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Os teoremas do confronto e doanulamento

Aula 7 Cálculo I 19

O teorema do confronto

Se f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) quando x está próximo de p (exceto possivelmente em p) e

limx→p

f (x) = L = limx→p

entãolimx→p

g(x) = L.

Teorema

Este teorema também é conhecido como o teorema do sanduíche.

O teorema do confronto

Se f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) quando x está próximo de p (exceto possivelmente em p) e

limx→p

f (x) = L = limx→p

entãolimx→p

g(x) = L.

Teorema

Este teorema também é conhecido como o teorema do sanduíche.

Exemplo

Mostre que limx→0

x2 sen(

Solução. Temos que para todo x 6= 0, −1 ≤ sen(1/x) ≤ +1. Logo, para todox 6= 0,

−x2︸︷︷︸f (x)

≤ x2 sen(

)︸︷︷︸

≤ +x2︸︷︷︸h(x)

Como limx→0(−x)2 = 0 = limx→0(+x2), segue-se pelo teorema do confrontoque

limx→0

x2 sen(

Exemplo

Mostre que limx→0

x2 sen(

Solução. Temos que para todo x 6= 0, −1 ≤ sen(1/x) ≤ +1. Logo, para todox 6= 0,

−x2︸︷︷︸f (x)

≤ x2 sen(

)︸︷︷︸

≤ +x2︸︷︷︸h(x)

limx→0

x2 sen(

O teorema do anulamento

Se y = f (x) é uma função limitada em torno de um ponto p elimx→p g(x) = 0, então

limx→p

(f (x) · g(x)) = 0.

Teorema

Exemplo

Mostre que limx→0

x2 sen(

Solução.

Temos que para todo x 6= 0, −1 ≤ sen(1/x) ≤ +1. Logo, y = f (x) =sen(1/x) é uma função limitada em D = R− {0}.

Se y = g(x) = x2, então limx→0 g(x) = limx→0 x2 = 0.

Segue-se então pelo teorema do anulamento que

limx→0

(f (x) · g(x)) = limx→0

)x2 = lim

x→0x2 sen

Exemplo

Mostre que limx→0

x2 sen(

Solução.

Temos que para todo x 6= 0, −1 ≤ sen(1/x) ≤ +1. Logo, y = f (x) =sen(1/x) é uma função limitada em D = R− {0}.

Se y = g(x) = x2, então limx→0 g(x) = limx→0 x2 = 0.

Segue-se então pelo teorema do anulamento que

limx→0

(f (x) · g(x)) = limx→0

)x2 = lim

x→0x2 sen

Exercício [35] da página 110 do livro do Stewart

Estude limx→0

x4 cos(

Solução. Temos que para todo x 6= 0, −1 ≤ cos(2/x) ≤ +1. Logo, multipli-cando estas desigualdades por x4 para x 6= 0, vemos que

−x4 ≤ x4 cos(

)≤ +x4.

limx→0

x4 cos(

Estude limx→0

x4 cos(

−x4 ≤ x4 cos(

)≤ +x4.

limx→0

x4 cos(

Estude limx→0

x4 cos(

−x4 ≤ x4 cos(

)≤ +x4.

limx→0

x4 cos(

Estude limx→0

x4 cos(

−x4 ≤ x4 cos(

)≤ +x4.

limx→0

x4 cos(

Estude limx→0

x4 cos(

−x4 ≤ x4 cos(

)≤ +x4.

limx→0

x4 cos(

Estude limx→0

x4 cos(

−x4 ≤ x4 cos(

)≤ +x4.

limx→0

x4 cos(

Estude limx→0+

√x 2sen(π/x).

Solução. Temos que para todo x 6= 0, −1 ≤ sen(π/x) ≤ +1. Logo, exponen-ciando, vemos que

2−1 ≤ 2sen(π/x) ≤ 2+1.

Isto mostra que y = f (x) = 2sen(π/x) é uma função limitada. Agora, comolimx→0+

√x = 0, segue-se pelo teorema do anulamento que

limx→0+

√x 2sen(π/x) = 0.

Estude limx→0+

√x 2sen(π/x).

2−1 ≤ 2sen(π/x) ≤ 2+1.

limx→0+

√x 2sen(π/x) = 0.

Estude limx→0+

√x 2sen(π/x).

2−1 ≤ 2sen(π/x) ≤ 2+1.

limx→0+

√x 2sen(π/x) = 0.

Estude limx→0+

√x 2sen(π/x).

2−1 ≤ 2sen(π/x) ≤ 2+1.

limx→0+

√x 2sen(π/x) = 0.

Estude limx→0+

√x 2sen(π/x).

2−1 ≤ 2sen(π/x) ≤ 2+1.

limx→0+

√x 2sen(π/x) = 0.

Estude limx→0+

√x 2sen(π/x).

2−1 ≤ 2sen(π/x) ≤ 2+1.

limx→0+

√x 2sen(π/x) = 0.

Limites infinitos e assíntotas verticais

Exemplo

f (x) =1x2

x q(x)

− 0.1000 100− 0.0100 10 000− 0.0010 1 000 000− 0.0001 100 000 000+ 0.0000 não está definida+ 0.0001 100 000 000+ 0.0010 1 000 000+ 0.0100 10 000+ 0.1000 100

Exemplo

f (x) =1x2

x q(x)

Exemplo

f (x) =1x2

x q(x)

Exemplo

f (x) =1x2

x q(x)

Exemplo

f (x) =1x2

x q(x)

Exemplo

f (x) =1x2

x q(x)

Exemplo

f (x) =1x2

x q(x)

Exemplo

f (x) =1x2

x q(x)

Exemplo

f (x) =1x2

x q(x)

Exemplo

f (x) =1x2

x q(x)

Exemplo

limx→0

1x2 = +∞.

Limite infinito (de um ponto de vista informal)

Seja f uma função definida em ambos os lados de p, excetopossivelmente em p. Dizemos que

limx→p

f (x) = +∞

se podemos fazer os valores de f (x) ficarem arbitrariamentegrandes (tão grandes quanto quisermos) por meio de umaescolha adequada de x nas proximidades de p, mas não iguala p.

Definição

Exemplo

limx→0− 1

x2 = −∞.

Limite infinito (de um ponto de vista informal)

Seja f uma função definida em ambos os lados de p, excetopossivelmente em p. Dizemos que

limx→p

f (x) = −∞

se podemos fazer os valores de f (x) ficarem arbitrariamentegrandes, porém negativos, escolhendo-se valores de xpróximos de p, porém diferentes do próprio p.

Definição

Limites laterais infinitos

Definições análogas podem ser dadas no caso de limites laterais:

limx→p+

f (x) = +∞, limx→p+

f (x) = −∞,

limx→p−

f (x) = +∞, limx→p−

f (x) = −∞.

Exemplo

limx→3+

1x − 3

= +∞ e limx→3−

1x − 3

= −∞.

Assíntota vertical

A reta x = p é uma assíntota vertical do gráfico de y = f (x) sepelo menos uma das seguintes condições estiver satisfeita:

limx→p+

f (x) = +∞, limx→p+

f (x) = −∞,

limx→p−

f (x) = +∞, limx→p−

f (x) = −∞.

Definição

Exemplo

As assíntotas verticais de y = tg(x) sãox = +π/2, x = −π/2, x = +3π/2, x = −3π/2, etc.

Exemplo

A assíntota vertical de y = ln(x) é a retax = 0 (o eixo y ).

Determine o limite infinito limx→5+

6x − 5

Solução. Temos que se x → 5+, então x − 5 → 0+ e, conseqüentemente,6/(x − 5)→ +∞. Assim:

limx→5+

6x − 5

= +∞.

Determine o limite infinito limx→5+

6x − 5

Solução. Temos que se x → 5+, então x − 5 → 0+ e, conseqüentemente,6/(x − 5)→ +∞. Assim:

limx→5+

6x − 5

= +∞.

Determine o limite infinito limx→(−π/2)+

sec x .

Solução. Temos que se x → (−π/2)+, então cos(x) → 0+ e, conseqüente-mente, sec(x) = 1/ cos(x)→ +∞. Assim:

limx→(−π/2)+

sec(x) = +∞.

Determine o limite infinito limx→(−π/2)+

sec x .

Solução. Temos que se x → (−π/2)+, então cos(x) → 0+ e, conseqüente-mente, sec(x) = 1/ cos(x)→ +∞. Assim:

limx→(−π/2)+

sec(x) = +∞.

Exercício

Determine as assíntotas verticais de f (x) =1

x2 − 1.

Solução. Se p 6= +1 e p 6= −1, então limx→p f (x) = f (p) = 1/(p2−1) que nãoé +∞ e nem −∞. Assim, qualquer reta da forma x = p com p 6∈ {−1,+1}não é uma assíntota vertical de f . Agora

limx→+1+

1x2 − 1

= +∞,

pois se x → +1+, então x2− 1→ 0+ e, sendo assim, 1/(x2− 1)→ +∞. Istomostra que x = +1 é uma assíntota vertical de f .

Exercício

x2 − 1.

limx→+1+

1x2 − 1

= +∞,

Exercício

x2 − 1.

limx→+1+

1x2 − 1

= +∞,

Exercício

x2 − 1.

limx→+1+

1x2 − 1

= +∞,

Exercício

x2 − 1.

limx→+1+

1x2 − 1

= +∞,

Exercício

x2 − 1.

limx→+1+

1x2 − 1

= +∞,

Exercício

x2 − 1.

limx→+1+

1x2 − 1

= +∞,

Exercício

x2 − 1.

limx→+1+

1x2 − 1

= +∞,

Exercício

x2 − 1.

limx→+1+

1x2 − 1

= +∞,

Exercício

x2 − 1.

limx→+1+

1x2 − 1

= +∞,

Exercício

x2 − 1.

limx→+1+

1x2 − 1

= +∞,

Exercício

Para p = −1, temos que

limx→−1+

1x2 − 1

= −∞,

pois se x → −1+, então x2− 1→ 0− e, sendo assim, 1/(x2− 1)→ −∞. Istomostra que x = −1 também é uma assíntota vertical de f .

Observação. Não é necessário calcular o outro limite lateral para mostrarque x = −1 é uma assíntota vertical. Contudo, para registro, temos que

limx→−1−

1x2 − 1

= +∞,

pois se x → −1−, então x2 − 1→ 0+ e, sendo assim, 1/(x2 − 1)→ +∞.

Exercício

limx→−1+

1x2 − 1

= −∞,

limx→−1−

1x2 − 1

= +∞,

Exercício

limx→−1+

1x2 − 1

= −∞,

limx→−1−

1x2 − 1

= +∞,

Exercício

limx→−1+

1x2 − 1

= −∞,

limx→−1−

1x2 − 1

= +∞,

Exercício

limx→−1+

1x2 − 1

= −∞,

limx→−1−

1x2 − 1

= +∞,

Exercício

limx→−1+

1x2 − 1

= −∞,

limx→−1−

1x2 − 1

= +∞,

Exercício

limx→−1+

1x2 − 1

= −∞,

limx→−1−

1x2 − 1

= +∞,

Exercício

limx→−1+

1x2 − 1

= −∞,

limx→−1−

1x2 − 1

= +∞,

Exercício

limx→−1+

1x2 − 1

= −∞,

limx→−1−

1x2 − 1

= +∞,

Exercício

limx→−1+

1x2 − 1

= −∞,

limx→−1−

1x2 − 1

= +∞,

Exemplo

limx→+2

[g(x)/f (x)] =

x→−2g(x)

x→−2f (x)

)= 0/2 = 0.

Exemplo

limx→+2

[g(x)/f (x)] =

x→−2g(x)

x→−2f (x)

)= 0/2 = 0.

Exemplo

limx→+2

[g(x)/f (x)] =

x→−2g(x)

x→−2f (x)

)= 0/2 = 0.

Exemplo

limx→+2+

[f (x)/g(x)] = +∞ pois, quando x → +2+, g(x)→ 0+ e f (x)→ + 2−.

Exemplo

limx→+2+

Exemplo

limx→+2+

Exemplo

limx→+2+

Exemplo

limx→+2+

Exemplo

limx→+2−

[f (x)/g(x)] = −∞ pois, quando x → +2−, g(x)→ 0− e f (x)→ + 2+.

Exemplo

limx→+2−

Exemplo

limx→+2−

Exemplo

limx→+2−

Exemplo

limx→+2−

Exemplo

limx→+2

[f (x)/g(x)] não existe, não é +∞ e nem é −∞!

Exemplo

limx→+2

Exemplo

limx→+2

Exemplo

limx→+2

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