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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE
MINAS GERAIS
Programa de Pós-graduação em Ensino de Ciências e Matemática
GEOMETRIA TÁXI – UMA EXPLORAÇÃO ATRAVÉS DE ATIVIDADES
DIDÁTICAS
Sulamita Maria Comini César
Belo Horizonte
2010
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Sulamita Maria Comini César
GEOMETRIA TÁXI – UMA EXPLORAÇÃO ATRAVÉS DE ATIVIDADES
DIDÁTICAS
Dissertação apresentada ao Programa de Pós graduação em
Ensino de Ciências e Matemática da Pontifícia Universidade
Católica de Minas Gerais, como requisito parcial à obtenção do
título de Mestre em Ensino de Ciências e Matemática.
Orientadora: Drª Eliane Scheid Gazire
Belo Horizonte
2010
FICHA CATALOGRÁFICA
Elaborada pela Biblioteca da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
César, Sulamita Maria Comini
C421g Geometria táxi – uma exploração através de atividades didáticas / Sulamita
Maria Comini César. Belo Horizonte, 2010.
96 f.: il.
Orientadora: Eliane Scheid Gazire
Dissertação (Mestrado) - Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais.
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática.
1. Geometria não-euclidiana. 2. Geometria euclidiana. 3. Aprendizagem por
atividades. 4. Matemática – Estudo e ensino (Ensino médio). 5. Professores -
Formação. I. Gazire, Eliane Scheid. II. Pontifícia Universidade Católica de Minas
Gerais. Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática. III.
Título.
CDU: 513:373
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Sulamita Maria Comini César
GEOMETRIA TÁXI:
Uma exploração através de atividades didáticas
Dissertação apresentada ao Programa de
Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática
da Pontifícia Universidade Católica de Minas
Gerais, como requisito parcial para obtenção
do título de Mestre em Ensino de Ciências e
Matemática.
Eliane Scheid Gazire
_____________________________________________________
Eliane Scheid Gazire (Orientadora) - PUC Minas
Dimas Felipe de Miranda
_____________________________________________________
Dimas Felipe de Miranda – PUC Minas
Luiz Carlos Almeida Magalhães
______________________________________________________
Luiz Carlos Almeida Magalhães – PUC Minas
Belo Horizonte, 10 de dezembro de 2010.
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A Deus: porque é dele que vem a força para nos manter na caminhada, mesmo
em momentos difíceis.
À Thais e ao Flávio: pessoas tão importantes na minha vida.
À minha mãe: aquela que me cobrou sempre o cumprimento dos meus
compromissos.
À minha irmã Maria Eugênia: que foi a primeira pessoa a me incentivar a
fazer esse mestrado.
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AGRADECIMENTOS
Agradecer é sempre muito bom, significa que muitas pessoas se ocuparam em nos
ajudar a alcançar nossos objetivos.
As primeiras pessoas que quero agradecer são a minha orientadora Eliane e o meu co-
orientador, o Dimas. Ela às vezes brava e exigente, mas sempre carinhosa. Ele
acreditando sempre que daríamos conta de chegar ao final, mesmo com todas as pedras
encontradas pelo caminho. Vocês dois são pessoas iluminadas. Fazem o seu trabalho,
ultrapassando o limite do orientador profissional, para o orientador de vida.
Agradecer aos meus filhos, que tantas vezes me ajudaram com seus conselhos e
orientações, de forma especial à minha filha Thais que se propôs a ler o trabalho e fazer
a tradução do resumo. Thais e Flavinho, muito obrigada! Amo muito vocês.
Agradecer a minha irmã Maria Eugênia, que me ligou de Ponte Nova, quando viu o
cartaz de propaganda do mestrado e me disse que ele havia sido feito para mim.
Agradecer à minha mãe que sempre me incentivou e me ajudou.
Não posso deixar de agradecer de forma muito especial à minha grande amiga Luciana.
Ela sempre esteve ao meu lado me incentivando, me ouvindo, me consolando nos
momentos de desespero, quando eu achava que não chegaria ao final. Lu, você tem um
lugar especial no meu coração.
Agradecer também
Aos meus colegas de mestrado, Jane, Dora, Patrícia, Dárcio, Alessandro,
Geraldo e Raimundo, cada um a seu jeito sempre me deram uma palavra de
incentivo.
Ao professor João Bosco. Talvez nem ele saiba a importância que teve para a
minha permanência no curso. Suas palavras, em um dia que eu estava muito
desanimada, fizeram que eu repensasse a minha decisão de parar.
Á professora Maria Clara que nos desafiou todo o tempo, para que crescêssemos
como profissionais.
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Ao professor Amauri que nos ensinou que a vida não pode ser vivida de forma
complicada. Ele sempre dizia “ é só isso”. E essa frase foi muito importante para
mim.
Á professora Agnela que nos mostrou um jeito muito especial de relacionar com
alunos.
Á professora Lídia, que me despertou para o estudo da Filosofia.
Aos colegas das turmas III e IV, do Mestrado Profissional da Puc minas, que
participaram da nossa pesquisa, contribuindo de forma essencial para
alcançarmos o nosso objetivo.
Aos colegas e funcionários do Departamento de Matemática da Puc,
especialmente ao Fábio, à Margareth e à professora Lourdinha.
Às minhas irmãs Cibele, Mirtes, Níobe e Ceres que sempre torceram pelo meu
sucesso.
À minha querida amiga Beth, que sempre foi uma irmã para mim.
Às minhas grandes amigas Cleuza, Gilda, Mary, Maú e Natália pelas constantes
palavras de estímulo. Cada uma de vocês contribuiu de uma forma para me
incentivar nas horas que pensei que não daria conta de chegar ao final.
Aos meus cunhados Alexandre, André, Aninha, Breno, Márcia e Jussara que
cobravam sempre a data da minha defesa.
À dona Carmen que me incentivou desde o início desse meu curso.
Ao meu querido Renato, pessoa muito especial na minha vida, que soube dizer
as palavras certas, na hora certa.
Enfim, a todos que, de uma forma ou de outra, contribuíram para que eu
chegasse até aqui.
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“O que vale na vida não é o ponto de partida e sim a caminhada.
Caminhando e semeando, no fim terás o que colher.”
Cora Coralina
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RESUMO
Esse trabalho tem como objetivo a construção de atividades para o ensino da
Geometria Táxi. Nesse trabalho, a exploração da Geometria Táxi foi feita
através de um paralelo com a Geometria Euclidiana, destacando seus pontos em
comum e seus pontos de divergência. A compreensão da Geometria Táxi pode
favorecer sua implementação em cursos regulares de matemática, no ensino
fundamental e médio, possibilitando aos alunos dessa faixa etária a oportunidade
de conhecer uma Geometria não Euclidiana. Para a elaboração desse trabalho foi
feito, inicialmente, um estudo teórico da Geometria Táxi tendo como referência
os autores Krause (1975) e Miranda (1999). Os autores utilizados como
referência para o estudo da Geometria Euclidiana foram Antar Neto (1979) e
Dolce e Pompeo (2005). Após apropriação desses conhecimentos, foram
elaboradas atividades didáticas que foram aplicadas a professores universitários,
que fizeram suas críticas e sugestões. A conclusão a que se chegou foi que
apesar das ponderações feitas, a utilização da Geometria Táxi é possível em
cursos regulares de matemática no Ensino Básico.
Palavras chave: Geometria Táxi, Formação de Professores, Ensino de
Matemática
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ABSTRACT
This work aims at the construction of activities for the teaching of Taxi Geometry. In
this work, the exploration of Taxi Geometry was made through a comparison with
Euclidean Geometry, highlighting their commonalities and their points of divergence.
The understanding of Taxi Geometry can encourage its implementation in math regular
courses in elementary and secondary education, enabling students of this age group the
opportunity to meet a non-Euclidean Geometry. For the elaboration of this work it was
proceeded, initially, a theoretical study of Taxi Geometry with reference to the authors
Krause (1975) and Miranda (1999). The authors used as reference for the study of
Euclidean Geometry were Antar Neto (1979) and Dolce and Pompeo (2005). After
appropriation of this knowledge, didactic learning activities were developed and applied
to university teachers, who made their criticisms and suggestions. The reached
conclusion was that although the considerations presented, the use of Taxi Geometry is
possible in regular courses in mathematics in elementary and secondary school.
Keywords: Taxi Geometry, Teacher Education, Math Teching
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LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Postulado número 5 de Euclides.......................................................... 23
Figura 2 - Por um ponto P fora de uma reta r passa mais de uma reta paralela à reta r 24
Figura 3 - Reta perpendicular a BCDE .................................................................. 25
Figura 4 - Circunferência formada por apenas dois pontos .................................. 27
Figura 5 - d(X1,X2) + d(X2,X3) > d(X1,X3) ............................................................ 29
Figura 6 - d(X1,X2) + d(X2,X3) = d(X1,X3) ............................................................ 30
Figura 7 - d(X1,X2) + d(X2,X3) < d(X1,X3) ............................................................ 30
Figura 8 - Ponto, reta e plano – conceitos primitivos da geometria euclidiana .. 33
Figura 9 - Pontos, retas e planos com as notações convencionadas .................. 33
Figura 10- Malha quadriculada ........................................................................... 34
Figura 11- Pontos A, B e C, localizados na malha quadriculada ....................... 34
Figura 12- Blocos na malha quadriculada .......................................................... 34
Figura 13- Pontos adjacentes e pontos não adjacentes ....................................... 35
Figura 14- Bloco AB incidente com os pontos A e B e Bloco CD não é
incidente com ponto E........................................................................
35
Figura 15- Viagem redonda ................................................................................ 36
Figura 16- Viagem redonda do ponto A ao ponto B .......................................... 36
Figura 17- Viagem redonda de A até B ............................................................. 37
Figura 18- T(A,B) ............................................................................................... 37
Figura 19- Viagem de A até B ........................................................................... 38
Figura 20- Caminho direto do ponto A ao ponto B ........................................... 38
Figura 21- Três caminhos diferentes entre A e B .............................................. 39
Figura 22- Dez diferentes caminhos entre os pontos A e B .............................. 40
Figura 23- Reta AB ........................................................................................... 41
Figura 24- Duas retas Táxi que se interceptam no ponto A ............................... 41
Figura 25- Retas paralelas r e s ........................................................................... 42
Figura 26- Reta r paralela à reta s ....................................................................... 42
Figura 27- As retas r e s se interceptam no ponto C e são paralelas à reta t ...... 43
Figura 28- Reta AB e segmento de reta AB ...................................................... 43
Figura 29- Segmento de reta AB ....................................................................... 44
Figura 30- Dois segmentos de reta AB .............................................................. 44
Figura 31- A reta r é a mediatriz do segmento AB ............................................ 45
Figura 32- Os pontos P e Q são equidistantes de A e B .................................... 45
Figura 33- Mediatriz Táxi do segmento de reta AB .......................................... 46
Figura 34- Mediatriz Táxi do segmento de reta AB .......................................... 47
Figura 35- Mediatriz Táxi considerando a restrição de reta única ..................... 48
Figura 36- Mediatriz Táxi sem a consideração de reta única ............................. 48
Figura 37- Mediatriz Táxi de um segmento horizontal AB ............................... 49
Figura 38- Triângulo Táxi ABC ......................................................................... 49
Figura 39- Triângulo Táxi ADE ......................................................................... 50
Figura 40- Triângulo Táxi Escaleno ................................................................... 50
Figura 41- Triângulo Táxi Isósceles ................................................................... 51
Figura 42- Triângulo Táxi Equilátero ................................................................. 51
Figura 43- Triângulo Equilátero de lado 8 unidades .......................................... 52
Figura 44- Triângulo Equilátero de lado 8 unidades .......................................... 52
Figura 45- Triângulo ABC e triângulo MNP ...................................................... 53
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Figura 46- Triângulo ABC e triângulo RST, de mesma forma ........................... 54
Figura 47- Triângulo ABC e triângulo PMN onde a desigualdade triangular não
se verifica.............................................................................................
55
Figura 48- Quadrado Táxi MNPQ ....................................................................... 56
Figura 49- Quadrado Táxi de lado 4 unidades .................................................... 56
Figura 50- Quadrado de lados 5 unidades .......................................................... 57
Figura 51- Quadrilátero de lados 5, 5, 2 e 8 unidades ........................................ 57
Figura 52- Triângulo de lados 5, 5 e 10 unidades ............................................... 58
Figura 53- Quadrado de lado 5 unidades ........................................................... 58
Figura 54- Quadrado de lado 5 unidades ........................................................... 59
Figura 55- Quadrado de lado 5 unidades ........................................................... 59
Figura 56- Quadrado ABCD, destacando o ponto M, ponto médio da diagonal
AC .....................................................................................................
60
Figura 57- Quadrado ABCD, destacando o ponto N, ponto médio da diagonal
BD ......................................................................................................
61
Figura 58- Quadrado ABCD e as diagonais AC e BD ....................................... 61
Figura 59- Quadrado ABCD e as diagonais AC e BD ....................................... 62
Figura 60- Circunferência Euclidiana de centro C .............................................. 62
Figura 61- Circunferência Táxi de raio 3 unidades ............................................. 63
Figura 62- Circunferência Táxi no 2 ................................................................. 64
Figura 63- Três circunferências Táxi ................................................................... 64
Figura 64- Circunferência Táxi na malha quadriculada ...................................... 65
Figura 65- Circunferência Táxi de raio 4 ............................................................ 66
Figura 66- Parte de uma circunferência Táxi de raio R ...................................... 67
Figura 67- Distância Táxi no referencial cartesiano ........................................... 67
Figura 68- Distância Euclidiana entre os pontos A e B 69
Figura 69- Mediatriz Táxi do segmento de reta AB............................................ 73
Figura 70- Mediatriz Táxi do segmento de reta MN ........................................... 74
Figura 71- Circunferência Táxi no referencial cartesiano..................................... 76
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LISTA DE ABREVIATURAS
UFMG – Universidade Federal de Minas Gerais
PREPES – Programa Permanente de Preparação de Professores do Ensino Superior
PUC – SP –Pontifícia Universidade Católica de São Paulo
EEUFMG – Escola de Engenharia da UFMG
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SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................... 14
2 UMA CAMINHADA ATÉ A GEOMETRIA TÁXI ......................................... 19
3 A GEOMETRIA TÁXI ........................................................................................ 26
3.1 – Métrica e Espaços Métricos ................................................................... 26
3.2 – Proposições Primitivas ........................................................................... 32
3.2.1 – Geometria Euclidiana ................................................................. 32
3.3 – Geometria Táxi ....................................................................................... 33
3.4 – Definições na Geometria Táxi ............................................................... 36
3.5 – Quantidade de Caminhos Diretos entre dois pontos na Malha Táxi ... 38
3.6 – A Reta na Geometria Táxi ..................................................................... 40
3.7 – Segmento de Reta ................................................................................... 43
3.7.1 – Mediatriz ..................................................................................... 44
3.8 – Triângulos na Geometria Táxi .............................................................. 49
3.8.1 – Classificação dos triângulos quanto aos lados .......................... 50
3.8.2 – Congruência de Triângulos ........................................................ 53
3.8.3 – Desigualdade Triangular ........................................................... 54
3.9 – Quadrado na Geometria Táxi ................................................................ 56
3.10 – A Circunferência na Geometria Táxi .................................................. 63
3.10.1 – Cálculo de “” na Geometria Táxi .......................................... 64
3.11 – A Geometria Táxi no Referencial Cartesiano ..................................... 68
3.11.1 – A distância Táxi ........................................................................ 68
3.11.2 – Equivalência entre dT e dE .................................................................................... 70
3.11.3 – A mediatriz Táxi no referencial cartesiano .............................. 70
3.11.4 – A circunferência Táxi ............................................................... 74
4 A PESQUISA: DESCRIÇÃO, OBSERVAÇÕES E ANÁLISE ....................... 77
4.1 – O Caminho Trilhado .............................................................................. 78
4.1.1 - 1a Etapa: Pesquisa Bibliográfica ............................................... 79
4.1.2 – 2a Etapa: Elaboração das Atividades ........................................ 80
4.1.3 – 3a Etapa: Aplicação das Atividades ........................................... 84
4.1.4 – 4a Etapa: Análise da aplicação das atividades .......................... 86
4.1.5 – 5a Etapa: A socialização com os grupos .................................... 90
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................... 94
6 REFERÊNCIA ...................................................................................................... 96
7 APÊNDICES ......................................................................................................... 97
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1 INTRODUÇÃO
Começamos os nossos estudos em 1962, no Colégio Regina Pacis (uma escola
de freiras da congregação das Concepcionistas Missionárias do Ensino), onde cursamos
o terceiro período do jardim de infância, o curso primário e o curso ginasial. Ao
terminar o ginásio, a escola nos informou que iniciaria um curso novo, de quatro anos,
que nos daria condições de prestar o vestibular e também nos forneceria o certificado de
normalista, dando-nos oportunidade de trabalhar em escolas, dando aulas em cursos
primários.
Eu me sentia muito feliz com isso porque sentia uma pressão muito grande por
parte de algumas pessoas da família e de alguns pais de amigas para fazer o curso
superior embora a minha vontade fosse trabalhar em uma escola primária, dando aulas
para crianças menores. Com esse curso eu poderia agradar a gregos e troianos: faria o
que eu realmente queria e teria condições para fazer o vestibular quatro anos após. Eu
pensava que após quatro anos eu já estaria mais madura e com mais condições de
realmente fazer o que eu queria.
Mas tudo mudou quando a turma não se formou por falta de alunos e a escola
comunicou aos pais que, infelizmente, não abriria o curso colegial, de forma alguma.
Foi uma corrida para conseguirmos uma escola, já que os exames de seleção de muitas
delas já haviam acontecido. Com esse transtorno, criado pela não abertura da turma,
acabei sendo matriculada no colégio Santo Antônio, que nessa época ainda não exigia
exame de seleção e fazia as matrículas por ordem de chegada. Iniciei o primeiro
colegial!
Foi uma experiência duríssima! No Colégio Regina Pacis eu era uma aluna que
apresentava um rendimento muito bom. Nessa escola estudavam apenas meninas e o
número de alunas por turma era muito pequeno. No último ano nessa escola, a turma
tinha 15 alunas, todas morando no mesmo bairro, convivendo dentro e fora do ambiente
escolar. De repente eu me vi em uma escola mista, enorme, com 50 alunos em sala, com
professores que não sabiam o seu nome, que davam matéria sem saber se você havia
entendido ou não. Foi um ano de muito sofrimento! Eu hoje, quando penso naquele ano,
não consigo entender como consegui sobreviver a tanta pressão. Mas sobrevivi! As
aulas de Geometria Espacial ainda estão na minha memória. Eram dados teoremas e
mais teoremas no quadro e tínhamos que decorar as demonstrações para a prova. Não
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consigo me esquecer de uma colega, Cláudia, que depois de uma prova, me perguntou
se eu havia acertado a demonstração. Eu disse que não, que não havia conseguido
decorar todas elas e que havia caído uma que eu não decorara. Ela me disse que eu tinha
sido muito ingênua em não estudar o único teorema que tinha a demonstração mais
longa e mais elaborada. Segunda ela, era evidente que cobrariam a demonstração “mais
difícil”. Ela decorou apenas essa e conseguiu uma nota alta na avaliação. Eu me senti
muito mal. Será que eu merecia ter perdido a questão sendo que eu tinha decorado
muito mais demonstrações do que ela? Isso nunca saiu da minha cabeça. Consegui fazer
o segundo ano e no terceiro ano, decidi fazer o curso de Matemática. A essa altura o
meu sonho de ser professora primária estava descartado! Não havia mais espaço para
ele! A decisão em fazer o curso de Matemática veio pela facilidade nessa matéria e por
imaginar que eu poderia poupar as pessoas de sofrerem o que eu estava sofrendo
naquela escola, tendo que aprender uma matemática tão difícil e tão inacessível. Eu
senti nessa escolha que estava fazendo um compromisso de vida: trabalhar com pessoas
que tivessem dificuldade em Matemática e fazê-las conseguir transpor essa dificuldade.
“Para que o conhecimento seja pertinente, a educação deverá torná-los evidentes.”
(MORIN, Os Sete Saberes Necessários à Educação do Futuro, 2007, p. 36)
Terminei o colegial, entrei na UFMG e comecei o curso de Matemática. Após
três semestres eu não queria mais saber daquela vida lá na Pampulha. O que eles me
ofereciam naquele curso, tão teórico, não era o que eu queria para mim. Eu trabalhava
muito com aulas particulares em casa e o curso não tinha nada a ver com o que eu fazia.
Hoje eu tenho certeza disso mas, na época, eu não conseguia entender. Só sentia uma
insatisfação muito grande. Resolvi mudar para o curso de Engenharia Civil, que na
época era um curso muito concorrido, para acompanhar meus colegas do Colégio Santo
Antônio, que se preparavam para sair da Pampulha e estudar na escola de engenharia
que, na época, ficava no centro da cidade. Fiz novo vestibular, passei e fiz o curso.
Já graduada, fui dar aulas na EEUFMG. Parecia que tudo estava bem! Iniciei um
curso de aperfeiçoamento na universidade, na área de engenharia civil e parecia que
nessa escola eu permaneceria muito tempo.
Por questões particulares precisei mudar de Belo Horizonte e morar no interior
de Minas Gerais. Nas cidades onde morei sempre procurei escolas para trabalhar e
sempre me deparei com o problema da falta de diploma em licenciatura em Matemática.
Isto me levou a tomar uma decisão: retomar o curso de licenciatura em Matemática.
Quando voltei a Belo Horizonte, me inscrevi no vestibular do então Instituto Cultural
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Newton Paiva Ferreira. Optei por essa escola por ser uma escola próxima à minha casa,
e por não querer voltar à UFMG, já que o curso lá não havia me agradado.
Fiquei bastante surpresa quando comecei o curso na Newton de Paiva. Lá
encontrei professores que trabalhavam com Educação Matemática. O curso era bem
diferente daquele que eu havia cursado na UFMG. Havia aulas onde experimentávamos
materiais usados no Centro Pedagógico da UFMG, uma escola que já naquela época
trabalhava a Matemática de forma diferenciada. Terminei o curso de Matemática!
Comecei meu trabalho em escolas de Belo Horizonte, dando aulas para turmas
de Ensino Fundamental, Ensino Médio e Superior. Durante algum tempo trabalhei no
então Instituto Cultural Newton Paiva Ferreira na cadeira de Didática da Matemática.
Nessa caminhada, fiz o PREPES, em 1986/87. Após o PREPES, pensei
continuar meus estudos de forma regular, mas a realidade da vida mais uma vez me
obrigou a mudar o sentido da minha caminhada.
Paralelamente ao meu trabalho em sala de aula, durante três anos trabalhei na
formação continuada de professores da Rede Pitágoras, experiência que me permitiu
conhecer muitas realidades do nosso país. Foram experiências muito ricas nessa
caminhada por escolas no interior da Bahia, do Pará, de Rondônia, do Espírito Santo e
de Minas Gerais. Mesmo com realidades bem distintas, uma coisa era comum: a grande
dificuldade dos alunos em entender Matemática e a ansiedade de muitos professores na
tentativa, muitas vezes frustrada, de ensiná-la. Nessas oficinas aprendi muito. As
discussões com os professores eram sempre muito ricas e eles quase sempre
aproveitavam esse espaço para desabafarem um pouco e trocarem experiências. Percebi
que para muitos aquele espaço era o único que tinham para poder trocar idéias.
A vida foi transcorrendo sem mudanças até que surgiu a oportunidade de fazer o
mestrado profissional na Puc - Minas.
No início do mestrado foi tudo muito novo! Como eu havia ficado muito tempo
fora da academia, esse universo era muito estranho para mim: pôsters, papers, currículo
lattes, tudo era novo! Esse vocabulário não fazia parte do meu dia-a-dia. Eu passei
muitos anos lutando para sobreviver e criar meus filhos, sem cuidar da minha vida
acadêmica. Parecia que eu estava me despertando para uma nova realidade. Era uma
situação nova na minha vida. Mas eu estava pronta para começar essa empreitada,
embora um pouco assustada com esse novo mundo.
“Quando uma criatura humana desperta para um grande sonho e sobre ele lança toda a força de sua fé,
todo o universo conspira a seu favor.” (COELHO,1988, p.98)
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As dificuldades foram muitas! Uma delas foi a escolha do tema da dissertação.
Essa escolha me levou a muitas reflexões e a travar uma luta interna muito grande
Primeiramente veio a vontade de falar de tudo! Queria estudar tudo, ler um
pouco de tudo. Não era possível. Pensei pesquisar sobre a importância da língua
portuguesa na construção do pensamento matemático, mas isso ficará para um próximo
estudo.
Durante as aulas de Geometria não Euclidiana do Mestrado, tive contado com
textos da dissertação “"Geometria Táxi, uma métrica para os espaços geográficos e
urbanos - Uma análise exploratória" (Miranda, 1999). Sendo Miranda professor desta
disciplina e tendo eu me interessado pela Geometria Táxi, solicitei-lhe indicar-me mais
material bibliográfico sobre o assunto.
Percebi que com a Geometria Táxi eu estaria lidando com uma Geometria de
múltiplos apelos, de múltiplas abordagens. Sendo uma geometria de quem transita
dentro de casa, entre mesas, camas, cadeiras, armários ou de um cômodo para outro, ou
pelas ruas, ela pode ser abordada em um nível até infantil. Isso satisfaz, de certa forma,
o meu remoto desejo de trabalhar com o ensino para crianças.
Em níveis mais elevados, confrontando a Geometria Táxi (de caráter não
euclidiano) com a Geometria Euclidiana (plana e/ou espacial), percebi que os conceitos
e teorema cujas demonstrações exigiam de mim (e de meus colegas) muito esforço para
decorar, ganham mais visibilidade, interpretação e significados.
No nível superior, a Geometria Táxi encontra seus fundamentos na avançada
área da Topologia, ao se estudar Espaços Métricos. Assim, esse tema também permitiria
rever meus estudos universitários.
A proposta, então, de meu trabalho, após os recortes foi o de elaborar um
Conjunto de Atividades Didáticas sobre Geometria Táxi, destinado a alunos do Ensino
Fundamental e Médio, conforme teoria de Zabala (1998).
Segundo Zabala (1998) algumas questões devem ser levantadas quando
pretendemos construir e aplicar uma sequência de atividades:
a) Como utilizar os conhecimentos prévios que cada aluno tem em relação aos
novos conteúdos de aprendizagem?
b) Esse conteúdos são propostos de forma que sejam significativos e funcionais
para os alunos?
c) Essas atividades estão adequadas ao nível dos alunos com os quais queremos
trabalhar?
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d) Os alunos se sentirão desafiados de forma tal que precisem se esforçar para
alcançar os objetivos propostos, mas esses desafios não são tão altos que se
sintam desanimados?
e) Essas atividades estimulam a auto-estima dos alunos?
Essas atividades tornam os alunos cada vez mais autônomos no seu processo de
aprendizagem?
f) Essas atividades permitem ao aluno concluir que valeu a pena o esforço
investido nesse estudo, isto é, ele realmente aprendeu alguma coisa?
Elaboramos as atividades e usamos o método da observação participativa à luz
dessas questões, visando três objetivos específicos:
a) Que o aluno conheça uma geometria não euclidiana de forma acessível a
ele.
b) Que os conceitos da Geometria Táxi tenham significado para os alunos.
c) Criar um conjunto de atividades, que possa ser usado por professores de
escolas de ensino fundamental e médio.
Por se tratar de atividades sobre um assunto não explorado ainda, entre
professores do meio escolar, os sujeitos desta pesquisa foram exatamente dois grupos de
professores.
A questão a ser respondida por essa pesquisa foi assim formulada:
“Quais as reações e questionamentos que professores de matemática apresentam ao lidar
com tópicos de Geometria Táxi e quais sugestões eles indicam para um conjunto de
atividades, destinado a alunos dos ensino Fundamental e Médio?”
Nesse capitulo 01, apresentamos a Introdução. O Capítulo 02 revisa um pouco
da história da Geometria, visando situar as Geometrias não Euclidianas.
O capítulo 03 trata da construção da Geometria Táxi, com os conceitos,
definições, convenções, propriedades e figuras geométricas, em formato paralelo com a
Geometria Euclidiana.
O capítulo 04 sintetiza a pesquisa realizada, expondo a Descrição, as
Observações e a Análise.
No capítulo 05 relatamos as Considerações Finais.
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2 UMA CAMINHADA ATÉ A GEOMETRIA TÁXI
A história é feita com documentos. Nossa caminhada se inicia nos povos que
viveram no Oriente Antigo. Escreveremos, de forma sucinta, apenas sobre os povos
babilônios e egípcios e justificamos nossa limitação em um trecho do livro de Howard
Eves.
Há dificuldades em localizar no tempo as descobertas feitas no Oriente
Antigo. Uma dessas dificuldades reside na natureza estática da estrutura
social e no prolongado isolamento de certas áreas. Outra dificuldade se deve
aos materiais de escrita sobre os quais as descobertas se preservaram. Os
babilônios usavam tábulas de argila cozida e os egípcios usavam pedra e
papiro, tendo esses últimos felizmente existências duradoura em virtude do
pouco comum clima seco da região. Mas os primitivos chineses e os indianos
usavam material muito perecível, como casca de árvore e bambu. Assim,
enquanto se dispõe de apreciável quantidade de informações definidas sobre
a matemática dos antigos babilônios e egípcios, muito pouco se conhece
sobre essa matéria, com certo grau de certeza, no que diz respeito à China e à
Índia na mesma época. (EVES, 1997, p. 58)
Os povos aos poucos foram sentindo a necessidade de cultivar seus alimentos já
que com o aumento das comunidades, a busca por alimentação foi se tornando cada vez
mais difícil. Surgiu o que se chamou de “revolução agrícola”, que obrigou os povos a se
assentarem em locais fixos, criando pequenos vilarejos, que viriam a se tornar depois
cidades, e começar a cultivar seus alimentos. Para isso foi necessário que observassem o
período das cheias, que aprendessem a armazenar água para a época da seca, que
calculassem espaços para armazenar alimentos. Foi necessário, portanto, que
desenvolvessem a capacidade de medir. Foi essa necessidade de medir que desenvolveu
a geometria dos povos, dos quais falaremos a seguir.
Os babilônios desenvolveram o cálculo de áreas e volumes. Eles conheciam
formas de calcular áreas de triângulos, retângulos e trapézio retângulo. Consideravam
como área da circunferência o triplo do diâmetro, que é um valor correto se
consideramos pi com o valor 3. Além disso já conheciam o volume do prisma de base
trapezoidal e do cilindro. Já o volume do tronco de pirâmide quadrangular regular era
calculado de forma errada: eles multiplicavam a altura pela semi-soma das áreas das
bases. Conheciam a medida do ângulo inscrito em uma semi-circunferência. Também
conheciam a relação entre os lados de um triângulo retângulo. “Em 1936, desenterrou-se
em Susa a cerca de 200 milhas da Babilônia, um grupo de tábulas dos Antigos
20
Babilônios.”(EVES, 1997, p. 35) Em uma dela verificou-se que eles estimavam para pi
o valor do número misto 8
13 .
Segundo Otto Neugebauer, deve-se aos babilônios a divisão da circunferência
em 360 partes iguais.
A matemática egípcia não se desenvolveu da mesma forma que a matemática
babilônia. Por ser um lugar onde havia uma economia mais desenvolvida, onde muitas
caravanas passavam, a Babilônia acabou sendo um local de maior desenvolvimento que
o Egito. Porém, não se pode negar a importância da matemática egípcia, principalmente
a geometria egípcia. Durante muito tempo, os estudiosos julgaram a matemática egípcia
mais desenvolvida que a babilônia. Isso ocorreu porque os registros egípcios foram
obtidos de forma mais rápida e mais eficiente que os babilônios.
Os papiros egípcios foram preservados dentro das pirâmides, favorecidos pelo
clima extremamente seco da região. Já as tabulas babilônias, se espalharam por diversos
locais, e até hoje em dia são encontradas e em locais distantes da Babilônia. Isso
favoreceu o conhecimento precoce da matemática egípcia em relação à babilônia. Alem
disso, em 1799, engenheiros franceses, escavavam para a construção de um forte
quando encontraram uma pedra, com inscrições em grego e em escrita egípcia. Através
do sábio francês, Fraçois Champollion (1790-1832), que conseguiu fazer a relação entre
os dois idiomas, foi possível ler os papiros egípcios. Como essa pedra foi encontrada no
braço Roseta no delta do rio Nilo, ela ficou conhecida como pedra de Roseta e hoje se
encontra no Museu Britânico.
O papiro mais extenso entre os de natureza matemática, com cerca de 0,30m de
altura e 5m de comprimento é o papiro de Rhind, ou papiro de Ahmes. Nesse papiro há
uma razoável aproximação para o valor de pi (6
13 ).
A “revolução agrícola” foi um grande salto para o desenvolvimento da
civilização e, particularmente, para a matemática. Ela proporcionou o surgimento e
crescimento das cidades e o desenvolvimento da escrita. Os primeiros desenvolvimentos
tecnológicos vêm dessa época, como os projetos de irrigação. Grandes monumentos são
construídos como as pirâmides do Egito. Após a decadência dos povos do Antigo
Oriente, a civilização grega começa a surgir como a grande civilização que dominará
por algum tempo o cenário do desenvolvimento. A Grécia não é um país. É um conjunto
de cidades-estado que se desenvolvem independentemente e que trazem, cada uma
21
delas, suas características. Uma delas, Atenas, se destaca das demais pelo seu interesse
cultural. É em Atenas que surgem grandes filósofos como Sócrates e Platão, cientistas
como Aristóteles e dramaturgos como Aristófanes.
A civilização grega caracterizou-se pelo gosto ao conhecimento. E na
matemática não poderia ser diferente. Tudo que os gregos que viajavam pelo Oriente
traziam em sua bagagem cultural, era estudado. Tales
[...] era considerado um ‘discípulo dos egípcios e caldeus’, hipótese que
parece plausível. A proposição agora conhecida como teorema de Tales – que
um ângulo inscrito num semicírculo é um ângulo reto – pode ter sido
aprendida por Tales durante suas viagens à Babilônia. (BOYER, 1974, p. 34)
E, pela primeira vez, houve a preocupação com a demonstração. Até então a
pergunta era, como se chegava a tal conhecimento. Agora a pergunta era, por quê. Era
o início do racionalismo. E essa nova maneira de pensar a matemática teria como “pai”,
Tales de Mileto.1
Pitágoras foi uma figura bastante ‘misteriosa’ da civilização grega. Não existe
uma prova contundente de sua existência. O que se sabe são apenas conjecturas. Existiu
uma sociedade secreta, que atribuía um número a quase todas as situações da vida. Essa
sociedade secreta, conhecida como Pitagórica teria como líder essa figura enigmática
chamada Pitágoras. Ele teria nascido na ilha de Samos, no ano de 500 a.C.. Pitágoras,
assim como Tales, também viajou pelo Egito e pela Babilônia, indo possivelmente até a
Índia.
Nesse cenário de busca de uma matemática racional, surge Euclides, que escreve
uma coleção de livros conhecida como ‘Elementos de Euclides’. “Nenhum trabalho,
exceto a Bíblia, foi tão largamente usado ou estudado e, provavelmente, nenhum
exerceu influência maior no pensamento científico” (EVES,1997, p. 167).
Antes de Euclides outros já haviam criado seus Elementos. De acordo com o
Sumário Eudemiano2 de Proclo, há uma seqüência de Elementos: Elementos de
Hipócrates de Quio, Elementos de Leon, Elementos da Academia de Platão, Elementos
de Teúdio de Magnésia. Acredita-se que Euclides baseou seu trabalho nesses que o
antecederam. Isso não diminui o valor de seus “Elementos”, já que muitas
1 Há alguns historiadores da matemática antiga, em particular Otto Neugebauer, que discordam dessa
explicação tradicional evolucionária da origem da matemática demonstrativa e são favoráveis a uma
explicação mais revolucionária segundo a qual a mudança teria se iniciado com a descoberta da
irracionalidade de 2 . 2 Esse sumário consiste nas páginas de abertura do Comentário sobre Euclides, Livro I, de Proclo e é um
breve resumo do desenvolvimento da geometria grega desde seus primeiros tempos até Euclides. (EVES,
1997, p.97)
22
demonstrações foram feitas por ele e o aperfeiçoamento de outras tantas. “Mas o grande
mérito de seu trabalho reside na seleção feliz de proposições e no seu arranjo numa
seqüência lógica, presumivelmente a partir de umas poucas suposições iniciais”(EVES,
1997, p. 169)
Os Elementos de Euclides não tratam apenas de geometria. Para o nosso estudo,
entretanto, vamos nos concentrar nas bases que Euclides deu para a geometria. Ele
baseou-se em definições e postulados. São eles:
a) A1 – Duas coisas iguais a uma terceira são iguais entre si.
b) A2 – Somando-se a mesma quantidade a valores iguais obtêm-se
resultados iguais.
c) A3 – Subtraindo-se a mesma quantidade de valores iguais obtêm-se
resultados iguais.
d) A4 – Coisas que coincidem uma com a outra são iguais.
e) A5 – O todo é maior que a parte.
f) P1 – É possível traçar uma reta ligando 2 pontos.
g) P2 – É sempre possível prolongar um segmento finito de reta
indefinidamente.
h) P3 – É sempre possível descrever um círculo, dado um ponto qualquer
para centro e um segmento finito como raio.
i) P4 – Todos os ângulos retos são iguais.
j) P5 – Se duas retas, em um mesmo plano, são cortadas por uma outra reta,
e se a soma dos ângulos internos de um lado é menor que dois retos,
então as duas retas se encontrarão, se prolongadas suficientemente, do
lado em que a soma dos ângulos for menor do que dois ângulos retos.
23
Figura 1: Postulado no 5 de Euclides
Fonte: Miranda, 1999
Os postulados 1 a 4 foram muito bem aceitos pela comunidade acadêmica. Já o
quinto postulado sempre causou estranheza! Ele não era aceito de forma intuitiva e
houve muitas tentativas de demonstração! Mas, durante muito tempo não se admitiu que
pudesse haver outra geometria que não a de Euclides. Essa crença é o que David Hersh
chamam de “mito de Euclides”.
É a crença de que os livros de Euclides contêm verdades sobre o universo,
claras e indubitáveis. Partindo de verdades evidentes, por si próprias e
procedendo por demonstrações rigorosas, Euclides chega a conhecimento
certo, objetivo e eterno. Mesmo agora parece que a maior parte das pessoas
com instrução acredita no mito de Euclides. Até o meio ou fim do século
dezenove, o mito reinava sem desafios. Todos acreditavam nele. (DAVIS e
HERSH, 1985, p. 366)
Mas, as tentativas de demonstrações do quinto postulado se iniciaram entre os
próprios gregos: PTOLOMEU, no século II d. c., PROCLO, no século V d.c.
(MIRANDA, 1999, p. 49).
Somente no século dezenove é que os estudos se desenvolvem de forma
consistente. Acredita-se que Gauss tenha sido o primeiro a chegar a conclusões mais
fundamentadas sobre uma geometria não-euclidiana, que tinha como hipótese que por
um ponto fora de uma reta há mais de uma reta paralela á reta dada. Mas ele nunca
publicou nada a respeito. Houve dois matemáticos que, de forma independente,
trabalharam nessa geometria: Bolyai e Lobachevsky. Ambos trabalharam muitos anos
em suas pesquisas mas, Bolyai, apesar de extremamente convicto de suas idéias, já
R1
r2
+<180O
r1
24
velho e quase cego, não pode aprofundar seus estudos. Por esse motivo a nova
geometria é conhecida como Geometria de Lobachevsky ou Geometria Hiperbólica.
Essa geometria admite todas as definições da geometria Euclidiana e os quatro
primeiros postulados, diferindo apenas no quinto postulado.
Figura 2: Por um ponto P fora de uma reta r passa mais de uma reta paralela à reta r
Fonte: Coutinho, 2001
Na geometria Hiperbólica entenda-se por reta a geodésica do espaço modelo.
Depois de se supor que por um ponto fora de uma reta há mais de uma reta
paralela à reta dada, parecia “natural” imaginar o oposto: ‘Por um ponto fora de uma
reta, não há nenhuma reta paralela à reta dada’.
Segundo Coutinho “esta geometria foi considerada pela primeira vez na aula
inaugural pronunciada em 1851 por George Riemann para sua admissão como
professor-adjunto na Universidade de Göttingen”. (COUTINHO, 2001, p.73)
a
b
r
P
25
Figura 3: Reta perpendicular a BCDE
Fonte: Coutinho, 2001
As retas ACA’ e ADA’ são perpendiculares à reta BCDE e se interceptam nos
pontos A e A’.
Na geometria rieminniana, as “retas” são os círculos máximos ou geodésias da
superfície esférica. ( COUTINHO, 2001, p. 74)
Observamos na figura 3 que as retas ACA’ e ADA’ interceptam-se nos pontos A
e A’ e são perpendiculares à reta BCDE. Temos, portanto, duas retas perpendiculares à
uma mesma reta que se interceptam.
A criação da geometrias de Lobachevsky, a primeira das geometrias não
euclidianas, quebrou uma crença de muitos séculos. A partir dela um novo campo de
criação se abriu. “A matemática despontou como uma criação arbitrária do espírito
humano e não como algo necessariamente ditado a nós pelo mundo em que vivemos. A
mesma questão foi colocada elegantemente por E.T. Bell nas seguinte palavras.
Da mesma maneira que um romancista cria personagens, diálogos e situações
dos quais ele é, ao mesmo tempo, autor e senhor, o matemático inventa à
vontade os postulados sobre os quais baseia seus sistemas matemáticos.
Tanto o romacista como o matemático podem ser influenciados pelo meio
ambiente na escolha e tratamento de seu material; mas nenhum deles é
compelido por uma necessidade extra-humana, eterna, a necessariamente
criar certos personagens ou a inventar certos sistemas (BELL,1987, p. 330).
26
3 A GEOMETRIA TÁXI
“A essência da matemática é a liberdade”
Georg Cantor
Com a “liberdade” gerada pela geometria de Lobachevsky, o surgimento de
novas geometrias tornou-se viável. As contestações ao quinto postulado de Euclides já
haviam sido feitas. As bases para novas criações já não seriam axiomáticas. As novas
geometrias que poderiam e ainda podem surgir serão de natureza métrica. Nesse
capítulo estudaremos o que é a métrica e nos deteremos na métrica que originou a
Geometria Táxi. Faremos em seguida, um estudo da Geometria Táxi, fazendo um
paralelo com a Geometria Euclidiana.
3.1 – Métrica e Espaços Métricos
Segundo Miranda (1999, p.78).
Sejam um conjunto M e a função d: M x M IR
DEFINIÇÃO 1 – d é uma métrica (ou função de medida) em M, se e somente se,
para quaisquer x,y z M, satisfizer às 4 condições:
(a) d (x, y) = 0, se x = y (nulidade)
(b) d (x, y) > 0, se x y (positividade)
(c) d (x, y) = d (x, y) (simetria)
(d) d (x, z) d (x, y) + d (y, z) (desigualdade triangular)
DEFINIÇÃO 2 – Um conjunto M, munido de uma métrica d, chama-se espaço
métrico e é designado pelo par (M,d).
Os elementos de um espaço métrico podem ser números, pontos, áreas, vetores,
funções, matrizes, conjuntos quaisquer,etc.
Exemplo 1
Vamos usar como nosso universo a reta real IR. Consideremos um ponto A, dessa reta
e um número real r, positivo. Para um ponto qualquer X, dessa reta, definiremos a
métrica dist(X,A) = r.
Vamos verificar se essa métrica atende às 4 condições da definição 1.
(a) dist(X,Y) = 0 se X = Y
27
De fato, se dois pontos da reta são coincidentes, a distância entre eles é zero.
(b) dist(X,Y) > 0, se X Y.
Isso também ocorre, já que a distância entre dois pontos na reta real é sempre
medida através de um número positivo, isto é, através do módulo da diferença das
abscissas.
(c) dist(X,Y) = dist(Y,X)
Mesma explicação dada no item b
(d) dist(X,Z) dist(X,Y) + dist(Y,Z)
Verdadeira para quaisquer pontos da reta real.
Logo, essa métrica atende às condições da definição 1 e portanto a reta real e
essa métrica definem um espaço métrico, isto é, (R, d) é um espaço métrico.
Agora, vamos desenhar o círculo que tem raio 4 e centro na origem, usando essa
métrica.
Como a circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano equidistantes
do centro, todos os seus pontos estarão a 4 unidades do ponto zero da reta.
Figura 4: Circunferência formada por apenas dois pontos
Fonte: próprio autor
Observe que apenas esses dois pontos atendem à definição de círculo. Logo a
circunferência terá apenas dois pontos: o ponto de abscissa – 4 e o ponto de abscissa +4.
Exemplo 2
Vamos usar como universo o espaço bidimensional IR2. Consideremos agora um ponto
A, desse plano e pontos Xn, genéricos, também pertencentes a esse plano.
AA YXA ,
222111 ,;, yxXyxX
-4 4
28
Para quaisquer pontos X1, X2, desse espaço, definiremos a métrica.
d(X1, X2) = 2
21
2
21 )()( yyxx
Vamos verificar se (IR2, d) é um espaço métrico.
a) d(X1, X1) = 0
De fato, se dois pontos são coincidentes, a distância entre eles é nula.
00)()(, 2
11
2
1111 yyxxXXd
A condição de nulidade é atendida.
b) 1221 ,, xxdxxd
d(x1, x2) = ),()()()()( 12
2
12
2
1221
2
21 XXdyyxxyyxx
A condição de simetria é atendida.
c) d(X1, X2) > 0, se X1 X2
Se X1 X2 temos que x1 – x2 0 ou y1 – y2 0 ou x1 – x2 0 e y1 – y2 0. Nesse caso,
0)()( 2
21
2
21 yyxx
A condição de positividade é atendida
d) d(X1, X3) d(X1, X2) + d(X2, X3)
Sejam x1, x2, x3 pontos distintos de IR2.
d (X1, X3) = 2
31
2
31 )()( yyxx
d(X1,X2) = 2
21
2
21 )()( yyxx
d(X2, X3) = 2
32
2
31 )()( yyxx
Nas figuras 5 e 6 os pontos X1, X2 e X3 estão alinhados.
29
Na figura 5, a soma das distâncias entre os pontos X1 e X2 e os pontos X2 e X3 é
maior que a distância entre os pontos X1 e X3.
Figura 5: d(X1 , X2) + d(X2 , X3) > d(X1 ,X3)
Fonte: Próprio autor
Na figura 6, os pontos X1, X2 e X3 também estão alinhados e a soma das
distâncias entre os pontos X1 e X2 e os pontos X2 e X3 é igual à distância entre os pontos
X1 e X3.
y
x
X3
X1
X2
30
Figura 6: d(X1 ,X2 ) + d(X2 , X3) = d(X1 , X3)
Fonte: Próprio autor
Se os pontos X1, X2 e X3 não estão alinhados, temos a desigualdade triangular. A
figura 7 mostra essa situação.
Figura 7: d(X1 , X2) + d(X2 , X3) > d(X1 ,X3)
Fonte: Próprio autor
X1
X2
X3
y
x
X3
X1
X2
y
x
31
Exemplo 3
Vamos usar novamente, como universo, o espaço bidimensional IR2.
Consideramos, agora, um ponto A, desse plano e um ponto X, genérico, também
pertencente a esse plano.
AA yxA ,
yxX ,
Para um ponto X, desse plano, definiremos a métrica
AA yyxxAXd ,
Vamos verificar se essa métrica atende às quatro condições da definição.
a) d(X, A) = 0
000, yyxxXXd
A condição de nulidade é verificada.
b) d (X,A) = d(A, X)
XAdyyxxyyxxAXd AAAA ,,
A condição de simetria é verificada.
c) d(X, A) > 0 se X A
AA yyxxAXd , .
Como X A temos necessariamente que x xA
ou
y yA ou y yA e x xA. Logo, d (x, A) > 0
A condição da positividade é verificada.
d) d (A, X2) d (A, X) + d(X, X2)
32
d(A, X2) = 2222 yyyyxxxxyyxx AAAA
222 ,, XXdXAdyyyyxxxx AA
Logo d ),(),(),( 22 XXdXAdXAd
A condição de desigualdade triangular é verificada.
(IR2, d) é, portanto, um espaço métrico.
O espaço métrico mostrado no exemplo 3 é a base para a definição da Geometria
Táxi.
Essa geometria difere da Geometria Euclidiana não apenas na contestação do
quinto postulado, mas na definição da métrica.
Na Geometria Táxi, a menor distância entre dois pontos de um plano não é a
linha reta. A distância não é medida como o vôo de um pássaro, mas como a
viagem de um táxi numa cidade, cujas ruas estendem-se vertical e
horizontalmente em uma malha urbana, que convenientemente pode ser
associada ao plano euclidiana. (ABREU; BARROSO; MIRANDA, 2005)
A métrica que deu origem à Geometria Táxi pertence a uma família de espaços
métricos criados pelo matemático Minkowski (1865–1909) e designada por Taxicab
Geometry (Krause,1975),(KALEFF; NASCIMENTO, 2004). Foi ele quem apresentou a
Geometria Táxi como formulação matemática (MIRANDA, 1999).
Essa geometria, embora simples, tem muitos aspectos que ainda estão sendo
pesquisados. O enfoque central é o uso em questões geográficas, já que sua forma de
medir a distância entre dois pontos é muito mais próxima do mundo real das cidades do
que a forma usual da Geometria Euclidiana.
Nosso enfoque é de apresentar a Geometria Táxi para professores de Matemática
do Ensino Fundamental e Médio, para que se apropriem dessa nova geometria e tenham
a oportunidade de criar novas estratégias de ensino, que propiciem a seus alunos uma
oportunidade de ampliar sua forma de ver o mundo.
3.2. Proposições Primitivas.
3.2.1 – Geometria Euclidiana
As proposições primitivas na Geometria Euclidiana são o ponto, a reta e o plano.
São aceitos sem definição. De cada uma delas temos um conhecimento intuitivo.
33
Figura 8: Ponto, reta e plano - conceitos primitivos da geometria euclidiana
Fonte: Próprio autor
Adotaremos a seguinte convenção: para representarmos os pontos usaremos letras
maiúsculas; as retas serão representadas por letras minúsculas e os planos por letras do
alfabeto grego.
Figura 9: Pontos, retas e planos com as notações convencionadas
Fonte: Próprio autor
3.3. – Geometria Táxi
Nossa pesquisa teve como referência o livro Taxicab Geometry ( Krause, 1975) e
a dissertação de mestrado “Geometria Táxi, uma métrica para os espaços geográficos e
urbanos uma análise exploratória” (MIRANDA, 1999)
Na Geometria Táxi, teremos como Universo um conjunto de retas paralelas,
verticais e horizontais, todas coplanares.
B
r A
s
34
Figura 10: Malha quadriculada
Fonte: Próprio autor
Os elementos definidos na Geometria Táxi são o ponto e o bloco.
Figura 11 : Pontos A, B e C, localizados na malha quadriculada
Fonte: Miranda, 1999
Figura 11
Figura 12: Blocos na malha quadriculada
Fonte: Miranda ( 1999)
B
C A
B
C
Bloco AB
Bloco CD
35
A C
O bloco AB contém apenas os pontos A e B. O bloco CD contem apenas os
pontos C e D.
O bloco CD contém apenas os pontos C e D.
Os termos não definidos são: adjacente e incidentes.
O ponto B é adjacente aos pontos C, M, F, E.
O ponto B não é adjacente aos pontos D e A.
Figura 13: Pontos adjacentes e pontos não adjacentes
Fonte: Miranda (1999)
Figura 14: O bloco AB é incidente com os pontos A e B e o bloco CD não é incidente
com o ponto E.
Fonte: Miranda (1999)
Os blocos AB e CD são congruentes 3.
_____________________
3 A palavra congruente é usada na sua definição usual: mesma medida.
A condição de os blocos serem todos congruentes é colocada apenas por uma questão didática. Em uma aplicação prática entretanto,
como em uma cidade, é comum quarteirões com medidas diferentes.
36
3.4 – Definições da Geometria Táxi
1a - Uma curva fechada, que chamaremos de “viagem redonda” (tradução de Miranda,1999)
é definida como o conjunto de blocos ( definido na página 34), tal que cada bloco do
conjunto seja incidente com exatamente 2 outros.
Figura 15: Viagem redonda
Fonte: Miranda (1999)
2a - O trecho de uma “viagem redonda” entre 2 pontos distintos A e B é chamado de “uma
viagem” ou de um arco da curva fechada.
Figura 16: Viagem redonda do ponto A ao ponto B
Fonte: Dimas (1999)
37
Figura 17: Viagem de A até B
Fonte: Miranda (1999)
3a - Denominaremos T (A, B) uma viagem entre os pontos A e B da malha táxi.
T (A, B) será o conjunto de todos os blocos dessa viagem.
T (A, B) será o conjunto dos blocos AM, MN, NP e PB.
ou
T (A, B) será o conjuntos dos blocos AS, SR, RQ e QB.
Figura 18: T(A,B)
Fonte: Miranda (1999)
4a – O comprimento ou norma de uma viagem é o número inteiro de blocos dessa viagem.
Representaremos por ||T (A, B) ||
||T (A, B)|| = 9 (quando passamos pelo ponto M)
38
||T (A, B)|| = 5 (quando passamos pelo ponto N)
Figura 19: Viagem de A até B
Fonte: Próprio autor
5a – A “viagem direta” (tradução de Miranda, 1999) ou “caminho direto”(tradução de
Miranda) entre 2 pontos A e B de uma viagem redonda é a viagem que tem a menor
norma. Essa norma será denominada de distância táxi entre A e B e será representada
por dT(A, B). Na figura abaixo dT (A, B) = 5.
Figura 20: Caminho direto entre os pontos A e B
Fonte: Miranda (1999)
3.5 - Quantidade de caminhos diretos entre dois pontos da malha táxi.
Observando as figuras abaixo podemos constatar que há 3 caminhos diretos
entre os pontos A e B.
39
Figura 21: Três caminhos diferentes entre A e B
Fonte: Miranda (1999)
Na primeira figura 21 vemos três caminhos diferentes para se sair do ponto A e chegar
ao ponto B. No primeiro caminho mostrado andamos uma unidade na horizontal, uma
unidade na vertical, e uma unidade na horizontal, perfazendo 3 unidades; no segundo
caminho mostrado andamos uma unidade na vertical e duas unidades na horizontal,
perfazendo as mesmas três unidades. No último caminho mostrado, mais uma vez, a
distância entre os pontos A e B é de três unidades, só que nesse caso andamos duas
unidades na horizontal e uma unidade na vertical. Pode-se observar que o número de
unidades na vertical foi sempre igual a um e o número de unidades na horizontal foi
sempre igual a dois.
À medida que os pontos se distanciam, a quantidade de caminhos diretos
aumenta. Observe que nas figuras abaixo há 10 caminhos diretos entre os pontos A e B.
(a) (b) (c)
40
Figura 22: Dez diferentes caminhos entre os pontos A e B
Fonte: Vanbelkum, 1998
De uma forma genérica, podemos calcular a quantidade de caminhos diretos
através da fórmula:
!!
)!(
nm
nmQ
, onde m é a distância horizontal entre os pontos A e B e n, a
distância vertical.
Essa fórmula é o cálculo de uma permutação com repetição onde m + n
representa a quantidade de elementos que serão permutados e m e n representam a
quantidade de repetições de cada termo.
3.6 – A Reta na Geometria Táxi
Na Geometria Euclidiana, a reta é um conceito primitivo.
Na Geometria Táxi,
a reta é a união de viagens diretas, ou seja é uma viagem estendida, no
sentido de que se considera sempre o caminho mais curto entre 2 pontos
quaisquer dessa viagem. (ABREU; BARROSO; MIRANDA, 2005)
41
A
B
Na Geometria Táxi representaremos a reta por duas letras maiúsculas precedidos
pela palavra reta, ou por uma letra minúscula.
Figura 23: Reta AB
Fonte: Próprio autor
Por um ponto podemos passar mais de uma reta.
Figura 24: Duas retas Táxi que se interceptam no ponto A
Fonte: Próprio autor
Usaremos, na Geometria Táxi, o mesmo conceito para retas paralelas usado na
Geometria Euclidiana.
Duas retas são paralelas quando são coplanares e não se interceptam (MOISE,
1971, p.213).
A
s
r
r s A
42
s
r
Figura 25: As retas r e s são paralelas
Fonte: Próprio autor
Fazemos aqui uma ressalva. Já que estamos estudando a Geometria Táxi em um
universo bidimensional, é desnecessária a condição de as retas serem coplanares.
Escrevemos, portanto, r//s r s =
Figura 26: Reta r paralela à reta s
Fonte: Próprio autor
Na figura 27 vemos duas retas (r e s), paralelas à uma reta t. As retas r e se se
interceptam no ponto C. Temos, portanto, uma negação do quinto postulado de
Euclides. Por um ponto fora de uma reta (ponto C) traçamos duas retas (reta r e reta s)
paralelas a uma mesma reta (reta t).
Se r//s r, s são coplanares e r s =
43
Figura 27: As retas r e s se interceptam no ponto C e são paralelas à reta t
Fonte: Próprio autor
3.7 – Segmento de Reta
Na Geometria Euclidiana definimos segmento de reta como a união de dois pontos
A e B, com o conjunto de todos os pontos que estão entre eles, sendo que todos devem
pertencer à reta AB.
Figura 28: Reta AB e segmento de reta AB
Fonte: Próprio autor
Na Geometria Táxi, o segmento de reta AB é o conjunto de blocos incidentes, que
ligam esses pontos, através de uma viagem direta.
r
44
Figura 29 – Segmento de Reta AB
Fonte: Próprio autor
É importante observar que, dados dois pontos A e B, o segmento de reta AB, na
geometria euclidiana é único. Já na Geometria Táxi isso não ocorre. Podemos observar
na figura 30 dois segmentos de reta AB distintos.
Figura 30: Dois segmentos de reta AB
Fonte: Próprio autor
3.7.1 – Mediatriz de um Segmento
Na Geometria Euclidiana a mediatriz de um segmento é a reta perpendicular ao
segmento, passando pelo seu ponto médio (MOISE, 1971, p.150)
AB segmento de reta AB.
M ponto médio do segmento de reta AB.
r mediatriz do segmento de reta AB.
A
B
A
B
(a) (b)
45
Figura 31: A reta r é a mediatriz do segmento AB
Fonte: Próprio autor
A mediatriz de um segmento, em um plano, é o conjunto de todos os pontos do
plano equidistantes das extremidades do segmento (MOISE, 1971, p.150)
s mediatriz do segmento de reta CD.
P s d(PC) = d (PD) Q s d(QC) = d(QD)
Figura 32: Os pontos P e Q são equidistantes de A e B
Fonte: Próprio autor
A recíproca também é verdadeira: pontos equidistantes da extremidade de um
segmento pertencem à mediatriz desse segmento.
A BM
s mediatriz do segmento de reta CD
P s d(PC) = d(PD)
Q s d(QC) = d(QD)
46
Na Geometria Táxi, a definição de mediatriz é o lugar geométrico dos pontos do
plano, equidistantes das extremidades do segmento.
As figuras 33 e 34 mostram a mediatriz do segmento da reta AB e do segmento
de reta CD, respectivamente.
Na figura 33, dT1 (A, B) = 6. A reta s é a mediatriz do segmento AB. Pela
definição de mediatriz na Geometria Táxi temos dT (GA) = dT (G, B); dT (F, A) =
=dT (F, B); dT (I, A) = dT (I, B)
Figura 33
Figura 33: Mediatriz Táxi do segmento de reta AB
Fonte: Próprio autor
_____________________
1 dT (distância táxi)
G
A
F
B
J
s
47
Na figura 34, a mediatriz do segmento AB é a resta r.
Figura 34: Mediatriz táxi do segmento de reta AB
Fonte: Próprio autor
Como o nosso universo é o conjunto de retas horizontais e verticais, observamos
que no “retângulo” formado pelos pontos C, B, F, A, a mediatriz táxi coincide com a
mediatriz euclidiana. (figura 34)
A partir dos pontos C e F ela é uma linha contínua, formada por blocos
incidentes.
Nas figuras 35 e 36 temos o mesmo segmento de reta AB. Na figura 35 a
mediatriz s possui 3 pontos no “retângulo” hachurado. A partir desse retângulo ela é
formada por blocos incidentes como já vimos nas figuras 33 e 34.
Já na figura 36, o retângulo foi ampliado!
A reta r atende à condição de ter seus pontos eqüidistantes dos pontos A e B.
Analisando dessa forma teremos, para um mesmo segmento, infinitas mediatrizes.
Para podermos restringir a uma só mediatriz consideramos que o “retângulo”
terá como dois de seus vértices as extremidades do segmento.
De acordo com essa restrição, a mediatriz do segmento AB será apenas a reta s.
C
A
D
B
E
r
F
48
Figura 35: Mediatriz táxi considerando a restrição de reta única
Fonte: Próprio autor
Figura 36: Mediatriz táxi sem a condição de reta única
Fonte: Próprio autor
Se os pontos C e D pertencem a uma mesma reta (horizontaL ou vertical), a
mediatriz Táxi coincide com a mediatriz Euclidiana.
A
B
s
r
A
B
49
A
B
C
Figura 37: Mediatriz de um segmento horizontal AB
Fonte: Próprio autor
3.8 – Triângulos na Geometria Táxi
“O triângulo táxi é formado pela união de 3 viagens diretas e essa união é uma
viagem redonda”. (MIRANDA, 1999, p. 103)
Figura 38: Triângulo Táxi ABC
Fonte: Próprio autor
Na figura 38, o triângulo ABC tem o lado AB medindo 4 unidades; o lado BC
medindo 5 unidades e o lado AC medindo 5 unidades. Já na figura 39, o triângulo ADE
tem a mesma forma do ABC da figura 37 e seus lados não têm a mesma medida. No
triângulo da figura 39, o lado AD mede 3 unidades, o lado AE mede 6 unidades e o lado
DE mede 5 unidades.
A B
50
A
D
E
Figura 39: Triângulo Táxi ADE
Fonte: Próprio autor
3.8.1 – Classificação dos triângulos quanto aos lados.
Na Geometria Táxi podemos classificar os triângulos quanto aos lados, da mesma
forma que fazemos na Geometria Euclidiana. Na figura 40 temos um triângulo escaleno
cujos lados medem 7unidades, 6 unidades e 5 unidades.
Figura 40: Triângulo Táxi Escaleno
Fonte: Próprio autor
Na figura 41 temos um triângulo isósceles cujos lados congruentes (lado AB e
lado BC) medem 6 unidades cada um e o outro lado (lado AC) mede 12 unidades.
51
Figura 41: Triângulo Táxi Isósceles
Fonte: Próprio autor
Na figura 42 o triângulo ABC é equilátero. Cada um dos lados mede 6 unidades.
Figura 42: Triângulo Táxi Equilátero
Fonte: Próprio autor
É importante notar que para os pontos A, B, C, dados há vários triângulos
equiláteros ABC, de lado 8, que não têm a mesma forma. (Figuras 43 e 44)
52
A
B
C
A
B
C
Figura 43: Triângulo Equilátero de lado 8 unidades
Fonte: Próprio autor
Figura 44: Triângulo Equilátero de lado 8 unidades
Fonte: Próprio autor
Em um primeiro estudo pensamos ser possível calcular o número de triângulos
através da fórmula vista no item 3.4 desse capítulo.
53
A – B 152!4
6.5!4
!2!4
!6
B - C 206
6.5.4!3
!3!3
!6
C – A 65
!5
!1!5
!6
Seriam 1800 triângulos eqüiláteros ABC, diferentes. Ao analisarmos mais
atentamente a quantidade desse triângulos pudemos perceber que há a possibilidade de
coincidência entre lados de triângulos diferentes. Esse cálculo será objeto de um estudo
posterior a essa dissertação.
3.8.2 – Congruência de Triângulo
A palavra congruência vem do latim “congruentia”, que significa
conveniência, coerência, isto é, que há ligação ou adesão recíproca.
Em Geometria, para provar que duas figuras são congruentes deve-se
mostrar que é possível sobrepor uma sobre a outra, de modo que se
correspondam ponto a ponto. (TOJO, 2006, p. 35 )
Na Geometria Táxi não vamos considerar de forma diferente.
Como os ângulos, na Geometria Táxi, são sempre 90o, a congruência dos lados
não é suficiente para que dois triângulos sejam congruentes.
Figura 45: Triângulos ABC e MNP
Fonte: Próprio autor
54
Na figura 45 temos o triângulo ABC cujos lados medem 7 unidades, 5 unidades e
4 unidades e o triângulo MNP cujos lados têm as mesmas medidas dos lados do
triângulo ABC. Podemos observar que os dois triângulos, embora com lados
congruentes, não são congruentes já que têm formas diferentes.
Surge, então, um questionamento: “Dois triângulos que podem ser superpostos
são necessariamente congruentes?”. Na figura 45 temos dois triângulos que têm a
mesma forma mas seus lados não são congruentes. Esses triângulos são congruentes?
Figura 46: Triângulo ABC e triângulo RST, de mesma forma
Fonte: Próprio autor
Precisamos definir, então, a congruência de triângulos, na Geometria Táxi.
Definição 1: “Dois triângulos serão congruentes se, e somente se, tiverem a
mesma forma não tendo, necessariamente os três lados respectivamente congruentes.”
De acordo com a Def. 1, os dois triângulos mostrados na figura 46 são
congruentes.
Já os triângulos mostrados na figura 45 não são congruentes.
3.8.3. Desigualdade Triangular
Na Geometria Euclidiana em qualquer triângulo um lado é menor que a soma dos
outros dois. Observando a figura 47 podemos ver que os triângulos ABC e PMN não
respeitam essa regra da Geometria Euclidiana.
55
ABC DEF
Figura 47: Triângulo ABC e triângulo PMN onde a desigualdade triangular da
Geometria Euclidiana não se verifica.
Fonte: Próprio autor
Podemos observar que:
dT (A, B) = 8 dT (M, P) = 5
dT (B, C) = 4 dT (P, N) = 7
dT (A, C) = 6 dT (M, N) = 12
No triângulo ABC temos:
dT (A, B) < dT (B, C) + dT (A, C)
8 < 6 + 4
dT (B, C) < dT (A, B) + dT (A, C)
4 < 8 + 6
dT (A, C) < dT (A, B) + dT (B, C)
6 < 8 + 4
No triângulo MNP temos:
dT (M, N) = dT (M, P) + dT (P, N)
12 = 5 + 7
A desigualdade triangular, portanto, não é sempre verificada na Geometria Táxi.
56
N
M
Q
P
B
A
D
C
3.9 – Quadrado na Geometria Táxi
Definição: Um quadrilátero é uma viagem redonda, formada pela união de quatro
viagens diretas.
Na figura 48 temos o quadrilátero MNPQ cujos lados medem 4, 6, 8, 4.
Figura 48: Quadrado Táxi MNPQ
Fonte: Próprio autor
Definição: Um quadrado é um quadrilátero de lados com a mesma medida.
Na figura 49 temos o quadro ABCD cujo lado mede 4.
Figura 49: Quadrado Táxi de lado 4 unidades
Fonte: Próprio autor
É curioso observar o que ocorre na Geometria Táxi!
57
B
A
D
C
N
M
Q
P
As figuras 50, 51 e 52 são congruentes, na perspectiva da Geometria Euclidiana.
Na Geometria Táxi, entretanto, temos na figura 50 um quadrado de lado 5 na figura 51,
um quadrilátero de lados 5, 5, 2, 8; na figura 52, um triângulo de lados 5, 5 e 10.
Figura 50: Quadrado de lado 5 unidades
Fonte: Próprio autor
Figura 51: Quadrilátero de lados 5, 5, 2 e 8 unidades
Fonte: Próprio autor
58
T
R
S
B
A
D
C
Figura 52: Triângulo de lados 5, 5 e 10 unidades
Fonte: Próprio autor
Já as figuras 53, 54 e 55 são todas diferentes mas, todas as três, representam
quadrados de lado 5 unidades.
Figura 53: Quadrado de lado 5 unidades
Fonte: Próprio autor
59
B
A
D
C
B
A
D
C
Figura 54: Quadrado de lado 5 unidades
Fonte: Próprio autor
Figura 55: Quadrado de lado 5 unidades
Fonte: Próprio autor
Analisaremos, agora, quais das propriedades dos quadrados euclidianos se
verificam para os quadrados da Geometria Táxi.
PropriedaDe (1)
Os ângulos formados pelos lados de um quadrado medem 90o.
Na figura 55 podemos observar que o ângulo formado pelos lados CD e DA mede
270o.
60
B
A
D
C
M
A propriedade 1, portanto, não se verifica na Geometria Táxi.
Propriedade (2)
Em todo quadrado as diagonais são congruentes.
Observemos o quadro ABCD, da figura 55. Nesse quadrado, a diagonal BD mede
8 e a diagonal AC mede 10.
Essa propriedade também não se verifica na Geometria Táxi.
Propriedade (3)
Em todo quadrado as diagonais se cortam em seu ponto médio.
Novamente vamos analisar o quadrado ABCD, dia figura 55.
Figura 56: Quadrado ABCD, destacando o ponto M, ponto médio da diagonal AC.
Fonte: Próprio autor
61
B
A
D
C
N
A
D
CM
Figura 57: Quadrado ABCD, destacando o ponto N, ponto médio da diagonal BD
Fonte: Próprio autor
Os pontos M e N não coincidem. A propriedade 3, portanto, também não se
verifica na Geometria Táxi.
Propriedade (4)
Em todo quadrado as diagonais se cruzem formado ângulos de 90o.
Figura 58: Quadrado ABCD e as diagonais AC e BD
Fonte: Próprio autor
O segmento de reta BD é uma das diagonais do quadrado ABCD, de lado 5.
Uma outra diagonal é o segmento de reta AC.
Esses dois segmentos se cruzam formando um ângulo de 90º.
62
BA
D
C
P
BA
D
CE
O ponto M é o ponto de interseção desses dois segmentos.
Na figura 59 podemos observar que o mesmo quadrado ABCD tem as diagonais
AC e BD se interceptando em um ponto P, distinto de M.
O ângulo de interseção das diagonais é 90º.
Figura 59: Quadrado ABCD e as diagonais AC e BD
Fonte: Próprio autor
Para que a propriedade 4 se verifique na Geometria Táxi é necessário que
coloquemos uma condição: as diagonais precisam se interceptar em apenas 1 ponto.
Na Figura 60 podemos observar que as diagonais BD e AC têm como interseção
o bloco EC. O ângulo de interseção não é, portanto, de 90º. Ele mede 0º.
Figura 60: Quadrado ABCD e as diagonais AB e BD
Fonte: Próprio autor
63
Propriedade (5)
Em todo quadrado, as diagonais são bissetrizes dos ângulos dos vértices. A figura
60 mostra que essa propriedade não se verifica. A diagonal AC, desenhada, coincide,
parcialmente, com o lado AB, não dividindo o ângulo em ângulos congruentes.
Com esses exemplos vemos que na Geometria Táxi as propriedades dos
quadrados euclidianos não se verificam.
3.10 – A Circunferência na Geometria Táxi
Tanto na Geometria Euclidiana como a Geometria Táxi a circunferência é
definida da mesma forma, é o lugar geométrico dos pontos do plano, eqüidistantes de
um ponto fixo (centro).
C centro
circunferência euclidiana
Figura 61: Circunferência Euclidiana de centro C
Fonte: Próprio autor
Podemos observar que a circunferência euclidiana tem infinitos pontos.
A distância de qualquer um de seus pontos ao centro é chamado de raio da
circunferência.
Na Geometria Táxi o Universo é o conjunto de retas horizontais e verticais. A
circunferência será formada por pontos. Na figura 62, os pontos P1, P2... P12 formam a
circunferência táxi de raio 3 e centro A.
64
A
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
P8
P9
P10
P11
P12
A
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
P8
P9
P10
P11
P12
Figura 62: Circunferência Táxi de raio 3 unidades
Fonte: Próprio autor
Se modificamos o conjunto universo, considerando agora o espaço bidimensional
IR2, poderemos ligar os pontos P1, P2 ..., P12. A figura obtida é uma circunferência táxi,
de raio 3. Ela é formada por infinitos pontos. A figura 63 mostra essa circunferência.
Figura 63: Circunferência Táxi no IR2
Fonte: Próprio autor
3.10.1 – Cálculo de “” na Geometria Táxi
O comprimento de uma circunferência é calculado através da fórmula C = 2r.
Essa fórmula foi obtida empiricamente. A letra (do alfabeto grego) representa a razão
65
B
A
C
1
23
entra a medida do comprimento da circunferência e seu diâmetro. Seu valor é um
número irracional que, com 4 casas decimais, vale 3,1416.
Na geometria Táxi, o valor de é obtido através do cálculo da mesma razão. .
Vamos analisar duas circunferências e calcular o valor de para a Geometria
Táxi.
Figura 64: Três circunferências táxi
Fonte: Próprio Autor
Na figura 64 (1) o centro da circunferência é o ponto A, seu raio mede 1 e seu
perímetro, 4.
Na figura 64 (2) o centro da circunferência é o ponto B, seu raio mede 2 e seu
perímetro, 16.
Na figura 64 (3) o centro da circunferência é o ponto C, seu raio mede 4 e seu
perímetro, 32.
Na circunferência da figura 64 (1), o raio é unitário e o perímetro mede 8
unidades. Aplicando a fórmula C = 2r, encontramos para , o valor 4.
Na circunferência da figura 64 (2), o raio é igual a 4 unidades. O perímetro mede
32 unidades. O valor de é igual a 4 unidades.
Na geometria Táxi, o valor de também é constante, só que seu valor não é o
número irracional 3,1415... mas sim o número natural 4.
O que foi mostrado através de dois exemplos pode ser demonstrado.
66
B
A
D
C
Teorema 1
Um círculo táxi de raio r tem 4r pontos.
Demonstração:
Figura 65: Circunferência Táxi na malha quadriculada
Fonte: Próprio autor
Inicialmente vamos considerar apenas os pontos A, B, C e D da circunferência
da figura 65, de raio 3.
O raio r é determinado pela projeção vertical dos pontos A, B, C, D. O raio terá,
portanto, 4 pontos.
O perímetro da circunferência da figura 65 terá 12 pontos.
Como a circunferência tem 4 lados, teremos 12 pontos
4 x 4 – 4 = 12
Pontos que são contados duas vezes.
67
B
A
D
C
E
A 2
A 1
A r
A r + 1
Figura 66: Circunferência Táxi de raio 4
Fonte: Próprio autor
A circunferência da figura 66 tem raio igual a 4 e 5 pontos em cada lado.
Raciocinando analogamente temos que a circunferência da figura 66 terá 16
pontos no seu perímetro e 5 pontos no seu raio.
4 x 5 - 4
Pontos que são contados duas vezes.
Fazendo uma generalização temos:
V medida do raio da circunferência
No de pontos 4 (r + 1) – 4 = 4r + 4 – 4 = 4r
Figura 67: Parte de uma circunferência Táxi de raio r
Fonte: Próprio autor
68
Teorema 2
O perímetro ou comprimento de uma circunferência táxi de raio r mede 8r.
Demonstração:
Consideremos um quarto do círculo (figura 67)
rrrdrAAT 21,1
Como o círculo tem 4 lados, o seu comprimento será 8r.
Como o perímetro da circunferência táxi é 8r, dividindo-se o perímetro pelo
diâmetro temos:
42
8
r
r (valor de na Geometria Táxi)
3.11 – A Geometria Táxi no Referencial Cartesiano
Todo o estudo que foi feito até aqui, na malha quadriculada, pode ser feito no
referencial cartesiano.
Os pontos serão representados por pares ordenados.
Consideraremos como Universo, o plano IR2.
3.11.1 – A distância Táxi
Dados os pontos A (- 1, 2) e B (3, - 4), calcule a distância euclidiana entre eles.
Na Geometria Euclidiana calculamos a distância entre dois pontos através da
fórmula:
22, ABABE yyxxBAd
361624)13(,22 BAdE
13252, BAdE
69
A
C
x
y
B
- 43
- 1
2
Figura 68: Distância Euclidiana entre os pontos A e B
Fonte: Próprio Autor
A distância Táxi entre os pontos A (- 1, 2) e B (3, - 4) será a soma das medidas dos
catetos do ABC.
ABABT yyxxBAd ,
10642413, BAdT
Teorema 3.
Quando os pontos têm a mesma abscissa ou a mesma ordenada, a distância
euclidiana e a distância táxi coincidem.
Demonstração
1o caso ordenadas iguais
A (xA, y) e B (xB, y)
BAdxxxxyyxxBAd TBABABAE ,)()(, 22
2o caso Abscissas iguais
C(x, yc) e D (x, yD)
70
DCdyyyyDCdyyyyyyxxDCd TDCDcTDCDCDCE ,,)()()(),(2222
3.11.2 – Equivalência entre dT e dE
É possível se estabelecer uma relação entre dT e a dE, isto é, dT – k . dE. O valor
de k obtido é
21
1
m
mk
Fonte: Abreu, Barroso, Miranda, 2003
onde m é o coeficiente angular da reta euclidiana que passa pelos pontos considerados.
3.11.3 – A mediatriz táxi no referencial cartesiano
A definição de mediatriz, na Geometria Táxi, é o lugar geométrico dos pontos do
plano, eqüidistantes dos pontos considerados.
P (x, y)
dT (P, A) = dT (P, B)
Vamos considerar os pontos A (2,3) e B ( 5,7)
2 3 5 7x y x y
A equação modular acima dá origem a 9 equações, a saber:
1a equação
x < 2 e y < 3
Considerando os intervalos acima, teremos a equação – x + 2 – y + 3 = - x + 5 –
y + 7.
Resolvendo a equação, temos: 5 = 12
Logo, não há mediatriz Táxi no intervalo considerado.
71
2a equação
2 ≤ x < 5 e y < 3
x – 2 – y + 3 = - x + 5 – y + 7
x = 5,5
Como o valor encontrado para x não pertence ao intervalo considerado, nele também
não teremos a mediatriz Táxi.
3a equação
x ≥ 5 e y < 3
Procedendo da mesma forma, chegaremos à sentença x = 0,5. Pelo mesmo argumento
usado na segunda equação podemos concluir que no intervalo acima também não
teremos a mediatriz Táxi.
4a equação
x < 2 e 3 ≤ y < 7
- x + 2 + y – 3 = - x + 5 – y + 7
y = 6,5
Como 6,5 pertence ao intervalo considerado, nele a mediatriz é uma reta horizontal, isto
é, a reta y = 6,5.
5a equação
2 ≤ x < 5 e 3 ≤ y < 7
x – 2 + y – 3 = -x + 5 – y + 7
x + y = 8,5
Nesse intervalo, a mediatriz é uma reta de coeficiente angular igual a menos 1 e
coeficiente linear igual a 8,5.
6a equação
x ≥ 5 e 3 ≤ y < 7
x – 2 + y – 3 = x – 5 – y + 7
y = 3,5
72
No intervalo considerado, a mediatriz novamente é uma reta horizontal, isto é, a reta y =
3,5.
7a equação
x < 2 e y ≥ 7
- x + 2 + y – 3 = - x + 5 + y – 7
- 5 = -2 ( sentença falsa)
Como não há solução para a equação no intervalo considerado, podemos concluir que
não há mediatriz nesse intervalo.
8a equação
2 ≤ x < 5 e y ≥ 7
x – 2 + y – 3 = - x + 5 + y – 7
x = 1,5
Mas, o valor encontrado para x não pertence ao intervalo considerado. Logo, nesse
intervalo, a equação não tem solução. Portanto, não há mediatriz Táxi, na região
estudada.
9a equação
x ≥ 5 e y ≥ 7
x – 2 + y – 3 = x – 5 + y – 7
- 5 = -12
Não há solução no intervalo considerado, logo não existe mediatriz Táxi no dito
intervalo.
Após resolver as 9 equações acima, podemos desenhar a mediatriz Táxi do segmento
AB, sendo A (2, 3) e B ( 5, 7).
73
Figura 69: Mediatriz Táxi do segmento de reta AB, considerando a métrica Táxi
Fonte: Próprio Autor
Vamos, agora, considerar os pontos M (3,2) e N( 7, 6). Procedendo da mesma forma,
teremos como mediatriz Táxi desse segmento um segmento de reta e duas regiões do
plano.
É importante observar que no interior da região fechada formada pelos pontos extremos
do segmento, a mediatriz Táxi coincide com a mediatriz Euclidiana. Quando saímos
dessa região, poderemos obter duas semirretas ou duas regiões.
A figura 69 mostra a mediatriz do segmento de reta MN.
74
3.9.4 – A circunferência Táxi
Figura 70: Mediatriz Táxi do segmento de reta MN, considerando a métrica Táxi
Fonte: Próprio Autor
3.11.4 – A circunferência táxi no referencial cartesiano
A circunferência Táxi é o lugar geométrico dos pontos do plano eqüidistantes de
um ponto fixo.
Se considerarmos uma circunferência de centro C (xc, yc) e raio r, sua equação
será:
|x – xc| + |y – yc| = r
Suponhamos que uma circunferência tenha centro no ponto C (2, 3)
e raio igual a 4.
75
Vamos determinar suas equações e fazer seu desenho no referencial cartesiano.
|x – 2| + |y – 3| = 4
A equação modular acima dá origen a 4 equações.
1a equação
x < 2 e x < 3
– x + 2 – y + 3 = 4
y = - x + 1
2a equação
x ≥ 2 e x < 3
x – 2 – y + 3 = 4
y = x – 3
3a equação
x < 2 e y ≥ 3
– x + 2 + y – 3 = 4
y = x + 5
4a equação
x ≥ 2 e y ≥ 3
x – 2 + y – 3 = 4
y = - x + 9
76
C
y
x
2
3
Figura 71: Circunferência Táxi no referencial cartesiano
Fonte: Próprio Autor
77
4 A PESQUISA: DESCRIÇÃO, OBSERVAÇÕES E ANÁLISE
Os objetivos desse trabalho foram observar as reações que professores de
matemática apresentam ao lidar com tópicos da Geometria Táxi e também analisar seus
questionamentos e suas sugestões frente à possibilidade de usar essas atividades para
alunos do Ensino Fundamental e Ensino Médio.
As atividades propostas foram elaboradas para alunos do Ensino Fundamental e
Ensino Médio. Julgamos necessário, entretanto, que essas atividades fossem analisadas
por professores para que suas reações, sugestões e eventuais dificuldades pudessem
nortear a elaboração futura de um material paradidático.
Os professores que atuaram nessa pesquisa são pessoas que já têm experiência
em sala de aula tanto no Ensino Fundamental como no Ensino Médio. Mesmo sendo
pessoas experientes em sala de aula pudemos observar como muitos se sentiram
inseguros na resolução das atividades propostas. Um professor de um dos grupos
chegou a dizer que “precisamos ter uma base axiomática muito precisa para podermos
trabalhar essa Geometria com alunos, sejam eles do Ensino Fundamental ou Ensino
Médio”. Pudemos observar que trabalhar com uma disciplina que nos permite várias
interpretações pode deixar inseguros mesmo professores experientes. Posteriormente
detalharemos cada grupo pesquisado, suas reações, seus comentários e suas sugestões.
O estudo proposto foi feito através de um paralelo entre a Geometria Táxi e
Geometria Euclidiana. A perspectiva de trabalhar de forma paralela nos pareceu melhor
já que, quando tomamos contato com a Geometria Táxi, também sentimos muita
insegurança em relação a tantas possibilidades que ela oferece. Segundo Krause, “para
apreciarmos inteiramente a Geometria Euclidiana precisamos ter algum contato com a
Geometria não Euclidiana”3
Acreditamos que a construção de uma Geometria não Euclidiana, poderá
propiciar a professores e alunos experimentar uma nova forma de trabalho, que os leve a
perceber que podemos ver o mundo de formas diferentes, basta que mudemos os nossos
referenciais.
A Geometria Táxi apresenta essa possibilidade de estudo já que atende aos
critérios que Krause apresenta como necessários:
a) Ser bem próxima da geometria euclidiana em seus axiomas estruturais.
b) Ter aplicações significativas.
3 Tradução feita pela autora do trabalho.
78
c) Ser compreensível para qualquer pessoa que queira iniciar um curso de
Geometria.
Nossa proposta tenta se fundamenta nos PCN já que:
Os conceitos geométricos constituem parte importante do currículo de
Matemática no ensino fundamental, porque, por meio deles, o aluno
desenvolve um tipo especial de pensamento que lhe permite compreender,
descrever e representar, de forma organizada, o mundo em que vive. (PCN,
1997, p. 55)
A Geometria Táxi, diferentemente da Geometria Elíptica e da Geometria
Hiperbólica atende aos critérios apresentados por Krause, diferindo da Geometria
Euclidiana apenas na métrica.
Em nossa caminhada como professora temos observado que as Geometria
não Euclidianas são pouco exploradas por professores e alunos do Ensino
Fundamental e Médio. O trabalho com Geometria se restringe à Geometria
Euclidiana, dando a impressão de que outras geometrias não existem ou são tão
inacessíveis que não devem ser estudadas nessa etapa escolar. O ensino da
Geometria Táxi, sendo uma geometria não euclidiana de fácil compreensão,
permite a muitos perceber a Geometria através de uma nova perspectiva,
possibilitando uma alternativa de ensino que até hoje é pouco explorada.
As atividades foram elaboradas tendo como base a proposta de Zabala, proposta
esta já citada na página 17 dessa dissertação. Tais atividades tiveram como público alvo
alunos do Ensino Fundamental e Ensino Médio. Conforme já esclarecemos
anteriormente, optamos por aplicá-las a professores.
4.1 - O Caminho Trilhado
Optamos, nesse trabalho, pela pesquisa qualitativa que, segundo Lüdke e André
(1986, p. 11) “tem o ambiente natural como sua fonte direta de dados e o pesquisador
como seu principal instrumento”.
A presença do pesquisador observando o trabalho dos pesquisados pode alterar
seus comportamentos mas, segundo Fiorentini de Lorenzato (2006, p. 108) “Se, por um
lado, a observação pode provocar alterações no comportamento dos observados, por
outro, a observação in loco facilita a compreensão do significado que estes dão à
realidade”.
79
Trabalhamos como ‘observador participante’ que, segundo os mesmos autores.
é um papel em que a identidade do pesquisador e os objetivos do estudo são
revelados ao grupo pesquisado desde o início. Nessa posição, o pesquisador
pode ter acesso à uma gama variada de informações, até mesmo
confidenciais, pedindo cooperação ao grupo. (LÜDKE; ANDRÉ,1986, p. 29)
Dessa forma conseguimos uma comunicação ampla com os grupos pesquisados.
Segundo Lüdke e André.
a observação possibilita um contato pessoal e estreito do pesquisador com o
fenômeno pesquisado, o que apresenta uma série de vantagens. Em primeiro
lugar, a experiência direta é sem dúvida o melhor teste de verificação da
ocorrência de um determinado fenômeno. “Ver para crer” dia o ditado
popular. (LÜDKE; ANDRÉ,1986, p. 26)
A pesquisa foi feita em 4 etapas distintas.
a) Pesquisa Bibliográfica, para estudo teórico da Geometria Táxi.
b) Elaboração de um módulo de atividades que, mais tarde, foram aplicadas aos grupos
pesquisados.
c) Aplicação das atividades nos dois grupos pesquisados, onde os dados foram
coletados.
d)Análise da aplicação das atividades.
4.1.1 - 1a Etapa: Pesquisa Bibliográfica
Iniciamos o nosso trabalho estudando a Geometria Táxi tendo como principal
fonte de consulta o Livro “Taxicaby Geometry, de Eugene F. Krause (1973)
Após o estudo detalhado do livro acima citado, usamos ainda como fontes de
consulta o capítulo “Das cidades à geometria táxi” de Miranda, Abreu e Barroso (2003)
no livro: ‘Geografia, modelos de análise espacial e GIS’, organizado por João Francisco
de Abreu e Leônidas Conceição Barroso, o artigo ‘Geometria Táxi: Uma Geometria
Não-Euclidiana Descomplicada’, de Dimas Felipe de Miranda, Leônidas Conceição
Barroso e João Francisco de Abreu (2005), o livro ‘Convite às Geometria Não-
Euclidianas’, de Lázaro Coutinho (2001) e a Dissertação “Geometria Táxi, uma métrica
para os espaços geográficos e urbanos – uma análise exploratória”, de Dimas Felipe de
Miranda, (1999).
80
Após estudar a Geometria Táxi em diferentes perspectivas ficou claro para nós
que um estudo paralelo entre essa geometria e a Geometria Euclidiana seria uma forma
de tornar seu estudo significativo para os alunos.
Escolhemos alguns conceitos da Geometria Euclidiana para fazermos o paralelo
entre as geometrias.
Usamos como primeira referência para a revisão do estudo da Geometria
Euclidiana o livro ‘Geometria Moderna’ de Edwin E. Moise. Consultamos também os
livros didáticos:
a) ‘ Fundamentos de Matemática Elementar’, volume 9, de Osvaldo Dolce e José
Nicolau Pompeo (2005)
b) ‘Geometria’, de Aref Antar Neto, Nilton Lapa, José Luiz Pereira Sampaio e Sidney
Luiz Cavallantte (1979)
O estudo paralelo das duas geometrias é o conteúdo do capítulo 3 dessa
dissertação.
4.1.2 - 2a Etapa: Elaboração das Atividades
Ao elaborarmos cada atividade procuramos nos orientar pelas questões propostas
por Zabala. Faremos, nesse parte do trabalho, a exposição de como pensamos nas
atividades ao elaborá-las. Esse estudo preliminar serviu como parâmetro nas análises
feitas a partir do que foi dito pelos professores pesquisados.
As atividades estão em anexo.
ATIVIDADE 1 – A distância Táxi
Essa atividade tem por objetivo trabalhar a distância Táxi e compará-la com a
distância Euclidiana.
Esse primeiro contato do aluno com a Geometria Táxi precisa ser feito de forma
a não desestimulá-lo logo na primeira aula. O uso do papel milimetrado torna esse
objetivo viável considerando que é um material de uso comum. O professor, nessa
atividade, deve trabalhar de forma intuitiva de modo que o aluno vá, passo- a–passo
conhecendo a Geometria Táxi.
No nosso entendimento esse primeiro contato será visto quase como uma
brincadeira: trabalhar com o papel quadriculado e “descobrir” uma nova maneira de
81
calcular a distância entre dois pontos. Imaginamos, também, que o aluno não terá
dificuldade com essa nova métrica. Segundo Abreu, Barroso e Miranda (2005, p.2) ela é
a viagem de um táxi numa cidade, cujas ruas estendem-se vertical e horizontalmente em
um quadra ou malha urbana, que convenientemente pode ser associada ao plano
euclidiano.
ATIVIDADE 2 – Quantidade de Caminhos
O objetivo dessa atividade é calcular a quantidade de caminhos que podemos
trilhar entre dois pontos, considerando a menor distância Táxi.
Esse cálculo, inicialmente, deverá ser feito de forma intuitiva, contando mesmo
os caminhos que existem entre dois pontos. Para isso a distância entre os pontos deve
ser muito pequena para que a contagem não se torne muito difícil e demorada, causando
desânimo aos alunos. Fica evidente que, a partir do momento que consideramos pontos
que sejam mais distantes, essa forma de “calcular” a distância ficará quase impossível.
Nesse momento poderemos apresentar aos alunos a fórmula do cálculo da quantidade de
caminhos.
Para alunos do Ensino Médio que já conheçam Análise Combinatória poderemos
apresentar a fórmula seguinte:
( )
Sendo:
N número total de caminhos
n soma da distância horizontal com a distância vertical
p menor das duas distâncias
Já para alunos que ainda não conhecem a Análise Combinatória poderemos usar
a fórmula abaixo. Ela também requer que o aluno conheça o conceito de fatorial, que
poderá ser apresentado já com uma aplicação.
( )
82
Sendo:
v distância vertical entre os dois pontos
h distância horizontal entre os dois pontos
Ao elaborarmos essa atividade imaginamos que os alunos poderão ter alguma
dificuldade no cálculo enquanto a fórmula não for apresentada. Acreditamos que um
trabalho inicial mais demorado com a contagem manual poderá facilitar o uso da
fórmula já que ela virá como um elemento salvador do trabalho braçal. Desse modo o
primeiro exercício da atividade deverá ser explorado exaustivamente para, em seguida,
tentarmos que o próprio aluno descubra a fórmula para o cálculo da distância.
Mais uma vez nos apoiamos em Zabala (1998, p.63) quando ele coloca que as
atividades propostas “representem um desafio alcançável para o aluno, quer dizer, que
levam em conta suas competências atuais e as façam avançar com a ajuda necessária”.
Outra dúvida nossa é quanto ao uso, por alunos da oitava série, de uma fórmula
que envolva fatorial.
ATIVIDADE 3 – A circunferência Táxi
Os objetivos dessa atividade são:
a) Construir uma circunferência Táxi.
b) Calcular o valor de para a Geometria Táxi
Segundo Zabala cada atividade deve provocar um conflito cognitivo e promover a
atividade mental do aluno, necessária para que estabeleça relações entre os novos
conteúdos e os conhecimentos prévios.
Nessa perspectiva a atividade de construção da circunferência Táxi deverá atender a
essa questão. Imaginar que um quadrado é uma circunferência é realmente conflitante.
ATIVIDADE 4 – A mediatriz Táxi
Nessa atividade propusemos a construção da mediatriz euclidiana e da mediatriz
táxi. O conceito de mediatriz é o mesmo tanto na Geometria Euclidiana como na
Geometria Táxi: Segundo Moise (1967, p.150) “... num plano dado, a mediatriz de um
segmento é a reta perpendicular ao segmento, passando pelo seu ponto médio”.
83
Um dos objetivos dessa atividade foi mostrar que existe uma região entre os
pontos dados que a mediatriz Táxi e a mediatriz Euclidiana coincidem. Outro objetivo
foi verificar se os professores pesquisados perceberiam que a região onde a mediatriz
táxi não coincide com a mediatriz euclidiana ela será horizontal ou vertical, dependendo
das distâncias horizontais e verticais entre esses dois pontos.
Essa atividade foi elaborada com cinco exercícios.
Ao elaborarmos essa atividade, imaginamos que será necessária uma explicação
prévia que relembre aos alunos o conceito de mediatriz euclidiana para que eles tenham
condições de explorar bem a atividade proposta. E, ainda mais, tenham interesse em
fazer essa exploração.
Segundo Zabala
O fato de que seja mais ou menos interessante dependerá da forma e das
características da exposição. A maneira de fazê-la, o tipo de relações e
cumplicidades que se estabelecem entre professor e aluno, os exemplos, a
empatia e o grau de comunicação são as cartas de que o professor pode dispor
[....] para fomentar o interesse pela aprendizagem. (ZABALA, 1998, p. 65)
ATIVIDADE 5 – Triângulos
No capítulo 3 dessa dissertação, item 3.8, fizemos um estudo dos triângulos sob
a perspectiva da métrica táxi. A classificação, os casos de congruência e a desigualdade
triangular foram estudados a partir do conceito da geometria euclidiana. Nessa atividade
propusemos que os alunos percorressem o mesmo caminho que nós, isto é, que fizessem
o estudo do triângulo na geometria Táxi fazendo um paralelo com a geometria
euclidiana.
ATIVIDADE 6 – Quadrados
Assim como na atividade com triângulos, a atividade de construção do quadrado
táxi pode gerar muitas dúvidas. A figura ‘quadrado’ é conhecida desde a pré-escola e
imaginar que os alunos aceitariam que um quadrado não tem a forma que está
incorporada à sua vida provavelmente levantará muitas dúvidas.
Ao elaborarmos essa atividade, pensamos em enfatizar desde o início a ideia de
que dependendo do caminho escolhido, podemos chegar a conclusões bem distintas,
partindo de uma mesma hipótese. Essa preocupação deve nortear o trabalho do
84
professor em sala de aula já que lidar com situações muito distintas daquelas do
cotidiano pode trazer desânimo ao aluno. Voltamos a Zabala ( 1998) “as atividades
devem partir de situações significativas e funcionais, a fim de que o conteúdo possa ser
aprendido junto com a capacidade de poder utilizá-lo quando seja conveniente”.
ATIVIDADE 7 – ATIVIDADE MULTIDISCIPLINAR
Após o estudo da reta, da mediatriz, do triângulo e do quadrado, uma atividade
que aplique esses conteúdos a situações cotidianas proporciona uma forma de
motivarmos ainda mais o estudo da Geometria Táxi. Nos limitamos a quatro situações-
problema para que não se torna-se muito cansativo essa atividade de fechamento da
pesquisa.
4.1.3 - 3a Etapa: Aplicação das atividades
A aplicação das atividades foi feita com os professores voluntários, que têm
experiência com o Ensino Fundamental e Médio. O objetivo de escolhermos professores
para a aplicação das atividades foi a busca de levantar sugestões e críticas como também
complementações para que as atividades pudessem se tornar realmente um instrumento
significativo de aprendizagem. Foram aplicadas todas as sete atividades aos dois grupos,
em momentos distintos e com diferentes atuações da pesquisadora.
Encontro com o primeiro grupo de professores ( GRUPO A)
O grupo A era formado por professores que freqüentavam um dos cursos de
pógraduação da Pucminas, em Belo Horizonte.
O encontro com o grupo A teve duas etapas: a primeira, na véspera da coleta de
dados. Participamos com eles das aulas do Prof. Miranda, na sexta-feira, durante todo o
dia. Isso permitiu à pesquisadora conhecer bem os colegas com os quais trabalharia na
manhã seguinte para a coleta de dados. Como já dissemos (p. 68) a participação muito
próxima da pesquisadora pode alterar algumas situações mas, por outro lado, a
aproxima do grupo, permitindo uma maior interação.
O grupo A era composto por 14 professores, que foram divididos em sete duplas,
denominadas, a partir de agora como subgrupo1, subgrupo 2, ....subgrupo 7.Isso
85
facilitou o trabalho da pesquisadora quando das observações, dúvidas e
questionamentos feitos pelos professores.
No primeiro contato com a turma, tivemos a oportunidade de trabalhar com eles
a fundamentação teórica da Geometria Táxi. Trabalhamos em um laboratório de
informática onde algumas figuras geométricas foram construídas no computador. Essas
atividades foram propostas pelo professor Miranda, já com o objetivo de introduzi-los
no estudo da Geometria Táxi.
No dia seguinte, sábado, fizemos a pesquisa propriamente dita.
As atividades foram propostas aos sete subgrupos. Inicialmente eles trabalharam
sozinhos, sendo observados pela pesquisadora.
Apesar de já terem tido um primeiro contato com a Geometria Táxi, percebeu-se
que ainda se surpreendiam com as construções geométricas a partir de uma nova
fundamentação axiomática.
Encontro com o segundo grupo de professores (GRUPO B)
Os professores desse grupo também frequentavam um curso de pós-graduação
da Puc Minas, em Belo Horizonte. O encontro com esse grupo ocorreu seis meses após
o encontro com o grupo A.
As mesmas atividades foram apresentadas ao grupo B, de professores. O
encontro com essa turma se deu de forma diferente. Nos encontramos apenas no sábado,
para aplicação das atividades. Eles sabiam do propósito das atividades e, como o grupo
A, colaboraram muito nos comentários e nas dúvidas levantadas.
Esse grupo era composto por treze professores. Formamos cinco subgrupos de
dois professores e um subgrupo de três. Os subgrupos foram numerados de 1 a 6, sendo
que o subgrupo 6 era formado por três pessoas.
Da mesma forma como foi feito com o grupo A, o professor Miranda já havia
introduzido a Geometria Táxi para eles.
Na sequência, serão relatados os comentários, as dúvidas e as sugestões
levantadas pelos participantes dos grupos A e B.
86
4.1.4. - 4a Etapa : Análise da Aplicação das Atividades
ATIVIDADE 1
GRUPO A
Nessa primeira atividade não foi feito qualquer questionamento. Eles foram
unânimes em dizer que a atividade atendia bem ao objetivo e que alunos a partir da 8a
série não teriam dificuldade em resolvê-la. Alertaram quanto a questão do tempo
disponível para ela. O grupo 2A(dupla 2 do grupo A) questionou o tempo necessário
para a execução dessa atividade. Segundo eles, uma aula, que era o que estava proposto
pela pesquisadora, não seria suficiente. Os demais colegas, entretanto, concordaram que
há diferentes turmas de 8a
série e que caberia ao professor que trabalhasse com a turma
verificar esse tempo necessário. O importante, segundo o grupo 3A, é deixar que os
alunos realizem a atividade sem qualquer pressão quanto ao tempo de para que possam
realmente iniciar a construção dessa geometria, ainda desconhecida para eles.
O que foi pensado pela pesquisadora ao elaborar essa atividade, foi manifestado
pelos professores do grupo A.
GRUPO B
No grupo B a atividade também transcorreu de forma tranquila. Não foram
levantados questionamentos e todos concordaram que os alunos não teriam dificuldade
em resolver as atividades propostas.
ATIVIDADE 2
A preocupação da pesquisadora em relação à dificuldade inicial dos alunos
quanto ao cálculo do número de caminhos entre dois pontos foi confirmada pelos
professores. Eles levantaram duas questões:
a) os grupos A e B questionaram a dificuldade de alunos da oitava série obterem a
quantidade de caminhos táxi, já que esse valor é calculado a partir de uma fórmula
da análise combinatória.
b) os dois grupos também sugeriram que se começasse o trabalho de forma intuitiva,
com uma contagem manual, para que o uso da fórmula fosse uma alternativa
facilitadora.
87
O subgrupo 5A manifestou da seguinte maneira: “A dificuldade será tanta para
contar a quantidade de caminhos que os alunos sentirão um grande alívio ao tomarem
conhecimento da fórmula.”
O subgrupo 4B sugeriu que após a apresentação da fórmula que ela fosse
verificada para os casos que já haviam sido contados manualmente.
O grupo 6B sugeriu que, antes de se iniciar o trabalho com a Geometria Táxi,
que fosse apresentado aos alunos o conceito de fatorial e que a fórmula fosse dada como
Número de caminhos!!
)!(:
hv
hv
onde v indica a distância vertical entre os pontos e h, a distância horizontal.
A preocupação da pesquisadora em relação à dificuldade inicial dos alunos
quanto ao cálculo do número de caminhos entre dois pontos foi confirmada pelos
professores.
ATIVIDADE 3
As interrogações e sugestões nessa atividade foram muitas.
a) subgrupo 6B – Será que podemos falar em perímetro da circunferência quando o
nosso universo é um conjunto de retas paralelas e perpendiculares?
b) subgrupo 1A – Tem sentido falar em raio da circunferência táxi?
c) subgrupo 4A – Como os pontos da circunferência foram ligados, como contar para
calcular o perímetro?
d) subgrupo 5B – Será que não estamos confundindo contínuo e discreto?
e) subgrupo 7A – Será que o enunciado está claro quanto à marcação dos pontos? Um
aluno de oitava série marcaria os pontos considerando a forma de medir da
Geometria Táxi?
f) subgrupos 2A, 4B e 7A – Não ficou claro na atividade o que é uma região aberta. É
necessário que essa definição seja colocada antes da apresentação da atividade.
Na aplicação das atividades no Grupo A, a dificuldade nessa atividade foi muito
grande.
Nessa hora a intervenção do professor Miranda foi muito importante. Ele
explicou que as dúvidas dos grupos em relação à construção da circunferência táxi
88
são comuns a todos, mesmo professores que têm experiência com o ensino de
geometria. Estamos tão presos ao nosso pensamento euclidiano que fica difícil
entender como se obter infinitos pontos dessa circunferência.
Os professores do grupo 4A insistiram na dificuldade que eles estavam tendo
para construir essa circunferência e sugeriram que o trabalho fosse feito de forma mais
gradativa a fim de familiarizar o aluno de oitava série de uma forma mais lenta com essa
“nova forma” da circunferência.
Quanto ao questionamento feito por professores dos dois grupos, sobre a falta de
definição do que é uma região aberta, foi interessante constatar que alguns participantes
apresentaram soluções diferenciadas e coerentes para as possíveis interpretações que
eles atribuíram ao termo “região aberta”.
ATIVIDADE 4
Nessa atividade o subgrupo 3B questionou quanto à clareza do enunciado do
exercício 2. Para esse grupo, um aluno de oitava série poderia entender que a distância
pedida não era a distância táxi.
O subgrupo 6B alegou que a atividade poderia ser ampliada, para dar
oportunidade aos alunos perceberem que na região da “viagem redonda” entre os pontos
extremos do segmento, a mediatriz táxi coincide com a mediatriz euclidiana.
A pesquisadora tinha dois objetivos para essa atividade. O primeiro deles, a
coincidência da mediatriz táxi com a mediatriz euclidiana na região da viagem redonda.
Esse objetivo foi alcançado: todos os subgrupos visualizaram essa propriedade da
meditriz táxi. Já o outro objetivo, perceber que a mediatriz táxi é horizontal ou vertical
quando não coincide com a mediatriz euclidiana, não foi alcançado. Nenhum subgrupo
conseguiu visualizar essa propriedade da mediatriz táxi.
A pesquisadora não fez qualquer intervenção para induzir os subgrupos a
perceber essa propriedade. Ela imaginou que qualquer participação dela nesse sentido
poderia provocar nos professores algum constrangimento e, consequentemente,
deixassem de trabalhar de forma autônoma e espontânea.
89
ATIVIDADE 5
Essa atividade, juntamente com a atividade 06, levou os subgrupos a refletirem
muito. Eles se surpreenderam a cada descoberta em relação ao triângulo táxi. Eles
tentavam se colocar na posição de alunos da oitava série e imaginavam a surpresa de
cada um deles ao perceber como que as propriedades da Geometria Euclidiana não se
verificam na Geometria Táxi.
Subgrupo 5B – Ficamos imaginando como um aluno da oitava série se
surpreenderá ao ver que modificando a posição dos vértices do triângulo, ele continua
sendo um triângulo, mas de lados diferentes.
Subgrupo 7A – O que mais nos surpreendeu foi a propriedade da desigualdade
triangular não se verificar na Geometria Táxi. É difícil imaginar que, em um triângulo
um lado possa ser igual à soma das medidas dos outros dois. O nosso pensamento é
“muito euclidiano”.
Subgrupo 1A – Como é difícil sair de um pensamento tão arraigado em nós
como a Geometria Euclidiana.
Subgrupo 3B – Imaginar que triângulos que têm os lados com as mesmas
medidas não podem ser superpostos, isto é, não são congruentes, é muito difícil para
nós. Imaginem para alunos da oitava série! Eles provavelmente precisarão de algum
tempo para assimilarem essa nova ideia.
Subgrupo 4B – Quando iniciamos essa atividade não tínhamos ainda noção do
que encontraríamos. Estamos surpresos! É interessante notar como nós, professores que
já atuamos há algum tempo em sala de aula não conseguimos imaginar uma matemática
que não seja exata e imutável.
ATIVIDADE 6
Subgrupo 1B – É impressionante como nosso pensamento está preso à
Geometria Euclidiana. Para nós foi muito difícil ‘acreditar’ nesses quadrados que
desenhamos. Tão diferentes da nossa idéia de quadrado, aquela figura tão certinha.
Subgrupo 2A – Sugerimos que o exercício 3 dessa atividade seja subdividido em
mais exercícios, para que o aluno da oitava série seja capaz de perceber como calcular a
90
quantidade de quadrados, já que se trata do princípio fundamental da contagem aplicado
a um cálculo já feito do número de lados.
Subgrupo 4B – A nossa cabeça ainda não aceita um mundo não euclidiano.
ATIVIDADE 7
Essas atividades levantaram muitas dúvidas.
Subgrupo 7A – Essas atividades nos levaram a analisar situações que,
normalmente, não refletimos no nosso dia-a –dia. Nós, professores de matemática,
geralmente, temos uma visão muito cartesiana das situações. Isso nos levou a pensar
que, no caso do problema da ambulância, a mais próxima seria a mais indicada a
socorrer o acidente. Temos que ampliar nossa visão em todos os sentidos.
Subgrupo 3B – No exercício 3 dessa atividade, não ficou claro para nós se devemos
considerar a cidade limitada. Ficou confuso para entendermos esse problema!
Subgrupo 4B – Ao trabalhar com a atividade da circunferência, o grupo foi induzido
a pensar que o valor de pi, na Geometria seria sempre igual ao valor do raio da
circunferência. Esse grupo alegou que essa coincidência de valores no exercício os
levou a uma conclusão errada. Sugeriram que mais circunferências, com raios
diferentes, fossem dadas para evitar esse equívoco.
Subgrupo 1A- Esse grupo observou que a mesma figura poderá ser um quadrado
ou um triângulo, dependendo dos pontos considerados.
Subgrupo 3A – “Como desenhar a circunferência ‘atravessando quarteirões’, já
que a cidade é táxi?”
Subgrupo 6B- Esse grupo concluiu que quando a distância táxi coincide com a
distância euclidiana, a mediatriz táxi coincide com a mediatriz euclidiana.
Subgrupo 2A – “Não tem sentido falar em congruência na Geometria Táxi,
considerando que podemos mudar os pontos e continuar com a mesma figura.”
4.1.5 - 5a Etapa: A socialização com os grupos
Após o encerramento do trabalho em subgrupos, houve o momento de
socialização das reações e questionamentos dos professores como também suas
sugestões, já que esses são os objetivos desse trabalho.
91
Inicialmente fizemos um agradecimento à participação de todos e o interesse em
trabalhar de forma comprometida com a pesquisa. As discussões foram muitas o que
enriquecerá a confecção futura de atividades destinadas a alunos do Ensino
Fundamental e Ensino Médio.
GRUPO A
Inicialmente vamos relembrar a forma de divisão dos professores do Grupo A:
eram 14 professores divididos em 7 duplas, denominadas subgrupos de 1 a 7.
O subgrupo 5 manifestou um grande desejo de trabalhar com esse conteúdo em
turmas de nono ano do Ensino Fundamental e em turmas do Ensino Médio. Um
questionamento levantado por eles foi a dificuldade em motivar os alunos. Um dos
participantes do grupo disse.
- “Em uma época em que os alunos têm tão pouco interesse em estudar, como faremos
para trabalhar um que não está nos livros didático?.”
Diante dessa dúvida alguns professores se posicionaram mais otimistas. Eles
disseram que a motivação depende de como iniciamos um trabalho novo em sala de
aula. Todos foram unânimes em dizer que as primeiras atividades são fundamentais para
que o aluno saiba o que realmente está fazendo. Sugeriram que fosse dado mais ênfase à
diferença entre contínuo e discreto, usando coordenadas fracionárias para os pontos
assinalados na malha táxi.
O subgrupo 3 e o subgrupo 4 disseram que é importante “demorar” algum tempo
mostrando que a distância entre dois pontos pode ser medida de formas diferentes. Eles
acreditam que se o aluno incorporar a possibilidade de trabalhar com novas
perspectivas, ele terá interesse pelo trabalho com a geometria táxi.
O subgrupo 1 ressaltou a importância do trabalho em equipe. Eles disseram que
o crescimento é muito maior quando discutimos com nossos colegas e aprendemos a
ouvir opiniões diferentes e refletir sobre elas.
Os subgrupos 3 e 6 disseram que a Geometria Táxi permite percebermos a
possibilidade de trabalhar uma geometria não euclidiana desde o ensino fundamental,
quebrando aquela ideia de que uma nova geometria é um conteúdo acessível a poucos.
O subgrupo 2 manifestou que mesmo trabalhando com uma nova geometria, o
nosso pensamento ainda é euclidiano. Mas que, vencidas as barreiras iniciais, o trabalho
com a Geometria Táxi pode se tornar muito interessante.
92
Como pesquisadora, pedimos ao subgrupo 2 para esclarecer o que eles
consideravam como barreiras iniciais. Eles disseram que a principal barreira, conforme
já havia sido dito pelo subgrupo 5 é a motivação. Para eles motivar um aluno tem sido
uma tarefa cada vez mais difícil. Outra barreira levantada por eles foi a forma de
trabalho feita através de uma descoberta gradativa do conteúdo. Eles acreditam que
muitos alunos ainda não estão preparados para esse tipo de metodologia. Muitos ainda
preferem o conteúdo dado de forma expositiva. Quanto à essa barreira todos os demais
subgrupos foram unânimes em argumentar que essa forma de trabalho é a que realmente
provoca o aprendizado do aluno e, por isso mesmo, precisa ser incentivada pelos
professores, apesar das dificuldades.
Todos afirmaram que a motivação vem com o conhecimento. À medida que
foram entendendo o que é essa nova geometria, se sentiram desafiados e o interesse de
todos foi aumentando gradativamente.
O subgrupo 7 teve uma reação interessante. Eles estavam felizes ao final da
atividade. Foi dito por eles: “Conseguimos fazer!”
Como o subgrupo 4 não se manifestou, a pesquisadora perguntou a eles o porque
do silêncio. Eles disseram que tinham gostado muito do trabalho e que suas observações
coincidiram com o que já havia sido falado.
GRUPO B
O grupo B, conforme já foi dito, era composto por cinco subgrupos com dois
professores e um subgrupo com três professores.
O subgrupo 4 colocou a motivação para esse trabalho como uma grande barreira
a ser enfrentada pelos professores.
O subgrupo 5 argumentou que a motivação cabe ao professor e que a
fundamentação é essencial para que ela ocorra.
O subgrupo 2 insistiu na necessidade de uma base axiomática forte. Eles,
professores, sentiram muita dificuldade quando não estava claro que o universo era
discreto ou contínuo.
Um dos professores do subgrupo 1 contrapôs o seguinte: “nós professores, por
termos uma base maior, precisamos dessa fundamentação. Os alunos trabalham de
forma mais tranquila e, provavelmente, não terão as mesmas dúvidas que nós.”
93
O subgrupo 1 e o subgrupo 6 sugeriram o uso do computador para a construção
de figuras. Isso poderia dinamizar as atividades e interessar mais aos alunos. Já os
demais subgrupos consideraram que as atividades feitas no papel quadriculado
permitem ao aluno participar de toda a etapa do processo de construção e, dessa
maneira, perceber o que ocorre com as medidas e as figuras ao longo de toda a
construção.
O subgrupo 1 ao ouvir esse argumento, concordou que o trabalho com o papel
milimetrado poderia ser feito no início do processo de construção da geometria táxi e o
computador usado posteriormente.
Todo o Grupo B concluiu que as bases da geometria Táxi ainda precisam ser
muito estudadas. Eles insistiram na necessidade de deixar claro para o aluno se o
universo será discreto ou contínuo. Caberá a cada professor no início do estudo da
geometria táxi definir o universo de trabalho para que os conceitos sejam construídos a
partir desse universo.
94
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Ao final da nossa pesquisa, algumas considerações se fazem necessárias
acerca da possibilidade de ensino da Geometria Táxi em turmas do Ensino
Fundamental e Médio. Tais considerações podem gerar estudos posteriores que
confirmem o que foi estudado por nós ou questione o nosso trabalho e crie novas
formas de ensino com a Geometria Táxi.
Nossa proposta era criar atividades que levassem o aluno a construir uma
geometria que explora uma métrica diferente da usada na Geometria Euclidiana,
possibilitando a ele uma oportunidade de ver que o mundo que o cerca pode ser
interpretado através de uma geometria diferente daquela que é apresentada nos
livros didáticos.
Desenvolvemos um estudo paralelo entre a Geometria Euclidiana e a
Geometria Táxi para que o aluno possa ter a referência de um conteúdo que já
faz parte de sua vida acadêmica. Acreditamos que essa forma de trabalho poderá
torná-lo mais seguro para seguir descobrindo e construindo essa Geometria que
faz parte de sua vida cotidiana, mas não faz parte de sua vida acadêmica.
É o professor, entretanto, que pode criar um ambiente favorável à
introdução e desenvolvimento de conteúdos diferenciados na sala de aula. A
nossa pesquisa, portanto, foi feita com professores. Foi importante observar
como professores experientes, como foi o caso dos professores que participaram
da nossa pesquisa, viram-se surpresos ao perceberem que eles mesmos estavam
com dificuldade de se “soltarem” da Geometria Euclidiana. Por isso, ouvi-los foi
fundamental para percebermos como a introdução de um conteúdo que não faz
parte do conhecimento básico proposto pelos livros didáticos passa pelo
convencimento dos professores. Sem esse convencimento, o estudo passa a ser
um compromisso imposto por alguém fora da sala de aula e, provavelmente, se
tornará um processo mecânico e sem interesse. O conhecimento deixará de ter
significado e, provavelmente, se tornará um fardo muito difícil de ser carregado,
tanto pelos professores como pelos alunos.
Entre os professores que participaram da pesquisa, alguns levantaram o
questionamento de porque não fizemos nosso trabalho com o auxílio do
computador. Realmente o uso do computador poderá facilitar a construção e a
visualização das figuras. O professor Miranda, em sua dissertação de mestrado
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"Geometria Táxi, uma métrica para os espaços geográficos e urbanos - Uma
análise exploratória" (1999) explora a Geometria Táxi por meio da linguagem
computacional. Sua dissertação, porém, se destina a um público que lida com
pesquisa envolvendo algoritmos complexos.
Pensamos em trabalhar apenas usando o papel quadriculado como uma
maneira do aluno do Ensino Fundamental e Ensino Médio vivenciar cada etapa
da construção das figuras usando um material de fácil acesso. Acreditamos que a
elaboração de cada figura, a contagem de cada quadradinho do papel, para saber
quanto mede cada segmento e até mesmo as surpresas que terão ao
desenvolverem as atividades, são etapas que contribuem muito para a construção
de um conhecimento significativo por parte do aluno.
As atividades propostas por nós nessa pesquisa servem como base para
que o professor possa explorá-las da maneira que julgar mais conveniente em
sua sala de aula. Pensamos que elas servem como uma orientação para o
trabalho que poderá ser desenvolvido. O conhecimento da turma, de suas
potencialidades, de seus conhecimentos prévios, seu tempo disponível para
desenvolver o trabalho em sala de aula são alguns dos fatores que deverão
nortear o professor na escolha das atividades que poderá desenvolver.
Acreditamos que esses fatores são essenciais para que o trabalho em sala de aula
possa ter sucesso e que somente o professor da turma tem a competência para
saber o que fazer.
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REFERÊNCIAS
ABREU, João Francisco de; BARROSO, Leônidas Conceição (Org.) Geografia,
modelos de análise espacial e GIS. Belo Horizonte: PUC-Minas, 2003. 231 p.
ANTAR NETO, Aref et al. Geometria. São Paulo: Moderna, 1979,344p.
ABREU, João Francisco de; BARROSO, Leônidas Conceição (Org.) Geografia,
modelos de análise espacial e GIS. Belo Horizonte: PUC-Minas, 2003. 231 p.
BOYER, Carl B. Historia da matematica. São Paulo: E. Blucher, 1974. 488p.
COELHO, Paulo. O alquimista. 149.ed.Rio de Janeiro:Rocco,1996.247p.
COLL, César. Aprendizagem escolar e construção do conhecimento. Porto Alegre:
Artmed, 1994. 159p.
COUTINHO, Lazaro. Convite às geometrias não-Euclidianas. Rio de Janeiro:
Interciência, 2001. 116p.
DAVIS, Philip J.; HERSH, Reuben. A experiência matemática. Portugal: Gradiva,
1995. 401p.
DOLCE, Osvaldo, POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de matemática elementar:
volume 9: geometria plan.8.ed.São Paulo:Atual, 2005, 456p.
EVES, Howard Whitley. Introdução à história da matemática. [2. ed.] Campinas:
Editora da UNICAMP, 1997. 843 p.
KRAUSE, Eugene F. Taxicab geometry, in Mathematics Teacher, Dezembro, 1973.
LIMA, Elon Lages. Espaços métricos. 3. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1993. 299 p.
MIRANDA, D. F. - Geometria Táxi, uma métrica para os espaços geográficos e
urbanos uma análise exploratória. Dissertação de Mestrado em Tratamento da
Informação Espacial, Belo Horizonte, PUC-MG, 1999
MOISE, Edwin E.; DOWNS, Floyd L. Geometria moderna. Bogotá: Fondo Educativo
Interamericano, c1970. 578p.
MORIN, Edgar. Os sete saberes necessários à educação do futuro. 10.ed.São
Paulo:Cortez:Brasília:UNESCO,2005.118p.
ZABALA, Antoni, A prática educativa:como ensinar. Porto Alegre: Artmed,
1998.224p.
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APÊNDICES
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APÊNDICE A – ATIVIDADE 1
1) Em uma malha quadriculada marque os pontos A(-4,0); B(0,5); C(3,2); D(3,8); E( 6,5);
F(3,-3); G(3,5).
Calcule as distâncias táxi e as distâncias euclidiana entre:
a) A e C
b) C e F
c) B e D
d) B e E
e) B e C
Há alguma situação onde dE e dT são iguais? Quais são elas?
2) Calcule as distâncias táxi entre os pontos B e G, G e D, G e C. O que podemos dizer
delas?
3) Luciana e Roberto moram em uma cidade ideal. Em uma malha quadriculada vamos
representar as casas de Luciana (L) e de Roberto (R), a escola de Música (M), o
supermercado(S) e o clube da cidade ( C).
L (-3,1 ) Casa de Luciana
R ( 0,4 ) Casa de Roberto
C ( 1,2 ) Clube da cidade
M ( 4,1) Escola de Música
S ( 5,3 ) Supermercado
4) Calcule as seguintes distâncias táxi:
a) Entre a casa de Luciana e a de Roberto.
b) Entre a casa de Luciana e a escola de música
c) Entre o clube da cidade e o supermercado
d) Entre a escola de música e o clube da cidade
ATIVIDADE 1
ATIVIDADE 1
ATIVIDADE 1
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APÊNDICE B – ATIVIDADE 2
1) Desenhe um referencial cartesiano e, nesse referencial cartesiano marque os
pontos A(1,1) e B(2,2). Quantos caminhos diferentes existem para irmos de A
a B, sempre percorrendo a menor distância táxi?
2) Agora os pontos são A (1,1) e C (3,3).
3) Tente, agora, com os pontos A (1,1) e D (3,2).
4) Calcule a quantidade de caminhos que há entre a casa de Luciana e a de
Roberto. (atividade anterior)
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APÊNDICE C – ATIVIDADE 3
1) Lembre-se que a circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano,
eqüidistantes de um ponto fixo (centro). Escolha ( 0,0) como centro, um raio r = 4 e
marque, inicialmente, em uma malha quadriculada, os 4 pontos de uma
circunferência táxi, interceptos com os eixos coordenados. Para visualizar melhor
essa circunferência, marque mais 4 de seus pontos, um em cada quadrante. Da mesma
forma, marque mais 4 outros pontos, e mais quantos pontos você quiser. Ligando
esses pontos, que figura obteremos?
Desenhe 4 raios, um em cada quadrante, nessa “circunferência”.
Qual é a medida do comprimento (perímetro) dessa “circunferência”?
2) Lembrando que o comprimento da circunferência é dado pela fórmula C=2r, qual
será o valor de na geometria táxi?
3) Roberto está procurando uma agência de correio. Ele foi informado que há uma
agência de correio a 3 quarteirões de sua casa. Marque, na malha, os locais onde essa
agência pode estar. Quantos são esses pontos?
4) Se Roberto morasse em uma região aberta, onde poderia estar a agência de correios?
Faça uma figura. Seria mais fácil encontrar a agência de correios em qual situação, na
proposta no item 3 ou a proposta no item 4? Justifique com argumentos matemáticos
e com argumentos físicos
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APÊNDICE D – ATIVIDADE 4
Na “cidade ideal” mora um casal de namorados: Abelardo e Heloísa. Eles
decidiram se casar e estão procurando um apartamento para morarem. A condição para
a escolha do apartamento é que fique eqüidistante dos locais onde cada um deles
trabalha. Localize, na malha quadriculada, os locais de trabalho de Abelardo e Heloísa.
A(3,3) ► local de trabalho de Abelardo
H(10,4) ► local de trabalho de Heloísa
1) Calcule a distância entre A e H.
2) Marque, na malha quadriculada, os pontos que são eqüidistantes de A e H.
Ligue esses pontos.
3) Considerando os limites da cidade como os limites da malha quadriculada,
quantos são os possíveis locais para Abelardo e Heloísa morarem?
4) Em outra malha quadriculada marque os pontos A e H. Determine o lugar
geométrico dos pontos do plano, eqüidistantes desses dois pontos dados, tendo
como referência a geometria euclidiana. Como se chama esse lugar geométrico?
5) Como poderíamos chamar o lugar geométrico dos pontos obtidos no item 4,
tendo como referência a geometria táxi?
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APÊNDICE E – ATIVIDADE 5
1) Desenhe um triângulo euclidiano de lados 3,4 e 5. Como podemos classificar
esse triângulo quanto aos lados e quanto aos ângulos.
2) Qualquer outro triângulo euclidiano de lados 3,4 e 5 será congruente ao
primeiro triângulo desenhado? Justifique sua resposta.
3) Considere o triângulo de vértices A(2,1), B(3,3) e C(6,2). Calcule a medida
de cada lado desse triângulo. Ligue os pontos A, B e C, seguindo a malha
quadriculada, para formar o triângulo ABC. Observe que cada lado do
triângulo é um conjunto de segmentos de reta, coincidentes com as linhas da
malha quadriculada. Há apenas uma maneira de se ligar esses pontos? O
triângulo com esses vértices tem sempre a mesma forma? Justifique a sua
resposta através de figuras.
4) Considere, agora, o triângulo de vértices M(2,1), N(5,1) e P(4,4).Calcule a
medida dos lados desse triângulo. O triângulo MNP tem a mesma forma dos
triângulos formados no item anterior? Seus lados têm a mesma medida? Eles
são congruentes?
5) Na geometria táxi vale o caso de congruência LLL, isto é, dois triângulos que
têm os lados respectivamente congruentes são congruentes?
6) Marque, em um referencial cartesiano, os pontos A(1,1), B(4,10) e C(
11,10). Ligue esses pontos, seguindo a malha quadriculada, para formar o
triângulo ABC.
7) Determine a medida dos lados desse triângulo.
8) No triângulo que você desenhou, verifica-se a desigualdade triangular
euclidiana?
9) Crie dois triângulos táxi: no primeiro a desigualdade triangular não deve
se verificar e, no segundo ela deverá se verificar. Dê as coordenadas dos
vértices desses triângulos. Faça a figura.
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APÊNDICE F – ATIVIDADE 6
1- Desenhe um quadrado táxi de vértices A(1,1), B(1,9), C(4,5) e D(9,1). Qual é a
medida do lado desse quadrado?
2- Com os mesmos pontos do item anterior desenhe um outro quadrado táxi. Ao
mudar a forma da figura a medida dos lados mudou? Justifique sua resposta.
3- Calcule o número de quadrados diferentes que podemos desenhar com os
vértices nos quatro pontos do item 1.
4- Na geometria euclidiana, um quadrado cujo lado mede 8u.c. tem a diagonal
medindo 28 u.c..
5- Determine a medida de cada diagonal dos dois quadrados que você desenhou.
Elas têm a mesma medida?
6- Crie um quadrado que tem uma diagonal medindo 8u.c.. Qual é a medida do lado
desse quadrado? Esse problema tem solução única? Comprove sua resposta
através de uma figura.
7- Crie um quadrado táxi que tenha as duas diagonais com a mesma medida.
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APÊNDICE G – ATIVIDADE 7
1) Uma empresa de construção deseja construir um prédio de apartamentos que
atenda às seguintes condições : esse prédio deverá ficar a, no máximo, 6
quarteirões do supermercado S=(-3,0) e a, no máximo, 4 quarteirões do clube
de tênis(2,2). Onde esse prédio poderá ser construído?
2) Houve um acidente na ponto A(-1,4). Há duas ambulâncias na região: uma no
ponto M(2,1) e outra no ponto P(-3,-2). Se considerarmos apenas a menor
distância, como critério de escolha da ambulância a ser chamada, qual das
duas deverá ir ao local do acidente? Dê uma razão para a ambulância mais
distante ser a melhor a ser chamada, considerando que ambas estão
funcionando normalmente e têm os mesmos equipamentos.
3) Uma companhia telefônica deseja instalar alguns telefones públicos de tal
modo que toda pessoa que more a menos de 12 quarteirões do centro da
cidade tenha que caminhar, no máximo, 4 quarteirões para encontrar um
orelhão. Calcule o número mínimo de orelhões que devem ser instalados, para
atender a essa condição. Dê a localização deles em uma malha quadriculada.
4) Uma companhia telefônica deseja instalar alguns telefones públicos de tal
modo que toda pessoa que more a menos de 12 quarteirões do centro da
cidade tenha que caminhar, no máximo, 4 quarteirões para encontrar um
orelhão. Calcule o número mínimo de orelhões que devem ser instalados, para
atender a essa condição. Dê a localização deles em uma malha quadriculada