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Estruturas de Concreto IIAula 4 – Dimensionamento à flexão
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Escola de Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie Coordenadoria de Engenharia Civil
444444444444
1/2289
DIMENSIONAMENTO DADIMENSIONAMENTO DADIMENSIONAMENTO DADIMENSIONAMENTO DAARMADURA DE FLEXÃO EM ARMADURA DE FLEXÃO EM ARMADURA DE FLEXÃO EM ARMADURA DE FLEXÃO EM VIGAS CONCRETO ARMADOVIGAS CONCRETO ARMADOVIGAS CONCRETO ARMADOVIGAS CONCRETO ARMADO
DIMENSIONAMENTO DADIMENSIONAMENTO DADIMENSIONAMENTO DADIMENSIONAMENTO DAARMADURA DE FLEXÃO EM ARMADURA DE FLEXÃO EM ARMADURA DE FLEXÃO EM ARMADURA DE FLEXÃO EM VIGAS CONCRETO ARMADOVIGAS CONCRETO ARMADOVIGAS CONCRETO ARMADOVIGAS CONCRETO ARMADO
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4.1 GENERALIDADES4.1 GENERALIDADES4.1 GENERALIDADES4.1 GENERALIDADES
a) resistir esforços de cisalhamento;b) garantir a geometria da seção transversal;c) manter a armadura na posição desejada;d) transmitir esforços da armadura por aderência;e) proteger o aço contra corrosão
resistir as tensões normais de compressãodevidas à flexão
resistir as tensões normais de traçãodevidas à flexão
contribuir com o concreto para resistir as tensõesnormais de compressão devidas à flexão
CONCRETO NA ZONA TRACIONADA
CONCRETO NA ZONA COMPRIMIDA
AÇO NA ZONA COMPRIMIDA
AÇO NA ZONA TRACIONADA2,07%o 10%o
fyd
εs
σs
σs=E . εs s
σs=fyd
ε−−
2c2
11
ε−−
2c2
11
2%o 3,5%o
0,85.fcd
−εc
−σc σc=0,85.fcd
σc=0,85.fcd
CONCRETO
AÇO
4.1.1 DIAGRAMAS 4.1.1 DIAGRAMAS 4.1.1 DIAGRAMAS 4.1.1 DIAGRAMAS σσσσ−−−−εεεε
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NBR6118:2003/8.2.10
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4.1.2 DOMÍNIOS DE DEFORMÁÇÃO4.1.2 DOMÍNIOS DE DEFORMÁÇÃO4.1.2 DOMÍNIOS DE DEFORMÁÇÃO4.1.2 DOMÍNIOS DE DEFORMÁÇÃO
ooo
ooo
ooo
ooo
b
d
As
As
h
o
o
oo
3,52
2,0710‘
alongamento
linhaneutra
encurtamento
2
3
4
51
x
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NBR6118:2003/7.2.2g
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4.1.3 DOMÍNIO 24.1.3 DOMÍNIO 24.1.3 DOMÍNIO 24.1.3 DOMÍNIO 2
ooo
ooo
b
LNd
As
h
o10
2
x23
o3,50
d0,259xd
3,5)(10
x
3,523
23⋅=→
+=
ooo
ooo ε( )o
2,00 3,5
⋅f0,85
σ
cd
cd
ε( )o
2,00 3,5
⋅ f0,85
σ
cd
cd
Domínio 2 Domínio 2
Diagrama retangularsimplificado
oooε( )o
2,070 10
f
σ
yd
sd
Domínio 2
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4.1.4 DOMÍNIO 34.1.4 DOMÍNIO 34.1.4 DOMÍNIO 34.1.4 DOMÍNIO 3oo
o
ooo
ooo
b
LN d
As
h
o
oo
3,5
2,0710
3 x 34d0,628x
d
2,07)(3,5
x
3,534
34⋅=→
+=
ooo
ooo ε( )o
2,00 3,5
⋅f0,85
σ
cd
cd
ε( )o
2,00 3,5
⋅ f0,85
σ
cd
cd
Domínio 3 Domínio 3
Diagrama retangularsimplificado
oooε( )o
2,070 10
f
σ
yd
sd
Domínio 3
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4.1.5 DIAGRAMA RETANGULAR4.1.5 DIAGRAMA RETANGULAR4.1.5 DIAGRAMA RETANGULAR4.1.5 DIAGRAMA RETANGULARSIMPLIFICADOSIMPLIFICADOSIMPLIFICADOSIMPLIFICADO
h
b
Md
NÃO-LINEAR:Distribuição das tensõescompressão do concreto
DOMÍNIO:Distribuição dasdeformaçõesdo concreto
SIMPLIFICAÇÃO:Linearização das tensõescompressão do concreto
x
0,8x
0,85.fcd
0,85.fcd
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NBR6118:2003/7.2.2e
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b
d
As
x y=0,8 x.
h
σsd
Md
0,85 f. cd
Distribuição de tensõesao longo da altura da ST
SIMPLIFICAÇÃO:Linearização das tensõescompressão do concreto
Área concretocomprimida
Nova profundidade LN para compensar a simplificação
7/2295
4.1.5 DIAGRAMA RETANGULAR4.1.5 DIAGRAMA RETANGULAR4.1.5 DIAGRAMA RETANGULAR4.1.5 DIAGRAMA RETANGULARSIMPLIFICADO SIMPLIFICADO SIMPLIFICADO SIMPLIFICADO (cont...)
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4.1.6 RESULTANTES DE TENSÃO4.1.6 RESULTANTES DE TENSÃO4.1.6 RESULTANTES DE TENSÃO4.1.6 RESULTANTES DE TENSÃO
y=0,8 x.
d 0,8 x− .
0,4 x.0,4 x.
Rsd
Rcd
Rcd
Rsd
MdMd
0,85 f. cd=(0,85 f. cd) (0,8 b x). . .
=f Ayd s.
fyd
Distribuição de tensõesao longo da altura da ST
Resultantes dastensões na ST
força = tensão x área
A
B
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4.1.7 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO4.1.7 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO4.1.7 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO4.1.7 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO
∑ = 0Fhor
ydscdsdcd fAfxb0,68RR ⋅=⋅⋅⋅→=
∑ = 0MA
)x4,0d(fxb0,68M)x4,0d(RM cddcdd ⋅−⋅⋅⋅⋅=→⋅−⋅=
∑ = 0MB
)x4,0d(fAM)x4,0d(RM ydsdsdd ⋅−⋅⋅=→⋅−⋅=
(1)
(2)
(3)
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⋅⋅⋅−−⋅⋅=
cd2
d
fdb425,0
M11d25,1x
)x4,0d(f
MA
yd
ds ⋅−⋅=
Resolvendo-se a equação (2), chega-se a:
e da equação(3), vem:
4.1.7 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO 4.1.7 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO 4.1.7 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO 4.1.7 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO (cont...)
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x)0,4(dfAM ydsd ⋅−⋅⋅=
Conhecendo-se a área de aço empregada, pode-se utilizar a equação (1), chegando-se a:
que permite verificar se a peça encontra-se no Domínios 4 ( x > 0,628d ). Em caso afirmativo, deve-se ou diminuir a área de aço ou aumentar a resistência do concreto ou a largura da peça, para que a peça não trabalhe no Estado Limite Último em regime de superarmação (ruptura sem aviso). Em seguida, utilizando-se a equação(3), vem:
4.1.8 MOMENTO RESISTENTE4.1.8 MOMENTO RESISTENTE4.1.8 MOMENTO RESISTENTE4.1.8 MOMENTO RESISTENTE
cd
yds
fb68,0
fAx
⋅⋅
⋅=
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4.2 DIMENSIONAMENTO ANALÍTICO4.2 DIMENSIONAMENTO ANALÍTICO4.2 DIMENSIONAMENTO ANALÍTICO4.2 DIMENSIONAMENTO ANALÍTICO
4.2.1 SEÇÃO RETANGULAR4.2.1 SEÇÃO RETANGULAR4.2.1 SEÇÃO RETANGULAR4.2.1 SEÇÃO RETANGULAR
USAR MESA COLABORANTE
UTILIZAR ARMADURA DUPLA
AUMENTAR ALTURA DA VIGA
ARMADURASIMPLES
não
não
DOMÍNIO 4
DOMÍNIO 3
DOMÍNIO 2
Ruptura frágil
Ruptura dúctil
Ruptura dúctil
sim
sim
)4,0( xdf
MA
yd
ds ⋅−⋅=
6
259
28,
,
0
0
≤
≤
d
d
x
x
⋅⋅⋅−−⋅⋅=
fdb0,425
M11d1,25x
cd2
d
⋅ )(kN/cmf),(cmdb(cm),cm),(kN
M 2cdd
b
d h
As
x Md
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bf
bw
hf
d
As
x Md
bw
d
As,w
x Md,w
bw
d
As,w1
x (imposto)Md,c
bw
d
d’
As,w2
A’s
M∆ d
bw
hf
bf−bw
d
As,f
x M d,f
,,,( (cdfd fdbMx
SEÇÃO T
ARMADURADUPLA
SEÇÃO RETANGULAR
ARMADURASIMPLES
não
não
sim
sim
fhx ⋅≤ 25,1
)4,0( xdf
MA
yd
ds ⋅−⋅=
628,0≤dx
)(85,0, wffcdfcd bbhfR −⋅⋅⋅=
)2(,, ffcdfd hdRM −⋅=
)2(,
,fyd
fdfs hdf
MA
−⋅=
fddwd MMM ,, −=
),,,( , cdwwd fdbMx
)4,0(,
, xdf
MA
yd
wdws ⋅−⋅=
)4,0(68,0, xdxbfM wcdcd ⋅−⋅⋅⋅⋅=
)4,0(,
1, xdf
MA
yd
cdsw ⋅−⋅
=
cdwdd MMM ,, −=∆
)(2, ddf
MAA
yd
dssw ′−⋅
∆=′=
4.2.2 SEÇÃO T4.2.2 SEÇÃO T4.2.2 SEÇÃO T4.2.2 SEÇÃO T
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4.3 TABELA KC4.3 TABELA KC4.3 TABELA KC4.3 TABELA KC----KSKSKSKS
Multiplicando-se ambos os lados da expressão (2) por:
)x4,0d(fxb0,68dMd cd2
d2 ⋅−⋅⋅⋅⋅⋅=⋅
sendo kx = x/d (profundidade LN adimensional), chega-se a:
)k4,01(kfbd,680M xxcd2
d ⋅−⋅⋅⋅⋅=
Definindo-se:
)k4,01(kf68,0M
dbk
xxck
c
d
2
C ⋅−⋅⋅⋅
γ=
⋅=
A equação (3) pode ser reescrita como:
d
Mk
d
M
)k4,01(
1A d
Sd
xsds ⋅=⋅
⋅−⋅σ=
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4.3 TABELA KC4.3 TABELA KC4.3 TABELA KC4.3 TABELA KC----KS KS KS KS (cont...)
O dimensionamento é feito do seguinte modo: a partir do esforço de flexão de dimensionamento M.d e das dimensões da seção transversal b e d determina-se
Cd
2k
M
db→
⋅
que a partir do concreto especificado obtém-se a profundidade adimen-sional. Definindo-se o tipo de aço utilizado chega-se ao valor de kS. Multiplicando-se este fator por
sd
S Ad
Mk →⋅
determina-se a armadura desejada.
15/22103
Os parâmetros, abaixo definidos, podem ser tabelados em função de kx.
)k4,01(kf68,0k
xxck
cC ⋅−⋅⋅⋅
γ=
)k4,01(
1k
xsdS ⋅−⋅σ=e
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0,020,040,060,080,100,120,140,160,180,20
0,220,240,259
0,280,300,320,340,360,38
0,400,420,44
0,460,480,500,520,540,560,580,600,620,6280,64
0,660,680,70
51,926,217,613,310,79,07,8
6,96,25,6
5,14,74,4
4,13,93,7
3,53,33,2
3,12,92,82,72,72,62,52,42,42,32,3
2,22,22,2
2,12,12,0
41,520,914,110,68,67,26,2
5,54,94,5
4,13,83,5
3,33,13,0
2,82,72,6
2,52,42,32,22,12,12,01,9
1,91,81,8
1,81,81,7
1,71,71,6
34,617,411,78,97,16,05,2
4,64,13,7
3,43,23,02,82,62,5
2,32,22,1
2,02,01,91,81,81,71,71,61,61,51,5
1,51,51,4
1,41,41,4
29,614,910,07,66,15,14,5
3,93,53,2
2,92,72,52,42,22,1
2,01,91,8
1,81,71,61,61,51,51,41,41,41,31,3
1,31,31,2
1,21,21,2
25,913,18,86,65,44,53,9
3,43,12,82,62,42,2
2,11,91,8
1,81,71,61,51,51,41,41,31,31,21,2
1,21,21,1
1,11,11,11,11,01,0
23,111,67,85,94,84,03,5
3,12,72,5
2,32,12,01,81,71,6
1,61,51,4
1,41,31,31,21,21,11,11,11,11,01,0
1,01,01,0
0,90,90,9
20,810,57,05,34,33,63,1
2,72,52,2
2,11,91,8
1,71,61,5
1,41,31,3
1,21,21,11,11,11,01,01,0
0,90,90,9
0,90,90,9
0,80,80,8
0,02320,02340,02360,02380,02400,02420,0244
0,02460,02480,0250
0,02520,02540,02570,02590,02610,0264
0,02660,02690,0271
0,02740,02760,02790,02820,02850,02880,02900,02930,02960,02990,0303
0,03060,03070,0325
0,03590,03970,0441
C-20 C-25 C-30 C-35 C -40 C-45 C-50
k x=kc=
kc
kS
kS +. .
.
0,023
0,023
AS=
A S=
AS=
kS(Unidades: kN, cm)x
bd2
bd
d
d d−d´
d−d´
dMd
Arm. SimplesArm. Dupla
Md
Mdc
Mdc = MdM dc =
∆Md d dc= − M M
∆Md
∆Md
SUBA
RMADA
CA50
DOMÍNIO
DIAGRAMA DEDEFORMAÇÕES
REGIME
3
2
4
3,5 /
3,5 /
3,5 /
10 / 2,07 /
2,07 /
10 /
+
0,020,040,060,080,100,120,140,160,180,20
0,220,240,259
0,280,300,320,340,360,38
0,400,420,44
0,460,480,500,520,540,560,580,600,620,6280,64
0,660,680,70
51,926,217,613,310,79,07,8
6,96,25,6
5,14,74,4
4,13,93,7
3,53,33,2
3,12,92,82,72,72,62,52,42,42,32,3
2,22,22,2
2,12,12,0
41,520,914,110,68,67,26,2
5,54,94,5
4,13,83,5
3,33,13,0
2,82,72,6
2,52,42,32,22,12,12,01,9
1,91,81,8
1,81,81,7
1,71,71,6
34,617,411,78,97,16,05,2
4,64,13,7
3,43,23,02,82,62,5
2,32,22,1
2,02,01,91,81,81,71,71,61,61,51,5
1,51,51,4
1,41,41,4
29,614,910,07,66,15,14,5
3,93,53,2
2,92,72,52,42,22,1
2,01,91,8
1,81,71,61,61,51,51,41,41,41,31,3
1,31,31,2
1,21,21,2
25,913,18,86,65,44,53,9
3,43,12,82,62,42,2
2,11,91,8
1,81,71,61,51,51,41,41,31,31,21,2
1,21,21,1
1,11,11,11,11,01,0
23,111,67,85,94,84,03,5
3,12,72,5
2,32,12,01,81,71,6
1,61,51,4
1,41,31,31,21,21,11,11,11,11,01,0
1,01,01,0
0,90,90,9
20,810,57,05,34,33,63,1
2,72,52,2
2,11,91,8
1,71,61,5
1,41,31,3
1,21,21,11,11,11,01,01,0
0,90,90,9
0,90,90,9
0,80,80,8
0,02320,02340,02360,02380,02400,02420,0244
0,02460,02480,0250
0,02520,02540,02570,02590,02610,0264
0,02660,02690,0271
0,02740,02760,02790,02820,02850,02880,02900,02930,02960,02990,0303
0,03060,03070,0325
0,03590,03970,0441 SU
PERARMADA
d
d
b
3
2
´
16/22104
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4.5 BITOLAS COMERCIAIS4.5 BITOLAS COMERCIAIS4.5 BITOLAS COMERCIAIS4.5 BITOLAS COMERCIAISPESO LINEAR (kgf/m)A (cm )2s1φφ (mm)
5 0,20 6,3 0,315 8 0,5010 0,8012,5 1,2516 2,0020
,0 0
,0 0
,5 0
,0 0
0,16 0,25 0,40 0,63 1,00 1,60
3,15 2,50
,0 0
,0 0
CLASSE
CA-60
CA-50
4.4 TAXA DE ARMADURA MÍNIMA4.4 TAXA DE ARMADURA MÍNIMA4.4 TAXA DE ARMADURA MÍNIMA4.4 TAXA DE ARMADURA MÍNIMA
17/22105
NBR6118:2003/17.3.5.2.1
0,150%
0,150%
fck=20
Retangular
T (mesa tracionada)
Forma daseção
0,150%
0,150%
fck=25
0,173%
0,153%
fck=30
0,201%
0,178%
fck=35
0,230%
0,204%
fck=40
0,259%
0,229%
fck=45
0,288%
0,255%
fck=50
Valores de =A /Aρmin s,min c
0,150%T (mesa
comprimida) 0,150% 0,150% 0,150% 0,158% 0,177% 0,197%
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Escola de Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie Coordenadoria de Engenharia Civil
4.6 MOMENTOS POSITIVOS MÍNIMOS4.6 MOMENTOS POSITIVOS MÍNIMOS4.6 MOMENTOS POSITIVOS MÍNIMOS4.6 MOMENTOS POSITIVOS MÍNIMOS
18/22106
NBR6118:2003/14.6.7.1
2 21 21min L Lp p
12 2489
M = 233min Lp
1289
M =minM =
engastar apoios internos
vão extremo: vão extremo:vão interno:
p1 p3p2
1 2in L Lp p9 1
= 233min Lp
9M =minM =
L1 L 2 L 3
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Determinar a armadura mínima da viga V1 (15,65) constituída de concreto classe C-35 ( fck= 35 MPa ), segundo o item 17.3.5.2.1 da NBR 6118:2003. Detalhar com barras de 8 mm.
Determinar a armadura mínima da viga V1 (15,65) constituída de concreto classe C-20 ( fck= 20 MPa ), segundo o item 17.3.5.2.1 da NBR 6118:2003. Detalhar com barras de 8 mm.
4.7 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO4.7 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO4.7 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO4.7 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO
EXEMPLO 4.7.1 EXEMPLO 4.7.1 EXEMPLO 4.7.1 EXEMPLO 4.7.1
)mm84(cm2,0A
65151000,201
A0,201%A
2mins,
cmins,
φ=
⋅⋅=⋅=
EXEMPLO 4.7.2 EXEMPLO 4.7.2 EXEMPLO 4.7.2 EXEMPLO 4.7.2
)mm83(cm1,5A
65151000,150
A0,150%A
2mins,
cmins,
φ=
⋅⋅=⋅=
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Determinar as armaduras positivas da viga V1 (12/50), constituída de concreto classe C-20 ( fck= 20 MPa ) e barras de aço CA-50 ( fyk= 500 MPa). Considerar o momento mínimo e taxa de armadura mínima, de acordo, respectivamente, os itens 14.6.7.1 e 17.3.5.2.1 da NBR 6118:2003. Adotar distância d’= 4 cm.
EXEMPLO 4.7.3 EXEMPLO 4.7.3 EXEMPLO 4.7.3 EXEMPLO 4.7.3
30 kN/m 30 kN/m20 kN/m
4,50 4,50 5,5012
50
55,3
44,5
79,0
8,0
75,2
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4.7.3.1 MOMENTOS POSITIVOS MÍNIMOS4.7.3.1 MOMENTOS POSITIVOS MÍNIMOS4.7.3.1 MOMENTOS POSITIVOS MÍNIMOS4.7.3.1 MOMENTOS POSITIVOS MÍNIMOS
42,7
75,9
momento positivo mínimo a ser considerado
33,8 33,8
113,4
63,816,9
2mins,
cmins,
cm0,9A
5012100
0,15A0,15%A
=
⋅⋅=⋅=
21/22109
4.7.3.2 ARMADURA MÍNIMA4.7.3.2 ARMADURA MÍNIMA4.7.3.2 ARMADURA MÍNIMA4.7.3.2 ARMADURA MÍNIMA
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S1 S2 S3
M =55,3 kN mk. M =79,0 kN mk
.M =16,9 kN mk.
b=12 cm b=12 cmb=12 cmd=46 cm d=46 cmd=46 cm
x/d=0,37 (DOM3) x/d=0,58 (DOM3)x/d=0,10 (DOM2)
A =4,5 cms2 A =7,2 cms
2A =1,2 cms2
1212 12
5050 50
4 6,3φ 4 12,5 φ 4 16φ
22/22110
4.7.3.3 ARMADURAS POSITIVAS DA VIGA V14.7.3.3 ARMADURAS POSITIVAS DA VIGA V14.7.3.3 ARMADURAS POSITIVAS DA VIGA V14.7.3.3 ARMADURAS POSITIVAS DA VIGA V1