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Min Z= 3x1 -4x2 + x3x1+x2+x3<=102x1+x2-x3<=20
Afrânio Murolo Pesquisa Operacional
Modelo Equivalente
Maximizar ( -Z ) = -3x1 +4x2 –x3
sa: x1+x2+x3 <= 10 2x1+x2-x3<=20 x1,x2,x3>=0
Problema da variável livreSe alguma variável do modelo não possuir a
condição de não negatividade, podemos substituí-la pela diferença de outras variáveis não negativas.
Um número qualquer pode ser escrito como a diferença de dois números positivos.
Max Z = x1 + 2x2 + x3sa: x1 + x2 + x3 < = 10 2x1 + 3x2 <= 20
X1>=0 , x2 livre
Variável livreX2 livre, logo X2 = X4 - X5 ( ambos >=
0)Substituindo no modelo anterior, temos o
modelo equivalente:
Max X1 + 2X4 – 2X5 + X3
sa : x1 + x4 –x5 + x3 <= 10 2x1 + 3x4 -3x5 <= 20X1 >= 0, x4>= 0 , x5>= 0, x3 >=0
Método SimplexModelos estudados até o momento se utilizaram de
restrições do tipo <= cm os termos de b ( a direita positivos ).
Novo Problema :1) Restrição do tipo >= Neste caso a variável de folga é subtraída e seu
valor é negativo. 2) Restrição do tipo = Neste caso não introduziremos a variável de folga.3) Para as situações 1 e 2 acrescentaremos
variáveis auxiliares ai , formando um novo modelo
ExemplificaçãoMax Z = x1 + x2 + x32X1+ X2 + X3 <= 10X1 + X2 + 2X3 > = 202X1 + X2 + 3X3 = 60
A) Introduzindo as variáveis de folga:2X1+ X2 + X3 + XF1 = 10X1 + X2 + 2X3 - XF2 = 202X1 + X2 + 3X3 = 60
ExemploB) Introduzindo as variáveis auxiliares ai ( a2 e
a3), correspondentes às 2ª e 3ª restrições do tipo ( >= e = ), respectivamente.
2X1+ X2 + X3 + XF1 = 10X1 + X2 + 2X3 - XF2 + a2 = 202X1 + X2 + 3X3 +a3 = 60C) Reescrevendo a função Objetivo pelo método
do M grande. Neste caso, acrescentamos as variáveis auxiliares com coeficientes –M2 e –M3, sendo M2 e M3 números grandes.
Z = X1 + X2 + X3 ( original)Z = X1 + X2 + X3 -M2a2 - M3a3 ( M
grande )
Método do M grande Z = X1 + X2 + X3 -M2a2 - M3a3
( M grande )O modelo passa a ser maximizado á medida
que z cresce e por conseqüência as variáveis auxiliares
A2 e a3 deixam a base.
Modelo auxiliar (M grande )Max Z = X1 + X2 +X3 -M2a2 - M3a32X1+ X2 - X3 + XF1 = 10X1 + X2 + 2X3 - XF2 + a2 = 202X1 + X2 + 3X3 +a3 = 60
Solução básica inicial : variáveis básicas XF1=10 , a2=20 , a3=60 e todas as outras variáveis não básicas todas nulas ( x1=0, x2=0, x3=0 e XF2=0
Z X1 X2 X3 XF1 XF2 a2 a3 b
1 -1 -1 1 0 0 M2 M3 00 2 1 1 1 0 0 0 100 1 1 2 0 -1 1 0 200 2 1 3 0 0 0 1 60
Retorno ao Modelo Original1)Deveremos nesta modelagem eliminar
as variáveis auxiliares ( a2 e a3 )
2)Retornar ao modelo original que apresenta solução básica, composto pelas variáveis originais.
3)Variáveis básicas ( coeficientes nulos na linha de Z) variáveis não básicas ( coeficientes diferentes de zero na linha de Z)
Quadro inicial para a nova solução: Vb ( XF1=10,a2=20,a3=60) e VNB (x1=x2=x3=XF2=0)
Z X1 X2 X3 XF1 XF2 a2 a3 b
1 -1 -1 -1 0 0 M2 M3 00 2 1 -1 1 0 0 0 100 1 1 2 0 -1 1 0 200 2 1 3 0 0 0 1 60
Cálculo da Nova soluçãoVariável que entra na base é X3 ( coef. ( -1) )Neste caso escolhemos qq uma das variáveis. variável que sai :10 : -1 = -1020 : 2 =10 sai variável da 3ª linha60 : 3 = 20LP: 3ª linha ; pivô =2 NLP = LP / 2 = 0 0,5 0,5 1 0 -0,5
0,5 0 10
Nova solução:CÁCULO DA NOVA 1ª LINHANLP
0 0,5 0,5 1 0 -0,5
0,5 0 10
X (1)
0 0,5 0,5 1 0 -0,5
0,5 0 10
+ 1ª linha
1 -1 -1 -1 0 0 M2 M3 0
S=nova 1ª linha
1 -0,5
-0,5
0 0 -0,5
M2 M3 0
Cálculo da nova 2ª linha: coficiente da variável que entra ( X3) é - 1
NLP
0 0,5 0,5 1 0 -0,5
0,5
0 10
X( 1)
0 0,5 0,5 1 0 -0,5
0,5
0 10
+2ª l
0 2 1 -1 1 0 0 0 10
S 0 2,5 1,5 0 1 -0,5
0,5
0 20
Novo quadro incluindo todas as linhasZ x1 x2 x3 XF1 XF2 a2 a3 b
1 -0,5
-0,5
0 0 -0,5
M2 M3 0
0 2,5 1,5 0 1 -0,5
0,5 0 20
0 0,5 0,5 1 0 -0,5
0,5 0 10
0 0,5 -0,5
0 0 1,5 -1,5
1 30
Solução:Variáveis básicas:
X3=10 XF1= 20 e a3=30
Variáveis não básicasX1=X2=XF2=a2=0
Z=10 O processo terá continuidade, pois a2 e a3 continuam na base
Cálculo da nova soluçãoVariável que entra: entra XF2 ( coeficiente -0,5)
Variável que sai : 20 / - 0,5 = -40 não 10 / -0,5 = - 20 não 30 / 1,5 = 20 ----- sai variável
da quarta linha.LP : 4ª linha Pivô : 1,5 NLP ( já / por 1,5)
0 0,333 - 0,333 0 0 1 -1 0,667 20ida
A partir deste instante todos os cálculos incluem seqüências já conhecidas pelo estudante.
Novo quadro considerando todas as novas linhas
Z x1 x2 x3
XF1 XF2 a2 a3 b
1 -0,333
-0,667
0 0 0 M2 M3 20
0 2,667
1,333
0 1 0 0 0,333
30
0 0,667
0,333
1 0 0 0 0,333
20
0 0,333
-0,333
0 0 1 -1 0,67
20
Solução do quadro anterior
VB : X3 = 20 XF1 =30 XF2 = 20
VNB : X1=X2=a2=a3=0Como a2= a3= 0, logo A solução básica é
formada pelas variáveis originais. Portanto podemos abandonar as variáveis a2 e a3 auxiliares.
Variáveis auxiliares excluídas, a2=a3=0Z x1 x2 x3 XF1 XF2 b
1 -0,333
-0,667 0 0 0 20
0 2,667
1,333 0 1 0 20
0 0,667
0,333 1 0 0 20
0 0,333
-0,333 0 0 1 20
Cálculo da solução ótimaObservando o quadro anterior verifica-se:Variável que entra X2 coeficiente -0,667 )
Variável que sai :30/ 1,3333 = 22,5 sai var. de 2ª linha XF1Lp: segunda linhaPivô : 1,3333NLP( LP/1,333) : 0 2 1 0 0,75 0 22,5Os passo seguintes envolvem os cálculos da
1ª , 3ª e 4ª linhas:
Quadro final do modelo otimizadoZ x1 x2 x3 XF1 XF2 b
1 1 0 0 0,5 0 35
0 2 1 0 0,75
0 22,5
0 0 0 1 -0,25
0 12,5
0 1 0 0 0,25
1 27,5
Solução ótimaVB : X2 = 22,5 X3 = 12,5 XF2 = 27,5
VNB : X1 = 0 XF1 = 0
Z = 35
A solução é ótima
Digitação do programaMax x1 + x2 + x3 2x1 + x2 - x3 <= 10x1 + x2 + 2x3 >= 202x1 + x2 + 3x3 = 60
Min = Minimização
Quadro inicial do software ----- ITERAÇÃO 0 DA FASE I ******* SOLUÇÃO BÁSICA ******* F1 = 10 A2 = 20 A3 = 60 ##### W = -80 VARIÁVEIS : X1 X2 X3 F1 F2 A2 A3 F.OBJETIVO: -3 -2 -5 0 1 0 0 RESTR. 1 : 2 1 -1 1 0 0 0 RESTR. 2 : 1 1 2 0 -1 1 0 RESTR. 3 : 2 1 3 0 0 0 1 VARIÁVEL ENTRANTE : X3 VARIÁVEL SAINTE : A2
Quadro final utilizando programa ******* SOLUÇÃO BÁSICA ******* X2 = 45/2 X3 = 25/2 F2 = 55/2 ##### Z = 35 VARIÁVEIS : X1 X2 X3 F1 F2 F.OBJETIVO: 1 0 0 1/2 0 RESTR. 1 : 2 1 0 3/4 0 RESTR. 2 : 0 0 1 -1/4 0 RESTR. 3 : 1 0 0 1/4 1 A ÚLTIMA SOLUÇÃO É ÓTIMA
Análise Econômica
No programa de produção para o próximo período, a empresa Beta Ltda. , escolheu Três produtos P1,P2 e P3. O Tableau a seguir mostra os valores solicitados por unidade de produção.
Produto ContribuiçãoLucro/unidade.
Horas de trabalho
Horas deUso de máquina
Demanda Máxima
P1 2.100 6 12 800P2 1.200 4 6 600P3 600 6 2 600
Análise Econômica: Modelo
Modelo de ProduçãoOs preços de venda foram fixados por decisão
política e as demandas foram estimadas tendo em vista esses preços. A firma pode obter um suprimento de 4.800 horas de trabalho durante o período de processamento e pressupõe-se usar três máquinas que podem prover 7.200 horas de trabalho.
Estabelecer um programa ótimo de produção para o período.
Modelagem da programação da produçãoA) Modelo linear:VD: x1=qtde de produção de P1 x2=qtde de produção de P2 x3=qtde de produção de P3Objetivo é maximizar o L =2100x1 + 1200x2 + 600x3 sa : HT) 6x1 + 4x2 + 6x3 + xF1
=4800 HM) 12x1 + 6x2 +2x3 +xF2
=7200 DM) x1 + xF3 =
800 DM) x2 +xF4 =600 DM) x3 +xF5
=600
Variáveis de Folga
XF1 = sobra de recursos de horas de trabalho
Xf2 = sobra de recursos de hora/máquina
XF3=sobra de recurso mercado P1XF4=sobra de recurso mercado P2XF5=sobra de recurso mercado P3
Quadro inicial do simplexZ x1 x2 x3 xF1 xF2 xF3 xF4 xF5 b1 -
2100-1200
-600 0 o 0 0 0 0
0 6 4 6 1 0 0 0 0 48000 12 6 2 0 1 0 0 0 72000 1 0 0 0 0 1 0 0 8000 0 1 0 0 0 0 1 0 6000 0 0 1 0 0 0 0 1 600
Quadro final: solução ótimaZ x1 x2 x3 xF1 xF2 xF3 xF4 xf
5b
1 0 0 0 50 150 0 100 0 1.380.000
0 0 0 1 0,2 -0,1 0 -0,2 0 1200 1 0 0 -0,03 0,1 0 -0,47 0 2800 0 0 0 0,03 -0,1 1 0,47 0 5200 0 1 0 0 0 0 1 0 6000 0 0 0 0,2 0,1 0 0,2 1 480
Quadro final otimizado1) apresenta VB e VNB2)A função Objetivo está escrita em termos das
variáveis não básicas 3) vb (coefs. Nulos)4)O valor das variáveis básicas estão na coluna b5) ) O coeficiente da variável não básica na fç
objetivo mede a tendência do objetivo para aquela variável
É um valor marginal, indica a variação proporcional no objetivo para pequenos aumentos ou diminuições unitárias na variável.
Posteriormente, em análise de sensibilidade poderemos verificar até quantas unidades podemos aumentar ou diminuir da variável, sem alterar a informação contida em seu coeficiente.
Esses coeficientes são chamados de preços de oportunidade.
No quadro final, a solução é ótima. Um aumento de zero para 1 na variável não básica prejudica o objetivo:
Lucros diminuemCustos aumentam
Solução OtimizadaX1= 280 unidades de P1X2= 600 unidades de P2X3= 120 unidades de P3 Recursos disponíveis após o programa:520 unidades do mercado P1 :( Dm=800)-
(x1=280)=520 0 unidades do mercado P2 : (Dm=600)-
(x2=600)=0
120 unidades do mercado P3: (Dm=600)-(x3=120)=480
XF1 = 50 - é igual ao preço de oportunidade do recurso “ horas de trabalho” ( coeficiente de XF1 no
quadro = 50) e indica que:Se conseguirmos mais uma hora de trabalho aos
custos correntes poderemos aumentar nosso lucro em 50, isto é, poderemos obter uma nova solução
ótima com lucro de 13.080.050.Se uma hora a mais de trabalho acarreta o
pagamento de adicional extra,o valor 50 indica o limite máximo deste adicional
Z x1 x2 x3 xF1 xF2 xF3 xF4 xF5
b
1 0 0 0 50 150 0 100 0 1380000
Análise de xF1Exemplificando: se o adicional for de 20, a
nova hora de trabalho implicará uma nova solução com lucro de 30 a mais que o anterior, determinando um lucro de
$13.080.030Se houver falta de uma hora de trabalho, o
lucro fica diminuído em 50, caso não haja alteração no custo.
Se esta falta de 1 hora de trabalho, for caracterizada pela ausência de um funcionário que não terá sua hora descontada, deve-se acrescentar este prejuízo causado por sua ausência
Análise de xF2O preço de oportunidade do recurso “ horas de
máquina” ( coeficiente de xF2 = 150), indica que:Uma hora a menos de máquina, o que
equivale a dizer xF2 = 1, acarreta uma diminuição no lucro de $ 150. Portanto a nova solução ótima nesse caso seria de
13.079.850.Uma hora a mais de máquina a ser
contratada, adicionada aos custos correntes, significa um acréscimo de $ 150 no lucro :
No caso de aluguel de uma hora máquina de terceiros, o preço de oportunidade 150 indica o máximo que podemos pagar pelo aluguel além de nosso custo corrente.
Análise de xF1( recurso hora máquina)
Exemplificando: Se nosso custo corrente for de $ 500, então alugar uma hora máquina por menos de $ 650 tende a aumentar cada vez mais nosso lucro.
Esse aumento de lucro corresponde à diferença entre
$ 650 e o valor do aluguel. ( pv = pc + L )Pv = 500 + 150 = 650 ou l =pv – pc =650 –
500 = 150Aluguel = 60$ L = pv – pc = 650 – ( 500+60)
=$90
Xf3( preço de oportunidade do recurso “mercado de P1”O coeficientes xF3 = 0 indica que este recurso
não é escasso. O mesmo ocorre com o preço de oportunidade do recurso “ mercado de P3 ( xF5=0).
Isto nos leva a rever os investimentos nos mercados desses dois produtos:
P1 --- Dm = 800 u e P3 --- Dm = 600 uX1= 280 u x2= 120 u Observação:Folgas não proporcionam lucroRecursos disponível Recursos disponível XF3= 520 unidades de P1 XF5 = 480 unidades
de P3
XF3 (P1) e XF5(P3)Uma diminuição desses investimentos com
conseqüente diminuição no mercado destes produtos ( p1 e P3) não afetará nossas vendas , causando um aumento nos lucros.
Dm P1 <=800 e DM P2<=600Lembrando que : XF1=520 e XF3 =480 sobra
de recursos ( ociosidade ). Outra forma de aumentar o lucro destes
produtos seria aumentar o preço de venda dos mesmos, diminuindo os mercados correspondentes sem afetar as vendas, desde que o mercado não diminua aquém da produção
XF4(Preço de oportunidade da unidade de recurso”mercado P2”Lembrando que x1=600 D<=600 , logo XF4 = 0.O aumento de 1 unidade desse mercado, acarreta
um aumento de $ 100 no lucro, isto é , a nova solução seria de 1.380.100
Da mesma forma, o cancelamento de 1 unidade na compra implica em um prejuízo de $ 100, além do custo normal da unidade deste produto.
Observação : O departamento de MKT estima em 80$ o investimento adicional para aumentar em uma unidade o mercado deste produto P2, logo :
RL ou RSI = 100 – 80 = $ 20
CustosCustos correntes :também denominados
custos de reposição. Representam o custo necessário para repor um item no local.
Custos primários ou diretos : estão associados diretamente à produção, sendo aqueles incluídos de forma objetiva no cálculo dos produtos ou serviços comercializados. Consistem nos materiais diretos usados na fabricação do produto e mão- de -obra direta. Ex: aço para fabricar chapas, salários de operadores, etc ( são mensuráveis )
Utilizando o programaMax 2100x1 + 1200x2 + 600x36x1 + 4x2 +6x3 <= 480012x1 +6x2 + 2x3 <= 7200x1 <= 800x2 <=600x3 <=600
Solução Ótima----- ITERAÇÃO 3 DA FASE II******* SOLUÇÃO BÁSICA ******* X3 = 120 X1 = 280 F3 = 520 X2 = 600 F5 = 480 ##### Z = 13
Solução Ótima do tableau VARIÁVEIS : X1 X2 X3 F1 F2 F3 F4 F5 F.OBJETIVO: 0 0 0 50 150 0 100 0 RESTR. 1 : 0 0 1 1/5 -1/10 0 -1/5 0 RESTR. 2 : 1 0 0 -1/30 1/10 0 -7/15 0 RESTR. 3 : 0 0 0 1/30 -1/10 1 7/15 0 RESTR. 4 : 0 1 0 0 0 0 1 0 RESTR. 5 : 0 0 0 -1/5 1/10 0 1/5 1 A ÚLTIMA SOLUÇÃO É ÓTIMA