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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA ESCOLA POLITÉCNICA
DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS ENG 298 – ESTÁTICA DAS CONTRUÇÕES
1ª. UNIDADE
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA ESCOLA POLITÉCNICA
DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS ENG 298 – ESTÁTICA DAS CONSTRUÇÕES
2° Semestre de 2008
PROGRAMA DA DISCIPLINA 1. DIRETRIZES PARA A ELABORAÇÃO DE UM PROJETO ESTRUTURAL
1.1. Elementos Estruturais 1.2. Sistemas Estruturais 1.3. Forma da Estrutura
2. AÇÕES ATUANTES NAS ESTRUTURAS
2.1. Ações Permanentes 2.2. Ações Variáveis 2.3. Ações Excepcionais
3. CARREGAMENTO DE PAVIMENTOS - AÇÕES VERTICAIS
3.1. Carregamento de Lajes 3.2. Carregamento de Vigas 3.3. Carregamento de Pilares
4. AÇÕES DEVIDAS AO VENTO – AÇÕES HORIZONTAIS
4.1. Efeitos Estáticos do Vento 4.2. Forças devidas ao Vento em Edifícios
5. ESTRUTURAS DE CONTRAVENTAMENTO
5.1. Ações Horizontais 5.2. Painéis de Contraventamento 5.3. Modelos para a Determinação dos Esforços Solicitantes
6. ESTABILIDADE GLOBAL DE EDIFÍCIOS 6.1. Classificação das Estruturas de Acordo com sua Deslocabilidade 6.2. Processos Utilizados para a Avaliação da Estabilidade Global de Edifícios
a) Parâmetro de Instabilidade α b) Coeficiente γZ
7. LINHAS DE INFLUÊNCIA – AÇÕES MÓVEIS
7.1. Definição de Linhas de Influência 7.2. Definição das Ações Móveis (Trens Tipo) 7.3. Envoltória de Esforços Cortantes 7.4. Envoltória de Momentos Fletores
8. MUROS DE ARRIMO
8.1. Tipos de Muros de Arrimo 8.2. Verificação da Estabilidade de Muros de Arrimo
METODOLOGIA DE AVALIAÇÃO DA APRENDIZAGEM
A avaliação da aprendizagem, de acordo com o Regulamento do Ensino de Graduação, será realizada a partir:
• da apuração da freqüência às aulas. • da atribuição de notas aos alunos em três avaliações parciais e no exame final quando for o caso.
DATAS DAS AVALIAÇÕES:
Primeira Avaliação: 15/09/2008 Segunda Avaliação: 22/10/2008 Terceira Avaliação: 01/12/2008 Segunda Chamada: 05/12/2008 Prova final: 17/12/2008
OBSERVAÇÕES:
1. Nas avaliações podem ser utilizadas calculadoras científicas. Não é permitido o uso de calculadoras programáveis e alfanuméricas (HP, Casio, etc), palm top, handheld e telefone celular.
2. O aluno que faltar às avaliações e entrar com o pedido de segunda chamada no Departamento de Construção e Estruturas, apresentando justificativa de acordo com o Regulamento do Ensino de Graduação da UFBA
(www.sgc.ufba.br), e no prazo determinado por este, poderá fazer outra avaliação com o mesmo assunto da avaliação que faltar, e em horário determinado a critério da professora.
3. O aluno que faltar a uma avaliação, sem justificativa, deverá entrar com um pedido de segunda chamada no Departamento de Construção e Estruturas, no prazo determinado pelo REG, e poderá fazer outra avaliação com todo o assunto do curso, a ser realizada em 05/12/2008.
PLANO DE CURSO
No. DIA DATA ASSUNTO
1 Segunda 18/ago Apresentação do curso / Considerações Iniciais
2 Quarta 20/ago Diretrizes para a elaboração de um projeto estrutural
3 Segunda 25/ago Diretrizes para a elaboração de um projeto estrutural
4 Quarta 27/ago Ações atuantes nas edificações
5 Segunda 1/set Carregamento de pavimentos
6 Quarta 3/set Carregamento de pavimentos
7 Segunda 8/set Não haverá aula
8 Quarta 10/set Carregamento de pavimentos
9 Segunda 15/set PRIMEIRA AVALIAÇÃO
10 Quarta 17/set Ação do vento nas estruturas
11 Segunda 22/set Ação do vento nas estruturas
12 Quarta 24/set Ação do vento nas estruturas
13 Segunda 29/set Ação do vento nas estruturas
14 Quarta 1/out Estruturas de contraventamento
15 Segunda 6/out Estruturas de contraventamento
16 Quarta 8/out Estruturas de contraventamento
17 Segunda 13/out Estabilidade global das estruturas
18 Quarta 15/out Estabilidade global das estruturas
19 Segunda 20/out Estabilidade global das estruturas
20 Quarta 22/out SEGUNDA AVALIAÇÃO
21 Segunda 27/out Linhas de influência: Conceitos
22 Quarta 29/out Linhas de influência: Conceitos
23 Segunda 3/nov Linhas de influência: Envoltória de esforços solicitantes
24 Quarta 5/nov Linhas de influência: Envoltória de esforços solicitantes
25 Segunda 10/nov Linhas de influência: Envoltória de esforços solicitantes
26 Quarta 12/nov Linhas de influência: Envoltória de esforços solicitantes
27 Segunda 17/nov Linhas de influência: Envoltória de esforços solicitantes
28 Quarta 19/nov Muros de arrimo: Verificação da estabilidade
29 Segunda 24/nov Muros de arrimo: exercícios
30 Quarta 26/nov Muros de arrimo: exercícios
31 Segunda 1/dez TERCEIRA AVALIAÇÃO
32 Sexta 5/dez SEGUNDA CHAMADA
33 Quarta 17/dez PROVA FINAL
2a. U
NID
AD
E3
a. U
NID
AD
E1
a.
UN
IDA
DE
* Datas sujeitas a alterações
BIBLIOGRAFIA
Constante nas notas de aula fornecidas aos alunos.
REGULAMENTO DO ENSINO DE GRADUAÇÃO
CAPÍTULO VI Da Avaliação da Aprendizagem
Artigo 96 - Entende-se por avaliação de aprendizagem o processo de apreciação e julgamento do rendimento acadêmico dos alunos, com o objetivo de acompanhamento, diagnóstico e melhoria do processo de aprendizagem, bem como com a finalidade de habilitação do aluno em cada componente curricular.
Artigo 97 - A avaliação de aprendizagem far-se-á por período letivo, semestral ou anual, compreendendo:
I – a apuração das freqüências às aulas, atividades e aos trabalhos escolares;
II – a atribuição de notas aos alunos em avaliações parciais através de trabalhos escolares e no exame final quando for o caso.
Artigo 98 - As avaliações de aprendizagem através de trabalhos escolares e do exame final serão expressas sob a forma de notas numéricas, até uma casa decimal, obedecendo a uma escala de zero (0) a dez (10).
Parágrafo 1o - A metodologia de avaliação da aprendizagem será definida pelo professor ou grupo de professores de cada componente curricular no respectivo plano de curso, aprovado pelo plenário do Departamento e encaminhado ao(s) Colegiado(s) do(s) Curso(s) para conhecimento.
Parágrafo 2o - Até o final da segunda semana letiva, a metodologia da avaliação da aprendizagem será divulgada aos alunos em sala de aula.
Artigo 99 - Os trabalhos escolares para avaliações parciais de aprendizagem são obrigatórios, conferindo-se nota zero (0) ao aluno que não os fizer.
Parágrafo 1o - O aluno que faltar ou não executar trabalho escolar, ao qual será atribuída nota para fins de aprovação ou reprovação, terá direito à segunda chamada, se a requerer ao professor responsável pela disciplina, até dois dias úteis após a sua realização, comprovando-se uma das seguintes situações:
I - direito assegurado por legislação especifica;
II – motivo de saúde comprovado por atestado médico;
III – razão de força maior, a critério do professor responsável pela disciplina.
Parágrafo 2o - A nota atribuída em segunda chamada substituirá a nota zero (0).
Parágrafo 3o - A falta à segunda chamada implicará na manutenção automática e definitiva da nota zero (0).
Parágrafo 4o - A avaliação da aprendizagem em segunda chamada será feita pelo próprio professor da turma, em horário por este designado, com, pelo menos, três (3) dias de antecedência, consistindo na execução de trabalhos similares àqueles aplicados na primeira chamada.
Artigo 100 - Ao longo do período letivo, deverão ser atribuídas a cada aluno, com base nos trabalhos escolares, no mínimo duas (2) e no máximo seis (6) notas.
Artigo 101 - O exame final constará de prova escrita e/ou prática e/ou oral e/ou execução de um trabalho, versando sobre assunto da matéria lecionada no período.
Parágrafo 1o - O exame de que trata o caput deste artigo deverá realizar-se, no mínimo, uma semana após o encerramento do curso.
Parágrafo 2o - Aplicam-se ao exame final as disposições dos parágrafos 1o, 2o, 3o e 4º do artigo 99 desde regulamento.
Artigo 102 - A nota final do aluno, em cada componente curricular, será determinada pela média aritmética ponderada dos dois valores seguintes:
I – média aritmética simples, sem aproximação, dos valores das notas obtidas pelo aluno nas avaliações parciais de aprendizagem, com peso seis (6);
II – nota obtida no exame final, com peso quatro (4).
Parágrafo 1o - A nota final correspondente ao valor obtido de acordo com os incisos I e II deste artigo será expressa sob a forma de números inteiros ou fracionários, até uma casa decimal, numa escala de zero (0) a dez (10).
Parágrafo 2o - Será dispensado do exame final, salvo se o requerer dentro das vinte e quatro (24) horas que precedem o exame, o aluno que, durante as avaliações parciais da aprendizagem, houver alcançado média mínima igual ou superior a sete (7), sem aproximação, média esta que corresponderá à nota final.
Artigo 103 - Será considerado inabilitado ou reprovado, em cada componente curricular, o aluno que alternativa ou cumulativamente:
I – deixar de cumprir a freqüência mínima de setenta e cinco por cento (75%) às aulas e às demais atividades escolares de cada componente curricular, ficando, conseqüentemente, vedada a realização das avaliações subseqüentes ao estudante que tenha faltado mais de 25% da carga horária do componente curricular;
II – não obtiver nota igual ou superior a um vírgula sete (1,7) resultante da média das avaliações parciais de cada componente curricular, ficando conseqüentemente vedada a prestação do exame final;
III – não obtiver nota final igual ou superior a cinco (5), sem aproximação, resultante da média das avaliações parciais e do exame final de cada componente curricular.
Artigo 104 - Os trabalhos escolares aos quais sejam atribuídas notas, para fins de aprovação ou reprovação dos alunos, deverão ser marcados com pelo menos uma semana de antecedência e, preferencialmente, figurar no plano de curso do componente curricular, respeitados os dias e horários destinados ao ensino do mesmo.
Parágrafo 1o - O resultado de cada avaliação parcial de aprendizagem deverá ser divulgado ao aluno antes da realização da avaliação seguinte com no mínimo quarenta e oito (48) horas de antecedência.
Parágrafo 2o - Os trabalhos escolares referidos no caput deste artigo deverão ser comentados pelo professor, em sala de aula, após a divulgação das notas, eliminando as dúvidas por parte dos alunos.
Artigo 105 – O trabalho escolar poderá ter sua nota reavaliada em primeira instancia pelo professor que a atribuiu e em segunda instancia por uma banca examinadora composta por três (3) professores inclusive o professor responsável pela turma, mediante solicitação escrita e fundamentada pelo aluno, se a encaminhar até três (3) dias úteis após o dia da divulgação do resultado, ao Departamento respectivo, instancia definitiva.
Parágrafo único - Quando a nota a ser reavaliada tiver sido atribuída por mais de um professor, constituir-se-á nova banca examinadora a qual deverá integrar o docente responsável pela turma.
Supresso - Prevalece o Artigo 45 do Regimento da UFBA:
Artigo 45 - O trabalho escolar poderá ter sua nota reavaliada pelo professor que atribuiu, por solicitação escrita e fundamentada pelo aluno, se requerido até 3 (três) dias úteis após o dia da divulgação do resultado, ao Departamento respectivo, instância definitiva.
Artigo 106 - Para o componente curricular cuja particularidade exigir um sistema de avaliação específico, esse sistema deverá ser submetido à aprovação do(s) respectivo(s) Colegiado(s) de Curso e da Câmara de Ensino de Graduação, resguardando-se o princípio de avaliação intermediária e de recurso de conceito.
OBSERVAÇÃO: O texto completo do Regulamento do Ensino de Graduação pode ser encontrado no seguinte sítio: http://www.sgc.ufba.br
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 1
Texto provisório – Sujeito a alterações
11 DDIIRREETTRRIIZZEESS PPAARRAA AA EELLAABBOORRAAÇÇÃÃOO DDEE UUMMPPRROOJJEETTOO EESSTTRRUUTTUURRAALL
1.1 INTRODUÇÃO
A simples observação das construções existentes no meio urbano é suficiente para indicar a
grande diversidade de estilos arquitetônicos cotidianamente empregados. Não tão notória, entretanto, é a
variedade de soluções estruturais às quais os projetistas podem recorrer.
Cada solução estrutural consiste num conjunto de estruturas de suporte da construção, seja ela
uma residência, um edifício alto, ou uma contenção, que necessita de projeto, planejamento e execução
particulares.
As estruturas de suporte, também denominadas sistemas estruturais , devem ser entendidas
como disposições racionais e adequadas de diversos elementos estruturais , classificando-se como
elementos estruturais os corpos sólidos, elásticos-deformáveis, que possuem capacidade de receber e
de transmitir ações.
A estrutura portante dos edifícios pode ser constituída por elementos estruturais de materiais
diversos, como o concreto (simples, armado ou protendido), a alvenaria estrutural (armada ou não), os
metais (aço e alumínio), a madeira, e, mais recentemente, a argamassa armada. Não são raros os casos
de associações entre esses materiais, dos quais pode-se destacar a grande difusão do uso de estruturas
em composite (vigas metálicas e lajes de concreto que funcionam conjuntamente).
A decisão para se projetar a estrutura portante de um edifício utilizando qualquer uma das opções
anteriormente citadas depende não apenas de fatores técnicos, mas também econômicos e executivos.
Independente da solução adotada, os critérios de segurança da estrutura devem ser obrigatoriamente
atendidos.
Neste curso, as diretrizes apresentadas se referem basicamente às estruturas em concreto
armado.
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 2
Texto provisório – Sujeito a alterações
1.2 ELEMENTOS ESTRUTURAIS
Os elementos estruturais dos sistemas estruturais convencionais dos edifícios de concreto armado
arranjam-se na superestrutura ou na fundação. No primeiro grupo, destacam-se as lajes, as vigas, os
pilares e os conjuntos destes elementos (como as escadas e os reservatórios); no segundo, pode-se citar
as sapatas (flexíveis ou semi-rígidas) e os blocos sobre estacas.
Diversas são as possibilidades de classificação desses elementos; a mais simples e direta talvez
seja a classificação geométrica. E dentro dos diversos dados geométricos passíveis de serem analisados, é
usual se estudar as relações entre as ordens de grandeza das três dimensões características de cada
elemento estrutural.
1.2.1 CLASSIFICAÇÃO QUANTO À GEOMETRIA
Com base na classificação geométrica, pode-se agrupar os elementos estruturais em quatro tipos
fundamentais:
a) Elementos lineares de seção delgada
São os elementos que têm a espessura b muito menor que a altura h da seção transversal e, esta
muito menor que o comprimento l , como mostrado na figura abaixo.
lh b
Figura 1.1 - Elementos lineares de seção delgada.
Estes elementos são estudados pala Teoria das Barras de Elementos Delgados. Podem ser citados
como exemplos as peças de argamassa armada.
b) Elementos lineares de seção não delgada ou barras
São os elementos que têm a espessura b da mesma ordem de grandeza da altura h da seção
transversal, ambas bem menores que o comprimento l .
Os elementos lineares de seção não delgada, nas estruturas dos edifícios, são as vigas, os pilares
e, se houver, os tirantes.
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 3
Texto provisório – Sujeito a alterações
Os esforços solicitantes nesses elementos são calculados a partir dos conceitos relativos à
Resistência dos Materiais.
lh
b
Figura 1.2 - Elementos lineares de seção não delgada.
c) Elementos bidimensionais
São os elementos estruturais que têm as suas dimensões em planta (b e l) da mesma ordem de
grandeza, e muito maiores que a espessura (h).
lh
b
Figura 1.3 - Elementos bidimensionais.
Como exemplos de elementos bidimensionais têm-se as lajes dos pavimentos dos edifícios, as
paredes dos reservatórios, as lajes das escadas e as cortinas de contenção, etc.
d) Elementos tridimensionais ou blocos
São aqueles que têm as três dimensões da mesma ordem de grandeza. São exemplos de
elementos tridimensionais as sapatas, os blocos sobre estacas, os consolos entre outros.
lh
b
Figura 1.4 - Elementos tridimensionais.
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 4
Texto provisório – Sujeito a alterações
Para efeito de orientação prática, pode-se considerar da mesma ordem de grandeza as dimensões
cuja relação se mantenha inferior a 1:10.
Esse tipo de classificação, apesar de correto, não associa cada elemento com seu comportamento
estrutural. E essa associação é de fundamental importância para um bom projeto estrutural.
1.2.2 CLASSIFICAÇÃO QUANTO AO COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
O ponto de partida de um projeto estrutural consiste na idealização de um arranjo estrutural
formado por elementos estruturais, com o qual se pretende que todas as partes da construção possam ter
sua resistência assegurada. Para se imaginar um arranjo estrutural eficiente, é necessário se conhecer o
comportamento de cada elemento da estrutura a ser projetada, ou seja, a forma com que as ações são
recebidas e transmitidas.
Torna-se conveniente relacionar as características de funcionamento dos elementos com suas
características geométricas, a fim de se escolher corretamente a teoria que regerá o cálculo dos esforços.
Assim sendo, pode-se apresentar a seguinte classificação:
a) Elementos lineares
Os elementos lineares, de seção delgada ou não, são caracterizados segundo a Mecânica das
Estruturas como elementos de barras. Podem ser submetidos a solicitações normais ou tangenciais. As
solicitações normais (momento fletor e/ou esforço normal) são características das barras submetidas a
compressão uniforme, flexão composta (normal ou oblíqua), flexão simples ou tração simples. As
solicitações tangenciais (esforços cortantes) se limitam a barras submetidas a flexão simples.
São exemplos de elementos lineares usuais:
• Pilares
Os pilares são barras submetidas a ação ou de compressão simples ou de flexão composta. Essa
variação do tipo de solicitação é função da posição de cada um deles na planta do edifício, como pode ser
visto na Figura 1.5.
• Vigas
As vigas são barras submetidas a flexão simples. Geralmente encontram-se na horizontal, servindo
de apoio para as lajes.
• Tirantes
Os tirantes são barras submetidas a tração simples. São usualmente feitos com materiais
metálicos, pois o concreto apresenta uma resistência à tração muito baixa.
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 5
Texto provisório – Sujeito a alterações
Laje
VigaPilar
a) Planta
Mx
yMN
b) Pilar de canto (flexão composta oblíqua)
Mx
N
c) Pilar de extremidade (flexão composta normal)
N
d) Pilar central (compressão centrada)
Figura 1.5- Solicitações nos pilares.
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 6
Texto provisório – Sujeito a alterações
b) Elementos bidimensionais
Os elementos bidimensionais são elementos de superfície nos quais, como já foi visto, duas das
dimensões, medidas ao longo da superfície média, têm ordem de grandeza maior que a espessura.
Quando a curvatura na superfície média for diferente de zero, estes elementos são chamados de
cascas ; caso contrário, ou seja, quando a curvatura for nula, são chamados ou de placas ou de chapas .
As cascas são estruturas não planas que têm sido utilizadas na construção de coberturas de
grandes vãos, tampas de reservatórios de grande capacidade de armazenamento, e silos, entre outros.
Figura 1.6 - Exemplo de casca.
As placas caracterizam-se por uma ação uniformemente distribuída, aplicada perpendicularmente
ao plano de sua superfície média.
Figura 1.7 – Exemplo de placa.
As chapas , por outro lado, apresentam a ação uniformemente distribuída aplicada paralelamente
ao plano da superfície média.
Figura 1.8 – Exemplo de chapa.
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 7
Texto provisório – Sujeito a alterações
São exemplos de elementos bidimensionais:
• Lajes
As lajes são placas de concreto armado, normalmente dispostas horizontalmente, podendo
apresentar-se segundo alguns diferentes tipos, como: moldadas no local ou pré-fabricadas; maciças ou
nervuradas. Além disso, podem estar diretamente apoiadas nos pilares, dispensando o uso de vigas, sendo
nestes casos chamadas de lajes-cogumelo ou lajes planas.
As lajes maciças são aquelas em que, ao longo de toda sua superfície, a espessura é mantida
constante ou sofre pequena variação. As lajes nervuradas, por sua vez, podem ser entendidas como um
conjunto de pequenas vigas (nervuras), em uma ou nas duas direções, solidarizadas a uma mesa de
espessura constante (laje maciça).
As lajes sem vigas apóiam-se diretamente sobre pilares. Estes pilares podem ou não possuir um
aumento da sua seção transversal próximo da ligação com a laje, que é chamado capitel, cuja principal
finalidade é diminuir as tensões de cisalhamento nessa região, prevenindo a punção. Quando a laje
apresenta capitel, ela pode ser chamada de laje -cogumelo; quando não apresenta, é chamada de laje
plana.
Figura 1.9 - Lajes sem vigas, com ou sem capitéis.
Quanto aos esforços, as lajes são solicitadas essencialmente a flexão simples, com momentos
fletores agindo nas direções de seus eixos principais.
• Paredes
As paredes estruturais são chapas de concreto armado, definidas pela NB-1/78 como "estruturas
laminares planas verticais, apoiadas de modo contínuo em toda a sua base, sendo que o
comprimento da seção transversal é maior que 5 vezes a largura".
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 8
Texto provisório – Sujeito a alterações
Como exemplo pode-se citar as paredes de reservatórios enterrados ou apoiados diretamente
sobre o solo, cuja laje de fundo funciona também como fundação. As reações de apoio das lajes de tampa
e de fundo, transmitidas às paredes são ações uniformemente distribuídas e que atuam paralelamente ao
seu plano médio.
b
h > 5b
Figura 1.10 - Parede
• Vigas Parede
As vigas parede são chapas de concreto armado, definidas pela NB-1/78 como "estruturas
laminares planas verticais apoiadas de modo descontínuo, cuja altura total, no caso de peças de
tramo único livremente apoiadas, seja no mínimo igual à metade do vão, e nos demais casos seja
no mínimo igual a 0,4 do vão".
l
h ≥ 0,5 lou
h ≥ 0,4 l
Figura 1.11 – Viga-parede
Como exemplo de vigas parede podem ser citadas as paredes de reservatórios elevados, apoiadas
sobre pilares, que além de receberem o empuxo de água (comportamento de placa), recebem as reações
de apoio das lajes de tampa e de fundo. trabalhando como chapa.
c) Sapatas Flexíveis
As sapatas flexíveis, que podem ser consideradas como placas, são elementos estruturais que têm
a finalidade de transferir para o terreno as ações dos pilares. Elas possuem altura relativamente menor
que as dimensões da base, o que contribui para que os esforços devidos à flexão simples e à punção sejam
relevantes para o dimensionamento.
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 9
Texto provisório – Sujeito a alterações
d) Elementos tridimensionais
Dentre os elementos estruturais, os tridimensionais são os de análise mais complexa, devido às
dificuldades de se estudar a distribuição das tensões.
São exemplos de elementos tridimensionais:
• Sapatas semi-rígidas
As sapatas semi-rígidas, assim como as flexíveis, são elementos estruturais que têm a finalidade
de transferir para o terreno as ações dos pilares. Possuem altura da mesma ordem de grande das
dimensões da base.
• Blocos sobre estacas
Os blocos sobre estacas são elementos de transição. Sua função é transmitir as ações dos pilares
para as estacas, que, por sua vez, transmitem-nas ao terreno. Vale ressaltar que as estacas não são
necessariamente de concreto, podendo ser também de madeira ou metálicas.
• Consolos
Os consolos podem ser definidos como vigas de pequeno vão em balanço, com relação entre vão
e altura menor do que 1,0. São solicitados principalmente ao cisalhamento.
e) Conjuntos de elementos estruturais
Os conjuntos de elementos estruturais são aqueles formados por elementos estruturais diversos, de
geometria e comportamentos não necessariamente iguais, que juntos conseguem desempenhar uma
determinada função específica diferente de suas funções individuais.
Muitos dos sistemas estruturais dos edifícios são compostos por conjuntos de elementos
estruturais. Podem ser citados:
• Reservatórios
Os reservatórios são compostos por elementos de placa que apresentam comportamentos
estruturais diferentes. No caso de reservatórios elevados, as paredes desempenham tanto a função de
lajes verticais, submetidas a ação da água, como as de vigas parede, submetidas a ação das reações de
apoio das lajes de tampa e de fundo.
• Escadas
As escadas são compostas por lajes, que formam os patamares e os degraus, apoiadas em vigas,
posicionadas ou transversalmente ou longitudinalmente.
• Muros de Arrimo
Os muros de arrimo também podem ser considerados como conjuntos de elementos estruturais
quando são formados por uma parede, em contato direto com o terreno a ser contido, e por uma sapata
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 10
Texto provisório – Sujeito a alterações
corrida, em sua base. Enquanto a parede se comporta como uma laje submetida a uma ação linearmente
variável (empuxo de terra), a sapata também se comporta como uma placa cuja finalidade seria equilibrar
o momento de tombamento gerado pela parede.
Esses elementos ou conjuntos de elementos estruturais descritos anteriormente podem ser
visualizados na figura abaixo, que apresenta a perspectiva de parte de um edifício.
Figura 1.16 – Perspectiva de parte de um edifício.
1.3 SISTEMAS ESTRUTURAIS
Como já mencionado, os elementos estruturais podem ser utilizados de variadas formas na
composição de um sistema estrutural. Em qualquer uma delas, cada elemento deve ser capaz de
desempenhar adequadamente sua função individual, contribuindo para a adequação do desempenho da
edificação como um todo.
Quando uma ação é aplicada a um dos elementos estruturais de um edifício, os demais acabam
por receber parcelas dela, em forma de reações. Com isso a capacidade resistente da estrutura cresce.
Em outras palavras, cada laje, viga, pilar ou parede estrutural deve apresentar, individualmente, resistência
mecânica, estabilidade local e rigidez, de modo que a resistência global da edificação seja suficiente para
garantir a segurança.
O funcionamento conjunto dos elementos estruturais é conseguido através da transmissão das
ações, verticais e horizontais.
Num edifício de vários pavimentos, de estrutura convencional, as lajes (elementos de placa
horizontais) recebem as ações verticais distribuídas em sua superfície e as transmitem para seus apoios: as
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 11
Texto provisório – Sujeito a alterações
vigas (elementos lineares horizontais). Estas, por sua vez, distribuem suas ações (reações das lajes e
cargas de parede) para os pilares (elementos lineares verticais), lance a lance, de forma que a carga final
na fundação corresponde à carga total incidente na edificação, mais seu peso próprio.
Com relação às ações horizontais, o sistema resistente é constituído basicamente pelo conjunto de
pilares e vigas, denominado pórtico. Se houver necessidade de se aumentar a capacidade desse sistema,
pode-se introduzir chapas verticais rígidas, chamadas de pilares-parede, que podem atuar isolados ou em
pórticos.
1.3.1 DISPOSIÇÃO DOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS EM UM SISTEMA
ESTRUTURAL
Dentre os aspectos que regem a disposição dos elementos estruturais dentro de um sistema
estrutural, é essencial que o projetista gere condições de resistência para a estrutura, tanto às ações
verticais como às horizontais.
A idealização de um projeto estrutural está, portanto, intimamente associada ao conhecimento das
ações incidentes. Só assim pode-se coletá-las e controlar-lhes o fluxo até a fundação.
Pode-se subdividir os sistemas estruturais em subsistemas, de acordo com o tipo de ação que ele
se destina a receber: horizontal ou vertical.
a) Subsistemas Horizontais
Os subsistemas horizontais são formados por combinações de elementos de placa (lajes) e barra
(vigas) dispostos horizontalmente. O exemplo mais simples seria formado apenas por painéis de laje, sem
vigas (laje cogumelo).
Esses grupos de elementos estruturais têm duas finalidades principais: coletar e transmitir as ações
gravitacionais (verticais) para os diversos subsistemas verticais, em função da rigidez e disposição de cada
um deles; e coletar e transmitir as ações horizontais para os subsistemas verticais que compõem os painéis
resistentes às ações laterais.
O caminho das ações gravitacionais já foi mencionado anteriormente. Quanto às horizontais, as
lajes, por apresentarem rigidez “infinita” no plano horizontal (comportamento de diafragma rígido),
distribuem essas ações de acordo com a rigidez dos elementos que as suportam (subsistemas verticais); as
vigas, neste caso, funcionam como enrijecedores do subsistema horizontal e auxiliam na transmissão das
ações para os pilares.
b) Subsistemas Verticais
Os subsistemas verticais são formados por elementos de barra ou de chapa, dos quais pode-se
destacar os pilares, os pórticos, os pilares-parede, e as caixas de elevadores e escadas (arranjos
tridimensionais de chapas que geralmente envolvem as regiões de fluxo humano vertical nos edifícios).
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 12
Texto provisório – Sujeito a alterações
Esses grupos de elementos estruturais têm três finalidades principais: suportar os subsistemas
horizontais; compor com os subsistemas horizontais os painéis resistentes às ações laterais; e transmitir as
ações gravitacionais e horizontais que recebe para os elementos de fundação.
1.4 ESCOLHA DA FORMA DA ESTRUTURA
Para que se possa determinar o arranjo estrutural de uma edificação, ela deve estar perfeitamente
delimitada através de um projeto arquitetônico. E é importante que a posição dos elementos estruturais não
crie interferências neste projeto (apesar dele usualmente criar imposições estruturais) nem nos demais
(instalações hidráulicas, sanitárias, elétricas, ar condicionado, incêndio, telefone, etc).
A forma de uma estrutura em concreto armado é definida a partir da posição dos pilares, e depois
das vigas. Com a disposição destas, os painéis das lajes ficam definidos.
1.4.1 LOCAÇÃO DOS PILARES
Como já foi dito, a forma da estrutura começa a ser delineada a partir do posicionamento dos
pilares, chamado de locação, e sempre em concordância com o projeto arquitetônico.
Procura-se manter um certo alinhamento entre estes elementos, com a finalidade de gerar pórticos
capazes de resistir às ações horizontais. Também é conveniente posicioná-los coincidindo com as paredes
previstas pela arquitetura.
Não se pode deixar de ter em mente que afastamentos exagerados entre pilares exigirão vigas
com alturas significativas, em decorrência do grande vão livre. Como muitas vezes essas alturas são
limitadas pelas esquadrias, o melhor é se controlar as distâncias entre apoios.
Quanto às dimensões, elas são adotadas em função dos esforços solicitantes, respeitando-se os
limites mínimos estabelecidos por norma.
1.4.2 POSICIONAMENTO DAS VIGAS
As vigas podem se apoiar diretamente nos pilares, ou em outras vigas.
É conveniente posicioná-las coincidindo com as paredes previstas pela arquitetura. Entretanto, não
é necessário se prever uma viga coincidindo com cada parede do pavimento, uma vez que as lajes são
capazes de absorver suas cargas linearmente distribuídas.
Também não se pode deixar de ter em mente que afastamentos exagerados entre vigas exigem
lajes com espessuras elevadas, em decorrência do grande vão livre. Como isso acarreta um grande
consumo de concreto, o melhor é se controlar as distâncias entre apoios.
As larguras das vigas são adotadas em função da necessidade de compatibilizá-las com as
espessuras da parede acabada de alvenaria, respeitando-se os limites mínimos estabelecidos por norma; as
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 13
Texto provisório – Sujeito a alterações
alturas, por sua vez, são definidas a partir dos esforços solicitantes e da arquitetura (não devem
ultrapassar a distância de piso a piso menos a altura das portas e caixilhos).
1.4.3 POSICIONAMENTO DAS LAJES
Uma vez definida as posições dos pilares e das vigas, as lajes ficam automaticamente
determinadas.
1.4.4 PAVIMENTO DE TRANSIÇÃO
Se os pilares lançados para o pavimento-tipo estiverem em posições que interferem áreas
destinadas a garagem ou em algum ambiente social do playground, eles não poderão descer até o nível da
fundação. O pavimento onde esses pilares nascerão é o chamado de pavimento de transição.
Os pavimentos de transição caracterizam-se por vigas de grandes dimensões (vigas de transição),
uma vez que elas são carregadas pelas reações dos pilares, cuja ordem de grandeza é bastante superior ao
das vigas do pavimento-tipo. Por isso, este tipo de solução deve, sempre que possível, ser evitado.
1.4.5 RECOMENDAÇÕES
De uma maneira geral, quando do lançamento de uma estrutura, deve-se procurar:
• Atender ao projeto arquitetônico;
• Posicionar os pilares de modo a se obter distâncias entre seus eixos da ordem de 4 a 7 m,
preferencialmente alinhando-os para formar pórticos;
• Definir as lajes em conjunto com as vigas, de modo a se ter o menor vão da ordem de 4 a 6 m;
• Verificar sempre a interferência com os outros projetos complementares.
1.5 DIMENSÕES MÍNIMAS DOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS
São apresentadas a seguir, as dimensões mínimas de alguns elementos estruturais em concreto
armado, de acordo com a NB1 (1978).
1.5.1 LAJES
a) Espessuras mínimas em função da utilização:
Lajes maciças Lajes sem vigas
Lajes de cobertura (não em balanço) 5 cm 12 cm
Lajes de piso e lajes em balanço 7 cm 15 cm
Lajes destinadas à passagem de veículos 12 cm 15 cm
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 14
Texto provisório – Sujeito a alterações
b) Observações para lajes nervuradas:
A distância livre entre as nervuras não deve ultrapassar 100 cm;
A espessura das nervuras não deve ser inferior a 4 cm;
A espessura da mesa não deve ser inferior a 4 cm, nem a 1/15 da distância livre entre as
nervuras.
1.5.2 VIGAS
A largura das vigas de seção retangular, as nervuras das vigas de seção T e as paredes das vigas
de seção caixão não devem ser menores do que 8 cm.
1.5.3 PILARES
a) Pilares de estruturas convencionais
• Pilares não cintados:
A menor dimensão deve ser maior ou igual a 20 cm ou 1/25 da altura livre.
• Pilares cintados:
O diâmetro do núcleo do pilar deve ser maior ou igual a 20 cm ou 1/10 da altura livre.
b) Pilares que suportam lajes sem vigas
• Pilares não cintados:
A menor dimensão deve ser maior ou igual a 30 cm ou 1/15 da altura livre.
• Pilares cintados:
O diâmetro do núcleo do pilar deve ser maior ou igual a 30 cm ou 1/10 da altura livre.
c) Observações
1. Para pilares que suportam lajes sem vigas, sua espessura em cada direção não deve ser
inferior a 1/20 da distância entre seus eixos nessa direção.
2. Para pilares de estruturas convencionais, permite-se adotar espessuras menores que as
indicadas acima em alguns casos específicos, desde que o coeficiente de majoração dos
esforços adotado seja 1,8.
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 15
Texto provisório – Sujeito a alterações
1.6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – ABNT (1978). (NB-1) NBR 6118 -
Projeto e execução de obras de concreto armado. Rio de Janeiro.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – ABNT (1997). Texto-Base para Revisão
da NB-1. Rio de Janeiro.
FUSCO, P. B. (1976). Estruturas de concreto: fundamentos do projeto estrutural. São Paulo.
McGraw – Hill / Editora da Universidade de São Paulo.
GIONGO, J. S. (1996). Concreto Armado: projeto estrutural de edifícios. Escola de Engenharia de
São Carlos – Universidade de São Paulo. Publicação 059.
MACGREGOR, J. G. (1992). Reinforced Concrete: Mechanics and Design. 2ed. Englewood Cliffs,
Prentice Hall.
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 16
Texto provisório – Sujeito a alterações
22 AAÇÇÕÕEESS AA SSEERREEMM CCOONNSSIIDDEERRAADDAASS NNOO PPRROOJJEETTOO DDEE EEDDIIFFÍÍCCIIOOSS
2.1 INTRODUÇÃO
Segundo a NBR 8681/84, ações são “as causas que provocam esforços ou deformações nas
estruturas”. Na prática, os esforços e as deformações causados por essas ações são considerados como
se fossem as próprias ações.
Na análise estrutural, deve ser considerada a influência de todas as ações que possam produzir
efeitos significativos para a estrutura em estudo, considerando-se tanto os estados limites últimos como os
de utilização.
Ainda de acordo com a NBR 8681/84, as ações que atuam nas estruturas podem ser divididas em
ações permanentes, ações variáveis e ações excepcionais, de acordo com as variações de seus valores
em torno de sua média, ao longo da vida da construção.
As grandezas e os tipos de cada uma dessas ações variam segundo o as características e
peculiaridades da estrutura analisada, e de acordo com as normas pertinentes a cada caso.
2.2 AÇÕES PERMANENTES
Segundo o Texto-Base para Revisão da NB-1, as ações permanentes são “as que ocorrem com
valores praticamente constantes durante toda a vida da construção”. Também são consideradas
como permanentes as ações que crescem no tempo tendendo a um valor limite constante. As ações
permanentes são consideras com seus valores representativos mais desfavoráveis para a segurança.
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 17
Texto provisório – Sujeito a alterações
2.2.1 AÇÕES PERMANENTES DIRETAS
As ações permanentes diretas são constituídas pelo peso próprio dos elementos de concreto
armado que compõem a estrutura, dos elementos construtivos e das instalações permanentes, além dos
empuxos devidos ao peso próprio de terras não removíveis e ao peso da água de piscinas e reservatórios.
2.2.2 AÇÕES PERMANENTES INDIRETAS
As ações permanentes indiretas são constituídas pelas deformações impostas pelos fenômenos de
retração ou fluência do concreto, deslocamentos de apoio, imperfeições geométricas ou protensão.
2.2.3 QUANTIFICAÇÃO DAS AÇÕES PERMANENTES DIRETAS
De acordo com a NBR 6120/80, devem ser considerados nos projetos de edifícios, os pesos
próprios de elementos estruturais (lajes, vigas, pilares e fundações), elementos de vedação (paredes de
alvenaria), caixilhos e divisórias, elementos de revestimento de paredes (como argamassas, azulejos,
pedras decorativas e madeiras), elementos de revestimentos de lajes (rebocos na face inferior das lajes,
contrapisos ou camadas de regularização, e pisos de madeira, cerâmica, pedras, carpetes, etc.).
O projetista da estrutura deve ter conhecimento de todos os materiais de acabamento
especificados e seus respectivos pesos próprios, para não cometer erros na avaliação das ações.
Por exemplo, um piso de 2 cm de espessura em ipê róseo tem peso por unidade de área igual a
0,20 kN/m2; se for usado um piso de mármore de mesma espessura, o peso passa para 0,56 kN/m2, o que
significa uma diferença de 180%.
Para situações gerais, e na falta de determinação experimental, a NBR 6120/80 fornece valores
aproximados dos pesos específicos aparentes de materiais de construção como os anteriormente citados.
Tais valores são apresentados na Tabela 2.1.
Para situações específicas, devem ser consultados catálogos do fabricante ou seu departamento
técnico, a fim de se tomar conhecimento do peso específico correto do material. Na falta de dados
normalizados ou de catálogos, há necessidade de se determinar experimentalmente os pesos específicos
dos materiais.
Em termos de projeto, é mais conveniente que os valores dos pesos próprios dos materiais estejam
referidos por unidade de área, e não de volume (pesos específicos). Por exemplo, para se determinar o
valor da ação de uma alvenaria atuante sobre uma viga de um edifício, por unidade de comprimento, o
cálculo se restringe à multiplicação da altura da alvenaria pelo peso por unidade de área pré-determinado.
Utilizando os valores dos pesos específicos aparentes indicados na Tabela 2.1, pode-se determinar
esses pesos por unidade de área para qualquer um dos materiais listados.
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 18
Texto provisório – Sujeito a alterações
Materiais Peso específico aparente (kN/m3)
Arenito 26Basalto 30Gnaiss 30Granito 28Mármore e calcário 28Blocos de argamassa 22Cimento amianto 20
Blocos Lajotas cerâmicas 18Artificiais Tijolos furados 13
Tijolos maciços 18Tijolos sílico-calcários 20Argamassa de cal, cimento e areia 19
Revestimentos Argamassa de cimento e areia 21e Argamassa de gesso 12,5
concretos Concreto simples 24Concreto armado 25Pinho, cedro 5Louro, imbuia, pau óleo 6,5Guajuvirá, guatambu, grápia 8Angico, cabriuva, ipê róseo 10Aço 78,5Alumínio e ligas 28Bronze 85Chumbo 114Cobre 89Ferro fundido 72,5Estanho 74Latão 85Zinco 72Alcatrão 12Asfalto 13
Materiais Borracha 17diversos Papel 15
Plástico em folhas 21Vidro plano 26
Rochas
Madeiras
Metais
Tabela 2.1- Peso específico dos materiais de construção (Retirada da NBR 6120/80).
Exemplo do cálculo do peso próprio de alvenaria de um tijolo furado revestida
Seja uma alvenaria de tijolos furados, com dimensões de 9cm x 19cm x 19cm, revestida com
argamassa mista (cimento, areia, cal) de 2 cm de espessura. Pela tabela o peso específico aparente dos
tijolos furados é de 13 kN/m3, e da argamassa é de 19 kN/m3.
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 19
Texto provisório – Sujeito a alterações
O assentamento dos tijolos será com a mesma argamassa, com camadas de 1cm de espessura
entre as fiadas horizontais e entre as faces verticais dos tijolos, como mostrado na Figura 2.1. Ainda nesta
figura, nota-se que a espessura final da alvenaria é de 23cm, já que a largura do tijolo é 19cm e o
revestimento de argamassa em cada face é de 2cm.
1190,5 0,519 19 19 19
1 1 1100
1
90,
59
1
9
1
9
1
9
1
9
1
9
1
9
1
9
1
90,
5
1 2 3 4 5
19
100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2 2
Figura 2.1 - 1m2 de alvenaria de tijolos furados com revestimento.
Para se construir uma parede de 1m2, são necessários 50 tijolos, cujo peso próprio é dado por:
50 x (0,19 x 0,19 x 0,09) x 13 = 2,11 kN/m2
Para se computar o peso próprio da argamassa de assentamento basta determinar o volume da
argamassa, na direção horizontal e vertical, e multiplicar pelo peso específico aparente da argamassa,
resultando:
10 x (0,19 x 0,01 x 0,95) x 19 + 5 x (0,19 x 0,01 x 1,00) x 19 = 0,52 kN/m2
O valor do peso próprio do revestimento em ambas as faces da alvenaria é dado por:
2 x (0,02 x 1,00 x 1,00) x 19 = 0,76 kN/m2
Portanto, o peso próprio de 1m2 de alvenaria de tijolo furado (Figura 2.1), revestida de argamassa
em cada face, é igual:
2,11 + 0,52 + 0,76 = 3,39 kN/m2
Na determinação deste valor já se imaginou que a resultante de cada parcial estava dividida por
1m2.
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 20
Texto provisório – Sujeito a alterações
Para alvenarias com outros tipos de tijolos ou outras dimensões e tipos de revestimento, o
procedimento é análogo.
Na Tabela 2.2 são apresentados os pesos por unidade de área, m2, para os principais materiais de
alvenaria, enchimento de lajes rebaixadas, forros, coberturas, formas, esquadrias e caixilhos utilizados nos
edifício usuais. Para as paredes, considerou-se uma espessura de 1cm para a camada de assentamento e
1,5cm para a de revestimento. Para as coberturas, considerou-se o peso específico de telhas úmidas,
prevendo a ocorrência de chuvas.
Item Material Ação (kN/m2)
Tijolos maciços, com 25cm de espessura 4,0Tijolos maciços, com 15cm de espessura 2,5Tijolos furados, com 23cm de espessura 3,2Tijolos furados, com 13cm de espessura 2,2Tijolos de concreto, com 23cm de espessura 3,5Tijolos de concreto, com 13cm de espessura 2,2Tijolos de concreto celular, com 23cm de espessura 0,8Tijolos de concreto celular, com 13cm de espessura 0,5Com telhas cerâmicas, com madeiramento 1,2Com telhas de fibrocimento, com madeiramento 0,4Com telhas de alumínio e estrutura de aço 0,3Com telhas de alumínio e estrutura de alumínio 0,2Com painéis de gesso, com estrutura de madeira e aço 0,5Com blocos sólidos de gesso 0,7Com estruturas de alumínio, com vidros 0,2Com estruturas de aço, com vidros 0,3De fibrocimento tipo Canalete 43 0,28De fibrocimento tipo Canalete 90 0,25
Telhas
Paredes
Coberturas
Forros
Caixilhos
Tabela 2.2 - Ações permanentes por unidade de área.
2.3 AÇÕES VARIÁVEIS
Segundo a NBR 8681/84, as ações variáveis são “as que ocorrem com valores que apresentam
variações significativas em torno de sua média, durante toda a vida da construção”. Correspondem
às ações que ocorrem no uso das edificações, quantificadas através de estudos probabilísticos de
ocorrência.
2.3.1 AÇOES VARIÁVEIS NORMAIS
São aquelas com probabilidade de ocorrência suficientemente grande para que sejam
obrigatoriamente consideradas no projeto estrutural, de acordo com a NBR 8681/84. São as chamadas
cargas acidentais atuantes sobre as lajes dos pavimentos, decorrentes da presença, por exemplo, de
pessoas, móveis, utensílios e veículos.
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 21
Texto provisório – Sujeito a alterações
2.3.2 AÇÕES VARIÁVEIS ESPECIAIS
São consideradas ações variáveis especiais aquelas que ocorrem durante um curto período na vida
útil da estrutura, como as ações sísmicas e as cargas de natureza ou intensidade especiais.
2.3.3 QUANTIFICAÇÃO DAS AÇÕES VARIÁVEIS NORMAIS
As ações variáveis normais são supostas verticais, uniformemente distribuídas e atuantes numa
superfície horizontal e plana, como uma laje. Seus valores mínimos para edifícios residenciais e comerciais
destinados a escritórios estão indicados na NBR 6120/80, e são apresentados na Tabela 2.3.
Ação (kN/m2)
(Incluindo a massa das máquinas) a ser determinada em cada caso, porém com valor mínimo deCom acesso ao público 3,0
Sem acesso ao público 2,5Edifícios Dormitórios, sala, copa, cozinha e banheiro 1,5
Residenciais Dispensa, área de serviço e lavanderia 2,0Com acesso ao público 3,0Sem acesso ao público 2,5Anfiteatro com assentos fixos, corredor e sala de aula 3,0Outras salas 2,0
Escritórios Salas de uso geral e banheiros 2,0Forros Sem acesso a pessoas 0,5
Galerias de Arte
Galerias de lojas
Garagens e Para veículo de passageiros ou semelhantes com carga
Estacionamentos máxima de 25 kN por veículoGinásio de esportes 5,0
Sem acesso ao público 2,0Terraços Com acesso ao público 3,0
Inacessível a pessoas 0,5
A ser determinada em cada caso, porém com o mínimo de 3,0
3,0
Escolas
A ser determinada em cada caso, porém com o mínimo de 3,0
7,5
Ambiente Arquitetônico
Casas de Máquinas
Corredores
Escadas
Tabela 2.3- Valores mínimos das ações variáveis normais (NBR 6120/80).
Para projetos de edifícios com outras finalidades, devem ser consultadas normas específicas.
Vale destacar que no caso de balcões e parapeitos, deve-se prever a mesma carga acidental do
ambiente com o qual há comunicação, além de uma ação horizontal de 0,8 kN/m na altura do corrimão e
uma ação vertical mínima de 2,0 kN/m.
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 22
Texto provisório – Sujeito a alterações
2.4 AÇÕES EXCEPCIONAIS
As ações excepcionais são aquelas que têm duração extremamente curta e muito baixa
probabilidade de ocorrência durante a vida útil da construção, mas que devem ser consideradas no projeto
de determinadas estruturas. São provocadas por fenômenos como incêndios, enchentes, choques de
veículos e explosões.
No caso de concreto armado, existe uma norma específica para projeto de estruturas resistentes
ao fogo.
2.5 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – ABNT (1978). (NB-1) NBR 6118 -
Projeto e Execução de Obras de Concreto Armado. Rio de Janeiro.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – ABNT (1980). (NB-5) NBR 6120 -
Cargas para Cálculo de Estruturas de Edificações. Rio de Janeiro.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – ABNT (1984). (NB-862) NBR 8681 -
Ações e Segurança nas Estruturas. Rio de Janeiro.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – ABNT (1997). Texto-Base para Revisão
da NB-1. Rio de Janeiro.
GIONGO, J. S. (1996). Concreto armado: projeto estrutural de edifícios. Escola de Engenharia de São
Carlos – Universidade de São Paulo. Publicação 059.
2,0
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 23
Texto provisório – Sujeito a alterações
33 AAÇÇÕÕEESS VVEERRTTIICCAAIISS:: CCAARRRREEGGAAMMEENNTTOO DDEE UUMM PPAAVVIIMMEENNTTOO
3.1 INTRODUÇÃO
Já foi visto que a estrutura convencional de um edifício de vários pavimentos é constituída de lajes,
vigas e pilares. As ações verticais distribuídas na superfície das lajes são transmitidas, através das reações
de apoio, para as vigas. Estas, por sua vez, transmitem as ações que recebem para os pilares, lance a
lance, de forma que a carga final que chega na fundação corresponde à carga total incidente na
edificação.
Este capítulo indica como se determinar as ações verticais atuantes nas lajes, vigas e pilares. Para
isto, será desenvolvido, como exemplo, o carregamento de um pavimento de um edifício destinado a salas
de escritórios. Convém ressaltar que, nesta etapa do curso, ainda não serão consideradas as ações
horizontais.
3.2 DESCRIÇÃO DO EDIFÍCIO ESTUDADO
Seja um edifício destinado a salas de escritórios, cuja planta do pavimento tipo encontra-se na
Figura 3.1a, e sendo o pé-direito de 2,80 m. Foram escolhidas as seguintes especificações:
• pisos : L1 e L4, lajotas cerâmicas, com 1 cm de espessura;
L2, L3 e L5, tabuado em ipê róseo, com 2 cm de espessura;
• camada de regularização: argamassa de cimento e areia, com 2,5 cm de espessura;
• forro: argamassa de cal, cimento e areia, com 1cm de espessura;
• parede : tijolos maciços de 15cm de espessura;
• enchimento: L4, entulho (peso específico aparente de aproximadamente17 kN/m3);
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 24
Texto provisório – Sujeito a alterações
347
397
31715 15
397
1515
115
1515
15
Mureta (H = 100cm)
Terraço
Sala 1 Sala 2
Sala 3
Sanitário Sanitário
15 151 15115 15
100
282
1515
Figura 3.1 - Planta de arquitetura
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 25
Texto provisório – Sujeito a alterações
350
400
32012 12
400
1212
118
1212
12
V1 (12/60)
V2 (12/60)
V3 (12/60)
V4 (12/60)
V5
(12/
60)
V6
(12/
60)
V7
(12/
60)
L1h = 8
L2h = 10
L3h = 10
L5h = 10
L4h = 10
P1(20/40)
P2(20/40)
P3(20/40)
P5(20/40)
P6(20/40)
P7(20/40)
P4(20/20)
CORTE A-A'
30
1020
50
10
A A'
BB
'
301020
528
5010
CO
RT
E B
-B'
Figura 3.2 - Planta de forma
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 26
Texto provisório – Sujeito a alterações
3.3 CARREGAMENTO DE LAJES
Atuam nas lajes as ações permanentes diretas, provenientes dos pesos próprios da placa de
concreto e dos materiais de acabamento, e as ações variáveis normais, decorrentes da utilização de cada
ambiente. Essas ações são adotadas por unidade de área.
3.3.1 CÁLCULO DO CARREGAMENTO DAS LAJES DO EDIFÍCIO ESTUDADO
a) AÇÕES PERMANENTES DIRETAS
• Laje L1
De acordo com as informações fornecidas, a laje L1 apresenta as seguintes camadas:
1.02.5
8.0
1.0
Piso Camada de regularização
Forro Laje
Figura 3.3 - Espessuras para cálculo dos pesos próprios na laje L1.
Utilizando-se os pesos específicos da Tabela 2.1, tem-se:
§ peso próprio da laje:
0,08 × 25 = 2,000 kN/m2
§ peso próprio da camada de regularização:
0,025 × 21 = 0,525 kN/m2
§ peso próprio do piso (lajota cerâmica):
0,01 × 18 = 0,180 kN/m2
§ peso próprio do forro:
0,01 × 19 = 0,190 kN/m2
Portanto, a ação permanente direta total na laje L1 é igual a 2,895 kN/m2.
• Lajes L2, L3 e L5
As lajes L2, L3 e L5 apresentam as camadas ilustradas na Figura 3.4.
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 27
Texto provisório – Sujeito a alterações
2.02.5
10.0
1.0
Piso Camada de regularização
Forro Laje
Figura 3.4 - Espessuras para cálculo dos pesos próprios nas lajes L2, L3, L5.
Utilizando-se novamente os pesos específicos da tabela 2.1, tem-se:
§ peso próprio da laje:
0,10 × 25 = 2,500 kN/m2
§ peso próprio da camada de regularização:
0,025 × 21 = 0,525 kN/m2
§ peso próprio do piso (ipê róseo)
0,02 × 10 = 0,200 kN/m2
§ peso próprio do forro:
0,01 × 19 = 0,190 kN/m2
Portanto, a ação permanente direta total nas lajes L2, L3 e L5 é igual a 3,415 kN/m2.
• Laje L4
Como pode ser visto na figura 3.5, a laje L4 é rebaixada em relação às demais, e, de acordo com
a Tabela 2.1, têm-se os seguintes pesos próprios para as diversas camadas que a compõem:
§ peso próprio da laje:
0,10 × 25 = 2,500 kN/m2
§ peso próprio do piso (lajota cerâmica):
0,01 × 18 = 0,180 kN/m2
§ peso próprio da camada de regularização:
0,025 × 21 = 0,525 kN/m2
§ peso próprio do forro:
0,01 × 19 = 0,190 kN/m2
§ peso próprio do enchimento:
0,20 × 17 = 3,400 kN/m2
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 28
Texto provisório – Sujeito a alterações
Piso
Camada de regularização
L5
V6ForroL4
20.0
10.01.0
1.02.5
Enchimento
Figura 3.5 - Espessuras para cálculo dos pesos próprios na laje L4
§ peso da parede:
Deve-se considerar também a ação das paredes que se apóiam na laje L4. A ação da parede
pode ser suposta uniformemente distribuída na área da laje, e determinada a partir dos comprimentos
medidos de eixo a eixo (vão teórico) das vigas de apoio. Para a L4 em estudo:
Lx = 3,20 + 0,12 = 3,32m
Ly = 4,00 + 0,12 = 4,12m
Portanto, a resultante da ação das paredes na laje L4 é:
22,96kN/m
4,12 3,322,50 0,10)(2,80 2,82)(3,17
=⋅
⋅−⋅+
onde,
(3,17 + 2,82) é o somatório dos comprimentos das paredes;
(2,80 - 0,10) é a altura total da parede, que corresponde ao pé direito, menos a espessura da laje;
2,50 é o peso por unidade de área da parede de tijolos maciços, com 15 cm de espessura
(Tabela 2.2);
3,32 × 4,12 é a área da laje; corresponde ao produto dos comprimentos medidos de eixo a eixo das
vigas de apoio.
Portanto, a ação permanente direta total da laje L4 vale 9,755 kN/m2
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 29
Texto provisório – Sujeito a alterações
b) AÇÕES VARIÁVEIS NORMAIS
Como o edifício em estudo é destinado a escritórios, a ação variável normal a ser
considerada é igual a 2,0 kN/m2 , segundo a NBR 6120/80 (Tabela 2.3).
c) AÇÕES VERTICAIS TOTAIS
Para as lajes analisadas nos itens anteriores, as ações verticais totais, correspondentes à
soma das ações permanentes diretas (g) e das ações variáveis normais (q), são apresentadas a seguir.
Camada de
Regularização
L1 8 2 0,18 0,525 0,19 - - 2,895 2 4,895
L2
L3
L5L4 10 2,5 0,18 0,525 0,19 3,4 2,96 9,755 2 11,755
2 5,415
Laje Piso Forro Enchimento Paredeq (kN/m2) p (kN/m2)
10 2,5 0,2 0,525 0,19 - - 3,415
Laje h(cm)Peso próprio (kN/m2)
g (kN/m2)
3.3.2 CÁLCULO DO PESO PRÓPRIO DE LAJES NERVURADAS
No caso de lajes nervuradas, como a da figura a seguir, o peso próprio deve ser calculado
da seguinte forma:
700
400
117 711
8
17
21
11
17
Enchimento:- Tijolo furado de 11x17x21 cm
Detalhe das Nervuras
Mesa (ou capa)
Nervura
Figura 3.6 - Laje com nervuras em uma direção
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 30
Texto provisório – Sujeito a alterações
§ peso próprio da mesa (ou capa):
0,08 × 25 × 1,00 = 2,00 kN/m2
§ peso próprio das nervuras:
2kN/m 1,0329
100 x 25 x 0,17 x 0,07 =
§ peso próprio dos tijolos (enchimento):
2kN/m 1,6829
100 x 13 x 0,17 x 0,22 =
Portanto, a ação permanente direta total da laje nervurada vale 4,71 kN/m2.
3.4 CARREGAMENTO DE VIGAS
As ações atuantes nas vigas são provenientes do seu peso próprio e das paredes ou
divisórias que nelas se apóiam, e das reações de apoio das lajes.
3.4.1 REAÇÕES DE APOIO DAS LAJES
A NB-1 (1978) sugere que as reações de apoio de lajes retangulares sejam determinadas
a partir das linhas de plastificação. Diz o seguinte: ”Permite-se calcular as reações de apoio das lajes
retangulares, com ação uniformemente distribuída, considerando-se para cada apoio ação correspondente
aos triângulos ou trapézios obtidos traçando-se, a partir do vértice, na planta da laje, retas inclinadas de”:
- 45o entre dois apoios de mesmo tipo;
45°
45°
- 60o a partir do apoio engastado quando o outro for simplesmente apoiado;
60°
60°
- 90o a partir do apoio quando a borda vizinha for livre.
90°
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 31
Texto provisório – Sujeito a alterações
Na Figura 3.7 são apresentados alguns tipos de sistemas estáticos e suas configurações de linhas
de plastificação, para lajes retangulares usuais submetidas a carregamento uniformemente distribuído.
45°
45°
60°
60°
60°
60°45°
45°45°
45°45° 45°45°
45°45°
45°
45°
45°45°
45°
60° 60°
60° 60°
60° 60°
60°
60°45°
45°
Simplesmente apoiada (sem continuidade)Engastada (com continuidade)Borda livre
Figura 3.7 - Esquemas estáticos das lajes
Como aplicação da recomendação da norma, sejam os exemplos a seguir.
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 32
Texto provisório – Sujeito a alterações
Exemplo 1: Calcular as reações de apoio da laje da Figura 3.8, cuja ação total incidente é de 6 kN/m2.
300
500
A1 150
150
87263
60°45°
45° 60°
150
A2
3A A 4
1R
2R
3R 4R
Figura 3.8 - Laje do exemplo 1
221 m 5,721,50 x
22,635,0
AA =
+
== ⇒ kN/m 6,875,00
6,00 x 5,72p ARR
1
121 ====
l
23 m 2,25
21,50 x 3,00
A == ⇒ kN/m 4,503,00
6,00 x 2,25p AR
2
33 ===
l
24 m 1,305
20,87 x 3,00
A == ⇒ kN/m 2,613,00
6,00 x 1,305p AR
2
44 ===
l
Exemplo 2: Calcular as reações de apoio da laje apresentada a seguir, cuja ação total incidente é de
(p+g).
l
l
A1
l - l
45°
45°
l /2
A 2
3A A 4
1R
2R
3R 4R2
1
1
45°
45°
22
l /2 2
l /2 2
l /22
Figura 3.9 - Laje do exemplo 2
( )4
)2(22
AA 221
221121
lll
llll−=
−+== ⇒
4p
2pA
RR 2
1
2
1
121
lll
l
−===
4AA
22
43l
== ⇒ 4 pp A
RR 2
2
343
ll
===
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 33
Texto provisório – Sujeito a alterações
3.4.2 PESO PRÓPRIO DAS VIGAS
O peso próprio das vigas deve ser dado por metro linear. Para isso, multiplica-se o peso específico
do concreto armado pela área da seção transversal da viga (b × h). Por exemplo, uma viga em concreto
armado, com seção transversal de 15 cm de largura por 60 cm de altura tem peso próprio igual a:
25 × 0,15 × 0,60 = 2,25 kN/m
3.4.3 PESO PRÓPRIO DE PAREDES
O peso próprio de paredes (ou divisórias) que se apoiam em vigas também deve ser dado por
metro linear, e é obtido pela multiplicação da altura da parede pelo seu peso por unidade de área (dado na
Tabela 2.2). Sendo assim, uma parede de tijolos furados, com 23cm de espessura (3,2 kN/m2) e 2,80m de
altura, se apoiando sobre uma viga, causa nesta uma ação por metro linear de:
3,20 × 2,80 = 8,96 kN/m
3.4.4 CÁLCULO DO CARREGAMENTO DAS VIGAS DO EDIFÍCIO ESTUDADO
a) V1 (12 x 60)
• Peso próprio da viga:
25 × 0,12 × 0,60 = 1,80 kN/m
• Reação de apoio da laje L1: (p = 4,895 kN/m2 calculado anteriormente)
59848 48
694
13082
48A1
2A3A 4A
1R
2R
3R 4R
Figura 3.10 - Esquema estático da laje L1
21 m 3,100,48 x
25,986,94
A =
+
= kN/m 2,196,94
4,895 x 3,10l
p AR
1
11 ===
• Peso próprio da mureta de 1m de altura, com tijolos maciços, com 15 cm de espessura:
2,50 × 1,0 = 2,50 kN/m
• Ação vertical total atuante, por metro linear, na viga V1:
(1,80 + 2,19 + 2,50) = 6,49 kN/m
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 34
Texto provisório – Sujeito a alterações
• Esquema estático da viga V1
694
6,49 kN/m
A B
V5 V7
Figura 3.11 - Esquema estático da viga V1
b) V5 (12/60)
• Peso próprio da viga:
25 × 0,12 × 0,60 = 1,80 kN/m
• Peso próprio da parede nos vãos 1 e 2 (hpar = 2,80 - 0,60 = 2,20m)
2,50 × 2,20 = 5,50 kN/m
• Peso próprio da parede no balanço (hpar = 1,00m)
2,50 × 1,00 = 2,50 kN/m
• Reação de apoio das lajes:
No vão 1 (L4): p = 11,755 kN/m2 (calculado anteriormente) 16
680
166
166166
412
332
45°45°
45°45°
A3R 3
Figura 3.12 - Esquema estático da laje L4
23 m 4,08 66,1
20,804,12
A =⋅
+
=
⇒ kN/m 11,644,12
11,755 x 4,08p AR
3
33 ===
l
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 35
Texto provisório – Sujeito a alterações
No vão 2 (L2): p = 5,415 kN/m2 (calculado anteriormente)
23 m 3,001,22 x
20,804,12
A =
+
=
⇒ kN/m 3,944,12
5,415 x 3,00p AR
3
33 ===
l
412
332
A 3
R 3
210
8012
2
210122
60°
45°60°
45°
Figura 3.13 - Esquema estático da laje L2
No balanço (L1, ver figura 3.12)
23 m31,0
248,030,1
A =
+
=
⇒ m/kN17,130,1
895,4x31,0pAR
3
33 ===
l
• Ação vertical total atuante, por metro linear, na viga V1:
Vão 1 ⇒ 1,80 + 5,50 + 11,64 = 18,94 kN/m
Vão 2 ⇒ 1,80 + 5,50 + 3,94 = 11,24 kN/m
Vão 3 ⇒ 1,80 + 2,50 + 1,17 = 5,47 kN/m
• Reação de apoio de V1
É importante observar que, na extremidade do balanço, existe uma carga concentrada oriunda da
reação de apoio da viga V1 na viga V5, que vale:
kN 22,522
6,94 x 6,492p
(V1)R A === l
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 36
Texto provisório – Sujeito a alterações
• Esquema estático da viga V5
18,94 kN/m11,24 kN/m 5,47 kN/m
R V = 22,52 kNA 1
398 150398A B C
Figura 3.14 - Esquema estático da viga V5
3.5 CARREGAMENTO DE PILARES
A ação vertical atuante nos pilares é proveniente do peso próprio destes e das reações das vigas
que neles se apóiam.
3.5.1 CÁLCULO DO CARREGAMENTO DOS PILARES DO EDIFÍCIO ESTUDADO
a) Pilar P1
• Peso próprio
0,40 × 0,20 × 2,80 × 25 = 5,60 kN
• Reações de apoio das vigas
RA V2 e RC V5
b) Pilar P2
• Peso próprio
0,40 × 0,20 × 2,80 × 25 = 5,60 kN
• Reações de apoio das vigas
RB V2 e RC V7
c) Pilar P3
• Peso próprio
0,40 × 0,20 × 2,80 × 25 = 5,60 kN
• Reações de apoio das vigas
RB V5 e RA V3
d) Pilar P4
• Peso próprio
0,20 × 0,20 × 2,80 × 25 = 2,80 kN
• Reações de apoio das vigas
RB V3 e RB V6
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 37
Texto provisório – Sujeito a alterações
e) Pilar P5
• Peso próprio
0,40 × 0,20 × 2,80 × 25 = 5,60 kN
• Reações de apoio das vigas
RC V3 e RB V7
f) Pilar P6
• Peso próprio
0,40 × 0,20 × 2,80 × 25 = 5,60 kN
• Reações de apoio das vigas
RA V5 e RA V4
g) Pilar P7
• Peso próprio
0,40 × 0,20 × 2,80 × 25 = 5,60 kN
• Reações de apoio das vigas
RB V4 e RA V7
3.6 EXERCÍCIO 1
Para a estrutura em concreto armado, apresentada na Figura 3.15, determinar o carregamento das
lajes, vigas e pilares. Sabe-se que:
§ revestimento = 1,50 kN/m2
§ ação variável normal = 2,50 kN/m2
§ parede: tijolos furados, com 13 cm de espessura (2,2 kN/m2)
§ considerar paredes em V1, V3 e V4.
3.6.1 CARREGAMENTO DAS LAJES
a) L1 (h = 12 cm)
§ peso próprio (0,12 × 25) = 3,00 kN/m2
§ revestimento = 1,50 kN/m2
§ ação variável normal = 2,50 kN/m2
Total = 7,00 kN/m2
b) L2 (h = 8 cm)
§ peso próprio (0,08 × 25) = 2,00 kN/m2
§ revestimento = 1,50 kN/m2
§ ação variável normal = 2,50 kN/m2
Total = 6,00 kN/m2
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 38
Texto provisório – Sujeito a alterações
c) L3 (h = 10 cm)
§ peso próprio (0,10 × 25) = 2,50 kN/m2
§ revestimento = 1,50 kN/m2
§ ação variável normal = 2,50 kN/m2
Total = 6,50 kN/m
V1 (12/50)
V4
(15/
60)
P1(25/60)
P2(20/50)
P3(25/60)
P4(20/50)
L1h = 12
L3h = 10
L2h = 8
V2 (12/50)
V3 (12/50)
V5
(20/
60)
1238
032
012
15 425 20 100
12
295
295
Corte Esquemático
Planta de Forma
Figura 3.15 – Planta de forma
3.6.2 CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO DAS LAJES
a) L1 (p = 7,00 kN/m2)
A1
60°
45°
A2
3A A 4
1R
2R
3R 4R
45°
60°
249
442,5
392
143
156,5143 143
Figura 3.16 – Esquema estático da laje L1
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 39
Texto provisório – Sujeito a alterações
kN/m 6,784,4257,00
x 1,43 x 2
1,5654,425R1 =
+
=
kN/m 80,114,4257,00
x 2,49 x 2
1,5654,425R 2 =
+
=
kN/m 5,003,927,00
x 21,4392,3
RR 43 =
⋅
==
b) L2 (p = 6,00 kN/m2)
3A3R39
2
1A
2A
60°
60°
R1
R 2
110
264
6464
Figura 3.17 – Esquema estático da laje L2
c) L3 (p = 6,50 kN/m2)
A1
A2
3A A4
2R
3R4R
442,5
122 122198,5
210
122
332
1R
60° 60°
45°45°
Figura 3.18 – Esquema estático da laje L3
kN/m ,9211,106,00 x
264,010,1R 21 =
⋅== R
kN/m 52,53,926,00
x x1,102
64,292,3R 3 =
+
=
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 40
Texto provisório – Sujeito a alterações
kN/m 89,94,4256,50
x 2,10 x 2
1,9854,425R1 =
+
=
kN/m 74,54,4256,50
x 1,22 x 2
1,9854,425R 2 =
+
=
kN/m 97,33,326,50
x 21,2232,3
RR 43 =
⋅
==
3.6.3 CARREGAMENTO DAS VIGAS
a) V1 (12/50)
Vão:
§ peso próprio: 0,12 × 0,50 × 25 = 1,50 kN/m
§ parede: 2,20 × (2,95 - 0,50) = 5,39 kN/m
§ reação de apoio de laje (R1 L1) = 6,78 kN/m
Total =13,67 kN/m
Balanço:
§ peso próprio: 0,12 × 0,50 × 25 = 1,50 kN/m
§ parede: 2,20 × 2,45 = 5,39 kN/m
§ reação de apoio de laje (R1 L2) = 1,92 kN/m
Total = 8,81 kN/m
Esquema estático:
422,5
13,67 kN/m
125
8,81 kN/m
A BP1 P2
Cálculo das reações de apoio:
kN 25,27R 02
1,25 8,81
24,225
13,674,225 R 0M A
22
AB =⇒=⋅+⋅−⋅→=∑
kN 52,41R 04,2252
1,25 1,25 8,81
24,225
13,674,225 R 0M B
2
BA =⇒=
+⋅⋅−⋅−⋅→=∑
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 41
Texto provisório – Sujeito a alterações
b) V2 (12/50)
Vão:
§ peso próprio: 0,12 × 0,50 × 25 = 1,50 kN/m
§ reações de apoio de laje (R2 L1) = 11,80 kN/m
(R1 L3) = 9,89 kN/m
Total = 23,19 kN/m
Balanço:
§ peso próprio: 0,12 × 0,50 × 25 = 1,50 kN/m
§ reação de apoio de laje (R2 L2) = 1,92 kN/m
Total = 3,42 kN/m
Esquema estático:
442,5
23,19 kN/m
110
3,42 kN/m
A BV4 V5
Cálculo das reações de apoio:
02
1,10 x 42,3
24,225
x 3,1924,225 x R 0M22
AB =+−→=∑ ⇒ RA = 50,84 kN
04,2252
1,10 x 1,10 x 42,3
24,225
x 3,1924,225 x R 0M2
BA =
+−−→=∑
⇒ RB = 55,54 kN
c) V3 (12/50)
§ peso próprio: 0,12 × 0,50 × 25 = 1,50 kN/m
§ parede: 2,20 × 2,45 = 5,39 kN/m
§ reação de apoio de laje (R2 L3) = 5,74 kN/m
Total = 12,63 kN/m
Esquema estático:
422,5
12,63 kN/m
A BP3 P4
Cálculo das reações de apoio:
kN 26,682
4,225 x 12,63RR BA ===
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 42
Texto provisório – Sujeito a alterações
d) V4 (15/60)
1o trecho:
§ peso próprio: 0,15 × 0,60 × 25 = 2,25 kN/m
§ parede: 2,20 × (2,95 - 0,60) = 5,17 kN/m
§ reação de apoio de laje (R3 L3) = 3,97 kN/m
Total = 11,39 kN/m
2o trecho: § peso próprio: 0,15 × 0,60 × 25 = 2,25 kN/m
§ parede: 2,20 × (2,95 - 0,60) = 5,17 kN/m
§ reação de apoio de laje (R3 L1) = 5,00 kN/m
Total = 12,42 kN/m
Reação de apoio de V2:
§ RAV2 = 50,84 kN Esquema estático:
11,39 kN/m
368308
12,42 kN/m
R V2 = 50,84 kN
AP3 B P1
A
Cálculo das reações de apoio:
02
3,68 x 12,423,68 x 50,843,68
23,08
x 3,08 x 11,396,76 x R 0M2
AB =−−
+−→=∑
⇒ RA = 67,21 kN
03,082
3,68 x 3,68 x 12,423,08 x 50,84
23,08
x 11,396,76 x R 0M2
BA =
+−−−→=∑
⇒ RB = 64,42 kN
e) V5 (20/60)
1o trecho:
§ peso próprio: 0,20 × 0,60 × 25 = 3,00 kN/m
§ reação de apoio de laje (R4 L3) = 3,97 kN/m
Total = 6,97 kN/m
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 43
Texto provisório – Sujeito a alterações
2o trecho:
§ peso próprio: 0,20 × 0,60 × 25 = 3,00 kN/m
§ reações de apoio de laje (R4 L1) = 5,00 kN/m
(R3 L2) = 5,52 kN/m
Total = 13,52 kN/m
Reação de apoio de V2:
§ RBV2 = 55,54 kN
Esquema estático:
6,97 kN/m
388328
13,52 kN/m
R V2 = 55,54 kN
A
P4
B
P2
B
Cálculo das reações de apoio:
02
3,88 x 13,523,88 x 55,543,88
23,28
x 3,28 x 97,67,16 x R 0M2
AB =−−
+−→=∑
⇒ RA = 61,94 kN
03,282
3,88 x 3,88 x 13,523,28 x 55,54
23,28
x 97,67,16 x R 0M2
BA =
+−−−→=∑
⇒ RB = 68,92 kN
3.6.4 CARREGAMENTO DOS PILARES
a) P1 (25/60)
§ peso próprio:
0,25 × 0,60 × 2,95 × 25 = 11,06 kN
§ reações de apoio das vigas
RA V1 = 27,25 kN
RB V4 = 64,42 kN
§ Total = 102,73 kN
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 44
Texto provisório – Sujeito a alterações
b) P2 (20/50)
§ peso próprio:
0,20 × 0,50 × 2,95 × 25 = 7,38 kN
§ reações de apoio das vigas
RB V1 = 41,52 kN
RB V5 = 68,92 kN
§ Total = 117,82 kN
c) P3 (25/60)
§ peso próprio:
0,25 × 0,60 × 2,95 × 25 = 11,06 kN
§ reações de apoio das vigas
RA V3 = 26,68 kN
RA V4 = 67,21 kN
§ Total = 104,95 kN
d) P4 (20/50)
§ peso próprio:
0,20 × 0,50 × 2,95 × 25 = 7,38 kN
§ reações de apoio das vigas
RB V3 = 26,68 kN
RA V5 = 61,94 kN
§ Total = 96,00 kN
3.7 EXERCÍCIO 2
Para a estrutura em concreto armado, apresentada na figura abaixo, determinar o carregamento das
lajes, vigas e pilares. Sabe-se que:
• Pé-direito = 3,0 m
• Revestimento das lajes (piso, camada de regularização, forro) = 1,50 kN/m2
• A estrutura faz parte de uma escola (sala de aula)
• As paredes são de tijolos de concreto celular, com 13 cm de espessura
• Existem paredes até o teto, em toda a extensão das vigas V1, V2 e V4
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 45
Texto provisório – Sujeito a alterações
V1 (15/50)
V2 (15/50)
V3
(15/
65)
V4
(15/
60)
39015 1585
1559
015
P1(25/35)
P2(20/40)
P3(25/50)
P4(20/50)
L2h = 12
L1h = 8
VISTA 1
VIS
TA
2
A A'
B
B'
CORTE A-A’
37585 25 20
P1 P2
V1V3 V4
L1 L2
8
42
12
38
CORTE B – B’
P4 P2
V4
V2 V1
12
48
53050 40
PLANTA DE FORMA
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 46
Texto provisório – Sujeito a alterações
VISTA 1
37585 25 20
P3 P4
V2V3 V4
L1 L2
VISTA 2
53550 35
P3 P1
V3
V2 V1
L1
3.7.1 CARREGAMENTO DAS LAJES
a) L1:
Carga permanente:
• Peso próprio da laje = 0,08 × 25 = 2,00 kN/m2
• Revestimento = 1,50 kN/m2
Carga variável (utilização: terraço com acesso ao público): q = 3,00 kN/m2
Carga vertical total: = g + q = p = 6,50 kN/m2
b) L2:
Carga permanente:
• Peso próprio da laje = 0,12 × 25 = 3,00 kN/m2
• Revestimento = 1,50 kN/m2
Carga variável (utilização: sala de aula): q = 3,00 kN/m2
Carga vertical total: = g + q = p = 7,50 kN/m2
2kN/m 3,50 g =⇒
2kN/m 4,50 g =⇒
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 47
Texto provisório – Sujeito a alterações
3.7.2 CARREGAMENTO DAS VIGAS
a) Reações de apoio das lajes:
§ L1
605
92,5
498,2
53,4
53,4 A1
A 3
A 2
60°
60°
§ L2
Caso 1: Totalmente apoiada:
202,5 202,5
202,5
202,5
200
405
605
45° 45°
45°45°
A 1
2A
3A A4
2221 m 0,247 cm 2470
24,535,92
AA ==⋅==
m/kN 74,1925,0
6,50 247,0
p ARR
1
121 =⋅=⋅==⇒
l
( ) 223 m 5,102 cm 51023
25,92 2,498605
A ==⋅+=
kN/m 48,505,6
6,50 102,5p AR
3
33 =⋅=⋅=⇒
l
221
221
m 10,4AA
cm 410062202,5 405
AA
==⇒
=⋅
==
kN/m 59,7RR 05,47,50 10,4pA
RR
21
1
121
==⇒
⋅=
⋅==
l
( )
243
243
m 15,8AA
cm 815062
5,202200605AA
==⇒
=⋅+
==
kN/m 10,10RR
05,650,715,8pA
RR
43
3
343
==⇒
⋅=
⋅==
l
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 48
Texto provisório – Sujeito a alterações
Caso 2: Um lado engastado e os demais apoiados:
405
605
A1
2A
3A A 4 308,6
148,2
148,2
256,8 148,2
60°
60°45°
45°
b) Carregamento total das vigas
• Viga V1 = Viga V2 (15/50)
Balanço:
• Peso próprio = 0,15 × 0,50 × 25 = 1,875 kN/m
• Reação de apoio de L1 (R1) = 1,740 kN/m
• Peso de parede = hparede × pparede
38
250
12
3812
300
L2 (1 PAV.)
L2 (2 PAV.)
o
o V1 (2 PAV.)o
oV1 (1 PAV.)
→ Peso da parede = 2,50 × 0,50 = 1,25 kN/m
⇒ Carga vertical total do balanço = 1,875 + 1,74 + 1,25 = 4,865 kN/m
221
221
m 00,3AA
cm 300102148,2 405
AA
==⇒
=⋅
==
kN/m 56,505,47,50 00,3
RR 21 =⋅
==
( )
23
23
m 73,11A
cm 1173062
8,2566,308605A
=⇒
=⋅+
=
kN/m 54,1405,6
50,773,11pAR
3
33 =⋅=
⋅=
l
( )
24
24
m 77,6A
cm 676982
2,1486,308605A
=⇒
=⋅+
=
kN/m 39,805,6
50,777,64
pAR 4
4 =⋅
=⋅
=l
=
==
2.2) (Tabela kN/m 0,50 p
m 2,50 0,50 - 3,00 h
2parede
parede
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 49
Texto provisório – Sujeito a alterações
Vão 1:
Caso 1
• Peso próprio = 0,15 × 0,50 × 25 = 1,875 kN/m
• Reação de apoio de L2 (R1) = 7,590 kN/m
• Peso de parede = 1,250 kN/m
⇒ Carga vertical total do vão 1 = 1,875 + 7,59 + 1,25 = 10,715 kN/m
Caso 2
• Peso próprio = 0,15 × 0,50 × 25 = 1,875 kN/m
• Reação de apoio de L2 (R1) = 5,560 kN/m
• Peso de parede = 1,250 kN/m
⇒ Carga vertical total do vão 1 = 1,875 + 5,56 + 1,25 = 8,685 kN/m
Esquema estático e reações de apoio da viga V1 (= V2):
Caso 1:
4,865 kN/m
10,715 kN/m
3,9750,975
A B
Reações de apoio da viga V1:
kN 26,621 R
02
3,975 975,3 715,10R 975,3975,3
20,975
0,975 865,4 - 0M
A
AB
=⇒
=⋅⋅−+
+⋅⋅→=∑
kN 714,20R
0R 975,32
3,975 759,3 715,10
20,975
0,975 4,865 - 0M
B
BA
=⇒
=−⋅⋅+⋅⋅→=∑
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 50
Texto provisório – Sujeito a alterações
Caso 2:
4,865 kN/m8,685 kN/m
3,9750,975
A B
Reações de apoio da viga V1:
kN 22,587 R
02
3,975 759,3 685,8R 975,3975,3
20,975
0,975 865,4 - 0M
A
AB
=⇒
=⋅⋅−+
+⋅⋅→=∑
kN 680,16R
0R 975,32
3,975 759,3 685,8
20,975
0,975 4,865 - 0M
B
BA
=⇒
=−⋅⋅+⋅⋅→=∑
• Viga V3 (15/65)
Caso 1:
• Peso próprio = 0,15 × 0,65 × 25 = 2,438 kN/m
• Reações de apoio das lajes:
L1 (R3) = 5,480 kN/m
L2 (R3) = 10,100 kN/m
⇒ Carga vertical total de V3 = 2,438 + 5,48 + 10,10 = 18,018 kN/m
Caso 2:
• Peso próprio = 0,15 × 0,65 × 25 = 2,438 kN/m
• Reações de apoio das lajes
L1 (R3) = 5,480 kN/m
L2 (R3) = 14,54 kN/m
⇒ Carga vertical total de V3 = 2,438 + 5,48 + 14,54 = 22,458 kN/m
Esquema estático reações de apoio da viga V3:
Caso 1:
18,018 kN/m
5,775
A B
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 51
Texto provisório – Sujeito a alterações
Reações de apoio da viga V3:
kN 027,522
5,775 8,01812 p
RR BA =⋅=== l
Caso 2: 22,458 kN/m
5,775
A B
Reações de apoio da viga V3:
kN 847,642
5,775 458,222 p
RR BA =⋅=== l
• Viga V4 (15/60)
Caso 1
• Peso próprio = 0,15 × 0,60 × 25 = 2,25 kN/m
• Reações de apoio da laje L2 (R4) = 10,10 kN/m
• Peso de parede = (3,00-0,60) × 0,50 = 1,20 kN/m
⇒ Carga vertical total de V4 = 2,25 + 10,10 + 1,20 = 13,55 kN/m
Caso 2
• Peso próprio = 0,15 × 0,60 × 25 = 2,25 kN/m
• Reações de apoio da laje L2 (R4) = 8,39 kN/m
• Peso de parede = (3,00-0,60) × 0,50 = 1,20 kN/m
⇒ Carga vertical total de V3 = 2,25 + 8,39 + 1,20 = 11,84 kN/m
Esquema estático e reações de apoio da viga V4:
Caso 1 13,55 kN/m
5,75
A B
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 52
Texto provisório – Sujeito a alterações
Reações de apoio da viga V4:
kN 956,382
5,75 3,5512 p
RR BA =⋅=== l
Caso 2 11,84 kN/m
5,75
A B
Reações de apoio da viga V4:
kN 04,342
5,75 84,112 p
RR BA =⋅=== l
3.7.3 CARREGAMENTO DOS PILARES
a) P1 (25/35)
• Peso próprio = 0,25 × 0,35 × 3,00 × 25 = 6,56 kN Caso 1
• Reação RA de V1 = 26,621 kN
• Reação RB de V3 = 52,027 kN
⇒ Carga total de P1 = 85,208 kN
Caso 2
• Reação RA de V1 = 22,587 kN
• Reação RB de V3 = 64,847 kN
⇒ Carga total de P1 = 93,994 kN
b) P2 (20/40)
• Peso próprio = 0,20 × 0,40 × 3,00 × 25 = 6,00 kN
Caso 1
• Reação RB de V1 = 20,774 kN
• Reação RB de V4 = 38,956 kN
⇒ Carga total de P2 = 65,730 kN
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 53
Texto provisório – Sujeito a alterações
Caso 2
• Reação RB de V1 = 16,680 kN
• Reação RB de V4 = 34,040 kN
⇒ Carga total de P2 = 56,720 kN
c) P3 (25/50)
• Peso próprio = 0,25 × 0,50 × 3,00 × 25 = 9,375 kN Caso 1
• Reação RA de V2 = 26,621 kN
• Reação RA de V3 = 52,027 kN
⇒ Carga total de P3 = 88,023 kN
Caso 2
§ Reação RA de V2 = 22,587 kN
§ Reação RA de V3 = 64,847 kN
⇒ Carga total de P3 = 96,809 kN
d) P4 (20/50)
§ Peso próprio = 0,20 × 0,50 × 3,00 × 25 = 7,50 kN Caso 1
§ Reação RB de V2 = 20,774 kN
§ Reação RA de V4 = 38,956 kN
⇒ Carga total de P4 = 67,230 kN
Caso 2
§ Reação RB de V2 = 16,680 kN
§ Reação RA de V4 = 34,040 kN
⇒ Carga total de P4 = 58,220 kN
Carregamento dos pilares (em kN)
Pilar Caso 1 Caso 2
P1 85,208 93,994
P2 65,730 56,720
P3 88,023 96,809
P4 67,230 58,220
Σ 306,2 305,7
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 54
Texto provisório – Sujeito a alterações
3.8 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – ABNT (1978). (NB-1) NBR 6118 -
Projeto e Execução de Obras de Concreto Armado. Rio de Janeiro.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – ABNT (1980). (NB-5) NBR 6120 -
Cargas para Cálculo de Estruturas de Edificações. Rio de Janeiro.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – ABNT (1984). (NB-862) NBR 8681 -
Ações e Segurança nas Estruturas. Rio de Janeiro.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – ABNT (1997). Texto-Base para Revisão
da NB-1. Rio de Janeiro.
GIONGO, J. S. (1996). Concreto armado: projeto estrutural de edifícios. Escola de Engenharia de São
Carlos – Universidade de São Paulo. Publicação 059.
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA ESCOLA POLITÉCNICA
DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS ENG 298 – ESTÁTICA DAS CONTRUÇÕES
2ª. UNIDADE
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 55
Texto provisório – Sujeito a alterações
44 AAÇÇÃÃOO DDOO VVEENNTTOO NNAASS EEDDIIFFIICCAAÇÇÕÕEESS
4.1 INTRODUÇÃO
Vento é o movimento de massas de ar, causado por condições de pressão e de temperatura na
atmosfera. O estudo dessas condições é do domínio da meteorologia, que nos deve fornecer informações
sobre as características do fluxo de ar, necessárias para a determinação os efeitos do vento sobre as
edificações.
Para que um engenheiro projetista possa desenvolver todas as análises sobre a ação do vento em
estruturas é necessário o conhecimento das seguintes características:
§ direção do vento;
§ gradiente de velocidade do vento;
§ máxima velocidade do vento e indicação de ocorrência durante a vida útil da estrutura;
§ intensidade de turbulência e espectro de energia das rajadas.
4.2 VELOCIDADE DO VENTO
A velocidade do vento em uma região depende, além de aspectos meteorológicos, de vários
fatores, dentre os quais podem ser citados:
§ Topografia do terreno.
§ Rugosidade do terreno (tipo e altura dos obstáculos à passagem do vento).
§ Altura em relação ao nível do terreno
Fica evidente, então, que para a determinação da velocidade do vento é necessária a consideração
de todos esses fatores, que são comentados a seguir.
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 56
Texto provisório – Sujeito a alterações
4.2.1 VELOCIDADE GRADIENTE DO VENTO
Como já foi comentado, a velocidade do vento varia com a altura e com a condição de ocupação
(rugosidade) do terreno. Entretanto, a partir de determinada altura, as massas de ar movem-se a uma
velocidade aproximadamente constante. Essa altura limite, a partir da qual não ocorrerão alterações
significativas na velocidade do vento, varia com a rugosidade do terreno e é chamada altura gradiente. A
velocidade do vento na altura gradiente é chamada de velocidade gradiente. Na Figura 4.1 é ilustrado o
perfil da velocidade média do vento, proposto por DAVENPORT (1963).
500
400
300
200
100
0
160
145
129
110
83
160
148
133
109
160
153
137
Z (m)
Perfil da velocidade do vento (km/h)
Figura 4.1 – Perfil da velocidade do vento (DAVENPORT – 1963)
4.2.2 VELOCIDADE BÁSICA DO VENTO
Quando se quer determinar o efeito do vento em uma edificação, é necessário se conhecer qual é
a velocidade máxima do vento que atuará na edificação durante sua vida útil.
Como se trata de um evento ainda por ocorrer, pode-se apenas estimá-lo, e isto é feito baseando-
se em medidas de velocidade do vento feitas durante vários anos. Esta estimativa envolve o nível de
probabilidade de ocorrência dessa velocidade máxima durante a vida útil da edificação. A NBR 6123
(1987) define tal probabilidade em 63% , e fixa a vida útil das edificações em 50 anos.
A velocidade máxima instantânea do vento não tem aplicação prática na engenharia, pois é
necessário um certo tempo de atuação de uma força para que toda a estrutura resistente seja solicitada.
Além disso, a duração da rajada deve ser suficiente para abranger todo o campo aerodinâmico no entorno
da edificação.
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 57
Texto provisório – Sujeito a alterações
Um dos critérios para se determinar a duração mínima de uma rajada, para que ela seja capaz de
mobilizar toda a estrutura da edificação, é baseado nas dimensões dos turbilhões. Um turbilhão de
comprimento C (Figura 4.2) possui diâmetro da seção transversal da ordem de um terço a metade de seu
comprimento, e, como a velocidade na periferia do turbilhão é fraca, é necessário que seu diâmetro seja da
ordem de três vezes a altura ou largura da edificação (H) para que toda a estrutura seja solicitada.
C
H
VC3
a2C
Turbilhão
Figura 4.2 – Dimensões de um turbilhão
Assim,
2C
a 3C
H3 = H 9 a 6C =⇒
Como a velocidade (V) de deslocamento do turbilhão é igual a velocidade média do vento, levará
um tempo (t) para que o turbilhão passe pela edificação, igual a
==
VH
9 a 6VC
t
Desta forma, tem-se que:
§ Para H = 20m e V = 40 m/s, tem-se t = 3 a 4,5s.
§ Para H = 100m e V = 40 m/s, tem-se t = 15 a 22,5s.
Conclui-se, então, que rajadas rápidas devem ser consideradas para a determinação de pressões
locais ou em pequenas construções (postes, painéis de propaganda, pórticos e arcos isolados, etc).
Construções em que pelo menos uma das dimensões é grande, serão afetadas apenas por rajadas de
maior duração, e, conseqüentemente, de menor velocidade média. A NBR 6123 (1987) emprega rajadas
de 3s, 5s e 15s.
Do exposto até aqui, pode-se notar que a determinação da velocidade do vento é bastante difícil, já
que varia de acordo com os vários fatores comentados, e apresenta valores diferentes para cada região
onde se deseja calcula -la. Assim, foi definida uma velocidade a ser utilizada como padrão de comparação,
denominado velocidade básica do vento (V0), que de acordo com a NBR 6123 (1987) é assim definida:
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 58
Texto provisório – Sujeito a alterações
" A velocidade básica do vento Vo é a velocidade de uma rajada de 3s, excedida em média
uma vez em 50 anos, a 10 metros acima do terreno, em campo aberto e plano."
Os valores da velocidade básica do vento, que tem a probabilidade de 63% de ser igualada ou
superada, foram determinados com base nos registros de várias estações meteorológicas situadas em todo
o Brasil. Esses valores de V0, são apresentados no gráfico de isopletas de velocidade básica, ilustrado na
Figura 4.3, fornecido pela NBR 6123 (1987).
Figura 4.3 – Isopletas de velocidade básica do vento (NBR 6123 – 1987)
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 59
Texto provisório – Sujeito a alterações
4.2.3 VELOCIDADE CARACTERÍSTICA DO VENTO
Excepcionalmente se terá uma edificação na qual pode-se admitir que atuará um vento com a
velocidade básica; as condições particulares da cada edificação conduzem à velocidade característica do
vento Vk que é determinada mediante a multiplicação da velocidade básica pelos fatores S1, S2 e S3, ou
seja:
0321k V S S SV = (1)
a) FATOR S1
O fator S1 leva em consideração as variações locais na topografia do terreno. Essas variações
fazem com que as linhas de fluxo do vento sejam forçadas a se aproximarem ou a se afastarem,
ocasionando com isso um aumento ou diminuição da velocidade do vento.
Segundo a NBR 6123 (1987), tem-se:
§ Terreno plano ou fracamente acidentado
S1 = 1,0
§ Taludes e morros
Para taludes e morros alongados, nos quais pode ser admitido um fluxo de ar bidimensional,
soprando no sentido indicado na Figura 4.4, vale:
• No ponto A (morros) e nos pontos A e C (taludes):
S1 = 1,0
• No ponto B, S1 é uma função de z, dada por:
Se θ < 3° → 0,1)z(S1 =
Se 6° ≤ θ < 17° → ( ) 0,1 3- tg dz
5,20,1)z(S o1 ≥θ
+=
Se θ ≥45° → 0,1 ,310 dz
5,20,1)z(S1 ≥⋅
+=
Onde:
z é a altura medida a partir da superfície do terreno no ponto considerado,
d é a diferença de nível entre a base e o topo do talude ou morro,
θ é a inclinação média do talude ou encosta do morro.
OBS.: Para os valores de θ compreendidos entre 3° < θ < 6° e 17° < θ < 45°, o valor de S1 é obtido por
interpolação linear. Assim como para pontos entre A e B e entre B e C.
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 60
Texto provisório – Sujeito a alterações
4dd θ
A
S = 1,01
B
S = S (z)1 1
C
S = 1,01
z
z z
a) Talude
d θ
A
S = 1,01
BS = S (z)1 1
z
z
b) Morro
Figura 4.4 – Fator topográfico S1(z).
§ Vales profundos, protegidos de ventos de qualquer direção
S1 = 0,9
b) FATOR S2
O fator S2 leva em conta o efeito da rugosidade do terreno, a variação da velocidade do vento
com a altura em relação ao nível do terreno e as dimensões da edificação.
b.1) Rugosidade do terreno
A rugosidade do terreno é classificada, segundo a NBR 6123 (1987), em cinco categorias:
§ Categoria I
Superfícies lisas de grandes dimensões, com mais de 5 km de extensão, medidas na direção e
sentido do vento incidente. Exemplos:
§ mar calmo
§ lagos e rios
§ pântanos sem vegetação
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 61
Texto provisório – Sujeito a alterações
§ Categoria II
Terrenos abertos em nível ou aproximadamente em nível, com poucos obstáculos isolados, tais
como árvores e edificações baixas. Exemplos:
§ zonas costeiras planas
§ pântanos com vegetação rala
§ campos de aviação
§ pradarias e charnecas
§ fazendas sem sebes ou muros
A cota média do topo dos obstáculos é considerada inferior ou igual a 1,0m.
§ Categoria III
Terrenos planos ou ondulados com obstáculos, tais como sebes e muros, poucos quebra-ventos de
árvores, edificações baixas e esparsas. Exemplos:
§ granjas e casas de campo, com exceção das partes com matos;
§ fazendas com sebes e muros;
§ subúrbios a considerável distância do centro, com casas baixas e esparsas.
A cota média do topo dos obstáculos é considerada igual a 3,0m.
§ Categoria IV
Terrenos cobertos por obstáculos numerosos e poucos afastados, em zona florestal, industrial ou
urbanizada. Exemplos:
§ zonas de parques e bosques com muitas árvores;
§ cidades pequenas e seus arredores;
§ subúrbios densamente construídos de grandes cidades;
§ áreas industriais plena ou parcialmente desenvolvidas.
A cota média do topo dos obstáculos é considerada igual a 10m.
Esta categoria também inclui zonas com obstáculos maiores e que ainda não possam ser
consideradas na categoria V.
§ Categoria V
Terrenos cobertos por obstáculos numerosos, grandes, altos e pouco espaçados. Exemplos:
§ florestas com árvores altas e copas isoladas;
§ centros de grandes cidades;
§ complexos industriais bem desenvolvidos.
A cota média do topo dos obstáculos é considerada igual ou superior a 25m.
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 62
Texto provisório – Sujeito a alterações
b.2) Dimensões da Edificação
Em função das dimensões das edificações, a NBR 6123 (1987) classifica-as em
§ Classe A
Todas as unidades de vedação, seus elementos de fixação e peças individuais de estruturas de
vedação. Toda edificação na qual a maior dimensão horizontal ou vertical não exceda 20 m.
§ Classe B:
Toda edificação ou parte dela para a qual a maior dimensão horizontal ou vertical da superfície
frontal esteja entre 20 e 50 m.
§ Classe C
Toda edificação ou parte dela para a qual a maior dimensão horizontal ou vertical da superfície
exceda 50 m.
b.3) Altura sobre o terreno
O fator S2 em uma altura z acima do nível geral do terreno é obtido pela expressão:
p
r2 10z
F bS
=
onde
Fr é o fator de rajada (sempre correspondente a Categoria II)
b e p são parâmetros meteorológicos que dependem da classe e da categoria da edificação e da
altura zg (que define o contorno superior da camada atmosférica)
z é a altura considerada
Os valores do fator de rajada Fr e os parâmetros meteorológicos b e p são fornecidos pelo NBR
6123 (1987) e apresentados na Tabela 1.
Tabela 1 – Parâmetros meteorológicos
zg
(m) A B Cb 1,10 1,11 1,12
p 0,06 0,065 0,07b 1,00 1,00 1,00Fr 1,00 0,98 0,95p 0,085 0,09 0,10b 0,94 0,94 0,93p 0,10 0,105 0,115b 0,86 0,85 0,84
p 0,12 0,125 0,135b 0,74 0,73 0,71p 0,15 0,16 0,175
V
Parâmetro
250
350
420
500
300II
III
IV
CategoriaClasses
I
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 63
Texto provisório – Sujeito a alterações
A NBR 6123 (1987) também fornece valores de S2 para as diversas categorias de rugosidade do terreno, classes de dimensões das edificações e alturas
z. Esses valores estão na Tabela 2.
Tabela 2 – Fator S2
A B C A B C A B C A B C A B C5 1,06 1,04 1,01 0,94 0,92 0,89 0,88 0,86 0,82 0,79 0,76 0,73 0,74 0,72 0,67
10 1,10 1,09 1,06 1,00 0,98 0,95 0,94 0,92 0,88 0,86 0,83 0,80 0,74 0,72 0,6715 1,13 1,12 1,09 1,04 1,02 0,99 0,98 0,96 0,93 0,90 0,88 0,84 0,79 0,76 0,7220 1,15 1,14 1,12 1,06 1,04 1,02 1,01 0,99 0,96 0,93 0,91 0,88 0,82 0,80 0,7630 1,17 1,17 1,15 1,10 1,08 1,06 1,05 1,03 1,00 0,98 0,96 0,93 0,87 0,85 0,8240 1,20 1,19 1,17 1,13 1,11 1,09 1,08 1,06 1,04 1,01 0,99 0,96 0,91 0,89 0,8650 1,21 1,21 1,19 1,15 1,13 1,12 1,10 1,09 1,06 1,04 1,02 0,99 0,94 0,93 0,8960 1,22 1,22 1,21 1,16 1,15 1,14 1,12 1,11 1,09 1,07 1,04 1,02 0,97 0,95 0,9280 1,25 1,24 1,23 1,19 1,18 1,17 1,16 1,14 1,12 1,10 1,08 1,06 1,01 1,00 0,97
100 1,26 1,26 1,25 1,22 1,21 1,20 1,18 1,17 1,15 1,13 1,11 1,09 1,05 1,03 1,01120 1,28 1,28 1,27 1,24 1,23 1,22 1,20 1,20 1,18 1,16 1,14 1,12 1,07 1,06 1,04140 1,29 1,29 1,28 1,25 1,24 1,24 1,22 1,22 1,20 1,18 1,16 1,14 1,10 1,09 1,07160 1,30 1,30 1,29 1,27 1,26 1,25 1,24 1,23 1,22 1,20 1,18 1,16 1,12 1,11 1,10180 1,31 1,31 1,31 1,28 1,27 1,27 1,26 1,25 1,23 1,22 1,20 1,18 1,14 1,14 1,12200 1,32 1,32 1,32 1,29 1,28 1,28 1,27 1,26 1,25 1,23 1,21 1,20 1,16 1,16 1,14250 1,34 1,34 1,33 1,31 1,31 1,31 1,30 1,29 1,28 1,27 1,25 1,23 1,20 1,20 1,18300 - - - 1,34 1,33 1,33 1,32 1,32 1,31 1,29 1,27 1,26 1,23 1,23 1,22350 - - - - - - 1,34 1,34 1,33 1,32 1,30 1,29 1,26 1,26 1,26400 - - - - - - - - - 1,34 1,32 1,32 1,29 1,29 1,29420 - - - - - - - - - 1,35 1,35 1,33 1,30 1,30 1,30450 - - - - - - - - - - - - 1,32 1,32 1,32500 - - - - - - - - - - - - 1,34 1,34 1,34
Classez
(m) Classe Classe Classe Classe
CATEGORIAI II III IV V
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 64
Texto provisório – Sujeito a alterações
c) FATOR S3
O fator S3 é baseado em conceitos estatísticos, e considera o grau de segurança requerido e a
vida útil da edificação. O nível de probabilidade (63%) e a vida útil (50 anos) adotados são considerados
adequados para edificações normais destinadas a moradias, hotéis, escritórios, etc. Na falta de uma norma
específica sobre segurança nas edificações, ou de indicações correspondentes na norma estrutural, os
valores mínimos adotados pela NBR 6123 (1987) para o fator S3 são:
§ Grupo 1
Edificações cuja ruína total ou parcial pode afetar a segurança ou possibilidade de socorro a
pessoas após uma tempestade destrutiva (hospitais, quartéis de bombeiros e de forças de
segurança, centrais de comunicação, etc.).
S3 = 1,10
§ Grupo 2
Edificações para hotéis e residências.
Edificações para comércio e indústria com alto fator de ocupação.
S3 = 1,00
§ Grupo 3
Edificações e instalações industriais com baixo fator de ocupação ( depósitos, silos, construções
rurais, etc.).
S3 = 0,95
§ Grupo 4
Vedações (telhas, vidros, painéis de vedação, etc.).
S3 = 0,88
§ Grupo 5
Edificações temporárias. Estruturas dos grupos 1 a 3 durante a construção.
S3 = 0,83
Para a determinação dos fatores S1, S2 e S3 é importante a consideração adequada das
características da edificação e do terreno onde ela será implantada.
Vales ressaltar que o cálculo da velocidade característica do vento corresponde à adequação de
sua velocidade básica às características da edificação e do terreno.
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 65
Texto provisório – Sujeito a alterações
4.3 EFEITO ESTÁTICO DO VENTO
A rigor, toda ação devida ao vento é dinâmica, pois a velocidade real do vento varia com o tempo.
Entretanto, pode-se dividi-la, por razões práticas, em uma componente constante (estática) e uma
componente de flutuação (dinâmica). Quando o período médio de separação da componente de flutuação
é maior ou igual a 100 vezes o período de vibração da estrutura, pode-se considerar o efeito do vento
como sendo estático. Esta condição se verifica para a maioria dos casos de análise da ação do vento
sobre as estruturas.
4.3.1 CONCEITOS GERAIS
São apresentados a seguir alguns conceitos de interesse para a avaliação dos efeitos do vento em
edificações.
a) Pressão Dinâmica
A pressão dinâmica de um fluido é definida por:
2V21
q ρ=
onde,
V é a velocidade do fluido
ρ é a densidade do fluido, dada por:
gγ
=ρ
com γ igual ao peso específico do fluido e g a aceleração da gravidade
Em condições normais de pressão e temperatura (P = 1,0 atm e T = 15 °C), o peso específico do
ar é igual a 1,2 kgf/m3 e como a aceleração da gravidade ao nível do mar vale aproximadamente 9,81
m/s2, tem-se:
4
2
m
skgf1223,0
81,92,1 ⋅
==ρ
Portanto,
22 V 612,0V 1,223 21
q ==
com q em N/m2 e V em m/s.
A NBR 6123 (1987) define a pressão dinâmica do vento como:
2kV 613,0q = (2)
onde Vk é a velocidade característica do vento
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 66
Texto provisório – Sujeito a alterações
b) Teorema de Bernoulli
Para um fluído incompressível em um fluxo em regime permanente a soma das pressões estática,
dinâmica e piezométrica é constante, ou seja:
constante z g P V 21 2 =ρ++ρ
onde,
P é a pressão estática
V é a velocidade do fluído
g é a aceleração da gravidade
ρ é a massa específica do fluído
z é a cota do ponto considerado
No caso da ação do vento em edificações é possível desprezar a pressão piezométrica. Portanto:
constante P V 21 2 =+ρ
c) Coeficientes de Pressão
Um objeto mergulhado em um fluxo em movimento uniforme desvia as linhas de fluxo, como pode
ser visto na Figura 4.5. Algumas delas incidem praticamente perpendicular à sua superfície e param.
Nesses pontos, a pressão efetiva é a pressão de estagnação que é igual a pressão dinâmica. Para um
ponto genérico p da superfície do objeto tem-se, então:
Objeto
po
Vo pV = 0e
e
Vp
pp
Figura 4.5 – Objeto mergulhado em um fluído
2pp
2oo V
21
pV21
p ρ+=ρ+
A pressão efetiva no ponto p é dada, então, por:
( )2p
2oop VV
21
ppp −ρ=−=∆ ou
=
ρ=∆
2o
2p
2o
2p2
oV
V-1 q
V
V-1 V
21
p
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 67
Texto provisório – Sujeito a alterações
Chamando de cp, coeficiente de pressão, a parcela entre parênteses, a expressão anterior pode
ser escrita da seguinte forma:
=
2o
2p
pV
V-1c (3)
tem-se, então a pressão efetiva dada por:
q cp p=∆ (4)
Considerando agora que o fluído é o vento e o objeto é uma estrutura, como representado na
Figura 4.6, tem-se uma ação externa combinada a uma ação interna.
pe pi
Estrutura
Figura 4.6 – Estrutura submetida à ação do vento
Para um ponto genérico p, a aplicação da eq.(4) fornece, para a face externa:
qp
c epe
∆=
e, para a face interna:
qp
c ipi
∆=
onde cpe e cpi são, respectivamente, o coeficiente de pressão externa e o coeficiente de pressão interna.
A pressão efetiva ∆p, em um ponto da superfície da edificação, é definida, então, por:
ie p p p ∆−∆=∆
ou,
( )q ccp pipe −=∆
Se ∆p é positiva, a pressão efetiva é de sobrepressão externa. Caso contrário, se ∆p é negativa, a
pressão efetiva é de sucção externa.
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 68
Texto provisório – Sujeito a alterações
d) Coeficiente de Força
A força global do vento Fg, ilustrada na Figura 4.7, que atua em uma edificação, ou parte dela, é
obtida pela soma vetorial das forças devidas ao vento que atuam em toda a edificação.
Edificação
Fg
aF
lF
sF
Vento
Figura 4.7 – Força global do vento e suas componentes
O coeficiente de força global é dado pela divisão da força Fg pela pressão dinâmica q e pela área
A referente à edificação, ou seja
A q
FC
gg =
As componentes da força global do vento são as seguintes:
§ Forca de sustentação Fs
§ Forca lateral Fl
§ Forca de arrasto Fa
A força de arrasto Fa é a componente da força global Fg na direção do vento. Ela é de
fundamental importância, pois permite ao calculista determinar ações com características globais, ou seja,
ações estas que serão aplicadas em toda a estrutura.
e) Coeficiente de Arrasto
A partir do coeficiente de força global, pode-se definir o coeficiente de arrasto como:
A qF
C aa = (5)
onde,
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 69
Texto provisório – Sujeito a alterações
Fa é a força de arrasto
q é a pressão dinâmica do vento, calculada a partir de eq.(2)
A é a área de incidência do vento
Assim , a força de arrasto Fa pode ser calculada a partir de:
A q CF aa = (6)
Para uma edificação de planta retangular e vento não turbulento, o coeficiente de arrasto pode ser
determinado em função das dimensões dessa edificação (altura, comprimento e largura).
A NBR 6123 (1987) apresenta um gráfico, reproduzido na Figura 4.9, que fornece o valor do
coeficiente de arrasto em função das relações:
1
hl
e 2
1ll
onde
h é a altura da edificação
l1 é a dimensão perpendicular à direção do vento
l2 é a dimensão paralela à direção do vento, como pode ser visto na Figura 4.8.
EdificaçãoVento
h
l
l2
1
Figura 4.8 – Dimensões da edificação para a determinação de Ca
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 70
Texto provisório – Sujeito a alterações
VENTO
VENTO
l
l1
2
l2
1l
Figura 4-9 – Coeficiente de arrasto Ca para edificações com planta retangular e vento de baixa
turbulência.
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 71
Texto provisório – Sujeito a alterações
4.4 FORÇAS DEVIDAS AO VENTO EM EDIFÍCIOS
A determinação das forças devidas ao vento em uma edificação consiste no cálculo das forças de
arrasto, como visto no item anterior. A seguir, apresenta-se um exemplo de cálculo dessas forças.
4.4.1 EXEMPLO DE CÁLCULO DAS FORÇAS DE ARRASTO EM UM EDIFÍCIO
Calcular as forças de arrasto em um edifício de escritórios, situado no centro de São Paulo, com
16 pavimentos de pé direito igual a 3,00 m. O edifício será construído em um terreno aproximadamente
plano, e suas dimensões são apresentadas na Figura 4.10.
ELEVAÇÃO
16 x 3,0 = 48 m
28,5 m
20 m
PLANTA
Vento
Figura 4.10 – Dimensões do edifício em estudo
a) Velocidade característica do vento Vk:
A velocidade característica do vento é calculada a partir da eq.(1), ou seja:
0321k V S S SV =
Para as características da edificação, sua localização e topografia do terreno onde será
implantada, tem-se
§ V0 = 45 m/s (cidade de São Paulo)
§ S1 = 1,0 (terreno plano)
§ S3 = 1,0 (edifício de escritório - grupo 2)
Assim, a velocidade característica pode ser expressa da seguinte forma:
2k S 45V = (7)
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 72
Texto provisório – Sujeito a alterações
b) Pressão dinâmica do vento
A pressão dinâmica do vento, função da velocidade característica, é dada pela eq.(2). Assim
( ) 22
22
2k S 325,1241S 45 613,0V 613,0q === (8)
c) Coeficiente de arrasto
Para a determinação do coeficiente de arrasto, tem -se
§ l1 = 20 m (dimensão perpendicular à direção do vento)
§ l2 = 28,5 (dimensão paralela à direção do vento)
§ h = 48 m (altura do edifício = número de pavimentos × pé direito)
Assim,
70,05,28
20
2
1 ==ll
40,22048h
1==
l
E, de acordo com o gráfico da Figura 4.9, o coeficiente de arrasto vale:
13,1Ca ≅ (9)
d) Área de Incidência do Vento
Com o vento agindo na direção indicada na Figura 4.10, a área A é calculada por:
'h 20'bhA ==
onde h’ corresponde à altura da área de influência de cada força de arrasto atuante nos diversos
pavimento do edifício, como mostra a Figura 4.11.
A altura h’ corresponde à metade do pé direito inferior mais metade do pé direito superior do
pavimento onde se está calculando a força Fa. No pavimento de cobertura, embora não haja pé direito
superior, pode-se considerar metade do pé direito inferior na parte de cima deste pavimento para se levar
em consideração qualquer parede que se possa ter no seu contorno.
e) Cálculo das Forças de arrasto
As forças de arrasto atuantes em cada pavimento do edifício são dadas por:
A q CF aa =
E, substituindo-se os valores de (8) e (9), obtém-se
22
22a S 'h945,28053S 'h021241,32513,1F ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=
22a S 'h945,28053F ⋅⋅=⇒
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 73
Texto provisório – Sujeito a alterações
1 Pav.o
o2 Pav.
o3 Pav.
o4 Pav.
o5 Pav.
o6 Pav.
o7 Pav.
o9 Pav.
10 Pav.o
11 Pav.o
12 Pav.o
13 Pav.o
14 Pav.o
15 Pav.o
16 Pav.o
8 Pav.o
F a 0
F a 1
F a 2
F a 3
F
a 4
F a 5
F a 6
F a 7
F a 8
F a 9
a 10
a 11F
a 12F
a 13F
a 14F
a 15F
a 16F
F a 10
a 4
0,0
3,00
6,00
9,00
12,00
15,00
18,00
21,00
24,00
27,00
30,00
33,00
36,00
39,00
42,00
45,00
48,00
h' = 3,0 m
h' = 3,0 m
h' = 3,0 m
h' = 3,0 m
h' = 3,0 m
h' = 3,0 m
h' = 3,0 m
h' = 3,0 m
h' = 3,0 m
h' = 3,0 m
h' = 3,0 m
h' = 3,0 m
h' = 3,0 m
h' = 3,0 m
h' = 3,0 m
h' = 3,0 m
h' = 1,5 m
Figura 4.11 – Alturas de influência das forças de arrasto
Como as alturas h’ já foram determinadas (Figura 4.11), para o cálculo das forças de arrasto é
necessário se determinar os valores do fator S2. Já que o edifício em estudo está situado em uma região
de categoria V e corresponde à classe B, os valores de S2 podem ser determinados utilizando-se a Tabela
2. Esses valores são apresentados na Figura 4.13.
OBSERVAÇÃO:
Vale ressaltar que podem ocorrer valores diferentes do fator S2 para uma mesma altura h’. Neste
caso, para a determinação de Fa, deve-se calcular a parcela da força de arrasto correspondente a
cada valor de S2, sendo a força de arrasto total, a soma de cada uma dessas parcelas, como pode
ser visto na Figura 4.12.
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 74
Texto provisório – Sujeito a alterações
S = Y2
S = X2 F = F' + F"a
h'h'
h'S = Y2
S = X2
F' = f (S = X)a
F" = f (S = Y)a 2
2
a a
Figura 4.12 – Altura de influência da força de arrasto em função do fator S2
1 Pav.o
o2 Pav.
o3 Pav.
o4 Pav.
o5 Pav.
o6 Pav.
o7 Pav.
o9 Pav.
10 Pav.o
11 Pav.o
12 Pav.o
13 Pav.o
14 Pav.o
15 Pav.o
16 Pav.o
8 Pav.o
S = 0,722
S = 0,722
S = 0,762
S = 0,802
S = 0,852
S = 0,892
S = 0,932
F a 0
F a 1
F a 2
F a 3
F a 4
F a 5
F a 6
F a 7
F a 8
F a 9
F a 10
a 11F a 12F a 13F a 14F a 15F a 16F
40,0 m
30,0 m
48,5 m
20,0 m
15,0 m
10,0 m
5,0 m
48,0 mS = 0,932
Figura 4.12 – Valores do fator S2 em função da altura.
Calculando-se, então, a força de arrasto Fa para cada pavimento, tem-se:
N 7,21814)5,172,0(945,28053F 20a =⋅⋅=
N 5,43629)0,372,0(945,28053F 21a =⋅⋅=
N 5,43629)0,372,0(945,28053F 22a =⋅⋅=
N 9,44459)0,5 0,76 5,272,0(945,28053F 223a =⋅+⋅⋅=
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 75
Texto provisório – Sujeito a alterações
N 9,48611)0,376,0(945,28053F 24a =⋅⋅=
N 7,51237)1,5 0,80 5,176,0(945,28053F 225a =⋅+⋅⋅=
N 6,53863)0,380,0(945,28053F 26a =⋅⋅=
N 7,59649)2,5 0,85 5,080,0(945,28053F 227a =⋅+⋅⋅=
N 9,60806)0,385,0(945,28053F 28a =⋅⋅=
N 9,60806)0,385,0(945,28053F 29a =⋅⋅=
N 8,63735)1,5 0,89 5,185,0(945,28053F 2210a =⋅+⋅⋅=
N 6,66664)0,389,0(945,28053F 211a =⋅⋅=
N 6,66664)0,389,0(945,28053F 212a =⋅⋅=
N 8,67685)0,5 0,93 5,289,0(945,28053F 2213a =⋅+⋅⋅=
N 6,72791)0,393,0(945,28053F 214a =⋅⋅=
N 6,72791)0,393,0(945,28053F 215a =⋅⋅=
N 6,72791)0,393,0(945,28053F 216a =⋅⋅=
4.5 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – ABNT (1978). (NB-1) NBR 6118 -
Projeto e Execução de Obras de Concreto Armado. Rio de Janeiro.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – ABNT (1987). (NB-599) NBR 6123 -
Forças devidas ao vento em edificações. Rio de Janeiro.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – ABNT (1997). Texto-Base para Revisão
da NB-1. Rio de Janeiro.
DAVENPORT, A. G. (1963). The relationship of Wind structure to Wind loading. IN: Wind effects on
Building and Structures. Teddington. P.53-102.
GIONGO, J. S. (1996). Concreto armado: projeto estrutural de edifícios. Escola de Engenharia de São
Carlos – Universidade de São Paulo. Publicação 059.
LIMA, J. S. (1998) Avaliação dos efeitos de segunda ordem em edifícios altos. Escola Politécnica da
Universidade Federal da Bahia. Salvador 1998.
SALES, J. J., MALITE, M., GONÇALVES, R. M. (2002). Ação do vento nas edificações. Escola de
Engenharia de São Carlos – Universidade de São Paulo. Publicação 01094.
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 76
Texto provisório – Sujeito a alterações
55 EESSTTRRUUTTUURRAA DDEE CCOONNTTRRAAVVEENNTTAAMMEENNTTOO
5.1 INTRODUÇÃO
Chama-se de estrutura de contraventamento o sistema estrutural, formado pela totalidade ou parte
dos elementos estruturais, que resiste às ações horizontais.
A definição de qual elemento estrutural, pertencente à estrutura de um edifício, fará parte do
chamado sistema de contraventamento é uma atribuição do projetista.
As estruturas de contraventamento são fundamentais para a segurança e o bom funcionamento de
uma edificação. Em especial no caso de edifícios relativamente altos, pode-se afirmar que a sua importância
é até maior que a do sistema que absorve cargas verticais. Portanto, qualquer erro na avaliação dos esforços
solicitantes em seus elementos componentes pode realmente acarretar a ruína ou o mau funcionamento da
estrutura da edificação em toda a sua vida útil.
As principais ações horizontais que podem agir sobre as estruturas de contraventamento são:
§ Ações devidas ao vento.
§ Ações devidas ao desaprumo ou às excentricidades globais.
§ Ações devidas aos abalos sísmicos.
As ações devidas ao vento são as mais importantes em termos de valores atuantes, especialmente no
Brasil onde não se registram sismos de intensidade significativa. Entretanto, para um correto
dimensionamento da estrutura de contraventamento é necessário que o projetista leve em consideração todas
as ações horizontais importantes que possam estar atuando sobre a estrutura. Por exemplo, em edificações
que apresentem subsolos com empuxos não compensados, é impossível deixar de considerá-los na avaliação
dos esforços solicitantes que atuam nos elementos. E assim como nesse exemplo citado, pode haver outros
casos particulares onde determinadas ações específicas são de grande importância para a estrutura a ser
considerada.
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 77
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5.2 AÇÕES HORIZONTAIS
As principais ações horizontais a serem consideradas nas estruturas de contraventamento são a ação
dos ventos e o desaprumo, já que os sismos, para o caso das estruturas brasileiras, não apresentam
importância significativa.
5.2.1 AÇÃO DO VENTO
As forças de arrasto são calculadas com base nas prescrições da NBR 6123 (1987), como visto no
capítulo anterior.
a) Forma de Atuação
Considera-se que o vento atua sobre as paredes que estão dispostas na perpendicular à sua direção.
Estas passam a ação às lajes dos pavimentos que distribuem, de acordo com a rigidez, aos elementos que
constituem a estrutura de contraventamento, como apresentado na Figura 5.1.
Laje
LajeParede
Contraventamento
(Pórtico)
Contraventamento
(Pórtico)
F (vento)a
a,i+1F
Fa,i
Figura 5.1 – Distribuição da ação do vento entre os painéis de contraventamento.
Para que essa distribuição possa se verificar é necessário que a laje possua uma rigidez compatível
com a suposta. No caso usual, as lajes estarão sendo consideradas como diafragmas totalmente rígidos em
seu plano e sem rigidez na direção normal.
Para a maior parte dos edifícios correntes essa suposição não é difícil de ser verificada. Entretanto,
deve-se estar atento a casos especiais, como, por exemplo, grandes aberturas ou outros detalhes que reduzam
significativamente a rigidez da laje em seu próprio plano.
b) Importância da Consideração da Ação do Vento
A atuação do vento deve ser analisada com muito cuidado nas estruturas correntes. Os esforços
obtidos são muito significativos, mesmo quando comparados, por exemplo, aos produzidos pelas cargas
verticais.
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 78
Texto provisório – Sujeito a alterações
Embora até pouco tempo a norma de concreto permitisse a dispensa de sua análise para certos casos
(recomendação motivada pela falta de recursos computacionais que vigorava até algum tempo atrás), a nova
norma de concreto, NBR 6118 (2003), que entra em vigor em março de 2004, já menciona que todos as
estruturas necessitam da análise com a consideração dessa ação.
A importância da consideração do vento nas estruturas convencionais pode ser analisada a partir da
Figura 5.2.
Número depavimentos
Número depavimentos
10 20 30 40
Esf
orço
s no
s Pi
lare
s
Esf
orço
s na
s V
igas
Ação VerticalAção do Vento
10 20 30 40
Figura 5.2 – Esforços nas estruturas de contraventamento
Nos gráficos apresentados na Figura 5.2 são mostradas as variações de esforços em pilares e vigas de
estruturas de contraventamento usuais em relação ao número de pavimentos das edificações. Observa-se que
os esforços em pilares e vigas são da mesma ordem de grandeza para edificações de 25 a 30 pavimentos. A
partir daí os esforços devidos ao vento são preponderantes. É importante ressaltar que os gráficos
apresentados são válidos para estruturas convencionais. No caso de lajes lisas ou protendidas os esforços se
igualam para edificações que tenham de 18 a 20 pavimentos.
5.2.2 DESAPRUMO
O desaprumo representa uma inclinação acidental, um deslocamento angular em relação à posição
inicial, como representado na Figura 5.3, variável de edificação para edificação e decorrente de imperfeições
construtivas.
A NBR 6118 (2003) sugere que o desaprumo seja considerado separadamente para cada um dos
pórticos planos existentes na estrutura, com valor:
2n1
1 1a
+θ=θ (5.1)
na qual:
n é o número de pilares contínuos do pórtico,
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 79
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θ1 H 100
1=
sendo H a altura da estrutura , em metros, e
=θmóveis nós de estruturas para
3001
fixos nós de estruturas para 4001
min1 2001
máx1 =θ
θa
H
Figura 5.3 – Representação do ângulo de desaprumo.
Pode-se transformar esse deslocamento angular (desaprumo) em um conjunto de ações horizontais
fictícias equivalentes.
As ações horizontais fictícias ∆Hi para cada nível de um pórtico, a ilustradas na Figura 5.4, são
calculadas a partir de:
∑=
θ=∆n
1jaiji tgVH (5.2)
onde
n é o número de pilares contínuos do pórtico,
Vij é a ação vertical aplicada ao pilar j somente pelo andar i,
θa é o ângulo de desaprumo do pórtico, em radianos, calculado a partir da eq.(5.1).
Como os ângulos correspondentes ao desaprumo são muito pequenos, pode-se considerar tg θa ≅ θa,
em radianos.
O desaprumo não deve necessariamente ser superposto ao carregamento de vento. Entre os dois,
vento e desaprumo, pode ser considerado apenas o mais desfavorável, que pode ser definido através do que
provoca o maior momento total na base de construção.
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Texto provisório – Sujeito a alterações
∆H1
∆H2
∆H3
∆H4
∆H5
V11
V21 V22
V31 V32
V41
V51 V52
V42
V53
V43
V33
V23
V13V12
1 2 3
Figura 5.4 – Ações horizontais fictícias equivalentes ao desaprumo
5.2.3 SISMOS
A ação de sismos pode ser considerada através da ação de forças horizontais equivalentes. Para a
definição dessas forças deve-se consultar normas específicas.
5.3 ANÁLISE ESTRUTURAL DO SISTEMA DE CONTRAVENTAMENTO
A estrutura de contraventamento de um edifício é aquela que resiste a eventuais ações horizontais e
provê o travamento horizontal dos pavimentos do edifício. Já a estrutura contraventada faz parte do sistema
estrutural, mas não ajudam a resistir às ações horizontais. Em um sistema estrutural pode existir um
subsistema de contraventamento e um subsistema contraventado.
Na verdade, é impossível separar elementos que contraventam de elementos contraventados. Porém,
é comum adotar a estrutura de contraventamento sem que dela façam parte todos os elementos estruturais.
Isso ocorre principalmente quando se tem um dos seguintes casos:
§ Vigas que apóiam em vigas
§ Pilares isolados trabalhando segundo a menor inércia
§ Pórticos na direção perpendicular à ação horizontal
A não consideração desses elementos na estrutura de contraventamento não deve trazer nenhuma
alteração significativa na distribuição das ações entre os painéis componentes, pois os eventuais esforços que
apareceriam nesses elementos seriam pequenos.
Entretanto, se os elementos contraventados realmente podem apresentar uma participação
significativa na rigidez do conjunto, não é adequado que isso seja feito sem uma análise cuidadosa dos
efeitos que podem daí advir. Não é correto pensar, que a retirada dessas peças atue sempre a favor da
segurança. Realmente existe a tendência à obtenção de esforços maiores nos elementos restantes, mas as
peças retiradas estarão totalmente livres dessas ações no cálculo realizado, sem que isso de fato se verifique
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na prática. Dessa forma introduz-se um distanciamento da realidade estrutural, o que não é conveniente sob
nenhum aspecto: seja a economia ou a segurança.
Assim, pode-se recomendar que na medida do possível sejam consideradas todos os elementos que
podem participar do contraventamento. Essa é a maneira mais segura e econômica de se analisar a estrutura e
deve ser adotada sempre que possível, especialmente quando os recursos computacionais disponíveis
permitam que isso seja realizado com tranqüilidade.
5.3.1 PAINÉIS DE CONTRAVENTAMENTO
Os painéis são os elementos básicos de um sistema estrutural de contraventamento. Podem ser
compostos por apenas uma peça, como no caso de uma parede isolada, ou por um certo número de peças,
como no caso de um pórtico de várias prumadas. Em qualquer caso são os elementos que trabalham
oferecendo resistência aos deslocamentos horizontais dos pavimentos. Os principais painéis de
contraventamento são:
§ Painel Parede (Pilar Parede)
§ Painel Pórtico
§ Associação de Painel Parede e Painel Pórtico
a) Painel Parede (Pilar Parede)
Os painéis parede são os elementos mais simples de uma estrutura de contraventamento, porque são
compostos por apenas um elemento, e também porque seu comportamento pode ser analisado a partir de uma
viga engastada submetida a carregamento transversal. A forma de sua linha elástica típica é representada na
Figura 5.5.
a
Figura 5.5 – Linha elástica típica do painel pilar-parede
Pode-se observar que a parede tende a apresentar deslocamentos bem menores junto à base e maiores
à medida que se aproxima do topo. Por essa condição, a parede tende a apresentar mais rigidez junto à base,
portanto, absorvendo uma parcela maior do carregamento total do sistema de contraventamento nesse trecho.
Esse comportamento é típico de uma estrutura cujos deslocamentos acontecem por momento fletor
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b) Painel Pórtico
O painel pórtico é formado por pelo menos dois pilares e uma viga. Portanto, sua consideração no
sistema de contraventamento tende a ser menos simples que o painel parede.
a
Figura 5.6 – Linha elástica típica do painel pórtico
Por ter uma rigidez elevada ao momento fletor e ser deformável à força cortante, se observa, a partir
da linha elástica típica do painel pórtico, que este tende a apresentar maiores deslocamentos horizontais junto
à base, diminuindo quando se aproxima do topo. Portanto, de forma oposta à parede, o pórtico tende a
absorver menor parcela do carregamento junto à base, aumentando sua participação à medida que se
consideram pontos mais próximos do topo. Esse comportamento é típico de estruturas que se deformam
preferencialmente por força cortante.
Esse comportamento típico se verifica, na realidade, quando a inércia da viga é grande em relação à
inércia dos pilares, como é o caso mostrado na Figura 5.7a. Nesse caso, a deformação do painel se dá
principalmente por força cortante, obtendo-se o resultado da Figura 5.6.
a) Deformação por cortante b) Deformação por cortante e momento fletor
Figura 5.7 – Painéis pórticos
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Texto provisório – Sujeito a alterações
Caso a situação seja a apresentada na Figura 5.7b, ou seja quando a inércia dos pilares é de mesma
ordem de grandeza ou mesmo maior que a da viga, o painel não deve apresentar o comportamento típico da
Figura 5.6. Nesse caso, a linha elástica tende a ser uma mistura entre as linhas elásticas típicas do painel
parede e do painel pórtico. Esse painel, na verdade, pode ser comparado a uma associação de um pórtico com
uma parede, que será analisada com maiores detalhes no próximo item.
c) Associação de Pórtico e Parede
Quando a inércia dos pilares é de mesma ordem de grandeza, ou mesmo maior, que a da viga, o
painel tende a se comportar como uma mistura entre o painel parede e o painel pórtico, apresentando
deslocabilidade semelhante tanto junto à base quanto ao topo (Figura 5.8).
a
Figura 5.8 – Associação plana de pilar-parede e pórtico
Devido a seus comportamentos complementares, é impossível não pensar nos benefícios que podem
advir de uma associação entre um pórtico e uma parede. Junto à base, quando o pórtico tem uma rigidez
relativamente pequena, a parede acaba suportando a maior parte do carregamento total do painel. Já junto ao
topo a situação se inverte e é o pórtico que compensa a menor rigidez relativa da parede, suportando a maior
parcela do carregamento total. Esse comportamento é ilustrado na Figura 5.9.
Total Parede Pórtico
Figura 5.9 – Distribuição das parcelas de cargas em associações de paredes e pórticos
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 84
Texto provisório – Sujeito a alterações
Os benefícios dessa associação são inegáveis, e essa análise do comportamento conjunto pode ser
importante para a definição, ainda na fase da concepção da estrutura, de um sistema de contraventamento
mais eficaz e conceitualmente correto.
5.3.2 DISTRIBUIÇÃO DE AÇÕES ENTRE PAINÉIS DE CONTRAVENTAMENTO
Um ponto fundamental para as análises a serem realizadas é a condição da estrutura quanto à
simetria. Pode-se classificá-las em dois tipos:
§ Contraventamento simétrico
§ Contraventamento assimétrico
O contraventamento é sempre considerado em relação à direção na qual o vento atua. Sendo assim,
uma estrutura que possua apenas um eixo de simetria, será considerada simétrica para o vento atuando nessa
direção e assimétrica para as demais.
Quando a estrutura é simétrica, o pavimento, considerado como um diafragma rígido, apresenta
apenas translações (Figura 5.10a). Já no caso de contraventamentos assimétricos (Figura 5-10b), os
pavimentos devem apresentar, além das translações, rotações em relação a um ponto chamado centro
elástico. Tanto os recursos computacionais necessários quanto os resultados obtidos são distintos para os dois
casos.
a) Contraventamento simétrico b) Contraventamento assimétrico
Figura 5.10 – Contraventamento simétrico e assimétrico
Quanto à distribuição das ações, pode-se considerar que existem dois grandes grupos de
procedimentos para distribuição das ações laterais entre os painéis de um sistema contraventamento:
§ Técnica do Meio Contínuo (TMC)
§ Procedimentos Discretos (Método dos Elementos Finitos)
a) Técnica do Meio Contínuo
Os procedimentos baseados na Técnica do Meio Contínuo consistem em se substituir os elementos
componentes de uma estrutura por um meio contínuo de rigidez equivalente. Assim, pode-se descrever o seu
comportamento por equações diferenciais que resolvidas fornecem esforços e deslocamentos.
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Texto provisório – Sujeito a alterações
Esses procedimentos apresentam como vantagens:
§ Poucos dados de entrada.
§ Poucos, mas significativos, resultados obtidos.
§ Praticamente não necessita de recursos computacionais.
Sendo as principais desvantagens:
§ Dificuldade para consideração de variações discretas de carregamento e geometria.
§ Perturbações junto à base e ao topo da edificação.
b) Procedimentos Discretos
Os procedimentos discretos são aqueles onde todos os elementos são efetivamente discretizados
através de pontos nodais e elementos. O método mais utilizado é o Método dos Elementos Finitos Nesse caso não existirão restrições quanto a variações das características da estrutura e do
carregamento. A análise ganha muito em generalidade podendo-se calcular estruturas com detalhes
localizados e variações significativas de rigidez como pavimentos de transição, interrupção de pilares e
vigas, etc. Entretanto, a complexidade da modelagem será muito maior, obtendo-se normalmente um extenso conjunto de dados de entrada.
Com relação ao cálculo da estrutura propriamente dita, é necessária a utilização de um programa
especialmente desenvolvido para esse fim. Os resultados obtidos são também em grande número,
dificultando a sua interpretação.
Assim, os procedimentos discretos apresentam como vantagens:
§ Facilidade para consideração de variações discretas de carregamento e geometria.
§ Ausência de perturbações junto à base e ao topo da edificação.
E as desvantagens são:
§ Muitos dados de entrada. § Muitos, e às vezes pouco significativos, resultados obtidos.
§ Necessita de recursos computacionais bem desenvolvidos.
5.3.3 MODELOS PARA A DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS SOLICITANTES
Uma vez determinada a ação horizontal e definida a estrutura de contraventamento, o passo seguinte
é o cálculo dos esforços solicitantes resultantes dessa ação.
a) Associação Plana de Painéis de Contraventamento (Modelo de Pórticos Planos)
A associação plana de painéis de contraventamento só é possível se a estrutura for simétrica em
relação ao eixo de aplicação da ação horizontal, ou pelo menos, assim puder ser considerada. Trata-se, então, de modelar uma série de painéis de contraventamento (pórticos e pilares-paredes) na
direção considerada e ligá-los por barras articuladas nas extremidades, que estarão representando as lajes.
Nas Figuras 5.11 e 5.12 encontram-se exemplos de associação plana de painéis de contraventamento.
O carregamento pode ser aplicado a qualquer painel, já que a ligação por barras articuladas fará a distribuição dessas cargas, de acordo com a capacidade de absorção de cada painel.
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As barras articuladas que representam as lajes devem ter uma rigidez bastante elevada, de modo a
produzir deslocamentos idênticos em um mesmo nível. No entanto, a adoção de um valor muito alto em relação às demais peças estruturais, poderia causar uma série de problemas numéricos durante o
processamento da análise. Por isso, recomenda-se adotar:
§ Comprimento de 0,5 m a 1 m. Esse comprimento acaba resultando da posição dos painéis no modelo.
§ Características da seção tomadas para uma faixa de 2 m de laje, mantendo-se a sua espessura real.
P1(25/80)
P2(25/80)
P3(25/60)
P5(25/120)
P4(25/60)
P7(25/60)
P6(25/60)
P8(25/80)
P9(25/80)
V1 (15/60)
L1h = 10
V2 (15/60)
V3
(15/
60)
V4
(15/
60)
V5
(15/
60)
L2h = 10
Vento
P8 P6 P3 P1 P5 P9 P7 P4 P2
Figura 5.11 – Exemplo de associação plana de painéis de contraventamento
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Texto provisório – Sujeito a alterações
Figura 5.12 – Exemplo de associação plana de painéis de contraventamento
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b) Pórticos Tridimensionais ou Espaciais
Consiste na representação espacial de uma estrutura através de um modelo geometricamente
condizente. Todos os elementos que tenham alguma participação no contraventamento são locados em
posições correspondentes às posições reais. Assim, pode ser utilizado tanto para as estruturas simétricas
quanto para as assimétricas.
Neste tipo de modelo pode-se analisar tanto os efeitos da torção global da estrutura quanto os da
torção local em cada um dos elementos; a ação do vento pode ser analisada segundo qualquer uma das
direções do espaço tridimensional. Assim, obtém-se valores de esforços solicitantes e de deslocamentos mais
representativos que os do modelo plano. Entretanto, apresenta maior grau de dificuldade e tempo gasto para
a modelagem.
P1(25/60)
P2(25/120)
P3(20/100)
P4(25/60)
P6(25/80)
P5(25/60)
P8(25/60)
P7(25/120)
V1 (15/60)
V2 (15/60)
L1h = 10
L2h = 10
L3h = 10
V3
(15/
60)
V4
(15/
60)
V5
(15/
60)
V6
(15/
60)
P1 P2 P3 P4
P5 P6 P7 P8
Figura 5.13 – Exemplo de um modelo de pórtico espacial
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5.3.4 CONSIDERAÇÕES SOBRE O COMPORTAMENTO NÃO-LINEAR DAS
ESTRUTURAS EM CONCRETO ARMADO
a) Não-Linearidade Física
A Não-Linearidade Física é definida como o fenômeno correspondente à perda de proporcionalidade
entre tensão aplicada e deformação sofrida pelo material (Figura 5.14b).
σ
ε
E
ε
σ
a) Material elástico linear b) Material não linear
Figura 5.14 – Diagramas tensão-deformação
No caso do concreto, essa perda de proporcionalidade começa a acontecer para baixos valores de
tensões, principalmente devido à formação e abertura de fissuras na seção transversal, e da deformação
longitudinal do elemento.
Admitir o comportamento dos elementos estruturais em concreto armado totalmente elástico torna-se
equivocado quando se percebe que, ao longo da vida útil, a fissuração e a deformação só tendem a aumentar.
O principal efeito disso é a perda de área efetiva da seção transversal, que contribui para a rigidez do
elemento. Buscou-se, então, determinar um módulo de rigidez EI, capaz de representar, além da
porcentagem de perda de rigidez proveniente da fissuração, o próprio comportamento plástico do concreto
armado. O módulo de rigidez é definido como o produto do módulo de deformação longitudinal do concreto
E pelo momento de inércia da seção transversal do elemento I.
Na determinação do módulo de rigidez, a adoção do momento de inércia da seção bruta de concreto
pode levar a uma superestimativa da rigidez, uma vez que o concreto sempre apresenta algumas fissuras.
Entretanto, a adoção do momento de inércia da seção transversal considerada totalmente fissurada pode levar
a subestimativa da rigidez, já que os elementos apresentam trechos fissurados e trechos não-fissurados.
Assim, para ser usado tanto no modelo de pórtico plano quanto de pórtico espacial, surgiu o conceito de
módulo de rigidez equivalente EIequiv, que representa a rigidez de um elemento situada entre a rigidez do
elemento antes da fissuração e a rigidez do elemento após a fissuração. A NBR 6118 (2003) recomenda que
se utilize:
§ Para vigas:
( )( )
==
≠=
s'sccequiv
s'sccequiv
AA se IE5,0EI
AA se IE4,0EI
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 90
Texto provisório – Sujeito a alterações
§ Para pilares:
( ) ccequiv IE8,0EI =
Onde AS é a área da armadura de tração da viga, AS’ é a área da armadura de compressão da viga, Ic é o
momento de inércia da seção bruta de concreto do elemento, e Ec é o módulo de deformação longitudinal
secante do concreto, dado por:
( )MPa em f4700E ckc =
com fck igual à resistência característica do concreto à compressão.
Para estruturas de contraventamento compostas apenas de vigas e pilares, pode ser considerado, para
ambos:
( ) ccequiv IE7,0EI =
b) Não-Linearidade Geométrica
A Não-Linearidade Geométrica representa os deslocamentos laterais sofridos pela estrutura quando
sobre ela incidem ações horizontais, como o vento.
5.4 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (2003). NBR 6118 - Projeto de estruturas de
concreto. Rio de Janeiro
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – ABNT (1987). (NB-599) NBR 6123 - Forças
devidas ao vento em edificações. Rio de Janeiro.
OBSERVAÇÃO:
Este capítulo foi adaptado das notas de aulas da Disciplina SET-5869 Análise Estrutural de
Edifícios de Concreto Armado, ministrada no Departamento de Engenharia de Estruturas da
Escola de Engenharia de São Carlos – USP, pelos Professores Associados Márcio Antonio
Ramalho e Márcio Roberto Silva Corrêa.
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 91
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66 6 EESSTTAABBIILLIIDDAADDEE GGLLOOBBAALL DDEE EEDDIIFFÍÍCCIIOOSS
6.1 INTRODUÇÃO
As ações verticais atuando em uma estrutura na sua posição inicial, não deslocada, geram esforços
solicitantes chamados esforços de primeira ordem. As ações horizontais agindo simultaneamente com
essas ações verticais, provocam deslocamentos laterais na estrutura. Atuando, agora, na estrutura em sua
posição deformada, as ações verticais causam acréscimos nos esforços de primeira ordem. Esses acréscimos
nos esforços são chamados de esforços de segunda ordem (Figura 6.1). Os esforços de segunda ordem
somente não ocorreriam se a estrutura pudesse ser considerada indeslocável, o que é impossível em termos
absolutos.
Dessa forma, pode-se dizer que os efeitos de primeira ordem são aqueles obtidos a partir de uma
análise de equilíbrio da estrutura que considera a sua posição geométrica inicial, isto é, indeformada, e os de
segunda ordem, aqueles resultantes da análise da estrutura na sua posição deformada. Enquanto nas análises
de primeira ordem os esforços e os deslocamentos variam linearmente com as ações, nos de segunda ordem,
essas relações tornam-se não-lineares.
l l
aP
H
P
H
a) Posição indeslocada b) Posição deslocada
A A
M = H hA M = H h + P aA
Figura 6.1 – Momentos fletores de primeira e de segunda ordem em uma estrutura.
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 92
Texto provisório – Sujeito a alterações
Com a valorização cada vez maior dos espaços nas grandes cidades, a construção de edifícios altos
passou a ser quase uma obrigação, fazendo com que as estruturas se tornassem mais esbeltas. Como
conseqüência, os efeitos das ações horizontais tornaram-se ainda mais significativos para o estudo da
estabilidade global desses edifícios.
Pode-se dizer que a estabilidade global de uma estrutura é a sua capacidade de manter o
equilíbrio sob a incidência de ações verticais e horizontais. Para isso, deve-se avaliar a influência dos esforços
de segunda ordem na resistência das estruturas.
6.2 CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS DE ACORDO COM SUA
DESLOCABILIDADE
Algumas estruturas são rígidas, quase indeslocáveis, e, conseqüentemente, apresentam pequena
interferência dos esforços de segunda ordem em seus esforços totais. Essas estruturas são chamadas de nós
fixos. Outras, ao contrário, são mais flexíveis, bastante deslocáveis, e os efeitos de segunda ordem
contribuem significativamente para o aumento dos esforços totais. Estas são chamadas de estruturas de nós
móveis . Pode-se considerar uma estrutura com de nós fixos se os esforços de segunda ordem forem
inferiores a 10% dos esforços de primeira ordem.
Assim, as estruturas nas quais, devido a uma maior rigidez, os deslocamentos horizontais são
pequenos, e, por decorrência, os efeitos de segunda ordem podem ser considerados desprezíveis (menores
que 10% dos respectivos esforços de primeira ordem), são chamadas estruturas de nós fixos ou
estruturas indeslocáveis . Nesse caso, não há necessidade de se considerar os esforços de segunda ordem
no dimensionamento de seus elementos.
Já as estruturas onde esses deslocamentos horizontais não são pequenos e, conseqüentemente, os
efeitos de segunda ordem são significativos para o dimensionamento dos elementos estruturais (superiores a
10% dos respectivos esforços de primeira ordem), são chamadas estruturas de nós moveis ou estruturas
deslocáveis .
Essa classificação das estruturas trata-se na verdade de uma simplificação, que consiste em chamar
uma estrutura pouco deslocável de indeslocável. Entretanto, como foi comentado, tal classificação é muito
importante, já que é tomada como base para se decidir se é ou não necessário que a análise de uma
determinada estrutura seja feita em teoria de segunda ordem, ou seja, com a estrutura em sua posição
deformada.
6.3 AVALIAÇÃO DOS EFEITOS DE SEGUNDA ORDEM EM EDIFÍCIOS
Uma avaliação de estabilidade não deve ser feita sem uma análise de segunda ordem, já que a
instabilidade pode até conduzir ao colapso. Desta forma, é importante que se conheça os critérios mais
utilizados para se avaliar os efeitos de segunda ordem em uma estrutura.
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 93
Texto provisório – Sujeito a alterações
A avaliação dos efeitos de segunda a partir da análise da estrutura na posição deformada é sempre
um processo interativo. Para tanto existem processos, que podem ser chamados de rigorosos, onde são feitas
alterações na matriz de rigidez e vetor de cargas, dentro de um programa computacional de pórtico plano ou
tridimensional.
“No caso dos processos rigorosos, é necessário que se tenha acesso a um programa computacional
que permita a consideração da posição deformada da estrutura, ou não-linearidade geométrica. Esses
programas não têm ainda uma utilização disseminada, pelo menos para análises usuais. Exige uma entrada de
dados normalmente mais complexa e apresenta um tempo de processamento relativamente elevado, motivos
pelos quais tem utilização mais restrita a casos especiais”. (Segundo RAMALHO & CORREA).
Podem ainda ser utilizados processos simplificados, comentados a seguir.
6.3.1 PARÂMETRO DE INSTABILIDADE α
O Parâmetro de Instabilidade α , introduzido por BECK & KÖNIG (1966) e, posteriormente,
adaptado por FRANCO (1985), tem como único objetivo avaliar a “sensibilidade” da estrutura aos efeitos de
segunda ordem. Para isso, calcula -se um valor de α para a estrutura analisada e compara-se esse valor com
um limite. Se o valor calculado for maior que esse limite a estrutura é considerada de nós móveis. Nesse
caso, o projetista deve utilizar um outro processo para a avaliação dos esforços de segunda ordem.
a) Breve Histórico
Os primeiros estudos voltados para a avaliação dos efeitos de segunda ordem eram baseados na
análise do comportamento de barras isoladas. BECK & KÖNIG (1966) desenvolveram os primeiros
trabalhos que analisavam a estrutura com um todo.
O modelo proposto por BECK& KÖNIG (1966) consistia em representar um edifício a partir de um
pilar engastado na base e livre no topo, de seção constante e submetido a uma ação vertical uniformemente
distribuída ao longo de todo o seu comprimento (Figura 6.2). Esse modelo admitia comportamento elástico do
material.
Hq
Figura 6.2 – Modelo de pilar estudado por BECK& KÖNIG
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 94
Texto provisório – Sujeito a alterações
A rigidez desse pilar correspondia à soma das rigidezes de todos os pilares isolados da estrutura de
contraventamento. A partir da solução da equação diferencial de equilíbrio do pilar, Beck & König
observaram que o deslocamento relativo entre dois pontos do pilar, referentes a dois pavimentos consecutivos,
estava associado a um coeficiente que levava em consideração o carregamento e as características
geométricas do pilar. Eles chamaram esse coeficiente de α , que eram calculado a partir de:
EIF
l=α (6.1)
sendo:
l o comprimento do pilar,
EI o módulo de rigidez do pilar,
F a força vertical total no pilar.
b) Extensão da Teoria ao Estudo de Edifícios Contraventados por Pilares-Parede
Pode-se observar que edifícios altos têm uma altura muito maior que suas dimensões em planta, como
uma barra, e os elementos de fundação os engastam na base, sendo que a extremidade superior fica livre.
Esse comportamento é semelhante ao do pilar idealizado por Beck & König.
Além disso, conforme comentado no capítulo anterior, um edifício alto contraventado apenas por
pilares-parede apresenta uma deformada (linha elástica) semelhante à deformada do pilar de Beck & König.
E, admitindo-se ainda que o carregamento vertical de cada pavimento do edifício é praticamente o mesmo,
comportando-se como uma carga vertical uniformemente distribuída ao longo da altura (Figura 6.3), pode-se
considerar o comportamento do edifício semelhante ao do pilar de Beck & König, sendo, portanto, válidas as
hipóteses estudadas por eles.
P1
P2
Pi-1
Pi
Pi+1
Pn
H
Linha elástica do edificio
Linha elástica do pilarde Beck & König
Figura 6.3 – Analogia entre o pilar de Beck & König e os edifícios
H
Pq
n
ii∑
=
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 95
Texto provisório – Sujeito a alterações
Assim, para o estudo de edifícios, o parâmetro α dado pela eq.(6.1) pode ser escrito da seguinte
forma:
EIN
H=α (6.2)
onde:
H é a altura total do edifício
EI é o módulo de rigidez da estrutura
N é o somatório de todas as ações verticais atuantes na estrutura.
A partir do estudo da estabilidade de estruturas contraventadas unicamente por pilares-parede, com
carregamento e geometria uniformes, Beck & König chegaram a um valor limite para o parâmetro α igual a:
60,0lim =α
Desta forma, as estruturas eram consideradas de nós fixos se o valor do parâmetro α fosse menor
que α lim, em caso contrário, ou seja, quando o valor de α fosse maior que o de α lim, a estrutura era dita de
nós móveis.
c) Módulo de Rigidez Equivalente
A partir do estudo de Beck e König, para a determinação do módulo de rigidez EI, considerava-se a
soma das rigidezes individuais dos pilares, não levando em conta o acréscimo que essas rigidezes sofrem
devido à ligação das vigas com esses mesmos pilares nas estruturas moldadas no local.
De acordo com VASCONCELOS (1985), essa consideração não representava bem o
comportamento das estruturas de concreto armado como as moldadas no local, onde há ligação monolítica
entre os elementos. Seria adequada apenas a estruturas como as pré-moldadas. Sendo assim, como a rigidez
adotada era bem menor que a real, os valores de α eram bem maiores que os reais.
Para tentar minimizar este problema, FRANCO (1985) introduziu o conceito de rigidez equivalente.
Segundo ele, a rigidez do pilar único que representa a estrutura deveria ser equivalente à da estrutura de
contraventamento. A equivalência residiria na igualdade das flechas horizontais no topo decorrentes da
incidência das ações horizontais.
Assim, considere-se, por exemplo, um edifício de módulo de rigidez EI, altura H, submetido a uma
carga horizontal q. Essa estrutura sofrerá um deslocamento a no topo. O módulo de rigidez equivalente
(EI)eq é o módulo de rigidez de uma estrutura prismática, com o pilar de Beck e König, de comprimento H,
submetida a carga q e deslocamento no topo a’ igual a a (Figura 6.4).
Percebe-se, então, que o módulo de rigidez equivalente não depende diretamente do valor atribuído à
carga q, e sim, de seu arranjo físico. Apesar de muitos estudos terem sido feitos considerando-se q uma
carga horizontal unitária concentrada no topo, parece ser mais acertado considerá-la unitária uniformemente
distribuída ao longo da edificação, pelo fato de aproximar-se mais do tipo de ação do vento.
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 96
Texto provisório – Sujeito a alterações
q EI a a' = a(EI) eq
H
a) Edifício b) Pilar equivalente
Figura 6.4 – Módulo de rigidez equivalente
Da Resistência dos Materiais, para o pilar equivalente (Figura 6.4b) engastado na base e livre na
outra extremidade, submetido a uma carga uniformemente distribuída q ao longo de seu vão H, o
deslocamento na extremidade livre é dado por:
eq
4
)EI( 8H q
'a = (6.3)
E, igualando-se os deslocamentos dos topos do edifício e do pilar equivalente (a = a’), o módulo de rigidez
equivalente (EI)eq pode então ser obtido por:
a 8H q
)EI(4
eq = (6.4)
sendo:
q a ação horizontal uniformemente distribuída (geralmente é adotado um valor unitário)
H a altura total do edifício
a o deslocamento do topo do edifício quando submetido à ação horizontal de valor igual a q
E o parâmetro de instabilidade α passa a ser expresso da forma usualmente empregada na análise
de edifícios, que é
eq
k
)EI(N
H=α (6.5)
sendo:
H a altura do pilar, medida a partir do topo da fundação ou de um nível muito pouco deslocável do
subsolo,
Nk somatório de todas as ações verticais atuantes no edifício (a partir do nível considerado para o cálculo
de H), com valor característico,
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 97
Texto provisório – Sujeito a alterações
(EI)eq módulo de rigidez da estrutura do edifício equivalente a um pilar de seção constante engastado na
base e livre no topo
d) Extensão da Teoria para os Demais Tipos de Contraventamento
Como foi comentado no Capítulo 4, a linha elástica da estrutura é diferente para cada tipo de painel
de contraventamento. Assim, as expressões obtidas anteriormente para edifícios contraventados por pilares-
parede, que tiveram por base a equação da linha elástica (deformada) para esta situação, devem ser
adaptadas para que possam ser utilizadas em outros tipos de painéis, cujas equações de linha elástica são
diferentes.
FRANCO (1985) define, a partir do estudo da linha elástica de cada painel de contraventamento, o
parâmetro de forma da estrutura, dado por:
Na
yPn
1 iii
⋅
⋅=ψ
∑= (6.6)
na qual:
Pi é a força vertical em cada pavimento;
yi é o deslocamento horizontal em cada pavimento;
a é o deslocamento no topo da estrutura;
N é o somatório das ações verticais atuantes;
n é o número de pavimentos.
Escrevendo o somatório em forma de integral, tem-se:
∫ ⋅⋅⋅=ψH
0
dPya1
N1
Para cada um dos sistemas de contraventamento, define-se uma equação da estrutura deformada
(linha elástica). FRANCO (1985) expõe essas equações, a partir das quais encontra os parâmetros de forma
ψ da estrutura, cujos valores são os usualmente empregados são:
§ ψ = 0,4 para estruturas contraventadas por pilares-parede
§ ψ = 0,5 para estruturas contraventadas por associações de painéis de contraventamento
§ ψ = 0,67 para estruturas contraventadas por pórticos
O coeficiente de forma relaciona-se com os valores limite de α através da expressão:
ψ⋅=α
112
k (6.7)
A eq.(6.7) fornece, então, os seguintes valores limites para α , que devem ser comparados com o
valor de α calculado a partir da eq.(6.5), para a avaliação dos efeitos de segunda ordem:
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Texto provisório – Sujeito a alterações
§ α lim = 0,7 (estruturas contraventadas por pilares-parede)
§ α lim = 0,6 (estruturas contraventadas por associações de pórticos e pilares-parede)
§ α lim = 0,5 (estruturas contraventadas por pórticos)
O estudo de FRANÇA (1985) apresenta um exemplo em que se varia, numa mesma estrutura, o tipo
de contraventamento. A partir dos resultados obtidos por ele, percebe-se que a deformada da estrutura é
bastante diferente em cada um dos casos, e, conseqüentemente, a grandeza dos esforços de segunda ordem
também. Dessa forma, a utilização de limites diferentes para α , a depender do sistema de contraventamento,
é, além de coerente, necessária.
Segundo a NBR 6118 (2003), o valor limite para α é dado por:
§ n1,02,0lim +=α , se n ≤ 3
§ 1,0lim =α , se n ≥ 4
onde, n é número de níveis de barras horizontais (andares) acima da fundação, ou de um nível pouco
deslocável do subsolo.
De acordo com essa Norma, o valor α lim = 0,6, para n ≥ 4 é, em geral, aplicável às estruturas usuais
de edifícios, onde o contraventamento é constituído de associações de pilares-parede, ou de associações de
pórticos e de pilares-parede. Entretanto, este valor pode ser aumentado para α lim = 0,7 para
contraventamento constituído exclusivamente por pilares-parede, e deve ser reduzido para α lim = 0,5 quando
no contraventamento só houver pórticos; recaindo-se nos limites fornecidos por FRANCO (1985).
Vale ressaltar que a diferença entre o valor limite de α , para estrutura de contraventamento
composta apenas por pilares-parede, do estudo de Beck & König (αlim = 0,6) e do estudo de Franco (αlim =
0,7) se deve ao fato do trabalho inicial considerar γf = 1,5 e o trabalho de Franco considerar γf = 1,4 (de
acordo com a norma brasileira), sendo γf o coeficiente majorador das ações.
6.3.2 COEFICIENTE γZ
O coeficiente γz, assim como o parâmetro de instabilidade α , também avalia a sensibilidade da
estrutura aos esforços de segunda ordem. Além disso, em alguns casos, é capaz de avaliar com certa
precisão o valor dos esforços finais, dispensando uma análise de segunda ordem.
d1
dz
MM
1
1∆
−=γ
(6.8)
na qual:
M1d é o momento fletor total de todas as componentes de força horizontal, com seu valor de cálculo, em
relação à base da estrutura (momento de tombamento),
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 99
Texto provisório – Sujeito a alterações
∆Md é a soma dos produtos das forças verticais atuantes em cada pavimento, com os valores de cálculo,
pelos respectivos deslocamentos horizontais, decorrentes das alterações na estrutura indeformada
submetida a ações.
Assim, para um edifício de n pavimentos, com cargas vertical Pid e horizontal FHid, atuantes em
cada um desses n pavimentos, cujos pés-direitos valem hi, como mostrado na Figura 6.5, têm-se:
( )∑ ⋅=∆ iidd aPM (6.9)
( )∑ ⋅= iidd1 hFHM (6.10)
FH
Pn
n
FHi+1
FHi
FH3
FH2
FH 1
i+1P
iP
3P
2P
1P
a n
a i+1
a i
a 3
a 1
a2
h 1
2h
3h
i+1h
nh
a) Painel de contraventamento b) Deformada do contraventamento
nP
i+1P
Pi
P3
P2
P1
Figura 6.5 – Carregamento horizontal e vertical, e deformada do contraventamento.
Os deslocamentos horizontais ai de cada pavimento são calculados aplicando-se as ações horizontais
(forças de arrasto ou desaprumo) na estrutura de contraventamento, e utilizando-se para sua resolução
programas de pórticos planos ou tridimensionais, seguindo-se as recomendações apresentadas no Capítulo 5,
como a consideração da não linearidade física do concreto a partir da redução dos momentos de inércia dos
elementos.
Os valores de cálculo das ações são obtidos multiplicando-se os valores característicos das ações
pelos respectivos coeficientes de ponderação γf. Esses coeficientes estão relacionados a três parcelas:
3f2f1ff γ⋅γ⋅γ=γ
onde:
γ f1 considera a variabilidade das ações
γ f2 considera a simultaneidade das ações
γ f3 considera as aproximações feitas em projeto do ponto de vista das solicitações
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 100
Texto provisório – Sujeito a alterações
Segundo FRANCO & VASCONCELOS (1991) para o cálculo do coeficiente γz, pode-se utilizar:
§ γf = 1,0 para ações verticais (casos gerais)
§ γf = 1,1 para ações verticais (casos especiais)
§ γf = 1,4 para ações horizontais
Para análise de estabilidade, é necessário que o valor de γz encontrado seja comparado com valores
limite. Assim, considera-se a estrutura como de nós fixos se γz ≤ 1,1 (que corresponde, aproximadamente, à
consideração dos esforços de segunda ordem com inferiores a 10% dos de primeira ordem), e nós móveis
em caso contrário, ou seja, γz ≥ 1,1.
Para valores compreendidos entre 1,1 e 1,3, o coeficiente γz poderá ser utilizado como coeficiente
majorador dos efeitos de primeira ordem, avaliando os efeitos finais sem precisar calcular os de segunda
ordem. No caso dos esforços, aqueles a serem considerados no dimensionamento dos elementos devem ser
obtidos pela análise em primeira ordem, multiplicados pelo valor de 0,95γz.
Por fim, para valores de γz ≥ 1,3, os esforços de segunda ordem devem ser obrigatoriamente
determinados por algum outro processo (como o processo rigoroso), devendo ser adicionados aos de primeira
ordem para o dimensionamento dos elementos estruturais.
Assim, resumindo, tem-se:
§ γz ≤ 1,1 considera-se a estrutura de nós fixos ,
§ γz ≥ 1,1 considera-se a estrutura de nós móveis,
§ 1,1 ≤ γz ≤ 1,3 γz pode ser utilizado com coeficiente majorador dos efeitos de 1a. ordem,
§ γz ≥ 1,3 deve-se utilizar outro processo para a avaliação dos efeitos de 2a. ordem.
6.3.3 COMENTÁRIOS
Foi visto que a utilização dos efeitos de segunda ordem para o dimensionamento dos elementos
estruturais pode ser dispensada se eles representarem menos de 10% dos esforços de primeira ordem. A
depender do processo utilizado, essa consideração pode ser verificada a partir do parâmetro de instabilidade
α e do coeficiente γz. No caso do parâmetro α , ele deve ser menor ou igual a α lim; no caso do coeficiente
γz, ele deve ser menor ou igual a 1,1.
Se uma estrutura for considerada de nós fixos, pode-se tratar cada elemento estrutural isoladamente,
dimensionando-o por algum dos métodos já consagrados e previstos em norma. Por outro lado, se a estrutura
for considerada de nós móveis, não são comuns os casos em que o projetista opta por calcular os feitos finais,
já incluindo os de segunda ordem, e utilizá-los para o dimensionamento dos elementos da estrutura. O
procedimento usual é se tentar mudar a estrutura de contraventamento, alterando, por exemplo, a disposição
dos pilares, ou introduzindo pilares-parede, aumentando, desta forma, a rigidez horizontal. A estrutura é, então,
analisada novamente, até que possa ser classificada como de nós fixos.
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 101
Texto provisório – Sujeito a alterações
6.4 EXEMPLOS
Com o objetivo de apresentar a verificação da estabilidade global de estruturas, são apresentados a
seguir dois exemplos. No primeiro, esta verificação é feita para um pórtico simples, já no segundo, tal
verificação é realizada para um edifício.
A resolução dos pórticos dos exemplos foi feita a partir de um programa de pórtico plano, respeitando
as recomendações contidas no Capítulo 5.
6.4.1 EXEMPLO 1
Para o pórtico ilustrado na Figura 6.6, constituído por dois pilares ligados por vigas nos seus vários
níveis, os efeitos de 2ª ordem serão avaliados a partir do parâmetro de instabilidade α e do coeficiente γz.
São dados do pórtico:
§ Fk = 10 KN
§ Pk = 250 KN
§ E = 3,0 x 107 KN/m2
A altura de cada nível é constante e vale 3m, como representado na Figura 6.6. e as características
geométricas das seções transversais dos elementos foram devidamente consideradas na resolução do pórtico.
a) Cálculo do parâmetro de instabilidade α
Para o cálculo do parâmetro α é necessário resolver o pórtico sob a ação de uma carga horizontal de
valor unitário, e uniformemente distribuída ao longo de sua altura. Este procedimento é feito para a
determinação do deslocamento no topo (a), e assim se calcular o módulo de rigidez equivalente (EIeq). Esse
deslocamento vale:
a = 0,0307 m
E, sendo a altura do pórtico igual a 54m, tem-se
0307.08541
a 8H q
)EI(44
eq ⋅⋅==
Portanto,
(EI)eq = 34.621.563,5 kNm2
O somatório de todas as ações verticais atuantes no pórtico (Nk), com seus valores característicos,
vale:
Nk = Σ Pk = 18 × ( 2 × 250) = 9.000 kN
já que se têm duas cargas de 250 kN em cada um dos 18 níveis (ou pavimentos) do pórtico.
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 102
Texto provisório – Sujeito a alterações
Pk Pk
Pk Pk
Pk Pk
Pk Pk
Pk Pk
Pk Pk
Pk Pk
Pk Pk
Pk Pk
Pk Pk
Pk Pk
Pk Pk
Pk Pk
Pk Pk
Pk Pk
Pk Pk
Pk Pk
Pk Pk
Fk
Fk
Fk
Fk
Fk
Fk
Fk
Fk
Fk
Fk
Fk
Fk
Fk
Fk
Fk
Fk
Fk
Fk
18 x 3,00 = 54,0 m
Figura 6.6 – Pórtico do exemplo 1
Pode-se, então, calcular o parâmetro de instabilidade α :
87,05,563.621.34
900054
)EI(N
Heq
k =⋅==α
Como a estrutura de contraventamento neste exemplo é composta apenas de pórtico o valor limite de
α é 0,6 ( 6,0lim =α )
Deste modo, como
α = 0,87 > α lim = 0,6
a estrutura é de nós móveis , e os efeitos de segunda ordem devem ser considerados no dimensionamento
dos elementos.
b) Cálculo do coeficiente γz
No cálculo do coeficiente γz as ações horizontais e verticais devem ser consideradas com seus
valores de cálculos, ou seja, seus valores característicos devem ser majorados pelo coeficiente γ f. Assim,
como, apresentado anteriormente, para as ações horizontais, tem-se:
kN 14 104,1FF kfd =⋅=⋅γ=
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 103
Texto provisório – Sujeito a alterações
E, para as ações verticais, tem-se:
kN 502 2500,1PP kfd =⋅=⋅γ=
Utilizando-se a eq.(6.10), calcula -se o momento na base do pórtico, causado pelas ações horizontais,
que vale:
( )∑ ⋅= iidd1 hFHM
+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= 271424142114181415141214914614314 M d1
541451144814451442143914361433143014 ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+
)181716151413121110987654321(314 M d1 +++++++++++++++++⋅⋅=
⇒ kNm 182.7 M d1 =
Para se determinar ∆Md, dado pela eq.(6.9), é necessário se conhecer os deslocamentos horizontais
dos pavimentos, causados pelas cargas horizontais Fdi. Tais deslocamentos, obtidos a partir da resolução do
pórtico da Figura 6.6, submetido apenas à ação das forças horizontais, em um programa de pórtico plano, são
apresentados na Tabela 1.
Vale ressaltar que as cargas horizontais são consideradas com seus valores de cálculo, para o cálculo
dos deslocamentos apresentados na Tabela 1.
Logo,
( )∑ ⋅=∆ iidd aPM
3509540,0500337013,0500034716,0500016954,0500004663,0500M d ⋅+⋅++⋅+⋅+⋅=∆ L
)3509540,0337013,0034716,0016954,0004663,0(500M d +⋅++⋅+⋅=∆ L
⇒ kNm 1.666,67 M d =∆
Portanto, de posse de M1d e de ∆Md, pode-se calcular o coeficiente γz:
30,1
182.767,666.1
1
1
MM
1
1
d1
dz =
−=
∆−
=γ
Assim, como:
1,1 30,1z >=γ
a estrutura é de nós móveis .
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 104
Texto provisório – Sujeito a alterações
Tabela 1 – Deslocamentos horizontais de cada pavimento do pórtico da Figura 6.6.
Pavimento Deslocamento Horizontal (m)
18 0,35095417 0,337013
16 0,32233215 0,306575
14 0,28950813 0,270985
12 0,25094611 0,229403
10 0,2064529 0,182267
8 0,1571157 0,131364
6 0,1055095 0,080193
4 0,0562433 0,034716
2 0,0169541 0,0046630 0,000000
6.4.2 EXEMPLO 2 (Adaptado de LIMA, 2001)
Como o objetivo deste exemplo é apenas demonstrar como pode ser feita a avaliação da estabilidade
global de um edifício de concreto, modelou-se uma associação plana de painéis de contraventamento.
Para fins didáticos, as ações horizontais consideradas foram apenas as do vento e para a direção X
de incidência, de acordo com as características do edifício e com os critérios já apresentados nos Capítulos 4
e 5 e na NBR 6123 (1987). Para fins de projeto, as forças horizontais fictícias provenientes do desaprumo
devem ser calculadas e comparadas com as duas direções principais de incidência dos ventos (X e Y).
Procurou-se seguir as recomendações do item 5.3.3.a (Capítulo 5). As barras biarticuladas tiveram
comprimento de um metro, e a distância entre os pilares foi tomada de eixo a eixo. Aproveitando a simetria
da estrutura na direção X, modelou-se a associação com apenas metade dos pórticos, evidentemente
tomando-se apenas a metade das cargas aplicadas.
O edifício escolhido, cujo corte esquemático e forma básica do pavimento tipo encontram-se nas
Figuras 6.7 e 6.8, respectivamente, está situado em Salvador. Este edifício tem 14 pavimentos tipo, cobertura
com piscina, play-ground e garagem, sendo que esta se encontra no subsolo (nível 0,0 m). Os pés-direitos e
as alturas dos pavimentos encontram-se na Tabela 6.2.
A resistência característica do concreto à compressão (fck) utilizada foi de 25 MPa.
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 105
Texto provisório – Sujeito a alterações
O módulo de deformação longitudinal secante foi adotado de acordo com a equação apresentada no
item 5.3.4.a. Foram considerados os módulos de rigidez reduzidos 0,5EI para as vigas e 0,8EI para os
pilares, como abordado no Capítulo 4.
A carga vertical total incidente na fundação do edifício é de 79840 kN. As cargas verticais por
pavimento foram dispostas na tabela 6.1.
Figura 6.7 – Corte esquemático do edifício do exemplo 2.
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 106
Texto provisório – Sujeito a alterações
Figura 6.8 – Planta de forma do pavimento tipo do edifício do exemplo 2.
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 107
Texto provisório – Sujeito a alterações
Pórt
ico
Plan
o pa
ra d
ireç
ão X
- de
senh
o es
quem
átic
o {
3215
13o.
pav
207208
14o.
pav
cobe
rtura
17
1516
16
224 223
34
3132
33
35
22
214
6
198199200201202203204205206
11o.
pav
12o.
pav
9o. p
av
10o.
pav
7o. p
av
8o. p
av
5o. p
av
6o. p
av
26
101314
14 13
222 221
1112
12 11
220 219
29
30
31 30
27
28
29 28
8910 9
218 217
78 7
215216
24
25
27 26
23
25 24
P1194 193197 196 195
3o. p
av
4o. p
av
1o. p
av
2o. p
av
play
-gro
und
gara
gem
210212
45
6 5
213
234 3
211
2021
23 22 21
19 1820
P2
12 1
209
P3
17
19 18
225
P4
33
241
52
P5
49
257
69
P6
65
273
86
P7
81
289
103
219
Num
eraç
ão d
os n
ós -
1 a
221
Num
eraç
ão d
as b
arra
s ve
rtic
ais
- 193
a 4
00N
umer
ação
das
bar
ras
hori
zont
ais
- 1 a
192
192
191
221
220
400 399
129
113
P8305
97
120
P9321
137
P1015
4
337
145
P1117
1
353
161
390
182
186
190
189
188
187
218
398
217
397 396
216
215
395
184
185
183
214
394
213
393 391
212
392
211
386
181
180
179
178
388389
210
209
387
208
207
P1218
8
369
177
P13
385
206
205
Figura 6.9 – Associação plana dos painéis de contraventamento, para a direção X
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 108
Texto provisório – Sujeito a alterações
Tabela 6.2 – Pé-direito, altura e carga vertical de cada pavimento do edifício em estudo.
(1) (2)
Pavimento Pé-direto (m) z (m) P (kN)
Cob. 2,90 47,34 7505
14o 2,90 44,44 4389
13o 2,90 41,54 4389
12o 2,90 38,64 4389
11o 2,90 35,74 4389
10o 2,90 32,84 4389
9o 2,90 29,94 4389
8o 2,90 27,04 4389
7o 2,90 24,14 4389
6o 2,90 21,24 4389
5o 2,90 18,34 4389
4o 2,90 15,44 4389
3o 2,90 12,54 4389
2o 2,90 9,64 4389
1o 3,24 6,74 4433PG 3,50 3,50 9023
a) Cálculo do Parâmetro α
§ Força horizontal uniformemente distribuída, arbitrada:
q = 1 kN/m
§ Deslocamentos horizontais na direção X:
ax = Tabela 6.3
§ Módulo de rigidez equivalente para a direção X, segundo a eq. (6.4):
(EI)eqx = 00232080,08
34,471 4
⋅⋅
= 2,71.108 kN.m2
§ Parâmetro α para a direção X, segundo a eq. (6.5):
αx = 81071,2
7984034,47
⋅⋅ = 0,81
§ Valor limite para α , para estrutura de contraventamento composta somente de pórticos, segundo a
NBR 6118 (2003):
αlim x = 0,5
§ Conclusão: α = 0,81 > αlim = 0,5 ⇒ estrutura de nós móveis .
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 109
Texto provisório – Sujeito a alterações
Tabela 6.3 – Deslocamentos horizontais dos pavimentos, causados pela carga q = 1 kN/m
(3) (2) x (3)
Pavimento ax (m) P x ax
Cob. 0,0023208 17,417604
14o 0,0022882 10,042910
13o 0,0022311 9,792298
12o 0,0021582 9,472340
11o 0,0020710 9,089619
10o 0,0019699 8,645891
9o 0,0018548 8,140717
8o 0,0017261 7,575853
7o 0,0015841 6,952615
6o 0,0014292 6,272759
5o 0,0012619 5,538479
4o 0,0010827 4,751970
3o 0,0008925 3,917183
2o 0,0006929 3,041138
1o 0,0004875 2,161088PG 0,0002330 2,102359
∑(P x ax) = 114,914822
b) Cálculo das Forças de Arrasto
§ Velocidade básica do vento, segundo o mapa de isopletas (Capítulo 4) da NBR 6123 (1987):
Vo = 30 m/s
§ Fatores S1, S2 1 e S3, segundo os valores fornecidos pela NBR 6123/88:
S1 = 1,0 (terreno fracamente acidentado)
S3 = 1,0 (edificações para residência)
S2 = Tabela 6.4 (considerando-se categoria IV e classe B)
§ Velocidade característica do vento:
321ok SSSVV ⋅⋅⋅= = Tabela 6.4
1 O fator S2 pode ser obtido através de tabelas ou através de uma expressão fornecida pela NBR 6123 (1987), apresentada no Capítulo 4, aqui adotada e mostrada a seguir, já considerando a categoria IV e a classe B:
125,0
10
z98,085,02S
⋅⋅=
onde z é a altura para a qual se deseja calcular o fator S2.
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 110
Texto provisório – Sujeito a alterações
§ Pressão dinâmica do vento:
2kV613,0q ⋅= = Tabela 6.4
Tabela 6.4 - Valores de S2, velocidade característica e pressão dinâmica
(4) (4) x Vo (5)
Pavimento S2 Vk (m/s) q (kN/m2)
Cob. 1,01 30,4 0,5614o 1,00 30,1 0,56
13o 1,00 29,9 0,55
12o 0,99 29,6 0,54
11o 0,98 29,3 0,53
10o 0,97 29,0 0,52
9o 0,96 28,7 0,50
8o 0,94 28,3 0,49
7o 0,93 27,9 0,48
6o 0,92 27,5 0,46
5o 0,90 27,0 0,45
4o 0,88 26,4 0,43
3o 0,86 25,7 0,41
2o 0,83 24,9 0,38
1o 0,79 23,8 0,35PG 0,73 21,9 0,29
§ Coeficiente de arrasto para a direção X:
Cax = 1,29
§ Áreas efetivas por pavimento para a direção X:
largura = 22,09m
altura = Tabela 6.5
Ae = largura x altura = Tabela 6.5
§ Forças de arrasto para a direção X:
eaa AqCF ⋅⋅= = Tabela 6.5
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 111
Texto provisório – Sujeito a alterações
Tabela 6.5 - Áreas efetivas e forças de arrasto
(6) (7) (8) = Ca x (5) x (7)
Pavimento h (m) Ae (m2) Fa (kN)
Cob. 1,45 32,03 23,33
14o 2,90 64,06 45,93
13o 2,90 64,06 45,16
12o 2,90 64,06 44,35
11o 2,90 64,06 43,50
10o 2,90 64,06 42,59
9o 2,90 64,06 41,61
8o 2,90 64,06 40,57
7o 2,90 64,06 39,43
6o 2,90 64,06 38,19
5o 2,90 64,06 36,82
4o 2,90 64,06 35,26
3o 2,90 64,06 33,48
2o 2,90 64,06 31,35
1o 3,07 67,82 30,34PG 1,62 35,79 13,59
c) Cálculo do Coeficiente γ z
§ Deslocamentos horizontais para a direção X, incidindo-se na estrutura as forças de arrasto Fa,
calculadas anteriormente utilizando-se um programa de pórtico plano:
y = Tabela 6.6
§ ∆Md para a direção X, segundo a eq. (6.9), considerando-se γf = 1,0 para as ações verticais e γf =
1,4 para as ações horizontais:
∆Mdx = 1,4 . 1614,41 = 2260,17 kN.m
§ M1d para as direção X, segundo a eq. (6.10) considerando-se γf = 1,0 para as ações verticais e γf =
1,4 para as ações horizontais:
M1dx = 1,4 . 15998,63 = 22398,08 kN.m
§ Coeficiente γz para a direção X, segundo a eq. (6.8):
11,1
08,2239817,2260
1
1zx =
−=γ
§ Conclusão: 1,111,1zx >==γ ⇒ estrutura de nós móveis .
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 112
Texto provisório – Sujeito a alterações
Tabela 6.5 - Deslocamentos horizontais causados por Fa
(9) (2) x (9) (1) x (8)
Pavimento y (m) P x y Fa x z
Cob. 0,0333786 250,51 1104,5414o 0,0328654 144,25 2041,24
13o 0,0319984 140,44 1876,12
12o 0,0308781 135,52 1713,85
11o 0,0295409 129,66 1554,60
10o 0,0279933 122,86 1398,56
9o 0,0262403 115,17 1245,92
8o 0,0243041 106,67 1096,94
7o 0,0221811 97,35 951,91
6o 0,0198843 87,27 811,18
5o 0,0174277 76,49 675,19
4o 0,0148261 65,07 544,48
3o 0,0120976 53,10 419,81
2o 0,0092747 40,71 302,18
1o 0,0063965 28,36 204,52PG 0,0028808 25,99 47,57
∑(P x y) = 1614,41 ∑(Fa x z) = 15998,63
d) Análise dos Resultados
Considerando-se tanto os valores obtidos para α como para γz, a estrutura é classificada como de
nós móveis na direção X. Isso significa que os efeitos de segunda ordem são significativos quando
comparados aos de primeira ordem, e, portanto, devem ser considerados para o dimensionamento dos
elementos estruturais. Uma maneira prática de se fazer isso é utilizar o γz como majorador dos efeitos de
primeira ordem, multiplicando-os por 0,95 × 1,11=1,06.
Cabe mencionar que nem sempre a classificação sugerida pelos dois métodos é a mesma. É bastante
usual se calcular o parâmetro α e ele apontar a estrutura como de nós móveis, e se calcular o coeficiente γz
e a indicação ser para estrutura de nós fixos. Nesses casos, as simplificações embutidas na formulação do α
são mais significativas e conduz a resultados mais conservadores.
Se o edifício do exemplo estudado neste capítulo tivesse apenas forro de cobertura, poderia -se
considerar a carga vertical deste pavimento como 60% do valor do tipo, cerca de 2634 kN. Mantendo-se os
demais dados do problema e refazendo-se todas as análises efetuadas neste exemplo, seriam encontrados
α = 0,77 e γz = 1,10.
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 113
Texto provisório – Sujeito a alterações
Nesse caso, com o valor determinado para α , a estrutura seria classificada como de nós móveis na
direção X. Com os valores encontrados para γz, a estrutura já poderia ser classificada como de nós fixos
para essa mesma direção. O parâmetro α , então, superestimaria os efeitos de segunda ordem, já que
classifica uma estrutura que pode ser considerada como de nós fixos como de nós móveis. O projetista que
utilizasse este parâmetro ficaria obrigado a realizar uma análise de segunda ordem, que poderia ser
desnecessária.
Se o projetista utilizasse o coeficiente γz, por outro lado, já poderia identificar que a estrutura era de
nós fixos na primeira análise. Com isso, saberia que os esforços de segunda ordem do edifício em questão
não eram, em média, tão significativos a ponto de ser necessária a análise suplementar.
A vantagem do uso do α reside justamente no fato de ser desnecessário se calcular qualquer força
para ser utilizada no modelo (arbitra-se carga unitária uniformemente distribuída). No caso do γz, é
necessário se determinar as forças de arrasto.
Entretanto, para o projeto de edifícios de uma maneira geral, o dimensionamento dos elementos
estruturais é feito considerando-se os esforços totais provocados pela superposição das ações verticais e
horizontais, pelo menos os de primeira ordem. E para se calcular a parcela decorrente da ações horizontais, é
necessário que as forças de arrasto já tenham sido calculadas, mesmo independentemente da análise de
estabilidade global.
Dessa forma, pode-se dizer que os dois métodos demandam praticamente o mesmo tempo, e nenhum
deles fornece resultados contra a segurança das estruturas. Mas pode-se recomendar, sempre que possível, o
uso do coeficiente γz, que além de fornecer resultados mais precisos, ainda pode ser utilizado como
majorador dos efeitos de primeira ordem.
6.5 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (2003). NBR 6118 - Projeto de estruturas de
concreto. Rio de Janeiro.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. (1987). NBR 6123 (NB-599) - Forças devidas
ao vento em edificações. Rio de Janeiro.
BECK, H.; KÖNIG, G. (1966). Restraining forces in the analysis of tall buildings. In: SYMPOSIUM ON
TALL BUILDINGS, Oxford. Proceedings.
FRANÇA, R.L.S. (1985). Exemplo de cálculo do esforço de 2a. ordem em um edifício de concreto armado.
In: REUNIÃO ANUAL DO IBRACON: Colóquio sobre Estabilidade Global das Estruturas de Concreto
Armado, São Paulo. 22-26 jul. Anais.
FRANCO, M. (1985). O parâmetro de instabilidade dos edifícios altos. Revista Portuguesa de Engenharia de
Estruturas, Lisboa, n.23, p.69-72.
ENG 298 – Estática das Construções Notas de Aula - 114
Texto provisório – Sujeito a alterações
FRANCO, M.; VASCONCELOS, A.C. (1991). Avaliação prática dos efeitos de 2a. ordem em edifícios
altos. In: INSTITUTO DE ENGENHARIA. Divisão de Estruturas. Coletânea de trabalhos sobre
estabilidade global e local das estruturas de edifícios. São Paulo, Instituto de Engenharia/TQS. p.55-76.
LIMA, J. S. (1998). Avaliação dos efeitos de segunda ordem em edifícios altos. Escola Politécnica da
Universidade Federal da Bahia. Salvador 1998.
LIMA, J.S. (2001). Verificações da Punção e da Estabilidade Global em Edifícios de Concreto:
Desenvolvimento e Aplicação de Recomendações Normativas. São Carlos. Dissertação (Mestrado) -
Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo.
RAMALHO, M.A.; CORRÊA, M.R.S. Notas de aula da disciplina SET-5869 Análise Estrutural de Edifícios
de Concreto Armado (Contraventamento). Departamento de Engenharia de Estruturas da Escola de
Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo.
VASCONCELOS, A.C. (1985). Critérios para dispensa de consideração do efeito de 2a ordem. In:
REUNIÃO ANUAL DO IBRACON: Colóquio sobre Estabilidade Global das Estruturas de Concreto
Armado, São Paulo. Anais.
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA ESCOLA POLITÉCNICA
DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS ENG 298 – ESTÁTICA DAS CONTRUÇÕES
3ª. UNIDADE
ENG 298 – Estática das Construções 1
LINHAS DE INFLUÊNCIA
1 INTRODUÇÃO
As ações que solicitam uma estrutura podem ser classificadas em:
• Ações permanentes
• Ações variáveis
• Ações excepcionais
Para fins de análise estática, essas ações têm posição e valor conhecidos na estrutura, logo o estudo dos
esforços provocados por elas não apresenta maiores dificuldades.
Existem também as ações móveis, que são aquelas geradas por veículos que percorrem a estrutura (caso
de pontes rodoviárias ou ferroviárias, viadutos, pontes rolantes industriais).
Como, embora tenham valores conhecidos, as posições que ocupam na estrutura variam à medida que
os veículos por elas representados a atravessam.
2 LINHAS DE INFLUÊNCIA
2.1 Definição
Linha de influência de um efeito elástico E qualquer, em uma dada seção S, é a representação gráfica
ou analítica do valor deste efeito naquela seção S, produzido por uma carga concentrada unitária, de cima
para baixo que percorre a estrutura.
Para a viga em balanço, apresentada na figura a seguir, o momento fletor no ponto A quando a carga P
está nos pontos B, 1, 2, 3 e A,vale:
l/4
l
l/4 l/4 l/4
P
A 3 2 1 B
l P MBA −=
43
P M1A
l−=
2 P M
2Al
−= 4
P M3A
l−= 0 AA
M =
Considerando a carga P com um valor unitário (P = 1), tem-se
ENG 298 – Estática das Construções 2
- l/4
- l
- l/2- 3l/4
A 3 2 1 B
Linha de influência de MA
Observa-se, então, que o momento fletor no ponto A, quando a carga unitária P percorre a viga, vale:
y PMA =
onde y é a ordenada da linha de influência do momento fletor do ponto A.
2.2 Viga isostática
a) Linha de influência de reação de apoio
l
P
A Bx
RA RB
A reação de apoio no ponto A é dada por:
l xP
R A =
E pode-se escrever :
y PR A =
Com lx
y = , correspondendo à ordenada da linha de influência.
Logo, para x = 0 → y = 0, e x = l → y = 1
Assim, a linha de influência da reação do apoio A é dada por:
A B
1
Linha de influência de RA
ENG 298 – Estática das Construções 3
A reação de apoio no ponto B é dada por:
( )ll x- P
R B = ou y PR B =
Com l
l xy
−= , correspondendo à ordenada da linha de influência.
Logo, para x = 0 → y = 0, e x = l → y = 1
Portanto, a linha de influência da reação do apoio B é dada por:
A B
1
Linha de influência de RB
(+)
b) Linha de influência de esforço cortante (para a seção S1)
b.1) A carga está entre S1 e B
l
P
A Bx
RA RB
a b
1S
AS RV1
= e l xP
R A =
l xP
V1S = ⇒ y PV
1S = ⇒ l x
y =
Assim, para x = 0 → y = 0, e x = b → lb
y =
E a linha de influência fica da seguinte forma:
A B1S
(+)
Linha de influência de VS1
b / l
ENG 298 – Estática das Construções 4
b.2) A carga P está entre A e S1
l
P
A Bx
RA RB
a b
1S
BS RV1
−= e l xP
R B =
l xP
V1S −= ⇒ y PV
1S −= ⇒ l x
y −=
Assim, para x = 0 → y = 0, ex = a → la
y −=
A B1S
(-) a / l
Linha de influência de VS1 Desta forma, quando a carga P está entre A e B, tem-se:
A B1S(+)
Linha de influência de VS1
b / l
a / l
d
d
b
bd ll
=
1b
bd =⋅=
ll
ENG 298 – Estática das Construções 5
A B1S(+)
Linha de influência de VS1
1
1
(-)
c) Linha de influência de momento fletor
c.1) A carga P está entre S1 e B
l
P
A Bx
RA RB
a b
1S
aRM AS1⋅= e
l xP
R A =
a xP
M1S l
= ⇒ y PM1S = ⇒
la x
y =
Assim, para x = 0 → y = 0, e x = b → lb a
y =
E a linha de influência fica da seguinte forma:
A B1S
(+)
Linha de influência de MS1
ab/l
Processo gráfico:
ENG 298 – Estática das Construções 6
c.2) A carga P está entre A e S1
l
P
A B
x
RA RB
a b
1S
bRM BS1⋅=
l xP
R B =
b xP
M 1S l= ⇒ y PM
1S = ⇒ lb x
y =
Assim, para x = 0 → y = 0, e x = a → lb a
y =
A B1S
(+)
Linha de influência de M S1
ab/l
Desta forma, para a carga P agindo sobre toda a viga, tem-se:
A B1S
(+)
Linha de influência de MS1
ab/l
Processo gráfico:
A B1S
(+)
Linha de influência de M S1
ab/l
a b
d1
d2
ll
la
b
b ad1 == ⇒ ad1 =
ll
lb
a
b ad2 == ⇒ bd 2 =
ENG 298 – Estática das Construções 7
Exemplo : Determinar o valor do momento no ponto A utilizando linhas de influência:
3 tf
A B
2 tf
2,0 m3,0 m 3,0 m
8,0 m
A B2,0 m3,0 m 3,0 m
8,0 m
(-)
y1
y2
8,0 m
2.3 Cargas distribuídas
Seja a viga abaixo
A B
l
dx
a
p
BA
yl
x
tfm21 )5332(MA −=⋅+⋅−=
Por linha de influência:
m 0,3y1 =
m 0,5y2 =
tfm215332y Py PM 2211A −=⋅−⋅−=−−=
ydx pdMA =
∫∫ ==a
0
a
0A dx y pydx pM
[ ] a
0A área pM =
ENG 298 – Estática das Construções 8
Exemplo : Utilizando-se linhas de influência, calcular os esforços solicitantes na seção S1 da viga abaixo.
A B
3,0 m2,0 m 2,0 m
7,0 m
1,5 tf/m
S13,0 m
a) Linha de influência do momento fletor em S1
A BS1
3,0
yy1 2
y
[ ] área pM1S =
( ) ( ) tfm6,0 2
286,071,1
12
71,114,1 5,1M 1S =
⋅+
+⋅+
=
b) Linha de influência do esforço cortante em S1
A B
S11,0
y1
4y
1,02y
y3
[ ] área pV 1S =
( ) ( )
⋅
++⋅
+−= 2
229,057,0
12
29,043,0 5,1V 1S
tf 75,0 V1S =
m 1,71 y 0,4
y0,70,3
=⇒=
m 0,86 y 0,2
y0,70,3
22 =⇒=
m 1,14 y 0,2
y0,7
71,11
1 =⇒=
0,29 y 0,2
y0,70,1
11 =⇒=
0,43 y 0,3
y0,70,1
22 =⇒=
0,57 y 0,4
y0,70,1
33 =⇒=
0,29 y 0,2
y0,70,1
44 =⇒=
ENG 298 – Estática das Construções 9
c) Linha de influência da reação de apoio em A
A B
S11,0 y1
2y
[ ] área pR A =
( ) tf2,25 3
20,290,71
5,1R A =
⋅
+=
d) Linha de influência da reação em B
A BS1
1,0y1 2y
[ ] área pR B =
( ) tf2,25 3
20,290,71
5,1R B =
⋅
+=
3 DEFINIÇÃO DAS AÇÕES MÓVEIS – TRENS-TIPO
Denominam-se trens -tipo (por influência das pontes ferroviárias), veículos ideais definidos pelas
normas de projeto de cada país, que variam dependendo da natureza e da forma de utilização da estrutura, e
que visam representar as ações móveis que agem nas estruturas.
Os trens -tipo são constituídos por cargas (concentradas e/ou uniformemente distribuídas), de valores
conhecidos e guardando uma distância conhecida e constante entre si. Desta forma, conhecida a posição de
uma das cargas do trem-tipo, conhecemos imediatamente a posição de todas as demais.
Exemplo representativo de trem-tipo é dado pela configuração da figura abaixo:
dcba fe
P1 2P 3P 4P 5P
1q 2q
q1, q2, P1, ..., P5, a, b, c, ...,f são grandezas conhecidas e de valor constante
0,71 y 0,5
y0,70,1
11 =⇒=
0,29 y 0,2
y0,70,1
22 =⇒=
29,0 y 0,2
y0,70,1
11 =⇒=
71,0 y 0,5
y0,70,1
22 =⇒=
ENG 298 – Estática das Construções 10
Devido à possibilidade de tráfego nos dois sentidos, supõe-se, em geral, que o trem tipo possa percorrer
a estrutura nos dois sentidos. Os trens tipos mais usuais são aqueles de pontes rodoviárias e pontes
ferroviárias. Para as obras no Brasil, são definidos pela NB-6 e pela NB-7.
Uma vez determinado o trem tipo que atuará na estrutura, pode-se calcular os esforços solicitantes
máximos e mínimos provocados por este, definindo-se, então, entre que valores extremos variarão os
esforços nas seções da estrutura, conhecendo-se, assim, a faixa de trabalho dessas seções.