O Método de Pontos Interiores Aplicado ao Problema do Despacho

Hidrotérmico

Mariana Kleina, Luiz Carlos Matioli,

Programa de Pós Graduação em Métodos Numéricos em Engenharia, UFPR

Departamento de Matemática e Construção Civil, 81531-990, Curitiba, PR

E-mail: marianakleina@hotmail.com, matioli@ufpr.br

Débora Cintia Marcilio, Ana Paula Oening,

Instituto de Tecnologia para o Desenvolvimento (Lactec), 81531-980, Curitiba, PR

E-mail: debora@lactec.org.br, ana.oening@lactec.org.br

Resumo: Este artigo apresenta uma modelagem do problema de otimização do despacho

hidrotérmico. O objetivo geral do modelo é a minimização dos custos envolvidos na geração de

energia elétrica, que engloba o custo de geração térmica e custo de déficit. A metodologia

proposta para resolução deste problema é o Método de Pontos Interiores, o qual é bastante

utilizado em problemas de grande porte, combinado com as ideias do bem conhecido método de

Gauss-Newton em programação não linear. A metodologia é aplicada para um sistema teste

brasileiro, apresentando resultados satisfatórios e ótimo desempenho computacional.

Introdução Neste trabalho é apresentado uma nova metodologia que envolve dois métodos importantes

e bem conhecidos na literatura. A saber, Método de Gauss-Newton [1] e o Método de Pontos

Interiores [9]. O primeiro é, em geral, aplicado na minimização do resíduo em quadrados

mínimos, que é equivalente a um problema de minimização irrestrita (ou na resolução de um

sistema de equações não lineares). Já o segundo tem sido aplicado com sucesso em problemas

lineares e não lineares com restrições. Ambos utilizam o método de Newton. O primeiro faz

uma aproximação da direção de Newton desprezando o termo que envolve a matriz Hessiana da

função objetivo, e em problemas em que a matriz Hessiana não tem grande influência, estes tem

obtido muito sucesso. O segundo utiliza o Método de Newton para resolver o sistema não linear

gerado a cada iteração.

A metodologia proposta consiste no método de Pontos Interiores para a solução do problema

hidrotérmico para o sistema brasileiro. O problema, após modelado, é não linear, não convexo e

envolve restrições de igualdades, desigualdades e limites nas variáveis. Adicionalmente, o

problema apresenta uma restrição, aqui chamada de atendimento a demanda, que é não linear,

com matriz Hessiana difícil de ser calculada analiticamente e sua aproximação é

computacionalmente inviável para a dimensão do problema a ser resolvido. Devido à estrutura

de grafo do modelo, esta matriz é bastante esparsa e em vários testes realizados, constatou-se

que possui pouca influência nos resultados numéricos finais. Portanto, ao desprezar o termo que

envolve a Hessiana da restrição não linear no método de Pontos Interiores faz-se uma espécie de

Gauss-Newton para resolução de sistemas não lineares. Isto não comprometerá a convergência

do método de Pontos Interiores como será analisado no decorrer deste trabalho.

Características do Modelo Hidrotérmico Brasileiro O Brasil é um país privilegiado em termos de disponibilidade de recursos hídricos; em

números [3], 73,60% da produção de energia provém de sistemas hidrelétricos, 26,14% de

sistemas termelétricos e 0,26% de demais sistemas geradores. A água não possui custo e é um

recurso renovável. Entretanto, somente a geração hidrelétrica não atende a demanda dos

consumidores, sendo necessária a utilização das termelétricas, o que envolve um custo de

geração elevado devido ao alto preço dos combustíveis (carvão, gás, petróleo, entre outros).

O sistema elétrico brasileiro é interligado em sua quase totalidade e essa condição de

intercâmbio entre os subsistemas exige um equilíbrio entre a geração térmica e hidrelétrica nas

diversas usinas, visando a operação como um todo, reduzindo assim os custos envolvidos.

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Contudo, a geração hidrotérmica traz consigo um risco associado tanto com incertezas na

demanda de energia quanto nas afluências naturais.

A questão a ser respondida é: quanto gerar de energia através das hidrelétricas a fim de

economizar com combustíveis nas termelétricas e quanto gerar de energia através das

termelétricas a fim de preservar o nível dos reservatórios hidrelétricos?

Atualmente, para médio prazo (5 anos), no caso brasileiro é utilizado o modelo NEWAVE

como base para o despacho hidrotérmico. Porém, este modelo faz diversas simplificações,

devido a metodologia utilizada e a dimensão do sistema brasileiro. Por isso, surgiu a

necessidade de novas tecnologias, que respondam mais realisticamente a situação do parque

brasileiro com relação ao despacho hidrotérmico brasileiro. Esta pesquisa faz parte desta nova

proposta e é financiada pela ANEEL através do Projeto Estratégico de Pesquisa e

Desenvolvimento – ANEEL PE-6491-0108/2009, “Otimização do Despacho Hidrotérmico”,

com o apoio das concessionárias COPEL, DUKE, CGTF, CDSA, BAESA, ENERCAN, CPFL

PAULISTA, CPFL, PIRATININGA, RGE, AES TIETÊ, AES URUGUAIANA,

ELETROPAULO, CEMIG e CESP.

Modelagem Matemática O modelo de programação não linear para o problema de otimização energética é:

(1)

Sujeito à:

(2)

(3)

(4)

(5)

As variáveis envolvidas na descrição do modelo estão relacionadas a seguir:

– geração da usina térmica durante o período [ ];

- volume armazenado no reservatório para o período [ ];

– vazão turbinada do reservatório durante o período [ ];

– vazão vertida do reservatório durante o período [ ];

- intercâmbio de energia na linha i no período [ ];

– déficit do subsistema durante o período [ ].

A função objetivo (1) é de minimização do valor presente dos custos de geração térmica

( é uma função que representa o custo da usina térmica para o período [ ], depende do

tipo de combustível utilizado na usina e é aproximada por um polinômio de grau 2) e de déficit

( é uma função de custo de déficit do subsistema s [ ], representa o impacto causado pelo

não suprimento da demanda de energia e é representada por um polinômio de grau 2), onde é

o coeficiente de valor presente para o período .

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A restrição de balanço hídrico (2) relaciona o volume de um reservatório com o volume do

período anterior, as afluências ao reservatório e as perdas, onde representa a afluência

natural ao reservatório durante o período [ ], representa o conjunto de reservatórios

imediatamente a jusante do reservatório . Para que seja possível realizar as operações

matemáticas em (2), é necessária uma mudança de unidades, transformando o volume de

para . Dessa maneira o volume é multiplicado por , onde e

corresponde ao número de segundos no mês.

A restrição de atendimento a demanda de energia (3) tem por objetivo garantir o

atendimento da carga do subsistema, onde é a demanda de energia no subsistema no

período [ ], representa o conjunto de subsistemas diretamente conectados ao

subsistema , o conjunto de usinas térmicas no subsistema , o conjunto de usinas

hidráulicas no subsistema e é a energia gerada no reservatório r no período t.

A restrição de defluência mínima total para o reservatório (4) garante a utilização dos

recursos hídricos para outras atividades além da geração de eletricidade, como controle de

cheias, navegabilidade de rios, irrigação, etc., onde representa a vazão total mínima de

defluência do reservatório no período [ ].

A restrições de limite das variáveis (5) significam as limitações de: geração termelétrica,

volumes dos reservatórios hidrelétricos, volumes de turbinagem e vertimento, intercâmbio de

energia entre subsistemas e déficit de energia de cada subsistema, respectivamente.

O Método de Pontos Interiores O problema do despacho hidrotérmico, com as características abordadas nessa pesquisa,

quando escrito matematicamente tem o seguinte formato:

(6)

onde é o vetor das variáveis de decisão, que para essa modelagem envolvem: geração

térmica, vazões vertida e turbinada, volume do reservatório, intercâmbio entre subsistemas e

déficit, é a função objetivo não linear, são restrições não lineares que

representam o atendimento à demanda, e são restrições lineares que

representam respectivamente o balanço hídrico e defluência total, e finalmente

representam os limites inferior e superior das variáveis de decisão,

O método adotado para resolver o problema energético é o Método de Pontos Interiores para

programação não linear. Primeiramente, acrescentam-se variáveis de folga não negativas r, s, t

nas desigualdades no problema original (8), assim como em [7] e [8].

(7)

Penalizam-se as variáveis que devem ser não negativas acrescentando a função Barreira

logarítmica na função objetivo do problema:

(8)

onde é o parâmetro barreira e tende a zero quando se aproxima da solução ótima.

A função Lagrangeana associado ao problema penalizado é:

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(9)

onde são os multiplicadores de lagrange,

As condições de otimalidade de primeira ordem, também conhecidas como condições de

Karush-Kuhn-Tucker (KKT), [5], [6] e [9], são condições necessárias que uma solução ótima

deve satisfazer, são aplicadas ao problema, resultando num sistema não linear. O método de

Newton é então aplicado, resultando em um sistema linear a ser resolvido:

(10)

onde d é a direção de Newton, é o gradiente da função Lagrangeana (9), , é a matriz Jacobiana da restrição , , , , , e são

matrizes diagonais, com os elementos diagonais dados, respectivamente, pelas componentes do

vetores , , , , e , e representa a matriz identidade de tamanho apropriado.

Após alguns cálculos, reduz-se o sistema (10) no seguinte sistema linear:

(11)

onde F é um vetor constante, ,

(12)

onde é uma matriz diagonal composta pelos elementos do vetor . As matrizes

são definidas de modo análogo. Resolvendo o sistema (11), encontram-se e

. Com isso, encontram-se as demais direções.

Depois de encontrada a direção de Newton, calcula-se o comprimento do passo que será

dado nessa direção a fim não violar a não negatividade de algumas variáveis. Por último,

atualiza-se o parâmetro barreira , onde na literatura existem heurísticas que sugerem fórmulas

alternativas para sua atualização (ver [7] e [8]). Neste trabalho está sendo utilizada a seguinte

fórmula:

(13)

Repete-se o processo, até que o ponto encontrado satisfaça algum critério de parada.

Uma grande dificuldade em se aplicar o método ao problema do despacho, como descrito

acima, é o cálculo da matriz Hessiana das restrições não lineares (2). Esta restrição é a soma de

dois polinômios de quarto grau, um calculado no volume médio e o outro na soma das variáveis

vazões vertida e turbinada; o polinômio resultante é multiplicado pela variável vazão turbinada.

Logo, o cálculo exato da matriz Hessiana é bastante complexo, sendo este feito por

aproximação. Porém, esse cálculo aproximado exige um esforço computacional muito grande e

é requerido em cada iteração do método de Pontos Interiores, deixando o método lento e

conforme a dimensão do problema aumenta, a resposta é cada vez mais demorada.

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Sabe-se que se a matriz dos coeficientes em (11) é inversível, então o sistema têm solução e

ela é única. Segundo [4], para que isto ocorra, deve ser positiva definida (o que, conforme

a proposta apresentada a seguir, será provado) e deve ter posto coluna completo, o que neste

trabalho estará sendo suposto como verdadeiro.

A proposta feita aqui é usar a ideia do método de Gauss-Newton, que desconsidera

informações de segunda ordem do problema, isto é, elimina-se o termo que envolve a matriz

Hessiana das restrições não lineares na equação (12), isto é

(14)

Lema 1: Sejam , , , ,

e com dados respectivamente em (7),

(9) e (10); a função objetivo dada em (1) e a matriz dos coeficientes das

restrições de desigualdades lineares do problema (7). Então os seguintes itens são verdadeiros:

i. e , ou seja, são matrizes positivas definidas;

ii. , ou seja, é positiva definida;

iii. , ou seja, a matriz Hessiana de é positiva definida.

Prova:

i. e são matrizes diagonais com elementos positivos, logo são positivas

definidas ;

ii. Seja , então:

iii. é positiva definida pois a função é a soma de dois polinômios de segundo

grau com os coeficientes do termo quadrático sendo positivos. Logo é convexa e sua

matriz Hessiana é positiva definida.

Teorema 1: A matriz do sistema reduzido (11), dada na relação (14), é positiva definida.

Prova: De fato, seja e , então por (21):

Do Lema 1, segue que é a soma de matrizes positivas definidas, logo

Testes Computacionais e Análise dos Resultados Nesta seção, será abordada a implementação da metodologia proposta nesta pesquisa. Uma

vez que o Teorema 1 garante que a direção de Newton pode ser determinada, o sistema reduzido

(11) e consequentemente, o sistema (10) terá solução, a menos de erros de arredondamentos

(computacionais). Toda a modelagem matemática, assim como o Método de Pontos Interiores

foram implementados em Matlab® 7.10.0 (R2010a).

Neste trabalho, os resultados que serão apresentados referem-se a um sistema teste

composto por 21 usinas hidrelétricas, 32 térmicas e 3 subsistemas. O período considerado foi de

janeiro de 1952 a janeiro de 1957, que foi um período de afluências baixas. O subsistema 1 é

composto por 10 hidrelétricas, 18 térmicas com demanda total de 13740 MWmês. O subsistema

2 é composto por 10 hidrelétricas, 14 térmicas com demanda total de 9918 MWmês. O

subsistema 3 não possui demanda pois é composto apenas pela usina hidrelétrica de Itaipu, a

qual somente gera energia, que pode ser utilizada no subsistema 1 e subsistema 2.

O ponto para o método segue a premissa de que toda a afluência é turbinada. Os volumes

iniciais dos reservatórios são tomados como sendo o volume máximo e os volumes finais devem

ficar entre 70% e 100% do volume máximo. Os parâmetros usados na implementação do

algoritmo são: , os multiplicadores de Lagrange e as variáveis de folga são

inicializadas como vetores de 1’s de tamanhos apropriados. As condições de KKT ou um

número máximo de iterações foram adotados como critério de parada. Os gráficos a seguir são

dados em Energia (MWmês) x Tempo (mês).

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Figura 1. Soma da geração hidráulica no Figura 2. Soma da geração hidráulica no

subsistema 1. subsistema 2.

Figura 3: Geração hidráulica do subsistema 3.

o volume turbinado está no máximo. Percebe-se também que em períodos que antecedem

grandes afluências, os reservatórios são esvaziados para acomodar as afluências futuras ou se as

afluências futuras serão escassas, o nível dos reservatórios é preservados de modo a garantir a

geração de energia através das usinas hidráulicas.

Figura 4. Soma da geração térmica no Figura 5. Soma da geração térmica no

subsistema 1. subsistema 2.

As Figuras 4 e 5 mostram a geração térmica dos subsistemas 1 e 2 respectivamente, que em

vários períodos gerou o máximo possível de energia para atender a demanda. Isso se justifica

pois como já mencionado, o período considerado é de afluências baixas.

Figura 6. Intercâmbio de energia entre os

subsistemas 1 e 2.

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Geração ótima Geração máxima

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Geração ótima Geração máxima

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Geração ótima Geração máxima

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Geração ótima Geração mínima

Geração máxima

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Geração ótima Geração mínima

Geração máxima

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Intercâmbio ótimo Intercâmbio máximo

Intercâmbio mínimo

A Figura 6 mostra o intercâmbio de

energia elétrica (energia hidráulica e energia

térmica) entre os subsistemas 1 e 2. Valores

positivos do intercâmbio representam

energia saindo do subsistema 1 e chegando

no subsistema 2. Valores negativos

representam justamente o contrário, isto é,

energia saindo do subsistema 2 para o

subsistema 1.

As Figuras 1, 2 e 3 representam,

respectivamente , a soma da energia elétrica

gerada pelas usinas hidráulicas dos

subsistemas 1, 2 e 3. É importante lembrar

que as usinas estão sendo consideradas

individualmente e a geração das usinas foi

somada somente para melhor visualização.

Quando os reservatórios das usinas são

analizados individualmente, tem-se que o

vertimento de água ocorre quando os

reservatórios estão em seu limite superior e

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Figura 7. Intercâmbio de energia entre os Figura 8. Intercâmbio de energia entre os

subsistemas 1 e 3. subsistemas 2 e 3.

A Figuras 7 e 8 mostram o intercâmbio de energia entre o subsistema 3 e os subsistemas 1 e

2. Como o subsistema 3 é puramente gerador, composto somente pela usina de Itaipu, não há

energia chegando neste subsistema, somente saindo.

Conclusão Muitos trabalhos em despacho hidrotérmico tendem a simplificar o problema com o

objetivo de alcançar um modelo mais simples, possivelmente linear. Para resolver o

problema de despacho hidrotérmico não linear, como é o caso deste, buscou-se um

algoritmo eficiente que dê respostas rápidas e precisas. O método de Pontos Interiores,

combinado com ideias dos métodos de Gauss-Newton, mostrou-se bastante eficaz quando

aplicado a este problema. Não trabalhar com informações de segunda ordem da restrição não

linear não afetou a convergência do método, conforme visto, e fez com que o método obtivesse

ótimo desempenho computacional. A metodologia proposta nesta pesquisa foi testada para

diversos períodos e demandas de energia diferentes e os resultados obtidos foram muito bons e

o objetivo principal é aplicá-la a todo sistema elétrico brasileiro.

Referências [1] J. E. Dennis, R. B. Shnabel, "Numerical methods for Unconstrained Optimization and

Nonlinear Equations", SIAM, Philadelphia, 1983.

[2] A. S. El-Bakry, R. A. Tapia, T. Tsuchiya, Y. Zhang, On the formulation and theory of the

Newton Interior-Point method for nonlinear programming, J. Optim. Theory Appl., vol. 89, pp.

507-541, (1996).

[3] EPE - Empresa de Pesquisa Energética (Brasil), Brazilian Energy Balance 2011. Disponível

em: https://ben.epe.gov.br/downloads/Relatorio_Final_BEN_2011.pdf, acesso em 18/11/2011.

[4] G. H. Golub, C. F. Van Loan, "Matrix Computations", Johns Hopkins Studies in the

Mathematical Sciences, Baltimore e Londres, 1996.

[5] D. G. Luenberger, "Linear and Nonlinear Programming", Springer, Nova York, 2005.

[6] J. Nocedal, S. Wright, "Numerical Optimization", Springer, Nova York, 2005.

[7] V. H. Quintana, G. L. Torres, On a nonlinear multiple-centrality-corrections interior-

point method for optimal power flow, IEEE Transactions on Power Systems, vol.16 , pp.

222-228, (2001).

[8] R. J. Vanderbei, D. F. Shanno, An Interior-Point Algorithm for Nonconvex Nonlinear

Programming, Comp. Optim. Appl., vol 13, pp. 231-252, (1999).

[9] S. J. Wright, "Primal-Dual Interior-Point Methods", SIAM, Philadelphia, 1997.

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