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8/18/2019 Ok Bizu Matematica Financeira
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BIZU – MATEMÁTICA FINANCEIRA - BACENPROFESSOR: GUILHERME NEVES
Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 1
Olá, pessoal.
Tudo bem?
Meu nome é Guilherme Neves e agora darei algumas dicas e farei algunsresuminhos de Matemática Financeira para o seu concurso do BACEN (Analista– Área 5).
Doravante vamos considerar que C é o capital aplicado, n é o número deperíodos (tempo), i é a taxa de juro, J é o juro e M é o montante. Lembre-seque, em qualquer regime de capitalização, M=C+J.
Nos juros simples, temos as seguintes relações:
∙ ∙
∙ (1 + )
As unidades de tempo de referência do período de aplicação e da taxadevem ser iguais.
Assim, se a taxa for mensal, o tempo deverá ser expresso em meses;se a taxa for bimestral, o tempo deverá ser expresso em bimestres;E assim sucessivamente.
Caso a taxa e o período de aplicação não estejam expressos na mesmaunidade de tempo, é preciso primeiro expressá-los na mesma unidade, antesde utilizar as fórmulas.
Exemploi=3% a.m.n=150 dias.Neste caso, antes de utilizarmos as fórmulas, devemos expressar i e n namesma unidade. O mais simples, neste, é expressar ambos em meses. Assim,teremos:
i=3% a.m. n= 5 meses
(FUB 2011/CESPE-UnB) Com relação ao regime de juros simples, julgue oitem a seguir.
Uma aplicação de R$ 1.000,00 à taxa de 1,2% ao mês, durante 24 dias, rende juros de R$ 10,00.
Resolução
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período é de R$ 500.000,00, ou seja, o montante é de R$ 2.500.000,00.
A taxa é de 1,1% ao mês. Apliquemos a fórmula.
∙ (1 + )
2.00.000 2.000.000 ∙ (1 + 1,1%)
Vamos “cortar” esse mundo de zeros, porque isso já está me dando agonia(kkkkk...). Podemos cortar 5 zeros.
2 20 ∙ (1,011)
1,2 1,011
Pronto. A parte de Matemática Financeira do problema acabou aqui. Daqui emdiante, o problema é de Matemática. Temos que resolver esta pequena
equação exponencial. Para tanto, devemos “logaritmar” os dois membros daequação.
- Guilherme, como assim “logaritmar”???
Como 1,25 é igual a 1,011, então os seus logaritmos em qualquer basetambém serão iguais.
O enunciado forneceu logaritmos na base “e”, ou seja, os logaritmosneperianos. O número “e” é um número muito importante em Matemática evale aproximadamente 2,71.
O logaritmo neperiano é representado por “ln”.
1,2 1,011
E agora uma propriedade muito importante dos logaritmos. Sempre que vocêtiver um expoente no logaritmando, ou seja, “dentro do logaritmo”, você pode
“tirá-lo” multiplicando o logaritmo. Veja como fica.
1,2 ∙ 1,011
Assim,
,
,
Esses valores foram fornecidos no enunciado.
,
,
,
0,011
Para efetuar esta divisão, devemos igualar a quantidade de casas decimais edepois apagar as vírgulas.
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0,220
0,011
220
11 20
Letra E
Então, pessoal, prestem muita atenção nesta questão. Se o problema envolver juros compostos e ele pedir o tempo (n), o que fazer? Devemos logaritmar osdois lados da equação na base que for dada no enunciado e aplicar apropriedade do logaritmo da potência, ok?
O nosso objetivo nas operações de juros é levar um valor presente para umvalor futuro. Quem “leva” o capital inicial para o futuro é a taxa de juros.Podemos nos interessar também em trazer um valor futuro para o presente.Neste caso, a operação é de desconto.
Desconto é o abatimento que se faz no valor de uma dívida quando elaé negociada antes da data de vencimento. Notas promissórias, duplicatas,letras de câmbio são alguns documentos que atestam dívidas e são chamadostítulos de créditos. Esses títulos apresentam os seguintes conceitos de valores:
Valor Nominal, Valor de Face,Valor Futuro (N)
É o valor que está escrito notítulo. É o valor que deve serpago na data do vencimento.
Valor Atual, Valor Presente,
Valor Líquido, ValorDescontado (A)
O valor líquido é obtido pela
diferença entre o valor nominal eo desconto.
Desconto (D)Desconto é o abatimento quese faz no valor de uma dívidaquando ela é negociada antesda data de vencimento. É adiferença entre o valornominal e o valor atual.
O cálculo do desconto pode ser feito por dois critérios. Existe o desconto
racional, também chamado de desconto por dentro. O desconto racional é odesconto “teoricamente” correto. Existe também o desconto comercial oudesconto por fora. É o desconto sem fundamentação teórica, mas muitopraticado no mercado financeiro. Pode ainda ser simples ou composto. Issogera quatro tipos de descontos:
Desconto Racional Simples Desconto Racional Composto Desconto Comercial Simples Desconto Comercial Composto
Em qualquer modalidade de desconto, temos sempre que D = N – A.
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Além disso, sabe-se que a taxa do desconto comercial simples incide sobre ovalor nominal. E a fórmula que envolve o valor líquido e o valor de face é dadapor
(1 ) N i n= ⋅ − ⋅ 2,5
1 2100
A N
= ⋅ − ⋅
0,95 N = ⋅ Faremos agora uma capitalização simples em que o capital inicial é igual a A eo montante é igual a N.
(1 )C i n= ⋅ + ⋅
(1 ) N A i n= ⋅ + ⋅ 0,95 (1 2) N N i= ⋅ + ⋅
1 0,95 (1 2)i= ⋅ + ⋅ 1 0,95 1,9 i= + ⋅
1,9 0, 05i⋅ =
0,05 5%
100%1,9 1,9
i = ⋅ =
2,63%i ≅
Bem mais trabalhoso, não !? Então, acho bom você memorizar afórmula da taxa efetiva!!
1 −
Finalmente, precisamos saber as fórmulas de Rendas Certas.
Valor Futuro ou Montante de uma renda certa (F)
∙(1 + ) − 1
O número ()
é denominado fator de valor futuro de séries uniformes ou
fator de acumulação de capitais em uma série de pagamentos.
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O número ()
é representado por (, ).
Dessa forma, temos as seguintes expressões para a fórmula do valor futuroem rendas certas:
∙
(1 + ) − 1
∙
Valor Atual ou Valor Presente de uma renda certa (A)
(1 + )
∙(1 + ) − 1
∙ (1 + )
O número ()
()
∙
é denominado fator de valor atual de séries uniformes ou
simplesmente fator de valor atual.O número ()
()∙ é representado por (, ).
Dessa forma, temos as seguintes expressões para a fórmula do valor atual emrendas certas:
∙(1 + ) − 1
∙ (1 + ) ∙
Agora uma informação muito importante. Existe uma outra forma de escrevero fator de valor atual de rendas certas. Esta outra maneira costuma ser
bastante utilizada pelo CESPE.
1 − (1 + )
Você utilizará esta outra maneira sempre que for fornecido uma potência de(1+i) com expoente negativo.
Ficamos por aqui, pessoal. Espero que vocês façam uma excelente prova etenham muito sucesso.
Um forte abraço,
Guilherme Neves
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