“Nos primeiros tempos o mundo era visto como algo completamente imprevisível, governado por divindades caprichosas. A revolução newtoniana veio depois trazer a ideia de que é possível prever quase tudo(…).

Mas podemos estar hoje no inicio de uma nova oscilação do pêndulo, com o reconhecimento de que muitas das regras deterministas mais simples provocam, afinal, comportamentos dinâmicos caóticos e imprevisíveis.”

In “Deus joga aos dados?”

Ian Stewart

Na Ciência que herdámos dos nossos professores e de outros estudiosos o desejo de compreender fixava-se na busca do simples, do regular, do equilíbrio estável, do periódico.

No entanto, a Natureza deixou-nos uma herança que exibe tanto de perfeito, como de irregular, instável e não periódico.

Muitos foram necessários para que a ciência se emancipasse e admitisse um novo percurso…

Façamos uma analepse…

Kepler, Galileu, Newton, Leibniz (séculos XVII e XVIII)

Kepler e Galileu iniciam o estudo do comportamento dos sistemas dinâmicos, com a investigação do movimento dos planetas.

Newton e Leibniz

Estudando as regularidades dos movimentos

criam o cálculo diferencial e integral, com base na ideia de infinitésimo e de limite.

Não só descrevem leis do mundo físico e natural, como as formalizam em teoremas.

Depois de árduo estudo com sucesso, a Natureza aparecia simples, espantosamente compreensível…

Muitos outros foram motivados a desenvolver os seus estudos e a interpretar fenómenos, tudo no paradigma do regular, do estável e do periódico.

Final do séc. XIX e inicio do séc. XX

Surgem os casos conhecidos como patológicos

Curva de Weierstrass Conjunto de Cantor.

Curva de Peano

Como se constrói a Curva de Peano?

Passo 0: Constroi-se um segmento de recta.

Passo 1: Divide-se esse segmento em três partes iguais.

Passo 2: Sobre o segmento médio, constrói-se um rectângulo bissectado pelo segmento, formando dois quadrados com lado igual ao segmento que lhes deu origem.

Passo 3: Em cada segmento dos nove restantes, repetem-se os passos 1 e 2, e assim sucessivamente, até ao infinito.

No limite a curva de Peano, não é mais do que uma superfície completamente preenchida.

Em 1904 Helge von Koch (matemático sueco) exibe mais uma curva que oculta uma propriedade surpreendente…

…o perímetro infinito delimita uma área finita

Passo 1: Divide-se o segmento em três partes iguais.

Passo 2: Substitui-se o segmento médio por dois segmentos iguais, de modo a que, o segmento médio e os dois novos segmentos formem um triângulo equilátero. Passo 3: Repete-se os passos 1 e 2 para cada um dos segmentos obtidos

Passo 4: Repete-se este processo “ad infinitum”.

Como se constrói da Curva de Von Koch?

Passo 0: Constroi-se um segmento de recta.

A curva de Von Koch tem: Comprimento infinito; Não tem derivada em nenhum dos pontos.

No princípio do século XX, Poincaré apoiado em exemplos da física e da astronomia verifica que o comportamento, mesmo sistemas simples, pode ser muito complexo, instável, não-linear.

Nasce a topologia como novo campo de visão para a física e para a matemática…

Embora seguissem isoladamente, todas estas descobertas caminhavam no mesmo sentido…

O pensamento determinista mostrou-se falível e inadaptado a muitas situações reais.

Gaston Julia e Pierre Fatou apresentaram, em 1918, um trabalho sobre processos iterativos envolvendo números complexos que mais tarde viriam a ser conhecidos como

“Conjuntos de Julia”;

Todos estes objectos…

…se inserem hoje numa classe mais ampla de objectos denominados fractais.

O que é um fractal?

Termo criado por Benoît Mandelbrot na década de 70

Para designar objectos geométricos que nunca perdem a sua estrutura qualquer que seja a distância de visão.

Do adjectivo latino fractus e do verbo frangere, que significa quebrar

Objectos auto-semelhantes

Mandelbrot classificou-os desta forma por estes possuírem dimensão fraccionária ou mesmo irracional.

Estamos perante um conceito geométrico para o qual não existe, até à data uma definição formal.

Um fractal é um objecto gerado a partir de uma fórmula matemática envolvendo funções reais ou complexas, muitas vezes simples (como é o caso da quadrática)…

…mas que quando aplicadas de forma iterativa, produzem formas geométricas abstractas, com padrões complexos que se repetem infinitamente.

Mas quem é então Mandelbrot?

Matemático polaco de origem judaico- -lituana

acolhido pela secção de investigação pura da IBM

Ao contrário de outros matemáticos, ele enfrentava os problemas com a ajuda da sua intuição para formas e padrões.

Ao estudar os preços do algodão e ao passar os dados para os computadores da IBM, deparou com o resultado incrível…

No entanto a sequência das variações era independente das escalas: as curvas das variações diárias e das variações mensais combinavam perfeitamente.

Este facto esteve na origem do interesse de Mandelbrot por objectos auto-semelhantes.

Cada variação de preços era casual e imprevisível.

No entanto a maior parte dos objectos com que lidamos no nosso dia-a-dia não são rectas, nem esferas, nem cones.

“Há alguma razão para a geometria não descrever o formato das nuvens, das montanhas, das árvores ou da sinuosidade dos rios? Nuvens não são esferas, montanhas não são cones,

troncos de árvores não são hexágonos e rios não desenham espirais.”

Benoît Mandelbrot

"As imagens que calculei com a minha teoria matemática assemelhavam-se curiosamente à realidade: e se eu podia imitar a natureza, era porque provavelmente teria descoberto um dos

seus segredos..." Benoît Mandelbrot

As imagens fractais inserem-se essencialmente em duas categorias:

Fractais geométricos Fractais aleatórios

Fractais geométricos: derivam da geometria tradicional e constroem-se de forma iterativa a partir de uma figura inicial.

Fractais aleatórios são gerados por computador e resultam de iterações operadas em funções não lineares reais,

complexas (o tipo mais comum) ou quaterniónicas.

Fractais obtidos através da iteração de números complexos.

Fractais obtidos por computador através da iteração de quaterniões.

…na indústria cinematográfica, tornaram-se um meio de

conceber cenários naturais

Estes possibilitam imagens de uma beleza impressionante, bem como um vasto leque de aplicações no domínio das artes…

…na escultura

…na arquitectura

Música baseada no Conjunto de Julia

…na música

CARACTERÍSTICAS DE UM FRACTAL

Um fractal distingue-se por três características fundamentais:

a sua auto-semelhança a sua complexidade

infinita

a sua dimensão

A auto-semelhança de um fractal baseia-se no facto de o conjunto ser constituído por pequenas cópias de si mesmo.

No entanto verificamos que esta afirmação tem limites quando abandonamos os modelos matemáticos e consideramos objectos

naturais.

Distinguem-se, assim, dois tipos de auto-semelhança: a exacta e a aproximada (ou estatística).

A auto-semelhança exacta só existe, portanto, no seio da matemática.

Formalmente, uma figura F, possui auto-semelhança exacta se, para qualquer dos seus pontos, existe uma vizinhança que

contém uma parte da figura semelhante à totalidade de F.

Relativamente à auto-semelhança aproximada, embora não seja também real, pois estamos limitados à escala visível, encontram-se boas aproximações em formas da natureza.

A complexidade infinita advém do facto de o processo gerador dos fractais ser recursivo, tendo um número infinito de iterações.

Contudo, os objectos da Natureza não são verdadeiramente fractais, pois eles não possuem auto-semelhança exacta nem

são infinitamente complexos.

Considere-se um segmento de recta e divida-se 4 (=41) partes iguais.

Efectuando um processo semelhante para cada um do lados de um quadrado obtêm-se

16 (= 42) partes iguais.

Procedendo-se de igual modo para o cubo, obtêm-se 64 (=43) partes iguais.

Como calcular a dimensão de um fractal?

Sejam:

R – a razão na qual dividimos cada segmento da figura (coeficiente de redução)

N - o número de partes resultante

d - a dimensão

Para a recta (dimensão 1) N = 1∕R1

Para o quadrado (dimensão 2) N = 1∕R2

Para o cubo (dimensão 3) N = 1∕R3

Generalizando para qualquer dimensão

N = 1∕Rd

Ou seja,

Logo,

Isto é,

Este processo válido para todas as figuras com auto-semelhança exacta, fractais ou não e…

)/1ln(lnRNd

Nd R)/1(log

dRN 1

d

RN

1

…confirma o valor da dimensão atribuída pela geometria euclidiana

Por exemplo, para o cubo temos

41

R

3464N

34log4log3

4ln4ln 3

d

““Dois graus de ordem no caos: a ordem euclidiana e a ordem fractal(…) entre o domínio do caos desregulado e a ordem excessiva de Euclides

existe agora uma nova zona da ordem fractal.”

Mandelbrot

Geometria Euclidiana versus geometria fractal 

Geometria Euclidiana Geometria fractal

Mais de 2000 anos Últimos trinta anosBaseada em tamanho ou escala pré-definida

Tamanho ou escala específica

Adequada a objectos abstractos

Adequada também a formas naturais

Dimensão inteira {0,1,2,3} Dimensão real no intervalo [0,3]

Descrita por fórmulas e equações

Uso de algoritmos recursivos

Floco de Neve de Koch

O triângulo de Sierpinski Conjunto de Mandelbrot

Estudo de alguns fractais

Como se constrói o Floco de Neve de koch?

Passo 0: Constrói-se um triângulo equilátero.

Passo 1: Divide-se em três partes iguais cada um dos lados do triângulo, construindo-se sobre cada um dos segmentos médios um novo triângulo equilátero.

Passo 2: Repete-se o processo de construção sobre cada um dos lados da figura obtida anteriormente. E assim sucessivamente.

Obtém-se assim a seguinte sequência de figuras:

Como varia o número de lados da curva com as transformações?

Passos Número de lados

Figura de partida 3 = 3 x 40

1º Transformação 3x4 = 12 = 3 x 41

2º Transformação 12x4 = 48 = 3 x 42

3º Transformação 48x4 = 192 = 3 x 43

4º Transformação 192x4 = 768 = 3 x 44

... ….

nnL 43

O número de lados de cada figura em função do número de transformações é dado por:

O Floco de Neve tem um número infinito de lados.

Como é que varia o comprimento dos lados da curva com as transformações?

Passos Medida de cada lado

Figura de partida 1

1º Transformação 1/3 = 1/3 = 3-1

2º Transformação 1/9 = 1/32 = 3-2

3º Transformação 1/27 = 1/33 = 3-3

4º Transformação 1/81 = 1/34 = 3-4

... ….

nnM

3

A medida dos lados de cada figura em função do número de transformações é dado por:

A medida de cada lado da curva tende para zero.

Suponhamos que o lado do triângulo inicial vale uma unidade.

Como varia o perímetro da curva em função do número de transformações?

nnn

nnn MLP

343)3()43(

Definindo a sucessão dos perímetros Pn à custa das duas sucessões anteriores, obtemos:

O perímetro do floco de neve é infinito.

Sabemos que:

nnL 43 n

nM3 e

Qual é a área do floco de neve de Koch?

• Considerando que a área do triângulo inicial que serve de ponto de partida para a construção da curva de Koch tem uma unidade de medida.

está compreendida entre 1 e 2.

A área do Floco de Neve de Koch é:

inferior à área do hexágono

A área do polígono, em cada passo, obtém-se adicionando à área do polígono do passo anterior a área de um triângulo equilátero, cujo lado é 1/3 do anterior, multiplicada tantas vezes quantas o número de lados do polígono anterior.

Qual o valor exacto da área do Floco de Neve?

3113

9111

A

1A0

94

31

311)43(

91

311A

2

2

nn2

1n 94

311

94

31

94

31

94

31

311A

.......

6,1531)S1(limAlim nn1nn

A área do Floco de Neve de Koch é:

941

941

31

n

nSEntão An+1 = 1 + Sn com

53lim nS

Calculando o limite de Sn quando n tende para infinito tem-se:

Qual é a dimensão do Floco de Neve de Koch?

4N 31

R

26,13log4log

d

Então,a dimensão do Floco de Neve é dada por:

O coeficiente de redução é 1/3.

O número de partes iguais obtidas em cada segmento de recta é 4.

Em suma: À medida que se vão fazendo transformações o número de lados da curva aumenta, mas o comprimento de cada um deles diminui.

A curva vai ter um número infinito de lados.

A medida de cada lado da figura tende para zero.

O perímetro é infinito.

A área é limitada é 1,26.

Dimensão do floco de neve.

O Floco de Neve de Koch possui auto-semelhança exacta.

Como se constrói o triângulo de Sierpinski?

Passo 0: Constrói-se um triângulo equilátero (sólido);

Passo 1: Determina-se os pontos médios de cada um dos lados de um triângulo e unem-se por segmentos esses pontos médios. Considera-se os 4 triângulos resultantes e retira-se o triângulo central. Ficamos assim com 3 triângulos sólidos;

Passo 2 – Aplica-se o procedimento anterior a cada um dos 3 triângulos resultantes. Obtemos 9 triângulos sólidos;

Passo N – Aplica-se o procedimento descrito no passo 2 a cada um dos triângulos sólidos obtidos no passo N-1, até ao infinito. Obtém-se assim o Triângulo de Sierpinski.

...

O triângulo de Sierpinski é a figura limite do processo:

A área do Triângulo de Sierpinski tende para zero.

Passo 0 AÁrea

Passo 1

Passo 2

Passo 3

AÁrea 43

AAÁrea 2

43

43

43

AAÁrea

32

43

43

43

...Passo n A4

3Árean

Qual a área do Triângulo de Sierpinski?

Como varia o perímetro da figura com as transformações?

O perímetro do Triângulo de Sierpinski tende para infinito.

Passo 0 PPerímetro

Passo 1

Passo 2

Passo 3

PPPerímetro 23363

PPPerímetro 22

233123

PPPerímetro 33

233243

P23Perímetro

n

O número de triângulos sólidos em cada passo da construção é dado por:

nnT 3

Qual a dimensão do Triângulo de Sierpinski?

3N

21

R

59,12log3log

d

O Triângulo de Sierpinski possui auto-semelhança exacta.

Então, a dimensão do Triângulo de Sierpinski é dada por:

O coeficiente de redução é 1/2.

O número de triângulos obtidos é o triplo do passo anterior.

Triângulo de Sierpinskie o Triângulo de Pascal

Em suma:

A área do Triângulo de Sierpinski tende para zero.

O perímetro tende para infinito.

A dimensão é 1,59.

Possui auto-semelhança exacta.

Como se constrói o conjunto de Mandelbrot?

É obtido quando submetemos os números complexos ( a+bi, a,b reais, i constante imaginária ) a um processo iterativo.

A nossa construção começa com um número complexo (um ponto do plano) a partir do qual criamos uma sequência infinita de números (pontos) que dependem do número inicial;

Esta sequência de números chama-se SEQUÊNCIA DE MANDELBROT.

,w nº complexo constante

Observando o comportamento de Zn+1, ou seja, do seu módulo | Zn+1 |, temos as seguintes possibilidades:

• |Zn| mantém-se sempre finito - Atribui-se a cor preta a z.

• |Zn| tende para infinito - Atribuem-se diferentes cores a z, dependendo do comportamento de |Zn|. A classificação é definida por quem desenha o fractal.

Atribuímos a cor a um número complexo Z= a+ib, qualquer, que vai ser desenhado como um ponto (a,b) do plano.

Comecemos o processo iterativo:

WZZ nn 2

1

Pontos de Divergência

Pontos de Periodicidade

Pontos de Convergência

Cores quentes se divergir lentamente

Ponto negro

Cores frias se divergir rapidamente

Um possível critério:

Como resultado de um processo iterativo obtemos:

Sucessivas ampliações do conjunto de Mandelbrot…

Feedback

«O que foi feito uma vez pode sempre ser repetido » , Louise B.Young.

Em termos gerais o feedback surge quando uma porção do output retorna ao input.

Exemplos

• Rock, Medicina, Psicologia, Bioquímica

• No mundo matemático, feedback está geralmente associado ao resultado de uma «iteração» ou «recursão»

Exemplificando...

Se numa calculadora digitarmos 0.5 e pressionarmos repetidamente x2, aparecer-nos-ão os seguintes números:

0.5 ; 0.25 ; 0.0625 ; 0.00390625 ...

Que correspondem a, respectivamente: x0 ; f(x0) ; f(f(x0)) ; f(f(f(x0))) ...

Mas o feedback pode produzir resultados bem mais interessantes...

Conjunto de Julia z= z2+c ( c=-1+0i )

Pontos Periódicos

O conceito de ponto peródico bastante comum no nosso vocabulário.

Por exemplo todos nós já ouvimos falar que o cometa Halley tem um período de aproximadamente 76 anos.

O que é matematicamente, um ponto periódico?

• Definição:

Seja x0 um ponto do domínio de f. Então x0 é n- periódico se : f(x0) = x0

e , x0, f(1)(x0), f(2)(x0), ... , f(n)(x0)

são distintos. Se x0 tem período n, então a órbita

{x0, f(1)(x0), f(2)(x0), ... , f(n)(x0)}

é uma orbita periódica e é chamada de n- ciclo.

Exemplo:

Seja T definida por

2x para 0 x 1/2T(x)=

2-2x para 1/2 x 1

para mostrar que {2/7, 4/7, 6/7} é um 3- ciclo para T basta ver que

T(2/7)= 4/7, T(4/7)= 6/7 e T(6/7)= 2/7.

Três padrões distintos de comportamento iterativo, no batimento cardíaco.

Exemplo ilustrativo do comportamento cardíaco e cerebral de um gato.

ECG antes da dose de cocaína ECG depois da dose de cocaína

EEG antes da dose de cocaína EEG depois da dose de cocaína

CAOS

O que é?

Dependência das condições iniciais

• O estudo da Teoria do caos assenta basicamente no estudo dos fenómenos de dependência sensível das condições iniciais .

• Isto significa que se mudarmos ligeiramente um parâmetro podemos obter um resultado / comportamento muito diferente do esperado.

Definição

• Seja J um intervalo , f: J J uma aplicação . Então f tem dependência sensível nas condições iniciais em x , ou apenas dependência sensível em x se existir um >0 tal que para cada >0 , existe um y J e nN tal que |x-y|< e |f(n)(x) - f(n)(y)|> .

EFEITO BORBOLETA

Muito da teoria do caos se deve à tentativa de compreender o comportamento da atmosfera terrestre.

Actualmente, os meteorologistas estão a usar o caos para avaliar e prever as alterações climáticas e estados do tempo com alguma segurança.

• A pesquisa matemática está a desenvolver modelos que ajudarão fazer previsões cada vez mais longas e precisas.

• Exemplo: previsões sazonais das chuvas das monções, mudanças no clima como resultado das actividades humanas, tais como o efeito de estufa.

• No entanto sabemos que a atmosfera é um sistema caótico que é em muitas situações imprevisível.

• Assim, são as tentativas de previsão do tempo a longa escala e da alteração do clima um desperdício do tempo?

• Devemos nós satisfazermo-nos com a previsão dada pela televisão ?

Ilustração do efeito borboleta

(a) - Condições iniciais para oito previsões climatéricas.

(b) - Previões do estado do tempo, uma semana depois das condições iniciais

• Em (a) reflecte-se as condições iniciais idênticas para a previsão do tempo .

• Em (b), uma semana depois, o modelo computacional mostra um mudança abrupta nas condições do tempo.

• Esta é uma ilustração realista da dependência das condições iniciais. A partir daqui podemos compreender a dificuldade que os meteorologistas têm em fazer longas previsões, e o porquê dos seus frequentes erros.

• O caos encontra-se num sistema dinâmico se dois pontos inicialmente próximos divergem exponencialmente ao longo das várias iterações.

• O seu comportamento futuro pode ser imprevisível.

Definição (Caos)

Uma função f é caótica se satisfaz a condição:

f tem dependência sensível nas condições iniciais em

todos os valores do seu domínio.

São fractais e caos sinónimos ?

Fractais e caos determinístico são ferramentas matemáticas que modelam diferentes tipos de fenómenos.

Não.

Muitos fractais não são caóticos (triângulo de Sierpinsky, curva de Koch,…)

Mas existem factores comuns, pois muitos fenómenos caóticos têm estruturas fractais.

Como por exemplo no gráfico:

CAOS E LINGUAGEM DOS FRACTAIS NO ENSINO SECUNDÁRIO

“A grande força da Matemática é a sua capacidade para construir estruturas complexas, a partir de algumas ideias-chave simples. Assim que surge o esqueleto de uma tal estrutura, cada novo bocado pode ser acrescentado no lugar certo. Sem haver a percepção do esqueleto, os bocados jazem dispersos e indevidamente avaliados. Temos, agora, o esqueleto de uma teoria dos Fractais. O desafio para os matemáticos do próximo século será moldar a carne para esses já fascinantes ossos”.

Ian Stewart 

No ensino secundário, 11º ano e/ou 12º, os tópicos caos e fractais são facultativos.

Porquê abordar fractais e caos no secundário?

O universo dos fractais e caos é uma nova e rica área interdisciplinar que proporciona uma maneira diferente de olhar para a natureza.

Os Fractais poderão contribuir para despertar os alunos para a beleza e utilidade da Matemática.

Quer a geometria fractal, quer a teoria do caos constituem um tema por excelência para invocar a importância da matemática nas tecnologias informáticas e vice-versa

Quando abordados, é de forma superficial, com o objectivo de que o aluno tenha uma noção intuitiva dos temas. Uma boa forma de o fazer é através de…

    …exemplos na vida quotidiana:

1. Suponhamos que temos alguns berlindes e resolvemos atirá-los ao chão.

Depois de um algum tempo os berlindes param nas

suas posições.

Agora junte os berlindes e repita a experiência.

Será que os berlindes se irão posicionar exactamente como na vez anterior?

Mesmo que tentemos atirá-los da mesma posição não conseguiremos ter precisão suficiente para posicioná-los correctamente.

É esperado que não.

2. O trânsito é outro exemplo. Mesmo assim, o número de variáveis é grande e o comportamento do sistema depende muito das condições iniciais. Nunca se sabe quando o trânsito está bom ou mau.

Já observou que há dias em que o congestionamento é maior?

É bem provável que o transtorno tenha sido causado por um carro acidentado, ou operação stop, ou uma via paralisada por um veículo ter

derramado combustível.

O número de variáveis é grande e o comportamento do sistema depende muito das condições iniciais.

Nunca se sabe quando o trânsito está bom ou mau.

Outro exemplo que se pode referir é o ”Efeito Borboleta””Efeito Borboleta” … 

“O bater das asas de uma borboleta na China pode causar um furacão no Texas”

…por ser de compreensão imediata.

O primeiro estudo do caos na ecologia foi sobre o acompanhamento temporal de evoluções de abelhas, borboletas, pássaros raros etc.

Esta é uma situação real e fundamental para os ambientalistas.

As leis que governam tais populações são muito variadas, e no conjunto delas, existe uma simples equação logística, cuja expressão

matemática é:

)1(1 nnn xaxx

A teoria do e a geometria fractal transcendeu a ciência e mexeu com a imaginação popular.

Alguns exemplos disso são os filmes “Butterfly Effect”, Cidade de Deus e “Jurassic Park”.

Neste último a teoria do caos é utilizada para explicar porque os dinossauros poderiam fugir ao controle de seus criadores. ou seja, sistemas aparentemente simples e seguros, podem de repente apresentar um comportamento caótico e imprevisível.

Mas, não é só em Hollywood que essa teoria é aplicada.

Podemos facilmente encontrar outros exemplos: na natureza, um rio calmo que se transforma num remoinho de um minuto para outro; em nosso dia-a-dia, a fumaça do cigarro que se eleva em linha recta, mas de repente aumenta de velocidade e forma círculos; no corpo humano, o aparelho digestivo que apresenta ondulações dentro de ondulações, os alvéolos pulmonares, o sistema urinário e o sistema circulatório são considerados fractais.

Actividades sugeridas

1. Construção um cartão fractal:

b) Faça cortes de comprimento a/2 a um quarto de cada lado;

a) Dobre uma folha A4 ao meio;

e) Finalmente, abra as dobras e empurre o fractal;

c) Dobremos ao longo do segmento produzido pelos dois cortes;

d) Repita o processo de cortar e dobrar enquanto possível;

Figura final:

Exemplo de fractais tridimensionais:

CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS

SUCESSÕES:

Definição e diferentes formas de representação;

Estudo de propriedades: monotonia e limitação;

Progressões aritméticas e geométricas: termo geral e soma de n ternos consecutivos;

LIMITES

Infinitamente grandes e infinitamente pequenos;

Limites de sucessões e convergência;

A convergência das sucessões monótonas e limitadas;

Problemas de limites com progressões.

COMPETÊNCIAS DESENVOLVIDAS:

Aplicação de conteúdos a situações problemáticas reais;

Estabelecimento de conexões entre a matemática e outras disciplinas (economia,

meteorologia, biologia e etc.)

Uso da calculadora e do computador

Finalização

A matemática é uma estrutura de

conhecimentos inteligentes e dinâmicos;

Quando bem articulada, pode prever o futuro de certos

comportamentos, o que torna, a nós matemáticos, especiais e

diferenciados;

Não devemos continuar a insistir apenas em fórmulas

nas nossas aulas. Não resolve.

Quanto à pergunta do aluno: para que serve isto, professor (a)?

Serve para…, foi desenvolvido em…, pelo matemático…, no ano de …, tinha como finalidade…,

pois em sua época…, enquanto hoje podemos aplicar em…

Esta sequencia fascina o aluno, pois são respostas, argumentos, de que ele precisa para “sacrificar” sua juventude em cima dos

livros.

Prof. Aguinaldo Prandini Ricieri.

“ Houve quem criticasse a matemática por falta de contacto com a realidade.

A história do caos é apenas uma das muitas que se desenrolam correntemente e que mostram que esta crítica é descabida.

É como criticar um pulmão por não bombear sangue”.

Deus joga aos dados?

Ian Stewart