabalhos de:
Eric G. PatersonDepartment of Mechanical and Nuclear Engineering
he Pennsylvania State University
Spring 2005
JAIME NEIVA MIRANDA DE SOUZAURFJ, 2010
M. WörnerInstitut für Reaktorsicherheit
Introdução
Velocidade média em um duto Devido a condição de ausência
de escorregamento, a velocidade na parede do duto é zero.
Estamos interessados na velocidade média Vavg, V
A condição de não escorregamento causa tensão de cisalhamento e fricção ao longo das paredes do duto.
Força de atrito sobre o fluido na parede do duto
Introdução
Para duto de diâmetro constante e fluido imcompressível Vavg permanece a
mesma ao longo do duto, mesmo se o perfil de velocidade muda. Por que? Conservação
de massa
Vavg Vavg
Introdução
Para dutos com diâmetro variável, dm/dt ainda é igual devido a conservação de massa, mas
V1 ≠ V2
D2
V2
2
1
V1
D1
m m
Escoamento Laminar e Turbulento
Escoamento Laminar
• Pode ser Estacionário ou Não Escacionário. Estacionário significa que o campo de fluxo é o mesmo em qualquer tempo.• Pode ser de uma, duas ou 3 dimensões.• Tem um comportamento previsível• O escoamento tem solução analítica•Ocorrem para baixos valores de Número de Reynolds.
Escoamento Turbulento
• É sempre não estacionário. Existe sempre movimento ramdômicos giratórios como vórtices. Um escoamento turbulento pode ser estacionário na média. Escoamento turbulento estacionário.•É sempre 3D, ou 1D ou 2D na média.•Tem comportamento caótico. Não pode ser predito exatamente.•Não tem solução analítica.•Ocorre para número de Reynolds grande.
Número de Reynolds crítico (Recr) para escoamento em
um duto redondoRe < 2300 laminar2300 ≤ Re ≤ 4000 transitional Re > 4000 turbulent
São valores aproximados. Para uma aplicação,
depende de Rugosidade do duto Vibrações Flutuações à montante,
perturbações (valvulas, joelhos, etc. que podem perturbar o escoamento)
Definição do Número de Reynolds
Escoamento Laminar e Turbulento
crRe
Laminar and Turbulent Flows
Definição de diâmetro hidráulico
Dh = 4Ac/P
Ac = Área da seção transversal
P = Perímetro molhado
Exemplo: Canal aberto
Ac = 0.15 * 0.4 = 0.06m2
P = 0.15 + 0.15 + 0.5 = 0.8m
Não contar com a superfície livre já que ela não
contribui para a fricção ao longo das paredes do
duto.
Dh = 4Ac/P = 4*0.06/0.8 = 0.3m
A região de entrada
Lh
Considere um duto de diâmetro D. O escoamento pode ser laminar ou turbulento. Em qualquer caso, o perfil desenvolve-se a jusante ao longo de diversos diâmetros chamados de comprimento de entrada . é função de Re.
hL DLh
Escoamento completamente desenvolvido no duto
Comparação de escoamento laminar e turbulentoExistem algumas diferenças importantes entre os
escoamentos laminar e turbulento completamente desenvolvidos.
Laminar Can ser resolvido exatamente Escoamento é estacionário O perfil de velocidade é parabólico A rugosidade do duto não é importante
2
max 12)(2
1
R
rVrueUV avgavg
Escoamento completamente desenvolvido no duto
Turbulento Não pode ser resolvido exatamente (muito complexo) Não estacionário (3D swirling eddies), estacionário na média O perfil de velocidade é mais cheio (topo de chapéu, com
grande variação de velocidade proximo as paredes) Rugosidade do duto é muito importante
Vavg 85% de Umax (depende um pouco de Re) Sem solição analítica, mas existem algumas expressões
semi-empíricas para o perfil de velocidade. Logarithmic law
Power law
Instantaneousprofiles
Escoamento completamente desenvolvidoTensão de cisalhamento nas paredes
= du/dy Em escoamento completamente
desenvolvido, = du/dr
slope
slope
Laminar Turbulento
w w
w,turb > w,lam
w = Tensão de cisalhamento agindo na parede agindo no fluido
Escoamento completamente desenvolvido- Queda de pressão
Existe uma relação direta entre a queda de pressão em um duto e a tensão de cisalhamento na parede.
Considere um duto horizontal, com escoamento incompressivel totalmente desenvolvido,
Vamos aplicar conservação de massa, momento e energia para esse volume de controle
1 2L
w
P1 P2VTome um VC dentro das paredes do duto
Escoamento completamente desenvolvido- Queda de pressão
Conservação de massa
Conservação de quant. Movimento em x
Termos se cancelam , 1 = 2 e V1 = V2
0
Vt
zyx
21,0,0., VVx
V
tcte
Escoamento completamente desenvolvido- Queda de pressão
Assim, momento em x reduz a
Outra forma de escrever τ (Através de análise dimensional)
ou
w = func( V, , D, )
D
LVfPP
2
2
21
O problema fica reduzido em resolver para o fator de fricção f. Lembrar
Escoamento completamente desenvolvido- fator de atrito esc. laminar
Força de atrito devido a parede:
RLF wa 2
Pressão:D
L
R
L
R
RL
A
FP wwwaa
4222
8,
4
2
22 Vf
D
L
D
LVfw
w
Para escoamento laminar:
2
12)(,)(
R
rVru
r
ru
Rrw
D
Vabs
R
Vww
8)(,
4
VDf
D
VVfw
64,
8
8
2
Re
64,Re f
VD
Escoamento completamente desenvolvido- Fator de fricção
Moody chart foi desenvolvida para dutos circulares, mas pode ser utilizada para tubos não circulares utilizando o diâmetro hidráulico.
A equação de Colebrook é uma curva ajustada para dados conveniente para uso em softwares
Tanto a carta de Moody como a equação de Colebrook tem uma incerteza de +-15% devido ao valor da rugosidade, erro experimental, ajuste da curva, etc..
fDe
f Re
51.2
7.3log0.2
110
Escoamento completamente desenvolvido- fator de atrito escoamento turbulento (carta)
Fanning Diagram (1/4 Moody)
f =16/Re
1
f4.0 * log
D
2.28
1
f4.0 * log
D
2.28 4.0 * log 4.67
D /Re f
1
Tipos de problemas de escoamento em dutos
No projeto e análise de sistemas de dutos, 3 tipos de problemas podem ser encontrados
1. Determine p (ou hL) dado L, D, V (or vazão)Pode ser resolvido diretamente com Moody chart e equação Colebrook
2. Determine V, dado L, D, p3. Determine D, dado L, p, V (or vazão)
Tipos 2 e 3 são problemas comuns de projetos de engenharia, i.e., sleção de diâmetros de dutos que minimizem custo de construção e de bombeio.
Entretanto, uma abordagem iterativa se faz necessário já que tanto V como D estão presentes no número de Reynolds.
Problema tipo I
Este é o problema de selação de bomba. São dados vazão volumétrica V, diâmetro do duto, D, de forma que o Número de Reynolds, Re, e a rugosidade relativa ε/D são conhecidos e f pode ser lido diretamente da carta. A queda de pressão pode ser calculada.A bomba pode ser selecionada para vencer a perda de pressão calculada.
Problema tipo II
Tem a bomba e o sistema de dutos. Deseja determinar a vazão. Conhece-se a queda de pressão, o diâmetro D, a rugosidade relativa ε/D pode ser determinada. Não se conhece o número de Reynolds pois a velocidade não é conhecida. O problema é resolvido assumindo que o escoamento é completamente turbulento (zona 4) de forma que o fator de fricção é determinado somente pelo valor da rugosidade relativa. Calcula-se a velocidade e ajusta-se Re….
Problema tipo III
Projeto do duto.A pressão disponibilizada pela bomba perminte ∆p ser conhecido, a vazão é conhecida, mas o diâmetro do duto precisa ser determinado. Neste caso nem Re, nem ε/D é conhecido. Solução: Assume-se um valor para o fator de atrito f (No centro da carta Moody), por exemplo f=0.03.Este valor é utilizado para se obter um valor de D e um novo valor de f é obtido e assim por diante até que um novo valor de D calculado não mude acima de um determinado valor.
D
LVfgHp
2
2
52
28
D
LQfgHp
Formas explícitas fator de atrito
Churchill (1973)
Swamee-Jain (1976):
Barr (1972):
Haaland (1983):
Sousa-Cunha-Marques (1999):
Perdas de pressão diversas
Sistema de dutos incluem conexões, válvulas, curvas, Ts, entradas, saídas, alargamento e contração de diâmetro.
Esses componentes interrompem o escoamento suave do fluido e causam perdas de pressão adicionais.
Essas perdas podem ser calculadas na forma de altura manométrica como• KL é o coeficiente de perda.
Valor típico de cada componente
Assume-se ser independente de Re.
Fornecido pelo fabricante ou obtido em tabela (Table 8-4 ).
Perdas de pressão em dutos
A perda total de pressão em um sistema é composta de perdas principais (em dutos) e secundárias (componentes).
Se o sistema de dutos tem o mesmo diâmetro,
i pipe sections
j components
Potência entregue ao fluido por bombas
Existem máquinas que tomam energia do escoamento (Uma turbina, por exemplo) e máquinas que entregam energia para o escoamento (bombas ou ventiladores, por exemplo).Tomando uma bomba como exemplo: A potência entregue ao fluido pode ser calculada como ]/[],[],[ 3 smemQPaempWemPpQP
Q
Pp
ouP
pQ
P
P
,
,,,,
Já a potência que a bomba necessita,P’, para entregar a potência P ao fluido varia com o rendimento da bomba Ƞ
Bomba centrífuga
Dimensionamento de sistemas com bombas centrífugas
Na prática, η não é constante pois na bomba centrífuga o formato das lâminas é ótimo somente para um valor de velocidade angular w e vazão Q . A relação entre ∆p e Q é dada por uma curva quadrática
221 QAAp
Já a queda de pressão devido o escoamento no início do duto pode ter uma componente constante devido a gravidade mais um termo quadrático devido ao atrito
52
28
D
LQfgHp
221 QBBp
Cavitação
Cavitação Descrição do fenômeno Como qualquer outro líquido, a água também tem a propriedade de vaporizar-se em determinadas condições de temperatura e pressão. E assim sendo temos, por exemplo, entra em ebulição sob a pressão atmosférica local a uma determinada temperatura, por exemplo, a nível do mar (pressão atmosférica normal) a ebulição acontece a 100oC. A medida que a pressão diminui a temperatura de ebulição também se reduz. Por exemplo, quanto maior a altitude do local menor será a temperatura de ebulição (V. Tabela 4). Em consequência desta propriedade pode ocorrer o fenômeno da cavitação nos escoamentos hidráulicos.Chama-se de cavitação o fenômeno que decorre, nos casos em estudo, da ebulição da água no interior dos condutos, quando as condições de pressão caem a valores inferiores a pressão de vaporização. No interior das bombas, no deslocamento das pás, ocorrem inevitavelmente rarefações no líquido, isto é, pressões reduzidas devidas à própria natureza do escoamento ou ao movimento de impulsão recebido pelo líquido, tornando possível a ocorrência do fenômeno e, isto acontecendo, formar-se-ão bolhas de vapor prejudiciais ao seu funcionamento, caso a pressão do líquido na linha de sucção caia abaixo da pressão de vapor (ou tensão de vapor) originando bolsas de ar que são arrastadas pelo fluxo.
Cavitação
Estas bolhas de ar desaparecem bruscamente condensando-se, quando alcançam zonas de altas pressões em seu caminho através da bomba. Como esta passagem gasoso-líquido é brusca, o líquido alcança a superfície do rotor em alta velocidade, produzindo ondas de alta pressão em áreas reduzidas. Estas pressões podem ultrapassar a resistência à tração do metal e arrancar progressivamente partículas superficiais do rotor, inutilizando-o com o tempo
Quando ocorre a cavitação são ouvidos ruídos e vibrações característicos e quanto maior for a bomba, maiores serão estes efeitos. Além de provocar o desgaste progressivo até a deformação irreversível dos rotores e das paredes internas da bomba, simultaneamente esta apresentará uma progressiva queda de rendimento, caso o problema não seja corrigido. Nas bombas a cavitação geralmente ocorre por altura inadequada da sucção (problema geométrico), por velocidades de escoamento excessivas (problema hidráulico) ou por escorvamento incorreto (problema operacional).
Cavitação
T=ToT=To+∆T
A implosão das bolhas de gas causam acelerações localizadas de líquido que podem chocar contra as paredes causando desgaste.
CavitaçãoNPSH Em qualquer cálculo de altura de sucção de bombas tem de ser levada em consideração que não deve ocorrer o fenômeno da cavitação e, para que possamos garantir boas condições de aspiração na mesma, é necessário que conheçamos o valor do NPSH (net positive suction head). O termo NPSH (algo como altura livre positiva de sucção) comumente utilizado entre os fornecedores, fabricantes e usuários de bombas pode ser dividido em dois tipos: o requerido (NPSHr) e o disponível (NPSHd).
O NPSHr é uma característica da bomba e pode ser determinado por testes de laboratório ou cálculo hidráulico, devendo ser informado pelo fabricante do equipamento. Podemos dizer que NPSHr é a energia necessária para o líquido ir da entrada da bomba e, vencendo as perdas dentro desta, atingir a borda da pá do rotor, ponto onde vai receber a energia de recalque, ou seja, é a energia necessária para vencer as perdas de carga desde o flange de sucção até as pás do rotor, no ponto onde o líquido recebe o incremento de velocidade. Em resumo NPSHr é a energia do líquido que a bomba necessita para seu funcionamento interno. Normalmente, o NPSHr é fornecido em metros de coluna de água (mca).
Cálculo do NPSHr
O NPSHr pode ser calculado através da expressão: NPSHr = σ. Hman onde o coeficiente de cavitação σ pode ser determinado pela expressão
σ= φ.( Ns )4/3, sendo
φ um fator de cavitação que corresponde aos seguintes valores: para bombas radiais φ= 0,0011; diagonais φ= 0,0013; axiais φ= 0,00145. Ns a velocidade específica, onde
N=Rotação, Q=Vazão, H=Altura manométrica
,4/3H
QNN s
Exemplo:
Calcular o NPSHr para a instalação de uma bomba com os seguintes dados:
O tipo de bomba fica definido também pela rotação específica Ns.
definição do NPSHr
rotação específica Ns = 1 150 x [ (0,04)1/2 / (20)3/4 ] = 25,5
coeficiente de cavitaçãos = φ .( Ns)4/3, onde φ é o fator de cavitação que correspondente ao valor para uma bomba radial φ = 0,0011
σ = φ . ( Ns )4/3 = 0,0011 x 25,54/3 = 0,0825;
altura diferencial de pressão NPSHr = σ. H = 0,0825 x 20 = 1,65 mca.
Altura Manométrica H 20 metros
Vazão 20 litros/s
Velocidade de rotação da bomba N
1150 rpm
Tipo de bomba Radial
Temperatura 20ºC
Fator de atrito f 0.03
Significado na instalação
H1
L1
H2 C
vPD
LHVfgHatmPcP
2
)11
(2
1
rNPSHgcP
rNPSHgvP
gDA
LHVfAH
gatmP
22
)11
(22
1
mgD
LHfQ
gvP
gatmP
rNPSHH 3.052
)12
(28
1
mL
mH
smg
mkg
TabelaVerPap
PaP
V
atm
0.1
25.0
/81.9
/1000
4.2332)20(
113000
1
2
2
3
mH 2.81 Significa que a tomada de fluido (ponto C) poderia estar no máximo acima do nivel do tanque em 8.2m
Tabela Pressão de vapor para água
Temperatura (ºC) Pressão de vapor de água Densidade
mm Hg kg/cm2 Pa (-)
15 12.7 0.0174 1705.2 0.999
20 17.4 0.0238 2332.4 0.998
25 23.6 0.0322 3155.6 0.997
30 31.5 0.0429 4204.2 0.996
35 41.87 0.0572 5605.6 0.994
40 54.9 0.075 7350 0.992
45 71.4 0.0974 9545.2 0.99
50 92 0.1255 12299 0.988
55 117.5 0.1602 15699.6 0.986
60 148.8 0.2028 19874.4 0.983
65 186.9 0.2547 24960.6 0.981
70 233.1 0.3175 31115 0.978
75 288.5 0.3929 38504.2 0.975
80 354.6 0.4828 47314.4 0.972
85 433 0.5894 57761.2 0.969
90 525.4 0.7149 70060.2 0.965
95 633.7 0.862 84476 0.962
100 760 1.0333 101263.4 0.958
105 906 1.232 120736 0.955
110 1075 1.4609 143168.2 0.951
115 1269 1.726 169148 0.947
120 1491 2.027 198646 0.943
Introdução ao escoamento multifásico
Na indústria do petróleo é comum a ocorrência de escoamento multifásico, caracterizado pela presença das fases água, óleo e gás em diferentes proporções.
O escoamento multifásico apresenta dificuldades para bombeio, medição e até mesmo para a predição do comportamento do escoamento.
Indicadores relacionados com as frações:
BSW – Basic Sediments and Water
GOR – Gás Oil Ratio ou RGO (Razão Gás-óleo
BSW
100%
Definições
Fase: Definição termodinâmica para o estado da matéria, que pode ser sólido, líquido ou gás.Em escoamento multifásico várias fases fluem juntas.
Uma fase pode ser classificada como contínua ou dispersa. A fase é contínua quando ocupa continuamente regiões conectadas do espaço. É dispersa quando ocupa regiões desconectadas do espaço.
A fase contínua pode ser líquida ou gasosa. A fase dispersa é formada por partículas. Em geral a partícula por ser sólida ou um fluido (líquido ou gás).Partículas de fluido formadas por gás são chamadas de bolhas. Quando formádas por líquidos são chamadas de gotas.
Por exemplo: No escoamento gás-líquido tipo bolha as bolhas de gás são a fase dispersa e o líquido a fase contínua.
Introdução ao escoamento multifásico
Padrões típicos de escoamento (Regimes de escoamento)
a-bubble flow (esc. Tipo bolhas)b-plug flow (esc. Tipo plugue)c-stratified flow (esc. Estratificado)d-wavy flow (esc. Ondulado)e-slug flow (esc. Golfadas)f-annular flow (escoamento anular)g-spray or drop flow (esc. Névoa)
a-bubble flowb-plug flowc-churn flow (esc. Agitado)d-wispy annular flow (an. Fino)e-annular flow f-spray or drop flow
Identificação de regimes
Uma forma utiliza com sucesso relativo para a identificação de regime consiste em determinar as velocidades superficiais das frações.Exemplo de mapa de regime de
escoamento: Água-ar para escoamento horizontalAs variáveis nos eixos x e y são a velocidade superficial do gás e velocidade superficial do líquido respectivamente.
dutodoÁreaA
líquidodensidade
gásdensidade
líquidodomássicavazãoqA
qU
gásdemássicavazãoqA
qU
l
g
ll
lsl
gg
gsg
,,
,,
Forças agindo sobre o fluido
O movimento dos fluidos resulta das forças agindo sobre os mesmos.Essas forças podem ser classificadas em: Forças de volume, Forças de superfície e Forças de linha.
Força devido a Tipo Magnitude
Pressão Força Superfície
Inércia Força de volume
Viscosidade Força de superfície
Gravidade Força de volume
Efeito bóia Força de volume
Tensão superficial Força de linha
pFP 12 LuVFI
1 uLAFV
gVFG
gVFB BF
Equacionamento p/ fluido Newtoniano compressívelEquação da continuidade: Conservação de massa
Volume de controle
0
ut
A
quu
tA xx
,0
xy
z
Direção do escoamentoA
x
q
At
1 Não admite troca de massa
entre gás e líquido
0,,
z
u
y
u
x
u
tou zyx
Se .,0 constAuu zy
Equacionamento p/ fluido Newtoniano compressívelEquação da continuidade: Conservação quantidade de movimento
xgA
xA
ApAp
uAuAt
xuA
xxtxt
xxtxt
sin
,,
,
2
,
2 Momento de entrada – momento de saída Força de contato na entrada- saída
Força devido o atrito viscoso
Força devido a gravidade
Dividindo por A∆x na direita e esquerda e no limite quando ∆x→0,
0sin2
x
pg
x
u
t
u D
uf
2
2
0sin2
22
x
pg
D
uf
x
u
t
u
Equacionamento p/ fluido Newtoniano compressívelEquação da continuidade: Conservação quantidade de movimento
0sin2
22
x
pAgA
AD
fq
A
q
xt
q
2
22,
A
quuAq
RT
pM
0sin
2
22
x
pA
RT
MAgp
p
q
DMA
fRT
p
q
xMA
RT
t
q
Para regime permanente:
0,0,0
0
x
q
tx
q
tA
t
q
Newtoniano compressivel em Regime Permanente
,0,2
2
22
SSemx
q
p
qx
pp
x
p
q
x
permanenteregimeemp
q
x
p
p
q
x 2
22
0sin
2
2
2
2
x
pA
RT
MAgp
p
q
DMA
fRT
x
p
p
q
MA
RT
Exemplo de aplicação Obter o gráfico da pressão, velocidade e densidade x
profundidade em regime permanente para o escoamento de gás no espaço anular de dois dutos verticais com saída para uma válvula de orifício
Dados:Vazão mássica de gás=4.5 kg/s
H=2500m
Dcasing(ID)=8.75”
Dtprod.(ext)=5.0”
Rugosidade das paredes:10e-6m
T=300F
M=0.016 kg/mol
Viscosidade do gás=2e-5 Pas
Pressão no lado externo da válvula de orifício, Pwf=12.844 Mpa
Diâmetro da válvula de orifício=.5”
Coeficiente de descarga da Valv. Orifício=.8
Razão de calor específico do gás, γ=1.4
Solução
Programa principal:
Função: annssap1.m
Anularregper.m
Equação da Vávula de orifício:
2
1
1
2
2
112
critcritafvo
afvo
crit
rrAPq
senão
rrAPq
rrSe
) 1))-( / ( (RT) / 2 ( d /4)( cd A 2 af
wf
P
Pr
1
critico 1
2r
r
q
critr 1
.constpaf
Código e resultados
Anularregper.m
Programa principal:
Função: annssap1.m
No tubo de produção:
Continuidade
Conservação momento
0
011''
''
zmgtg
zmltl
u
u
02
',
2',
', zTmm
Tmzmmmtmm pu
D
fguuu
lgm 1
No anular:
0'',
zggtg u
02
',
2',
', zAgg
Agzgggtg pu
D
fguuu
Trabalhos
Trabalho 1 Trabalho sobre Gas-Lift Continuo (Explicar e desenvolver um programa para
levantar as curvas de Regime Permanente) Trabalho 2 Trabalho sobre Bombeio Mecânico Explicar e mostrar a simulação do processo Trabalho 3 Trabalho sobre Bomba Centrigua submersa Explicar e mostrar a simulação.