Post on 27-Mar-2020
PreUnAB
Universidad Andres Bello Teorema de Euclides
Teorema de EuclidesClase # 17
Universidad Andres Bello
Octubre 2014
Universidad Andres Bello Teorema de Euclides
Teorema de Pitagoras
Teorema general de Pitagoras para el triangulo rectangulo
Si ABC es triangulo rectangulo en C, con a y b, catetos, y chipotenusa, entonces:
a2 + b2 = c2
Universidad Andres Bello Teorema de Euclides
Teorema de Pitagoras
Ejemplo
En la figura, ABC rectangulo en C. Con las medidas dadas, elvalor del cateto x es igual a:
Aplicando Pitagoras:
152 + x2 = 172 → x2 = 172 − 152
x2 = 64→ x = ±8
Se considera 8 positivo, porque x representa el cateto del triangulo.
Universidad Andres Bello Teorema de Euclides
Teorema de Euclides
Teorema de Euclides para la altura del triangulo rectangulo:
Si ABC es triangulo rectangulo en C, y h su altura, que definesobre la hipotenusa los segmentos p y q, entonces:
h2 = p · q
Universidad Andres Bello Teorema de Euclides
Teorema de Euclides
Ejemplo
En la figura, PQR es triangulo rectangulo en R. Calcular la alturah:
Aplicando el teorema de Euclides:
h2 = 4 · 9→ h2 = 36
h = ±6
Se considera 6 positivo, porque h representa la altura del triangulo.
Universidad Andres Bello Teorema de Euclides
Teorema de Euclides
Teorema de Euclides y los lados del triangulo rectangulo
Si ABC es triangulo de catetos a y b e hipotenusa c, rectanguloen C y h es altura, entonces, segun el teorema de Euclides secumple que:
a2 = p · (p+ q)
b2 = q · (p+ q)
Ademas:
h =a · bc
Universidad Andres Bello Teorema de Euclides
Teorema de Euclides
Ejemplo:
En la figura, PQR es triangulo rectangulo en R. Si PR = 6 yQR = 8 , calcular la altura h.
Solucion: Por el teorema de Pitagoras se calcula PQ:
PQ =√62 + 82 → PQ = 10
Entonces, por el teorema de Euclides:
h =6 · 810→ h = 4, 8
Universidad Andres Bello Teorema de Euclides
Teorema de Euclides
Teorema de Euclides y proporcionalidad en el triangulo rectangulo
En la figura, ABC es triangulo rectangulo en C, y h su alturaproyectada sobre la hipotenusa.
Si en un triangulo ABC rectangulo en C se traza la altura hcorrespondiente a la hipotenusa, los triangulos rectangulos queresultan son semejantes entre sı y semejantes al triangulo dado.
Universidad Andres Bello Teorema de Euclides
Teorema de Euclides
Esto es:
•4ADC v 4CDB •4ADC v 4ACB •4CDB v 4ACB
Es decir, se cumplen las proporcionalidades:
• AD
h=
h
DB• AD
h=
h
DB• AC
AB=
AD
AC
Universidad Andres Bello Teorema de Euclides
Teorema de Euclides
Ejemplo: En la figura, PQR es triangulo rectangulo en R.
Si PR = 7 y QR = 24 , calcule PQ y h. Ademas, calcule PSaplicando semejanza de triangulos.
Universidad Andres Bello Teorema de Euclides
Teorema de Euclides
Ejemplo: En la figura, PQR es triangulo rectangulo en R.
Si PR = 7 y QR = 24 , calcule PQ y h. Ademas, calcule PSaplicando semejanza de triangulos.
PQ puede ser calculado mediante el teorema de Pitagoras
PQ =√
72 + 242 = 25
Ahora, para calcular la altura h:
PS
6, 72=
7
24→ PS =
6, 72 · 724
= 1, 96
Universidad Andres Bello Teorema de Euclides
Ejercicios
Ejercicio 1:
En la figura, ABC triangulo rectangulo en C, con altura h = 6cm.Si AD = 4, el valor de DB es:
Universidad Andres Bello Teorema de Euclides
Ejercicios
Solucion: Incorporamos los datos en la figura
Aplicando el Teorema de Euclides:
62 = 4x
x =36
4
x = 9cm
Universidad Andres Bello Teorema de Euclides
Ejercicios
Ejercicio 2:
En la figura, PQR triangulo escaleno, con altura h. Es posibledeterminar si PQR es o no rectangulo en R, si:
(1)h : b = c : h
(2)a+ d > b+ c
Universidad Andres Bello Teorema de Euclides
Ejercicios
Ejercicio 3:
En la figura, se ven los triangulos ABC y PQR .Es posibledeterminar si 4ABC ' 4PQR, sabiendo que:
(1)h : b = c : h
(2)a+ d > b+ c
A) (1) por sı sola.B) (2) por sı sola.C)Ambas juntas (1) y (2)D) Cada una por sı sola (1) o (2)E) Se requiere informacion adicional
Universidad Andres Bello Teorema de Euclides
Ejercicios
Solucion Ejercicio 3:
Utilizando(1) h : b = c : hSi se despeja h, queda: h2 = b · c, que es el teorema de Euclides,valido para triangulos rectangulos.
Conclusion:
Por lo tanto (1) por sı misma, permite lo solicitado
Universidad Andres Bello Teorema de Euclides
Ejercicios
Solucion Ejercicio 3:
Utilizando(2) (2)a+ d > b+ cEste enunciado, aunque es verdadero para todo triangulo, nopermite establecer si R es o no angulo recto.
Conclusion:
Por lo tanto (2) por sı sola, no permite determinar lo solicitado. Laalternativa correcta es A.
Universidad Andres Bello Teorema de Euclides
Ejercicios
Ejercicio 1:
En la figura, L1 y L2 son rectas paralelas intersectadas por lastransversales L3 y L4, que a su vez se intersectan en P . Con losvalores de la figura encuentre el valor de x.
Universidad Andres Bello Teorema de Euclides
Ejercicios
Solucion:
De acuerdo a la figura, se trata de proporcionalidad de trazos,solucionable mediante el teorema de Thales.
5
6=
x
9
5 · 96
= x
15
2= x
Universidad Andres Bello Teorema de Euclides
Ejercicios
Ejercicio 2:
En la figura, L1 y L2 son rectas paralelas. Las transversales L3yL4se intersectan en P . Con los valores dados en la figura, encuentreel valor de x
Universidad Andres Bello Teorema de Euclides
Ejercicios
Solucion:
De acuerdo a la figura, se trata de proporcionalidad de trazosmediante el teorema de Thales.
5
x=
6
18
x =90
6
x = 15
Universidad Andres Bello Teorema de Euclides
Ejercicios
Ejercicio 3:
En la figura, ABC es triangulo. Si DE es paralelo a BC ,entonces, con los valores dados, la medida de x, es:
Universidad Andres Bello Teorema de Euclides
Ejercicios
Solucion:
Como DE//BC , es aplicable el teorema de Thales:
2, 5
2=
7, 5
x
x =15
2, 5
x = 6
Universidad Andres Bello Teorema de Euclides
Adelanto
Proximo Jueves:
Jueves 9 de octubre, 17:30 Proporcionalidad en la circunferencia.
Mas Informacion y Ejercicios :
www.preunab.cl
Universidad Andres Bello Teorema de Euclides